人教版选修A4-5数学课件：3-3 排序不等式(共21张PPT)
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人教A版选修4-5 第三章 三 排序不等式 课件(25张)
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
解：由顺序和最大知 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 a1b1＋ a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11 ＝304. 由反序和最小知 a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5 的最小值为 a1b5 ＋ a2b4 ＋ a3b3 ＋ a4b2 ＋ a5b1 ＝ 2×11 ＋ 7×10 ＋ 8×6 ＋ 9×4 ＋ 12×3＝212. 所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用排序不等式求最值 设 a1，a2，a3 为正整数，且各不相等，求 a1＋a222＋a332的 取值范围．
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
【解】 设 a1，a2，a3 按从小到大排成一列为 b1，b2，b3，则 有 b1＜b2＜b3，所以 b1≥1，b2≥2，b3≥3. 又312＜212＜112， 所以由乱序和≥反序和，且 a1，a2，a3 各不相等，得 a1＋a222＋a332＞b332＋b222＋b1≥13＋12＋1＝161， 所以 a1＋a222＋a332的取值范围是161，＋∞.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．若 a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是( ) A．ax＋cy＋bz B．bx＋ay＋cz C．bx＋cy＋az D．ax＋by＋cz 答案：D
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
4．设两组数 1，2，3，4 和 4，5，6，7 的顺序和为 A，反序 和为 B，则 A＝________，B＝________． 解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60. B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50. 答案：60 50
第三讲 柯西不等式与排序不等式
解：由顺序和最大知 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 a1b1＋ a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11 ＝304. 由反序和最小知 a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5 的最小值为 a1b5 ＋ a2b4 ＋ a3b3 ＋ a4b2 ＋ a5b1 ＝ 2×11 ＋ 7×10 ＋ 8×6 ＋ 9×4 ＋ 12×3＝212. 所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用排序不等式求最值 设 a1，a2，a3 为正整数，且各不相等，求 a1＋a222＋a332的 取值范围．
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
【解】 设 a1，a2，a3 按从小到大排成一列为 b1，b2，b3，则 有 b1＜b2＜b3，所以 b1≥1，b2≥2，b3≥3. 又312＜212＜112， 所以由乱序和≥反序和，且 a1，a2，a3 各不相等，得 a1＋a222＋a332＞b332＋b222＋b1≥13＋12＋1＝161， 所以 a1＋a222＋a332的取值范围是161，＋∞.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．若 a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是( ) A．ax＋cy＋bz B．bx＋ay＋cz C．bx＋cy＋az D．ax＋by＋cz 答案：D
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
4．设两组数 1，2，3，4 和 4，5，6，7 的顺序和为 A，反序 和为 B，则 A＝________，B＝________． 解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60. B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50. 答案：60 50
3.3 排序不等式 课件(人教A选修4-5)
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 所以由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
[悟一法] 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，
对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式
[读教材· 填要点]
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组 实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何 一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，
a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的 反序 和；S2＝a1b1＋
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，
其 中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝ 4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排 列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最
又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个
排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1· x＋x·2＋…＋xn－1·n＋xn· x x 1≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－ x x
1· x＋xn· 1，
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.② 将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排 列，且b1<b2<…<bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…， an的一个排列，且c1<c2<…<cn－1，
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 所以由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
[悟一法] 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，
对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式
[读教材· 填要点]
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组 实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何 一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，
a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的 反序 和；S2＝a1b1＋
2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，
其 中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝ 4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排 列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最
又因为x，x2，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个
排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得
1· x＋x·2＋…＋xn－1·n＋xn· x x 1≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－ x x
1· x＋xn· 1，
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.② 将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排 列，且b1<b2<…<bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…， an的一个排列，且c1<c2<…<cn－1，
高二数学人教A版选修4-5课件：3.3排序不等式
【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼 品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】 由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧 利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应 的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】 设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1， 求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解 不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， 所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
思考探究 使用排序不等式的关键是什么？ 提示 使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数 (或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
1．排序原理的本质含义 两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘 积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最 小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
预习反馈
1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )
人教A版选修4-5 第3章 第3课时排序不等式 课件(20张)
第3课时 排序不等式
定理：(排序不等式，又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，
c2 ， … ， cn 是 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一排 列 ， 则a1b1 ＋
a2b2
＋
…
＋
anbn≥______________________≥_____________
③若 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，，则 a2＋b2＋c2≥13；
④(a＋b)1a＋1b≥4. A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立； (2)由排序不等式，得②成立； (3)由三维柯西不等式，得③成立； (4)缺条件a，b大于0，不成立．
3．若 A＝x21＋x22＋x23＋x24，B＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x1(x1，x2， x3，x4 均为正数)，则 A，B 的大小关系是______．
两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·3 a1bc＝3. ∴S≥32，即a3b1＋c＋b3a1＋c＋c3a1＋b的最小值为32.
