高二数学杨辉三角综合测试题
最新整理高中数学人教A版选修2-3课后训练：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习一、选择题1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )．A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－22．在312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．－7B ．7C ．－28D ．28 3．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．24．已知31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．A ．第19项B ．第17项C ．第17项或第19项D ．第18项或第19项5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )．A ．1B ．－1C ．36D ．26 二、填空题6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为__________．7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(32x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.三、解答题9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2013的值．(2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值．11.求证：(1)1C n ＋22C n ＋…＋C nn n ＝n ·2n －1；(2)0C n ＋1211C C 23n n +＋…＋11C 11n n n n =++ (2n ＋1－1)． 12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?参考答案1答案：D 解析：令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.2答案：B 解析：由已知n 为偶数，则2n＋1＝5， ∴n ＝8.∴8331122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式通项公式为T r ＋1＝8831C 2rrr x x -⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(－1)r ·848381C 2rrr x--⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·26811C 24⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭×28＝7.3答案：B 解析：令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(2－1)8＝1，由T r ＋1＝88C 2()rr r x -⋅，令r ＝8，得T 9＝88C ·20x 4＝x 4，其系数为1， ∴展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0. 4答案：A 解析：T 10＝9C n(3x )n －9·999391C n n x x --=，由T 10为常数，得93n -－9＝0，所以n ＝36，故第19项系数最大．5答案：C 解析：由已知展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，a 1，a 3，a 5小于零． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，①令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36.②∴①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝6312+，①－②得a 1＋a 3＋a 5＝6132-.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝66313122+-+＝36. 6答案：2 解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.7答案：－160x 解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由已知M ·N ＝64， ∴2n＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝36C ·(32x )3·(－1)3＝－160x .8答案：34 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314C :C n n ＝2∶3，所以!!:(13)!13!(14)!14!n n n n -⋅-⋅＝2∶3，∴142133n =-.∴n ＝34. 9解：由521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得T r ＋1＝55205225516116C C 55r rrr r r x xx ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令T r＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝4516C 5⨯＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝24C a 4＝54.所以a ＝3±.10解：(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝(1＋2x )2 013＋(1＋x )2 013，x ＝－1，得f (－1)＝(－1)2 013＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝－1. (2)由已知112C C m n +＝2m ＋n ＝20， ∴n ＝20－2m .∴x 2的系数为222(1)(1)2C C 422m n m m n n --+=⨯+＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值85.11分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的系数固定下来，从而使用二项式系数性质012C C C n n n ++＋…＋C n n＝2n .证明：(1)∵!C !()!kn n k k k n k =⋅-＝!(1)!()!n k n k --＝11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---⋅=--.∴左边＝0111C C n n n n --+＋…＋11C n n n --＝n (0111C C n n --+＋…＋11C n n --)＝n ·2n －1＝右边．(2)11!C 11()!k n n k k n k =⋅++- ＝!1(1)!(1)!()!1(1)!()!n n k n k n k n k +=⋅+-++-＝111C 1k n n +++. ∴左边＝121111C C 11n n n n +++++＋…＋111C 1n n n +++.＝11n +(1211C C n n +++＋…＋11C n n ++) ＝11n +(2n ＋1－1)＝右边． 12分析：(1)根据杨辉三角的规律“每个数都等于它肩上的两个数的和，每行两端都是1”可写出第6行二项式系数，但要注意每项的正负号．(2)求0.9986的近似值一般都是把它化为(1－0.002)6，再利用上面的展开式．(3)根据二项展开式可知，杨辉三角的第n 行的数依次为012C ,C ,C n n n ，…，C rn ，…，C nn ，因此可设出这相邻的三个数，运用组合数公式列出方程组，解此方程组即可求出n .解：(1)由杨辉三角知，第6行二项式系数为：1,6,15,20,15,6,1. 所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令其中a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)0.9986＝(1－0.002)6＝(1－x )6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…＋0.0026≈1－6×0.002＝0.988.(3)设在第n 行出现，并设相邻的三个数分别是1C k n -，C kn ，1C k n +，那么有113C ,4C 4C ,5C knk n kn k n-+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴3!!()!,4(1)!(1)!!4!(1)!(1)!,5!()!!n k n k k n k n n k n k k n k n -⎧=⨯⎪-⋅+-⎪⎨+⋅--⎪=⨯⎪-⎩即3,4141,5k n k k n k ⎧=⎪⎪+-⎨+⎪=⎪-⎩∴373,495,n k n k -=-⎧⎨-=⎩解得n ＝62，k ＝27，即第62行，此时262728626262C :C :C ＝3∶4∶5.。
高中数学选修2-3检测：八) 杨辉三角含解析
