中应变率下动静组合加载岩石的本构模型

第25卷 第5期岩石力学与工程学报 V ol.25 No.52006年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May ，2006收稿日期：2004–12–02；修回日期：2005–04–17基金项目：国家自然科学基金资助项目(10472134，50490274，50490272)；湖南省重点实验室基金资助项目(05FJ2004，05FJ4121)作者简介：李夕兵(1962–)，男，博士，1983年毕业于中南矿冶学院采矿工程专业，现任“长江学者”特聘教授、博士生导师，主要从事采矿与岩石动力学方面的教学与研究工作。

E-mail ：xbli@中应变率下动静组合加载岩石的本构模型李夕兵，左宇军，马春德(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083)摘要：阐述动静组合加载岩石的本构模型研究意义，并对国内外关于岩石动态本构模型的研究方法进行分类。

采用组合模型研究方法，将统计损伤模型和黏弹性模型相结合，分别建立中应变率下一维和三维受静载荷作用岩石在动载荷作用下的本构模型(动静组合加载本构模型)。

对一维动静组合加载本构模型用不同静应力的相关试验进行验证，其结果表明，利用该模型计算得到的本构曲线与试验结果具有较好的一致性。

对于三维动静组合加载本构模型，采用动力三轴试验机加围压时对应的岩石动载本构关系进行验证。

关键词：岩石力学；动载荷；动静组合加载；中应变率；本构模型；损伤；黏弹性中图分类号：TU 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)05–0865–10CONSTITUTIVE MODEL OF ROCK UNDER COUPLED STATIC-DYNAMICLOADING WITH INTERMEDIATE STRAIN RATELI Xibing ，ZUO Yujun ，MA Chunde(School of Resources and Safety Engineering ，Central South University ，Changsha ，Hunan 410083，China )Abstract ：The importance of study on constitutive model of statically loaded rock under dynamic loading is expounded ，and the methods of dynamic constitutive model are classified according to the current studying. By way of combining statistic damage model and viscoelastic model ，uniaxial and triaxial constitutive models of statically loaded rock under dynamic loading(coupled static-dynamic constitutive model) with intermediate strain rate are established. The verification experiment on 1D coupled static-dynamic constitutive model under different static loadings is designed and performed. It is found that there is a good agreement between experimental stress-strain curves and theoretical stress-strain curves. The 3D theoretical stress-strain curves under different strain rates are verified by test data.Key words ：rock mechanics ；dynamic loading ；coupled static-dynamic loading ；intermediate strain rate ；constitutive model ；damage ；viscoelasticity1 引 言在岩石力学领域中，对岩石在单独承受静载作用时破坏的研究已经比较深入，而且对单独承受动载作用时的岩石本构特征及破坏特性等的研究也取得了很大的进展[1～10]。

理论研究和试验结果都表明，岩石在承受动、静载荷时，其本构关系和力学特性有很大差异[11～16]。

但是到目前为止，对于受静载荷作用的岩石在动载荷作用下的变形与破坏规律(即动静组合加载问题)的研究还不多，其中主要有某些学者[17～20]利用动力三轴试验机进行的三向岩石抗·866·岩石力学与工程学报 2006年压试验所得到的一些与三向静压缩不同的结论。

特别是对于同一方向的动静组合加载的研究，或在此基础上考虑不同围压影响的研究，还较少见报道[21～24]，并且只是关于动静组合加载下岩石的破坏与断裂的研究。

此外，在动载荷研究方面，目前有关岩石类材料在低应变率(ε&＜10－4 s－1)和高应变率(ε&＞102 s－1)下的试验和理论分析较为广泛，界于这两者之间的中应变率下的类似研究，因受试验条件和技术水平的限制，其研究也相对较少[19]。

事实上，在工程实践及自然界中，如矿岩开挖、岩爆、滑坡等，有相当一部分岩石在承受动载荷作用之前，已经处于一定的静应力或地应力状态之中。

例如，在地下岩体工程中，地应力是不可忽略的，一般随着深度的增加而增加，在一定的高地应力下的矿产开采过程中，不同阶段的爆破作业是否对上一阶段或下一阶段采场中矿柱的承载强度有影响，自然地震或崩矿过程产生的人工地震是否会使矿柱突然失稳以及如何诱发巷道或采场的岩爆，这些情况对采场人员的工作安全具有十分重要的意义。

