21.4第二十一章《一元二次方程》复习课复习题21
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程知识点及经典练习题学案
【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为： x（x﹣1）=21．
3.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（ ）
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
最后求出x1，x2
1）x2- = -
解：将方程化成一般形式
x2- + =0
a=1, b= - ，c=
b2-4ac=(- )2-4×1× =0
解：A、是分式方程，故A错误；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
方法总结：题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
1.判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
1.方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.3、2、5B.2、3、5C.2、﹣3、﹣5D.﹣2、3、5
【答案】C
【解析】
分析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
详解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.
2021年九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点复习(答案解析)(1)
一、选择题1．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=2．27742322x -±+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=3．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ）A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x += 4．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．7或10C ．10或11D ．115．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．3m C ．3m <且2m ≠D ．3m 且2m ≠ 6．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 7．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ） A ．2(2)3x += B ．2 (x+2)11= C ．2 (2)3?x -= D ．2()211x -= 8．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2a-2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2 9．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=10．方程(2)2x x x -=-的解是（ ）A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1- 11．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17 12．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A ．(1)81x x x ++=B ．2181x x ++=C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x +=13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（ ）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长 D ．线段DF 的长14．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12- 15．如果2是方程x²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为( )A ．2B ．1C ．−1D ．−2二、填空题16．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________则方程可化为（_______）2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．17．写出有一个根为1的一元二次方程是______．18．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．19．已知方程22610x x -+=的两根为12,x x ，则2212x x +=_______．20．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．21．三角形两边长分别为3和5，第三边满足方程x 2-6x+8=0，则这个三角形的形状是__________．22．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________．23．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________24．当m =___________时，方程(2150m m x mx --+=是一元二次方程． 25．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________． 26．若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______． 三、解答题27．某精准扶贫办对某地甲、乙两个猕猴桃品种进行种植对比实验研究．去年甲、乙两个品种各种植了100亩．收获后甲、乙两个品种的售价均为6元/kg ，且乙的平均亩产量比甲的平均亩产量高500kg ，甲、乙两个品种全部售出后总收入为1500000元． （1）请求出甲、乙两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，精准扶贫办加大了对猕猴桃培育的力度，在甲、乙种植亩数不变的情况下，预计甲、乙两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于乙品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而甲品种的售价不变，甲、乙两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加58%25a ．求a 的值． 28．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 29．用适当的方法解一元二次方程：（1）()229x -=；（2）2230x x +-=．30．手工课上，小明打算用一张周长为40cm 的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm 的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由．。
第21章 《一元二次方程》复习课--
两个相等实根
无实根(无解) 有实数根（或有两个实数根）
5、一元二次方程根与系数的关系
如果ax bx c 0, a 0 的两个根是x1 , x2
2
b c 那么x1 x2 , x1 x2 a a
x2 是一元二次方程 x 13x k 0 练习、 已知 x1 、
二次项系数a为 什么不等于0呢？
2、一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）
二次项 常数项
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件！
a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
3、一元二次方程的解法
直 接 开 平 方 法 配 方 法 公 式 法
解法
ax 2 bx c 0(a 0) 当b 2 4ac 0时，它的根是 b b 2 4ac x 2a
6、用一元二次方程解决问题
类型 （1）面积（体积）问题； （2）增长率问题； （3）经济问题； （4）传播问题； 检验 数学问题 思路 实际问题
（5）单双循环赛问题；
步骤
ห้องสมุดไป่ตู้数学模型（一元二次方程）
…… （1）审（2）设（3）列 （4）解（5）验（6）答
1、一元二次方程的一般形式不唯一，但等号右 边必须为零。
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
步骤归纳
① 同除二次项系数，化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7 解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程分类复习训练(含答案)