课时跟踪训练(八) 杨辉三角1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )A ．180B ．－180C ．45D ．－45 2．在(a －b )20的相同的项是( ) A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项3．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．314．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A ．1B ．＋1C ．2D ．±25．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的二项式系数，第3项的系数是________． 6．若(x ＋2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x 的取值范围为________．7．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．答 案1．选A a 8＝C 810·22＝180. 2．选B 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．3．选B C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C 2n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.4．选C 由题意知2n ＝32，n ＝5， T r ＋1＝C r 5(x )5－r a r ·x r 13－＝C r 5a r x 5526－r ，令52－56r ＝0，得r ＝3， ∴a 3C 35＝80，解得a ＝2.5．解析：由二项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数， ∴C 27为第3项的二项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84.答案：3 846．解析：∵T 2＝C 15·(x )4·21＝10x 2>1 000，且x ≥0， ∴x >10.答案：(10，＋∞)7．由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101， 解得n ＝8(n ＝－3舍去)．所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x r 852－. 令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.8．解：(1)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12. (3)法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项的系数和，令x ＝1，y ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.(4)奇数项的二项式系数之和为C 09＋C 29＋…＋C 89＝28.偶数项的二项式系数之和为C 19＋C 39＋…＋C 99＝28.。
高中数学杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目(附解析)
杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目（附答案）(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .(2)二项式系数的性质 ①对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一、求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1．(1)(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项(3)(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析： (1)T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大． 由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A (2)D (3)C 注：(1)根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1－x )2n －1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．第n －1项 B ．第n 项C ．第n －1项与第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n －1－122n －1＝C n －12n －1，C2n －1＋122n －1＝C n2n －1，分别为第n ，n ＋1项． 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45解析：选C 由题意，C n 2n ＝C 52n ，易知n ＝5，由T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10x 30－5r 6，令30－5r ＝0，得r ＝6，故其常数项为C 610＝210.二：展开式的系数和1．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 注：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．在(1－3x )12的展开式中．求： (1)各二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C 012＋C 112＋C 212＋…＋C 1212＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C 012＋C 212＋C 412＋…＋C 1212＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C 112＋C 312＋C 512＋…＋C 1112＝211＝2 048.三、二项式系数性质的应用1．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析：(1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n 的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r ＋1项的系数为A r ＋1，则满足不等式组⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，由不等式组解出r 的值．(1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∴T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大， 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎨⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4. 又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16 896x 10. 注：求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f (r )＝C r n ·m g (r )的形式，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r解出r ，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10x10－r 22r x －2r ＝C r 102rx 10－5r 2，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z ，∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r ，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223. ∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x －252＝15 360x －252.巩固练习：（基础题）题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项 D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( )A．C99201B．C100201C．C101201D．C102201＝C r201(－x)r＝(－1)r C r201解析：选B在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为T r＋1x r，所以系数的最大值是C100201，选B.4．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2题组2展开式的系数和5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选B由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.6．(C14x＋C24x2＋C34x3＋C44x4)2的展开式中所有项的系数和为()A．64 B．224C．225 D．256解析：选C令x＝1，原式＝(C14＋C24＋C34＋C44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选D由题意可得C1n＝C3n，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r (3)r x r ， ∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组3 二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数． 解：依题意，令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r ·5－r 2b 10－5r6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r ·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.巩固练习（提升题)1．已知(x －1)n 的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎨⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.解析：由已知，得C n C 14n＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 答案：346．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ≥2，n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，求1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r n x －2r ， 由题意可知r ＝2，此时a n ＝C 2n ＝n (n －1)2， 所以1a n ＝2n (n －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017. 7．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝－31(舍去)或2n ＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎨⎧ C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92.又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
