江苏省苏中五市(通泰扬盐淮)第三次调研考试数学学科试题及参考答案(原稿))
江苏省南通扬州泰州淮安徐州宿迁连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试三模试题
江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港2021届高三数学下学期4月第三次调研考试（三模）试题(满分：150分 考试时间：120分钟)一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝{x 21－x≥12}，则A ∩B ＝( ) A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，3] 2. 已知复数z ＝21＋i ＋3i ，则|z |＝( )A. 5B. 5C. 17D. 3＋ 23. 设a ＝314，b ＝log 43，c ＝414，则( )A. c >b >aB. a >c >bC. c >a >bD. a >b >c4. 已知点A (1，1)，B (7，5)，将向量AB →绕点A 逆时针旋转π2得到AC →，则点C 的坐标为( )A. (5，－5)B. (3，－7)C. (－5，5)D. (－3，7) 5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n 经过5步演算得到1，则n 的取值不可能是( )A. 32B. 16C. 5D. 46. 已知双曲线E: x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，AF 2＝2AF 1，则双曲线E 的离心率为( )A. 3B. 5C. 7D. 77. 在数1和3之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成等差数列，将这n ＋2个数的和记为b n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 3b n ＋1b n 的前78项和为( ) A. 3 B. log 378 C. 5 D. log 38 8. 已知函数f (x )＝21n x －x 2e x ＋1.若存在x 0>0，使f (x 0)≥ax 0，则a 的最大值为( ) A. 0 B. －1C. 1－eD. 1－e 2二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9. 在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB →＝a, AC →＝b ，则|AM →|＝( ) A. 12|a －b|B. 12|a ＋b|C. 122（a 2＋b 2）－（a －b ）2D. 12a 2＋b 2 10. 在(2x 2－1x)6的展开式中，下列说法正确的是( )A. 各项系数和为1B. 第2项的二项式系数为15C. 含x 3项的系数为－160 D. 不存在常数项 11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C ：|x |n ＋|y |n＝1，则下列说法正确的是( )A. 曲线C 关于原点成中心对称B. 当n ＝－2时，曲线C 上的点到原点的距离的最小值为2C. 当n >0时，曲线C 所围成图形的面积的最小值为πD. 当n >0时，曲线C 所围成图形的面积小于412. 已知菱形ABCD 的边长为2, ∠ABC ＝π3，将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D ′AC ，连接BD ′.设二面角D ′ACB 的大小为θ，则下列说法正确的是( )A. 若四面体D ′ABC 为正四面体，则θ＝π3B. 四面体D ′ABC 的体积最大值为1C. 四面体D ′ABC 的表面积最大值为2(3＋2)D. 当θ＝2π3时，四面体D ′ABC 的外接球的半径为213三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝6，cos B ＝513，则sinA ＝__________．14. 为了解某小区居民的家庭年收入x (万元)与年支出y (万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ＝b x ＋a ．已知x ＝20, y ＝16，b ＝0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．15. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则直线y ＝15x 与函数y ＝f (x )的图象的交点的个数为________．16. 若矩形ABCD 满足AD AB ＝5－12，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金矩形卡片ABCD ，已知AD ＝2x ，AB ＝2y ，E 是CD 的中点，EF ⊥CD ，FG ⊥EF ，且EF ＝FG ＝x ，沿EF ，FG 剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y ＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝35，且a 1，a 4－1，a 7成等比数列． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin (2x ＋φ)(－π2<φ<0)同时满足下列3个条件中的2个.3个条件依次是：①f (x )的图象关于点(π12，0)对称；② 当x ＝5π12时，f (x )取得最大值；③ 0是函数y＝f (x )＋32的一个零点．(1) 试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由；(2) 求函数g (x )＝f (x )＋6cos 2x 的值域．19．(本小题满分12分)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X (单位：mm).(1) 现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm 的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm 的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)；(2) 若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.20. (本小题满分12分)如图，A 是以BD 为直径的半圆O 上一点，平面BCD ⊥平面ABD ，BC ⊥BD . (1) 求证：AD ⊥平面ABC ；(2) 若BD ＝2BC ＝2，AD ＝2AB ，求二面角ACDB 的余弦值．21. (本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋(y －52)2＝4与抛物线E ：x 2＝my (m >0)相交于点A ，B ，C ，D ，且在四边形ABCD 中，AB ∥CD .(1) 若OA →·OD →＝154，求实数m 的值；(2) 设AC 与BD 相交于点G ，△GAD 与△GBC 组成蝶形的面积为S ，求点G 的坐标及S 的最大值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin 2x －3x .(1)若x ＝π3是f (x )的一个极值点，试讨论f (x )在区间(0，π2)上的单调性；(2) 设－2≤a ≤2，证明：当x ≠0时，xf (x )＜0.2020～2021学年高三年级模拟考试卷(南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁、连云港)数学参考答案及评分标准1. C2. B3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. BC 10. AC 11. ABD 12. BCD 13. 81314. 23.6 15. 7 16. 二十 1203－401517. 解：(1) 设数列{a n }的公差为d (d ＞0)，则S 7＝7a 4＝35，即a 4＝5，(1分) 所以a 1＝a 4－3d ＝5－3d ，a 7＝a 4＋3d ＝5＋3d .因为a 1，a 4－1，a 7成等比数列，所以(a 4－1)2＝a 1a 7，即42＝(5－3d )(5＋3d )，解得d ＝－1(舍去)或d ＝1，(3分) 所以a n ＝n ＋1.(5分)(2) 因为b n ＋b n ＋1＝a n ，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2n －1＋b 2n )＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1(8分) ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n .(10分)18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为①③.(1分) 由条件①知，3sin (2×π12＋φ)＝0，所以2×π12＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.(3分)由条件②知，3sin (2×5π12＋φ)＝3，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(5分)由条件③知，sin φ＝－12，即φ＝2k π－π6或φ＝2k π＋7π6(k ∈Z ).因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π6.综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分) (2) 由(1)知，f (x )＝3sin (2x －π6)，所以g (x )＝3sin (2x －π6)＋6cos 2x ＝3(sin2x cos π6－cos 2x sin π6)＋6×1＋cos 2x 2＝332sin 2x ＋32cos 2x ＋3＝3sin (2x ＋π6)＋3. (10分) 因为－1≤sin (2x ＋π6)≤1，所以0≤g (x )≤6，所以函数g (x )的值域为[0，6].(12分)19. 解：(1) 由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H (4，3，10). P (ξ＝0)＝C 03C 47C 410＝16，P (ξ＝1)＝C 13C 37C 410＝12，P (ξ＝2)＝C 23C 27C 410＝310，P (ξ＝3)＝C 33C 17C 410＝130，(4分)所以ξ的概率分布为ξ 0 1 2 3 P1612310130所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.(6分)另法：因为ξ～H (4，3，10)，数学期望E (ξ)＝nM N ＝4×310＝1.2.(7分)(2) 记“至少有一个零件直径大于124 mm ”为事件A ，因为X ～N (120，4)，所以μ＝120，σ＝2，(8分)所以P (X >124)＝1－P （|X －μ|≤2σ）2≈1－0.954 52＝0.022 75，所以P (X ≤124)≈1－0.022 75＝0.977 25，(10分) 所以P (A )＝1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.答：至少有一件零件直径大于124 mm 的概率为0.205 6.(12分)20. (1) 证明：因为平面BCD ⊥平面ABD ，平面BCD ∩平面ABD ＝BD ，BC ⊥BD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥平面ABD .又AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .(2分) 因为A 是以BD 为直径的半圆O 上一点，所以AB ⊥AD .(4分) 又AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .(6分)(2) 解：在平面ABD 上，过点O 作Oy ⊥BD ， 在平面BCD 上，过点O 作Oz ∥BC ，由(1)知，BC ⊥平面ABD ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为BD ＝2BC ＝2，AD ＝2AB ，则A (12，32，0)，B (1，0，0)，C (1，0，1)，D (－1，0，0)，所以CD →＝(－2，0，－1)，DA →＝(32，32，0).设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·CD →＝－2x －z ＝0，m ·DA →＝32x ＋32y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝－2，所以m ＝(1，－3，－2).(9分)因为y 轴⊥平面BCD ，所以平面BCD 的一个法向量n ＝(0，1，0).(10分) 设二面角ACDB 的平面角为θ，θ为锐角， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n |m||n||＝|1×（－3）|12＋（－3）2＋（－2）2＝64， 所以二面角ACDB 的余弦值为64.(12分) 21. 解：(1) 依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD 是以y 轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设AB <CD ，A ，D 在第一象限，A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，y 1)，C (－x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －52）2＝4，x 2＝my （m >0），消去x ，得y 2＋(m －5)y ＋94＝0 (*).方程(*)有互异两正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －5）2－9>0，y 1＋y 2＝5－m >0，y 1y 2＝94>0，解得0<m <2.(1分)由OA →·OD →＝154，得x 1x 2＋y 1y 2＝154，即m y 1y 2＋y 1y 2＝154.(3分)由y 1y 2＝94，得m ＝1.(5分)(2) 依据对称性，点G 在y 轴上，可设G (0，a ). 由k AG ＝k AC ，得y 1－a x 1＝y 1－y 2x 1＋x 2，所以y 1－a m ·y 1＝y 1－y 2m ·（y 1＋y 2）＝y 1－y 2m， 则a ＝y 1y 2＝32，即G (0，32).(8分)方法一：S ＝S 梯ABCD －(S △GAB ＋S △GCD )＝(x 1＋x 2)(y 2－y 1)－[x 1(a －y 1)＋x 2(y 2－a )] ＝x 1y 2－x 2y 1＋a (x 2－x 1)＝m ·y 1y 2(y 2－y 1)＋a m (y 2－y 1)＝m (y 2－y 1)(y 1y 2＋a )＝3m ·y 1＋y 2－2y 1y 2＝3m （2－m ）(10分) ≤3·m ＋（2－m ）2＝3.当且仅当m ＝2－m ，即m ＝1时，S 最大值为3.(12分)方法二：S 2＝S △ABD －S △ABG ＝x 1(y 2－32)＝my 1(y 2－32)＝m (y 1y 2·y 2－32y 1)＝32m (y 2－y 1)＝32m ·y 1＋y 2－2y 1y 2(10分)＝32m （5－m －3）＝32－（m －1）2＋1≤32，所以S ≤3. 当且仅当m ＝1时，S 最大值为3.(12分)22. 解：(1) f ′(x )＝2a sin x cos x －3＝a sin 2x －3， 由f ′(π3)＝32a －3＝0，知a ＝2，(2分)所以f ′(x )＝2sin 2x － 3.令f ′(x )>0，x ∈(0，π2)，得π6<x <π3；令f ′(x )<0，x ∈(0，π2)，得0<x <π6或π3<x <π2，所以f (x )在(π6，π3)上单调递增，在(0，π6)和(π3，π2)上单调递减．(4分)(2) (i) 当0≤a ≤2时，f (x )≤2sin 2x －3x ，设h (x )＝2sin 2x －3x . ①当0<x <π2时，由(1)知h (x )极大＝h (π3)＝32－33π<0，又h (0)＝0，所以h (x )<0，从而f (x )<0. ②当x ≥π2时，f (x )≤h (x )≤2－32π<0.由①②知，当x >0时，f (x )<0 (a)；(6分)当x <0时，f (x )≥－3x >0 (b).由(a)(b)得，x ≠0时，xf (x )<0.(8分)(ii) 当－2≤a <0时，方法一：当x <0时，f (x )≥－2sin 2x －3x ，设g (x )＝－2sin 2x －3x ，g ′(x )＝－2(sin2x ＋32). ①当－π2<x <0时，由g ′(x )＝0，得x 1＝－π6，x 2＝－π3，同理有g (x )极小＝g (－π3)＝－32＋33π>0，又g (－π2)>g (－π3)>0，g (0)＝0，所以g (x )>0，从而f (x )>0.(10分)②当x ≤－π2时，f (x )≥－2＋32π>0.由①②得，当x <0时，f (x )>0 (c)；当x >0时，显然f (x )<0 (d).由(c)(d)得，x ≠0时，xf (x )<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)方法二：则0<－a ≤2，则g (x )＝－a sin 2x －3x ，满足x ≠0时，xg (x )<0. 又y ＝xf (x )与y ＝xg (x )的图象关于y 轴对称，所以x ≠0时，xf (x )<0. 由(i)(ii)结论获证．(12分)。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第三次调研考试数学试题(解析版
江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合，，则____．『答案』『解析』因为，所以2.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___．『答案』-3『解析』因为因为复数是纯虚数，所以解得：3.下图是一个算法流程图．若输出的值为4，则输入x的值为____．『答案』-1『解析』当时，由流程图得：令，解得：，满足题意。
当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意。
故输入的值为：4.已知一组数据6，6，9，，的平均数是，且，则该组数据的方差为____．『答案』『解析』因为数据6，6，9，，的平均数是所以，整理得：又，解得：或此时都等于所以该组数据的方差为5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为____．『答案』『解析』由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为6.已知函数则不等式的解集为____．『答案』『解析』由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为7.已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．『答案』14『解析』设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：所以8.在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为____．『答案』2『解析』由题可得：双曲线（）的右准线方程为：，两条渐近线方程分别，由可得：由双曲线的对称性可得：所以△AOB的面积为整理得：，即：所以该双曲线离心率为9.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角的梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为____cm3．『答案』『解析』依据题意，作出如下直角梯形：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2023届高三三模数学试题(含答案与解析)
