中考总复习：函数综合--知识讲解(拔高)
中考总复习函数综合--知识讲解
中考总复习函数综合--知识讲解函数是数学中的基本概念之一，也是数学建模中常用的工具。
在中考中，函数综合是一个重点复习内容，掌握了函数的性质和应用，能够帮助我们解决各种与函数相关的问题。
下面，我将给大家介绍一些函数的基本知识和应用。
一、函数的定义与性质函数是将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上的规则。
在数学中，常常用一个公式或者图像来表示函数。
1.定义域和值域：函数中输入的元素称为自变量，输出的元素称为因变量。
自变量取值的范围称为定义域，而因变量取值的范围称为值域。
2.奇偶性：如果对于定义域内的任意x，函数满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果对于所有定义域内的x，函数满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
3.单调性：如果对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)，则称函数为增函数；如果对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2，则有f(x1)>f(x2)，则称函数为减函数。
二、函数的表示方法1.函数关系式：函数可以用关系式表示，如y=f(x)。
2.函数图像：函数的图像是将自变量和因变量的对应关系用平面直角坐标系上的点表示出来的。
3.函数表：函数的输入和输出可以用表的形式表示出来。
三、函数的运算与性质1.四则运算：对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以进行加、减、乘、除的运算。
即：f(x)+g(x)：将两个函数对应位置上的值相加；f(x)-g(x)：将两个函数对应位置上的值相减；f(x)*g(x)：将两个函数对应位置上的值相乘；f(x)/g(x)：将两个函数对应位置上的值相除。
2.复合函数：复合函数是指将一个函数作为另一个函数的自变量。
如：f(g(x))表示先对x进行函数g(x)的运算，然后再对得到的结果进行函数f(x)的运算。
3.反函数：如果一个函数f(x)的值域与定义域相反，即对于f(x)的每一个值y，存在唯一的x使得f(x)=y，则称f(x)的反函数为f(x)的逆。
中考函数综合知识点归纳
中考函数综合知识点归纳
函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系，其中一个集合中的每一个元素都与另一个集合中的一个元素相对应。
在中考中，函数的综合知识点主要包括函数的概念、性质、图像以及函数的应用等方面。
以下是对中考函数综合知识点的归纳：
首先，我们需要了解函数的基本概念。
函数是一个规则，它将一个集合A中的元素（自变量）映射到另一个集合B中的元素（因变量）。
这种映射关系通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
接下来，我们学习函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性指的是函数值随自变量的增减而增减的特性；奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性；周期性则是指函数值在一定间隔后重复出现的特性。
函数的图像是理解函数特性的重要工具。
一次函数、二次函数、反比例函数等都有其特定的图像和性质。
例如，一次函数的图像是直线，二次函数的图像是抛物线，反比例函数的图像是双曲线。
在中考中，函数的应用也非常广泛。
函数可以用于解决实际问题，如速度与时间的关系、成本与产量的关系等。
此外，函数还可以与几何图形结合，解决面积、体积等问题。
最后，中考中还可能涉及到函数的变换，包括平移、伸缩等。
掌握函数图像的变换规律，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。
结束语：通过以上对中考函数综合知识点的归纳，我们可以看到函数
在数学中的重要性和广泛应用。
掌握这些知识点，不仅有助于我们在中考中取得好成绩，更能为今后的数学学习打下坚实的基础。
中考函数知识点总结
中考函数知识点总结函数是数学中的重要概念，在中考数学中也占据了很大的比重。
了解函数的基本概念和相关知识点对于顺利应对中考数学是非常重要的。
接下来，我们将逐步总结中考中与函数相关的知识点。
第一步：函数的定义函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
在函数中，我们通常用字母表示函数，例如：f(x)。
其中，x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义可以用函数图、函数表或映射关系来表示。
第二步：函数的性质函数具有以下几个基本性质：1.定义域：函数的自变量的取值范围称为定义域。
定义域决定了函数的可行解集。
2.值域：函数的因变量的取值范围称为值域。
值域决定了函数的输出结果。
3.单调性：函数的单调性能够刻画函数的增减趋势。
函数可以是递增的、递减的或者常数函数。
4.奇偶性：函数的奇偶性能够反映函数的对称性。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
5.周期性：函数的周期性能够描述函数的重复性。
周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
第三步：函数的图像与性质了解函数的图像和性质对于解题非常有帮助。
常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
1.线性函数：线性函数的图像是一条直线。
一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
2.二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。
一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
3.指数函数：指数函数的图像是一个指数增长或指数衰减的曲线。
一般形式为f(x)=a^x，其中a为常数。
4.对数函数：对数函数的图像是一个递增的曲线。
一般形式为f(x)=loga(x)，其中a为底数。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的曲线。
第四步：函数的运算与性质函数之间可以进行各种运算，包括加减乘除和复合等。
1.加减运算：对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)和差函数h(x)=f(x)-g(x)可以通过对应的值进行计算。
中考数学函数知识点复习资料归纳
中考数学函数知识点复习资料归纳数学函数是中考数学中非常重要的一个知识点，也是许多学生感到困难的一个难点。
本文将梳理和总结中考数学函数知识点的基础概念、性质、图像、题型，为大家提供一份复习资料归纳，帮助大家举一反三，打好数学函数这个重要难点。
一、基本概念1. 函数的定义简单来说，函数是一种将自变量与因变量对应起来的规律。
具体来讲，函数f是集合A到集合B的一种映射，它将集合A中的每个元素x映射到集合B中的一个唯一确定的元素y。
通常用f(x)表示。
2. 定义域、值域和坐标轴定义域是指函数自变量可以取的全部实数值的集合。
值域是指函数因变量可以取的全部实数值的集合。