人教新课标版数学高二-选修2-3练习 1.3.2“杨辉三角与二项式系数性质
第一章 1.3 1.3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A ．－2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 024解析： (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.答案： C2．C 133＋C 233＋C 333＋…＋C 3333除以9所得的余数是( )A ．2B ．6C ．7D ．3解析： C 133＋C 233＋…＋C 3333＝233－1＝(23)11－1＝811－1 ＝(9－1)11－1＝C 011·911－C 111·910＋C 211·99－…＋C 1011·9－1－1＝C 011·911－C 111·910＋C 211·99－…＋C 1011·9－2.可见，上式被9除，余－2，即余7，故余数为7.答案： C3．(2014·驻马店市高二第二学期期末卷)已知⎝⎛⎭⎫1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20解析： 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫1x 6－r ·(－x )r ＝(－1)r C r 6x 32r －6， 由32r －6＝0得r ＝4， 故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A.答案： A4．(2014·河南大学附中高二下学期期末考试)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．2B ．±1C ．1D ．±2解析： ∵二项式系数和为2n ＝32，∴n ＝5，∴通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r ·x 15－5r 6. ∵常数项为80.∴r ＝3时，C 35·a 3＝80， ∴a ＝2，故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析： 因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32， 即8<2n <32，且n ∈N *，所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x .答案： 6x6．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．解析： 观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.答案： 2n －1 32三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 7(x －1)7.求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－4)7＝－37＝－2 187.①(2)令x ＝0，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 6－a 7＝1. ② ①＋②2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－37＋12＝－1 093. 8．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析： T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6. ∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.(10分)在(x －y )11的展开式中，解答下列问题：(1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C r 11x11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为T7＝C611x5y6；(5)项的系数最小的项为T6＝－C511x6y5；(6)二项式系数的和为C011＋C111＋C211＋…＋C1111＝211；(7)各项系数和为(1－1)11＝0.。
杨辉三角高中例题及其解析
杨辉三角高中例题及其解析1. 引言说到杨辉三角，大家可能会想，“这玩意儿有什么用啊？”但其实，它可不是只会在数学课上转圈圈的无聊东西，简直就是个数学宝藏！想象一下，一个看似简单的三角形，里面藏着的却是无穷无尽的组合和规律，真是让人拍案叫绝。
今天我们就来聊聊这个神奇的东西，看看它如何影响我们的日常生活和学习。
2. 杨辉三角的构建2.1 基础知识首先，杨辉三角是通过一种简单的方式构建出来的：每个数字都是它上面两个数字的和。
比如，第一行只有一个“1”，第二行就是两个“1”，第三行就变成了“1, 2,1”，依此类推。
就像一颗种子，慢慢长成一棵大树，枝繁叶茂，层层递进，真的是看着就让人心情大好。
2.2 规律揭示你知道吗？杨辉三角里面还藏着许多数学规律！比如说，三角形的每一行对应着二项式定理的系数，这些系数在组合数学中可是大有用处的。
有时候就像是在打麻将，抓到的牌越多，组合的可能性就越多，运气好的人总能组合出大胡来！是不是听着就很带感？3. 杨辉三角的应用3.1 组合问题好吧，接下来我们聊聊它的应用。
杨辉三角在组合问题上可谓是“如鱼得水”。
比如说，假设你有五种不同的水果，想从中选出三种来做沙拉，杨辉三角就能帮你轻松算出组合数。
用数学术语来说，就是“从五选三”的组合数，这在三角里就是“10”。
这下你再也不怕在超市里纠结该买哪个水果了！3.2 概率问题而且，它在概率问题上也是个高手。
假设你正在玩一个简单的游戏，随机抽取一个球，有三种颜色的球，你想知道抽到某种颜色的概率。
通过杨辉三角的帮助，你可以快速算出不同颜色球的组合，来制定最佳的抽取策略。
就好比在街上玩飞镖，选好目标才能一击必中，当然得事先做点功课啦！4. 经典例题解析让我们通过一个例题来深入了解一下杨辉三角的妙用。
比如说，考题问：“从八个人中选出三个人，一共有多少种选法？”如果不看三角，我们可能得算个半天，但用杨辉三角，我们可以直接找到第八行的第三个数，答案就是56。
高中数学课时分层作业8杨辉三角人教B版选修2_3
课时分层作业(八) 杨辉三角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项【解析】 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件． 【答案】 B2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n－12C ．2n ＋1D ．3n＋12【解析】 令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D ．【答案】 D4．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( ) A.1285 B ．2567C.5125D ．1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A 5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】 因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.【答案】 －17．若n 是正整数，则7n＋7n －1C 1n＋7n －2C 2n＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n－C nn ＝8n－1＝(9－1)n－1＝C 0n 9n(－1)＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.[能力提升练]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19……A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解】(1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·⎝⎛⎭⎪⎫11－m2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫m－2142＋35116.因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.。
二项式定理杨辉三角习题
C
1 27
C
2 27
数为 7；
C 27 27
除以9的余
2.求多项式：
(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
的展开式中 x2 的系数. -20
3.(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少？
15120
热身训练：
A 1.