江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市2023届高三第三次调研测试数 学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接.的收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02B. －83.98C. －93.01D. －96.025. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A29B.C.23D.6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A.B.C.D.8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝110. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D. .11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A =D. ()712P AB AB +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.214. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____． 15. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____． 16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sinA ＋c sin C ＝4a sin C sinB ，则FH ＝_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．（1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ．21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =． （1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>； （2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 取值范围． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为{}13A x x =≤≤，{4B x x =或}2x <， 所以{}24U B x x =≤≤ð，(){}14U A B x x ⋃=≤≤ð，的故选：A ．2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将22a b a b -=+ 两边平方转化为0a b ⋅=，从而得到与a b ⊥ 之间的关系.【详解】若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以2222445a b a a b b -=-⋅+= ， 2222445a b a a b b +=+⋅+= ，所以22a b a b -=+ ，满足充分性； 若22a b a b -=+ ，两边平方得0a b ⋅= ，所以a b ⊥ ，满足必要性．故选：B ．3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种【答案】A 【解析】【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有55A 种，计算即可.【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有55A 120=种.故选：A4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02 B. －83.98C. －93.01D. －96.02【答案】B 【解析】 【分析】由7310r P E E S-=⨯，可得9410r P E E -=⨯，代入10lg r P E E Γ=，由对数的性质求解即可.【详解】因为7310r P E E S-=⨯，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2， 所以77933101041075r P E E S ---=⨯=⨯=⨯， 则910lg 41010lg 490100.6029083.98-Γ=⨯=-=⨯-=-， 故选：B ．5. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A.29B.C.23D.【答案】D 【解析】【分析】由SOM SOB ~可得123OO SO ==，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.【详解】圆锥，如图，由SOM SOB ~ 可得：1113O M SO OB SO ==，∴113SO SO =，∴123OO SO ==,圆柱侧面积2112π3S r r =⋅=， 圆锥侧面积2212π22π2S r r r =⋅⋅=，1212S S ==. 故选：D ．的6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+【答案】D 【解析】【分析】由椭圆的定义结合题意可得11145PQ PF PM PF PM r PF MF +≤++=++-≤+，即可求出PQ ＋PF 的最大值.【详解】圆M ：()2231x y +-=的圆心为()0,3,1M r =，设椭圆的左焦点为1F ，如下图，由椭圆的定义知，124PF PF a +==， 所以14PF PF =-，所以1111455PQ PF PM PF PM r PF PM PF MF +≤++=++-=+-≤+，当且仅当1,,M P F 三点在一条直线上时取等，()0,3M ，()1F ，1MF =()max 5PQ PF +=+.故选：D ．7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，为所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80sin80tan 0θ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80︒︒+︒︒+︒=-==︒故选：A ．8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+【答案】C 【解析】【分析】分别取3b =，4b =，4a =，利用对数运算求解判断. 【详解】若3b =，则21log a =，∴2a =，()2ln 3ln ln 2c =，122a b +=，故A 错．若4b =，则23log 4log c =，∴9c =，122c b +>，故B 错．若4a =，则9b =，22ln 3ln 3.5ln 2c =≈， 3.5e c =．对于C ， 3.53.5 3.55455555log 4log elog 93.4log e log 4e log 4e>2log 5>+=+=，故C 对，对于D ， 3.53.5555log 91log e log 5e >+=，而3e 20≈，故D 错，故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝1【答案】AD 【解析】【分析】设i z a b =+.A 选项，0b =，后由共轭复数定义可得答案；B 选项，注意到2i 1=-；C 选项，注意到()21-i=-；D 选项，利用复数除法可得z ，后由复数模公式可判断选项正误.【详解】设i z a b =+.A 选项，因z ∈R ，则0b =，则i i z a b a b z =+=-=，故A 正确；B 选项，注意到21i R =-∈，但i R ∉，故B 错误；C 选项，注意到()21-i=-，则z 有可能为i -，故C 错误；D 选项，()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-，则1z =，故D 正确 故选：AD10. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D.【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，通过证明1EF BC ∥即可判断选项正误；B 选项，通过证明CE ⊥平面11ABB A ，可得二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠；C 选项，利用等体积法结合11B AA C V -可得答案；D 选项，利用正弦定理，可得ABC 外接圆半径，后可得球的半径. 【详解】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，因F ，E 分别为1,AC AB 中点， 则1EF BC ∥，因EF ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，则BC 1 平面A 1EC ，故A 正确； B 选项，由题可得1A A ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，则1CE A A ⊥.又CEAB ⊥，1∩AA AB A =，1AA ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，则CE ⊥平面11AA B B .又1A E ⊂平面11AA B B ，则1CE A E ⊥，结合CEAB ⊥，可知二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠，则11si n AA αA E===，故B 错误；C 选项，设点A 到平面A 1BC 1的距离为d ，取AC 中点为G ，连接BG ..则111111111133B AA C AA C A BC A A BC V S BG S d V --=⋅== ，又111111122AA C S AA A C =⋅=，BG =，11111BA BC A C ===，由余弦定理可得11221344cos A BC +-∠==，则11si n A BC ∠==，得11111112si n A BC SBA BC A BC =⋅⋅∠=则1111AA C A BC S BG d S ⋅=== C 正确. D 选项，设ABC 外接圆半径为r，由正弦定理，2r r =⇒=又设三棱锥外接球半径为R ，则三棱锥外接球与以111,A A C C B B外接圆为底面的圆柱外接球相同，则R ===.故D 正确 故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因()()2f x f x +=-，则()f x 关于1x =对称，又因()()4f x f x -=-，则()f x 关于()2,0对称，所以()f x 的周期为4，A ：因()()4f x f x -=-，所以()()130f f +=，当01x <≤时，()33f x x x =-，所以()1132f =-=-，∴()32f =，故A 错．B ：当01x <≤时()2330f x x '=-<，∴()f x 在(]0,1上单调递减， ()()π4πf f =--，()()()()e 4e 22e e 2f f f f =--=-+-=--，因0e 24π1<-<-<，所以()()e -24πf f >-，即()()e -24πf f -<--， 所以()()πe f f >，故B 正确.C ：()f x 关于1x =对称且关于()2,0对称，所以()f x 关于()0,0对称，即()f x 为奇函数，()f x '∴为偶函数，故C 正确.D ：因()f x 在(]0,1上单调递减，()f x 关于()0,0对称，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，因()f x 的周期为4，所以()f x 在[)3,4上单调递减，所以702f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：BC.12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A. ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A = D. ()712P AB AB +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-， 所以()112P AB =，故A 错误； 对于B ：()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确. 对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+， ()()()P B P AB P AB =+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =， ∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.2【答案】6.4##325【解析】【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据a 的值. 【详解】由题意及表知，1234542x +++==，()117.63.8 5.68.244a y a +=+++=，∵回归方程是 3.5y x =+， ∴17.6 2.5 3.54a+=+， ∴ 6.4a =． 故答案为：6.4.14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75 【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解. 【详解】解：1523a a a += ， ∴112433a d a d +=+， ∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+． 故答案为：11415. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____．【解析】【分析】根据二倍角公式求出2ba=，再求出离心率即可. 【详解】易知MN 关于x 轴对称，令12MF F α∠=，5cos213α=， ∴2159cos121313α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，24sin 13α=，∴24tan 9α=，∴2tan 3α=．()22b c y x x a bc b y y x c a a ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==--⎪⎪⎩⎩，,22c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22tan 332bc a c α==， ∴2ba=，∴c e a ===． 故答案为:16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sin A ＋c sin C ＝4a sin C sin B ，则FH ＝_____________．【答案】【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出FH 的长度. 【详解】由题意， 在ABC 中，34S =，sin sin 4sin sin a A c C a C B +=， 由正弦定理，sin sin sin a b cA B C==， ∵13sin 24S ac B ==， ∴224sin 6a c ac B +==， 连接,,BF BH FH 如下图所示，BFH △中，由余弦定理， 2222cos FH FB HB FB HB FBH =+-⋅⋅∠， 又3π2FBH B ∠=-，在∴()222223π2cos 24sin 182FH FB HB FB HB B c a ac B ⎛⎫=+-⋅⋅-=++= ⎪⎝⎭，∴FH =故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象． （1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．【答案】（1（2）150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．【解析】【分析】（1）由函数图象变换知识可得()πsin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，后由()y g x =单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.后由54122≤k k ++可进一步确认k 大致范围，后可得答案.【小问1详解】函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，则解析式变为： πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为4πsi n ωx ⎛⎫-⎪⎝⎭.则()πsin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当ππ44x -≤≤时，3πππ2444≤≤x --，因函数sin y x =在342ππ,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，12πsi n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3444πππm ax si n ,si n si n ⎧⎫⎛⎫-==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∴π1sin 24≤≤x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【小问2详解】()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ω，当ππ42x <<时，πππππ44424x -<-<-ωωω，要使()g x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.54122k k ω⇒++≤≤，k ∈Z ，0ω>，5341224k k k ++⇒≤≤，当0k =时，512ω≤≤；当1k =-时，113022ωω-⇒<≤≤≤， 当2k ≤-时，0ω<舍去．综上：ω的取值范围为150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】分析】（1）由2156n n n a a a ++=-构造出()21122n n n n a a q a a +++-=-，用等比数列定义证明即可； （2）通过两次构造等比数列，求出{}n a 的通项公式，根据通项公式得出结论即可. 【小问1详解】由已知，2156n n n a a a ++=-，∴21112562n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211123632n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然120n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴120n n a a +-≠，【∴211232n n n na a a a +++-=-，∴数列{}12n n a a +-是首项为212523a a -=-=，公比为3的等比数列. 【小问2详解】∵2156n n n a a a ++=-，∴21113563n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211132623n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然130n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴130n n a a +-≠， ∴∴211323n n n na a a a +++-=-，∴数列{}13n n a a +-是首项为213532a a -=-=，公比为2的等比数列， ∴132nn n a a +-=，①，又∵由第（1）问，123nn n a a +-=，②， ∴②-①得，32nnn a =-，∴存在3nn b =，2n n c =-，两个等比数列{}n b ，{}n c ， 使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析，2320（2）18113【解析】【分析】（1）求出ξ的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，由条件概率公式代入求解即可. 