利用排序原理证明不等式 【例 2】 设 a>0，b>0，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b ＋c. 【解题探究】 本例可以由柯西不等式，也可以由排序不 等式进行证明．如何构造出三维柯西不等式的形式或适当的序 列是解决问题的关键．
1.关键在于构造出三维柯西不等式或排序 不等式的形式，利用不等式的变形形式解决问题．
2．本例可以推广为证明：aa221＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa12n≥a1＋a2 ＋…＋an(其中 a1，a2，a3，…，an 为正数)，所用方法与本例一 样．
定理：(排序不等式，又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，
c2 ， … ， cn 是 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一排 列 ， 则a1b1 ＋
a2b2
＋
…
＋
anbn≥______________________≥_____________
③若 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，，则 a2＋b2＋c2≥13；
④(a＋b)1a＋1b≥4. A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立； (2)由排序不等式，得②成立； (3)由三维柯西不等式，得③成立； (4)缺条件a，b大于0，不成立．
3．若 A＝x21＋x22＋x23＋x24，B＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x1(x1，x2， x3，x4 均为正数)，则 A，B 的大小关系是______．
两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·3 a1bc＝3. ∴S≥32，即a3b1＋c＋b3a1＋c＋c3a1＋b的最小值为32.
利用排序原理证明不等式 【例 2】 设 a>0，b>0，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b ＋c. 【解题探究】 本例可以由柯西不等式，也可以由排序不 等式进行证明．如何构造出三维柯西不等式的形式或适当的序 列是解决问题的关键．
1.关键在于构造出三维柯西不等式或排序 不等式的形式，利用不等式的变形形式解决问题．
2．本例可以推广为证明：aa221＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa12n≥a1＋a2 ＋…＋an(其中 a1，a2，a3，…，an 为正数)，所用方法与本例一 样．
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
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1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
2019高二数学人教A版选修4-5课件：3.3 排序不等式
又 x＋y＋z＝1，xy2＋yz2＋zx2≥1，且仅当 x＝y＝z＝13时，等号成立． 故 t＝xy2＋yz2＋zx2的最小值为 1.
典例精析
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，
预习反馈
2.若 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 中最大值是 a1b1＋a2b2＋a3b3 (其中 j1，j2，j3 是 1,2,3 的任一排列)．( ) 3.若 a≥b，c≥d，则 ac＋bd≥ad＋bc.( ) 【答案】 2.√ 3.√
课堂探究
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排
作业布置
同步练习：3.3排序不等式
归纳小结
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系 的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2) 若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据 具体环境分类讨论．
练一练
2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aan2－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即aa122＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
典例精析
题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题
例 4 若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45 min,25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元．在只能逐台维修的条件下，
预习反馈
2.若 a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则 a1bj1＋a2bj2＋a3bj3 中最大值是 a1b1＋a2b2＋a3b3 (其中 j1，j2，j3 是 1,2,3 的任一排列)．( ) 3.若 a≥b，c≥d，则 ac＋bd≥ad＋bc.( ) 【答案】 2.√ 3.√
课堂探究
教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排
作业布置
同步练习：3.3排序不等式
归纳小结
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系 的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2) 若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据 具体环境分类讨论．
练一练
2．设 a1，a2，…，an 为正数，求证：aa212＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an. 【证明】 不妨设 0＜a1≤a2≤…≤an，则 a21≤a22≤…≤a2n，a11≥a12≥…≥a1n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以 aa212＋aa223＋…＋aan2－n 1＋aa2n1≥a21·a11＋a22·a12＋…＋a2n·a1n，即aa122＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa2n1≥a1＋a2＋…＋an.