Cn0
2C
1 n
4C
2 n
2n
C
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
四、例题选讲：
例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项
式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
证明：在展开式 Cn0an Cn1an1b Cnnbn 中
第0行
1
第1行 第2行 第3行
11
探
12 1
究 ４
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 ” “纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某 城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
在
展
开
式
中
只
有C
1 5
x(x
3)
24才
存
在x的
项,
其
系
数
为C
1 5
3
24
杨辉三角找规律题
杨辉三角找规律题
杨辉三角是一种数学图形，它由数字构成，数字从上到下依次排列，每个数字是上方两个数字的和。
以下是杨辉三角的前几行：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
这个三角形隐藏了很多规律，例如：
1. 每行的第一个数字和最后一个数字都是1。
2. 每个数字等于它上方两个数字之和。
3. 每行数字个数递增。
此外，还有以下规律：
4. 第n行的数字个数等于n。
5. 第n行的数字和等于2^(n-1)。
6. 第n行的所有奇数数字之和等于2^(n-1)。
7. 第n行的所有偶数数字之和等于2^(n-1)-1。
通过研究杨辉三角的规律，可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念和原理，也可以应用到实际问题中。
- 1 -。
2023北京高三二模数学汇编：二项式定理与杨辉三角
故常数项为 ，得 .
故选：A.
3．1
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】在 中，
令 得： ，
故答案为：1.
4．24
【分析】写出展开式的通项公式，求出 的系数.
【详解】 的展开式通项公式为 ，Biblioteka 令 ，得 ，故 的系数为24.
故答案为：24.
二、填空题
3．（2023·北京房山·统考二模）若 ，则 ______．
4．（2023·北京丰台·统考二模）在 的展开式中， 的系数为__________．（用数字作答）
参考答案
1．C
【分析】根据二项式定理即可估算近似值.
【详解】由题意可知
故选：C
2．A
【分析】利用二项展开式的通项，根据常数项为32，求 .
2023北京高三二模数学汇编
二项式定理与杨辉三角
一、单选题
1．（2023·北京西城·统考二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减 ，其初始质量为 ， 年后的质量为 ，则下列各数中与 最接近的是（）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京海淀·统考二模）若 的展开式中常数项为32，则 （）
A．5B．6C．7D．8
人教A版高中数学选修同步练习杨辉三角与二项式系数的性质
选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1 D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C. 2．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项 D ．第3、4两项[答案] B[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210 B ．120 C ．461D ．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r. 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210.4．(2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[答案] A[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n ＝( )A ．2nB ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.6．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B ＝( ) A ．128 B ．129 C ．47D ．0[答案] A[解析] A －B ＝37－C 1736＋C 2735－C 3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4项的系数是( ) A ．16 B ．70 C ．560D ．1120[答案] D[解析] 考查二项式定理的展开式．设第r ＋1项含有x 4，则T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x －1)r ＝C r 8·2r ·x 16－3r，∴16－3r ＝4，即r ＝4，所以x 4项的系数为C 4824＝1120.8．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.9．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010·江西理，6)(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] (2－x )8的通项式为T r ＋1＝C r 828－r(－x )r ＝(－1)r ·28－rC r8x r2，则x 4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x 4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010＋a 2011x 2011(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)＋(a 0＋a 2011)＝________.(用数字作答)[答案] 2009[解析] 令x ＝0，则a 0＝1.令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＋a 2011＝(1－2)2011＝－1. ∴(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)＋(a 0＋a 2011) ＝2010a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2011) ＝2010－1＝2009.12．(2008·北京·11)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.13．(2010·全国Ⅱ理，14)若⎝⎛⎭⎫x －ax 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84， 解得a ＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n －1 32[解析] 用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题15．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得： 2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102.(3)∵T r ＋1＝C r 2010·12010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.17．证明：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .[证明] ∵(1＋x )n (1＋x )n ＝(1＋x )2n ，∴(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )＝(1＋x )2n ，而C n 2n 是(1＋x )2n 的展开式中x n的系数，由多项式的恒等定理得C 0n C n n ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝C n 2n .∵C m n ＝C n －m n(0≤m ≤n )， ∴(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .18．求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r －k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k . 令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.。
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选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1 D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C. 2．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项 D ．第3、4两项[答案] B[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210 B ．120 C ．461D ．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210. 4．(2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[答案] A[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n＝( ) A ．2n B ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.6．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B ＝( ) A ．128 B ．129 C ．47D ．0[答案] A[解析] A －B ＝37－C 1736＋C 2735－C 3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4项的系数是( ) A ．16 B ．70 C ．560D ．1120[答案] D[解析] 考查二项式定理的展开式．设第r ＋1项含有x 4，则T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x －1)r ＝C r 8·2r ·x 16－3r，∴16－3r ＝4，即r ＝4，所以x 4项的系数为C 4824＝1120. 8．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.9．