广义根轨迹(第三节)
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广义根轨迹
arctan
p1 p1
arctan
p2
180
arctan
arctan
180 arctan
p2
对上式两边同时取正切
z p1 p2 1 z p1
整理得
2
2 2 z 2 p1 p2 zp1 zp2
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
0 1 2 1 3
渐近线与实轴正方向的夹角为
2k a 0,120 ,120 nm
根轨迹的分离点
d D( s) d 3 [ s 3s 2 2 s ] 3s 2 6 s 2 0 ds N ( s ) ds
m
(s p )
i i 1
j 1 n
1
180°根轨迹
若系统的等效根轨迹方程为
aQ( s ) P( s)
a ( s z j )
m
(s p )
i i 1
j 1 n
1
0°根轨迹
绘制参量根轨迹的步骤： （1）列出原方程的闭环特征方程； （2）以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到系统的等效根轨迹方 程。该方程中原系统的参变量即为等效系统的根轨迹增益； （3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。
根轨迹与虚轴的交点：系统的特征方程为 4s 3 4s 2 s a 0
s3 s2 s1 s0
4 4 4 4a 4 a
1 a
令 s 行的第一个系数为零，可解得系 统临界等效根轨迹增益为 a 1。 由 s 行得到辅助方程 4s a 0
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
自控理论 5-3广义根轨迹
ds (4)与虚轴交点 K1 0.2 时, s1 0 ;
(3) 分离点 令 dK1 0 解 得 分 离 点s －0.41
根轨迹图
z1 ( z1 z 2 ) ( z1 p1 ) ( z1 p2 ) 199
(5) 入射角
K1 0.75 时, s2, 3 j1.25
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
图5-11 s2(s+1)+K1=0的根轨迹
图5-12 根轨迹族
由图可见, a=0时系统不稳定。当a 增大至一定数 值时，系统变为稳定。a的临界值可用劳斯判据确 定。系统稳定的临界条件为 K1= a(a+1)
图5-10 例5-8的参量根轨迹
有时在同一问题中，黄金法则不只应用一次。 对于具有两个可变参数的情况, 此法则同样适用， 此时所得到的是根轨迹族。
例5-9 已知系统的开环传递函数 K1 G( s ) H ( s ) s( s 1)(s a )
要求以开环极点a 为连续可变参数，以K1为 参变量绘制该系统的根轨迹族。 解 特征方程
as( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 1) K 1
为了绘出a = 0 ~ ∞的根轨迹，必须确定G*(s)H*(s) 的极点,即方程式 s2(s+1)+K1=0 的根（确切地说是根 轨迹,因为K1为变量）。 再一次应用黄金法则 得另一等效开环传函
K1 1 2 0 s ( s 1)
k1=0.75
(3) 分离点 令 dK1 0 解 得 分 离 点s －0.41
根轨迹图
z1 ( z1 z 2 ) ( z1 p1 ) ( z1 p2 ) 199
(5) 入射角
K1 0.75 时, s2, 3 j1.25
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
图5-11 s2(s+1)+K1=0的根轨迹
图5-12 根轨迹族
由图可见, a=0时系统不稳定。当a 增大至一定数 值时，系统变为稳定。a的临界值可用劳斯判据确 定。系统稳定的临界条件为 K1= a(a+1)
图5-10 例5-8的参量根轨迹
有时在同一问题中，黄金法则不只应用一次。 对于具有两个可变参数的情况, 此法则同样适用， 此时所得到的是根轨迹族。
例5-9 已知系统的开环传递函数 K1 G( s ) H ( s ) s( s 1)(s a )
要求以开环极点a 为连续可变参数，以K1为 参变量绘制该系统的根轨迹族。 解 特征方程
as( s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 1) K 1
为了绘出a = 0 ~ ∞的根轨迹，必须确定G*(s)H*(s) 的极点,即方程式 s2(s+1)+K1=0 的根（确切地说是根 轨迹,因为K1为变量）。 再一次应用黄金法则 得另一等效开环传函
K1 1 2 0 s ( s 1)
k1=0.75
4-3 第四章 根轨迹-3(2)
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点
★ 法则 6 出射角/入射角
m 1 1 d p j 1 d z i 1 i j
法则 7 与虚轴交点 法则 8 根之和
n
m n (s z ) (s p ) 2k j i j1 i1
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
自动控制原理
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
ReD( j ) ImD( j ) 0
i 1
i
C
( nm 2 )
自动控制原理
2. 零度根轨迹（1）
