高数习题课6

元素法解题步骤定积分应用中的常用公式一、第六章主要内容所求量的特点（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；（3）部分量i U Δ的近似值可表示为i i x f Δ)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量 U .1、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ；2）设想把区间],[b a 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U Δ的近似值．如果U Δ能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在 x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量 U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得∫=ba dx x f U )(，即为所求量U ．2、解题步骤3、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积x yo)(x f y =∫=ba dx x f A )(∫−=ba dxx f x f A )]()([12A直角坐标情形abxyo)(1x f y =)(2x f y =Aab如果曲边梯形的曲边为参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ曲边梯形的面积∫=baydx A （其中1t 和2t 分别与x = a , x = b 对应）在[1t ,2t ]（或[2t ,1t ]）上)(t x ϕ=具有连续导数，)(t y ψ=连续.参数方程所表示的函数∫′=21)()(t t dtt t ϕψ∫=βαθθϕd A 2)]([21x oβθd α)(θϕ=r βαxo)(2θϕ=r )(1θϕ=r ∫−=βαθθϕθϕd A )]()([212122极坐标情形(2) 体积dxx f V ba 2)]([∫=πdyy V dc 2)]([ϕπ∫=xyo)(y x ϕ=c dx dxx +xyo()x f y =∫=ba dxx A V )(平行截面面积为已知的立体的体积xox dxx +ab)(x A xyo )(x f y =abx dx x +dxx f x V bay |)(|2∫π=(3) 平面曲线的弧长xo ya bx dx x +}dy弧长dxy s ba ∫′+=21A ．曲线弧为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ)(βα≤≤t 其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有连续导数弧长dtt t s ∫′+′=βαψϕ)()(22)(x f y =B ．曲线弧为C ．曲线弧为)(βθα≤≤)(θr r =弧长θθθβαd r r s ∫′+=)()(22(4) 旋转体的侧面积x dxx +xyo)(x f y =bx a x f y ≤≤≥=,0)(∫′+π=b adxx f x f S )(1)(22侧(5) 变力所作的功)(x F o abxdxx +x⋅⋅⋅⋅∫∫==baba dxx F dWW )((6) 水压力xyo a bx dxx +)(x f ∫∫==baba dxx gxf dPP )(ρ(7) 引力xyx dxx +o Al −lθ∫∫−−+==lllly y x a dx Ga dF F 2322)(ρ.0=x F )(为引力系数G (8) 函数的平均值∫−=badxx f a b y )(1二、典型例题计算下列各题1例所围图形的面积；与直线上由曲线）求区间（1,0,sin ]2,0[1===y x x y π0.250.50.7511.251.50.20.40.60.81()∫−=2sin 1πdxx A 解12−=π的体积；轴旋转一周所得旋转体轴和该图形绕所围图形的面积及与）求由曲线（y x x y x y 222,2−==-2-112-2-1123438)1(4)2(121122=−=−−=∫∫−dx x dx x x A 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∫∫10221022)()2(2dx x dx x V x π320)24(2102ππ=−=∫dx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=∫∫212102)2()(dy y dy y V y ππ=∫−−=122])2[(2dx x x x V y ππ=求由双纽线0xyθa r 2=22cos ..2122a⋅π.由对称性.例2a2a 6πθ=)()(222222所围而且在圆周 y x a y x −=+内部的面积。

双纽线化成极坐标2)2316(a −+=π令r = 0,4π±π=k θ6π±π=k θ,2=ar 令 d cos221246θθa ∫ππS = 4+.4πθ=2222ay x =+a −a oyx==∫a ydx A 04)1(∫⋅−0223sin cos 3sin 4πtdtt a t a =−=∫20642)sin (sin 12πdt t t a ;832214365221431222a a πππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′+′=∫2022)()(4)2(πdt t y t x s ;6cos sin 3420a tdt t a =∫π==∫ax dx y V 022)3(π∫⋅−02262sin cos 3sin 2ππtdtt a t a 32097310532)sin (sin 6a dt t t a πππ=−=∫.)3(;)2(;)1(:),0(sin cos 