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010·江西理，6)(2－x )8展开式中不含．．x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] (2－x )8的通项式为T r ＋1＝C r 828－r (－x )r ＝(－1)r ·28－r C r 8x r2，则x 4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x 4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010＋a 2011x 2011(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)＋(a 0＋a 2011)＝________.(用数字作答)[答案] 2009[解析] 令x ＝0，则a 0＝1.令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＋a 2011＝(1－2)2011＝－1. ∴(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)＋(a 0＋a 2011) ＝2010a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2011) ＝2010－1＝2009.12．(2008·北京·11)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫1x 3r＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.13．(2010·全国Ⅱ理，14)若⎝⎛⎭⎫x －ax 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84， 解得a ＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n －1 32[解析] 用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题15．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得： 2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102.(3)∵T r ＋1＝C r 2010·12010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.17．证明：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .[证明] ∵(1＋x )n (1＋x )n ＝(1＋x )2n ，∴(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )＝(1＋x )2n ，而C n 2n 是(1＋x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理得C 0n C nn ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝C n 2n . ∵C m n ＝C n －m n(0≤m ≤n )， ∴(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .18．求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r －k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k . 令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4k ＝0. ∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4. 方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.。
人教新课标版数学高二-选修2-3检测 1.3.2“杨辉三角与二项式系数的性质
第一章 计数原理 1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A 级 基础巩固一、选择题1．(1＋x )2n ＋1(n ∈N *)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：因为2n ＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n ＋1，n ＋2.答案：C2．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝30，则n 等于( )A ．5B ．3C ．4D ．7解析：令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝30，解得n ＝4. 答案：C3．在(x ＋y )n 展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第5项 C ．第5、第6项D ．第6、第7项解析：因为C 3n ＝C 7n ，所以n ＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．答案：A4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63 D ．31解析：由已知(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝12×26＝32. 答案：B5．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式中各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300解析：令x ＝1，得M ＝4n ，又N ＝2n ，故4n －2n ＝240，解得n ＝4.展开式中的通项为T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x 4－32r ，令4－32r ＝1得r ＝2，所以当r ＝2时，展开式中x 的系数为(－1)2·C 24·52＝150.答案：B 二、填空题6．(a ＋a )n 的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T 8＝________．解析：C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7＝120a 132. 答案：120a 1327．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＜32，即8＜2n ＜32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x .答案：6x8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9…解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，a n ＝2n －1.答案：2n －1 三、解答题9．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.解：(1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4.②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.10．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.所以(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第(k ＋1)项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k ≤6.又因为k ∈{0，1，2，…，8}，所以k ＝5或k ＝6. 所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.B 级 能力提升1．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1是11的倍数，则自然数n 为( ) A ．奇数 B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数解析：9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋1·9n ＋…＋C n －1n ＋1·92＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1)－19＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数，所以n ＋1为偶数，n 为奇数． 答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．解析：具体证明过程可以是：C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝12(2C 02n －1＋2C 12n －1＋2C 22n －1＋…＋2C n －12n －1)＝12[(C 02n －1＋C 2n －12n －1)＋(C 12n －1＋C 2n －22n －1)＋(C 22n －1＋C 2n －32n －1)＋…＋(C n －12n －1＋C n 2n －1)]＝12(C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＋C n 2n －1＋…＋C 2n －12n －1)＝12·22n －1＝4n －1. 答案：4n －13．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5得T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫16x 255－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－rC r 5x20－5r2，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 45·165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54.解得a ＝±3.。
高三复习数学142_“杨辉三角”与二项式系数的性质(二)(有答案)
1.4.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(二)一、解答题。