3.3 排序不等式 课件(人教A选修4-5)
3 [答案] 2
点击下图片 进入:
[研一题] [例3] 设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn. [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用．解答本题 需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有 明确，因此需要进行分类讨论． (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn， 由排序原理：顺序和≥反序和，得 1· 1＋x· 2·2＋…＋xn·n x＋x x x ≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－1· n· x x x＋x 1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
[悟一法]
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式 中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组．
[通一类]
π 1．已知 0<α<β<γ< ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 2 1 α> (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ，且 y＝sin x 在(0， )为增函数， 2 2 π y＝cos x 在(0， )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…， bn)的 顺序 和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1， a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序 和．
2．排序原理或排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…， a cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么， 1bn＋a2bn－1＋…＋
点击下图片 进入:
[研一题] [例3] 设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn. [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用．解答本题 需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有 明确，因此需要进行分类讨论． (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn， 由排序原理：顺序和≥反序和，得 1· 1＋x· 2·2＋…＋xn·n x＋x x x ≥1·n＋x·n－1＋…＋xn－1· n· x x x＋x 1， 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
[悟一法]
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式 中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c， 所以可直接利用已知构造两个数组．
[通一类]
π 1．已知 0<α<β<γ< ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 2 1 α> (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ，且 y＝sin x 在(0， )为增函数， 2 2 π y＝cos x 在(0， )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…， bn)的 顺序 和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1， a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序 和．
2．排序原理或排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…， a cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么， 1bn＋a2bn－1＋…＋
人教版高中数学选修4-5 第三讲 三 排序不等式 (共30张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就是Leabharlann 如果我告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
经有限步调整，可知一切和数中，最 大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和， 即S≤S2.
2019年最新-人教版高中数学选修4-5课件：第三讲3.3排序不等式ppt课件
解：由题意不妨设 a≥b≥c＞0， 1 1 1 所以 ab≥ac≥bc， ≥ ≥ . c b a 1 1 1 1 1 1 由排序原理，知 ab·＋ac·＋bc·≥ab· ＋ac· ＋bc· c b a b a c ＝a＋c＋b.
类型 2 [典例 2]
利用排序不等式求最值 x2 y2 设正数 x，y，z 满足 xyz＝1，求 ＋ y＋ z z＋ x
S ＝ a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ ancn 叫做数组 (a1 ， a2 ，…， an) 和(b1，b2，…，bn)的乱序和．
2．排序原理或排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1， c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，那么，a1bn＋ anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋… ＋anbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时， 反序和等于顺序和．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、 反序和分别是( A．100，85 C．95，80 ) B．100，80 D．95，85
1 1 证明：(1)由题意设 a≥b＞0，则 a ≥b ，b≥a，
2 2
a2 b2 所以 ≥ ， b a 根据排序原理，知 a2 1 b2 1 a2 1 b2 1 · ＋ · ≥ · ＋ · ， b b a a b a a b
a2 b2 a b 即b ＋a ≥b＋a.
类型 1 [典例 1] b . a
利用排序不等式证明不等式(自主研析) (1)设 a， b
高中数学 3.3排序不等式课件 新人教A版选修45
由(1)知p1<p2<…<pm，q1<q2<…<q10－m.
总的花费时间(shíjiān)为：
栏
目
T＝mp1＋(m－1)p2＋…＋pm＋(10－m)q1＋(9－m)q2＋…＋
链 接
q10－m，
其中{p1，p2，…，pm，q1，q2，…，q10－m}＝{t1，t2，…， t10}，t1<t2<…<t10.
变式 训练
2．某座大楼共有n层，在每层有一个办公室，每个办公室的
人员步行(bùxíng)上下楼，他们的速度分别为v1，v2，…，vn(他们
各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最
小，应该如何安排(假设每两层楼的楼梯长都一样)?
栏
目
链
接
解析：设两层楼间的楼梯长为 s，则第 一层需要走的路程为 s，第二层需要走的路 程为 2s，…，第 n 层需要走的路程为 ns.
栏
C．P≤Q D．不能确定
目
链
接
第七页，共19页。
栏 目 链 接
第八页，共19页。
题型一 不等式证明(zhèngmíng)
例 1 设 a，b 都是正数，求证：
ab2＋ba2≥ab＋ba.
