新疆阿克苏市沙雅县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

新疆阿克苏市沙雅县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.下列图形不是轴对称图形的是()A. 线段B. 等腰三角形C. 角D. 有一个内角为60°的直角三角形2.方程2x2−3x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 2，−3，1B. 2，3，−1C. 2，3，1D. 2，−3，−13.用配方法将方程x2+6x−11=0变形，正确的是()A. (x−3)2=20B. (x−3)2=2C. (x+3)2=2D. (x+3)2=204.抛物线y=3x2+2x−1向上平移3个单位长度后的函数解析式为：()A. y=3x2+2x−4B. y=3x2+2x−4C. y=3x2+2x+2D. y=3x2+2x+35.在平面直角坐标系中，把点P(−2,1)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为()A. (2,−1)B. (−2,1)C. (2,1)D. (−2,−1)6.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程−x2+bx+c=0的根为()A. x=1B. x1=1，x2=−1C. x1=1，x2=−2D. x1=1，x2=−37.某種新型禮炮的升空高度ℎ(m)與飛行時間t(s)的關系式是ℎ=─(5/2)t2+20t+1，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為()．A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S8.已知一元二次方程x2+bx−6=0有一个根为2，则另一根为()A. 2B. −3C. 4D. 39.等边△ABC中，AB=7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE=2，则BF=()A. 2B. 3C. 3.5D. 5二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.方程3(x−5)2=5−x的根是11.若函数y=(m2+m)x m2−2m−1是关于x的二次函数，则m=___________．12.如果二次函数y=(2k−1)x2−3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是______ ．13.如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB______ DE，BC//______ ，AC=______ ．x2，14.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=−125当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为______米．15.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c=0；④6a−2b+c<0；⑤若点(−0.5,y1)，(−2,y2)均在抛物线上，则y1>y2，其中正确的判断是______(填写所有正确判断的序号)三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解下列方程(1)x2−4x=1；(2)2x2−7x+5=0；17.某工厂2016年的年产值是100万元，2018年的年产值是144万元．假设2016年到2018年该厂年产值的年增长率相同．求该工厂2016年到2018年的年平均增长率．18.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标．19.一面墙长18m，借助这面墙用长度为32m的篱笆围成面积为120m2矩形的花园ABCD(墙的长度要大于花园的长BC)，求矩形的宽AB的长．20.在直角坐标平面内，已知点A(3,0)、B(2,3)，点B关于原点对称点为C，(1)请直接写出点C的坐标，并在图中作出△ABC关于原点对称后的图形；(2)求△ABC的面积．21.已知关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)若0是方程的一个根，求方程的另一个根和k的值．22.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．(1)求售价与利润的函数关系式；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)经过点A(−1,0)，B(5,−6)，C(6,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念结合各图形的特点求解．解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．2.答案：D解析：本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．解：方程整理得：2x2−3x−1=0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，−3，−1，故选D．3.答案：D解析：本题考查了配方法，属于基础题．把常数项−11移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．解：把方程x2+6x−11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，配方得(x+3)2=20．故选：D．4.答案：C解析：本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．解：抛物线y=3x2+2x−1向上平移3个单位长度的函数解析式为y=3x2+2x−1+3=3x2+ 2x+2，故选C．5.答案：A解析：解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为(−2,1)，∴点P′的坐标(2,−1)，故选：A．将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．本题考查了坐标与图形的变换−旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．6.答案：D解析：解：观察图象可知，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴为直线x=−1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(−3,0)，∴一元二次方程2x2−4x+m=0的解为x1=1，x2=−3．故选：D．直接观察图象，抛物线与x轴交于(1,0)，对称轴是直线x=−1，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程−x2+bx+c=0的解．本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程−x2+bx+c=0的解实质上是抛物线y=−x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值．7.答案：B解析：本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．因为這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，所以從點火升空到引爆需要的時間，实际是求顶点的横坐标，当t=−b2a=−202×(−52)=4时，h有最高点，所以從點火升空到引爆需要的時間為4S．故选B．8.答案：B解析：解：设方程的另一根为t，根据题意得2t=−6，解得t=−3．即另一根为−3．故选B．设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2t=−6，然后解一次方程即可．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．9.答案：A解析：本题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接EF，由△ABC为等边三角形可得∠A=∠B=60°，继而得∠1+∠3=120°，根据旋转的性质得DE=DF、∠EDF=60°，即△DEF为等边三角形，从而知∠1+∠2=120°，故可得∠2=∠3，再证△ADE≌△BEF可得BF=AE=2．解：如图，连接EF，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∴∠1+∠3=120°，又∵DE绕点D逆时针转过60°E点落在BC边的F处，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴△DEF为等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠1+∠2=120°，∴∠2=∠3，在△ADE和△BEF中，∵{∠2=∠3∠A=∠B DE=EF，∴△ADE≌△BEF(AAS)，∴BF=AE=2．故选A．10.答案：x1=5，x2=143解析：此题考查运用因式分解法解一元二次方程，切忌两边直接除以(x−5).把(x−5)看作整体，移项，分解因式求解．