【小问1详解】ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()1444045525P ξ==⨯⨯=，()1234411414145545525P C ξ==⨯⨯+⨯⋅⨯=，()12314111124554554P C ξ==⨯⋅⨯+⨯⨯=，()31133455100P ξ==⨯⨯=， ∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P425 1425 14 3100()14191152325210010020E ξ=++==． 【小问2详解】记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，()()()10.151851111130.60.150.05456P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯+⨯．20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ． 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，设()0,0,P t ，PM λPE =，由平面MBD ⊥平面PBC ，可得两平面法向量互相垂直，即可得221t λt =+，据此可知可选择①④或②③；（2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD 法向量，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因PD ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，则,PD DB PD DC ⊥⊥， 又由题可知DB DC ⊥，则如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，则)B，()0,0,0D，()C，E ⎫⎪⎪⎭，设()0,0,P t ()0t >，()01PM λPE λ=<<.则)DB =，)0,PB t =-，()0,PC t =-，,,PE t ⎫=-⎪⎪⎭，()00,,DP t =.故()1,,DM DP PM DP λPE λλλt ⎫=+=+=-⎪⎪⎭. 设平面MBD 法向量为()1111,,n x y z =，则()111111010DB n DM n x y tz λ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令11y =，可得101,,n ⎛= ⎝ ； 设平面PBC 法向量为()2222,,n x y z =，则2222220PB n tz PC n tz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可令221x y ==，可得211,,n ⎛= ⎝ . 要使平面MBD ⊥平面PBC ，需满足()12221021λn n λt ⋅=+=⇒-221t λt =+.注意到条件①t ⇔=，PD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PD DE ⊥，又由题可知1DE =，则条件②t ⇔=条件③34λ⇔=，条件④23λ⇔=. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有221t λt =+，即可以使平面MBD ⊥平面PBC ；【小问2详解】由（1），当选择①④时，t =，(P ，23λ=.则(BP =，平面MBD法向量为()101011,,,,n ⎛==- ⎝，设BP 与平面MBD 所成角为θ，则111sin 2BP n BP n ⋅===⋅θ；当选择②③时，t =，(P ，34λ=.则(0,BP =，平面MBD法向量10101,,,,n ⎛⎛==- ⎝⎝， 设BP 与平面MBD 所成角为θ，则113sin 5BP n BP n ⋅===⋅θ；.21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．【答案】（1）220x y ++=（2）27 【解析】【分析】（1）根据题意求得21:16C y x =，22:2C x y =，利用导数的几何意义，求得切线l 的方程202x y x x =-，根据l 为曲线12,C C 的公切线，联立方程组，结合Δ0=，进而求得l 的方程； （2）设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，根据94MA NA OA += ，列出方程得到关系式()()()12121220t t t t t t +---=，分类讨论，即可求解．【小问1详解】因为曲线12,C C 都过点()4,8A ，所以8641616p q=⎧⎨=⎩，解得8,1p q ==，即21:16C y x =，22:2C x y =设直线l 与曲线2C 相切于点200,2x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()22x f x =，可得()f x x '=，则切线的斜率()00k f x x '==，所以切线方程为()20002x y x x x =-+，即2002x y x x =-，由2002216x y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22001680x y y x --=， 因为l 为曲线12,C C 的公切线，所以30Δ256320x =+=，解得02x =-，所以直线l 的方程为22y x =--，即220x y ++=． 【小问2详解】设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，又()4,8A ，()()()221212982,16424,89,184MA NA t t t t +=----=⨯= ，所以212212829164218t t t t ⎧--=⎨--=⎩，可得212221210210t t t t ⎧++=⎨++=⎩，两式相减得到()()()12121220t t t t t t +---=，当121t t ==-时，()1,4M -，()2,2N -，此时()3,12MA = ，()6,6NA =，则MA =，NA = 90MA NA ⋅=，可得,co s MA NA MA NA MA NA ⋅===，所以,sin MA NA =所以1,1sin 2272AMNS MA NA MA NA ⋅=== ； 当12t t ≠时，122t t +=，此时211250t t -+=方程无解，（舍去），综上，可得AMN 的面积为27．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =．（1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>；（2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）()[),01,-∞⋃+∞． 【解析】【分析】（1）令()sin h x x x =-，对()h x 求导，得到()h x 的单调性可证得sin x x >，令()sin cos k x x x x =-，对()k x 求导，可得()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即可证得sin cos x x x >，即可证得()()x g x f x ><； （2）由题意分析可得要使()()sin f x x g x x <恒成立即π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0sin x x x F x x a x =->恒成立，通过放缩变形证明()0F x >恒成立，即可求出a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()sin g x x =，所以即证：sin cos x x x x >>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 先证左边：sin x x >，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=->，()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴()()00h x h >=，即sin x x >．再证右边：sin cos x x x >，令()sin cos k x x x x =-，()cos cos sin sin 0k x x x x x x x =-+=>'，∴()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()()00k x k >=，即sin cos x x x >， ∴π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()x g x f x >>． 【小问2详解】()()sin sin cos sin f x x x x xx g x x a x-=-， 令()sin cos sin x x x F x x a x =-，ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()F x F x -=，所以题设等价于()0F x >在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，由（1）知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x x >>，于是：①当0a <时，()0F x >恒成立；②当0a >时，()0F x >等价于22sin cos 0a x x x ->， （i ）当01a <<时，22sin cos a x x x -()222cos cos ax x x x a x <-=-，令()cos p x a x =-，因为()cos p x a x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增， 且()π010,02p a p a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以存在π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0p β=， 所以当0x β<<，()0p x <，即()2cos 0x a x -<，不合题意；(ii)当1a ≥时，2222sin cos sin cos a x x x x x x -≥- 令()22sin cos r x x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()222sin cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin r x x x x x x x x x x x x =-+>-'+，()2222221cos sin 4sin sin 4sinsin 0222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--=-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()r x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00r x r >=，所以22sin cos 0a x x x ->，所以()0F x >. 综上：a 的取值范围为()[),01,-∞⋃+∞．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >转化为证明()()0f x g x ->，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
2020届江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第三次调研考试数学试题(解析版)
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【答案】 33 65
【解析】
【分析】
计算得到 sin( + ) = 12 ， cos = 4 ，再利用和差公式计算得到答案.
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5
【详解】∵ ， 均为锐角，∴ + (0, ) ，从而 sin( + ) 0 ， cos 0 ，
∵ cos( + ) = 5 ， sin = 3 ，∴ sin( + ) = 12 ， cos = 4 ，
江苏省苏北七市 2020 届高三第三次调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填 写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1.已知集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则 A B＝_______． 【答案】{﹣1，0，1，2} 【解析】 【分析】 直接利用集合的并集运算求解. 【详解】解：∵集合 A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}， ∴A B＝{﹣1，0，1，2}． 故答案为：{﹣1，0，1，2} 【点睛】本题主要考查集合 并集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
故答案为 5 【点睛】本题考查程序框图的应用，明确每次循环，准确判断何时结束循环是关键，是基础题 4.某校高一、高二、高三年级 学生人数之比为 4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用
的 分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了 20 名学生，则 n 的值是_______．
【解析】 【分析】
由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件 k2 − 4k 0，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 k 值
【详解】模拟执行程序，可得 k=1
高三数学第三次调研试卷南通扬州泰州附答案
江苏省泰州市2017届高三第三次调研测试数学Ⅰ 2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每题 5 分，共 70分）设复数，为虚数单位），若，则的值是 . 1. 已知会合，则 . 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的2 首，则甲、乙 2 两首歌曲最罕有 1 首播放的概率是 . 4. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是. 5．为检查某高校学生对“一带一路”政策的认识情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500 的样本 .其中大一年级抽取 200 人，大二年级抽取 100人， . 若其余年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 . 6.设等差数列的前项和为，若公差，则的值是. 7.在中， . 若的面积为，则的长是 .8．在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是. 9.已知圆锥的侧面张开图是半径为 3 ，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为. 10.若直线为曲线的一条切线，则实数的值为. 11.若正数知足，则的最小值是 . 12. 如图，在直角梯形中， , 若分别是线段和上的动点，则的取值范围为 . 13. 在平面直角坐标系中，已知点，为圆上一个动点，则的最大值为 . 14. 已知函数，若函数恰有2 个不同样的零点，则实数的取值范围为.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90分 . 解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.（此题满分 14分）已知函数图象的两条对称轴之间的距离为，且经过点（ 1 ）求函数的剖析式；（2）若角知足，求的值 .16. （此题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，分别为棱的中点.（ 1）平面；（ 2 ）平面 .17.（此题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点（ 1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB过点F,且与轴不垂直，若D为轴上的一点，,求的值 .18.（此题满分16分）如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面表示图.半径OA的长为 1百米，为了保护景点，基底管理部门从道路上采纳一点C,修建参观线路C-D-E-F，且CD,DE,EF 均与半圆. 相切，四边形CDEF为等腰梯形，设DE=t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为万元，经测算（ 1）用表示线段的长；（2）求修建该参观线路的最低花销.19.（此题满分16分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，正整数组 .（ 1）若，求的值；（ 2）若数组E中的三个数组成公差大于1的等差数列，且，求的最大值；（3）若，试写出知足条件的一个数字E和对应的通项公式.（注：本问不用写出解答过程）20.（此题满分16分）已知函数，记的导函数为（1）证明：当时，在R上单一递增；（ 2）若在处获取极小值，求的取值范围；（ 3）设函数的定义域为D,区间，若在上是单一函数，则称在 D上广义单调，试证明函数在上广义单调.江苏省泰州市2017届高三第三次调研测试数学Ⅱ21.【选做题】在A,B,C,D四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB为圆O的一条弦，点P为弧AB的中点，过点P任作两条弦PC,PD,分别交AB于点E,F.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，点在M对应的变换作用下获取点，求矩阵M的特征值 .C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. （本小题满分 10分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，（ 1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长 .23.（本小题满分10分）已知函数，设是的导数（ 1）求；（ 2）猜想的表达式，并证明你的结论 .。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2020届高三数学第三次调研考试(5月)试题