常用R表示实数集合。
坐标轴有两个，横坐标轴称为x轴，纵坐标轴称为y轴，坐标系是由x轴和y轴组成的。
3. 基本函数基本函数是函数的最基础的形式，学习基本函数能够更好地理解其他函数。
基本函数有：常函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。
二、函数性质1. 函数的奇偶性若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f称为偶函数；若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f称为奇函数；若函数f既不是偶函数，也不是奇函数，则称f为既非偶函数也非奇函数的函数。
2. 函数的单调性设函数f在[a,b]上可导，若在[a,b]上f(x)>0，则f单调递增；若在[a,b]上f(x)<0，则f单调递减。
3. 函数的周期性设T>0，如果对于定义域内任何实数x，均有f(x+T)=f(x)，则函数f称为周期为T的函数。
三、函数的图像1. 常函数图像常函数的图像是一条平行于x轴的一条直线，方程为f(x)=a（a为常数）。
2. 一次函数图像一次函数的图像是一条经过原点的斜率为k的直线，方程为f(x)=kx。
3. 二次函数图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线（又称U 型曲线或n型曲线），方程为f(x)=ax²+bx+c（a≠0）。
中考函数知识点总复习
中考函数知识点总复习函数是数学中的重要概念，也是中学数学中的难点内容之一、在中考中，函数是常常出现的题型，掌握函数的基本概念和相关的知识点对于取得好成绩至关重要。
下面是对中考函数知识点的总复习。
一、函数的定义和性质1.函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量都有唯一的函数值。
记作f(x)=y。
其中，x为自变量，y为函数值。
2.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
3.函数图像：函数图像是函数在坐标系中平面上的表示，通常用关联图、曲线图或者折线图表示。
4.单调性：函数的单调性是指函数在区间上是单调递增或者单调递减。
根据函数的单调性，可以对函数的增减区间和极值进行判断。
二、常见函数类型1. 线性函数：线性函数是一次函数，函数的图像是一条直线。
一般形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
2.幂函数：幂函数是一类函数，函数的形式为y=x^n，其中n为常数。
3.指数函数：指数函数是以常数e为底的幂函数，函数的形式为y=a^x，其中a为底数。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，函数的形式为y =loga(x)，其中a为底数。
5.三角函数：三角函数是以圆单位长度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6.反比例函数：反比例函数是一类函数，函数的形式为y=k/x，其中k为常数。
三、函数图像和函数性质的分析1.函数图像的性质：通过函数的图像可以判断函数的单调性、增减区间和极值等。
2.函数解析式分析：通过函数的解析式可以判断函数的类型、定义域和值域等。
3.函数的对称性：函数的对称性包括奇偶性和轴对称性。
四、函数的运算1.函数的加减运算：给定两个函数y1=f1(x)和y2=f2(x)，它们的和函数为y=f1(x)+f2(x)；差函数为y=f1(x)-f2(x)。
2.函数的乘法运算：给定两个函数y1=f1(x)和y2=f2(x)，它们的积函数为y=f1(x)×f2(x)。
2024年中考数学函数知识点
2024年中考数学中涉及函数的知识点主要包括函数的概念、函数的性质、函数的图像与性质、函数的应用等方面。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、函数的概念中考数学中，函数即为一种特殊的对应关系。
设A和B是两个非空集合，在A和B之间的对应关系f，如果对于A中的任意一个元素a，在B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么称f为从A到B的一个函数，记作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1.定义域和值域：函数f：A→B中，定义域A是使得函数有意义的输入值的集合，值域B是函数所有可能的输出值的集合。
2.单调性：若对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f为递增函数；若对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f为递减函数。
3.奇偶性：若对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
4.周期性：若存在正数T，对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T称为函数f的一个周期。
三、函数的图像与性质1.直线函数：设常数a≠0，称y=a*x+b(a,b为常数)为一次函数或直线函数，它是最简单的函数之一、其图像是一条直线，斜率为a，与坐标轴的交点为(0,b)。
2.幂函数：y=x^a(a为实数)称为幂函数，当a>0时，图像位于一、三象限。
当a<0时，图像位于二、四象限。
3.指数函数：y=a^x(a>0，且a≠1)称为指数函数，当a>1时，图像是上升的曲线；当0<a<1时，图像是下降的曲线。
4. 对数函数： y=loga(x)(a>0且a≠1) 称为对数函数，其中 a 称为底数。
当 0<a<1 时，函数图像在第一、四象限；当 a>1 时，函数图像在第二、三象限。
中考数学函数知识点梳理
中考数学函数知识点梳理函数是数学中一种非常重要的概念。
它在中考数学中也是必考的内容之一。
了解函数的概念和性质，掌握函数的基本运算和图像特征对于中考数学的学习至关重要。
本文将对中考数学函数知识点进行梳理和总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的对应关系，它将一个数集中的每个元素（称为自变量）映射到另一个数集中的唯一元素（称为因变量）。
函数通常用f(x)表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。
二、函数的表示方法1. 函数的显式表示：y = f(x)，其中f(x)表示函数关系，y表示因变量，x表示自变量。
2. 函数的隐式表示：F(x,y) = 0，其中F(x,y)表示函数关系，x和y 是自变量。
三、函数的定义域和值域1. 定义域：函数能够接受的自变量的取值范围，通常用D(f)表示。
2. 值域：函数所有可能的因变量的取值范围，通常用R(f)表示。
四、函数的分类1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数，k不等于零。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于零。
3. 幂函数：y = x^a，其中a为常数，a不等于零。
4. 指数函数：y = a^x，其中a为正常数且不等于1。
5. 对数函数：y = loga(x)，其中a为正常数且不等于1。
五、函数的性质和运算1. 函数的奇偶性：函数f(x)满足f(-x) = f(x)时，称为偶函数；函数f(x)满足f(-x) = -f(x)时，称为奇函数。