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程分类复习训练（含答案）类型一一元二次方程的有关概念1．若2－3是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是( )A．1 B．3－ 3 C．1＋ 3 D．2＋ 32．方程(n－3)x|n|－1＋3x＋3n＝0是关于x的一元二次方程，则n＝________．类型二一元二次方程的解法3．方程2x2＝3x的解为( )A．0 B.32C．－32D．0或324．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( ) A．(x＋4)2＝17 B．(x－4)2＝17 C．(x＋4)2＝15 D．(x－4)2＝155．关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为( ) A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 6．解方程：(1)3x2－5x－2＝0；(2)(2x－3)2＝x2；(3)3x(x－1)＝2－2x.类型三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7．花关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m≥0 B．m＞0C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠18．若方程x2－4x＋1＝0的两个根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为________．9．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．10．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12＋x22＝11，求k的值．类型四一元二次方程的实际应用11．2017—2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )A.12x(x－1)＝380 B．x(x－1)＝380C.12x(x＋1)＝380 D．x(x＋1)＝38012．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( )A．20% B．25% C．50% D．62.5%13．东坡区某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．经调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？14．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向曲折的小道，剩余的地方种植花草，如图1所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)图115.菜农李伟种植的某种蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率．(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予以下两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．类型五数学活动16．请阅读下列材料：问题：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.小明的做法是将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y ＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.(1)当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝±2；(2)当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝± 5.综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.请你参考小明的思路，解下面的方程：x4－x2－6＝0.1．A [解析] 把2－3代入方程x 2－4x ＋c ＝0，得(2－3)2－4×(2－3)＋c ＝0， 解得c ＝1.故选A.2．－3 [解析] ∵方程(n －3)x |n|－1＋3x ＋3n ＝0是关于x 的一元二次方程，∴|n|－1＝2且n －3≠0，解得n ＝－3.3．D [解析] 方程整理得2x 2－3x ＝0， 分解因式得x(2x －3)＝0， 解得x ＝0或x ＝32，故选D.4．B [解析] ∵x 2－8x －1＝0， ∴x 2－8x ＝1， ∴x 2－8x ＋16＝1＋16， 即(x －4)2＝17. 故选B.5．C [解析] 配方，得x 2－4x ＋4＝1， 即(x －2)2＝1.直接开平方，得x －2＝±1. 解得x 1＝1，x 2＝3. 故选C.6．解：(1)∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49， ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝5±496＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13.(2)2x －3＝±x， ∴x 1＝3，x 2＝1. (3)3x(x －1)＝2－2x.变形，得3x(x －1)＋2(x －1)＝0，分解因式，得(x －1)(3x ＋2)＝0， 可得x －1＝0或3x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－23.7．C [解析] ∵关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x －1＝0有两个实数根， ∴m －1≠0且Δ≥0，即(－2)2－4×(m －1)×(－1)≥0， 解得m ≥0且m ≠1，∴m 的取值范围是m ≥0且m ≠1. 故选C.8．5 [解析] x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2.由一元二次方程的根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝4＋1＝5.9．解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4(m －1)≥0， 整理，得4－4m ＋4≥0， 解得m ≤2.(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2， ∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6x 1x 2， 即4＝8(m －1)， 解得m ＝32.∵m ＝32＜2，∴符合条件的m 的值为32.10．解：(1)由题意，得(2k －1)2－4×1×(k 2＋k －1)＝－8k ＋5≥0， 解得k ≤58.(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2＋k －1， ∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(1－2k)2－2(k 2＋k －1)＝2k 2－6k ＋3. ∵x 12＋x 22＝11， ∴2k 2－6k ＋3＝11， 解得k ＝－1或k ＝4.∵k ≤58，∴k ＝－1.11．B [解析] 设参赛队伍有x 支，则x(x －1)＝380.故选B. 12．C [解析] 设该店销售额平均每月的增长率是x. 根据题意，得2(1＋x)2＝4.5， 即(1＋x)2＝2.25， ∴1＋x ＝±1.5，∴x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(不合题意，舍去)， ∴该店销售额平均每月的增长率是50%.13．解：(1)设此批次蛋糕属于第x 档次产品，则10＋2(x －1)＝14，解得x ＝3. 答：此批次蛋糕属于第3档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第y 档次的产品，根据题意，得 [10＋2(y －1)][76－4(y －1)]＝1080， 解得y 1＝5，y 2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．14．解：设小道进出口的宽度应为x m ．根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532. 整理，得x 2－35x ＋34＝0.解得x 1＝1，x 2＝34(不符合题意，舍去)． ∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1 m.15．解：(1)设平均每次下调的百分率为x. 根据题意，得5(1－x)2＝3.2. 解得x ＝0.2或x ＝1.8. ∵降价的百分率不可能大于1， ∴x ＝1.8不符合题意，舍去， ∴x ＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5000＝14400(元)； 方案二所需费用为3.2×5000－200×5＝15000(元)．∵14400<15000，∴小华选择方案一更优惠．16．解：设x2＝y，则原方程可化为y2－y－6＝0，解得y1＝3，y2＝－2.(1)当y＝3时，x2＝3，解得x＝3或x＝－3；(2)当y＝－2时，x2＝－2，此方程无实数根．综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝3，x2＝－ 3.。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程专题复习
一元二次方程复习（1）一、复习目标：1.能说出一元二次方程的概念。
2会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程。
3.能由已知一元二次方程的一根去求另一根．4.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况5.会用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题.二、知识回顾，展示交流（疏理知识点）1、一元二次方程的概念 ，一般形式 。