解：3(x−5)2=−(x−5)，3(x−5)2+(x−5)=0，(x−5)(3x−15+1)=0，∴x1=5，x2=14．3．故答案为x1=5，x2=14311.答案： 3解析：本题主要考查了二次函数的定义.直接利用二次函数的定义得出关于m的方程，进而求得m的值，注意二次项系数不能为0是解题关键．解：∵函数y=(m2+m)x m2−2m−1是关于x的二次函数，由二次函数的定义可知，{m2−2m−1=2m2+m≠0解得m=3，故答案为3．12.答案：k>12解析：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线的开口向上是解答此题的关键．根据二次函数的开口向上列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．解：∵二次函数y=(2k−1)x2−3x+1的图象开口向上，∴2k−1>0，解得k>1．2故答案为：k>12．13.答案：=；EF；DF解析：解：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，在△BOC和△EOF中，{BO=OE∠BOC=∠EOF CO=OF∴△BOC≌△EOF(SAS)，∴∠BCO=∠OFE，∴BC//EF故填：=，EF，DF利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出対应边与对应角之间的关系，进而解决．此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，难度不大，比较典型．14.答案：20解析：解：当y=−4时，−4=−125x2，解得，x1=−10，x2=10，∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10−(−10)=20(米)，故答案为：20．根据题目中的函数解析式和题意，将y=−4代入函数解析式，求出相应的x的值，从而可以得到AB 的长．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.答案：②③④解析：解：∵抛物线对称轴x=−1，经过(1,0)，=−1，a+b+c=0，∴−b2a∴b=2a，c=−3a，∵抛物线开口向上，∴a>0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：c<0，，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；由对称性可知抛物线与x轴交于(−3,0)，∴9a−3b+c=0，故③正确；∵9a−3b+c=0，b=2a，c=−3a，∴6a−2b+c=6a−4a−3a=−a<0，故④正确；∵抛物线对称轴x=−1，∴x=−0.5与x=−1.5的函数值相等，∵−1.5>−2，∴则y1<y2；故⑤错误；故答案为：②③④．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征判断即可．本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用数形结合思想．16.答案：解：(1)∵x2−4x=1，∴x2−4x+4=1+4，∴(x−2)2=5，∴x−2=±√5，解得：x1=2+√5，x2=2−√5；(2)∵2x2−7x+5=0，∴a=2，b=−7，c=5，∴b2−4ac=(−7)2−4×2×5=9，∴x=7±√92×2，解得：x1=52，x2=1．解析：本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．本题考查了配方法、公式法解一元二次方程．(1)将方程两边同时加上4，利用配方法求解即可；(2)求出b2−4ac的值，再利用公式法求解即可．17.答案：解：设2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为x，则100(x+1)2=144解得：x1=0.2，x2=−2.2.(不符合题意，舍去)．答：2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为20%．解析：设该工厂从2016年至2018年的年平均增长率为x，根据该工厂2016年及2018年年产值，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．18.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0)．∴{4a+2b=436a+6b=0，解这个方程组得：{a=−12b=3，∴所求解析式为y=−12x2+3x．(2)∵a=−12<0，∴抛物线的开口向下，∵y=−12x2+3x=−12(x−3)2+92，).∴抛物线的顶点坐标为(3,92解析：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)将点A(2,4)和点B(6,0)代入得到a，b的方程组，求出方程组的解得到a，b的值，即可确定出二次函数解析式；(2)将二次函数解析式化为顶点式即可求出顶点坐标，根据a的正负即可得到开口方向．19.答案：解：设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为(32−2x)m，根据题意得：x(32−2x)=120，解得：x1=6，x2=10．∵32−2x<18，解得：x>7，∴x=10．答：矩形的宽AB的长为10m．解析：本题考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设矩形的宽AB的长为xm，则BC的长为(32−2x)m，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．20.答案：解：(1)C(−2,−3)，△A′B′C′如图所示；(2)S△ABC=S△AOC+S△AOB=12×3×3+12×3×3=9．解析：(1)根据要求画出点C，再画出A、B、C关于原点的对称点A′、B′、C′即可；(2)根据S△ABC=S△AOC+S△AOB计算即可；本题考查作图−旋转变换、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.答案：解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根，∴b2−4ac=[2(k−1)]2−4(k2−1)>0，解得：k<1；(2)∵方程的一个根是0，∴代入方程得：k2−1=0，解得：k=±1，∵k<1，∴k=−1，∴原方程为：x2+2(−1−1)x=0，解得：x1=0，x2=4．所以另一个根为4．解析：此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，利用方程根与判别式的关系得出是解题关键．(1)利用方程根与判别式的关系，得出根的判别式符号直接解不等式得出即可；(2)将x=0代入，进而求出k的值，进而得出方程的解．22.答案：解：(1)由题意得：y=(210−10x)(50+x−40)=−10x2+110x+2100(0<x≤15且x为整数)；(2)由(1)中的y与x的解析式配方得：y=−10(x−5.5)2+2402.5.∵a=−10<0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5.∵0<x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400(元)，当x=6时，50+x=56，y=2400(元)，∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．解析：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．(1)根据题意可知y与x的函数关系式．(2)根据题意可知y=−10−(x−5.5)2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．23.答案：解：(1)设抛物线解析式为：y=a(x+1)(x−6)(a≠0)，把B(5,−6)代入：a(5+1)(5−6)=−6，解得a=1，∴y=(x+1)(x−6)=x2−5x−6；(2)存在，如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，设P(m,m2−5m−6)，四边形PACB的面积为S，则PM=−m2+5m+6，AM=m+1，MN=5−m，CN=6−5=1，BN=5，∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC，=12(−m2+5m+6)(m+1)+12(6−m2+5m+6)(5−m)+12×1×6，=−3m2+12m+36，=−3(m−2)2+48，当m=2时，S有最大值为48，这时m2−5m−6=22−5×2−6=−12，∴P(2,−12)．解析：本题主要考查利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．(1)抛物线经过点A(−1,0)，B(5,−6)，C(6,0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−6)，代入B(5,−6)即可求得函数的解析式；(2)作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P(m,m2−5m−6)，四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．。