2. 函数的单调性：对于函数f(x)，如果在定义域上x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，则称f(x)在区间上是增函数；如果在定义域上x1 < x2时有f(x1) > f(x2)，则称f(x)在区间上是减函数。
3. 函数的图像特征：根据函数的定义、性质和运算，可以确定函数的图像特征，如图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
六、函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如数学建模、经济分析、物理问题等。
中考总复习函数综合--知识讲解
中考总复习函数综合--知识讲解函数是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学中经常考察的内容之一、掌握了函数的概念和基本性质，可以帮助我们更好地解决实际问题。
下面我们就来系统地介绍一下函数的相关知识。
一、函数的定义在数学中，函数的定义是这样的：设有两个集合A和B，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一确定的元素y属于B与之对应，则称y是x的函数值，记作y=f(x)，其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的符号，表示从集合A到集合B的映射。
函数可以用图象、列表、公式等不同形式来指代。
例如，y=x+2就是一个函数的表达式，表示对于集合A中的每一个元素x，都有唯一的元素y满足y=x+2、其他形式的函数也可以通过类似的方式来解释。
二、函数的性质1.定义域和值域：对于函数f(x)，A中的元素x的集合称为函数的定义域，B中的元素y的集合则称为函数的值域。
2.单调性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是严格递增的；当f(x1)>f(x2)时，函数f(x)是严格递减的。
3.最值：对于函数f(x)，如果定义域内存在一个元素x0，使得对于任意的x，都有f(x)>=f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值；同理，如果对于任意的x，都有f(x)<=f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值。
4.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
三、常见函数的形式1. 一次函数：一次函数是指坐标系中满足y=kx+b的函数。
其中，k表示斜率，b表示截距。
一次函数的图象是一条直线，斜率k的大小决定了直线的倾斜程度，截距b的大小决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数是指坐标系中满足y=ax^2+bx+c的函数。
初三函数知识点总结
初三函数知识点总结函数是数学中的重要概念，它在数学、物理、化学、计算机等许多学科中都有广泛的应用。
函数的概念也是初中数学中的重点内容之一。
下面我来总结一下初三学习函数的知识点。
一、函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值与一个因变量的值相对应。
用函数来描述自变量与因变量之间的关系，可以用一条曲线或一组点的形式表示出来。
二、函数的表示方法1. 函数的解析表示：y=f(x)，其中f(x)是一个公式，表示自变量x与因变量y之间的关系。
2. 函数的图像表示：在坐标系中，用曲线或者一组点来表示函数。
三、函数的性质1. 定义域：函数的自变量的取值范围。
2. 值域：函数的因变量的取值范围。
3. 奇偶性：函数的奇偶性决定了函数图像关于坐标轴的对称性。
4. 单调性：函数的单调性描述了函数图像上的点的变化趋势。
5. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
6. 零点：函数与x轴的交点。
四、常见的函数类型1. 一次函数：y=kx+b，k和b是常数，表示有一个斜率和一个截距的直线。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，a、b、c是常数，表示以抛物线为图像的函数。
3. 三次函数：y=ax^3+bx^2+cx+d，a、b、c、d是常数。
4. 幂函数：y=ax^n，a和n是常数，表示自变量的n次幂与因变量的关系。
5. 指数函数：y=a^x，a和x是常数，表示指数的幂与因变量的关系。
6. 对数函数：y=loga(x)，a是常数，表示以a为底的对数与因变量的关系。
五、函数的图像特点1. 一次函数的图像是一条斜率为k的直线。
2. 二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 三次函数的图像是一个有两个拐点的曲线。
4. 幂函数的图像是一个不经过原点的曲线。
5. 指数函数的图像是一个向上或向下开口的曲线。
6. 对数函数的图像是在x轴的右半平面上，有一个垂直渐近线的曲线。
六、函数的运算1. 四则运算：函数之间可以进行加减乘除四则运算。
中考函数必备知识点总结
中考函数必备知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种对应关系，对于每一个自变量（输入），都有且只有一个因变量（输出）与之对应。
2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是函数的输入，通常用x表示；因变量是函数的输出，通常用y表示。
3. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
4. 函数的图象：函数的图象是自变量和因变量的对应关系在坐标系中的展示，通常是一条曲线或者一组点。
二、函数的表示与表达1. 函数的表示方法：函数可以用等式、表格、图象和文字描述等方式表达。
2. 函数的公式：函数常常用公式来表示，常见的函数公式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
3. 函数的计算：可以通过函数的公式来计算函数在特定自变量取值下的因变量的取值。
三、函数的性质和运算1. 函数的奇偶性：通过函数的图象或者公式可以判断一个函数的奇偶性，常见的有奇函数和偶函数。
2. 函数的单调性：函数的单调性指的是在定义域内，函数的增减性质。
3. 函数的对称性：函数的对称性通常指的是基于对称中心对称、对称轴对称或者周期对称等性质。
4. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除运算，也可以进行复合运算。
四、函数的应用1. 函数的应用范围非常广泛，例如在数学、物理、经济等多个领域都有函数的应用。
2. 函数的实际问题：函数可以用来描述和解决实际问题，例如速度、加速度、成本、收入等各种实际问题都可以通过函数来描述。
本文总结了中考函数的必备知识点，包括了函数的基本概念、函数的表示与表达、函数的性质与运算、函数的应用等方面。
学生在备考中考数学时，应该重点掌握这些知识点，通过练习和应用来提高自己的函数应用能力，从而取得更好的考试成绩。
中考总复习函数综合--知识讲解
中考总复习函数综合--知识讲解函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和科学的各个领域都有广泛的应用。