2、一元二次方程的解法：（1） （2） （3） （4）3、一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：△= 当 △＞0时，方程有 实数当△=0时，方程有 实数根当△＜0时，方程有 实数根；4、根与系数的关系如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根12,x x ，那么1212.x x x x += 常见式子的变形：222121212()2x x x x x x +=+-； 12121211x x x x x x ++= 三、基础训练考点一、一元二次方程的概念1、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 ( ）．A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．211x x +－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．X 2＋2x ＝x 2－1 考点二：一元二次方程根的概念2. 如果在－1是方程x 2+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ）A ．－2B ．－3C ．0D ．2考点三：一元二次方程的解法。
3. 方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ）12553 3, 322A xB xC x xD x ⋅=⋅=⋅==⋅=-4、解下列方程（1）2)32(-x -25=0 （2）x 2+2x-3＝0（3）2x 2-7x-2=0 （4）3x （2x+1）=4x+2考点四：一元二次方程根的判别式5、 当_________m 时，方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根；变式：当_________m 时，方程032)1(2=+++-m mx xm 有实数根考点五：一元二次方程根与系数的关系 6、方程0132=+-x x 的两根是21,x x ；则：=+2111x x ,=+2221x x 四、拓展延伸7、关于x 的一元二次方程x 2+kx+4k 2-3＝0的两个实数根分别是x 1、x 2, 且满足x 1+x 2=x 1x 2，求k 的值8、(2014湖北十堰)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0．(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值五、小结反思。
第21章 一元二次方程综合复习
A．(x＋4)2＝5 B．(x－4)2＝5
C．(x＋8)2＝5 D．(x－8)2＝5
4、方程x(x＋5)＝x＋5的根为( B)
A．x1＝5，x2＝－5 B．x1＝1，x2＝－5
C．x＝0
D．x1＝x2＝－5
5．关于x的方程(x－3)(x－2)＝p2(p为常数)的根
的情况，下列结论中正确的是( D)
A．两个正根 B．两个负根
解：(1)70－2×(22－20)＝66(元/人)，66×22＝1 452(元). 答：购买门票共需费用 1 452 元 (2)设该单位这次共有 x 名员工去七峰山生态旅游区旅游，
∵1 500÷70＝2137 (人)，1 500÷55＝27131 ，∴20＜x≤27. 依题意，得 x[70－2(x－20)]＝1 500，整理，得 x2－55x＋750＝0， 解得 x1＝25，x2＝30(不合题意，舍去). 答：该单位这次共有 25 名员工去七峰山生态旅游区旅游
标准一：如果人数不超过20人，门票价格70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格 不低于55元/人． (1)若某单位组织22名员工去七峰山生态旅游区旅游，购买门票共需费用 多少元？ (2)若某单位共支付七峰山生态旅游区门票费用共计1 500元，试求该单位 这次共有多少名员工去七峰山生态旅游区旅游？
7．用合适的方法解下列方程： (1)(2x－1)2－9＝0； 解：移项，得(2x－1)2＝9. 2x－1＝±3， 解得x1＝2，x2＝－1 (2)x(2x＋3)＝5(2x＋3)； 解：原式变形得(2x＋3)(x－5)＝0，
解得 x1＝－32 ，x2＝5
(3)4x2－8x＋2＝0；
解：∵b2－4ac＝64－4×4×2＝32，
21.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题(含答案)
22.4 二次函数与一元二次方程同步基础练习题一、选择题(本大题共15小题)1.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是（）A.m≤2B.m＜-2C.m＞2D.0＜m≤22.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个同号不等实数根D.有两个异号实数根3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.x=1B.x=-1C.x1=1，x2=-3D.x1=1，x2=-44.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.＞B.且k≠0C.D.＞且k≠05.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴交点的个数（）A.3B.2C.1D.06.不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2（）A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点D.在x轴下方7.若抛物线y=-x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，则有（）A.p+q＜1B.p+q=1C.p+q＞1D.pq＞08.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2-4ac＞0；②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0-x1）（x0-x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤9.将抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A.4B.6C.8D.1010.若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A.b＜1且b≠0B.b＞1C.0＜b＜1D.b＜111.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y＜0时x的范围是（）A.x＞4或x＜-2B.-2＜x＜4C.-2＜x＜3D.0＜x＜312.已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2016的值为（）A.2017B.2018C.2019D.202013.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜-2B.x＞4C.-2＜x＜4D.x＞014.函数y=-x2+2（m-1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（）A.或2B.C.1D.215.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在抛物线上，则4a-2b+c 的值为（）A.-2B.0C.2D.4二、填空题(本大题共11小题)16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为______ ．17.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积是______ ．18.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为______ ．19.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B两点，点B的坐标为（7，0），与y轴相交于点C（0，3），点D （5，3）在该抛物线上，则点A的坐标是______ ．20.如图，二次函数y=a（x-2）2+k的图象与x轴交于A，B两点，且点A的横坐标为-1，则点B的横坐标为______ ．21.若二次函数y=（k-2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______ ．22.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______ ．23.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是______ ．24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ______ 0，b ______ 0，c ______ 0，△ ______ 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）25.若关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2+ax+b=2有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系用“＜”连接为______ ．2三、解答题(本大题共6小题)27.已知二次函数y=x2-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求A、B、C点的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求其面积．