江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2020届高三数学第三次调研考试（5月）试题(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________． 7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________．9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝43CA →·CB →，则CB ＋12CD 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)．(1) 求角C 的值；(2) 若a ＝4b ，求sin B 的值．16.(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC ，BP ＝BC ，点E ，F 分别是PC ，AD 的中点．求证：(1) BE⊥CD；(2) EF∥平面PAB.(本小题满分14分)17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N.若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF 处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2) 当风筝面AEA′F的面积为 3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．已知数列{a n }满足(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1(n≥2)，b n ＝1a n－n(n∈N *)．(1) 若a 1＝3，求证：数列{b n }是等比数列；(2) 若存在k∈N *，使得1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列．①求数列{a n }的通项公式；②求证：ln n ＋12a n ＞ln(n ＋1)－12a n ＋1.已知函数f(x)＝ax21＋ln x(a≠0)，e 是自然对数的底数．(1) 当a ＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x≥12，f (x)≥2e b －1(b∈R )，求b a的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x＜0的解集.2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)．(1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a∈R ，若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，求a 的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．表1文章学习积分 1 2 3 4 5概率1919191612表2视频学习积分 2 4 6概率161312(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P2－Q2的值；(2) 化简nP n－Q n.2020届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455. 12 6. (－2，0)∪(2，＋∞) 7. 14 8. 29. 7π3 10. －15811. 43 12. 6 13. －13 14. 26215. 解：(1) 在△ABC 中， 因为a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以a(a －b)＝(b ＋c)(c －b)，(3分)即a 2＋b 2－c 2＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得cos C ＝12.(5分)因为0<C<π，所以C ＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a ＝4b 及a 2＋b 2－c 2＝ab ，得c 2＝16b 2＋b 2－4b 2＝13b 2，即c ＝13b.(10分)由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得13b 32＝b sin B，所以sin B ＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝4sin B. 由A ＋B ＋C ＝π，得sin(B ＋C)＝4sin B.因为C ＝π3，所以12sin B ＋32cos B ＝4sin B ，即7sin B ＝3cos B ．(11分)因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得sin 2B ＝352.在△ABC 中，因为sin B>0，所以sin B ＝3926.(14分) 16. 证明：(1) 在△PBC 中，因为BP ＝BC ，点E 是PC 的中点，所以BE⊥PC.(2分) 因为平面BPC⊥平面DPC ，平面BPC∩平面DPC ＝PC ，BE 平面BPC ， 所以BE⊥平面PCD.(5分)因为CD平面DPC ，所以BE⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB 的中点H ，连结EH ，AH. 在△PBC 中，因为点E 是PC 的中点，所以HE∥BC，HE ＝12BC.(9分)又底面ABCD 是平行四边形，点F 是AD 的中点，所以AF∥BC，AF ＝12BC.所以HE∥AF，HE ＝AF ，所以四边形AFEH 是平行四边形， 所以EF∥HA.(12分)因为EF 平面PAB ，HA 平面PAB ，所以EF∥平面PAB.(14分) 17. 解：(1) 因为椭圆C 的上顶点为A(0，3)，所以b ＝ 3.又圆O ：x 2＋y 2＝14a 2经过点M(0，1)，所以a ＝2.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k2.(8分) 由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1kx ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k2.(11分) 所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系，则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分) 设F(0，b)(b>0)，因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以b ＝|4b －6|5，解得b ＝23或b ＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23m 2，。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2022届高三下学期第三次调研测试数学试题(
一、单选题二、多选题1. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）A．B．或C．或D．3. 已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）A ．6B ．12C．D．4. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，若对任意实数，都有，则的最小值是（ ）A ．B．C．D．6. 已知复数z 的共轭复数是，若，则（ ）A ．1B．C．D．7. 已知函数（是自然对数的底数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（ ）A ．54种B ．66种C ．90种D ．112种9. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示i 号箱有奖品（i ＝1，2，3，4），用表示主持人打开j 号箱子j ＝2，3，4），下列结论正确的是（ ）A．B．C ．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱D ．要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱10. 已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）A．B．C ．0D ．211. 已知，则（ ）A．B．C．D．江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2022届高三下学期第三次调研测试数江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2022届高三下学期第三次调研测试数三、填空题四、解答题12.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（ ）A ．是奇函数B ．的周期为C．的图象关于点对称D．的单调递增区间为13. 已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为______．14.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.15.若，则______．16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求的值；(2)若，求的面积.17.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.18. 如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.（1）证明：平面；（2）已知，求四面体的体积.19. 某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布.（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?参考数据：若，则.20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求中的最大值；(2)求边上的中线长．21. 设a为实数，函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)判断函数零点的个数．。
南通泰州扬州连云港淮安五市2021届高三第三次调研测试数
南通泰州扬州连云港淮安五市2021届高三第三次调研测试数南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2021届高三第三次调研测试数南通、台州、扬州、连云港、淮安三次调研测试数学试题一、填空：这个大问题有14个小问题，每个小问题5分，总共70分。
1.已知集合a2，1?， B1，2?，那么AUB呢？▲．s?0开始s?s?400【答案】(?2，2)2.让复数Z满足（3？4I）Z？5.0（I是一个虚单位），那么复数z的模为▲．【答案】13.右图为算法流程图，s输出值为▲【答案】24004.“M？N”是▲ 建立“log2m？Log2n”的条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分5.右图所示为根据一定时间内固定测速点测得的100辆过往机动车的行驶速度（单位：km/h）绘制的频率分布直方图。
本段限速标志表示机动性车辆正常行驶速度为60km/h~120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为▲．【答案】150.01750.01500.01000.00500.002540680010120220速度/公里/小时(第5题)频率组间距≤ 2000yn，从输出s开始（问题3）第1页6.在平面直角坐标系xoy中，抛物线x2？2PY（P？0），如果从坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点点到准线的距离为▲．[答：]47．从集合?1，2，3，4，5，6，7，8，9?中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为▲．[答：]1128．在平面直角坐标系xoy中，设点p为圆c：(x?1)2?y2?4上的任意一点，点q(2a，A.3)y5(a?r)，则线段pq长度的最小值为▲．[答：]5？二9．函数f(x)?asin(?x??)(a?0，??0，0≤??2?)在r上部分图像如图所示，则F（2022）的值为▲. [答]？532? 1o511x（问题9）10．各项均为正数的等比数列?an?中，a2?a1?1．当a3取最小值时，数列?an?的通项公式an=▲．【答案】2n?12.十、≥0，? 斧头？2倍？1, 11. 已知函数f（x）？？2是一个偶数函数，直线y？T和函数y？F（x）的图像是从左到右的x?bx?c，x?0??右依次交在四个不同的点a，B，C，D.如果AB？那么实数T的值是▲. [答]？七4x12．过点p(?1，0)作曲线c：y?e的切线，切点为t1，设t1在x轴上的投影是点h1，过点第2页h1再作曲线C的切线，切点T2，设T2在x轴上的投影为点H2，？，依次下去，拿到第二个n?1(n?n)个切点TN？1.点击TN？1的坐标是▲n【答案】?n，e?13.在平面四边形ABCD中，点E和F分别是边AD和BC的中点，ab？1，ef？2，cd？3．若ad?bc?15，则ac?bd的值为▲．【答案】13二14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1?a2?a3?0，a1a4?a2a4?a2?0，且a1?a2?a3，则UuUuUra4的值范围是▲．1.5[答]？1.5，22?? 2、回答问题15．如图，在四棱锥p?abcd中，底面abcd是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：ab//平面pcd；（2）求证：平面pac?平面abcd．证明：（1）在矩形abcd中，ab//cd，又ab?平面pcd，cd?平面pcd，那么AB/平面PCD6点（2）如图所示，连接BD，在点O处与AC相交，连接Po， bd的中点，在矩形abcd中，点o为ac，bpaodc（问题15）又pa?pb?pc?pd，故阿宝？bdpo？交流电，，9分第3页又acibd?o，ac，bd?平面abcd，所和po?平面， 12分又po?平面pac，所飞机上的pac?平面． 14分16．在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c．已知（1）求角b的大小；（2）设置t？sin2a？sin2b？Sin2c，求T的取值范围。
南通、扬州、淮安、泰州四市高三第三次调研数学试题
（第5开始 输入x y ←5x <4y ←x 2-2x +2输出y 结束 Y N （第4题）时间（小频率 组距0.0040.008 0.012 0.016 0南通、扬州、淮安、泰州四市高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ． 【答案】02．已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ． 【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】-34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，中的频数为100，则n 的值为 ▲ ． 【答案】10005． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】-46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案10 8． 在等差数列{a n }中，若a n +a n +2=4n +6（n ∈N *），则该数列的通项公式a n = ▲ ．【答案】2n +19． 给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；（第10ACDEF（第11题）P ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3． 【答案】21+11． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】525-12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】（-5，0）13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P （-5，a ）作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3或-214．已知正实数x ，y 满足24310x y x y +++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． （1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：（1）因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线， 故B 1C ⊥平面ABC 1． 5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． 7分（2）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式； （2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：（1）由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分ABCDA 1B 11（第15题答图）E F ABCDA 1B 11（第15题）ExyO 2-23π- 32πT =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分 （2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分=2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(3-0)，F 230)，且经过点312)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：（1）方法一依题意，c 3a 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4． 故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e 3．…………………………………………………………………… 5分方法二由椭圆的定义知，2a 222211(33)(0)(33)(0)22--+--+-4，yxOF 1F 2BC （第17题） D即a =2．…………………………………………………………………………… 2分又因c 3b 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分 又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=． 所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．…………………………………………14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．……………………9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分 下同方法一．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB 长为503m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：（1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅， 即222(503)m n mn =++，…………………………………………………… 2分 所以，22222()3(503)()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值． 答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形． 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ， 则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=-=625(38sin )(8cos 1)θθ+-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+-，(0]6θπ∈，．…………12分（一直没有交代范围扣2分）令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+，(0]6θπ∈，，()83sin 8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，ABCDPQ（第18题）O ABCDPQ（第18题答O EF又y =16sin()6πθ-+及y =cos2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因31()16(4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+． 答：当6θπ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为625(8153)+ m 2．… 16分19．