中山大学考研考研数学三真题

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历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222 0() dx x y dy+⎰（B）222 0() dx f x y dy+⎰（C）222 01() dx x y dy+⎰⎰（D）222 01() dx f x y dy++⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+PX Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ（D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim (tan )x xx x π-→（10）设函数0ln1(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y=满足1(,)22lim0,xyf x y x y→→-+-=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XYX Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

中山大学世界经济专业303数学三考研资料考研真题考研大纲参考书教材

中山大学世界经济专业-303数学三-考研资料-考研真题-考研大纲-参考书教材报考中山大学世界经济专业考研专业课资料的重要性根据华文教育的统计，%以上报考中山大学世界经济专业考研成功的考生，尤其是那些跨学校的考研人，他们大多都在第一时间获取了中山大学世界经济专业考研专业课指定的教材和非指定的中山大学世界经济专业内部权威复习资料，精准确定专业课考核范围和考点重点，才确保了自己的专业课高分，进而才才最后考研成功的。

如果咱们仔细的研究下问题的本质，不难发现因为非统考专业课的真题均是由中山大学世界经济专业自主命题和阅卷，对于跨校考研同学而言，初试和复试命题的重点、考点、范围、趋势、规律和阅卷的方式等关键信息都是很难获取的。

所以第一时间获取了中山大学世界经济专业考研专业课指定的教材和非指定的中山大学世界经济专业内部权威复习资料的考生，就占得了专业课复习的先机。

专业课得高分便不难理解。

那么怎么样才能顺利的考入中山大学世界经济专业呢？为了有把握的的取得专业课的高分，确保考研专业课真正意义上的成功，考研专业课复习的首要工作便是全面搜集中山大学世界经济专业的内部权威专业课资料和考研信息，建议大家做到以下两点：1、快速消除跨学校考研的信息方面的劣势。

这要求大家查询好考研的招生信息，给大家推荐一个考研网，有详细的考研招生信息。

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第一部分：中山大学303数学三考研复习重点讲义。

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中山大学考研考研数学三真题

中山大学考研数学三真题概述考研数学是中山大学研究生入学考试的一门重要科目之一。

作为数学科目的一部分，数学三主要涵盖了高等数学理论、数学方程、概率论等内容。

为了帮助考生更好地备考，在本文档中，我们将提供一些中山大学考研数学三真题，并对这些题目进行解析和讨论。

真题一1. 设函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，计算 f(-1)。

分析：根据给定的函数 f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1，我们只需要将 x 替换为 -1，并按照计算规则进行计算。

具体计算步骤如下：f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1= -1 + 3 + (-3) + 1= 0解析：根据计算结果，f(-1) = 0。

这意味着在 x = -1 时，函数 f(x) 的取值为零。

真题二2. 已知有三个事件 A、B、C，其概率分别为 P(A) = 0.4，P(B) = 0.8，P(C) = 0.2，且事件 A、B 相互独立，事件 A、C 不相互独立。

求事件 A 与 (B ∪ C) 的概率。

分析：根据题目要求，我们需要求事件 A 与 (B ∪ C) 的概率。

根据概率的计算公式，我们可以将其转化为 P(A ∩ (B ∪ C)) 的计算。

由于事件 A、B 相互独立，我们可以得到 P(A) · P(B ∪ C) = P(A) · (P(B) + P(C) - P(B) · P(C))。

解析：根据已知的概率值和计算公式，我们可以进行具体计算。

根据题目给定的数据，我们可以得到 P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B) · P(C) = 0.8 + 0.2 - 0.8 · 0.2 = 0.96。