28.已知函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），设其图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：（1）求m；（2）求点A、点B的坐标；（3）求点C的坐标．29.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．30.二次函数的图象经过A（4，0），B（0，-4），C（2，-4）三点：（1）求这个函数的解析式；（2）求函数图顶点的坐标；（3）求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积．31.已知二次函数y=x2+2x-3．（1）把函数配成y=a（x-h）2x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象y……（4）当y＞0时，则x的取值范围为______ ．（5）当-3＜x＜0时，则y的取值范围为______ ．32.二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．【答案】1.A2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.B 13.C 14.D 15.B16.217.618.919.（-2，0）20.521.k≤3且k≠222.223.方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根24.＞；＜；＞；=25.p＜m＜n＜q26.x1=-4，x2=027.解：（1）令y=0，则x2-2=0，解得：x1=-2，x2=2，∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；令x=0，y=-2，∴C点的坐标为（0，-2）．（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），∴AC=2，BC=2，AB=4，∴AB2=AC2+BC2．∵AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形．S△ABC=AC•BC=×2×2=4．28.解：（1）∵函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），∴15=1+m-2+m，解得：m=8．（2）将m=8代入y=x2-（m-2）x+m中得：y=x2-6x+8，令y=0，则x2-6x+8=0，解得：x1=2，x2=4，∵A在B的左侧，∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．（3）设点C的坐标为（n，n2-6n+8），∵A（2，0），B（4，0），∴AB=2，S△ABC=AB•|n2-6n+8|=1=|n2-6n+8|，解得：n1=1，n2=6，n3=3，∴点C的坐标为（1，1）、（6，1）或（3，-1）．29.解：把A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y=x2-4x+3，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，顶点坐标为（2，-1）．30.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k∵B、C的纵坐标都是-4，∴B、C关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为：x=1，即h=1，∴y=a（x-1）2+k，将A（4，0）和B（0，-4）代入上式，解得：∴抛物线的解析式为：y=（x-1）2-（2）由（1）可知：顶点坐标为（1，-）（3）令y=0代入y=（x-1）2-，∴抛物线与x轴的交点坐标为：（4，0）或（-2，0）∵抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-4）∴抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积为：×6×4=1231.x＜-3或x＞1；-4≤y＜032.解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2-1与x轴交于A，B两个不同的点，∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2-4（m2-1）=4m+5＞0，解得：m＞-．（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x，令y=x2+3x=0，解得：x1=-3，x2=0，∴当m=1时，A、B两点的坐标为（-3，0）、（0，0）．。
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
第二十一章 一元二次方程-九年级数学上册单元复习(人教版)
个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,可列方程得
1+x+x2=91
解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
课堂检测
考点4
实际问题与一元二次方程—传播问题
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，
要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
分析：本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司
每天的销售价为x元.
单件利润
正常销售
4
涨价销售
x-20
销售量（件）
32
32-2(x-24)
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
每星期利润（元）
128
150
课堂检测
考点4
实际问题与一元二次方程—销售利润问题
∴(−2m)2−2(m2+m)=12，
解得m1=−2，m2=3(不合题意，舍去).
故m的值是 −2.
课堂检测
考点2
一元二次方程的根
设x1，x2是方程x2 -2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12 +x22 =4，
求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-12 -4k2≥0,
1
即 -8k+4≥0. k
一元二次方程
+ + =
解
方
程
实际问题
的答案
检验
配方法
公式法
因式分解法
降
次
方程 + + = ( ≠ )的根
新人教版九年级上册第二十一章一元二次方程21章复习课(精品有答案)
新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程章末复习学案设计学习目标1.了解一元二次方程的有关概念.2.能运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.4.知道一元二次方程的根与系数的关系,并会运用它解决有关问题.5.能运用一元二次方程解决简单的实际问题.6.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.7.经历运用知识、技能解决问题的过程.学习过程一、知识网络二、专题练习专题一:一元二次方程的有关定义及根1.若(a-3)+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为()A.3B.-3C.±3D.无法确定2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2015-a-b的值是()A.2 020B.2 008C.2 014D.2 0123.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.归纳:1.一元二次方程满足的条件:2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数和常数项可以为0.3.根能使方程左右两边相等,已知一个根,可代入然后求出方程中的字母系数.专题二:一元二次方程的解法1.解方程x2-2x-1=0.2.若将方程x2+6x=10化为(x+m)2=19的形式,则m= .3.解方程(x-3)2-9=0.归纳:专题三:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系1.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个实数根2.若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断3.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是()A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解4.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为()A.2B.3C.4D.85.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是()A.-2B.-3C.2D.3归纳:(一)根的判别式的应用1.根的判别式的作用:2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.(1)当Δ=b2-4ac>0时,.(2)当Δ=b2-4ac=0时,.(3)当Δ=b2-4ac<0时,.(4)对于以上三种情况,反之也成立.3.已知一根求另一个根.(二)求含根的代数式的值.成立的前提条件是Δ≥0.1.两根的倒数和:+=;2.两根的平方和:+=(x1+x2)2-2x1x2.