例3 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) (1) 180º根轨迹
K K * 27 v0
K * ( s 1) 解. G( s ) ( s 3) 3
(2) 绘制 0º根轨迹 ① 实轴轨迹：[-∞,-3], [-1,-∞] ② 出射角：180 3 2k
③ 分离点：
3 1 d 3 d 1
( 2k 1) 60, 180 3
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点
★ 法则 6 出射角/入射角
m 1 1 d p j 1 d z i 1 i j
法则 7 与虚轴交点 法则 8 根之和
n
m n (s z ) (s p ) 2k j i j1 i1
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
自动控制原理
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
ReD( j ) ImD( j ) 0
i 1
i
C
( nm 2 )
自动控制原理
2. 零度根轨迹（1）
例3 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) (1) 180º根轨迹
K K * 27 v0
K * ( s 1) 解. G( s ) ( s 3) 3
(2) 绘制 0º根轨迹 ① 实轴轨迹：[-∞,-3], [-1,-∞] ② 出射角：180 3 2k
③ 分离点：
3 1 d 3 d 1
( 2k 1) 60, 180 3
广义根轨迹
K GH
* 1
( SZ
2
1
)
2
10 ( S Z S (S
2
1
)
1
S (S
2 S 2 )
2 S 2 )
10 ( S Z 1 ) S ( S 10 Z 1 S ( S
10 Z 1 S(S
2
2 S 2 )
2
2 S 2 ) 10 S
1
2 S 2 ) 10 S
K
1
aS
S ( S 2 )
1
0
K K
1
aS
S ( S 2 )
1
等效传递函数零点
Z
1
0
P
1 .2
2
4 4 K 2 1 K 1 j 10
1
1 1 3 分离点 : d
二 零度根轨迹
常规根轨迹，满足 GH 1 零度根轨迹：满足GH=1
GH 1 GH 2 K 0
1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
2）阻尼系数太大太小都不合适，60o扇形区意味 着阻尼系数不小于cos60°=0.5，一般认为最佳阻 尼系数是0.707。 3）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。 稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因 为数学模型的参数不会绝对准确——也就是说实际 的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不 是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很 远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建 模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不 ‘主导’，设计的根基就动摇了。
* 1
( SZ
2
1
)
2
10 ( S Z S (S
2
1
)
1
S (S
2 S 2 )
2 S 2 )
10 ( S Z 1 ) S ( S 10 Z 1 S ( S
10 Z 1 S(S
2
2 S 2 )
2
2 S 2 ) 10 S
1
2 S 2 ) 10 S
K
1
aS
S ( S 2 )
1
0
K K
1
aS
S ( S 2 )
1
等效传递函数零点
Z
1
0
P
1 .2
2
4 4 K 2 1 K 1 j 10
1
1 1 3 分离点 : d
二 零度根轨迹
常规根轨迹，满足 GH 1 零度根轨迹：满足GH=1
GH 1 GH 2 K 0
1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
2）阻尼系数太大太小都不合适，60o扇形区意味 着阻尼系数不小于cos60°=0.5，一般认为最佳阻 尼系数是0.707。 3）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。 稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定，因 为数学模型的参数不会绝对准确——也就是说实际 的主导极点位置与理论分析的位置有偏差。但也不 是越远越好，因为系统总存在建模误差，离虚轴很 远的极点对应很小的时间常数，如果主导极点与建 模时忽略的小时间常数相当，那么主导极点就不 ‘主导’，设计的根基就动摇了。
4-3 广义根轨迹
5(1 Ta s) II ( s) s(1 5s) 5(1 Ta s) 5 III ( s ) s(1 5s) 5(1 Ta s)
系统Ⅱ和系统Ⅲ 闭环特征方程为：
s(1 5s) 5(1 Ta s) 0 s 0 即：1 Ta 2 s 0.2s 1
G(s) H (s) 2k
(k 0,1, 2,)
正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；
负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反
馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨
迹又称为零度根轨迹。
由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时， 须对绘制负反馈系统根轨迹的基本规则中与相角条件有 关的三条规则作相应修改，这些规则是： ⑴正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹
4.3.4 附加开环极点的作用
例6：已知系统开环传函，绘制其根轨迹：
K (1) Gk (s) s( s 2)
K (2) Gk ( s) s(s 3)(s 2)
K K (4) Gk ( s) (3) Gk ( s) s( s 0.5)(s 2) s( s 1)( s 2)
K ( s 1.5) (2) Gk ( s) s( s 1)( s 2) K ( s 0.3) (4) Gk ( s) s( s 1)( s 2) K ( s 1.9) (6) Gk ( s) s( s 1)( s 2)
K (1) Gk ( s) s(s 1)(s 2)
各系统的单位阶跃响应曲线如图 所示： （1）对系统Ⅱ，由于微分控制， 使系统具有良好的时间响应特性， 上升时间比较短，系统快速性好。 （2）对于系统Ⅲ，由于速度反馈 加强了反馈作用，因此具有较小 的超调量。
系统Ⅱ和系统Ⅲ 闭环特征方程为：
s(1 5s) 5(1 Ta s) 0 s 0 即：1 Ta 2 s 0.2s 1
G(s) H (s) 2k
(k 0,1, 2,)
正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；
负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反
馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨
迹又称为零度根轨迹。
由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时， 须对绘制负反馈系统根轨迹的基本规则中与相角条件有 关的三条规则作相应修改，这些规则是： ⑴正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹
4.3.4 附加开环极点的作用
例6：已知系统开环传函，绘制其根轨迹：
K (1) Gk (s) s( s 2)
K (2) Gk ( s) s(s 3)(s 2)
K K (4) Gk ( s) (3) Gk ( s) s( s 0.5)(s 2) s( s 1)( s 2)
K ( s 1.5) (2) Gk ( s) s( s 1)( s 2) K ( s 0.3) (4) Gk ( s) s( s 1)( s 2) K ( s 1.9) (6) Gk ( s) s( s 1)( s 2)
K (1) Gk ( s) s(s 1)(s 2)
各系统的单位阶跃响应曲线如图 所示： （1）对系统Ⅱ，由于微分控制， 使系统具有良好的时间响应特性， 上升时间比较短，系统快速性好。 （2）对于系统Ⅲ，由于速度反馈 加强了反馈作用，因此具有较小 的超调量。
§4.3 广义根轨迹
i =1
j =1
m
n
∑ϕi − ∑θ j = 2kπ （ k = 0,±1,±2,L）
i =1
j =1
（4-23）
0o 根轨迹的幅值条件与180o 根轨迹的幅值条件一致，而二者相角条件不同。因此，绘 制180o 根轨迹法则中与相角条件无关的法则可直接用来绘制 0o 根轨迹，而与相角条件有关
的法则 3、法则 4、法则 7 需要相应修改。修改后的法则为： 法则 3* 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和
⑴ 当 0 < a ≤ 2 27 时，闭环极点落在实轴上，系统阶
跃响应为单调过程。
⑵ 当 2 27 < a < 1 时，离虚轴近的一对复数闭环极点
逐渐向虚轴靠近，系统阶跃响应为振荡收敛过程。
⑶ 当 a > 1 时，有闭环极点落在右半 s 平面，系统不稳定，阶跃响应振荡发散。
133
从原系统开环传递函数可见： s = −a 是系统的一个闭环零点，其位置是变化的；计算
系统根轨迹如图 4-15(a)所示。
当 −∞ < K * ≤ 0 时，应该画 0° 根轨迹。
(1) 实轴上的根轨迹 [-3, -1] [0, ∞）；
(2) 分离点
d = −1.35 。
系统根轨迹如图 4-15(b)所示。
>>图 4-15(b)的计算程序 zero=[-1 -3]; pole=[0 0 0]; g=zpk(zero, pole,-1);rlocus(g);
系统性能必须考虑其影响。
4.3.2 零度根轨迹
在负反馈条件下根轨迹方程为 G(s)H (s) = −1，相角条件为 ∠G(s)H (s) = (2k + 1)π ，
第四章 4_3 广义根轨迹
dz
j 1
1
j
dp
i 1
m
1
i
分离角等于 ( 2 k 1) / l
起始角: p
6
根轨迹的起始角和终 止角
i
2 k ( z j pi
j 1
j 1 ( ji)
n
n
p j pi
)
终止角: z
i
2 k ( z j pi p j pi )
能源与动力学院
第四章 线性系统的根轨迹法
26
1 闭环零极点与时间响应…
偶极子：相距很近的闭环零、极点，即闭环零、极
点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级 例：闭环传递函数 假 设
h( t ) 1
(s a ) 2a (s) 2 a ( s a )( s 2 s 2 )
2. 控制系统中包含有正反馈的内回路.
