不同材料杆组成的均质三角形边框绕质心轴转动惯量
用刚体转动仪测刚体转动惯量
用刚体转动仪测刚体转动惯量[播放视频]一、概念理解刚体转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它的重要性类似于平动中物体的质量。
一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。
刚体的转动惯量与刚体的质量、刚体的质量分布、转轴的位置与方位有关。
对于几何形状规则的刚体，可用积分式计算出它绕过质心轴转动的转动惯量，并根据平行轴定理，计算出刚体绕任一特定轴转动的转动惯量。
但对于形状复杂的刚体，用数学方法求转动惯量则相当困难，一般宜采用实验的方法来测定。
因此，学会对刚体转动惯量的测量方法，具有重要的现实意义，如对研究机械转动性能，包括飞轮、炮弹、发动机叶片、电机、电机转子、卫星外形等的设计工作都有重要意义。
二、刚体转动惯量测量的常用方法 1. 1. 三线摆法三线摆法是通过扭转运动来测量刚体转动惯量的方法。
它具有装置简单、操作方便不受场地限制且结果精确等优点，是被广泛应用的一种测量刚体转动惯量的方法。
2．单线扭摆法单线摆（简称扭摆）是比三线摆更简单的力学实验装置。
它不仅可以测定较小物体如钟表齿轮、录音机转子等的转动惯量，且可测量金属悬丝的扭转系数和材料的切变模量。
在许多仪器仪表中（例如灵敏电流计、扭称等），扭摆又是其中的主要组成部分。
由于它结构简单、稳固耐用，对学生又有多方面的训练，所以它也是力学实验中较好的实验之一。
3．转动惯量仪法法（本实验采用此法，其特点请自行总结）。
三、理论知识准备1． 1． 均质钢块、钢环（铝环）的转动惯量 一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。
如果刚体的质量是连续分布的，则转动惯量可表示为：⎰=dmr I 2用上式容易求出均匀钢块及钢环（或铝环）绕中心轴转动的转动惯量的理论值：221块块块理R m I =)(2122外内环环理R R M I +=]2．2．本实验原理如图2-18所示，当重物m 由静止下降距离为h 时，重物的势能将减少mgh ，设此时重物m 的速度为v t ，待测物体的角速度为t ω，根据机械能转换和守恒定律可知，减少的能量mgh 将转化为重物的平动动能和被测物体的转动动能，即222121t t I m mgh ωυ+=（5-1）221 at h =, at t =υ∴t ht 2=υ（5-2）又 r t t ωυ=∴r tt υω=（5-3）将式（5-3）代入式（5-1）得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22121r I m mgh t υ2222mr mghr I t-=υ（5-4）将式（5-2）代入式（5-4）得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=122222222h gt mr mr t h mghr I （5-5）由式（5-5）可知，若测得重物下降的距离h 和通过这段距离所用的时间t 以及转盘绕线轴半径r ，即可计算出物体的转动惯量I 。
刚体转动惯量的研究
刚体转动惯量的研究转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。
测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。
刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。
如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。
刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。
（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量一 实验目的1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；3. 验证转动惯量的平行轴定理。
二 仪器和用具扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平， 钢直尺，游标卡尺等。
三 实验装置及原理 扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴1的上方可以安装各种待测物体。
为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。
3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。
将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。
根据虎克定律有θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。
而由转动定律有βJ M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有θβJK-= (4-2) 令J K /2=ω，则有θωβ2-=此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。
方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。