专题四:一元二次方程的应用某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=0.5t2+1.5t(t≥0),乙以4 cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21 cm.(1)甲运动4 s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?归纳:一元二次方程解应用题的六个步骤练习:1.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是()A.100 m2B.64 m2C.121 m2D.144 m22.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498 m2,绿化150 m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170 m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3 m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?三、达标检测1.下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.0.5x2=0C.3x2+2y-=0D.x2+-5=02.方程a2-4a-7=0的解是.3.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A.x2+3=0B.x2+2x=0C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=04.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是()A.1B.-1C.1或-1D.25.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为.参考答案二、专题练习专题一:1.B 2.A 3.2 -3 -2专题二:1.x=1±;3;3.x1=6,x2=0专题三:1.C;2.A;3.B;4.C;5.B;归纳:(一)2.(1)方程有两个不相等的实数根.(2)方程有两个相等的实数根.(3)方程没有实数根.专题四:(1)14 cm(2)3 s (3)7 s练习:1.B;2.(1)22 m2;(2)长为17 m,宽为10 m.三、达标检测1.B;2.a=2±3.C4.B5.10%。
第21章 一元二次方程全章复习与测试(原卷版)
第21章 一元二次方程全章复习与测试【知识梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根)0(02≠=++a c bx ax ¾¾¾®降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21)0(02≠=++a c bx ax 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2023•大连一模）若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k为实数2．（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）A．﹣1B．3C．1D．1或﹣13．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0二．一元二次方程的一般形式（共2小题）4．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝65．（2022秋•双峰县期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A．﹣3x2，1，6B．3x2，1，6C．3，1，6D．3，﹣1，﹣6三．一元二次方程的解（共2小题）6．（2023•微山县三模）已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（ ）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．（2023•陇西县校级模拟）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣6四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）8．（2022秋•南关区校级期末）解方程：2（x﹣3）2＝8．9．（2023•桦南县一模）解方程：（x+3）2﹣25＝0．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）10．（2023春•通州区期末）解方程：（1）3x2﹣27＝0．（2）x2﹣4x﹣2＝0．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）11．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．12．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．13．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）14．（2023春•泰安期中）按照指定方法解下列方程：（1）3x2﹣4x+1＝0（配方法）；（2）（公式法）；（3）3x（x﹣2）＝2x﹣4．八．换元法解一元二次方程（共4小题）15．（2022秋•牡丹区校级期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（ ）A．0B．4C．4或﹣2D．﹣216．（2023•镇海区校级一模）已知（a2+b2）2﹣a2﹣b2﹣6＝0，求a2+b2的值为 ．17．（2022秋•集贤县期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设x2﹣1＝y，则原方程可化为： ．18．（2022秋•新邵县期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值；解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1，∴x+y＝﹣2或x+y＝1．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值．九．根的判别式（共3小题）19．（2023•扎兰屯市一模）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的负实根D．有两个不相等的正实根20．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．21．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．一十．根与系数的关系（共3小题）22．（2023•迎江区校级三模）已知x1，x2是方程5x2+2x＝x+5的两个实数根，计算x1﹣x1x2+x2值得（ ）A．B．1C．D．23．（2023•通辽）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．24．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）25．（2023•罗山县校级三模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是（ ）A．5000（1+x）2＝22500B．55000（1﹣x）2＝22500C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝2250026．（2023春•瑶海区期末）某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（ ）A．B．（1﹣30%）（1﹣10%）＝（1﹣2x）C．（1﹣30%）（1﹣10%）＝2（1﹣x）D．（1﹣30%）（1﹣10%）＝（1﹣x）2一十二．一元二次方程的应用（共8小题）27．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．28．（2023春•金安区期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求出y与x的函数关系式；（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．29．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款商品B款商品进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？30．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？31．（2023•西乡塘区校级模拟）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：销售单价x（元）202530销售量y（件）200150100（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？32．（2023•福田区校级二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商场以20元/台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若物价局规定，产品的利润率不得超过60%，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得150元利润，销售单价应定为多少？33．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．34．（2023•朝阳二模）世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．一十三．配方法的应用（共2小题）35．（2023春•永州期中）不论x、y是什么数，代数式x2+y2+2x﹣2y+7的值（ ）A．总大于7B．总不小于7C．可能为负数D．总不小于536．（2023春•江都区月考）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝ ；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【过关检测】一、单选题二、填空题．把方程化成一般形式为三、解答题19．用合适的方法解方程．(1)()22364x-=；(2)2--=2410x x，且，求有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？24．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少；（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包．25．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．26．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？。