m
根轨迹方程: K
(s z j )
j 1 n
1
( s pi )
i 1
相角条件:
m
(s z j )
n
j 1
i 1 m
i 1
n
( s pi )
2k
k 0， 1， 2，
模值条件: K *
s pi s zj
0
0
能源与动力学院
第四章 线性系统的根轨迹法
5
能源与动力学院
第四章 线性系统的根轨迹法
6
4-3
广义根轨迹
常规根轨迹: 负反馈系统中K*变化时的根轨迹
广义根轨迹: 参数根轨迹
开环零点个数多于开环极点个数时的根轨迹 零度根轨迹
自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
解：1）τ>T
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
广义根轨迹
m s zj K * j 1 1 n s pi i 1 n m ( s z j ) ( s pi ) 0 2k i 1 j 1
所以，绘制零度根轨迹时相对常规根轨迹应调整的法则有： 法则3. 根轨迹的渐近线与实轴的交角：
深圳大学
注意：这里“等效”的含义仅为闭环极点相同。 由于闭环零点对系统动态性能有影响，所以由闭环零、 极点分布来分析和估算系统性能时，可以采用参数根 轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。
深圳大学
例1： 已知单位反馈系统的开环传递函数，利用根轨 迹法分析参数Ta 对系统性能的影响。
5(Ta s 1) G( s) H ( s) 2 s (5s 1)
180°根轨迹
在我们绘制根轨迹时，开环传函的分子、分母形式一 般为s-z、s-p,但有些系统虽然是负反馈结构，其在开环传 函的分子或分母中s的最高次幂是负的话，那么就具有正 深圳大学 反馈的性质，如：
序号 K 1 2
负反馈
正反馈 0°根轨迹 180°根轨迹
0<=k<正无穷 180°根轨迹 负无穷<k<=0 0°根轨迹
K g (s 2) G(s) s 2 2s 2 T(s) K g (s 2) s 2 2s 2 K (s 2) 1 G(s) g 1 2 s 2s 2 K g (s 2)
s 2 2s 2 K g (s 2) 0
深圳大学
即
s 2s 2 编写matlab程序 num=[-1,-2]; den=[1,2,2]; rlocus(num,den)； 得到如右图的 零度根轨迹。 （与常规根轨迹 区别是，分子为 负号）
2
广义根轨迹
( K r 0) P2 ( K r 0)
d1
-1
0
1
P4
P4 ( K r 0) Kr
图4-17 非最小相位系统的根轨迹
22
若某负反馈系统的开环传递函数为
K (1 s) G( s) H ( s) s(1 Ts)
( 0, T 0)
系统的特征方程为 K (1 s) K (s 1) 1 G( s) H ( s) 1 1 0 s(1 Ts) s(Ts 1)
值，而 d1 0.42 不在实轴的根轨迹上，应舍去。由 此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分离点时， 应考虑规则三变化的影响。
14
本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始角和 终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例的根轨 迹如图4-16所示。由图4-16可看出，三条根轨迹中， 有一条从起点到终点全部位于S平面右半部，这就意 味着无论 为何值，系统都存在S平面右半部的闭 Kr 环极点，该正反馈系统总是不稳定的。而有相同开 环传递函数的负反馈系统(例4-7，图4-1l)，它的临 界根轨迹增益 ，即当 K rc 6 的，当 K r时系统是稳定的。 6
与绘制普通根轨迹的开环传递函数G(S)H(S)具有相同的 形式，即
8
G(s)H(s)
m (s z ) Kr j
j1 i 1
(s pi )
n
（4-37）
（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）
其中 K为除开环根轨迹增益 K r以外的任何参数，它是绘 r
制参数根轨迹的可变参数。 ⑵ 根据绘制普通根轨迹的七条基本规则和等效开环 传递函数 G(s)H(s) 绘制出系统的参数根轨迹。
9
4-3 4广义根轨迹系统性能分析
5、实数零极点的影响。零点减小系统阻尼，使峰值
时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，超调减 小。它们的作用随着接近坐标原点的程度而加强。
6、偶极子及其处理。若零极点之间的距离比它们本
身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远 离原点的偶极子，影响忽略；接近原点的其影响必须 考虑。 7、主导极点。比主导极点的实部大3—6倍以上的其 它闭环零极点的影响均可以忽略。
2019/2/4 4-3广义根轨迹 2
设系统根轨迹方程为 G(s)H(s)=-1
经整理变换为 K'P(s) Q(s) =-1
据上式按照前述绘制根轨迹的规则 即可绘制参量根轨迹图
2019/2/4
4-3广义根轨迹
3
二、增加开环零极点对系统性能 的影响
闭环特征根应该位于s 左半平面，而且离 虚轴要有一定的距离，才能满足系统的稳定性 和快速性要求。增加开环零、极点必将改变根 轨迹的形状和走向，即改变系统的性能。
2
s1
ωn
ω n 1ζ
j ω
2