此谐振动摆动周期为KJT πωπ22==(4-3)由此可见,对于扭摆,只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体,可用数学方法求得其转动惯量)的摆动周期,即可求得扭转系数K ,对其它物体,只要测出摆动周期T ,就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。
转动惯量_精品文档
转动惯量刚体是力学中的一个理想模型, 是指在任何情况下物体形状、大小都不发生变化的力学研究对象, 其运动主要是平动与转动, 而转动是最主要的研究方向。
在日常生活与生产中, 许多现象都可以视为刚体的转动, 如电机转子的转动, 炮弹的自旋等。
因此研究刚体的转动有着极其重要的作用和意义。
刚体的转动惯量是非常重要的物理量, 它表示刚体转动惯性大小的物理量, 是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。
如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、导弹和卫星的发射等, 都不能忽视转动惯量的大小。
因此转动惯量的测量成为大学物理实验中的基本实验。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴位置都有关系。
对于形状规则、材料密度均匀的标准件, 它的转动惯量可以根据公式计算, 但在工程实践中, 我们常碰到大量形状复杂, 且质量分布不均匀的刚体（例如枪炮的弹丸、电动机的转子等）, 计算它们的转动惯量非常困难, 通常用实验的方法来确定。
转动惯量的测量, 基本实验方法是转换测量。
即使刚体以一定的形式运动, 通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系, 进行转换测量。
刚体转动惯量的测量方法有很多, 如利用三线摆、扭摆、刚体转动实验仪等。
本实验使刚体做扭转摆动, 由摆动周期及其它参数的测定算出刚体的转动惯量。
实验目的1. 熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用2. 利用塑料圆柱体和扭摆测定几种不同形状刚体的转动惯量J和扭摆弹簧的扭摆常数K3. 研究刚体转动周期与转轴位置改变时的变化规律实验原理本实验使物体作扭转摆动, 测定摆动周期和其它参数, 从而计算出刚体的转动惯量。
扭摆的构造如图1所示。
垂直轴上装有金属细杆, 水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平, 螺旋弹簧用以产生恢复力矩, 使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。
图1 扭摆构造简图扭摆的简谐振动: 将待测物体装在垂直轴上, 并转过一定角度θ, 在弹簧的恢复力矩作用下, 物体开始绕垂直轴作往返运动。
实验四材料的切变模量与刚体转动惯量的测定(扭摆法)(精)
实验四 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）【实验目的】本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。
【仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪2、仪器使用方法（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再 把夹头放回横梁上。
用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。
（2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上的霍耳开关（4）。
同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。
（3）调节立柱的两个底脚螺丝。
使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米左 右。
（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。
此时爪手将绕钢丝作摆动。
（5）爪手有多种功能。
圆环可水平放在爪手上面作振动。
也可以垂直装在爪手下面作振 动。
爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变图1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）12 23 8 456 7 1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关5、铷铁硼小磁钢6、底座7、数字式计数计时仪8、标志旋钮9、扭动旋钮9模量或刚体的转动惯量。
3、数字式计数计时仪使用（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。
（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。
（3）使爪手作扭转振动。
当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将导通，即产生计时触发脉冲信号。
（4）数字式计数计时仪有延时功能。
当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。
附录II 简单均质几何体的质心、转动惯量和惯性矩
Jy
83 mr2 320
Jz
2 5
mr 2
半球 形壳
x
z
Cr
zC y
zC
1r 2
Jx
5 mr2 12
Jy
5 mr2 12
Jz
2 3
mr 2
物体
四分 之一 椭圆 板
扇形 板
简图
质心位置
转动惯量与惯性矩