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程单元复习
单元(dānyuán)复习(一) 一元二次方程
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1．若关于x的方程a(x－1)2＝2x2－2是一元二次方程，则a的值( )
D
A．等于(děngyú)2 B．等于－2
C．等于0 D．不等于2
2．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0的一个根为0， 求k的值． 解：k＝1
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内容 总结 (nèiróng)
No 第二十一章 一元二次方程。两个实数根，且x12＋x22－x1x2＝13，则k的值为____．。(2)若x1＋x2＝3，
求k的值及方程的根．。D．x2－65x－350＝0。(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均(píngjūn)增长率。 解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均(píngjūn)增长率为x，根据题意得。答：2016年到2018年该 村人均收入的年平均(píngjūn)增长率为10%。(1)求n的值
8．(泰州中考)下列一元二次方程中，有两个不相等(xiāngděng)实数根的方程是( A)
A．x2－3x＋1＝0 B．x2＋1＝0
C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝0
9．(2019·铜仁)一元二次方程4x2－2x－1＝0的根的情况为( )
B
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
第四页，共十九页。
6．(2019·呼和浩特)用配方法(fāngfǎ)求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．
解：原方程化为一般形式为 2x2－9x－34＝0，x2－92 x＝17，
x2－92
x＋8116
＝17＋8116
，(x－94
人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 期末复习专练
人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 期末复习专练21.1一元二次方程一、选择题1．已知方程x 2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a 与x=a+n 时，x 2+bx+c=m ，则m 、n 的关系为（ ）A ．m=12nB ．m=14nC ．m=12n 2D ．m=14n 2 2．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=-- 有正整数解，且方程2420ax x --=有解,则满足条件的所有整数a 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．方程（m –2）x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m≠±2B ．m=2C ．m=–2D ．m≠24．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（ ）A ．a b m n <<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n <<< 5．关于x 的方程（m+1）21mx ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解 6．若方程()2310m m xmx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =（ ） A ．0 B ．2 C ．－2 D ．± 27．关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项是0，则m 的值( )A ．1B ．1或2C ．2D ．±1 8．已知2x =是方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．若方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．0 B ．±1 C ．1D ．–1 10．一元二次方程()()2412351x x x +-=+化成一般式后,,a b c 的值为（ ）A ．3，－10，－4B ．3，－12，－2C ．8，－10，－2D ．8，－12，4二、填空题11．若m 是方程2x 2-3x-1=0的一个根，则6m 2-9m+2015的值为__________．12．若关于x 的一元二次方程x 2+mx+2n ＝0有一个根是2，则m+n ＝_____．13．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．14．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为___________．15．方程22(2)(3)20m m x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____．三、解答题16．k 为何值时，(k 2－1)x 2＋(k ＋1)x －2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？17．a 是方程x 2－3x+1=0的根，试求3222511a a a a --++的值．18．a 、b 、c 都是实数，满足()2280a c -++=，ax 2+bx+c ＝0，求代数式x 2+2x+1的值．19．已知2|25|0a -=，关于x 的方程ax 2＋bx ＝5x 2－4是一元二次方程，则5x 2＋2x －1＝_______20．k 为何值时，(k 2－9)x 2＋(k －5)x －3＝0不是关于x 的一元二次方程？21．若关于x 的方程（24k -）2x 是一元二次方程，求k 的取值范围．22．已知关于x 的一元二次方程2a x -3b x -5=0，试写出满足要求的所有a ，b 的值23．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a 、b 满足等式3b =，求方程2104y c -=的根.21.2解一元二次方程-公式法1．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或22．方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.3x 2=0的根是（ ）．A.x 1，x 21=6，x 21，x 2 D.x 1=x 24、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝06、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 7、用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．．． D ．8、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）A.k ＜21B.k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 9．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．11.用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）x 2-3x-41=0（4）4x 2-3x+1=0 （5）（x-2）（3x-5）=0 （6）3x 2-6x-2=0（7）5x 2-3x=x+1 （8）2x 2-22x+1=0 （9）x 2-4x-7=0 （10）x 2+17=8x12.不解方程，判断方程根的情况。