（本小题满分16分） 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：（1）当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分 所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分（2）满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --． 证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1． 设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-． 若q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分若q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分（3）因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1nn a a +≤1，于是0＜221n n a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-．故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2． 所以，0≤S n ＜2．………………………………………………………………… 16分20．（本小题满分16分） 已知函数1()ln f x a x x=--（a ∈R ）． （1）若a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：（1）由题设，()f x '=21xx-，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．…………………… 2分 所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分 （2）()f x '=21xx -，令()f x '=0，得x =1． 当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减； 当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0； 另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )，于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 （3）证：先证x 1+x 2＞2． 依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增．于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点． 由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿（1）知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0． 故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+， 1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜， 于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，BC 为圆O 的直径，A 为圆O 上一点，过点A 作圆O 的切线交BC 的延长线于点P ，AH ⊥PB 于H ． 求证：PA ·AH =PC ·HB ．证：连AC ，AB ． 因BC 为圆O 的直径，故AC ⊥AB ． 又AH ⊥PB ，故AH 2=CH ·HB ，即AH HBCH AH=．……………………………… 5分因PA 为圆O 的切线，故∠PAC =∠B ． 在Rt △ABC 中，∠B +∠ACB =90°． 在Rt △ACH 中，∠CAH +∠ACB =90°． 所以，∠HAC =∠B ． 所以，∠PAC =∠CAH ， 所以，PC PA CH AH =，即AH PACH PC=． 所以，PA HBPC AH=，即PA ·AH =PC ·HB ．………………………………………… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，0），B （2，0），C （1，2），矩阵01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ，点A ，B ，C 在矩阵M 对应的变换作用下得到的点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M ，即1(00)(01)(2)2A B C '''--，，，，，．…………………………………………………… 6分故1212S A B ''=⨯⨯=．……………………………………………………………… 10分CABOP（第21（A ）题答HCABOP（第21（A ）HC ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()204ρθπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且22AB =r 的值．解2cos()204ρθπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离2d =，由222AB r d =-2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥． 证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0． 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． （1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角E -BD -C 13， 求1AEAA 的值． 解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ．A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）1设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）． 2分（1）设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ， 1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =（x ，y ，z ），(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，11110sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n ， 所以1AD 与平面11BB D D 10．………………………… 6分（2）设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=（x 1，y 1，z 1），平面1BDC 的法向量为n 2=（x 2，y 2，z 2）， (110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，， 令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，1212212cos ,||||321λ⋅<>=+n n n n n n ，23321λ=+，得1λ=．所以112AE AA =．……………………………10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：（1）由题意可知X 2=3，4，5．当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：X 23 4 5 P964 3564 516数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。
2023年江苏省盐城市中考数学三调试卷附解析
2023年江苏省盐城市中考数学三调试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．中央电视台“幸福52”栏目中“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张笑脸，若某人前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．320 2． 已知β为锐角，且tan β=3.387 ,则β等于（ ） A ．73033′ B ． 73027′ C ． 16027′ D ． 16021′3．如果抛物线24(1)y x m =++的图象与x 轴有两个交点，那么 m 的取值范围是（ ） A ．m>0 B ．m<0 C ．m<-1D ．m>-1 4．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，3AB =，4AC =，将ABC △沿直线BC 向右平移2.5个单位得到DEF △，连结AD AE ，，则下列结论中不成立．．．的是（ ） A ．AD BE ∥B ．ABE DEF ∠=∠C ．ED AC ⊥D ．ADE △为等边三角形 5．下列语句是命题的有 （ ）①若两个角都等于50o ，则这两个角是对顶角； ②直角三角形一定不是轴对称图形； ③画线段AB ＝2㎝；④在同一平面内的两条直线，若不相交，则平行A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．当代数式235x x ++的值为 7时，代数式2392x x +-的值是（ ） A ．4 B ．0 C ．-2D ．-4 7．正比例函数(0)y kx k =<，当13x =-，20x =，32x =时，对应的1y ，2y ，3y 之间的关系是（ ）A ．32y y <，12y y <B ．123y y y <<C ．23l y y y >>D ．无法确定8．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．分式方程11888x x x +=+--的根是（ ）A．x=8 B．x=1 C．无解D．有无数多个10．如图，直线AB、CD相交于点0，EO⊥AB于点0，则图中∠1与∠2的关系是（）A．相等B．互余C．互补D．没有关系11．若代数式2695a a++的值是（）3.++的值是 6，则代数式2231a aA．18 B．16 C．15 D．20二、填空题x_________．12．如图中的=13．□ABCD中，AB=AC，AC⊥CD，则∠BCD= ．14．平行四边形的周长为30 cm，两条邻边不等，其中较长一边为y(cm)，较短一边为x(cm)，则y与x的函数解析式为，自变量x的取值范围为．15．如图，点C是∠AOB的OA 边上一点，0、E是OB边上的两点，则图中共有条线段，条射线，个角.16．一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有个黑球．17．为迎接2008年北京奥运会，小甜同学设计了两种乒乓球，一种印有奥运五环图案，另一种印有奥运福娃图案．若将8个印有奥运五环图案和l2个印有奥运福娃图案的乒乓球放入一个空袋中，且每个球的大小相同，搅匀后在口袋中随机摸出一个球，则摸到印有奥运五环图案的球的概率是．三、解答题18．画出下面实物的三视图．19．若两圆的圆心距d 满足等式|4|3d -=，且两圆的半径是方程的27120x x -+=两个根，判断这两个圆的位置关系，并说明理由。
最新江苏省淮安市中考数学三调试卷附解析
江苏省淮安市中考数学三调试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ） A ．21 B ．31 C ．32 D ．61 2．下列哪个图可以近似地反应上午9：10时，浙江某中学竖立的旗杆与其影子的位置关系 的是（ ）3．如图，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B ，若PA=6，PB=4，则⊙O 的半径是（ ） A ．52B ．56C ．2D ．54．抛物线y ＝（x －1）2+2的对称轴是（ ） A ．直线x ＝－1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝25．某数学兴趣小组的五位同学以各自的年龄为一组数据，计算了这组数据的方差是 0.2， 则 10年后该数学兴趣小组的五位同学年龄的方差为（ ） A ．0.2 B ．1 C ．2 D ． 10.2 6．对任意实数x ，点P （x ，22x x -）一定不在（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限 7．已知关于x 的不等式2x 3m ->-的解的解如图所示，则m 的值等于（ ）A ．2B ．1C ． -1D ．08．下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．分解因式14-x 得（ ） A ．)1)(1(22-+x xB ．22)1()1(-+x xC ．)1)(1)(1(2++-x x xD ．3)1)(1(+-x x10．某中学八年级甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植 5 棵树，甲班植80 棵树所用的天数与乙班植 70 棵树所用的天数相等.若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是（ ） A ．80705x x=- B ．80705x x =+ C ．80705x χ=+ D ．80705x x =- 11．在多项式①2263a ab b ++；②221449m mn n -++；③21025a a -+；④2221ab a b +-；④6321y y -+中，不能用完全平方公式分解因式的有（ ）A ．①②⑤B ．③④C ．①②④D ．②④⑤12．如图，身高为1．6 m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3．2 m ，CA=0．8 m ，那么树的高度为（ ） A ．4．8 mB ．6．4 mC ．8 mD ．10 m13．如图，把线段AB=2 cm 向右平移3 cm ，得到线段CD ，连结对应点，则平行四边形ABCD 的面积有可能为（ ） A ．cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．9cm 214．将代数式()a b c --去括号，得（ ） A ．a b c -+ B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c --15．9416） A ．34B ．324±C ．223D 1734二、填空题16．如图所示，转动甲、乙两转盘，当转盘停止后，指针指向阴影区域的可能性甲 乙(填“大于”、“小于”或“等于”).17．如图，已知正方形ABCD 的边长为2.如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′点处，那么tan BAD ∠′等于__________． 18．已知I 为△ABC 的内心，∠B=50O ，则∠AIC= ．19．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 20．如图,将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= ．21．△ABC 中，∠A=30°，当∠B= 时，△ABC 是等腰三角形．22．如果用c 表示摄氏温度（℃），f 表示华氏温度（℉），那么c f 与之间的关系是：5(32)9c f =-．已知15c =，则___f =．三、解答题23．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元） 15 20 25 30 … y （件）25201510…⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y 与x 的恰当函数模型．⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？24．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影子分别与它们的原长相等？试画图加以说明.25．如果掷两枚正四面体被子，已细这两枚正四面体骰子每面的点数依次为 1、2、3、4，那么点数和机会均等的结果有哪些？请用树状图或列表来说明你的观点.26．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC 的长．27．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，以 AB 为直径作圆0，分别交BC 、AC 于D ．E ，求∠BOD 、∠EOD 和∠A 的度数.28．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点 B ，点A 的坐标为 (0，4)，M 是圆上一点，∠B=120°, 求：⊙C 的半径和圆心C 的坐标.60CB A29．如图，已知四边形ABCD ，四边形AECF 都为菱形，取BE 中点M ，DF 中点N ．求证：四边形AMCN 为菱形．30． 已知方程组351ax by x cy +=⎧⎨-=⎩，甲同学正确解得23x y =⎧⎨=⎩，而粗心的乙同学把c 给看错了，解得36x y =⎧⎨=⎩， 求a b c --的值.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．C3．A4．B5．A6．C7．B8．C9．C10．D11．C12．C13．A14．A15．D二、填空题 16． 等于17．2 18．115°19．51220． 240°21．30°或75°22．59三、解答题 23．解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设b kx y += (k ≠0）， 用待定系数法求得40+-=x y ．⑵设日销售利润为z ，则y xy z 10-==400502-+-x x ，当x=25时，z 最大为225．每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元．24．如解图①，在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子的顶点与树的顶点，此时为平行投影；如解图②，在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点，相交于点 P，此时为中心投影，P 点即为光源位置.25．点数和点数123412345234563456745678从上表可以看出概率和掷出点数和为掷出点数和为“2”的概率和掷出点数和为“8”的概率是一样的，均为116；掷出点数和为“3”的概率和掷出点数和为“7”的概率是一样的，均为18；掷出点数和为“4”的概率和掷出点数和为“6”的概率是一样的，均为316；掷出点数和为“5”的概率为1 426．如图，作AD⊥BC于D，则AD=AB·sin60°=532，BD=AB·cos60°=52，CD227511 4942AC AD=-=-=，∴BC=BD+CD=8．27．连结AD，∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=65°，∴∠BOD=50°,∴∠EOD=2∠DAE=50°. ∴∠AOE=180°-100°=80°.28．连结 AB，∵∠AOB=90°,∴连结 AB 后必经过点0.∵∠BMO=120°, ∴⌒OAB =240°,∴⌒BD =120°, ∴∠BAO= 60°,在 Rt△AOB 中，∠BAO= 60°，∴∠ABO=30°,AO=12AB.∵A( 0 , 4 ),∴OA= 4 ,∴AB=8 , OB=43,∴⊙C 的半径为 4，圆心C的坐标为(—2，2).29．连结AC交BD于O，证A0=C0，MO=NO30．1。
2021年江苏省盐城市中考数学第三次联合测评试卷附解析