在中考中，函数的综合运用也是经常出现的考点之一、下面我们就来进行中考总复习函数的知识讲解，提高大家对函数的理解和运用能力。
首先，我们来复习一下函数的定义。
在数学中，函数是一种映射关系，将一个集合的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为函数值）。
函数可以用符号“f(x)”表示，其中“f”是函数的名称，而“x”是自变量。
函数的定义域是指所有可以作为自变量的值的集合，而值域则是函数所有可能的函数值的集合。
在函数的运用中，我们会经常遇到的概念包括函数的图像、奇偶性、单调性、最值等。
下面我们将逐一进行讲解。
首先是函数的图像。
函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，它可以帮助我们更直观地理解函数的特点。
例如，对于一元一次函数，它的图像是一条直线；对于二次函数，它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
对于函数的图像，我们可以通过选择几个具体的自变量值，求出相应的函数值，然后将这些点连起来，就得到了函数的图像。
其次是函数的奇偶性。
根据函数的定义可以知道，函数的值只与自变量有关，而与自变量是奇数还是偶数无关。
因此，如果一个函数对于任意自变量x都有f(x)=f(-x)，那么这个函数就是偶函数；如果对于任意自变量x都有f(x)=-f(-x)，那么这个函数就是奇函数。
对于一些特殊的函数，如正弦函数和余弦函数，它们分别是奇函数和偶函数。
接下来是函数的单调性。
一个函数的单调性描述了函数的增减趋势。
如果对于任意自变量x1，x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，那么这个函数就是增函数；如果对于任意自变量x1，x2，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，那么这个函数就是减函数。
对于一个函数的单调性，我们可以通过求导数的方法来判断。
最后是函数的最值。
函数的最大值是函数在定义域内取到的最大的函数值，而最小值则是函数在定义域内取到的最小的函数值。
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中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：（1）y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象过第一、二、四象限.【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】解：a、b的取值范围应分别满足：（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,∴23a＞, 且b取任何实数.（2）函数图象与y 轴的交点为（0,1-b ）， ∵ 交点在x 轴的下方，∴ ，即a≠, b ＞1.（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b ＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k 、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与x 轴夹角的大小，b 决定直线与y 轴交点的位置，由k 定向，由b 定点.同样，如图2，是k ＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.举一反三：【变式】作出函数y=x, 2x y x=，2()y x =的图象，它们是不是同一个函数？【答案】 函数2()y x =的自变量x 的取值范围是x≥0；函数2x y x=在x≠0时，就是函数y=x ；而x=0不在函数2x y x=的自变量x 的取值范围之内.由此，作图如下：可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：(1)m 为何值时，它是一次函数. (2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y 是随x 的增大而增大还是减小？ (3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0. 【答案与解析】(1)依题意：，解得m=1或m=4.∴当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x ，是正比例函数，图象过一，三象限， y 随x 的增大而增大.当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y 随x 的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x 轴交点为A(-3，0)， 与y 轴交点为B(0，-3)，..∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.【总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b （k ≠0）中k 、b 的符号.(3)直线y=kx+b （k ≠0）与两轴的交点坐标可运用x 轴、y 轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b （k ≠0）上的点在x 轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b （k ≠0）上的点在y 轴上时，令x=0，则y=b ，即交点为(0，b).举一反三：【高清课程名称：函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】 【变式】已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 【答案】证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：23(5)2m m x -±-= 即11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得14m -=-或44m m -=-，所以3m =或4m =.3．抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x﹣3，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=2B ．b=2，c=0C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=﹣3，c=2 【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【答案】B ． 【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数1y x=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 【思路点拨】因为反比例函数1y x = 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k ＜0，将解方程组 11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化成关于x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．