然后将此结果带入到 P(A ∩ (B ∪ C))的计算公式中，我们可以得到 P(A) · P(B ∪ C) = 0.4 · 0.96 = 0.384。

考研数学三历年真题及答案

七、〔此题总分值9分〕
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：
，，且f(0)=0,
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
八、〔此题总分值8分〕
设函数f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ]
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进展验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.
〔5〕设均为n维向量，以下结论不正确的选项是
(A)假设对于任意一组不全为零的数，都有，那么线性无关.
(B)假设线性相关，那么对于任意一组不全为零的数，都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(C) 线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组的秩为s，那么线性无关，因此(C)成立.
(D) 线性无关,那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数，使得成立，那么线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零的数，都有，那么线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在 D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均不存在2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜04．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭＝（）。

A ．****0A B B A B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0B A A B A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0A B A B B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

2023 考研数学三真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．已知函数 f( ,x y ) = ln ( y + x sin y )，则（）.（A ）()0,1f x ∂∂不存在，()0,1fy∂∂存在（B ）()0,1f x∂∂存在，()0,1fy ∂∂不存在（C ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均存在（D ）()0,1f x∂∂()0,1f y∂∂均不存在【答案】（A ）【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，()0,10f =()()()()0,1000ln 1sin1sin1,10,1sin1,0lim lim limsin1,0x x x x x f x f x fx x x x x +−→→→+ −→∂=== ∂−→ 故()0,1f x∂∂不存在()()()0,1110,0,1ln lim lim 111y y f y f f y y y y →→−∂===∂−−，()0,1f y∂∂存在，选（A ）2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A)), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤=+−>(C)), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤=++> 【答案】(D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C==+∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln , 1.x x f x x x −< = ≥则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<= −≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=+−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= ++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.4.已知()1,2,n n a b n <=，若1nn a∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛.则1nn a∞=∑绝对收敛是1n n b ∞=∑绝对收敛的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（A ）【解析】由题设条件知()1nn n ba ∞=−∑为收敛的正项级数，故()1n n n b a ∞=−∑也是绝对收敛的若1nn a∞=∑绝对收敛，则n n n n n n n b b a a b a a =−+≤−+，由比较判别法知，1n n b ∞=∑绝对收敛；若1n n b ∞=∑绝对收敛，则则nn n n n n n aa b b a b b =−+≤−+，由比较判别法知，1n n a ∞=∑绝对收敛；故应选（A ）【评注】本题考查正项级数的比较判别法，及基本不等式放缩.关于上述不等式《基础班》第一讲在讲解数列极限定义时就反复强调过.5.设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B OB A（C ）****−B A B A OA B （D ）****−B A A B OA B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− −==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B 选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B6.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y + （B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143 =− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+ 222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+−()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )．(A)21y (B) 2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++7．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β= − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2022考研数学三真题及答案解析(数三)