2021年江苏省盐城市中考数学第三次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动，设OA=x ，如果半径为1的⊙O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ）A ．20≤≤xB ．21≤x ＜C ．21＜x ≤D ．2＞x2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC ，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ＞ABB ．AC=ABC ．AC ＜ABD ．AC=12BC 3．矩形具有而一般的平行四边形不具有的特征是（ ） A ．四个角都是直角 B ．对边相等 C ．对角相等 D ．对角线互相平分 4．八年级（1）班50名学生的年龄统计结果如表所示：则此班学生年龄的众数、中位数分别为（ ） 年龄（岁） 13 1415 16 人数（人） 422 23 1 A ．14岁，l4岁 B ．15岁，l4岁 C ．14岁，l5岁 D ．15岁，l6岁5．把不等式组1020x x +≥⎧⎨->⎩的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列各不等式中，变形正确的是（ ）A ．36102x x +>+变形得54x >B ．121163x x -+<，变形得612(21)x x --<+ C ．3214x x -<+变形得3x <-D ．733x x +>-，变形得5x <7．在a 2□4a □4的空格□中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到的代数式中,能构成完全平方式的概率是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14A BOC 45°8．下列用词中，与“一定发生”意思一致的是（ ）A ． 可能发生B ． 相当可能发生C ．有可能发生D ． 必然发生 9．将矩形ABCD 沿AE 折叠．得到如图所示的图形，已知∠CED ′=60°．那么∠AED 的大小是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题10．正△ABC 的边长为 1 cm ，以A 为圆心，半径为r 的圆与 BC 相切，则r= cm ． 11．已知矩形的两边长分别为 6 和 8，则矩形的四个顶点在以 圆心，以为半径的圆上．12． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点,那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是___________________．有两个不相等的实数根13．2008年某市二月上旬每日最高气温分别为(单位：℃)：13，13，12，9，11，16，12，10，12，11. 则二月上旬最高气温的极差为 ℃.14．在四边形ABCD 中，若∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°,则∠D ＝ °．15．如图所示，四边形的两个内角的度数已知，则图中∠α+∠β= ．16．下面的判断是否正确：(1)我从书架上取出了5本书，5本书都是数学书．因此书架上的书都是数学书． ( )(2)有一条线段AB 长3 cm ．另一条线段BC 长2 cm ，那么AC 长5cm ( )(3)直线AB ，CD 相交于O ，∠AOC=30°，那么∠BOD=30°． ( )17．方程25(1)40x x -+=，24b ac -的值是 ．18． 若8855x x x x --=--成立，则x 的取值范围是 ． 19．已知：25,27a b b c +=-=，则代数式222a ac c ++的值是 ．20．如图，当图中的∠1 和∠2满足 条件时，能使OC ⊥OD(只要填一个条件即可).三、解答题21．如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M, AM = 2，BM = 10，求CD 的长度.22．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体(如图所示，圆锥放置在圆柱上底面的正中间)摆在讲桌上，请画出这个几何体的三视图.23．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .证明：24．已知：如图，A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD，AE∥BF，且AE=BF，则CE∥DF，试说明理由．25．解方程组：(1）⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x (2）⎩⎨⎧=+=-1732623y x y x26．考点办公室设在校园中心O 点，带队老师休息室A 位于O 点的北偏东45，某考室B 位于O 点南偏东60，请在右图中画出射线OA ，OB ，并计算AOB ∠的度数．27．一个锐角的余角是这个锐角的补角的14，求这个角的度数．28．任取线段a 、b 、c(a<b<c)．画图表示：(1)b-a+c ； (2)c+a-b ．29．合并同类项：(1)222442ayb a b ab a b --++(2)2223232a a a a --+--30．小林用七巧板拼一只飞翔的鸽子，现在还剩一块有一个锐角是45°的直角三角形ABC(左下角)应该放在黑色的三角形这个位置上．你能帮助小林通过变换将直角三角形ABC放到黑色的三角形这个位置上吗?请说明你是通过怎样的变换实现的．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．B3．A4．B5．C6．D7．B8．D9．C二、填空题10．．对角线的交点，512．13．714．12015．194°16．(1)× (2)× (3)√17．6418．58x <≤19．420．答案不唯一，如∠1 与∠2互余三、解答题21．54．22．略23．我所找的等腰三角形是：△ABC （或△BDC 或△DAB ）． 证明：在△ABC 中，∵∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°.∵∠C=∠ABC ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形.24．略25．（1）⎩⎨⎧==12y x ；（2）⎩⎨⎧==34y x ．26．图略，180(4560)75AOB =-+=∠． 27．60°28．略29．(1)2234a b ab -+ (2)26a a --30．把△ABC 先向右平移6个单位，再向上平移7个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到。
2023年江苏省泰州市中考数学三调试卷附解析
2023年江苏省泰州市中考数学三调试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 切于点M ，与AB 交于点E ，若AD ＝2，BC ＝6，则⌒DE的长为（ ） A ．23π B ．43π C ．83π D ．π3 2．在△ABC 与'''C B A ∆中，有下列条件： ①''''C B BC B A AB =；⑵''''C A AC C B BC =；③∠A ＝∠'A ；④∠C ＝∠'C .如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽'''C B A ∆的共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．下列判断正确的是（ ）A ．不全等的三角形一定不是相似三角形B ．不相似的三角形一定不是全等三角形C ．相似三角形一定不是全等三角形D ．全等三角形不一定是相似三角形4． 一个二次函数，当x=0时，y=－5；当x=－1时，y=－4；当x=－2时，y=5，则这个二 次函数的关系式是（ ）A ．y=4x 2-3x-5B ．y=4x 2+3x+5C ．y=4x 2-3x+5D ．y=4x 2+3x-55．下列命题中，是真命题的为（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．两条对角线垂直的四边形是菱形C ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 6．在美丽的南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形，能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 7．在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 8．下列多边形中，不能铺满地面的是 （ ） A ．五边形 B ．三角形 C ．四边形 D ．正六边形9．如图，已知AB=AC ，BE=CE ，延长AE 交BC 于D ，则图中全等三角形的对数共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对10．以下四组木棒中，可以做成一个直角三角形的是（ ）A ．7 cm ，12 cm,15 cmB ．8cm ，12cm ，15cmC ．12 cm ，15 cm ，17 cmD ．8 cm ，15 cm,17 cm11．下列计算中，错误．．的是（ ） A ．33354a a a -= B ．236m n m n +⋅=C ．325()()()a b b a a b -⋅-=-D ．78a a a ⋅= 12．以下四幅图形中有三幅图案是可以相互旋转得到的，另外的一幅是（ ）13．如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β-∠；②90α∠-；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题14．如图，过点P 画⊙O 的切线PQ ，Q 为切点，过P ﹑O 两点的直线交⊙O 于A ﹑B 两点，且2sin ,12,5P AB ∠==则OP=__________． 15．已知∠l+∠2=90°，∠3+∠4=90°，则当 时，∠2=∠4成立．16．已知一个三角形的三边长分别为3k ，4k ，5k (k 是为自然数)，则这个三角形为 ，理由是 ．17． 在多项式241x +中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 (只写出一个即可).18．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：(1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第 n 个图案中有白色地面砖 块.19．根据下列关系，求下列方框内y的值：①42y x=-；②234x y-=；(2)方程组23442x yy x-=⎧⎨=+⎩的解是．20．下图是把一个长为3 cm、宽为1 cm的长方形绕某点旋转90°后所得，则阴影部分的面积为．三、解答题21．如图，在学校的操场上，有一株大树和一根旗杆.(1)请根据树在阳光照射下的影子，画出旗杆的影子(用线段表示)；(2)若此时大树的影长 6m，旗杆高 4m，影5m，求大树的高度.22．已知△ABC，作△ABC 的外接圆 (不写作法，保留作图痕迹).23．李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树．李大伯准备开挖池塘，使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动．如果要求新池塘成平行四边形的形状，请问李大伯的愿望能否实现?若能，请画出你的设计；若不能，请说明理由．24．已知，如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，求证：BE∥DF．25．在四边形中，四个外角之比为l：2：3：4，求各内角的度数．26．已知等腰△ABC的周长为50 cm,底边BC长为y(cm)，腰AB长为x(cm)．求：(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)求当x=15时的函数值．27．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．28．计算：(1）8x3÷（－2x）2－（3x2－x） (2）（5xy+3x2y）÷（－xy）－2x（6x－7）29．数学兴趣小组的同学想利用树影测树高，在阳光下他们测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m．此刻测量树影，发现树的影子不全落在地上，有一部分影子落在墙壁上，如图所示，同学们测得地面上的影子长为3．6 m，墙壁上的影子长为0．9 m．又知以树和地面上的树影为边的三角形与同一时刻以竹竿和地面上的影子为边的三角形是一个相似变换，求这棵树的实际高度．30．你能根据图中标出的数值，写出数轴上点A和点B之间，点C和点D之间，点B和点C 之间的所有整数吗？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．Ｃ3．B4．D5．D6．B7．B8．A9．C10．D11．BB13．B二、填空题14．1515．∠l=∠316．直角三角形；如果一个三角形较小的两边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形17．答案不唯一，例如4x ，4x -等18．（1）18；（2）42n +19．(1)①,10,2,-2；(2)23-，0，43-，-2；12x y =-⎧⎨=-⎩20．1 cm 2三、解答题21．(1)AB 为旗杆的影子；(2)设大树高 x(m).则465x =，x=4.8 答：大树的高度是4.8 m22．作图略．能．图略24．证明∠CFD=∠CBE，则BE=DF25．144°，108°，72°，36°26．(1)y=50-2x(12．5<x<25)；(2)2027．（3a+b）（2a+b）－（a+b）2=5a2+3ab（平方米）；•当a=3，b=2时，5a2+3ab=63（平方米）．28．（1）3x－3x2，（2）－12x2+11x－529．4．9m30．A 与B之间有-12，-11，-10，-9，-8，-7；C与D之间有 3，4，5，6，7；B与C之间有-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2。
2022年江苏省泰州市中考数学三调试卷附解析
2022年江苏省泰州市中考数学三调试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）A ．24B ．18C ．16D ．62．如图，P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长 x （m ）与面积 y （m 2）满足函数2(12)144y x =--+，当边长 x 1,、x 2、x 3满足123<12x x x <<时，其对应的面积yl 、y2、y 3 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．123y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y <<4．如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）A ．34B ．33C ．24D ．８5．将一元二次方程(1)(22)2x x -+=-化为一般形式是（ ） A ．22410x x +-=B ．22410x x -+=C ．2230x x -=D ．220x = 6．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）A ．4xB ．-4xC ．4x 4D ．-4x 47．下列各式的因式分解中，正确的是（ ）A ．236(36)m m m m m -=-B ．2()a b ab a a ab b ++=+C ．2222()x xy y x y -+-=--D ．222()x y x y +=+ 8．下列语句中正确的是（ ）A ．小于钝角的角是锐角B ．大于直角的角是钝角C ．小于直角的角是锐角D ．大于锐角的角是直角或钝角9．下列说法正确的有（ ）①-2 是4 的一个平方根③16 的平方根是-4③-4 是-8 的平方根④8 的平方根是4±⑤任何非负数的平方根必有两个A ．1 个B ． 2 个C ．3个D ．4个10．如图所示是人字形屋架的设计图，由AB 、AC 、AD 、BC 四根钢条焊接而成，其中A 、B 、C 、D 均为焊接点，现在焊接所需要的四根钢条已截好，且已标出BC 的中点D ，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速度地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是 （ ）A ．AB 和BC ，焊接点BB ．AB 和AC ，焊接点A C ．AD 和BC ，焊接点D D ．AB 和AD ，焊接点A二、填空题11．如图所示，一株高为（633+）m 的树被台风吹断，树顶者地面后与地面恰成60°角，则树顶着地处与树根的距离为 m ．12．函数22y x x =+-的图象如图所示，当 y>0时，x 的取值范围是 当 y<0 时，x 的取值范围是 ．13．若直线5y x =--与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，若△AOM 的面积为l0,则点M 的坐标为 .解答题14．若一个正方体的棱长为3(21)a +，则这个正方体的体积为 ．15．用直径为200 mm 的圆钢锻造长、宽、高分别为300 mm 、300 mm 、100 mm 的长方体零件，应截取圆钢多长?设需直径为200 mm 的圆钢x(mm)长，则根据题意所列方程为 ．16．若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项后，结果是 ．三、解答题17．如图所示是由小立方块所搭成几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块中个数. 请画出相应几何体的主视图和左视图.18．如图，玻璃刷AB 由两根OA 、OB 杆撑起，把△AOB 绕着点0旋转 90°至△DOC 位置，OA= 30cm ，OB= 10cm ，求图中玻璃刷刷过的阴影部分面积.19．已如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠ABC=2∠A, BM 平分∠ABC 交外接圆于点M,ME ∥BC 交AB 于点 E. 试判断四边形EBCM 的形状，并加以证明.20．已二次函数2y ax c =+中，当 x=3 时，y =26，当x=2 时，y= 11，求二次函数解析式.21．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ， CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．22．若二次三项式2++是一个完全平方式，求系数a的值.x ax414±23．说明多项式22221+++的值恒大于0.x mx m24．某公司销售部有营销人员l5人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计这15人某月的销售量如下：每人销售件数(件)1800510250210150120人数(人)113532(1)求这l5位营销人员该月销售量的平均数，众数，中位数；(2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么?如果不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由．25．如图，∠B = 40°，∠AQB = 98°，∠D = 42°，则 AB∥CD，请说明理由．.26．汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图，三个汉字可以分别看成是轴对称图形.(1)请再写出2个类似轴对称图形的汉字；(2)小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)小敏获胜，否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并对构成的汉字进行说明.27．如图所示，已知∠α，线段a，b，求作一个三角形，使其两边长分别为a，a+b，两边的夹角等于∠α．28．由l6个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑(如图①、图②)．请你用两种不同的方法分别在图①、图②中再将两个空白的小正方形涂黑．使它成为轴对称图形．29．滴水成河，若20滴水流在一起为1cm3，现有一条河流总体积为l万m3．试求该河流相当于多少滴具有相同体积的水滴?30．在如图所示的立体图形中，它们分别有几个面?哪些面是平面?哪些面是曲面?面面相交的地方形成了几条线?这些线是直的还是曲的?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．C3．A4．A5．D6．Ｄ7．C8．C9．A10．C二、填空题11．312．x<-2 或 x>1，-2<x<1.13．(-9，4)或(-1，-4)14．9(21)a +15．22200300100()2x π⨯=16． 0三、解答题 17．如图.18．由旋转得AOD S S S =-阴影扇形扇形OBC ,2290903010200360360S πππ⨯⨯-⨯⨯=阴影= cm 2. 19．四边形 EBCM 是菱形.∵∠ABM=∠MBC=12∠ABC,∠ABC= 2∠A , ∴∠A=∠ABM,∵∠A=∠BMC,∴∠ABM=∠BMC,∴BE ∥CM ，∵ME ∥BC ，∴四边形 EBCM 是平行四边形.∵∠A= ∠MBC, ∴⌒BC =⌒MC , ∴BC=MC,∴□EBCM 是菱形. 20．把326x y =⎧⎨=⎩，211x y =⎧⎨=⎩代入函数解析式得方程组：926411a c a c +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得31a c =⎧⎨=-⎩ ∴ 所求二次函数解析式是231y x =-．21．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AC=BD ，则BO=CO ．∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF．22．4±23．原式=22()110x m m+++≥>24．(1)平均数：320件，众数：210件，中位数：210件；(2)不合理，理同略25．说明∠A=∠D或∠B=∠C26．(1)如：田、日等(2)这个游戏对小慧有利.每次游戏时，所有可能出现的结果如下：(列表法)土口木土(土，土)(土，口)(土，木)口(口，土)(口，口)(口，木)木(木，土)(木，口)(木，木)(树状图法)总共有 9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中能组成上下结构的汉字的结果有 4种：(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏” .所以P(小敏获胜)= 49, P(小慧获胜)= 59.∵P(小敏获胜)<P(小慧获胜)，∴游戏对小慧有利. 27．略28．图略29．2×1O11滴30．图①由三个面构成；两个平面一个曲面；面与面相交成两条曲线．图②是由一个曲面和一个平面组成；面与面相交形成一条曲线．图③由六个平面构成；面与面相交形成12条直线．。