【答案】1-4k ＜. 【解析】由反比例函数的性质可知，1y x=的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k ＜0，解方程组11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得kx 2+x-1=0， 当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k ＜0， 解得1-4k ＜， ∴两函数图象无公共点时，1-4k ＜． 故答案为：1-4k ＜. 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x 的一元二次方程，再确定k 的取值范围．类型三、函数综合题5．（2015春•姜堰市校级月考）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，有下列结论：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＜0；其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ．3 【思路点拨】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据对称轴和图象确定y ＞0或y ＜0时，x 的范围，确定代数式的符号． 【答案】C ． 【解析】解：①∵开口向下，∴a＜0，对称轴在y 轴的左侧，b ＜0，∴①正确； ②当x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，②正确；③﹣=﹣，2a=3b，x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，b+2c＞0③错误；故选：C．【总结升华】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．举一反三：【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．类型四、函数的应用6．（2015•舟山）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【思路点拨】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【答案】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=714（元）；③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【总结升华】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．举一反三：【高清课程名称： 函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】【变式】抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ． ① 判断mn 的符号； ② 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （A 在B 左侧），请说明116x <，2112x <<． 【答案】（1）证明：∵ 2360a b c ++=， ∴12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 0c a <，0c a->． ∴ 1023b a +>．（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ， ∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <． ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， ∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．。
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中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙. ,y xk = ∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最值. 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab 2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小.4、抛物线的对称变换①关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---. ②关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++. ③关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-.④关于顶点对称 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． ⑤关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-. 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 是第一象限内的直线y=6－x 上的点，O是坐标原点（如图所示）：（1）P 点坐标设为(x, y) ，写出ΔOPA 的面积S 的关系式；（2）S 与y 具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y 的取值范围；（3）S 与x 具有怎样的函数关系？写出自变量x 的取值范围；（4）如果把x 看作S 的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；（5）当S=10时，求P 的坐标；（6）在直线y=6－x 上，求一点P ，使ΔPOA 是以OA 为底的等腰三角形.【思路点拨】本例的第（1）问是“SΔOPA”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（4）问是“x”与“S”的对应关系，呈现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清哪个是函数，哪个是自变量.【答案与解析】解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q，SΔOPA=|OA|·|PQ|=×4×y=2y.（2）S与y成正比例函数，即S=2y，自变量y的取值范围是0＜y＜6.（3）∵ y=6-x, ∴ S=2y=2(6-x)=12-2x,∴ S=-2x+12成为一次函数关系，自变量x的取值范围是0＜x＜6.（4）∵把x看作S的函数，∴将S=-2x+12变形为：x=,即这个函数的解析式为：x=-+6.自变量S的取值范围是：0＜S＜12.（5）当S=10时，代入（3）、（4）得：x=-+6=-+6=1, S=2y, 10=2y, ∴ y=5,∴ P点的坐标为（1，5）.