栏
分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明．
目 链
证明：由题意设 a≥b＞0，则 a2≥b2，1b≥1a，
第十四页，共19页。
首先我们来证明m＝5，若不然，即m>5，我们让在第一水
龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，则总的花费
(huāfèi)时间变为
栏
T′＝(m－1)p2＋…＋pm＋(11－m)p1＋(10－m)q1＋…＋ 目
2019版数学人教A版选修4-5课件：3.3 排序不等式
于是 a+b≥a+c≥b+c,a ≥b ≥c
2
2
1
, +
2
≥
1
+
≥
1
.
+
由排序原理,知
2
2
2
2
2
2
+
+
≥
+
+
,
+ + + + + +
2
2
2
2
2
2
+
+
≥
+
+
,
+ + + + + +
将上面两个同向不等式相加,得
2
2
2
由排序不等式,得 a
1
,①
1
1
1
1
11Biblioteka 3 1· + 3 · + 3 ·≤a · + 3 · + 3 ·
3
1
1
1
1
a3· + 3 · + 3 ·≤a3· + 3 · + 3 · . ②
2
2 +
将①②两式相加,得
将不等式两边除以
2
+2 2 +2
b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1 为 a2,a3,…,an 的一个排列,且
1
1
1
c1<c2<…<cn-1,于是 > > ⋯ > .
1
2
-1
2
2
1
, +
2
≥
1
+
≥
1
.
+
由排序原理,知
2
2
2
2
2
2
+
+
≥
+
+
,
+ + + + + +
2
2
2
2
2
2
+
+
≥
+
+
,
+ + + + + +
将上面两个同向不等式相加,得
2
2
2
由排序不等式,得 a
1
,①
1
1
1
1
11Biblioteka 3 1· + 3 · + 3 ·≤a · + 3 · + 3 ·
3
1
1
1
1
a3· + 3 · + 3 ·≤a3· + 3 · + 3 · . ②
2
2 +
将①②两式相加,得
将不等式两边除以
2
+2 2 +2
b1<b2<…<bn-1,c1,c2,…,cn-1 为 a2,a3,…,an 的一个排列,且
1
1
1
c1<c2<…<cn-1,于是 > > ⋯ > .
1
2
-1
人教版高中数学选修4-5第3讲 柯西不等式与排序不等式3ppt课件
≤____a1_c1_＋_a_2c_2＋_…_＋_a_n_cn_______≤__a_1b_1＋_a_2b_2_＋_…_＋_a_nb_n _________ __，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反 序和等于顺序和，此不等式简记为 __________≤______反_序_和_≤顺序和乱．序和
•三 排序不等式
目标定位
• 1.了解排序不等式的数学思想和背景． • 2.了解排序不等式的结构与基本原理． • 3.理解排序不等式的简单应用.
• 1.排序不等式的应用．(重点) • 2.排序不等式与不等式有关知识的综合应用．(难点)
预习学案
1．设实数 a，b，c，d 满足下列三个条件：d>c；a＋b＝c
课堂学案
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c，求证：ba3c53＋ cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
[思路点拨] 由于题目中已明确 a≥b≥c，所以解答本题时 可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[解题过程] ∵a≥b>0，于是1a≤1b， 又 c>0，从而b1c≥c1a， 同理c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
(柯西不等式)设 a1，a2，…，an 和 b1，b2，…，bn 为实数，
则∑i＝n1aibi2≤i＝n1a2i i＝n1b2i .
证明： 不妨设 a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn，于是得
n aibi≤1n
nn
ai·bi，
①
i＝1
• ＝a1C1＋a2(C2－C1)＋…＋an(Cn－Cn－1) • ＝C1(a1－a2)＋C2(a2－a3)＋…＋Cn－1(an－1－an)＋anCn • ≤B1(a1－a2)＋B2(a2－a3)＋…＋Bn－1(an－1－an)＋anBn • ＝a1B1＋a2(B2－B1)＋…＋an(Bn－Bn－1) • ＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn. • 即乱序和≤顺序和．
•三 排序不等式
目标定位
• 1.了解排序不等式的数学思想和背景． • 2.了解排序不等式的结构与基本原理． • 3.理解排序不等式的简单应用.
• 1.排序不等式的应用．(重点) • 2.排序不等式与不等式有关知识的综合应用．(难点)
预习学案
1．设实数 a，b，c，d 满足下列三个条件：d>c；a＋b＝c
课堂学案
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c，求证：ba3c53＋ cb3a53＋ac3b5 3≥1a＋1b＋1c.