矿柱的这种受力状态可以用同一方向上的动静组合加载来模拟，这比单考虑动载作用或只考虑静载作用更有实际意义。

同样，矿岩的采掘，可以用二维和三维静载荷的岩石在动载荷作用下的动静组合加载来模拟，这也比只考虑动载作用或只考虑静载作用更能反映工程实际。

这样的例子还有很多，比如在设计大型桥梁的承载力时，不但要考虑桥梁及过往车辆等大型设备的自重，还要考虑各种交通工具行驶时产生的低频振动对桥梁结构的影响；房屋的地基不仅要考虑承载房屋自重，还要考虑人工地震和天然地震对其稳定性的影响等，这些都是动静组合加载问题。

此外，受高地应力的深部岩体在开采过程中，不仅要受到动载荷的影响，在某一方向卸载的条件下，还要受卸载的影响，这些也是动静组合加载问题。

所以，对静载荷与动应力联合作用下的岩石本构特征及破坏特性展开研究，对岩体工程的安全评价及矿岩的高效采掘具有重大的现实意义。

大量研究结果[25～33]表明，岩土类材料的变形不仅与所受应力状态有关，而且与应变率有关。

以往考虑应变率效应的动态本构方程的研究大致可以分为4种方法：经验和半经验方法[34～36]、机械模型方法[37，38]、损伤模型方法[28，39，40]和组合模型方法[29，33，41～43]。

其中单仁亮等[33]采用组合模型方法得到的本构曲线与试验数据具有较好的一致性，但是不能反映岩石的初始受力状态的变化。

为此，本文将采用类似单仁亮等[33]所建立的组合模型方法，来探讨中应变率下受静载荷作用岩石在动载荷作用下的变形规律。

2 受静载荷作用岩石在动载荷作用下的本构模型2.1基本假设(1) 在中应变率下，忽略惯性效应对岩石本构关系的影响[1]。

(2) 岩石单元同时具有统计损伤特性和黏性液体的特性，因而可以把岩石单元看成损伤体Da和黏缸bη的组合体，其组合体模型见李夕兵等[44]。

(3) 损伤体Da具有各向同性损伤特性，在损伤之前是线弹性的，平均弹性模量为E，强度服从参数为(m，α)的概率分布。

损伤参数D按照岩石的受力状态可表示为以下两种形式：①一维加载[29，45]时，有])/(1]exp[)/[(1aammDαεαε−+−=(aε≥0) (1a)②二维和三维加载[33，46]时，有])/(exp[1amDαε−−=(aε≥0) (1b) aσ-aε本构关系可表示为)1(aaDE−=εσ(aε≥0) (2)(4) 黏缸没有损伤特性，遵循的本构关系[37，38]为t d/dbbεησ=(3)(5) 单元体在损伤之前是黏弹性体。

(6) 单元体在损伤之前，σ-ε本构关系符合线性微分方程，此时可近似认为应变叠加原理有效[35，36]。

(7) 本构关系可由黏弹性体本构关系根据应变等效原理[40]得到。

2.2受一维静载荷作用岩石在动载荷作用下的本构模型组合体中损伤体和黏缸的应力及应变满足如下关系：第25卷 第5期 李夕兵等. 中应变率下动静组合加载岩石的本构模型 • 867 •⎪⎭⎪⎬⎫=+==+=b1212a b 1a εεεεεσσσσ (4)将损伤体和黏缸的本构关系代入式(4)，可得组合体的本构关系为⋅−=−+−+)1()]1()1([221D E D E D E σση& ])1([1εεηD E −+& (5) 从式(5)中可以看出，组合体的损伤本构关系可由黏弹性本构关系用有效弹性模量)1(D E −代换损伤体在损伤之前的弹性模量E 得到。

为了对式(5)进行求解，先不考虑其损伤特性，由式(5)得到组合体的黏弹性本构方程为)()(1221εεησσηE E E E +=++&& (6) 假设动载荷开始时0=t ，由于岩石受静载荷作用，其受力状态为非零状态，即0=t 时，0)0(εε=，S =)0(σ。

考虑该初始条件，由拉普拉斯变换可得 ττεηεστηd e)()()()( 0022020021−++−∫+−+=+t t E E tt Et t E t t(7)式中：0t 为岩石受力状态为零的时刻，也是静载荷开始加载的时刻，此时有0)(0=−t σ，0)(0=−t ε(−0t 表示从小于0t 值的方向趋近于0t 的时刻)。

当Ct t t t +=+=+0r 00)()(εεεε时(C 为平均应变速率，为常数)，由式(7)可得+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+− e e 1)]([)(0r 21021)(21021222122r 00t C t E E t EE E E C E E E E E E E t t t εηηηεεεσ 021e)(22122t E E E E CE ηη+−+ (8)式中：)(r t ε为动静组合载荷加载时产生的应变，0ε为假想动静组合载荷值S 产生的初始应变。