（6）以OA为底的等腰ΔOPA中，∵ OA=4，∴OA的中点为2，∴x=2,∵ y=6-x, ∴y=4. 即P点坐标为（2，4）.【总结升华】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系. 函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.举一反三：2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.【变式】已知关于x的一元二次方程2（1）求k的值；y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线1y =x+b(b <k)2与此图象有两公共点时，b 的取值范围.【答案】解：（1）由题意得，)1(816--=∆k ≥0 ．∴k ≤3 ． k 为正整数，∴k =1，2，3．（2） 当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B两点，则(3,0),(1,0)A B -．依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时，可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时，可得12b =-． 由图象可知，符合题意的b (3)b <的取值范围为1322b -<<．2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP=x ，AE=y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是( )(A) (B) (C) (D)【思路点拨】本题应利用△APD 的面积的不同表示方法求得y 与x 的函数关系；或由△ADE ∽△DPC 得到 y 与x 的函数关系．【答案】C ；【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE ∽△DPC 得到AE AD =CD DP ，从而得出表达式12y x=； 也可连结PA ，由APD ABCD 1=S 2S △矩形得到表达式12y x=，排除(A)、(B). 因为点P 在BC 边上运动，当点P 与点C 重合时，DP 与边DC 重合，此时DP 最短，x=3；当点P 与点B 重合时，DP 与对角线BD 重合，此时DP 最长，x=5，即x 的临界值是3和5.又因为当x 取3和5时，线段AE 的长可具体求出，因此x 的取值范围是3≤x ≤5.正确答案选(C).【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动，动静结合”.找准特殊点，是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型，要引起重视.举一反三：【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).【答案】A 表示小明一直在停下来修车，而没继续向前走，B 表示没有停下来修车，相反速度骑的比原来更慢，D 表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C 符合题意.类型二、函数的综合题3．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16 D．y 值，解函数转化的一元一次方程求出x值，利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式.【答案】C ；【解析】将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时即当y=4时，解得x=5，所以平移的距离为5-1=4，又知BC 4=， 所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强. 举一反三：【变式】在坐标系中，二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A 的坐标；（2）当45ABC ∠=︒时，求m 的值；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N . 若只有当22n -<<时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式.【答案】（1）∵点A 、B 是二次函数()332--+=x m mx y （0>m ）的图象与x 轴交点，∴令0=y ，即()332--+=x m mx y .解得：11-=x ，mx 32=. 又∵点A 在点B 左侧且0>m ，∴点A 的坐标为（-1，0）.（2）由（1）可知点B 的坐标为（m3，0） ∵二次函数与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为（0，-3）.∵∠ABC=45°，∴m3=3. ∴m =1.（3）由（2）得，二次函数解析式为322--=x x y .依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）.将交点坐标分别代入一次函数解析式b kx y +=中，∴一次函数的解析式为12+-=x y .4．（2015•湖北模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ），52=+-b k 得 ，32-=+b k 解得 .b 1=.k 2-=A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【思路点拨】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．【答案】C.【解析】解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C．【总结升华】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（）．． ．【答案】B 解：根据题意得：当点P 在ED 上运动时，S=BC•PE=2t；当点P 在DA 上运动时，此时S=8；当点P 在线段AB 上运动时，S=BC （AB+AD+DE ﹣t ）=5﹣t ；结合选项所给的函数图象，可得B 选项符合．故选B ．类型三、函数与几何综合题5．如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在y 轴正半轴上．点E 是边AB 上的—个动点(不与点A 、B 重合)，过点E 的反比例函数(0)k y x x=>的图象与边BC 交于点F. （1）若△OAE、△OCF 的而积分别为S 1、S 2．且S 1＋S 2=2，求k 的值； （2）若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?【思路点拨】（1）设E （1x ， 1k x ），F （2x ，2k x ），1x ＞0，2x ＞0，根据三角形的面积公式得到S 1=S 2= 2k ， 利用S 1＋S 2=2即可求出k .（2）设E(2k ，2)， F(4，4k )，利用S 四边形OAEF =S 矩形OABC －S △BEF －S △OCF =()214516k --+，根据二次函数的最值即可得到当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5.