线性代数方法建模5森林管理--数学建模案例分析
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）
数学建模案例分析--线性代数建模案例（20例）数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题 0案例二. 配方问题 (3)案例三. 投入产出问题 (4)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6)案例五. CT图像的代数重建问题 (9)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11)案例七. 化学方程式配平问题 (14)案例八. 互付工资问题 (15)案例十. 电路设计问题 (18)案例十一. 平面图形的几何变换 (20)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22)(屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (26)案例十五. 人员流动问题 (26)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (28)案例十七. 选举问题 (30)案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300②x 2 + x 3 = 100 + 200③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=?其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-?→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ??由此可得 142434100600300x x x x x x -=-??+=??-=-?即142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?可得213141500200100x x x x x x =-+??=-??=+?, 123242500300600x x x x x x =-+??=-+??=-+?, 132343200300300x x x x x x =+??=-+??=+?, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x y x y x y x y +=??+=?+=?+=?【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A , b ) =214327113125?? ? ? ? →初等行变换101012000000?? ? ? ? ???, 可见{1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ?+=++=++=++=+?? (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了1973年的Nobel 经济学奖.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.。
数学建模实例
数学建模实例
数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过对模型进行分析和求解来解决问题的一种方法。
以下是数学建模的一些实例：
1. 客流热力学模型：在城市轨道交通拥挤情况下，建立客流热力学模型，分析出客流分布的状况，有效提高轨道交通系统的运行性能。
2. 互联网广告投放模型：针对互联网广告投放的问题，建立数学模型，分析各种广告投放策略的影响，提出最佳的广告投放策略。
3. 股票价格预测模型：针对股票市场，建立数学模型，通过对历史数据的分析和预测，预测未来股票价格的走势，为投资决策提供科学依据。
4. 生态系统模型：建立生态系统稳定性数学模型，探究物种间相互作用的影响，预测生态系统发展趋势，为环境保护提供科学依据。
5. 智能交通路网模型：建立智能交通路网数学模型，分析路网拥堵状况，提出最优路径，实现交通系统的智能化管理。
6. 供应链管理模型：建立供应链管理数学模型，分析供应链各环节的影响，优化供应链各环节的质量和效率，提升企业综合效益。
7. 机器学习模型：应用机器学习算法，通过对大量历史数据的分析和学习，预测未来数据的走势，为商业决策提供科学依据。
数学建模案例分析线性代数模型
父体-母体的基因对
