安徽师范大学拓扑学本科教学大纲
点集拓扑学教学大纲
《点集拓扑学》教学大纲一、课程的教学目的和任务本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。
本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。
由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。
带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。
二、课程内容及学时分配建议第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。
如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。
1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算）2.关系、等价关系和映射3.可数集与不可数集、基数4.选择公理*第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。
在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。
1. 度量空间（1）度量空间的定义和例子（2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划（3）开集的三条基本性质（度量空间的拓扑结构）2. 拓扑（1）拓扑空间的定义和例子、邻域及邻域系（2）聚点、导集、闭包、内部的定义和基本性质（3）基与子基、相对拓扑与子空间3. 连续映射（1）连续映射的定义与刻划（2）同胚映射4. 拓扑空间中序列的概念及其收敛性第三章重要的拓扑性质32学时这一部分内容与分析学的内容有密切的联系，是过去已学知识的系统化并加以推广从而给出更一般，更抽象的形式。
《拓扑学》教学大纲
拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。
它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。
从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。
关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。
通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。
第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。
《代数拓扑》课程大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（Course Code）
MA4113/MA333
*学时
（Credit Hours）
48
*学分
（Credits）
3
*课程名称
（Course Name）
（中文）代数拓扑
（英文）Algebraic Topology
课程性质
(Course Type)
掌握流形的定向的定义，非紧流形的具有紧支集的同调，Poincare对偶， Lefschetz对偶，Alexander对偶。A5.1.1,B1.6
*教学内容、进度安排及要求
(Class Schedule&Requirements)
教学内容
学时
教学方式
作业及要求
基本要求
考查方式
预备知识
6
面授
习题
完成要求
（3）奇异同调的计算和应用
掌握映射度，胞腔同调，Mayer-Vietoris序列，带系数的同调。 A5.1.1
（4）同调论公理
掌握同调论公理，范畴和函子。A5.1.1
（5）上同调群
掌握空间的上同调，万有系数定理。A5.1.1
（6）上积
掌握上同调环，Kunneth公式。A5.1.1,B7.4
（7）Poincare对偶
专业方向选修A组
授课对象
（Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
Instruction)
中文或英文
*开课院系
（School）
数学系
先修课程
（Prerequisite）
《拓扑学基础》，《抽象代数》
基础拓扑学-教学大纲
拓扑学(Topology)一、基本信息适用专业：数学与应用数学专业课程编号：教学时数：72学时学分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：梁基华，蒋继光《拓扑学基础》.高等教育出版社参考书[1]（美）亚当斯著，沈以淡等译《拓扑学基础及应用》.机械工业出版社;[2]Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall；[3]尤承业《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社.二、课程介绍拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。
了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集，映射与序结构要求(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。
(2)了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。
(3)掌握映射的基本性质(4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念主要内容作为准备，本章介绍有关集合的基本概念，可数集与不可数集的有关结果。
集合的交，并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。
选择公理和Zorn引理。
映射极其基本性质，偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。
难点定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念课时安排（8学时）a) 映射及其性质（1学时）b) 序论基础（6学时）c)笛卡儿积与选择公理（1学时）第二章拓扑空间要求本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。
熟练应用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。