β ω d2 ( ω n)2+ |s1|=|s2|= ζ ζω n 0 σ =ω n ω ζ ω n 1ζ cos β = ω nn = cos s β ζ = ζ 2 1 复数极点的参数与系统性能的关系为
2
e σ %= e ) ω d t+ β c(t)=12 sin( 3 1ζ ts =ζ ω n
4-3
广义根轨迹
常规根轨迹 根轨迹
广义根轨迹
参量根轨迹
增加开环零极点对系统性能的影响
2019/2/4
4-3广义根轨迹
1
一、参量根轨迹
1、定义 有时也需要了解反馈系数、时间 常数等其它参量对系统性能的影响，这时就 使开环增益K为确定数， 绘制出系统的其它 某个参量变化时的根轨迹，称为参量根轨迹。
广义根轨迹和零度根轨迹
广义根轨迹和零度根轨迹4-3 广义根轨迹和零度根轨迹* 在负反馈系统中，除根轨迹增益K以外，系统其它参数变化时的根轨迹称广义根轨迹。
*与此相应，把负反馈系统中K变化时的根轨迹称为常规根轨迹。
此外，从更广泛的含义来说，也可以把零度根轨迹列入广义根轨迹的范畴。
零度根轨迹既可源于正反馈系统，又可源于负反馈系统。
广义根轨迹如果引入等效传递函数的概念，则广义根轨迹的绘制和常规根轨迹相同。
下面举例说明【4-5】已知图4-12(a)所示的测速反馈控制系统，试做出测速反馈系数T由零变化到无穷时a的系统根轨迹。
系统开环传递函数5(Ts，1)a G(s), s(5s，1)*解参数KT并非是系统根轨迹增益，前述有关变化时的根轨迹法则不能直接使用，须将a系统开环传递函数作适当的变换。
系统闭环特征方程DsssTs（）,，，，,(51)5(1)0a对上式整理如下2 5550ssTs，，，,a根据上式可以构成等效系统如图4-12(b)所示。
等效系统的开环传递函数为5TsaG(s), 等效25s，s，5所谓等效是指图4-12（b）系统与原系统图4-12(a)的闭环特征方程相同。
将等效传递函数G(s)写成零、极点形式等效TsaG(s), 等效(s，0.1，j0.99)(s，0.1,j0.99)这样，式中T就相当于等效系统的根轨迹增益。
因此，其根轨迹可以根据绘制常规根a轨迹的基本法则绘制。
T0~,由变化时的根轨迹：等效开环传递函a数G(s)有两个复数极点等效pjpj,,，,,,0.10.990.10.9912和一个零点。
z,01根轨迹图如图4-13所示，即表示了原系统T由a0~,变化时的根轨迹。
值得指出的是，等效开环传递函数的零点，不是原系统的闭环零点。
由图4-12(a)系统z,01可知，原系统无闭环零点。
这样，就可用原系统的闭环极点分布情况（由图4-13确定）来分析系统的动态性能。
当T很小时，闭环的一对共轭复数极点离虚轴很近，这是由于系统测速反馈信号很弱，a阻尼比很小，使系统响应振荡强烈。
西工大、西交大自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹法_03_广义根轨迹
三 节
[例3]
将 s j 代入上式，并整理得：
广 义 根
[(6 2K * ) 5 2 ] j[(8 K * ) 3 ] 0
有：
(6 2K * ) 5 2 0
轨 迹
(8
K * )
3
0
联立解之得：
K
* L
3
0
K
* L
34 3
8 34 3
因根号小于 零，所以此 解不合理， 应舍去。
Q(s)
当参量
T
GK ( 由0
s) ~
G(s)H(s) (Ts 1)
变化时，系统的开环极点
p
1 T
也要变化，对应的系统根轨迹就是参量根轨迹。
参量根轨迹
第 三 节 因原系统的闭环特征(s) 1 G(s)H(s) Ts 1 Q(s) 0
所以等效系统的等效开环传递函数为： Ts
实轴上的根轨迹： ~ 3， 2 ~
渐近线： n m 3 1 2
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
31
j 1 2
j (2)
3 2
第 零度根轨迹
三 节
[例3]
广
a
2k
nm
2k
2
k
义 根 轨
k 0 时，a 0 ； k 1时，a 180
这说明两条渐近线均在实轴上，一条在实轴正方向，
取
0，K
* L
3(K L
广 在负反馈控制系统中，除开环根轨迹增益(或开环增益)以 义 外，系统其它参量变化时的根轨迹，称为参量根轨迹。 根 轨 迹 参量根轨迹的绘制
如果从具有相同闭环特征方程式(或具有相同闭环极点)的
自动控制_04e广义根轨迹
例1 已知多回路控制系统的结构如图4-13所示，试绘制系 统局部闭环参数 以及放大器放大系数K变化时的根轨迹。
图4-13 多回路控制系统
解 系统局部闭环传递函数为
1
(s)
(s 1
1)(s
2)
1
(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)
则全系统的开环传递函数为
G(s) K(s) 1
这样，用基本规则就可绘出根轨迹如下图（b） 所示。这个根轨迹图明确表示了图a系统中T对闭环
节点的影响。
开环零点为参量的根轨迹图
*开环极点为参量的根轨迹 有时控制系统需增加开环极点（如滤波器），下图
（a）所示系统就是一个例子。其中参数T到底选多大？可 以借助根轨迹来确定。该系统的闭环特征方程为：
s(s 1)(Ts 1) K s(s 1) K Ts2(s 1) 0
j 1
i 1
K 0,1,2,
（4-38）
由上可知，正反馈系统的相角条件是180°的偶数倍。所 以通常负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨 迹，而正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹。