AA-AA Aa-Aa aa-aa
后 AA 1
1/4
0
代
基 Aa 0
1/2
0
因
对 aa 0
1/4
1
在极限状态 下，后代仅 具有基因型 AA和aa。
2020/5/10
数学建模
常染色体的隐性疾病
遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传 给子代的疾病。
2020/5/10
数学建模
常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因 记为a，并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人， 隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的 一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百 分比为a0，b0，c0，讨论在下列两种情况下第 n代的基因型分布。
2020/5/10
数学建模
Durer 魔方
德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。 令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符 号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币 右上角的数字问题。
2020/5/10
0000
N1
1 -1
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-1 1
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2020/5/10
0 1 0 -1
1 0 -1 0
N2 -1 0 0 1
0 -1 1 0
数学建模
0100
1000
N3 0 0 0 1
0010
（5）对数字没有任何要求的数字方 16维空间M
空间 0 G B D Q W M
维数 0 1 5 7 8 10 16
0010 0100
2020/5/10
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
数学建模—森林救火
数学建模—森林救火第一篇：数学建模—森林救火森林救火一、问题重述森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多，森林损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目，且消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关。
二、问题分析损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁面积与失火、灭火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数量，队员越多灭火越快。
救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为t=0,救火时刻t=t1,灭火时刻t=t2，时刻t森林烧毁面积为B（t）。
三、基本假设1.损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数c1为烧毁单位面积的损失费；2.从失火到开始救火这段时间（0~t1）内，火势蔓延程度dB/dt 与时间t成正比，比例系数β称火势蔓延速度；3.每个消防员的救火能力λ与到达时的火势b成反比，即消防员到达时火势越大消防员救火能力越小，不妨设λ(b)=λ`/(b+1)，其中λ`表示火势很小的时候一个消防队员正常的灭火能力，分母b+1是防止b→0时，λ→∞；4.派出χ名消防队员，开始救火以后（t>t1)火势蔓延速度降为β-λ(b)*χ,显然要有β5.每个消防队员单位时间的费用为c2,于是每个队员的救火费用是c2（t2-t1）；每个队员的一次性支出是c3;四、模型建立根据假设条件2，3，火势蔓延程度dB/dt在0≤t≤t1线性地增加，在t1≤t≤t2线性地减小。
dB/dt ~ t 的图形如图1所示。
图一记t=t1时dB/dt=b。
烧毁面积B（t2）为dB/dt在0~t2上的积分，恰是图中三角形的面积，显然有B（t2）=1/2*b*t2,而t2满足（1）于是（2）根据假设条件1，5，森林损失费为c1*B(t2),救援费为c2*χ*(t2—t1)+c3*χ，将（1），（2）代入，得到救火总费用为（3）C(χ)即为这个优化模型的目标函数。