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及参考答案一、选择题：1~10题，每小题5分，共50分.1、当0→x 时，)()(x x βα、是非零无穷小量，给出以下四个命题 ① 若)(~)(x x βα，则)(~)(22x x βα； ② 若)(~)(22x x βα，则)(~)(x x βα； ③ 若)(~)(x x βα，则))(()()(x o x x αβα=-； ④ 若))(()()(x o x x αβα=-，则)(~)(x x βα. 其中正确的序号是（）A ：①②；B ：①④；C ：①③④；D ：②③④. 答案：C .解析：当0→x 时，若)(~)(x x βα，则1)()(lim 0=→x x x βα，故1)()(lim )()(lim 20220=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→→x x x x x x βαβα，即)(~)(22x x βα，且011)()()(lim0=-=-→x x x x αβα，故))(()()(x o x x αβα=-.所以①③正确.当0→x 时，)(~)(22x x βα，则1)()(lim 220=→x x x βα，此时1)()(lim 0±=→x x x βα，而1)()(lim 0-=→x x x βα时，)(x α与)(x β不是等价无穷小，故 ②不正确.当0→x 时，若))(()()(x o x x αβα=-，1)()(lim ))(()()(lim )()(lim000==-=→→→x x x o x x x x x x x αααααβα，所以)(~)(x x βα，④正确.综上，C 为选项.2 、已知),2,1()1( =--=n nn a nnn ，则}{n a （） A ：有最大值，有最小值； B ：有最大值，没有最小值； C ：没有最大值，有最小值； D ：没有最大值，没有最小值. 答案：A .解析：1212,1221<-=>=a a ，又1lim =∞→n n a ，故存在0>N ，当N n >时，12a a a n <<，所以}{n a 有最大值和最小值，选项A 正确.3、设函数)(t f 连续，令⎰---=y x dt t f t y x y x F 0)()(),(，则（）A ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂=∂∂，； B ：2222y Fx F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂，； C ：2222y F x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，； D ：2222yF x F y F x F ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂，. 答案：C .解析：⎰⎰⎰-----=--=y x y x y x dt t tf dt t f y x dt t f t y x y x F 0)()()()()(),(，⎰⎰--=-----+=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f x F 00)()()()()()(，)(22y x f x F -=∂∂，同理⎰⎰---=--+----=∂∂y x y x dt t f y x f y x y x f y x dt t f yF00)()()()()()(，)(22y x f y F -=∂∂，综上2222yF x F y F x F ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂，，选项C 正确. 4、已知⎰⎰⎰+=++=+=101031021sin 12,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx x xI dx x x I dx x x I ，则（） A ：321I I I <<； B ：312I I I <<； C ：231I I I <<； D ：123I I I <<. 答案：A .解析：⎰⎰⎰+=++=+=1010310212sin 1,cos 1)1ln(,)cos 1(2dx xx I dx x x I dx x xI ，先比较21,I I 的大小，令)1,0()1ln(2)(∈+-=x x xx f ，此时0)0(=f ，此时0)1(211121)(<+-=+-='x x x x f ，即)(x f 单调递减，从而0)0()(=<f x f ，可得)1,0()1ln(2∈+x x x《，从而21I I <.再比较23,I I 的大小，因)1,0(,cos 12sin 1,)1ln(∈+<+<+x x x x x ，则2sin 1cos 1)1ln(x xxx +<++，从而23I I >.综上，可得A 正确.5、设A 为3阶矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ000010001，则A 的特征值为011，，-的充分必要条件是（）A ：存在可逆矩阵Q P ,，使得Q P A Λ=；B ：存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ； C ：存在正交矩阵Q ，使得1-Λ=Q Q A ； D ：存在可逆矩阵P ，使得TP P A Λ=；答案：B解析：3阶A 有011，，-三个不同的特征值，所以A 可以相似对角化，故存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ；若存在可逆矩阵P ，使得1-Λ=P P A ，即A 相似与Λ，而相似矩阵具有相同的特征值，而Λ的特征值为011，，-，故A 的特征值为011，，-.因此选B . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=421,1111122b b b a a A ，则线性方程组b Ax =解的情况为（）A ：无解； B: 有解； C:有无穷多解或无解； D: 有唯一解或无解；答案：D .解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→31101110111141211111)|2222b b a a b b a a b A （（1）当1=a 或1=b 时，)|()(b A r A r ≠，方程无解（2）当1≠a 且1≠b 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+→11130011110111113110111101111)|a b a b a a b b a a b A （（i ）当b a ≠时，3)|()(==b A r A r ，方程有唯一解（ii ）当b a =时，3)|(2)(==b A r A r ，，方程无解；综述：方程有唯一解或无解，选D .7、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=243211,11,11,11λλαλαλαλα，若向量组321,,ααα与421,,ααα等价，则λ的取值范围（）A ：}1,0{ ； B:}2,|{-≠∈λλλR ；C:}2,1,|{-≠-≠∈λλλλR ； D:}1,|{-≠∈λλλR . 