333体积和表面积轴旋转而成的旋转体的它绕它的弧长它所围图形的面积试求设星形线方程为例x a t a y ta x >⎩⎨⎧==换元;10532)sin (sin 6sin cos 3sin 22)3(;6cos sin 34)()(4)2(;8322143652214312)sin (sin 12sin cos 3sin 44)1(320973226222020222226422230a dt t t atdtt a t a dx y V a tdt t a dt t y t x s a a dt t t atdtt a t a ydx A ax a πππππππππππππ=−=⋅−====′+′==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−==∫∫∫∫∫∫∫∫换元下限<上限==∫ayds S 04π表面积∫⋅203cos sin 3sin 4ππtdtt a t a .5122a π=例4.)0(,时水面上升的速度求在池中水深的半球形水池内注水的流量往半径为以每秒R h h R a <<o xyR h解如图所示建立坐标系.).0()(222R y R R y x ≤≤=−+半圆的方程为于是对半圆上任一点,有).0(2)(2222R y y Ry R y R x ≤≤−=−−=体积为时水池内水的的球缺的体积即水深为故半球内高为轴旋转而成的立体圆绕因已知半球可看作此半h h y ,dyy Ry dy x V hh∫∫−==022)2(ππ,t h 时已注水的时间为又设水深dtdhh Rh dt dV )2(2−=π得求导两边对,t dt dhh Rh a )2(2−=π即oxy R h故所求速度为.)2(2h Rh adt dh −=π解xyo立体体积dyx V y ∫∞+π=12dy y ∫∞+π=1216∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−π=116y .16π=1=y 例5求曲线4=xy ，1≥y ，0>x 所围成的图形绕y 轴旋转构成旋转体的体积.213),,(,0)(,],[)(6S S b a x f b a b a x f =∈>′使证明存在唯一一点）内有上连续，且在（在设例ξt解设任取),,(b a t ∈dxt f x f dx x f t f t F b tt a∫∫−−−=)]()([3)]()([)(即连续，在则],[)(b a t F )0)((,0)]()([3)(>′<−−=∫x f dx a f x f a F baQ 0)]()([)(>−=∫dx x f b f b F ba存在性由零点定理,0)(),,(=∈∃ξξF b a 使.3,21S S b a =∈ξ∃）使（即,3)(21S S t F −=唯一性)()(3)(3)(3)()()()()(t f t b t f t f t f t f a t t f t F ′−+−+−′−+=′0)()](3)[(>′−+−=t f t b a t .,)(唯一故ξ↑∴t F )()(3)(3)()()(t f t b dx x f dx x f t f a t btt a−+−−−=∫∫dxt f x f dx x f t f t F btt a∫∫−−−=)]()([3)]()([)(Q 213),,(,0)(,],[)(6S S b a x f b a b a x f =∈>′使证明存在唯一一点）内有上连续，且在（在设例ξt解(1) 直角坐标xyOa22)(a x a y −−±=22)()(a x a a x y −−−−=′222)(1a x a adx dx y ds −−=′+=∫−−=aa x a adxs 2022)(2aa a x a 20arcsin2⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=aπ2=.)(7222的周长分别用三种坐标计算圆例a y a x =+−xyOa(2) 参数方程θ⎩⎨⎧==−ta y ta a x sin cos 令t)20(π≤≤t dt y x ds 22′+′=adt=aadt s ππ220==∫(3) 极坐标θcos 2a r =⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤≤−22πθπθd r r ds 22′+=θad 2=∫−=222ππθad s aπ2=例8.,4,20,3050,,力求闸门一侧所受的水压米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解xyo 164−x dx x +A B如图建立坐标系,的方程为则梯形的腰AB .2321+−=x y 此闸门一侧受到水压力为∫+−=16)2321(2dxx gx P ρ16023)233(x x g +−=ρ)25623409631(×+×−=g ρgρ67.4522=).(1043.47N ×≈.cos 1cos 9部分的面积所围图形的公共及求由例θθ−==r r 解⎩⎨⎧−==θθcos 1cos r r ,3πθ=的极坐标得交点C 于是所求面积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−==∫∫2323021cos 21)cos 1(2122πππθθθθd d A A .31272sin 41212sin 41sin 22342cos 142cos 1cos 21223302330−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=∫∫πθθθθθθθθθθππππππd d hRxoxA (x )A (x )y h ⋅=22−=x R h V =∫−RR x x A d )(∫−22−=RR xx R h d θθh R πd cos 22022∫=hR 221= π.–Ry.求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h 的正劈锥体的体积。