数学建模案例线性代数教学研究
数学建模案例线性代数教学研究线性代数是数学和计算机科学中非常重要的一个分支，提供了解决许多实际问题的工具和技术。
因此，在大学数学课程中，线性代数通常是必修课。
线性代数的许多概念和技术可以应用于各种领域，如工程学、自然科学、计算机科学等等。
本文将探讨数学建模案例如何促进线性代数学习，同时也会介绍研究线性代数教学质量的一些方法和评估指标。
数学建模案例何为？数学建模案例是一个由实际问题或案例引起的数学问题，并且涵盖一个或多个数学分支的解决方法。
为学习者提供了一个更具有挑战性的、真实的、跨学科的环境来学习数学及解决问题的能力。
学习者通过案例解决问题的过程中，可以了解到数学如何应用于现实生活中的问题，并接触到科学或技术领域的各种职业选择。
数学建模案例如何促进线性代数学习？数学建模案例可以促进线性代数学习的方式很多，包括以下几点：1.进一步开发学生的创造力数学建模案例及其解决方法，通常涉及到创造性的思维过程。
而线性代数的一些概念和技术，如矢量、矩阵、线性变换等，在实际问题中，也需要学生进行相应的创造性思考。
通过数学建模，可以给学生提供更多的机会和方式，以便发展他们的创造力。
2.提供具有挑战性的问题在线性代数的学习中，为了帮助学生掌握概念和技术，通常给出相对简单的问题。
但是，在实际应用中，线性代数的问题通常比较困难和具有挑战性。
数学建模可以提供那些更有挑战性的问题，以便帮助学生解决更困难的问题。
3.实现跨学科的教学和研究数学建模案例可以帮助实现跨学科的教学和研究。
随着信息技术的不断发展，现代社会的许多问题涉及到数学、计算机科学、物理学等多个学科的交叉研究。
通过数学建模，可以建立跨学科的合作和交流，使学生更好地了解不同学科领域中的数学运用。
线性代数教学和研究的方法和评估指标在研究或评估线性代数教学质量时，可以使用以下一些方法和评估指标：1.成绩分布和通过率成绩分布和通过率是评估教学质量中最基本的指标。
线性代数学习的目的是要使学生理解和掌握相关的概念和技能。
数学专业书单
数学专业书单数学专业是一门理论性较强的学科，学习数学需要掌握一定的基础知识和技巧。
下面是一份数学专业书单，帮助学生系统学习数学知识。
1.《数学分析》数学分析是数学专业的基础课程之一，它主要研究实数、函数、极限、连续性、微积分等概念和性质。
这本书以严谨的推导和证明，帮助学生深入理解数学分析的基本原理和方法。
2.《线性代数》线性代数是数学专业的另一个重要基础课程，它研究向量空间、线性变换、矩阵、特征值等概念和性质。
这本书介绍了线性代数的基本理论和应用，包括矩阵运算、线性方程组、特征值问题等。
3.《概率论与数理统计》概率论与数理统计是数学专业的一门重要课程，它研究随机事件的概率和随机变量的统计规律。
这本书介绍了概率论和数理统计的基本概念、定理和方法，包括概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等。
4.《常微分方程》常微分方程是数学专业的一门应用数学课程，它研究描述变化规律的微分方程解的存在性、唯一性和性质。
这本书介绍了常微分方程的基本理论和求解方法，包括一阶和高阶微分方程、常系数和变系数线性微分方程、常微分方程的数值解法等。
5.《数值分析》数值分析是数学专业的一门应用数学课程，它研究利用计算机进行数值计算和数值模拟的方法和技巧。
这本书介绍了数值分析的基本原理和常用算法，包括数值逼近、数值积分、数值代数方程的求解等。
6.《离散数学》离散数学是数学专业的一门基础课程，它研究离散结构和离散对象的性质和关系。
这本书介绍了离散数学的基本概念和方法，包括集合论、图论、布尔代数、逻辑推理等。
7.《数学建模》数学建模是数学专业的一门应用数学课程，它研究利用数学方法解决实际问题的建模和求解技巧。
这本书介绍了数学建模的基本原理和方法，包括问题分析、模型构建、模型求解和模型评价等。
8.《实变函数》实变函数是数学专业的一门高级课程，它研究实数轴上的函数的性质和变化规律。
这本书介绍了实变函数的基本概念和性质，包括连续性、可微性、积分等。
数学线性模型在编制集体林经营方案中的应用
⑨丘陵 、 山地阳、 阴陡坡薄层土面积约束
Ｘｌ ９＋Ｘ２ ＋Ｘ２ｌ＝２ ９ ４ Ｏ ４８ ８．
规划 总 的原则 是 充分 利用 现有 宜林 地 资源 ， 大 森 扩
林面积 ， 增加 森林 植 被 ， 大 防护林 、 炭林 面 积 比 加 薪
⑩侵 蚀 沟土面 积约束
Ｘ２ ＝４ ２ ２ ６．
１７． ｘ ８ ５ ｌ＋ｌ ９ ９【 ９．】 ２＋５ ５． ） ＋６ ６ ０ ４＋５ ５ ５ ５ ５ ５【 ３ ６． ｘ ５ ． ｘ ＋３ ２ ５ ６＋３ ２ １ ｘ １．ｘ １ ． ５ ７＋１ ３ ３ ８＋２ ９ ９ ＋１ ３ ３ １ ３ ．ｘ ４． ３ ． ｘ ０＋ １ ５ｌ ６． ｘ １＋１ ． ｘ１ ４４ ４ ４ １ ６ ５ ２， ４ ． ｘ ３＋４ ４． １ ＋１ ３ ３ ５ ＋ － ４ ４ｘ ４ ３ ． ｘ１
