活用圆周角定理解题

活用圆周角定理解题
在涉及圆周角或圆心角的有关计算、证明题中，若能从圆周角与圆心角的关系入手，往往可快捷地找到解题思路，从而使问题在短时间内得到有效正确的解答．下面以近几年中考题为例加以说明．
一、确定角度
例1 （武汉中考题）如图1，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，求∠AOD＋∠BOC 的度数．
点拨分别找出 AD和 BC所对的圆周角．
解如图1，连结BD，则有
∠AOD＝2∠ABD，∠BOC＝2∠CDB．
∵AB⊥CD．
∴∠BED＝90°，
∴∠ABD＋∠CDB＝90°，
∴∠AOD＋∠BOC
＝2(∠ABD＋∠CDB)
＝180°．
二、证明切线
例2 （日照中考题）如图2，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠AOC＝2∠ACD，AD ⊥CD于点D，求证：CD是⊙O的切线．
点拨找圆心角∠AOC所对弧上的圆周角．
证明如图2，连结BC，
则有∠AOC＝2∠ABC，
三、求三角函数值
例3（雅安中考题）如图3，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，求sin∠E的值．
点拨找 BC所对的圆心角．
解如图3，连结OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°．
∵∠CDB ＝30°．
∴∠COB ＝2∠CDB ＝60°，
∴∠E ＝90°－∠COB ＝30°，
∴sin ∠E ＝12
． 四、计算线段长度
例4（孝感中考题）如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，CD 是⊙O 的直径，点
P 是CD 延长线上的一点，且AP ＝AC ．若PD O 的直径．
点拨 找 AC 所对的圆心角．
解 如图4，连结OA ．
五、求不规则图形面积
例5（宿迁中考题）如图5，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将
此半圆沿BC 所在的直线折叠，若 BC 恰好过圆心O ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
点拨 找
AC 所对的圆心角与圆周角． 解 如图5，连结OC ，作半径OE ⊥BC 于点D ，由折叠知，OE ＝OD ．
∵OB ＝OE ，∴OD ＝12
OB ．
六、求最大值
例6（天津中考题）如图6，已知AB ＝AC ＝8，点D 是动点，满足∠CDB ＝
12
∠BAC ＝30°，求△DBC 面积的最大值．
点拨 由∠CDB ＝12
∠BAC 及AB ＝AC 知，B 、C 、D 三点在以A 为圆心的圆上． 解 如图7，以A 为圆心，AB 为半径作OA ．
七、探求点的坐标
例7（呼和浩特中考题）在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B （－6，0）．点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA ＝45°时，求点C 的坐标．
点拨 以∠BCA 为圆周角找对应的圆心角．
解 (1)如图8，过点E 在第二象限作EP 上BA ，且EP ＝12
AB ＝5，
∴△PBA 为等腰直角三角形，∠BPA ＝90°，PA ＝PB ＝
以点P 为圆心，PA(或PB)长为半径作⊙P ，与y 轴的正半轴交于点C ．
∴∠BCA 为⊙P 的圆周角，
∴∠BCA ＝12
∠BPA ＝45°， ∴点C 为所求的点，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，则OF ＝PE ＝5，PF ＝1．
(2)如图9，在第三象限可以参照(1)类似操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，－12）．
综上所述，点C坐标为(0，12)或(0，－12)．。