【答案与解析】解：（1）∵点E 、F 在函数(0)k y x x=>的图象上， ∴设E （1x ， 1k x ），F （2x ，2k x ），1x ＞0，2x ＞0，∴S 1=11122k k x x ⋅⋅=，S 2=22122k k x x ⋅⋅=. ∵S 1＋S 2=2，∴ 222k k +=.∴2k =. （2）∵四边形OABC 为矩形，OA=2，OC=4，∴设 E(2k ，2)， F(4，4k ). ∴BE=4－2k ，BF=2－4k . ∴S △BEF = 21142422416k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，S △OCF = 14242k k ⋅⋅=，S 矩形OABC =2×4=8， ∴S 四边形OAEF =S 矩形OABC －S △BEF －S △OCF = 8－(21416k k -+)－214162k k -++ =()214516k --+. ∴当k =4时，S 四边形OAEF=5.∴AE=2.∴当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5.【总结升华】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.6．（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （8，1），B （0，﹣3），反比例函数 y=（x ＞0）的图象经过点A ，动直线x=t （0＜t ＜8）与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于 点N ．（1）求k 的值；（2）求△BMN 面积的最大值；（3）若MA⊥AB，求t 的值．【思路点拨】（1）把点A 坐标代入y=（x ＞0），即可求出k 的值；（2）先求出直线AB 的解析式，设M （t ，），N （t ，t ﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN 的面积是t 的二次函数，即可得出面积的最大值；（3）求出直线AM 的解析式，由反比例函数解析式和直线AM 的解析式组成方程组，解方程组求出M 的坐标，即可得出结果．【答案与解析】解：（1）把点A （8，1）代入反比例函数y=（x ＞0）得：k=1×8=8，y=，∴k=8；（2）设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，根据题意得：，解得：k=，b=﹣3，∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，∴△BMN的面积S是t的二次函数，∵﹣＜0，∴S有最大值，当t=3时，△BMN的面积的最大值为；（3）∵MA⊥AB，∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，把点A（8，1）代入得：c=17，∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，解方程组得：或（舍去），∴M的坐标为（，16），∴t=．【总结升华】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强．7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；（2）①当t=时，OA=AP=，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；②此题要分成两种情况讨论：（i）PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；（ii）P N≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．【答案与解析】解：（1）因抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），故可得c=0，b=4，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，由y=﹣x2+4x，y=﹣（x﹣2）2+4，得当x=2时，该抛物线的最大值是4；（2）①点P不在直线ME上；已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），设直线ME的关系式为y=kx+b；于是得，解得所以直线ME的关系式为y=﹣2x+8；由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，P（，）∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=﹣2x+8；∴当t=时，点P不在直线ME上；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t；∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，﹣t2+4t）∴AN=﹣t2+4t（0≤t≤3），∴AN﹣AP=（﹣t2+4t）﹣t=﹣t2+3t=t（3﹣t）≥0，∴PN=﹣t2+3t（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC•AD=×3×2=3；（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=（CD+PN）•AD=[3+（﹣t2+3t）]×2=﹣t2+3t+3当﹣t2+3t+3=5时，解得t=1、2而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1，3）当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．【总结升华】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）。
中考函数知识点总复习
中考函数知识点总复习函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中有很多的应用。
为了帮助你复习函数知识点，下面是一个1200字以上的总复习。
一、函数的定义与表示方法1.函数的定义：函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
2.函数的表示方法：a.函数表达式：用一个代数式或方程式表示函数。
b.函数图像：用一条曲线表示函数。
c.函数关系：用一个表格表示函数。
d.函数符号：用f(x)或y来表示函数，其中f是函数名，x是自变量，y是因变量。
二、函数的性质与分类1.定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量的取值。
2.奇偶性：函数的奇偶性可以根据定义域上的函数表达式的奇偶性来确定。
3.单调性：函数的单调性可以根据函数的导数的正负来确定。
4.周期性：如果对于任意的x∈定义域，都有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
5.分段函数：可以将函数表达式根据不同的自变量的取值范围分成多个部分。
三、函数的运算1.函数的加法和减法：两个函数的加法和减法可以通过将它们的函数表达式相加或相减得到。
2.函数的乘法：两个函数的乘法可以通过将它们的函数表达式相乘得到。
3.函数的除法：两个函数的除法可以通过将它们的函数表达式相除得到，但要注意除数不能为0。