Ｘ８ ＋ Ｘ９￣ ２ ５． ＜ ３ ０
③丘 陵 、 山地 阳缓 、 斜坡 中厚层 土面 积约束
Ｘ３ ＋ Ｘ４ ＋ Ｘ ＋Ｘ６ ＋ Ｘ７ ＝ １ ３． ５ ６ｌ ０
⑩ 飞播 臭椿林 面 积约束
Ｘ１ ２９ ６ ４３． ５
④丘 陵 、 山地 阳缓 、 斜坡 薄层 土面积 约束
Ｘ８＝ ｌ ６ ５． １０ ０
第 ３ 第 ５期 ４卷
２ １ 年 ９月 ０１
内蒙 古 林 业 调 查 设 计
Ｉ ｅ ｎｎ ｒＭｏｎ ｏｉ ｏ ｅ ｔｙ Ｉ ｖ ｓｉａｉｎ ａ ｄ Ｄｅ ｉｎ ｇ ｌ Ｆ ｒ ｓｒ ｎ ｅ ｔｇ ｔｏ ｎ ｓｇ ａ
ｖ １３ Ｎｏ ５ ｏ． ４． ． Ｓ ｐｅｍｂｅ ． ｅｔ ｒ２０１ １
２ １ 年 ０１
打开微机 ， 入 Ｂ ＳＣ系统 ， 人 线性 规 划 计 进 ＡＩ 调
14386-数学建模-论文-森林管理
//sm71107.1 森林管理问题与假设 模型建立 模型求解 数模实验问题与假设问题森林中的树木每年要有一批被砍伐出售，为使这片森林不被耗尽而且每年有所收获，每砍伐一棵树，应该就地补种一棵幼苗，使森林数目的总数保持不变。
我们希望找到一个方案，在收获保持稳定的前提下，获得最大的经济价值。
假设(1)把森林中树木按高度分为n 级，第k 级的高度在),[1k k h h -之间)0(0=h 。
第1级是幼苗，第k 级树木的单位价值为11,0,+<=k k k p p p p(2)开始时，第k 级树木的数量是k x 棵,每年砍伐一次，第k 级砍伐k y 棵，1y =0。
为使每年维持稳定的收获。
故每年砍伐后留下的树木与补种的幼苗。
其状态与起始时相同（即各等级树木的数量相同）(3)森林中树木总数是S ，假设每一棵树木都可从幼苗长到收获，且砍伐一棵补种一棵幼苗。
故总量保持不变。
即S x kk =∑(4)树木每年至多生长一个高度级，第k 级树木进入第k+1级的比例为k g ,留在原级的比例为k g -1.//sm7120问题与假设 模型建立 模型求解 数模实验模型建立 模型1k k k n k k x g )p p(p max -=∑-=+111..t ss xnk k=∑=1（等价于.11s x n k k ≤∑-=即视x n 为松弛变量）11++≥k k k k x g x g k =1,2,…,n -1 （7.1）0≥k xk =1,2,……，n -1 整数详细推导（转7121）由模型1可推导出等价模型2模型2∑==nk kk y p p 2m ax..t s s y g k n k k j j≤∑∑=-=)1(211(7.2) 0≥k y 整数 k =2,3,……，n （注01=y ）详细推导 （转7122）上述两个模型中，有关参数的意义是： k p ——k 级树木单位价值 k x ——k 级树木数量k g ——k 级树木进入k+1级的比例 k y ——k 级树木被砍伐数//sm7121 设)1,,2,1(11-=-++n k x g x g k k k k 表示本年第k+1级新增的树木数0=n g （最顶级不会再长）由假设（2）1+k y =011≥-++k k k k x g x g ，k=1,2,……，n-1 (*)k x 是决策变量，可控制使其满足此不等式。
森林管理计划建模
森林管理计划建模问题一开发一个碳封存模型，以确定一个森林及其产品在一段时间内预计会封存多少二氧化碳。
你的模型应该确定什么样的森林管理计划在吸收二氧化碳方面最有效。
E题作为一个比较注重数据收集的题目，数据收集是第一步，也是最重要的一步。
在解题思路后面，我会与大家分享一些查找数据的网站，以及我现在找到的一些相关数据。
对于问题一要求我们开发一个碳封存模型来计算封存的二氧化碳。
我认为模型的计算过程应该分为两个部分，一个是为森林本身固碳的数据进行计算，二是根据其从树木中产生的产品的固碳数据。
将这两种不同的固碳方式进行分类计算。
至于具体的计算过程，这就与自己收集的数据有关了。
对于这种收集数据的问题，并不是我们根据我们想要的收集数据，这样会很被动，一旦找不到我们想要的数据就会导致模型行不通。
而是，我们直接就去查找数据，利用找到的数据进行建模。
问题二考虑到森林价值的其他方式，最有利于固碳的森林管理计划不一定是最有利于社会的计划。
开发一个决策模型，告知森林管理者森林的最佳利用。
你的模型应该确定一个森林管理计划，平衡森林价值的各种方式（包括碳吸收）。