y
Jx
(
9 2 36
64
2
)mb
2
b yC
C
xC a
xC x
4a 3
yC
4b 3
Jy
(
9 2 36
粗圆 环 (R > r)
z C
x
R
C 为圆环中心
y
线的圆心
r
Jx
1 2
m(R2
5 4
r2)
Jy
1 2
m(R2
5 r2) 4
Jz
m(R2
3 r2) 4
z
圆锥 h
体
x
C r
zC
1h 4
zC y
Jx
3 m(4r2 80
h2)
Jy
3 m(4r2 80
h2)
Jz
3 mr2 10
球形 体
z
C y
r x
C 为球心
质心位置
长方体 c x
C
y
a b
C 为对角 线交点
转动惯量与惯性矩
Jx
1 m(b2 12
c2)
Jy
1 m(c2 12
a2)
Jz
1 m(a2 12
b2)
圆柱体
1.转动惯量的测定
13
数据处理提示
参考表格2
14
实验一 转动惯量的测定
转动惯量的测定一 扭摆法测定物体转动惯量
【预习思考题】
1．如何测量任意形状物体对特定轴的转动惯量？
答：先在载物盘上装上几何规则的物体，测量其摆动周期，计算出弹簧的扭转常数K值。再将任意形状物体装在载物盘上或直接装在垂直轴上，绕特定轴转动，测
量出转动惯量。
若绕过质心轴转动，测量出过质心轴转动惯量，利用平行轴定理计算出绕特定轴转动惯量。
2．扭摆启动时摆角要在90°左右，为什么？
答：由于弹簧的扭转常数值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，在小角度时变小，摆角在90°左右基本相同。
【分析讨论题】
1．扭摆在摆动过程中受到哪些阻尼？它的周期是否会随时间而变？
15
后三线摆的摆动周期变大；若J/m<J0/m0 加上待测物体后三线摆的摆动周期变
小。
3．如何用三线摆验证转动惯量的平行轴定理？
答：将两个完全相同的小圆柱体m分别置于下圆盘的中心，测出绕圆柱体质心的转动惯量J；再将两个完全相同的圆柱体对称置于下圆盘的中心两侧，圆柱体质心与
下圆盘的中心l，测出两个圆柱体对中心轴的转动惯量Jˊ。验证式子Jˊ=2ml2+2J 成立。
【预习思考题】
1．对下圆盘的摆角有何要求？为什么？
答：下圆盘的摆角要小于10°。因为在三线摆法测定物体转动惯量公式推导过程中应用了。
2．怎样启动三线摆才能防止下圆盘出现晃动？
答：让已调水平的三线摆保持静止，用手轻轻扭动上圆盘上的扭动杆，使下圆盘摆动角度小于10°，随后将扭动杆退到原处。
【分析讨论题】
答：空气的阻尼，转轴与轴承间的摩擦阻尼。由于弹簧的扭转常数值不是固定常数，在小角度时变小，因此它的周期会随时间而变。
关于转动惯量的一些认识
n
I miri2 i 1
刚体对一轴的转动惯量可以用无限个质点的转动惯量和， 即用积分计算其转动惯量。
转动惯量的标准单位：Kg*m^2
转动惯量的出现使得转动问题可以使用能量的方法进行 分析，而不必拘泥于纯运动角度分析问题。
2、转动惯量的常用定理
（1）转动惯量定理 刚体的扭转力矩等于刚体相对该轴的转动惯量
I1zy m1 y1z1 I2zy m2 y2 z2
I1xz m1x1z1 I2xz m2 x2 z2
I1yz m1 y1z1 I2 yz m2 y2 z2
(4)
I1zz m1(x12 y12 ) I2zz m2 (x22 y22 )
4、对任意轴的惯性矩
设定点O为直角座标系的原点，点Q为三维空间里任
与刚体的角加速度的乘积。
M I
（2）垂直轴定理
一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转 动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交 轴的转动惯量之和。
Iz Ix Iy
（3）平行轴定理
刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平 行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两 轴间距离平方的乘积。
z
x)2
(x
y
y
x)2
dm
整理，利用公式（2）得到：
IOQ
2 x
y2
z 2dm
2 y
x2
z 2 dm
2 z
x2 y2dm
2xy xydm 2xz xzdm 2yz yzdm
IOQ
x2 I xx
2 y
I
yy
z2 I zz
2xy Ixy
2xz Ixz
2yz I
同济 理论力学10.
动力学学第十章动量矩定理 §10-1 转动惯量一、转动惯量的一般公式z hzi J l = ∑ mi ρi2 J l = ∫ ρ 2 dm hxi Mi ρi l 刚体对坐标轴的转动惯量: 2 J x = ∑ mi hxi = ∑ mi ( yi2 + zi2 r ri O zi hyi y J y = ∑ mi h = ∑ mi ( z + x 2 yi 2 i 2 i 1 J 0 = ∑ mi ri = ∑ mi ( x + y + z = ( J x + J y + J z 2 2 2 i 2 i 2 i 2 J z = ∑ mi hzi = ∑ mi ( xi2 + yi2 x xi yi z O r y ri i 不计厚度的平面刚体: J x = Σmi y , 2 i J y = Σmx 2 i 2 i J z = Σmi ( x + y = J x + J y 2 i x mi xi yJl 回转半径ρl = J l = mρ 即： m 例10-1 已知质量m的匀质杆，杆长为l，求转动惯量Jz 2 l 解: J z = ∫ x dm = ∫0 2 l 1 2 m x ⋅⋅ d x = ml = mρl2 3 l 2 z dm dx 例10-2 例10 2 匀质平板如图示,边长分别为a,b长度.求:(1对边匀质平板如图示边长分别为a b长度求:(1对边的转动惯量,(2对平板角端的转动惯量。