[思路点拨] 由于题目中已明确 a≥b≥c，所以解答本题时 可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[解题过程] ∵a≥b>0，于是1a≤1b， 又 c>0，从而b1c≥c1a， 同理c1a≥a1b， 从而b1c≥c1a≥a1b.
(柯西不等式)设 a1，a2，…，an 和 b1，b2，…，bn 为实数，
则∑i＝n1aibi2≤i＝n1a2i i＝n1b2i .
证明： 不妨设 a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn，于是得
n aibi≤1n
nn
ai·bi，
①
i＝1
• ＝a1C1＋a2(C2－C1)＋…＋an(Cn－Cn－1) • ＝C1(a1－a2)＋C2(a2－a3)＋…＋Cn－1(an－1－an)＋anCn • ≤B1(a1－a2)＋B2(a2－a3)＋…＋Bn－1(an－1－an)＋anBn • ＝a1B1＋a2(B2－B1)＋…＋an(Bn－Bn－1) • ＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn. • 即乱序和≤顺序和．
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做一做2 已知两组数1,2,3和25,30,45.若c1,c2,c3是25,30,45的一 个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值 是 . 解析：c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和 1×25+2×30+3×45=220,最小值则为反序和 1×45+2×30+3×25=180. 答案：220 180
≥
������1 ������2 ������������-1 1 2 ������-1 + +…+ ≥ + +…+ . ������1 ������2 ������������-1 2 3 ������
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)对于给定的两组数,顺序和、反序和与乱序和都是唯一的. (× ) (2)对于任意给定的两组数,反序和不大于顺序和. ( √ ) (3)设a1,a2,a3是1,2,3的一个排序,则a1+2a2+3a3的最大值是14. ( √ ) 1 2 3 4 (4)若a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则 ������1 + ������2 + ������3 + ������4 的最大值是 4. ( × )
三
排序不等式
-1-
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学 习 目 标 1.理解 反序和、顺序和、乱序 和等基本概念. 2.掌握 排序不等式及其推导过 程. 3.能够运用排序不等式解决相 关问题.
思 维 脉 络
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反思感悟当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以 根据待证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将待证不 等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而 借助排序不等式证得结论.
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������2 ������ +…+ ������-1 . ������3 ������������
分析：构造数组,利用排序不等式证明.
证明：设 b1,b2,…,bn-1 是 a1,a2,…,an-1 的一个排列,且 b1<b2<…<bn1;c1,c2,…,cn- 1 是 a2,a3,…,an 的一个排列 ,且 c1<c2<…<cn-1,则
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做一做1 已知两组数:1,2,3和10,15,30,则顺序和等 于 ,反序和等于 ,乱序和分别 为 、 、 、 . 解析：顺序和等于1×10+2×15+3×30=130; 反序和等于1×30+2×15+3×10=90; 乱序和分别为 1×10+2×30+3×15=115,1×15+2×10+3×30=125,1×15+2×30 +3×10=105,1×30+2×10+3×15=95. 答案：130 90 115 125 105 95
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2.排序不等式(排序原理) 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是 b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 名师点拨1.排序不等式(排序)是对不同的两个数组来研究不同的 乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三 种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需 注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和则是不 按“常规”的顺序. 2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,对 于我们解决某些问题非常关键,它是命题成立的一种条件,因此要 牢记.
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1.基本概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn 是b1,b2,…,bn的任意一个排列.则 (1)顺序和为a1b1+a2b2+…+anbn; (2)乱序和为a1c1+a2c2+…+ancn; (3)反序和为a1bn+a2bn-1+…+anb1. 名师点拨对于给定的两组数,顺序和与反序和是唯一的,而乱序 和不止一个.
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利用排序不等式证明不等式 【例1】 设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,
求证 + +…+
1 2 2 3 ������-1 ������
≤
������1 ������2
+
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变式训练1 设x,y,z为正数,
������2 +������2 ������2 +������2 ������2 +������2 求证 + + 2������ 2������ 2������
≤
������3 ������3 ������3 + + . ������������ ������������ ������������
1 1 >…> , ������2 ������������-1
1 ������1
>
且 b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c 1≤2,c 2≤3,…,cn-1≤n. 利用排序不等式,有
������1 ������2 ������2 ������������-1 + +…+ ������3 ������������