流体力学 例题ch1

中流体质量的随体倒数。
A
a
ε
O
2)
Aε
3)
在体积 0 < r ≤ a
中流体质量为，
A
a
ε
O
M = ∫ ρ dτ = ∫ k (r 3 3t ) dτ
τ τ
Aε
DM r r = ∫ k (r 3 3t ) dτ + lim ∫ ρ u ndA ε →0 t τ Dt A + Aε
k (r 3 3t )dτ = ∫ [k (r 3 3t )]dτ = ∫ τ 3kdτ = 4kπ a 3 t ∫ τ τ t
z
∫ ρu ndA =
A
r r
∫ adA + ∫ adA + ∫ adA + ∫ adA
A左 A右 A前 A后
y
∫ 2adA ∫ 2adA = 0
A上 A下
x
r r r r ∫ ( ρu )dτ = ∫ (axi + ayj 2azk )dτ = 0
τ τ
4.流体内某处的应力张量可表示为
u = ax, y = ay , z = 2az
其中a 为常数, 求在体积 1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 1 中质量随体导数。
解:
D r r r r r ρ dτ = ∫ ρ dτ + ∫ ρ u ndA = ∫ ρ u ndA = ∫ ( ρ u )dτ Dt ∫ t τ τ A A τ
2 y 2y a y = 2 = [2b(1 + t )] = 2b = (1 + t )2 t t
2 z 2t t 4ce 2t t 2ce 2t 6ce 2t t az = 2 = 2ce = + 3 3 3 t t (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) 4
u = ay , v = w = 0 试求:
r
sij
aij s ijδ x j 和旋转速度 a ij δ x j
r r r i j k r r 1) × u = / x / y / z = ak ay 0 0
2)
0 a / 2 0 sij = a / 2 0 0 0 0 0
r + dr ,θ +
dθ dz ,z+ 2 2
dθ dz r ,θ + , z + 2 2
}dθ dz
dr
dθ
r+
dr dz ,θ + dθ , z + 2 2 dr ,θ , z + 2 2 r+ dz ]dzdr
r
θ
x
r+
r r r +{[(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ] r r r [(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ]
x
y
0 1 2 1 1 r r pn = n σ = (1,3,1) 1 2 0 = (5, 7,3) 11 11 2 0 1
σ nn
1 r r = n pn = (1,3,1) 11
5 11 7 1 29 = (5 + 21 + 3) = 11 11 11 3 11
2ce 2t [2t (1 + t ) + (1 + t ) 3t ] 2ce 2t (2t 2 + 1) 2 z (2t 2 + 1) = = = 4 4 (1 + t ) (1 + t ) (1 + t ) 2
2.设平面剪切运动的速度分布为 1) 2) 3) 4) 解: 涡量 × u 应变率张量 旋转张量 变形速度
2 π 3U r r 2 p0 sin θ = ez 2π a cosθ = 6πUa ez 2 2a 0
π
π
6. 试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力的合力。计算中可取每个表
r 面中心的应力作为该表面的平均应力。已知单位矢量 e 和 e 均是θ的 θ r r r eθ r er r 函数，且, = er ,微元体中心的应力张量已知。 = eθ θ θ
∫
A+ Aε
∫
A+ Aε
ρ u ndA = ∫ ρ u ndA + ∫ ρ u ndA
A 3 Aε 2π π 2π π
r r
r r
r r
=
∫
0
1 k (a 3t ) 2 a 2 sin θ dθ dω ∫ a 0
∫
k (ε 3 3t ) ∫
1
0 0
ε
ε 2 sin θ dθ dω 2
lim
ε →0
r ez r ez
θ
P
σ Rω
a
σ Rθ
r r r pn = σ RR eR + σ Rθ eθ r 3U r = p0 eR + ez 2a
x
ω
y
z
σ RR
P
r 2π π r 2 3U r r F = ∫ ∫ pn a sin θ dθ dω = 4π a 2 ez = 6πUaez 2a 0 0