1 Q J y = mi a 2 解: 3 1 ρl = l 3 O x x 1 2 J x = mb 3 1 1 1 2 2 2 ∴ J y = ∑ mi a = ( ∑ mi a = ma 3 3 3 y b O mi J Oz 1 = J x + J y = m(a 2 + b 2 ( 3 a x例10-3 解：试计算半径为R的均质等厚圆板对于中心轴的转动惯量。
d m = 2 πρ ⋅ d ρ ⋅ γ J0z = ∫ R 0 y dρ ρ 2 ⋅ 2 πργ ⋅ dρ 1 1 4 πR γ = mR 2 2 2 R O ρ R = 2 πγ ∫ 0 ρ 3 ⋅ dρ = Jx = Jy = 1 1 J oz = mR 2 2 4 x 例10-4 试计算半径为R的均质圆柱体对于中心轴的转动惯量。
三线摆测物体转动惯量
三线摆测物体转动惯量三线摆测物体转动惯量本实验是⼤学物理实验中的基本实验之⼀，刚体转动惯量是理论⼒学中⼀个基本物理量。
转动惯量是描述刚体转动中惯性⼤⼩的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。
正确测定物体的转动惯量，在⼯程技术中有着⼗分重要的意义。
其在⼯业制造及产品设计中有着重要意义。
测刚体转动惯量的⽅法很多，如三线摆、扭摆等⽅法。
为了使教学仪器和教学内容更好地反映现代科学技术，采⽤了IM—1新型转动惯量测定仪，该仪器采⽤现代新发展地集成霍尔开关传感器，结合多功能数字式智能毫秒仪，测定悬盘地扭转周期。
通过实验使学⽣掌握霍尔传感器地特性及在⾃动测量和⾃动控制中的作⽤，多功能数字式智能毫秒仪具有记忆功能，从悬盘扭转摆动开始直到设定的次数为⽌，均可查阅相应次数所⽤的时间，特别适合试验者深⼊研究。
仪器直观性强，测量准确度⾼。
学⽣动⼿内容多，传感器、电源等均有保护装置，不易损坏，是传统实验采⽤现代技术的典型实例。
下⾯重点介绍三线摆测刚体转动惯量的⽅法。
通过本实验，可以加深对该物理量的理解，掌握⼀些基本的实验⽅法及⼀些基本的仪器设计思路。
以及如何解决⼀些实验问题。
同时通过该实验。
掌握作图法处理数据，了解霍尔开关在物理实验中的⼀些应⽤。
[教学要求]1．理解转动惯量的物理意义。
2．掌握三线摆测量转动惯量的测量⽅法。
3．了解转动惯量的多种测量⽅法。
4．加深霍尔开关在⼒学实验中的应⽤，启发学⽣对实验⽅法、⼿段、仪器改⾰的思考。
5．区别霍尔开关与霍尔元件。
6．掌握数据处理的⽅法之⼀――作图法。
7．理解理论计算与实验测量。
[教学重点]1．掌握转动惯量的多种测量⽅法，理解其物理意义。
2．掌握完整的实验过程。
3．加深霍尔开关对⼒学实验⽅法与⼿段更新的影响，区别其它传感器在⼒学中的应⽤。
[教学难点]本实验中的难点是如何保证三线摆下悬盘正确启动，且可以近似看成简谐振动。
再者是预测次数与计算周期的关系。
最后是数据处理。
[预习要求]1．理解该实验的实验原理2．掌握IM —1新型转动惯量测定仪的使⽤及基本操作⽅法 3．掌握霍尔开关的原理及应⽤范围 4．测量数据的设定及数据处理⽅法[实验⽬的]1．学会使⽤三线摆（IM —1新型转动惯量测定仪） 2．了解掌握霍尔开关的原理 3．掌握转动惯量的多种测量⽅法 4．设计数据处理⽅法[实验仪器]IM —1新型转动惯量测定仪、霍尔开关传感器、多功能毫秒计、游标卡尺、⽶尺。
均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量的简明推导
用从《 数学 手册 》中查 出 的有 关 关 系式 ． 我 们 认 为在 计算任 意 均质三 角形 边框 刚体 对其 质心轴 的转 动惯
量时 ， 最重 要 的是 计 算 其 质 心 到 三边 中点 的 距 离 与 其边 长的关 系 ， 而利 用 三 角形 的边 长 与 顶 点 的 坐标
的关 系 ， 可 以方便 快捷 地解 决这 一 问题． 本 文推 导 的
（ 一 ） （ 。 一 ）一
（ １ ｏ ）
Ａ Ｂ’ Ｂ ｃ’ ｃ Ａ 中点距 离 的平方分 别 为
＝
（ ｚ 一 ｚ ）＋ （ 一 ｙ 。 ） 。
（ ２ ０） （ ２１ ）
（ ２ ２ ）
；二 ＝ ＝（ 一ｚ ） 。 ＋（ 一ｙ ） 。
（ 一 ） （ 。 一 ）一 ＿ ＝ 二
ｂ一 ￣ ／ （ Ｓ Ｃ ３ 一ｘ ２ ） ＋ （ ３ 一Ｙ ２ ）
Ｃ＝ ＝ ：￣ ／ （ ｚ ３ 一． ２ ７ １ ） ＋ （ ． ｙ ３ 一ｙ １ ）
（ １ ） （ ２ ）
计算 问题 ． 文献［ １ ］利用 几 何 方 法 确定 任 意 均质 三 角形 边框 刚 体 的质 心 位 置 和 质 心 到各 边 中点 的距
由式 （ ４ ）～ （ ９ ） 得
作者简介 ： 于志明（ １ ９ ６ ０ 一 ） ， 男， 教授 ， 主 要 从 事 大 学物 理 的教 学 和 研 究 工 作
一
３ ３ —
２ ０ １ ７ 年 第 ４期 （ ｚ ２ 一ｚ １ ） ｉ ｘ ３ 一 １ ） ＋
物 理 通 报
大 学 物 理 教 学 △Ａ ＢＣ 的 ３边 组 成 的 质 点 系 的 质 心 到 其 ３边
２ ０ １ ７年 第 ４期
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
；求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。
转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。
3-1 定轴转动刚体的转动惯量
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
c = 2ω t 2 = (π 75) rad ⋅ s −3