1. 在(√x √x 3)24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A.3项B.4项C.5项D.6项2. (1+3x)n （其中n ∈N 且n ≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于（ ）A.6B.7C.8D.93. 在(x 2−√x 3)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A.−7B.7C.−28D.284. 如果(3x −√x 23)n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是（ ） A.7B.−7C.21D.−215. 在(x +y )(x −y )5的展开式中，x 3y 3的系数是（ ）A.−10B.0C.10D.206. (x −y)7的展开式中，系数绝对值最大的是（ ）A.第4项B.第4、5两项C.第5项D.第3、4两项7. 若(x 3+1x 2)n 展开式中第6项的系数最大，则不含x 的项等于________．8. (1+4x −3y )7的展开式中，不含x 的项的系数为________．9. (x 2+1x +√2)5(x >0)的展开式中的常数项为________.10. 设(3x −1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4．①求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4；②求a 0+a 2+a 4；③求a 1+a 2+a 3+a 4． 10.求证：32n+2−8n −9能被64整除（n ∈N ∗）．11. 已知在(√x 32√x 3)n的展开式中，第6项为常数项． 求n ；求含x 2的项的系数；求展开式中所有的有理项．12. 设a 0，a 1，a 2，…，a n 为等差数列，化简P (x )=a 0C n 0(1−x)n +a 1C n 1(1−x)n−1x +a 2C 22(1−x)n−2x 2+⋯+a n−1C n n−1(1−x )x n−1+a n C n n x n ．参考答案与试题解析1.4.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(二)一、解答题。
人教新课标版数学高二-选修2-3限时练 1.3.2 “杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质限时练周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名一、选择题1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( )A ．11B ．10C ．9D ．82．(x －1)11展开式中x 的奇次项系数之和是( )A ．－2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 0243．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2 4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．7295．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．86．在( 1x ＋51x 3)n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．7927．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5二、填空题8．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小的项是________．9．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.10.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i)，(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.11．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.三、解答题12．在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．13．在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．参考答案1．D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B7．D 根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决．只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选D.8．－252a 5b 5 9.710．3解析 由题意知，A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知， T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 11．3解析 方法一 将(a ＋x )(1＋x )4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a )x 3＋(4＋6a )x 2＋(1＋4a )x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a )＋(1＋4a )＝32，解得a ＝3.方法二 (1＋x )4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知a (C 14＋C 34)＋C 04＋C 24＋C 44＝32，解得a ＝3.12．解 (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020310(－2)10x 10y 10＝C 1020610x 10y 10.(2)设系数绝对值最大的项是r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r ， 解得725≤r ≤825(r ∈N )， 所以r ＝8，即T 9＝C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为y 的偶次方项，故可设第2r －1项系数最大，于是⎩⎪⎨⎪⎧C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4，C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧10r 2＋143r －1 077≤0，10r 2＋163r －924≥0. 解得r ＝5，即2×5－1＝9项系数最大．T 9＝C 820·312·28·x 12y 8. 13．解 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024.(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512.偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102； ①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.。
高中数学 1.3第2课时 杨辉三角课时作业(含解析)新人教B版选修2-3 (2)
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3第2课时 杨辉三角课时作业 新人教B 版选修2-3一、选择题1．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] B[解析] 本题主要考查二项式定理中二项展开式的通项公式的应用．二项式(1＋3x )n展开式的通项公式为T r ＋1＝3r C r n x r，∴x 5与x 6的系数分别为35C 5n ，36C 6n .由条件知：35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ！5！n －5！＝3·n ！6！n －6！，∴n ＝7，选B.2．若二项式(2x ＋a x)7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x)7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28[答案] C [解析] T r ＋1＝C r 8·x8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a xr ＝C r 8·(－a )r ·x8－2r.当r ＝4时，T r ＋1为常数项，此时T 5＝C 48(－a )4＝70a 4＝1120.∴a ＝±2.令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x －a x8＝(1±2)8＝1或38.故选C.4．233除以9的余数是( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案] D[解析] 233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋…＋C 10119－1，∴余数为8.故选D. 5．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．偶数B ．奇数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] B[解析] 原式＝19[(9＋1)n ＋1－1]＝19[10n ＋1－1]是11的倍数，∴10n ＋1－1是99的倍数，∴n 为奇数．故选B.6．在(1－x )11的展开式中，含x 奇次幂的各项系数的和是( ) A ．－210B ．210C ．－211D ．211[答案] A[解析] 令f (x )＝(1－x )11＝a 0＋a 1x ＋…＋a 11x 11，f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a 11＝0， f (－1)＝a 0－a 1＋…－a 11＝211，f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝－211.∴含x 奇次幂的系数的和为a 1＋a 3＋…＋a 11＝－210.故选A.7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7等于( ) A ．32 B ．－32 C ．－33 D ．－31[答案] D[解析] 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝－1，得25＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7， ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝1－25＝－31. 二、填空题8．(2015·重庆理，12)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．[答案] 52[解析] 由二项式定理得T r ＋1＝C r 5(x 3)r (12x)5－r ＝C r 5x 3r ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r x r 2－52＝C r 5(12)5－r x 7r 2－52当72r －52＝8时，易得r ＝3，故x 8系数为C 35(12)2＝52. 