江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2021届高三数学第三次调研考试(6月)试题
江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2021届高三数学第三次调研考试（6月）试题(满分160分，考试时间120分钟)2021．6参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，2}，则A∪B＝________．2. 设复数z 满足(3－i)z ＝10，其中i 为虚数单位，则z 的模是________．3. 如图是一个算法流程图，则输出k 的值是________．4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3.为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n 的值是________．5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 的准线是双曲线x 2a 2－y22＝1(a ＞0)的左准线，则实数a 的值是________．7. 已知cos (α＋β)＝513，sin β＝35，α，β均为锐角，则sin α的值是________．8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图)．设石凳的体积为V 1，正方体的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．9. 已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则1lg x ＋4lg y的最小值是________． 10. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若4S 2，S 4，－2S 3成等差数列，且a 2＋a 3＝2，则a 6的值是________．11. 海伦(Heron ，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝a ＋b ＋c2.若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径r 的值是________．12. 如图，△ABC 为等边三角形，分别延长BA ，CB ，AC 到点D ，E ，F ，使得AD ＝BE ＝CF.若BA →＝2AD →，且DE ＝13，则AF →·CE →的值是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧k （1－2x ），x<0，x 2－2k ，x ≥0.若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(2，－6)作直线交圆O ：x 2＋y 2＝16于A ，B 两点， C(x 0，y 0)为弦AB 的中点，则（x 0＋1）2＋（y 0－3）2的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若5（sin C －sin B ）a ＝5sin A －8sin Bb ＋c .(1) 求cos C 的值；(2) 若A ＝C ，求sin B 的值．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，点D ，E 分别是A 1B 1，BC 的中点．求证： (1) 平面ACD⊥平面BCC 1B 1； (2) B 1E ∥平面ACD.17. (本小题满分14分)某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1 cm ，2 cm 的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点O ，A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧 BC ︵所围成的弓形面积为S 1，△OAB 与△OAC 的面积之和为S 2，设∠BOC＝2θ.(1) 当θ＝π3时，求S 2－S 1的值；(2) 经研究发现当S 2－S 1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的值．[求导参考公式：(sin 2x )′＝2cos 2x ，(cos 2x )′＝－2sin 2x]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点．已知椭圆的短轴长为22，离心率为63. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 当直线MN 的斜率为 5时，求F 1M ＋F 1N 的值；(3) 若以MN 为直径的圆与x 轴相交的右交点为P(t ，0)，求实数t 的取值范围．已知{a n }是各项均为正数的无穷数列，数列{b n }满足b n ＝a n ·a n ＋k (n∈N *)，其中常数k 为正整数．(1) 设数列{a n }前n 项的积T n ＝2n （n －1）2，当k ＝2时，求数列{b n }的通项公式； (2) 若{a n }是首项为1，公差d 为整数的等差数列，且b 2－b 1＝4，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前2 020项的和；(3) 若{b n }是等比数列，且对于任意的n∈N *，a n ·a n ＋2k ＝a 2n ＋k ，其中k≥2，试问：{a n }是等比数列吗？请证明你的结论．已知函数f(x)＝aln x x ，g(x)＝x ＋ln ae x，其中e 是自然对数的底数． (1) 若函数f(x)的极大值为1e，求实数a 的值；(2) 当a ＝e 时，若曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值； (3) 设函数h(x)＝g(x)－f(x)，若h(x)＞0对任意的x∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．2021届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知m∈R ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 21的一个特征向量，求M 的逆矩阵M －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2rsin θ(r ＞0)．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)．若直线l 与圆C恒有公共点，求r 的取值范围．C. (选修45：不等式选讲)已知x ＞1，y ＞1，且x ＋y ＝4，求证：y 2x －1＋x2y －1≥8.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同．开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．(1) 设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)；(2) 求恰好成功打开4扇门的概率．23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x 轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点．当AB⊥x轴时，EA＝2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设△EAB的面积为S1，△EMN的面积为S2，求S1S2的取值范围．2021届高三模拟考试试卷(南通、扬州、泰州等七市)数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1，2}2. 13. 54. 555. 356. 27. 33658. 56 9. 9 10. －32 11. 26312. －9213. (27，＋∞) 14. [10，42)15. 解：(1) 在△ABC 中，因为5（sin C －sin B ）a ＝5sin A －8sin Bb ＋c ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得5(b ＋c)(c －b)＝a(5a －8b)，即a 2＋b 2－c 2＝85ab ，(4分)所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝45.(7分)(2) 因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝1－cos 2C ＝35，(9分)所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2425.(12分)因为A ＝C ，所以sin B ＝sin (π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin 2C ＝2425.(14分)注：(1) 正弦定理与a sin A ＝b sin B ＝c sin C，写一个不扣分，两者都不写，扣2分；余弦定理同样；(2) 只要有sin B ＝sin(A ＋C)，就不扣分，否则扣2分． 16. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC. 因为AC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC.(2分)因为AC⊥BC，BC ∩CC 1＝C ，BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AC⊥平面BCC 1B 1.(4分) 因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) (证法1)取AC 的中点F ，连结DF ，EF.因为在△ABC 中，点E 是BC 的中点，点F 是AC 的中点，所以EF∥AB，且EF ＝12AB.(8分)因为点D 是A 1B 1的中点，所以B 1D ＝12A 1B 1.因为在棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1， 所以EF∥DB 1，且EF ＝DB 1，(10分)所以四边形EFDB 1是平行四边形，所以B 1E ∥FD.(12分) 因为B 1E ⊄平面ADC ，FD ⊂平面ADC ， 所以B 1E ∥平面ACD.(14分)(证法2)取AB 的中点G ，连结EG ，B 1G.因为在△ABC 中，点E 是BC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以EG∥AC.因为GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以EG∥平面ACD.(8分)在棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1. 因为点D 是A 1B 1的中点，点G 是AB 的中点， 所以AG∥DB 1，且AG ＝DB 1，所以四边形AGB 1D 是平行四边形，所以B 1G ∥AD. 因为B 1G ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以B 1G ∥平面ACD.(10分)因为EG∥平面ACD ，BG ，GE ⊂平面B 1GE ，B 1G ∩GE ＝G ， 所以平面B 1GE ∥平面ACD.(12分) 因为B 1E ⊂平面B 1GE ，所以B 1E ∥平面ACD.(14分)注：少一个条件2分全扣；(1)中没有“在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中”全扣．17. 解：过点O 作OD⊥BC 于点D ，则点D 为BC 的中点． 又△ABC 为等腰三角形，所以A ，O ，D 三点共线， 所以∠AOB＝∠AOC＝π－θ.所以S 1＝12×2θ×12－12×12×sin 2θ＝θ－12sin 2θ，(2分)S 2＝2×12×1×2sin(π－θ)＝2sin θ，θ∈(0，π2)．(4分)注：只要有S 1结果的就给2分；同样，只要有S 2结果的就给2分．(1) 当θ＝π3时，S 2－S 1＝2sin θ－(θ－12sin 2θ)＝2sin π3－(π3－12sin 2π3)＝534－π3. 答：当θ＝π3时，S 2－S 1的值为(534－π3)cm 2.(6分)(2) 设f(θ)＝S 2－S 1＝2sin θ－θ＋12sin 2θ，θ∈(0，π2)，所以f′(θ)＝2cos θ－1＋cos 2θ＝2(cos 2θ＋cos θ－1)．(8分) 令f′(θ)＝0，得cos θ＝5－12，cos θ＝－5－12(舍去)， 记cos θ0＝5－12，0<θ0<π2.(10分)θ (0，θ0) θ0 (θ0，π2)f′(θ) ＋0 －f (θ)极大值所以当θ＝5－1时，f (θ)取得最大值，此时S －S 的值最大． 答：当纪念章最美观时，cos θ＝5－12.(14分) 注：一个答案1分，写成“所以”不扣分；答案中没有单位cm 2的，扣1分． 18. 解：(1) 设椭圆的焦距2c ，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝6，b 2＝2，c 2＝4.所以椭圆的标准方程为 x 26＋y22＝1.(3分)(2) 因为直线MN 的斜率为5，且过点F 2(2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝5(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5（x －2），x 26＋y 22＝1，得8x 2－30x ＋27＝0，解得x ＝32，x ＝94.所以M(32，－52)，N(94，54)，所以MN ＝（94－32）2＋（54＋52）2＝364.(6分)因为(MF 1＋MF 2)＋(NF 1＋NF 2)＝MF 1＋NF ＋MN ＝46， 所以MF 1＋NF 1＝1364.(8分)(3) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．又P(t ，0)，t>2，所以PM →＝(x 1－t ，y 1)，PN →＝(x 2－t ，y 2)． 因为点P 在以MN 为直径的圆上，所以PM →⊥PN →， 所以PM →·PN →＝(x 1－t)(x 2－t)＋y 1y 2＝0， 所以x 1x 2－t(x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝0.(10分)①当直线MN 倾斜角为0时，N(－6，0)，M(6，0)，所以t ＝ 6. ②当直线MN 倾斜角不为0时，设直线MN 的方程为x ＝my ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2＋4my －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2＋8（m 2＋3）>0，y 1＋y 2＝－4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，所以x 1x 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＝m 2y 1y 2＋2m(y 1＋y 2)＋4，x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)＋4.(12分)所以(m 2＋1)y 1y 2＋(2m －tm)(y 1＋y 2)＋4－4t ＋t 2＝0， 所以m 2＝－3t 2－12t ＋10t 2－6≥0，(14分) 解得6<t ≤2＋63或－6<t ≤2－63(舍去)． 综合①②得，实数t 的取值范围是[6，2＋63]．(16分) 19. 解：(1) n≥2时，a n ＝T n T n －1＝2n －1， n ＝1时，a 1＝T 1＝1，符合上式(没有验证的，扣1分)，(2分)所以a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝a n a n ＋2＝4n，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝4n.(3分)(2) 因为b 1＝a 1·a 1＋k ＝1＋kd ，b 2＝a 2·a 2＋k ＝(1＋d)[1＋(k ＋1)d]，b 2－b 1＝4，所以4＝b 2－b 1＝(k ＋1)d 2＋2d ＝d[(k ＋1)d ＋2]．因为k∈N *，d ≥0，且d∈Z ，所以d<(k ＋1)d ＋2，所以d ＝1，所以4－2×1＝(k ＋1)×12，则k ＝1.(7分) (只要出现d ＝1，k ＝1，就各得2分)从而a n ＝n ，b n ＝a n a n ＋1＝n(n ＋1)，所以1b n ＝1n －1n ＋1，所以1b 1＋1b 2＋…＋1b 2 020＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 020－12 021)＝1－12 021＝2 0202 021.(9分)(3) 设等比数列{b n }的公比为q ，显然q>0. 由b n ＝a n ·a n ＋k ①，b n ＋k ＝a n ＋k ·a n ＋2k ②， ②÷①得b n ＋k b n ＝a n ＋k ·a n ＋2k a n ·a n ＋k ＝q k.因为a n ·a n ＋2k ＝a2n ＋k，所以a n ＋k a n ＝a n ＋2k a n ＋k ，即(a n ＋k a n )2＝q k ，所以a n ＋ka n＝q k2(正常数)．(12分)由b n ＝a n ·a n ＋k ③，b n ＋1＝a n ＋1·a n ＋k ＋1 ④， ④÷③得b n ＋1b n ＝a n ＋1a n ·a n ＋k ＋1a n ＋k＝q (*)．(14分)因为a n ＋k a n ＝q k 2，所以a n ＋1＋k a n ＋1＝a n ＋k a n ，将a n ＋1a n ＝a n ＋1＋k a n ＋k 代入(*)式，得(a n ＋1a n )2＝q ，即a n ＋1a n ＝q 12(正常数)，所以{a n }为公比为q 12的等比数列．(16分) 20. 解：(1) 因为f(x)＝aln x x ，则f′(x)＝a （1－ln x ）x 2，(1分) 令f′(x)＝0，得x ＝e.因为a>0，列表如下：x (0，e) e (e ，＋∞)f′(x) ＋0 －f(x)极大值所以f(x)极大值＝f(e)＝aln e e ＝1e，所以a ＝1.(3分)(2) 当a ＝e 时，f(x)＝eln x x ，则f′(x)＝e （1－ln x ）x 2，g(x)＝x ＋1e x ，则g′(x)＝－xe x .曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在x ＝x 0处的切线互相垂直，所以f′(x 0)·g′(x 0)＝－1，即e （1－ln x 0）x 20·－x 0ex 0＝－1，(5分) 整理得x 0ex 0＋eln x 0－e ＝0.设r(x)＝xe x ＋eln x －e ，则r′(x)＝(x ＋1)e x＋e x .因为x>0，所以r′(x)>0，所以r(x)＝xe x＋eln x －e 在(0，＋∞)上单调递增．(7分) 因为r(1)＝0，且r(x 0)＝0，所以x 0＝1.(8分)(3) h(x)＝x ＋ln a e x－aln x x ，设m(x)＝e x －ex ，则m′(x)＝e x－e.令m′(x)＝0，得x ＝1.列表如下：x (－∞，1)1 (1，＋∞)m′(x) －0 ＋m(x)极小值所以m(x)最小值所以e x ≥ex ，所以ln e x≥ln ex ，即x≥1＋ln x ，即ln x ≤x －1.(10分) 注：主要出现上面一行内容，就给2分． ① a ≥1e时，ln a ≥－1.因为0<x<1，所以ln x<0.h ′(x)＝1－（x ＋ln a ）e x －a （1－ln x ）x 2≤1－（x －1）e x －1－ln xex 2≤2－x e x －1－（x －1）ex 2≤2－x ex －2－x ex 2＝（2－x ）（x －1）ex2<0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)>h(1)＝1＋ln a e ≥0.(14分)②当0<a<1e 时，h(1)＝1＋ln a e <0，ln a<0，e a>1，所以h(a)＝a ＋ln a e a －ln a ＝a e a ＋（1－e a）ln a e a>aea >0. 又h(x)在(0，1)上图象不间断，所以存在t∈(0，1)，使h(t)＝0，不合题意． 综上，a 的取值范围是[1e ，＋∞)．(16分)2021届高三模拟考试试卷(二十)(南通、扬州、泰州等七市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m21的一个特征向量， 所以存在非零实数λ，使得Mα＝λα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝λ，2＋1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，λ＝3，，则M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(5分) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝E ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13.(10分) B. 解：将直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)化为普通方程为3x －y －2＝0.(3分)由ρ＝2rsin θ(r>0)，得ρ2＝2rρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －r)2＝r 2.(6分)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|－r －2|（3）2＋（－1）2≤r ，解得r≥2.所以实数r 的取值范围是[2，＋∞)．(10分)C. 证明：因为x>1，y>1，且x ＋y ＝4，由柯西不等式得 (y 2x －1＋x 2y －1)[(x －1)＋(y －1)]≥(y2x －1·x －1＋x 2y －1·y －1)2＝(x ＋y)2＝16，(8分)即(y 2x －1＋x 2y －1)×2≥16，所以y 2x －1＋x 2y －1≥8.(10分) 22. 解：(1) X 的可能取值为1，2，3，4，P(X ＝1)＝16，P(X ＝2)＝56×15＝16，P(X ＝3)＝56×45×14＝16，P(X ＝4)＝56×45×34×13＋56×45×34×23＝12，(每个1分)所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望E(X)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×12＝3.(5分)(2) (解法1)记成功打开1扇门的事件为A ， 则P(A)＝16＋16＋16＋56×45×34×13＝23.(8分)记恰好成功打开4扇门的事件为B ， 则P(B)＝C 45(23)4(13)＝80243.答：恰好成功打开4扇门的概率为80243.(10分)(解法2)记成功打开1扇门的事件为A ，则P(A)＝1－56×45×34×23＝23.(8分)记恰好成功打开4扇门的事件为B ，则P(B)＝C 45(23)4(13)＝80243.答：恰好成功打开4扇门的概率为80243.(答案不写扣1分)(10分)23. 解：(1) 当AB⊥x 轴时，AF ＝p ，EF ＝p ，所以EA ＝2p ＝2，即p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝22x.(2分)(2) 设直线AB 的方程为x ＝my ＋22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝22x ，x ＝my ＋22，得y 2－22my －2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝22m ，y 1y 2＝－2，则直线AE 的方程为y ＝y 1x 1＋22(x ＋22)．令x ＝0，得y M ＝22y 1x 1＋22＝22y 1my 1＋2，同理y N ＝22y 2x 2＋22＝22y 2my 2＋2，(4分)所以|y M －y N |＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1my 1＋2－y 2my 2＋2＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪2（y 1－y 2）（my 1＋2）（my 2＋2），(6分) 其中m 2y 1y 2＋2m(y 1＋y 2)＋2＝|－2m 2＋4m 2＋2|＝2m 2＋2，则 S 1S 2＝12EF|y 1－y 2|12EO|y M －y N |＝4m 2＋4≥4，因此S 1S 2的取值范围是[4，＋∞)．(10分)。
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（第5题）（第4题）南通市2015届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ．【答案】02． 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】-34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，【答案】10005． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】-46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案 8． 在等差数列{a n }中，若a n +a n +2=4n +6（n ∈N *），则该数列的通项公式a n = ▲ ．【答案】2n +19． 给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件；（第10题）C（第11题）②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2（x ∈R ）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3． 【答案】1+11． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】5-12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】（-5，0）13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P （-5，a ）作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3或-214．已知正实数x ，y 满足24310x y x y +++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． （1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：（1）因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1．5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．7分（2）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分 同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分16．（本小题满分14分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：（1）由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分1 （第15题答图）1（第15题）T =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分 （2）由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分 =2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：（1）方法一依题意，ca 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4． 故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e5分方法二（第17题）由椭圆的定义知，2a4，即a =2．…………………………………………………………………………… 2分又因cb 2=1．下略．（2）①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=． 所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．………………………………………… 14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分 下同方法一．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为m ；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超过．．．．200 m ． （1）试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？（2）当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：（1）设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值． 答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分（2）当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形． 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ， 则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．…………12分（一直没有交代范围扣2分）令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+，(0]6θπ∈，，B CDQ（第18题）O BCDQ（第18题答图）O EF()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S有最大值为625(8+． 答：当6θπ=时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．… 16分19．（本小题满分16分） 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．（1）若12n n a -=，求S n ；（2）是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：（1）当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分 所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分（2）满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --． 证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1． 设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-． 若q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分若q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分（3）因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221nn a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-． 故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2． 所以，0≤S n ＜2．…………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分） 已知函数1()ln f x a x x=--（a ∈R ）． （1）若a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数）； （2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；（3）若()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：（1）由题设，()f x '=21xx-，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．…………………… 2分所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分 （2）()f x '=21xx -，令()f x '=0，得x =1． 当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减； 当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；……………8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0； 另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )， 于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 （3）证：先证x 1+x 2＞2． 依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增． 于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点． 由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿（1）知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0．故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+，1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．求证：P A·AH=PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即AH HBCH AH=．………………………………5分因P A为圆O的切线，故∠P AC=∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．所以，∠HAC=∠B．所以，∠P AC=∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即P A·AH=PC·HB．…………………………………………10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．………………………………………………………………10分（第21（A）题答图）（第21（A）题）C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，（α为参数，r 为常数，r ＞0）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()204θπ++=．若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，且AB =，求r 的值．解cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离d =AB =，则2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥． 证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0． 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分 所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． （1）求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；（2）点E 在侧棱1AA 上，若二面角E -BD -C 1 求1AEAA 的值． 解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，A B CDA 1B 1C 1D 1（第22题）建立如图所示空间直角坐标系D -xyz ． 设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0）， B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．2分（1）设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ，1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =（x ，y ，z ），(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，111sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n ， 所以1AD 与平面11BB D D ．………………………… 6分（2）设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=（x 1，y 1，z 1），平面1BDC 的法向量为n 2=（x 2，y 2，z 2），(110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，， 令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，121212cos ,||||⋅<>==n n n n n n ，=，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ．（1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：（1）由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。