理解分离性和可数性及其等价刻画。
主要内容拓扑空间的定义，开集，闭集。
生成拓扑的各种方法。
基，邻域，闭包，内部极其刻画。
正规，正则分离性。
《一般拓扑学》课程教学大纲
重点：序列与极限
难点：收敛类范畴。
（四）乘积空间与商空间（6学时）
连续函数、连续性的刻划、同胚、乘积空间、到乘积空间的函数、坐标收敛、可数性、商空间、开映射、闭映射、上半连续分解。
重点：同映映射
难点：映射的分类。
配套
实践
《一般拓扑学》课程教学大纲
课程ห้องสมุดไป่ตู้
编号
01025046
课程
名称
（中文）一般拓扑学
（英文）General Topology
课
程
基
本
情
况
1．学分：3学时：30（课内学时：30实验学时：）
2．课程性质：学科基础必修课
3．适用专业：数学系
适用对象：本科
4．先修课程：《数学分析》、《高等代数》
5．首选教材：《一般拓扑学》J. L. Kelley著、吴从欣、吴让泉译
环节
说明
大纲
编写
责任
人
数学与应用数学
（教研组）
石忠锐（签名）
2001年06月30日
系
审核
意见
数学
（系）
顾桂定（签名）
2001年06月30日
学院
审核
意见
张金仓
（签名）
上海大学理学院（公章）
年月日
二选教材：《点集拓扑学》方嘉琳编著
参考书目：《拓扑学》蒲保明等编
6．考核形式：考试（闭卷）
7．教学环境：课堂
课
程
教
学
目
的
及
要
求
拓扑空间与连续函数：理解拓扑空间的概念，掌握开集、闭集与极限点的定义，掌握连续函数的性质。
拓扑学(科) 教学大纲
拓扑学（科）一、课程说明课程编号：130925Z10课程名称（中/英文）拓扑学（科）/Topology：课程类别：专业核心课学时/学分：80学时/5学分先修课程：数学分析、高等代数适用专业：数学科学班教材、教学参考书：《TOPOLOGY》, James. Munkres, Prentice Hall, 2000；《点集拓扑讲义》，熊金城编，高等教育出版社，2003年12月，第三版；《点集拓扑学》，徐森林等，高等教育出版社，2007。
二、课程设置的目的意义拓扑学是对连续性的最一般研究，与近代数学的许多分支有密切的内在联系。
本课程介绍一般拓扑学的基础知识，包括基本概念、基本理论与基本方法。
拓扑学对于培养学生的抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力，为进一步掌握和奠定近代数学的一些基础知识，都是不可缺少的一门课程。
三、课程的基本要求知识：掌握点集拓扑学中拓扑空间与连续映射等最基本概念；掌握各种拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性和紧致性。
掌握与上述基本概念和重要性质相关的大量具体实例，包括正面的典型例子与能澄清概念的有用反例。
能力：拓扑学是几何学的一个分支，要求学生对拓扑学中的基本概念与定理具有一定的几何想象能力；拓扑学的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（主要是分析分支与几何分支）有着广泛应用，要求学生具有能将抽象的拓扑学内容应用于解决具体的分析学与几何学问题的能力。
素质：通过课程学习中的分析、讨论与辩论，培养学生的分析沟通交流素质；培养学生利用形象思维与抽象思维相结合的方法去分析问题与解决问题的素质；培养学生严谨的思维习惯。
四、教学内容、重点难点及教学设计（一）课程的基本内容1．集合论的有关知识集合的基本概念；集合的基本运算；关系；等价关系；映射；集族及其运算；可数集，不可数集，基数；选择公理2．拓扑空间及连续映射拓扑，拓扑基，拓扑子基，拓扑空间，序拓扑；邻域与邻域系；极限点，闭集，闭包；内部，边界；连续映射；网，网的收敛；拓扑空间与连续映射；度量空间与连续映射3．拓扑不变性质，包括分离性、可数性、连通性与紧致性连通空间；连通性的某些简单应用；连通分支；局部连通空间；道路连通空间；第一与第二可数性公理；可分空间；T0,T1,T2，Hausdorff空间；正则，正规，T3,T4空间；完全正则性与Tychonoff空间，可度量化空间；紧致空间，紧致子集，单点紧化；紧致性与分离性；欧氏空间的紧致集，度量空间的紧致集；几种紧致性及相互关系。
201411282-拓扑学选讲-教学大纲
拓扑学选讲课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411282课程中文名称：拓扑学选讲课程英文名称：Topology Selected课程性质：专业选修课程开课专业：数学与应用数学开课学期：7总学时： 36 （其中理论36学时）总学分：2二、课程目标拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，有的甚至已经成为通用语言。
拓扑学在物理学、经济学等部门也有许多应用。
拓扑学是研究拓扑空间自身结构及空间图形在连续形变下性质保持不变的学科，该课程是数学与应用数学专业本科生在学习完点集拓扑课程之后，需要进一步掌握的拓扑学课程。
通过该课程的学习，使学生掌握代数拓扑的基本理论与方法，为学生后续课程的学习打下良好的基础，并能增强学生的抽象思维、逻辑思维能力和分析问题解决问题的手段和方法。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）（1）掌握以点集拓扑为主的基础理论。
包括拓扑空间，连续映射的基本概念，乘积空间商空间等重要而常用的概念以及它们的性质。
还有对连续性、紧致性及连通性的讨论等以及基本群、单纯剖分的概念。
（2）掌握代数拓扑的基本理论。
包括映射的同伦，基本群的定义，球面的基本群，基本群的同伦不变性，复叠空间及性质，两个提升定理，复叠变换与正则复叠空间，单纯复形，单纯复形的同调群，同调群的性质和意义，计算同调群的实例。
（3）在日常课程学习过程中着重对基本概念，基本理论和基本技能进行拓展，培养学生认1真扎实的学习态度、注重积累的学习习惯，具有自我约束、自我检验、自主学习的能力，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学思维基础。
*说明：由于课程性质，在所涉及领域并不进行深入讨论。