9．设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋…＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． [答案] 1[解析] (a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，在(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋…＋a 4x 4中，令x ＝1，得a 1＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4； 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4， 由此得(2＋3)4(3－2)4＝1. 三、解答题10．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项．[解析] (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，即⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥19－r ，18－r ≥2r ＋1.从而有5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝C 48(x )4·⎝⎛⎭⎪⎫－2x24＝1 120x6.(3)由(1)知展开式中的第6项及第7项的系数绝对值最大，而第6项系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 26＝1 792x11.(4)系数最小的项为T 6＝C 58·(x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 25＝－1792x x 9＝－1 792x －172.一、选择题1．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的第几项( )A ．13B ．18C ．11D ．20[答案] D[解析] 含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 58－1＝55. 设它为等差数列的第k 项，则－2＋3(k －1)＝55. ∴k ＝20.故选D.2．若a 为实数，且(ax －1x)2015的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2015项为( )A.1x2015B ．－1x2015C.4030x2013D ．－4030x2013[答案] C[解析]由条件知，(a －1)2015＝1，∴a －1＝1，∴a ＝2.∴展开式的第2015项为：T 2015＝C 20142015·(2x )·(－1x)2014＝2C 12015·x－2013＝4030x2013，故选C.3．若(1＋a )＋(1＋a )2＋(1＋a )3＋…＋(1＋a )n ＝b 0＋b 1a ＋b 2a 2＋…＋b n a n，且b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝30，则自然数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 令a ＝1得：b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋23＋ (2)＝22n－12－1＝2n ＋1－2＝30.∴2n ＋1＝32.∴n ＝4.故选B.二、填空题4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ＝________. [答案] 63[解析] 逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729.即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ＝26－C 0n ＝64－1＝63.5．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.[答案] 10[解析] 本题考查二项式定理的展开式．x 5＝[(x ＋1)－1]5＝(x ＋1)5－C 15(x ＋1)4＋C 25(x ＋1)3－C 35(x ＋1)2＋C 45(x ＋1)－C 55(x ＋1)0，∴a 3＝C 25＝10.适当的变形将问题简化． 三、解答题6．已知(2x －3)7＝a 0(x －1)7＋a 1(x －1)6＋…＋a 6(x －1)＋a 7. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)求a 0－a 7.[解析] (1)令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(4－3)7＝1. (2)令x ＝1，得a 7＝(2×1－3)7＝－1，x 7的系数a 0＝C 0727(－3)0＝128，∴a 0－a 7＝129.7．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a ＋b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项．[解析] (a ＋b )2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 展开式中偶数项的二项式系数的和为2n －1.依题意，有2n －1＝22n －1－120，即(2n )2－2n－240＝0.解得2n＝16，或2n＝－15(舍)．∴n ＝4.于是，第一个展开式中第三项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .8．(2015·胶州市期中)已知(1＋m x )n(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x 项的系数为112.(1)求m ，n 的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．[解析](1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8所以含x2的系数为C4824－C2822＝1008.。
高二数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时作业 新人教A版选修2-3
高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时作业一、选择题 1．设(5x －1x)n的展开式中各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( ) A ．－150 B ．150 C ．300D ．－300[答案] B[解析]令x ＝1，得M ＝4n ，又N ＝2n ，故4n －2n＝240.解得n ＝4.展开式中的通项为T r ＋1＝C r4(5x )4－r(－1x)r ＝(－1)r 54－r C r4x 4－32 r ，令4－32r ＝1得r ＝2，∴当r ＝2时，展开式中x的系数为C 2452＝150.故选B ．2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( )A ．210B ．120C ．461D ．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r. 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210. 3．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n 的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n ＝8；∴(3x －1x)8的展开式通项公式为：T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r＝(－1)r·38－r·C r 8·x4－r，令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ． 4．若9n＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．5．若二项式(2x ＋a x)7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x)7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.6．233除以9的余数是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 [答案] A[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ．[点评] 在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． 二、填空题7．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r ＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.8．已知(x －a x)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[分析] 令T r ＋1项中x 的指数为0可求得常数a 的值；在二项展开式中当x ＝1时即得各项系数的和．[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x)r＝(－a )r ·C r 8·x8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(x ＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n＝8，∴n ＝3. 三、解答题 10．设(1－2x )2016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2016x2016(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2016的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2015的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2016|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2016＝(－1)2016＝1① (2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2016＝32016②①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＝1－32016，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2015＝1－320162.