答案：C解析：向量组321,,ααα与421,,ααα等价的充要条件是()),,.,,(,,),,(421321421321ααααααααααααr r r ==，而),,,(),,.,,(4321421321αααααααααα，r r =()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→λλλλλλλλλλλλαααα2222431201101101111111111,,,（1）当1=λ时，()1).,,(,,),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价（2）当1≠λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→24312)1(2001110111111001101110110110111,,,λλλλλλλλλλλαααα（i ）当2-=λ时，3).,,(),,(2),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，此时向量组不等价（ii ）当1,2-=-≠λλ时，3).,,(2),,(3),,(4321421321===ααααααααααr r r ，，，此时向量组不等价（iii ）当1,2-≠-≠λλ时，3).,,(),,(),,(4321421321===ααααααααααr r r ，此时向量组等价综上，当1,2-≠-≠λλ时，向量组321,,ααα与421,,ααα等价；选C8、随机变量)4,0(~N X ，随机变量⎪⎭⎫⎝⎛31,3~B Y ，且X 与Y 不相关，则=+-)13(Y X D （）A: 2； B: 4； C: 6； D: 10. 答案：D .解析：由题意知，0),(32)(,4)(===Y X Cov Y D X D ，； 10)(9)()3()13(=+=-=+-Y D X D Y X D Y X D ，故选D .9、设随机变量序列 ,,,21n X X X 独立同分布，且i X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=其他11)(x xx f 则当∞→n 时，∑=n i i X n 121依概率收敛于（）A :81； B : 61； C: 31； D: 21. 答案：B .解析：61)1(2)1()()(1211222=-=-==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x x dx x f x X E i ，从而∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i X E n X n E 121261)(11，由辛钦大数定律可得，∑=n i i X n 121依概率收敛于⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i X n E 121，从而选B .10、设二维随机变量),(Y X 的概率分布若事件}2},{max{==Y X A 与事件}1},{min{==Y X B 相互独立，则=),(Y X Cov （）A ：6.0- ； B: 36.0-； C: 0； D: 48.0. 答案：B .解析：1.0}2,1{)(,2.0)(,1.0)(=====+=Y X P AB P B P b A P ，由B A ,相互独立，故)()()(B P A P AB P =，解得4.0=b ，由分布律的性质得2.0=a ，6.0)(,2.1)(,2.0)(-==-=XY E Y E X E从而36.0)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov ，故选B . 二、填空题：11~16题，每题5分，共30分.11、若=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x e cot 021lim .答案：21e .解析：21tan 21lim21ln cot lim cot 00021lim e eeex e e x xxx x x xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→.12、⎰=++-2024242dx x x x .答案：333ln π-. 解析：原式⎰⎰++-+++=2022024*******dx x x dx x x x ⎰⎰++-++++=20222022)3()1(1642)42(dx x x x x x d 20202|31arctan 36|)42ln(+-++=x x x 333ln π-=.13、已知函数x xe e xf sin sin )(-+=，则=''')2(πf .答案：0.解析：方法一：x xxe xex f sin sin cos cos )(--='，x x e x x e x x x f sin 2sin 2)sin (cos )sin (cos )(-++-='',)cos sin cos 2()sin (cos cos )sin (cos cos )cos sin cos 2()(sin sin 2sin 2sin x x x eex x x e x x x e x x x x f xxxx +-++--+--='''--从而01111)2(=+--='''πf . 方法二：x xe ex f sin sin )(-+=，显然)()(sin sin x f e e x f x x=+=--，故)(x f 为偶函数，且周期π2=T ，于是)(x f '为奇函数，)(x f ''为偶函数，)(x f '''为奇函数，从而0)0(='''f ，而0)0()2(='''='''f f π.14、已知⎩⎨⎧≤≤=其他,010,)(x e x f x ，则=-⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy x y f x f dx )()( .答案：2)1(-e .解析：记}10,10|),{(≤-≤≤≤=x y x y x D ，原式⎰⎰⎰⎰-=-=Dx y x Ddxdy e e dxdy x y f x f )()(，2111)1()1(-=-==⎰⎰⎰+-e dy e e dy edx e x x xxy x.15、设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=001011112B ，则1-A 的迹=-)(1A tr .答案：-1.解析：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011001,010********P P ，则B AP P =21 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--0100011111000110010010111120101000011211BP P A 0)1)(1(1011112=++-=-------=-λλλλλλE A ，解得i i -==-=321,,1λλλ 故1-A 的特征值为i i =-=-=321,,1λλλ，从而1)(1-=-A tr16、设C B A ,,为随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立，31)()()(===C P B P A P ，则=)|(C B A C B P .答案：85. 解析：()C B A P C B P C B A C B P )()|(=()98)()())(()()(95)()()()()()()()(=+=-+==-+=-+=C B P A P C B A P C B P A P C B A P C P B P C P B P BC P C P B P C B P从而85)|(=C B A C B P . 三、解答题：17~22小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程x y xy +=+'221满足条件3)1(=y 的解，求曲线)(x y y =的渐近线.