四、教学内容与学时分配1 拓扑空间与连续性（2学时）1.1 拓扑空间1.2 连续映射与同胚映射1.3乘积空间与拓扑基2 几个重要的拓扑性质（6学时）2.1 分离公理与可数公理2.2 紧致性与连通性2.3 道路连通性2.4 拓扑性质与同胚3 商空间与闭曲面（4学时）3.1 几个常见曲面3.2 商空间与商映射3.3 拓扑流形与闭曲面3.4 闭曲面分类定理4 同伦与基本群（10学时）4.1 映射的同伦4.2 基本群的定义4.3 S^n的基本群4.4 基本群的同伦不变性4.5 基本群的计算与应用5 复叠空间（6学时）5.1 复叠空间及其基本性质5.2 两个提升定理15.3 复叠变换与正则复叠空间6 单纯同调群（8学时）6.1 单纯复合形6.2 单纯复合形的同调群6.3 同调群的性质和意义6.4 计算同调群的实例五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）以课堂教学为主，本课程教学方法和教学手段以理论教学（课堂讲授）为主，以黑板板书与现代教育手段相结合的教学方法；并在教学活动中，注重培养学生严谨求实的科学态度，注重数学理论的直观意义和实际意义的应用。
拓扑学课程大纲
《拓扑学》课程大纲一、课程简介课程名称：拓扑学学时/学分：3先修课程：数学分析, 抽象代数面向对象：理科班教学目标：介绍拓扑学的基础概念和基础理论。
希望通过这门课程的学习，培养学生抽象概括能力，空间想象能力，逻辑推理能力等，并为进一步学习现代数学打下必要的基础。
主要内容：拓扑空间及其几个重要性质, 同胚, 同伦, Euler数, 同伦群, 单纯同调, 奇异同调, 等等.二、教学内容第一章拓扑空间主要内容：拓扑空间, 子空间拓扑, 拓扑基第二章拓扑性质主要内容：连通性, 紧致性, Hausdorff性质第三章拓扑空间的构造主要内容：同胚, 乘积空间, 商空间第四章同伦主要内容：同伦, 同伦等价, Brouwer不动点定理, 向量场第五章Euler数主要内容：单纯复形, Euler数, Euler数及曲面第六章同伦群主要内容：同伦群, 诱导同态, 基本群, 道路连通性, Van Kampen定理第七章单纯同调主要内容：Mod2系数单纯同调, 整系数单纯同调第八章奇异同调主要内容：奇异同调, 同调以及连续映射, 同伦不变性, 重心重分, Mayer-Vietoris序列第九章拓扑空间的更多构造主要内容：向量丛, 纤维丛三、教学进度安排四、课程考核及说明20%为平时成绩（大作业等）80%为考试成绩五、教材与参考书教材:Crossley, Martin D.Essential topology. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London,2005.参考书:1．Armstrong著，孙以丰译，基础拓扑学，北京大学出版社，1983年。
2．Munkres, J. R., Topology: a first course, Prentice-Hall, Inc., 1975. 3．Terry, Lawson, Topology: a geometric approach,Oxford University Press, 2003.。
拓扑学课程考核大纲
柘扑学课程考核大纲一、适应对象修读完数学分析、高等代学等课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。
二' 考核目的考核学生对拓扑学的基本概念、基础知识、基本理论的掌握情况，考核学生运用较高层次的数学观点和数学知识情况，从而能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养。
并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础并应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
运用拓扑学的理论和方法处理实际问题的能力。
三' 考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为开卷，考试时间为100分钟。
四'课程考核成绩构成期评成绩二平时考查成绩（30%） +期末开卷考试（70%）。
平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B等以上可评定为总分值100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。
五、考核内容与要求第一章朴素集合论考核内容集合，空集，相等，子集及真子集，簇集，并、交、补的定义，集合的运算关系，基础集的定义，笛卡儿积、坐标集、关系的定义，像集，恒等关系，等价关系，等价族，像，原像，在上的映射，映射，单位映射，内射，投射，集族的并与交的定义及定理，子集簇，等势集、可数集、不可数集的定义及其定理，无限集，可数集，选择函数，Zermelo假设。
考核要求了解：选择公理的概念及有关公理。
理解：集合、关系、等价关系、集族的并与交、等势集、可数集、不可数集的定义及其定理。
第二章拓扑空间与连续映射考核内容度量、度量空间、欧氏平面、Hilbert空间、Schwarz引理、拓扑空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间、可度量化空间、连续映射，邻域与邻域系、导集、闭集、闭包、内部、边界、基、子基、拓扑空间中的序列考核要求了解：拓扑不变性质。
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《数学系（点集拓扑学）》教学大纲
学时：51学时学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
大纲执笔人：李伯权大纲审定人：孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。
目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。
点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科。
本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。
2、课程教学的基本要求
（1）通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应用拓扑学解决实际问题的能力。
以便为以后进一步学习、研究
现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问
题解决问题的能力。
（2）系统掌握点集拓扑的基本知识。
其基本内容包括：拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各
种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备
性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的
可积、可遗传等性质，基本群及其应用。
掌握点集拓扑中的证。