1 2 π ω = ct = rad ⋅ s − 3t 2 转子的角速度 2 150 dθ π ω= = rad ⋅ s − 3 t 2 由角速度的定义 d t 150 θ t π −3 2 得 ∫0 d θ = 150 rad ⋅ s ∫0 t d t π −3 3 有 θ = rad ⋅ s t 450
质点的角动量
v L
z
v v
v r
o
x
v L
θ m y
v v
θ
质点以角速度 ω 作半径 的圆运动， 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
v r
v p
v L
L = mr ω
2
v m o r
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
刚体定轴转动的角动量
Lz =
定义
∑ mi Ri v i = ( ∑ mi R )ω
σ， 解 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
m 、半径为R 的均匀圆盘， 例3 一质量为 的均匀圆盘， 求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
r
圆环质量
dm = σ 2π rdr
3
O R R
r dr
圆环对轴的转动惯量
dI = r dm = 2 π σ r dr R σ 3 4 I = ∫ 2 π σ r dr = π R
ω
z
质量离散分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = m R + m2 R + L
2 j 2 1 1 2 2 j
转动惯量
转动惯量在古典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩）通常以 I 表示，SI 单位为 kg * m^2。
对于一个质点，I = mr^2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
转动惯量的表达式为若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成(式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。
)[2]转动惯量的量纲为，在SI单位制中，它的单位是。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理（亦称正交轴定理）及伸展定则。
2张量定义刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。
惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
出于简单的角度考虑，这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达.设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为[1]该积分遍及整个刚体A，其中，，是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径；表达式是两个矢量的并乘；而为单位张量，标架是一个典型的单位正交曲线标架；是刚体的密度。
实验四材料的切变模量与刚体转动惯量的测定(扭摆法)(精)
实验四 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）【实验目的】本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。
【仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪2、仪器使用方法（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再 把夹头放回横梁上。
用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。
（2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上的霍耳开关（4）。
同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。
（3）调节立柱的两个底脚螺丝。
使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米左 右。
（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。
此时爪手将绕钢丝作摆动。
（5）爪手有多种功能。
圆环可水平放在爪手上面作振动。
也可以垂直装在爪手下面作振 动。
爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变图1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）12 23 8 456 7 1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关5、铷铁硼小磁钢6、底座7、数字式计数计时仪8、标志旋钮9、扭动旋钮9模量或刚体的转动惯量。
3、数字式计数计时仪使用（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。
（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。
（3）使爪手作扭转振动。
当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm距离时，霍耳开关将导通，即产生计时触发脉冲信号。