为了更好地理解你的模型，考虑下面的一些问题，以及你自己的问题：1、您的决策模型可能建议的管理计划范围是什么？2、是否存在导致森林未被砍伐的条件？3、适用于所有森林的管理计划之间是否存在过渡点？4、如何利用特定森林及其位置的特征来确定管理计划之间的过渡点？对于问题二，其实本质上就是在问题一的延申。
在问题一计算固碳量后再引入了其他社会因素，需要我们综合考虑。
面对不同的森林制定不同的森林管理计划。
即问题一相当于根据我们收集的数据进行的数据处理，问题二即我们根据问题一的计算结果以及其他社会因素（经济收益、土壤利用率等）建立的一个评价与决策模型。
对于其他社会因素的选取，也要从我们收集的数据出发。
问题三将模型应用于各种森林。
确定你的决策模型建议将采伐纳入其管理计划的森林。
1、100年后，这片森林及其产品将吸收多少二氧化碳？2、该森林应采用何种森林管理计划？为什么这是最好的方法？3、假设最佳管理计划包括两次收获的间隔时间，比森林中目前的做法长10年。
森林管理模型
鼓励当地社区居民参与森林管理，共同维护森林资源和生态环境。
生态旅游与可持续发展
合理开发森林资源，发展生态旅游，促进当地经济发展和社区福祉。
THANKS
感谢观看
评估森林资源价值
详细描述
通过调查和监测，评估森林资源的经济价值、生态价值 和社会价值，为森林经营和保护提供决策依据。
森林经营规划与设计
总结词
制定经营目标和计划
详细描述
根据森林资源的现状和变化情况，制定合理的经营目标和 计划，包括采伐、植树、防火、病虫害防治等，确保森林 资源的可持续利用。
总结词
优化资源配置
技术创新与智能化管理
无人机与遥感技术
利用无人机进行森林巡护和监测，提高管理效率和精度。
智能化决策支持系统
利用大数据和人工智能技术，建立智能化决策支持系统，为森林管 理提供科学依据。
物联网与传感器技术
通过物联网和传感器技术，实时监测森林环境和资源状况，实现动 态管理。
跨学科合作与政策支持
跨学科研究
环境生态效益评估方法
采用生态系统服务价值评估、环境影响评估等方法，对森林管理模型的环境生 态效益进行量化评估。
社会效益评估
社会文化效益
森林管理模型能够促进社会文化的传 承和发展，如民族文化、乡土知识等。
社会效益评估方法
采用社会调查、参与式评估等方法， 对森林管理模型的社会效益进行评估。
05
森林管理模型的未来发展
04
森林管理模型的效益评估
经济收益评估
经济收益
森林管理模型能够带来显著的经济收 益，包括木材生产、生态旅游、林下 经济等多种收益来源。
经济效益评估方法
采用成本效益分析、投资回报率、净 现值等经济评估方法，对森林管理模 型的经济收益进行量化评估。
数学技术在生态系统建模中的关键技巧分享
数学技术在生态系统建模中的关键技巧分享生态系统是地球上各种生物和环境因素相互作用的复杂网络。
为了更好地了解和预测生态系统的行为，科学家们使用数学技术来建立模型。
这些模型可以帮助我们理解生态系统的动态变化，并为环境管理和保护提供重要的指导。
本文将分享一些在生态系统建模中的关键数学技巧。
1. 线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，它在生态系统建模中起着关键作用。
生态系统中的许多关系可以用线性方程组来表示。
例如，食物链中物种之间的相互作用可以用线性方程组来描述。
通过解这些方程组，我们可以了解不同物种之间的相互作用强度和方向，从而预测生态系统的稳定性和动态变化。
2. 微积分微积分是研究变化和积分的数学分支。
在生态系统建模中，微积分可以帮助我们理解和预测生态系统的变化趋势。
例如，我们可以使用微积分来描述物种数量随时间的变化。
通过计算导数和积分，我们可以得到物种数量的增长率和总量，从而预测生态系统的稳定性和动态变化。
3. 概率论和统计学概率论和统计学是研究随机事件和数据分析的数学分支。
在生态系统建模中，概率论和统计学可以帮助我们处理不确定性和变异性。
例如，我们可以使用概率论来描述物种之间的相互作用的不确定性。
通过统计学方法，我们可以分析野外观测数据，了解物种数量的分布和变异性，从而更好地理解生态系统的结构和功能。
4. 网络理论网络理论是研究复杂网络结构和相互作用的数学分支。
在生态系统建模中，网络理论可以帮助我们理解和分析生物之间的相互作用。
例如，我们可以使用网络理论来构建食物网模型，了解食物链中不同物种之间的关系和能量流动。
通过分析网络的拓扑结构和节点之间的连接强度，我们可以预测生态系统的稳定性和动态变化。
5. 数值模拟和计算方法数值模拟和计算方法在生态系统建模中起着重要作用。
由于生态系统是复杂的、非线性的，解析解往往难以获得。
因此，我们需要使用数值模拟和计算方法来近似求解生态系统模型。
例如，我们可以使用数值方法来求解微分方程，模拟物种数量随时间的变化。
线性代数方法建模5森林管理--数学建模案例分析
