3线性空间

设V是数域K上的线性空间, 如果在V中存在n个线性 无关的向量1 ,2 ,,n , 使V中任一向量均可表示为 这组向量的线性组合, 则称{1 ,2 ,,n }为V的一组 基 , 线性空间V称为n维 线性空间.

注_1 线性空间的基不唯一确定即对n维线性空间来说，其
中任意n个线性无关的向量组都可以作为该线性空间 的一组基。但维数唯一。

性质4
若向量 可由1 , 2 ,, r 线性表示，则表示唯一的充要 条件是1 , 2 ,, r 线性无关。

特别提示
, , 是3个n 维向量, 若 , 线性无关, , 线性无关, , 线性无关, 但 , , 不一定线性无关。
极大无关组_1

定义 数域K，a1, a2, …, an∈K,
K上的n维行向量:有序数组(a1 , a2 ,, an )
a1 a2 K上的n维列向量:有序数组 a n

注 n维行向量可看成是一个1×n 矩阵，n维列向量可以 看成是一个n×1矩阵。向量的运算及等的定义与矩阵完 全相同。
简称极大无关组。
极大无关组_2

命题
(1) 设Ⅰ,Ⅱ是V中两组向量且Ⅰ含有r 个向量, Ⅱ含有s 个 向量。如果Ⅰ组向量线性无关且Ⅰ组中每个向量均可表示 为Ⅱ组向量的线性组合, 则 r ≤ s 。 (2) 若Ⅰ,Ⅱ是两组向量且都是线性无关的向量组。又假定 Ⅰ中的任一向量可用Ⅱ中向量的线性组合来表示, Ⅱ中任 一向量也可用Ⅰ中向量的线性组合来表示, 则这两组向量 所包含的向量个数相等.

注_2 线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组。
线性空间的基和维数

基的等价定义 设1 ,2 ,,n V, dim( V) n 1 ,2 ,,n 线性无关且V中任意向量可由 1 ,2 ,,n
线性表示; 1 ,2 ,,n 线性无关; V中任意向量可由1 ,2 ,,n 线性表示; V中任意向量可由 1 ,2 ,,n 线性表示，且表示式唯一; V中任意向量添加到 1 ,2 ,,n 中所成的新向量组线性 相关;

向量的线性关系_2

定义
V : K上的线性空间, 1 , 2 ,, m , : V中的 向量, 若存在K中m个数k1 , k 2 ,, k m , 使
k11 k 2 2 k m m , 则称是1 , 2 ,, m的 线性组合 , 或称向量 可用向量组1 , 2 ,, m来 线性表示 .
坐标向量与同构_1

定义
取定V中一组基,固定基向量的次序为{1 ,2 ,,n }, 则 V中向量 唯一地对应K中的一组有序数(a1 , a2 ,, an ), 称这组有序数为 在基{1 ,2 ,,n }下的坐标向量， 其中ai 称为第i个坐标.

定义
设V, U是K上的两个线性空间, 若存在V到U的一个一一对 应的映射 , 使得对任意的V中向量 , 以及K中的数k , 均 有 : ( ) ( ) ( ); (k ) k ( ), 则称V与U这 两个线性空间同构 , 记为V U.
命题2
基变换与过渡矩阵

定义 设{1 , 2 ,, n }和{1 ,2 ,,n }为V的两组基. 若
1 a111 a21 2 an1 n , a a a , 2 12 1 22 2 n2 n 即(1 ,2 ,,n ) (1 , 2 ,, n ) A n a1n1 a2 n 2 ann n ,
n维向量_3

向量运算规则
(1) 加法交换律： ; (2) 加法结合律：( ) ( ); (3) 0 ;
(4) ( ) 0; (5) 1 ; (6) k ( ) k k , k K;

线性空间性质

性质1 零向量是唯一的. 性质2 负向量也是唯一的. 性质3
对任意的 , , , 有 (1) 从 可推出 , 即加法消去律成立; (2) 0 0; (3) k 0 0; (4) (1) ; (5) 若k 0, 则 0或k 0.
空间

注2 {a0 a1 x an x n ) | an 0, ai K, i 0,1,2,, n}
不构成K上线性空间.
线性空间_例

例4 M mn { A (aij ) mn | aij K, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n} 为K上的一个线性空间。 例5 C {a 1b | a, b R} 是实数域R上的线性空间。