（4）数字式计数计时仪有延时功能。
当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。
巧求三角形板状物体的转动惯量
三角形
CDB
的高都为
1 2
a , 底边为
CD , 由上面第
一个问题的结论及平行轴定理 ,有
2J1
=
1 18
m
1 2
a
2
+m
1 3
×1 2
a
2
+
1 18
m
1 2
a
2
+
m
1 3
×1 2
a
2
J1
=
1 24
ma2
(3)
物理与工程 Vol . 20 No . 1 2010
图 3 三角形之间的关系
设底边长为 a , 高为 h , 两腰与底边的夹角分 别为θ1 和θ2 (见图 3) ,三角形 A B C 可以看成由两 个直角三角形 A D C 与 B D C 组成 , 设 A D 长等于 a1 , DB 长为 a2 , 则 a = a1 + a2 . 设三角形 A B C 绕 轴的转动惯量为 J , 则由转动惯量的可加性 , 可以 看成两个三角形 A D C 与 B D C 绕各自的底边轴转 动惯量的和. 三角形 A D C 的质量为 m1 , 底边长为 h ,高为 a1 ; 三角形 B D C 的质量为 m2 , 底边长为 h ,高为 a2 ,三角形板的质量面密度为σ, 由转动惯 量的可加性与第二个问题的结论 ,有
关键词 转动惯量
刚体转动惯量是一个重要的物理量 ,由定义 可以计算一些形状规则的物体的转动惯量[1] ,对 形状不规则的物体 ,一般通过实验测量转动惯量. 本文以质量均匀分布的三角形薄板为对象 ,通过 填补的方法 ,将三角形填补为平行四边形 ,借助于 矩形 、平行四边形的转动惯量和平行轴定理 ,间接 计算三角形的转动惯量 ,如图 1 所示.
刚体质心公式的意义及推导
刚体质心公式的意义及推导
赵国晴
【期刊名称】《邯郸学院学报》
【年(卷),期】2002(012)003
【摘要】从质点系质心公式推导出刚体质心公式,证明当计算刚体质心时,若选取的体元不能看作一个质点,刚体质心公式中积分号下r的物理意义是体元的质心位置矢量. 弥补了教材的缺憾.
【总页数】3页(P25-27)
【作者】赵国晴
【作者单位】邯郸师范专科学校,物理系,河北,邯郸,056004
【正文语种】中文
【中图分类】O313.3
【相关文献】
1.简捷推导均质三角形边框刚体绕质心轴的转动惯量 [J], 李力
2.匀质边框三角形刚体绕质心轴的转动惯量公式 [J], 周国全;徐斌富
3.任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式 [J], 周国全
4.均质三角形边框刚体对其质心轴的转动惯量的简明推导 [J], 于志明
5.任意四边形刚体平板绕质心轴的转动惯量公式 [J], 周国全
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摘 要 对不 同材 料杆 组成 的均质 三 角形边 框 ， 利 用 离散 质 点 系统 的质 心公 式 确 定均 质 三 角形
边 框 的质 心位 置 ， 并推 导三 角形边框 绕质 心轴 的转 动 惯量 公 式 。根 据 刚体 对过 质 心轴 的力 矩 平衡
条件， 给 出了三 角形 边框 质心 的作 图方 法。 已有文 献的公 式 为本文 结果 的一 个特例 ， 所 用方法 可进
Ｓ Ｕ Ｎ Ｘｕ ｌ ｉ ， Ｂ ＡＯ Ｓ ￣ｕ ａ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ． Ｓ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕＵｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄＴ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｓ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ２ １ ５ ０ １ １ ）
一
步推 广到 求解其他 边框 图形 绕质 心轴 的转动 惯量 。
关键 词 刚体 ； 边框 ； 三 角形 ； 质心； 转动惯 量
中图分 类号 ： ０ ３ １ ３ ． ３
文 献标 志码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ １ — ０ ４ ３ ６ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ０ ０ １ ４ — ０ ３
ｌ ａ ｒ ｆ ｒ ａ ｍｅ ｍａ ｄ ｅ ｏ ｆ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ａ ｌ ｍａ ｔ ｅ ｉａ ｒ ｌ ｓ ｉ ｓ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｄ． Ｔｈｅ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｒ ｔ ｉ ａ ｏ ｆ ａ ｈ ｏ ｍｏｇ ｅ ｎ ｅ ｏ ｕ ｓ ｔ ｒ ｉ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｌａ ｆ ｍｅ ａ － ｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ ａ ｘ ｉ ｓ ｉ ｓ ｄ ｅ ｉｖ ｒ ｅ ｄ． Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｈｅ ｔ ｍｏ ｍｅ ｎ ｔ ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｉｕ ｒ ｍ ｃ ｏｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ ａ ｘｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉｇ ｒ ｉ ｄ ｂ ｏ ｄ ｙ， ｈｅ ｔ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ａ ｂ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｉａ ｒ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｌａ ｆ ｍｅ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ． Ｓ ｏ ｍｅ ｐ ｒ ｅ ｖ ｉ ｏ ｕｓ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｉ ｎ ｕ ｓ ｅ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｄ ｅ ｄ ｔ ｏ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｇ ｒ ｉ ｄ— ｌ ｉ ｋ ｅ ｉｇ ｒ ｉ ｄ ｂｏ ｄ ｙ．
质心 轴 的转 动 惯 量 ， 其 主要 利 用 平 面几 何 知 识 推
的质心公 式确 定 均 质 三 角形 边 框 的质心 位 置 ， 并 推 导原体 系绕 质心 轴 的转 动惯 量公 式 。
１ 均质三角形边框 的质 心位置 的确定
如图 １ ， 设均 质 三 角 形 边 框 △Ａ Ｂ Ｃ， 的边 长 分别 为 ａ ， ｂ ， ｃ ， 质 量线 密度分 别为 常量 Ａ 、 Ａ ¨Ａ ， 三边 中点为 Ａ、 Ｂ、 ｃ（ 即各 边 的质心 ） 。 建 立一个 直 角 坐标 系 ， 原 点 可任 意确 定 。设 Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 的坐 标分 别 为 （ Ｘ ， Ｙ ） 、 （ ： ， Ｙ ） 和（ Ｘ ３ ， Ｙ ） 。 由于三杆 Ａ Ｂ 、 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ａ 都是 均 质 的 ， 故
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｂｙ ｕ ｓ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ｏ ｆ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ｓ ， ｈｅ ｔ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ｏ ｆ ａ ｈｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎｅ ｏ ｕｓ ｔ ｒ ｉ ａ ｎ ｇ ｕ—
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ － ０ ４ ３ ６ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ５ ． ０ ４
不 同材料杆 组成 的均质三角形边框绕质 心轴转动惯量
孙徐莉 ， 鲍 பைடு நூலகம் 元
（ 苏州科技学院土木 工程学 院， 江苏 苏州 ２ １ ５ ０ １ １ ）
Ｔｈｅ Ｒｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｉ ｎｅ ｒ ｔ ｉ ａ ｏ ｆ ａ Ｈｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎ ｅ ｏ ｕ ｓ Ｔｒ ｉ ａ ｎｇ ｕｌ ａ ｒ Ｆｒ ａ ｍｅ
ｏ ｆ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ Ｍａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｓ Ａｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ Ｃｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ Ａｘ ｉ ｓ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｒ ｉｇ ｉ ｄ ｂ ｏ ｄ ｙ； ｆ ｒ ｍ ｅ； ａ ｔ ｒ ｉ ｎｇ ａ ｌ ｅ； ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ｏ ｉ ｄ； ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｎ ｅ ｒ ｔ ｉ ａ
０ 引 言
文献［ １ ］ 研究 了任意均质三角形边框 刚体绕
第２ ７卷第 ５期 ２ ０ １ ４年 ｌ ０月
常 州 工 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃｈ ａ ｎｇ ｚ ｈ ｏｕ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕｔ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎｏ ｌ ｏ ｇｙ
Ｖｏ１ ． ２ ７ Ｎｏ ． ５
Ｏｃ ｔ ． ２ ０１ ４