解：])2([)(2121C dx ex ex y dxxdxx+⎰+⎰=⎰-])2([C dx e x e x x ++=⎰-]2[C xee xx +=-xCe x -+=2，其中C 为任意常数，又3)1(=y ，得e C =，即xe x x y -+=12)(.22limlim 1=+==-+∞→+∞→xe x x y a xx x ，0lim )2(lim 1==-=-+∞→+∞→xx x e x y b ，故x y 2=为曲线)(x y y =的斜渐近线.18、（本题满分12分）设某产品的产量Q 由资本投入量x 和劳动投入量y 决定，生产函数为612112y x Q =，该产品的销售单价P 与Q 的关系为Q P 5.11160-=，若单位资本投入量和单位蓝洞投入量的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.解：利润y x xy y x y x Q Q y x PQ L 862161392086)6.11160(86316121---=---=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--=--='=--=--='--------08)722320(872232006)722320(362166960612132326521612131316121y x xy xy y x L y x y y y x L yx，得驻点)64,256(，此时38464256126=⨯⨯=Q ，在实际问题中由于驻点唯一，故利润L 在384=Q 处取到最大值. 19、（本题满分12分）已知平面区域}20,42|),{(2≤≤-≤≤-=y y x y y x D ，计算⎰⎰+-=Ddxdy y x y x I 222)(. 解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-=+-=ππϕϕπρρϕϕϕρρϕϕϕ2cos sin 20220202222)sin (cos )sin (cos )(d d d d dxdy y x y x I D⎰⎰+-=πππϕϕϕϕ2202)cos sin 21(2d d 22)12(2|)sin (2202-=+-=+-=ππππϕϕπ. 20、（本题满分12分）求幂级数∑∞=++-02)12(41)4(n nnn x n 的收敛域及和函数)(x S . 解：1)12(41)4()32(41)4(lim 22211n <++-++-+++∞→nnn n n n x n xn ，解得1||<x ，从而1=R ，收敛区间)1,1(-，当1±=x 时，∑∞=++-0)12(41)4(n nn n 收敛，故收敛域为]1,1[-. 当]1,1[-∈x ，令∑∑∞=∞=+++-=012)12(412)1()(n n n nn n n x x n x S ，令∑∑∞=+∞=≠+-=+-=0120210,12)1(112)1()(n n n n n n x n x x n x x S ，此时∑∑∞=∞=++=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-02201211)1(12)1(n nn n n n x x n x ，x dx x n x x n n n arctan 1112)1(0202=+=+-⎰∑∞=，故0,arctan 1)(1≠=x x xx S .∑∑∞=+∞=≠+=+=0120220,1241)12(4)(n n n n n n x n x x n x x S ）（，此时2202012444114124x x x n x n n nn n n -=-=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞=∞=+）（，0,22ln 4412402012≠-+=-=+⎰∑∞=+x x x dx x n x x n n n ）（，故0,22ln 1)(2≠-+=x xx x x S .0=x 时，2)0(=S .综上当]1,1[-∈x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-∈-++=0,2]1,0)0,1[,22ln1arctan 1)(x x xx x x x x S （ . 21、（本题满分12分）已知二次型312322213212343),,(x x x x x x x x f +++=，（1）求正交变换Qy x =将),,(321x x x f 化为标准形；（2）证明：2)(min=≠xx x f T x . 解：（1）二次型对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=301040103A ，0)2()4(3010401032=---=---=-λλλλλλE A ，解得4,2321===λλλ21=λ对应特征向量满足0)2(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011ξ432==λλ对应特征向量满足0)4(=-x E A ，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ321,,ξξξ已经两两正交，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22022,010,22022321ηηη，故存在正交矩阵),,(321ηηη=Q ，当Qy x =时232221321442),,(y y y y y y f ++=.（2）2322212322232221232221222442)()()(y y y y y y y y y y y y y y f Qy Q y y f x x x f T T T Qy x T ++++=++++==== 当0≠x 时，由Qy x =得0≠y ，当0,0132≠==y y y 时，2322212322222y y y y y ++++的最小值为2，故2)(min=≠xx x f Tx . 22、（本题12分）设n X X X ,,,21 为来自均值为θ的指数分布总体X 的简单随机样本，m Y Y Y ,,,21 为来自均值为θ2的指数分布总体Y 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中)0(>θθ是未知参数，利用样本n X X X ,,,21 ，m Y Y Y ,,,21 ，求θ的最大似然估计量θˆ，并求)ˆ(θD . 解：由题知：总体Y X ,的概率密度为,0021)(,0001)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--y y ey f x x ex f y YxX θθθθ令θθθθθθθθθ21211111121211),(),(∑∑=⋅=⋅===--+=-=-==∏∏∏∏mj j ni ij iy x n m m mj y ni x m j j Y ni i Xee e ey f x fLθθθ2ln )(2ln ln 11∑∑==--+--=mj jni i yx n m m L02ln 2121=+++-=∑∑==θθθθmj jni i yx n m d L d 解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i y x n m 11211ˆθ故θ的最大似然估计量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∑∑==m j j n i i Y X n m 11211ˆθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑∑∑====m j j n i i m j j n i i Y D X D n m Y X n m D D 11211)(41)()(1211)ˆ(θ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(4)()(12j i Y D m X nD n m 而224)(,)(θθ==j i Y D X D ，从而n m m n n m D +=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=222244)(1)ˆ(θθθθ。