将公式4-37、4-38与常规根轨迹的相应公式进行比较可 知，它们的模值条件相同，仅相角条件有所改变。因此常 规根轨迹的绘制方法稍做变动即可用于绘制零度根轨迹。
K
s s[(s 1)(s 2) ]
（1）绘制内环的根轨迹
令 (s 1)(s 2) 0
1
0 G'(s)
(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)
可见等效开环传递函数仅有2个极点分别为p1 1，p2 2
当 从0变至 时局部反馈子系统的根轨迹如下页图所示
当 2.5 时，内环的两个闭环极点分别为
图4-13 多回路控制系统
解 系统局部闭环传递函数为
1
(s)
(s 1
1)(s
2)
1
(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)
则全系统的开环传递函数为
G(s) K(s) 1
这样，用基本规则就可绘出根轨迹如下图（b） 所示。这个根轨迹图明确表示了图a系统中T对闭环
节点的影响。
开环零点为参量的根轨迹图
*开环极点为参量的根轨迹 有时控制系统需增加开环极点（如滤波器），下图
（a）所示系统就是一个例子。其中参数T到底选多大？可 以借助根轨迹来确定。该系统的闭环特征方程为：
s(s 1)(Ts 1) K s(s 1) K Ts2(s 1) 0
j 1
i 1
K 0,1,2,
（4-38）
由上可知，正反馈系统的相角条件是180°的偶数倍。所 以通常负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨 迹，而正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹。
将公式4-37、4-38与常规根轨迹的相应公式进行比较可 知，它们的模值条件相同，仅相角条件有所改变。因此常 规根轨迹的绘制方法稍做变动即可用于绘制零度根轨迹。
K
s s[(s 1)(s 2) ]
（1）绘制内环的根轨迹
令 (s 1)(s 2) 0
1
0 G'(s)
(s 1)(s 2)
(s 1)(s 2)
可见等效开环传递函数仅有2个极点分别为p1 1，p2 2
当 从0变至 时局部反馈子系统的根轨迹如下页图所示
当 2.5 时，内环的两个闭环极点分别为
3第三节广义根轨迹
j 1 j i 1 n i
m
则正负反馈的根轨迹方程分别为：
(s z )
Kg
m
(s p
j 1
i 1 n
i
1
(s z )
Kg
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
i
1
j
)
可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的Kg从0→－∞时 的根轨迹。 所以，若将正负反馈系统的根轨迹合并，可得－∞<Kg<∞时 的整个区间的根轨迹，称为全根轨迹。
(s z ) (s p
i 1 n i j
m
1 完全相同。
)
j 1 s p 2 s 4 相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。
参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→∞时的根轨迹如下： 3 根轨迹有两支，起点为±2j，终点 2 一为0零点，另一为无穷远零点。 1 实轴上根轨迹为负实轴； 0 出射角： 1 ( ) ( j 2极点) -1 2 2 2 [( )] ( j 2极点) -2 （ 2 2 -3
-5 -4 -3
1 0 -1 -2 -3 -4 -5
-2
-1
2c ( tg 1
3c 178.86
1.292 1.292 ) tg 1 90 178 .86 0.3 5.1
注意此时根轨迹上的点仅与闭环极点有关，对 本题而言有开环零点，而无闭环零点。 9.5 ( s) s( s 1)(s 5) 9.5(1 s )
所有开环极点到该零点的矢量幅角） （
与虚轴的交点：同常规根轨迹； 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。
m
则正负反馈的根轨迹方程分别为：
(s z )
Kg
m
(s p
j 1
i 1 n
i
1
(s z )
Kg
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
i
1
j
)
可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的Kg从0→－∞时 的根轨迹。 所以，若将正负反馈系统的根轨迹合并，可得－∞<Kg<∞时 的整个区间的根轨迹，称为全根轨迹。
(s z ) (s p
i 1 n i j
m
1 完全相同。
)
j 1 s p 2 s 4 相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。
参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→∞时的根轨迹如下： 3 根轨迹有两支，起点为±2j，终点 2 一为0零点，另一为无穷远零点。 1 实轴上根轨迹为负实轴； 0 出射角： 1 ( ) ( j 2极点) -1 2 2 2 [( )] ( j 2极点) -2 （ 2 2 -3
-5 -4 -3
1 0 -1 -2 -3 -4 -5
-2
-1
2c ( tg 1
3c 178.86
1.292 1.292 ) tg 1 90 178 .86 0.3 5.1
注意此时根轨迹上的点仅与闭环极点有关，对 本题而言有开环零点，而无闭环零点。 9.5 ( s) s( s 1)(s 5) 9.5(1 s )