人教版 九年级数学 第二十一章 一元二次方程 综合复习(含答案)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯人教版九年级数学第二十一章一元二次方程综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是()A. 12%＋7%＝x%B. (1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x%)C. 12%＋7%＝2·x%D. (1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)22. 如图，某小区有一块长为18 m，宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m，则可列出关于x的方程是()A. x2＋9x－8＝0B. x2－9x－8＝0C. x2－9x＋8＝0D. 2x2－9x＋8＝03. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k<－1 B．k>－1 C．k<1 D．k>14. 某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，那么每天可售出100 kg，若这种糖果每千克的售价每增加0.5元，则每天的销售量就会减少2 kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x 元/kg，依题意可列方程为()A．(20＋x)(100－2x)＝1800B．(20＋x)(100－2x0.5)＝1800C．x(100－x－200.5×2)＝1800D．x[100－2(x－20)]＝18005. 对于方程3x2－x－2＝0，下列判断正确的是() A．一次项系数是1 B．常数项是2 C．二次项系数是3x2D．一次项是－x6. 新年里，某小组成员之间互送贺年卡．若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组共赠送贺年卡72张，此小组的人数为()A．7 B．8 C．9 D．107. 已知x＝1是方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则代数式m2＋2mn＋n2的值为() A．－1 B．1 C．－2 D．28. 如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A．k＞－14B．k＞－14且k≠0C．k＜－14D．k≥－14且k≠09. 某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为()A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元10. 若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为() A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N二、填空题（本大题共8道小题）11. 若x2－3x－4＝0不是一元二次方程，则内应填的数是________．12. 若1是方程x2－3x＋a＝0的一个根，则常数a的值为________．13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为________________．14. 已知关于x的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为________．15. 若关于x的方程x 2＋ax ＋b ＝0和x 2＋bx ＋a ＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a ，b 的关系是______________．16. 在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．17. 已知关于x的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为________．18. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 用因式分解法解下列方程：(1)x ()x －2－x ＋2＝0； (2)(x －3)2－4x 2＝0； (3)(x －3)(x －1)＝3; (4)2x 2－4x －30＝0.20. 2019·北京若关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)设x 1，x 2是方程的两根且x 12＋x 22＋x 1x 2－17＝0，求m 的值．22. 一个两位正整数比它的个位上的数字的平方小2，并且个位上的数字比十位上的数字大3.下列各数中，符合要求的两位数是()A．25 B．36 C．47 D．59人教版九年级数学第二十一章一元二次方程综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D【解析】设2007年国内生产总值为a，依题意得a(1＋12%)×(1＋7%)＝a(1＋x%)2，即(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2.2. 【答案】C【解析】因为人行道的宽度为x米，所以阴影部分的长为(18－3x)米，宽为(6－2x)米，故阴影部分面积为(18－3x)(6－2x)＝60，化简得x2－9x＋8＝0.故选C.3. 【答案】B[解析] ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×(－k)＝4＋4k＞0，∴k＞－1.4. 【答案】C5. 【答案】D6. 【答案】C[解析] 设此小组的人数为x，根据题意，得x(x－1)＝72，解得x1＝9，x2＝－8(舍去)．7. 【答案】B[解析] 把x＝1代入x2＋mx＋n＝0，得1＋m＋n＝0，所以m＋n＝－1，所以m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝1.8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 设这种机床每台的售价定为x 万元，则x ⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x －20.1＝2×60×(1＋25%)， 解得x 1＝3，x 2＝5.10. 【答案】A[解析] M －N ＝(2x 2－12x ＋15)－(x 2－8x ＋11)＝x 2－4x ＋4 ＝(x －2)2. ∵(x －2)2≥0， ∴M≥N.二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】012. 【答案】2[解析] ∵1是方程x 2－3x ＋a ＝0的一个根，∴12－3×1＋a ＝0，解得a ＝2.13. 【答案】x （x －1）2＝2114. 【答案】0[解析] 由题意得Δ＝b 2－4ac ＝4－4(k －1)>0，∴k<2.又∵k －1≠0，即k≠1，∴k<2且k≠1，∴k 的最大整数值为0.15. 【答案】a ＋b ＝－1[解析] 设两个方程相同的根为x ＝m .根据题意，得m 2＋am ＋b ＝0①，m 2＋bm ＋a ＝0②.①－②，得m (a －b )＋(b －a )＝0.∵a ≠b ，∴a －b ≠0，∴两边同除以(a －b )，得m ＝1，∴12＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1.16. 【答案】2[解析] 因为关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－4)2－4b ＝16－4b ＝0，得AC ＝b ＝4.因为BC＝2，AB＝2 3，所以BC2＋AB2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，AC为斜边，则AC边上的中线长为斜边的一半，为2.17. 【答案】1[解析] 设方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根为x3，x4，则x3＋1＝x1，x4＋1＝x2，∴x3＝0，x4＝1，∴x3＋x4＝1.18. 【答案】32[解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，∴10x＋(x－1)＝32.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1.(2)(x－3＋2x)(x－3－2x)＝0，(3x－3)(－x－3)＝0，∴x1＝－3，x2＝1.(3)方程化为x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.(4)将原方程两边都除以2，得x2－2x－15＝0.左边分解因式，得(x－5)(x＋3)＝0.∴x1＝5，x2＝－3.20. 【答案】解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1.∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程为x 2－2x ＋1＝0， 则(x －1)2＝0， 解得x 1＝x 2＝1.21. 【答案】解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)＝4m ＋5.因为原方程有两个不相等的实数根，所以4m ＋5>0，解得m>－54.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1，所以x 12＋x 22＋x 1x 2－17＝0可化为(x 1＋x 2)2－x 1x 2－17＝0，即(2m ＋1)2－(m 2－1)－17＝0，解得m 1＝53，m 2＝－3.因为m>－54，所以m ＝53.22. 【答案】C [解析] 设这个两位数的十位上的数字为x ，则个位上的数字为(x ＋3)． 根据题意，得10x ＋x ＋3＝(x ＋3)2－2， 解得x 1＝1，x 2＝4， 所以这个两位数为14或47.。
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(x-1)2=b的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根
【解析】选C.