(3)∵T r ＋1＝C r2016·12016－r·(－2x )r＝(－1)r·C r 2016·(2x )r， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2016| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016 ＝32016.一、选择题11．已知(x 2－1x)n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C rn (x 2)n －r(－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，当r ＝23n 时为常数项，即(－1)23n C 2n 3n＝15，经检验n ＝6.12．若n 为正奇数，则7n＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n－1，n 为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.13．若a 为正实数，且(ax －1x)2014的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2014项为( ) A ．1x2014B ．－1x2014C ．4028x2012D ．－4028x2012[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2014＝1，∴a －1＝±1，∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2014项为：T 2014＝C 20132014·(2x )·(－1x)2013＝－2C 12014·x －2012＝－4028x－2012，故选D ．14.设函数f (x )＝(2x ＋a )n，其中n ＝6∫π20cos x d x ，f′0f 0＝－12，则f(x)的展开式中x 4的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60[答案] B [解析] ∵n＝6∫π2cos x d x ＝6sin x|π20＝6，∴f(x)＝(2x ＋a)6， ∴f′(x)＝12(2x ＋a)5，∵f′0f 0＝－12，∴12a 5a 6＝－12，∴a＝－1. ∴f(x)＝(2x －1)6. 其展开式的通项T r ＋1＝C r6(2x)6－r(－1)r ＝(－1)r C r 6·26－r x 6－r，令6－r ＝4得r ＝2，∴f(x)展开式中x 4的系数为(－1)2C 26·24＝240，故选B ．二、填空题 15．观察下列等式：(1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 2＝________.[答案]n n ＋12[解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n n ＋12.16．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________；(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.三、解答题17．在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．[解析] (1)T r ＋1＝C rn ·(3x )n －r ·(－123x )r＝C rn ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3.∵第6项为常数项， ∴r ＝5时有n －2r3＝0，∴n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝2，∴所求的系数为C 210(－12)2＝454.(3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k .∵0≤r ≤10，∴0≤5－32k ≤10，∴－3≤k ≤3，又∵k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5，C 810·(－12)8·x －2.即454x 2，－638和45256x 2. 18.在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n n －18，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n n －18，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r.令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·12r≥C r ＋18·12r ＋1C r 8·12r ≥C r －18·12r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项或第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
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选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C. 2．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项D ．第3、4两项[答案] B[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( )A ．210B ．120C ．461D ．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210.4．(2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k＋…＋(－1)n C n n ＝( )A ．2nB ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.6．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B ＝( )A ．128B ．129C ．47D ．0[答案] A[解析] A －B ＝37－C 1736＋C 2735－C 3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4项的系数是( ) A ．16 B ．70 C ．560D ．1120[答案] D[解析] 考查二项式定理的展开式．设第r ＋1项含有x 4，则T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x －1)r＝C r 8·2r ·x 16－3r ， ∴16－3r ＝4，即r ＝4，所以x 4项的系数为C 4824＝1120.8．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 [答案] D[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.9．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8[答案] C[解析]原式＝(7＋1)n－C n n＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋C n－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010·江西理，6)(2－x)8展开式中不含．．x4项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析](2－x)8的通项式为T r＋1＝C r828－r(－x)r＝(－1)r·28－r C r8x r2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)[答案]2009[解析]令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝2010－1＝2009.12．(2008·北京·11)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.13．(2010·全国Ⅱ理，14)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________.[答案] 1 [解析] 由T r ＋1＝C r 9x9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84，解得a ＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n －1 32[解析] 用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题15．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求：(1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102. (3)∵T r ＋1＝C r 2010·12010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.17．证明：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .[证明] ∵(1＋x )n (1＋x )n ＝(1＋x )2n ，∴(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )＝(1＋x )2n ，而C n 2n 是(1＋x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理得C 0n C n n ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝C n 2n . ∵C m n ＝C n －m n(0≤m ≤n )， ∴(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .18．求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r－k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k . 令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎨⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎨⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎨⎧r ＝4k ＝0.∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4.方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.。