§5 森林管理把森林中的树木按高度分为n 类，第一类树木的高度为],0[1h ，它是幼苗。
经济价值01=p ,第k 类)1(n k <≤树木高度为],[1k k h h -,每棵的经济价值为k p ，第n 类的高度为],[1∞-n h ,经济价值为n p 。
记T n t x t x t x t x ))(),(),(()(21 =——第t 年森林中n 类树木的数量。
设每年砍伐一次，只砍伐部分树木，留下的树木和补种的树木的幼苗，经过一年的生长期后，与上一次砍伐前的高度状态相同，也即与初始状态相同。
设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度，k g 是经过一年的生长期后从第k 类长高到第1+k 类的树木比例。
记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--10000100000100001000011132211n n g g g g g g g G——生长矩阵 则有 )()1(t Gx t x =+ （1） 且设森林中的树木的总数为s ,则s t x t x t x n =+++)()()(21 （2）记()Tn y y y y 21=——第n ,,2,1 类树木砍伐的颗数⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000111 R ——种植矩阵 生长期末的状态－收获砍伐量＋补种幼苗＝生长期开始的量，即)()(n x Ry y n Gx =+- （3） 在（2）成立的条件下，满足（3）的解就是维持森林持续收获的可行解，由于幼苗无经济价值，不采伐，取01=y ，由（3）得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-==+++-------111122133223221121121n n n n n n n n n x g y x g x g y x g x g y xg x g y x g y y y （4） 又由于0≥k y ，故有0112211≥≥≥≥--n n x g x g x g （5）所收获的树木价值为()n n n y p y p y p y y y f +++= 332232,,,1112223112)()(----++-+=n n n n x g p p x g p p x g p （6）问题 若只砍伐第k 类而不砍伐其余树木，求所获经济价值k f 。
数学建模森林救火问题
森林救火问题的研究【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:Fire total cost = Units forest area losses×Loss area Every team member the cost per unit of time fighting numberextinguishing time + unit number of one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the total cost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
数学模型在林业上应用
《数学模型在林业上应用》专题作 业 题1.以林分生长模型为例，简述数学模型的建模过程。
答：一、例子：建立巨尾桉人工林林分生长模型，主要是地径与胸径相关数学模型：研究地径与胸径、树高的关系,首先要保证原始数据准确无误,且具有代表性。
为此,在巨尾桉人工林中,采用随机抽样的方法,分别不同径阶和树高抽取135株样木。
每株样木伐倒后,准确量测树干高度、胸径、地径,保留小数1位。
采用2种方法进行研究确定最佳的回归方程:其一是多模型选优法，其二是逐步回归法。
1、多模型选优法根据胸径随地径的增加而上升的关系，选择了11个方程供分析对比:1）bx a y +=；2）bax y =；3）x b a y ln +=；4）bx a y +=ln ； 5）x b a y +=1；6）xb a y +=；7）x a +=y 1；8）x b a +=lny ； 9）2y cx bx a ++=； 10）)(1y 2x c x b a ++=； 11）x c bx a ln lny ++=上述各方程中的y 代表胸径，x 为地径，a 、b 、c 为待定参数，ln 为取自然对数。
除1)号方程为线性外，其余的方程均为非线性方程，经线性处理后用线性回归分析法求解a 、b 、c 参数。