)
∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.
2.(2013·吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,
则m=
.
【解析】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次
项系数的一半的平方,得x2+6x+32=7+32,配方,
【解析】选B.由题意:x1+x2=
a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去. 所以a=-1.
你说我说大家说：
通过今天的学习你有什 么收获或感受？
作业：课外提升训练《一元二次方程》
A.2 018 B.2 008 C.2 014 D.2 012
)
【解析】选A.
∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的
一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-
b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.
3.(2014·启东模拟)一元二次方程2x2-3x-2=0的二次
1.一元二次方程满足的四个条件.
A 整式方程
B
C D
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2 二次项系数不为0
2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一 次项的系数和常数项可以为0. 3.根能使方程左右两边相等,已知一个根,可代入确 定方程中的字母系数.
1.(2014·武威凉州模拟)下列方程中,一定是一元
即(x-1)2=2, 开方得:x-1=〒 2,
x=1〒 2 ,所以x1=1+ 2 ,x2=1- 2 .
【主题升华】
一元二次方程解法选择 若没有特别说明,解法选择的基本顺
序是直接开平方法→因式分解法→公式
法.配方法使用较少,除非题目有明确要 求才使用.
1.(2013·鞍山中考)已知b<0,关于x的一元二次方程
第二十一章 <<一元二次方程>>
复习课（第一课时）
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程 ; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法 ; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
二次方程的是(
A.ax2+bx+c=0
2
)
B. 1 x2=0
C.3x2+2y- 1 =0
2
【解析】选B.
D.x2+ 4 -5=0
x
A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C
中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
2.(2013·牡丹江中考)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5
=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是(
得(x+3)2=16.所以,m=3. 答案:3
3.(2012·永州中考)
解方程:(x-3)2-9=0.
【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,
所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.
主题3
根的判别式及根与系数的关系
【主题训练3】(2013·广州中考)若5k+20<0,则关于x的一
2.(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(
)
A.①②都有实数解 B.①无实数解,②有实数解 C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ=
b 2-
4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程② 的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两
项系数是 数项是 .
,一次项系数是
,常
【解析】项和系数都包括它前面的符号,所以二
次项系数是2,一次项系数是-3,常数项是-2. 答案:2 -3 -2
主题2
一元二次方程的解法
【主题训练2】(2013·义乌中考)解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,
元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( A.没有实数根
)
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
【自主解答】选A.
Δ=16+4k= (5k+20),∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数 5 根.
4
【主题升华】
根的判别式的应用
1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号. (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根. (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
一元二次方程及根的有关概念
【主题训练1】(2014·怀化模拟)若(a-3)
x
a 2－ 7 +4x+5=0 是
关于x的一元二次方程,则a的值为( A.3 B.-3 C.±3
)
Hale Waihona Puke D.无法确定【自主解答】选B.
因为方程是关于x的一元
二次方程,所以a2-7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
【主题升华】
一元二次方程的有关定义
个不相等的实数根.
3.(2013·黄冈中考)已知一元二次方程x2-6x+c=0
有一个根为2,则另一根为( A.2 B.3 C.4
) D.8
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,
解得c=8,把c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
4.(2013· 武汉中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0 的两个根,则x1x2的值是( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3
【解析】选B.∵x1x2= c ,∴x1x2=-3.
a
5.(2014·芜湖模拟)关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有
两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是
(
A.1
)
B.-1 C.1或-1 D.2
3a 1 2a 2 ,x1x2= ,因为x1a a 3a 1 2a 2 a－1 x1x2+x2=1-a,所以 =1-a,即 =1-a,解得a1=1, a a a
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.
(4)对于以上三种情况,反之也成立.
【知识拓展】根与系数关系的应用
(1)已知一根求另一个根. (2)求含根的代数式的值. ①两根的倒数和:
1 1 x1 x 2 ； x1 x 2 x1x 2
②两根的平方和:x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;
③两根的差:x1-x2= (x x )2－4x x 1 2 1 2
(x1>x2).
1.(2013·福州中考)下列一元二次方程有两个相等实
数根的是(
A.x2+3=0
)
B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0
【解析】选C.
选项 A项 B项 C项 D项
D.(x+3)(x-1)=0
一元二次方程的解 方程可化为x2=-3,方程无解 可化为x(x+2)=0,方程的解为x1=0,x2=-2 方程的解为x1=x2=-1 方程的解为x1=1,x2=-3