所有开环极点到该零点的矢量幅角） （
与虚轴的交点：同常规根轨迹； 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。
4-3 广义根轨迹
3s 2 + 12 s + 5 = 0 s1 ≈ 0.45(舍去） s 2 ≈ 3 .5
-5 -3.5
-2
-1
0
14
例4.3.3 某正反馈回路系统的传递函数分别为
G ( s) = K * ( s + 2) ( s + 3)( s + 2 s + 2)
2
,
H (s) = 1
试绘制该回路的根轨迹图。 试绘制该回路的根轨迹图。 （1）系统的开环零极点分布为 ）
1 G(s)H(s) = 0
8
所以， 所以，零度根轨迹的根轨迹方程为 根轨迹方程: 根轨迹方程 相角条件： 相角条件：
m n j =1 j i=1
K
* j =1 n i=1
∏(s z )
j i
m
∏(s p )
i
=1
∑∠(s z ) ∑∠(s p ) = 2kπ,
模值条件： 模值条件：
K* =
z1 = 2 , p1 = 1 + j , p 2 = 1 j , p 3 = 3
有三条根轨迹分支 实轴上的根轨迹 (-∝，-3]， [-2，∝)。 ∝ ， ， 。
15
（2）根轨迹的渐近线 (nm)=2 条，渐近线夹角
2k × 180 o a = = 0 o ,180 o 3 1
（3）确定出射角
4
【例4.3.1】求τ:0→∞时系 】 时系 统的根轨迹
R(s)
5 s(5s +1)
C(s)
解：系统开环传递函数为 5(1+τs)
GK (s) = s(5s +1)
1+τ s
闭环特征方程为 5(1+τ s) 1+ =0 s(5s +1)
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解. (1) D( s ) s 3 s 2
( s a ) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? s 2 ( s 1)
注明：系统为单位负反馈控制系统
1 1 s a 0 4 4
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
G* ( s) 构造 “ 等效开环传递函数 ”
题具体要求绘制零度轨迹 如：已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是
自动控制原理
本次课程作业
P151 4.6(4) 4.10(b) 4.12
（2）将特征方程的含参数的项独立出来，放置在分母部分， 对应构造等效的开环传递函数
（3）对新构造的的开环传函，绘制根轨迹，即为原系统的 参数根轨迹。
练习 给定控制系统的开环传递函数为
sa G( s ) s(2 s a )
试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环
系统稳定。
若系统为
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相Байду номын сангаас条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
sa G( s ) s(2 s a )
则又该如何绘制根轨迹
零度根轨迹
K ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
*
K
*
(s z )
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
F( s )
① 实轴根轨迹：[-∞,0] ② 渐近线： ③ 分离点： 整理得： ④
a 1 3
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
对零度根轨迹的几点说明： （1） 180度根轨迹和0度根轨迹构成连续的图形 （2）何时要绘制零度根轨迹
广义根轨迹
分析在正反馈条件下或除系统的根轨迹增益外的其他参数变化 对系统的影响绘制的根轨迹（参数根轨迹和零度根轨迹）称为广义 根轨迹。
参数根轨迹 — 除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
零度根轨迹—在正反馈条件下或等效正反馈条件下，绘制的根 轨迹
参数根轨迹
例1 系统开环传递函数 G( s )
★ 法则 3 实轴上的根轨迹：若区域的右边开环实数零、极点个数为 偶数，则该区域为根轨迹。
法则 4 根之和
★ 法则 5 渐近线
2k a nm
法则 6 分离点 法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角/入射角
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
例3 若系统为
sa G( s ) s(2 s a )
则又该如何绘制根轨迹
例4 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。
K ( s 1) K ( s 1) s 2 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j )
180度根轨迹和0度根轨迹构成连 续的图形
1
G( s ) G( s ) H ( s )
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
解.