2、逐步回归法逐步回归法是寻找最优方程的一种行之有效的方法，该法的基本思想是:按照因子m X X X ......21、、对因变量Y 作用的大小，由大到小地逐个将因子引入回归方程，对已被引入回归方程中的因子，在新因子引入后有可能因变成对Y 作用不显著而随时从方程中剔除出去，已经被剔除的因子在新变量引入后也可能重新放回。
重复这一过程，直到回归方程中变量均不能剔除，即所有引入方程中的变量均达到了显著水平，同时又不能再引入新变量为止，这时逐步回归就宣告结束，从而获得合乎样本材料规律的最优回归方程。
现综合上述11个方程的相关项目，并增加其他项目，提出逐步回归的3个多项式，通过逐步回归筛选出最优方程。
数据科学中的数学方法
数据科学中的数学方法数据科学是一个涉及大量数据处理和分析的领域，数学方法在数据科学中起着重要的作用。
数学方法的运用使得数据科学家能够更好地理解和利用数据，从而做出准确的预测和决策。
本文将介绍数据科学中常用的数学方法，包括统计学、线性代数、概率论和优化方法等。
1. 统计学统计学是数据科学中最基础和常用的数学方法之一。
统计学通过收集、整理和分析数据，从中提取有用的信息和模式。
常见的统计学方法包括描述统计、推断统计和假设检验。
描述统计用于总结和描述数据的特征，例如平均值、中位数和标准差；推断统计用于从样本数据推断总体特征，并给出相应的置信区间和假设检验结果。
2. 线性代数线性代数是数据科学中另一个重要的数学工具，用于处理多维数据和线性关系。
线性代数涉及向量、矩阵和线性方程组等概念。
在数据科学中，线性代数常用于数据建模和机器学习算法中。
例如，矩阵可以表示多维数据集，并可以进行矩阵运算和线性变换；线性方程组可以用于回归分析和参数估计。
3. 概率论概率论是研究随机现象和不确定性的数学分支，也是数据科学中重要的数学方法之一。
概率论包括概率的定义、概率分布和随机变量等概念。
在数据科学中，概率论常用于描述和建模随机事件和不确定性。
例如，概率分布可以用于描述数据的分布情况，如正态分布和泊松分布；随机变量可以用于建立模型和预测未来事件。
4. 优化方法优化方法是数据科学中的重要数学工具，用于求解最优化问题。
最优化问题涉及寻找最大值或最小值的解。
在数据科学中，最优化常用于机器学习算法和数据建模中。
例如，线性规划可以用于寻找最优的资源分配方案，如生产计划和供应链管理；非线性规划可以用于优化非线性函数的值，如逻辑回归和神经网络的参数优化。
5. 数学建模数学建模是数据科学中将数学方法应用于实际问题的过程。
数学建模涉及问题的抽象、假设的建立和模型的构建。
通过数学建模，数据科学家可以将复杂的实际问题转化为数学问题，并利用数学方法求解。
森林救火数学建模
森林救火模型摘要：当森林失火的时候，我们都会派出消防队员进行救火，但是如何指派才能使火灾造成的损失和救援的开支都最小呢？此时就可以归结到我们经常会用数学语言表示相应的对象，做出合理假设，利用数学运算，找到相应变量间的关系。
关键字：森林救火；模型优化一、问题重述森林失火了，消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那消防站应派出多少队员前去救火呢？二、问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.三、模型假设1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；2、 损失费与森林烧毁面积2Bt 成正比，比例系数为1C ，即烧毁单位面积的损失费为1C ；3、从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度 与时间t 成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即4、派出消防队员x 名，开始救火以后（ ），火势蔓延速度降为 （线性化），其中 可视为每个队员的平均灭火速度，且有 ： 因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；5、 每个消防队员单位时间费用为2C （包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为21t t -，于是每个队员dB dt1,0;dB t t t dtβ=≤≤1t t ≥x βλ-xβλ<λ的救火费用为221()C t t -；每个队员的一次性支出为3C (运送队员、器材等一次性支出).