《中山大学数学分析历年考研真题及答案解析》

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中山大学数学分析考研试题(1999-2010

0,
y
0, z
0, a
0, b
0, c
0) 所围
几何体之体积，其中 a, b, c 为正常数.
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中山大学历年考研试题-数学分析（1999-2010）
六、（16
分）求幂级数
n1
n2 1 n!2n x
n
的收敛范围，并求其和函数.
七、（16 分）设 u f (r) ，其中 r
x2
y2
z2
（4）求 1 x a exdx ， a 1 ； 1
（5）设 z uv sin t ， u et ， v cos t ，求 dz ； dt
（6）设 u (x ( y)) ，其中、二阶可微， x 、 y 为自变量，求 d 2u ；
（7）求级数 cosn
n1
x 在收敛域上的和函数；
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析科目代码：650
一、（每小题 6 分，共 48 分）
（1）求 lim(x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ln(1 1 )) ；
x
x
x cos t 2
dy
（2）
y
t2 sin u du ，求 dx ； 0u
（3）求
1 ln xdx ； ln2 x
四、（16 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中为曲面 x2 y2 z2 介于平面 z 0
和 z h(h 0) 之间的部分取下侧.
五、（16 分）设 f (x) 在[1, ) 连续，f (x) 0 ，f (1)=2 ，f (1) 3 . 证明 f (x)=0 在 (1, )
点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （ a 0 为常数）. （1）求曲线 L 的方程；（2）如果 L 与直线 y ax 所围成的平面图形的面积为 8，确定 a 的值.