解:
r
r r r r F = {[(σ rr er + σ rθ eθ + σ rz ez )r ] r r r [(σ rr er + σ rθ eθ + σ rz ez )r ] r r r +[(σ θ r er + σ θθ eθ + σ θ z ez ) r r r [(σ θ r er + σ θθ eθ + σ θ z ez )
r r (rpr ) r +δ r (rpr )r r = (rpr )
r+
δr
2
+
r δr (rpr ) r 2 r δr (rpr ) ] r 2
dr
dθ
r [(rpr )
r+
δr
2
r = (rpr )δ r r
r
θ
x
同理dzz源自r pθ r r ( pθ )θ +δθ ( pθ )θ = dθ θ r r r ( rpθ ) z +δz (rpθ ) z = (rp z )dz z
w w 2 z 2 zt 2 zt 2t 2 z (1 + 2t 2 ) az = +w = + = 2 t z 1 + t (1 + t ) 1 + t 1 + t (1 + t ) 2
在拉格朗日参考系中求加速度,
2 x ax = 2 = (2ae 2t ) = 4ae 2t = 4 x t t
σ =
0 1 2
1 2 0
2 0 1
试求作用于平面 x + 3 y + z = 1 及应力矢量的法向和切向分量。 解:
外侧（离开原点一侧）的应力矢量
z
求该平面外侧的法向单位矢量，
F = x + 3 y + z 1 r r r r r r i +3j +k i +3j +k r F n= = = 2 F 11 1+ 3 +1
θ
σ Rω
a
σ Rθ
ω
又解 :
y
x
r r F = ez ∫ (σ RR cosθ σ Rθ sin θ ) 2π a sin θ a dθ
A
r 3U cosθ 3U = ez 2π a 2 ∫ [( p0 + ) cosθ ( sin 2 θ )]sin θ dθ 2a 2a 0 r 3U = ez 2π a 2 ∫ ( p0 cos θ + ) sin θ dθ 2a 0
ρ = 3k t
D ρ ρ ρ ρ ρ = +u +v +w t x y z Dt x kx y ky z ky = 3k + 3 3r 2 + 3 3r 2 + 3 3r 2 r r r r r r x2 y2 z 2 = 3k + 3k ( 2 + 2 + 2 ) = 3k + 3k = 0 r r r
1. 拉格朗日变数 (a, b, c) 给出的流体运动规律为 x = ae 2t , y = b(1 + t ) 2 ,
z = ce 2t (1 + t ) 2
1) 2) 3) 求以欧拉变数描述的速度场； 问流动是否定常； 求加速度。
解: 1) 设速度场的三个分量是,
u , v, w
x = 2ae 2t t y 2b(1 + t ) 2 v= = 2b(1 + t ) = 1+ t t z 2ce 2t (1 + t ) 2 t w= = 2ce2t [(1 + t ) 2 (1 + t ) 3 ] = t 1+ t u=
7. 给定一流场的速度分布和密度分布为:
u=
x y z , v = 3 , w = 3 , ρ = k (r 3 3t ) r3 r r
其中 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , k为非零常数。 1). 在流场中某点的流体密度随时间的变化率； 2). 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率； 3). 在体积 0 < r ≤ a 解: 1)
r r pθ r r F = [ (rpr ) + + (rpz )]dθ dzdr r θ z r r r r r r r r = { [σ rr er + σ rθ eθ + σ rz ez )r ] + [σ θ r er + σ θθ eθ + σ θ z ez )r ] r θ r r r r + [σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ]}drdθ dz z r r r σ r r σ r r σ r = { (rσ rr )er + (rσ rθ )eθ + (rσ rz )ez + θ r er + σ θ r eθ + θθ eθ σ θθ er + θ z ez r r r θ θ θ r r r + (rσ zr )er + (rσ zθ )eθ + (rσ zz )ez }drdθ dz z z z