2020届高三数学一轮复习强化训练精品――计数原理单元综合测试

2020届高三数学一轮复习强化训练精品――计数原理单元综合
测试
一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕
1.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，那么不同的排法共有 种. 答案 24
2.直角坐标xOy 平面上，平行直线x =n (n =0,1,2,…,5)与平行直线y =n (n =0,1,2,…,5)组成的图形中，矩形共有 个. 答案 225
3.二项式〔a +2b )n 中的第二项系数是8，那么它的第三项的二项式系数为 .
答案 6
4.〔x +1〕15=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15，那么a 0+a 1+a 2+…+a 7= .
答案 214
5.〔2018·四川理〕从甲、乙等10名同学中选择4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的选择方法共有 种.
答案 140
6.〔2018·常州模拟〕在〔1-x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数为 .
答案 207
7.〔1+3x 〕6(1+41
x )10
的展开式中的常数项为 . 答案 4 246
8.〔2018·辽宁理〕一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分不照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，那么不同的安排方案共有 种.
答案 36
9.甲、乙、丙三名同学在课余时刻负责一个运算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，假如甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，那么能够排出不同的值班表有 种.
答案 42
10.假设〔1+x )n +1的展开式中含x n -1的系数为a n ，那么
11a +21a +…+n a 1的值为 . 答案 1
2 n n 11.在〔x -
x 21〕9的展开式中，x 3的系数为 〔用数字作答〕. 答案 -2
21 12.〔1+x 〕+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )8=a 0+a 1x +…+a 8x 8,那么a 1+a 2+a 3+…+a 8= .
答案 502
13.〔2018·陕西理，16〕某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分不由6名火炬手完成,假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，那么不同的传递方案共有 种.〔用数字作答〕
答案 96
14.〔ax -x 1
〕8的展开式中x 2
的系数是70，那么实数a 的值为 . 答案 ±1
二、解答题〔本大题共6小题，共90分〕
15.〔14分〕二次函数y =ax 2
+bx +c 的系数a 、b 、c ，在集合{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？
解 由图形特点分析，a ＞0,开口向上，坐标原点在内部⇔f (0)=c ＜0;a ＜0,开口向下，原点在内部⇔f (0)=c ＞0, 因此，关于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲，原点在其内部⇔af (0)=ac ＜0,那么确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c ,再确
定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 16=144〔条〕. 16.〔14分〕五位老师和五名学生站成一排：
〔1〕五名学生必须排在一起共有多少种排法？
〔2〕五名学生不能相邻共有多少种排法？
〔3〕老师和学生相间隔共有多少种排法？
解 〔1〕捆绑法共有A 66·A 55=86 400种排法.
〔2〕插空法共有A 55·A 56=86 400种排法.
〔3〕排列方式只能有两类，如下图：
○□○□○□○□○□
□○□○□○□○□○
(用□表示老师所在位置，用○表示学生所在位置〕
故有2A 55·A 55=28 800种排法.
17.〔14分〕在n x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3321的展开式中，第6项为常数项. 〔1〕求n ;
(2)求含x 2的项的系数；
〔3〕求展开式中所有的有理项.
解 〔1〕通项公式为T r +1=C r n x 3r n -r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 3r
- =C r n r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x 32r n -,
因为第6项为常数项，因此r =5时， 有3
2r n -=0，即n =10. 〔2〕令32r n -=2,得r =2
1(n -6)=2, ∴所求的系数为C 2102
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=445.
(3)依照通项公式，由题意得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≤≤∈-Z 100Z
3210r r r 令3
210r -=k (k ∈Z )，那么10-2r =3k ,即r =5-23k , ∵r ∈Z ,∴k 应为偶数.
∴k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8.
因此第3项，第6项与第9项为有理项，它们分不为
T 3=2445x ，T 6=8
63，T 9=225645-x . 18.〔16分〕4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球.
〔1〕假设取出的红球的个数许多于白球的个数，那么有多少种不同的取法？
〔2〕取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，假设取出4个球总分许多于5分，那么有多少种不同的取法？ 解 〔1〕依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：
①全取出红球，有C 44种不同的取法；②取出的4个球中有3个红球1个白球，有C 34×C 16种取法；
③取出的4个球中有2个红球2个白球，有C 24×C 26种不同的取法.
由分类计数原理知，共有C 44+C 34×C 16+ C 24×C 26=115种不同的取法.
〔2〕依题意知，取出的4个球中至少要有1个红球，从红白10个球中取出4个球，有C 410种不同的取法，而全是白球的
取法有C 46种，从而满足题意的取法有：C 410-C 46=195〔种〕.
19.〔16分〕〔a 2+1〕n 展开式中的各项系数之和等于〔
516x 2+x
1〕5的展开式的常数项，而〔a 2+1〕n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值〔a ∈R 〕.
解 〔516x 2+x 1〕5的通项公式为 T r +1=C r 5r x -⎪⎭⎫ ⎝⎛52516·r x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1=C r 5·r -⎪⎭⎫ ⎝⎛5516·x 2520r -
令20-5r =0，那么r =4，∴常数项为T 5=C 45×
516=16. 又〔a 2+1〕n 展开式的各项系数之和为2n ，依题意得2n =16，
n =4，由二项式系数的性质知〔a 2+1〕4展开式中系数最大的项是中间项T 3，因此C 24〔a 2〕2=54，即a 4=9，因此a =±3.
20.(16分〕设〔2-3x 〕100=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 100x 100，求以下各式的值：
〔1〕a 0;
(2)a 1+a 2+…+a 100;
(3)a 1+a 3+a 5+…+a 99;
(4)(a 0+a 2+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2
.
解 〔1〕由〔2-3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100, 即a 0=2100，或令x =0，那么展开式可化为a 0=2100.
〔2〕令x =1,可得
a 0+a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100.
① ∴a 1+a 2+…+a 100=(2-3)100-2100.
(3)令x =-1可得
a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 100=(2+3)100. ② 与x =1所得到的①联立相减可得，
a 1+a 3+…+a 99=2
)32()32(100
100+--. (4)原式=［〔a 0+a 2+…+a 100〕+(a 1+a 3+…+a 99)］×［(a 0+a 2+…+a 100)-(a 1+a 3+…+a 99)］ =(a 0+a 1+a 2+…+a 100)(a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 98-a 99+a 100) =(2-3)100·〔2+3〕100
=1.。