例3.
n a0 a1 an : 圆周率, ai , b j Q, b j 不全为零 m b b b (i 0,1,, n; j 0,1,, m) m 0 1

命题 任一数域必包含有理数域Q.
n维向量_1

定义
1 , 2 ,, n : V中一组向量，记做 I . 如果 I中存在一组向量 i , i ,, i , 适合如下条件 :
1 2 r
(1) i1 , i2 ,, ir 线性无关; (2) I， i1 , i2 ,, ir , 必线性相关,
那么称 i1 , i2 ,, ir 是这组向量的一个 极大线性无关组，
(7) (k l ) k l , k , l K; (8) k (l ) (kl) .
线性空间_1

定义
V: 集合，K: 数域 V上定义: 元素的加法 K中的数与V中元素的数乘 关于加法和数乘满足八条运算规则 ——称V是数域K上的线性空间或向量空间。
线性空间_例

n K {( a1 , a2 ,, an ) | ai K, i 1,2,..., n} 例1 K n {( a1 , a2 ,, an ) | ai K, i 1,2, ..., n}
基向量的个数就是维数.
维数与线性关系_1

命题
(1) n维线性空间任一组基都含有n个向量. (2) n维线性空间中任一超过n个向量的向量组必线性相 关.

定理 (扩充基)
设V是n维线性空间, v1 , v2 ,, vm 是V中m(m n)个线性无关 的向量, 又{1 ,2 ,,n }是V的基, 则必可在{1 ,2 ,,n }中 选出n m个向量, 使其和v1 , v2 ,, vm 一起组成V的一组基.
第三章 线性空间

线性空间是高等代数主要研究的对象

体现了代数学中研究其他代数结构的基 本思路
基本思路

元素之间的研究——线性关系
包括线性表出（线性组合）、线性相关、线 性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩 阵

子结构的研究——从内部研究代数结构
子空间和子空间的直和

映射——从外部研究代数结构
向量的线性关系_性质

性质3 （形象表示）
设{ i (ai1 , ai 2 ,, ain ) i 1,2, , r}是一组n维向量, 向量 ~ (a , a , , a )是的t (t n)维缩短向量, 如果 ~ , ~,
i ij1 ij2 ijt 1 2
~ 线性无关, 则 , ,, 也线性无关。 , r 1 2 r
维数与线性关系_2

命题 设{1 ,2 ,,n }是n 维线性空间V的一组基, 且
a11 a22 ann b11 b22 bnn ,
则a1 b1 , a2 b2 ,, an bn .

注 命题表明, 若取定V中的一组基, 则V中任一向 量可以而且只可以用一种方式表示为这组基的线性 组合.
向量的线性关系_1

定义 V:数域K上线性空间, α1,k1α1+k2α2+…+kmαm=0 则称α1,α2 ,…,αm线性相关；否则称他们线性无关。 注_1 相关性与数域有关 注_2 线性无关等价定义 若存在K中数k1,k2,…km, 使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=0 则必有k1=0，k2=0，…，km=0

例2 P( x) {a0 a1 x an x n ) | ai K, i 0,1,2, } 例3 Pn ( x) {a0 a1 x an x n ) | ai K, i 0,1,2,, n}

注1 以上集合关于通常意义的加法和数乘构成K上线性
极大无关组_3

极大无关组的计算
S本身是一个线性无关的向量组, 则S就是极大线性无关组.
S为线性相关向量组 : step1从S中选出一个非零向量1 ; step 2 从其余向量中选出 2 , 使得 2与1线性无关; 若选不到 2 , 则向量1就是S的一个极大线性无关组. step 3 设已选出m个线性无关的向量组1 , 2 , , m , i）若S中其余任一向量加入后就线性相关, 则1 , 2 , , m就是S的一个极大线性无关组; ii ) 否则又可找到 m 1 , 使1 , 2 , , m , m 1线性无关 返回step 3.
向量组的秩

命题 设 1与 2都是向量组 I的极大线性无关组, 假 定它们是有限集, 则 1与 2所含向量个数必定
相同.

定义
设Ⅰ是K上线性空间V中的向量组，则Ⅰ的任一 极大线性无关组所含的向量数 r 称为向量组Ⅰ 的秩，用符号r (I) 表示。

注 向量组的秩是唯一的.
线性空间的基

定义
线性映射和线性变换
线性空间理论的应用