G( s)
(1) 180º 根轨迹
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角：
(2) 0º 根轨迹
[-1, ∞]
90 [ 90] 180 90 [ 90] 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d i j d 2d 2 d 1
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
a4 G ( s) s( s 0.5) 2
*
1 (s a) 4 G( s ) 2 s ( s 1)
a 2 27
1 2 (s ) 4 27 s 2 ( s 1)
1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
练习
绘制广义根轨迹的步骤总结 （1）写出原系统的特征方程
( s a ) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? s 2 ( s 1)
注明：系统为单位负反馈控制系统
1 1 s a 0 4 4
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
G* ( s) 构造 “ 等效开环传递函数 ”
题具体要求绘制零度轨迹 如：已知下列负反馈系统的开环传递函数，应画零度根轨迹的是
自动控制原理
本次课程作业
P151 4.6(4) 4.10(b) 4.12
（2）将特征方程的含参数的项独立出来，放置在分母部分， 对应构造等效的开环传递函数
（3）对新构造的的开环传函，绘制根轨迹，即为原系统的 参数根轨迹。
练习 给定控制系统的开环传递函数为
sa G( s ) s(2 s a )
试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环
系统稳定。
若系统为
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相Байду номын сангаас条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度根轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
sa G( s ) s(2 s a )
则又该如何绘制根轨迹
零度根轨迹
K ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
*
K
*
(s z )
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
F( s )
① 实轴根轨迹：[-∞,0] ② 渐近线： ③ 分离点： 整理得： ④
a 1 3
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
对零度根轨迹的几点说明： （1） 180度根轨迹和0度根轨迹构成连续的图形 （2）何时要绘制零度根轨迹
广义根轨迹
分析在正反馈条件下或除系统的根轨迹增益外的其他参数变化 对系统的影响绘制的根轨迹（参数根轨迹和零度根轨迹）称为广义 根轨迹。
参数根轨迹 — 除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
零度根轨迹—在正反馈条件下或等效正反馈条件下，绘制的根 轨迹
参数根轨迹
例1 系统开环传递函数 G( s )
★ 法则 3 实轴上的根轨迹：若区域的右边开环实数零、极点个数为 偶数，则该区域为根轨迹。
法则 4 根之和
★ 法则 5 渐近线
2k a nm
法则 6 分离点 法则 7 与虚轴交点
★ 法则 8 出射角/入射角
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
例3 若系统为
sa G( s ) s(2 s a )
则又该如何绘制根轨迹
例4 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。
K ( s 1) K ( s 1) s 2 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j )
180度根轨迹和0度根轨迹构成连 续的图形
1
G( s ) G( s ) H ( s )
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
解.
G( s)
(1) 180º 根轨迹
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角：
(2) 0º 根轨迹
[-1, ∞]
90 [ 90] 180 90 [ 90] 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d i j d 2d 2 d 1
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
a4 G ( s) s( s 0.5) 2
*
1 (s a) 4 G( s ) 2 s ( s 1)
a 2 27
1 2 (s ) 4 27 s 2 ( s 1)
1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
练习
绘制广义根轨迹的步骤总结 （1）写出原系统的特征方程