四、符号说明五、建立模型总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B （t 2）与单位面积损失费C 1的积，即C 1B (t 2)；由假设5，救援费为C 2x (t 2-t 1)+C 3x ，因此，总费用为 由假设3，4，火势蔓延速度 在 内线性地增加，t 1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b 表122213()()()C x c B t c x t t c x=+-+dB dt10t t ≤≤示，而后，在内，火势蔓延的速度线性地减少（如下图）即因而有烧毁面积为恰为图中三角形的面积. 由b 的定义有 ，于是12t t t ≤≤1212,0()(),,t t t dB x t t t t t dt βλβ≤≤⎧=⎨--≤≤⎩121,bb t t t x βλβ=-=-22201()2t dBB t dt bt dt ==⎰121()()b t x t t βλβ==--所以其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题：这是一个函数极值问题。
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§5 森林管理
把森林中的树木按高度分为n 类，第一类树木的高度为],0[1h ，它是幼苗。
经济价值01=p ,第k 类)1(n k <≤树木高度为],[1k k h h -,每棵的经济价值为k p ，第n 类的高度为],[1∞-n h ,经济价值为n p 。
记T n t x t x t x t x ))(),(),(()(21 =——第t 年森林中n 类树木的数量。
设每年砍伐一次，只砍伐部分树木，留下的树木和补种的树木的幼苗，经过一年的生长期后，与上一次砍伐前的高度状态相同，也即与初始状态相同。
设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度，k g 是经过一年的生长期后从第k 类长高到第1+k 类的树木比例。
记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
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--10000100000100001000011
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1
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——生长矩阵 则有 )()1(t Gx t x =+ （1） 且设森林中的树木的总数为s ,则
s t x t x t x n =+++)()()(21 （2）
记()T
n y y y y 21
=——第n ,,2,1 类树木砍伐的颗数
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=000000111 R ——种植矩阵 生长期末的状态－收获砍伐量＋补种幼苗＝生长期开始的量，即
)()(n x Ry y n Gx =+- （3） 在（2）成立的条件下，满足（3）的解就是维持森林持续收获的可行解，由于幼苗无经济价值，不采伐，取01=y ，由（3）得
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=-=-=-==+++-------1
1112213
322322112
1121n n n n n n n n n x g y x g x g y x g x g y x
g x g y x g y y y （4） 又由于0≥k y ，故有
0112211≥≥≥≥--n n x g x g x g （5）
所收获的树木价值为
()n n n y p y p y p y y y f +++= 332232,,,
1112223112)()(----++-+=n n n n x g p p x g p p x g p （6）
问题 若只砍伐第k 类而不砍伐其余树木，求所获经济价值k f 。
由（4），则有01====+n k k x x x , 且
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧====------1
12
211112211k k k k k k k k x g y x
g x g x g x g x g y
（7） 由（7）得 11
1113131212,,,x g g
x x g g x x g g x k k --===
, （8）
将（8）代入（2），得1
1
312111-++++=
k g g
g g g g s
x （9）
最后得 ()k k k k y p y f f ==0,,0,,,0,0
1
211
11-+++=
k k g g g s
p （10）。