四、反函数与复合函数1.反函数：如果函数f的定义域上任意的自变量x，都有f(x)=y，那么函数g的定义域上任意的自变量y，都有g(y)=x，则称函数g为函数f 的反函数。
2.复合函数：设有函数f(x)和g(x)，则g(x)在f(x)的基础上进行运算得到的函数称为复合函数。
五、函数的应用1.函数的图像与方程：通过函数的图像可以求得函数的方程，通过函数的方程可以绘制出函数的图像。
2.函数的最大值与最小值：可以通过函数的导数来判断函数的最大值和最小值。
3.函数的模型与实际问题：根据实际问题可以建立函数模型，并利用这个函数模型解决实际问题。
4.函数的图像和性质：可以通过观察函数的图像来得到函数的性质，例如函数的奇偶性、单调性、周期性等。
中考总复习：函数综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：函数综合复习--知识讲解(提高)函数是数学中非常重要的概念，也是中考数学的重点内容之一。
在这篇文档中，我们将讲解函数的相关知识，帮助同学们复和提升函数的理解和运用能力。
1. 什么是函数？在数学中，函数是一种特殊的关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
我们可以将函数看作是一种映射，它可以将输入值映射为对应的输出值。
2. 函数的表示方法函数可以用不同的方式来表示。
常见的表示方法包括：- 方程表示法：通过方程的形式来表示函数，如 y = f(x)。
- 图表表示法：通过绘制函数的图表来表示函数的输入和输出之间的关系。
- 集合表示法：用集合的形式表示函数，如 {(x, y) | y = f(x)}。
3. 函数的性质函数有一些重要的性质，包括：- 定义域和值域：函数的定义域是指输入值的集合，而值域是函数输出值的集合。
函数的值域应当包含所有可能的输出值。
- 单调性和增减性：函数的单调性指函数的增减趋势，可以分为递增和递减。
增减性指函数的导数的正负性。
- 奇偶性：函数的奇偶性指函数在坐标系中的对称性，可以分为奇函数和偶函数。
4. 函数的运算函数之间可以进行多种运算，常见的运算包括：- 函数的加法和减法：对于两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的加法可以表示为 (f + g)(x) = f(x) + g(x)，减法可以表示为 (f - g)(x) = f(x) - g(x)。
- 函数的乘法：对于两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的乘法可以表示为 (f * g)(x) = f(x) * g(x)。
- 函数的复合：对于两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的复合可以表示为 (f ∘ g)(x) = f(g(x))。
5. 函数的应用函数在实际生活中有着广泛的应用，包括数学、物理、经济等各个领域。
函数可以用来描述和分析各种变化规律，帮助我们解决问题和做出决策。
6. 总结函数是中考数学中的重要内容，掌握函数的概念、性质和运算方法对于提高数学水平至关重要。
中学函数综合知识点总结
中学函数综合知识点总结1. 函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，一般地，设A、B是两个非空集合。
如果按照某种确定的对应关系f，对集合A中的每一个元素a，都在集合B中确定一个元素b与之对应，那么就称这种对应关系f为从集合A到集合B的一个函数，记作f：A→B。
其中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
2. 函数的表示可以使用函数的各种表示方法来描述函数，常见的表示方法包括函数解析式表示、图像表示、数据表表示和函数关系图表示等。
3. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。
这些性质是通过对函数的解析式进行分析得出的，通过这些性质，我们可以更直观地了解和描述函数的特点。
4. 函数的运算函数之间有加减乘除、复合函数和反函数等各种运算。
通过这些运算，我们可以对函数进行更深入的研究和应用。
5. 函数的图像与性质函数的图像是函数的直观表示，通过观察函数的图像我们可以更加直观地了解函数的性质。
其中包括函数的单调性、最值、对称轴等。
6. 函数的应用函数在数学中有很多应用，包括数列、几何、统计等领域。
函数是解决这些问题的主要工具之一，掌握函数的相关知识对于解决实际问题非常重要。
7. 函数的变量函数中的自变量和因变量是其最基本的组成部分，通过对自变量变化时因变量的变化规律进行研究，我们可以得到函数的很多性质和结论。
8. 函数的极限函数的极限是函数研究的一个重要内容，它在微积分中有着重要的应用。
通过极限的概念，我们可以更深入地了解函数在特定情况下的行为。
9. 函数的导数函数的导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述函数在某一点的变化率。
求导是对函数求解析式的一个重要方法，也是微积分中的一个核心内容。
10. 函数的积分函数的积分是函数研究的另一个重要内容，它可以用来计算函数的面积、体积等问题。
积分是微积分中的一个非常重要的概念，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
11. 函数方程函数方程是描述函数间关系的一种重要形式，通过函数方程我们可以了解到函数之间的一些重要性质和规律。
中考函数知识点总结
中考函数知识点总结中考函数知识点总结：函数是数学中的一个重要概念，也是中学数学的基础知识之一。
在中考中，函数是一个重要考点，它占据了整个数学试卷的相当大的比例。
所以，掌握好函数的相关知识点对于中考的成功至关重要。
下面，我们来总结一下中考中关于函数的知识点。
一、函数的概念：函数是一种特殊的关系。
如果一个集合中的每一个元素都恰好对应另一个集合中的一个元素，那么我们就称这种关系为一个函数。
一般来说，如果集合A中的元素a和集合B中的元素b 满足某种条件，我们就称b是a的函数值，a是b的自变量。
二、函数的符号表示：通常情况下，我们用f(x)来表示函数，其中x是自变量（也叫输入变量），f(x)是函数值（也叫输出变量）。
也有用y表示函数的情况。
三、函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，也就是使函数有意义的自变量的取值范围。
函数的值域是指函数所有可能的输出值所组成的集合。
四、函数的表示方法：函数可以通过四种表达方式来表示：关系式、方程式、图象和函数表。
关系式表示法：可以用数学语言来表示函数，如：y = 2x + 3，其中y是函数值，x是自变量。
方程式表示法：可以通过方程来表示函数，如：y = x^2 - 1，其中y是函数值，x是自变量。
图象表示法：可以通过绘制函数的图象来表示函数，图象上的每一个点都表示函数在对应自变量下的函数值。
函数表表示法：可以通过列出函数的自变量和函数值的对应关系来表示函数，如：自变量函数值1 32 53 7五、函数的性质：函数有很多重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解函数的特点和规律。
1. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
当函数随着自变量的增大而增大时，我们称函数为递增函数；当函数随着自变量的减小而减小时，我们称函数为递减函数。
2. 奇偶性：有些函数在函数图象上关于原点对称，这种函数被称为奇函数；有些函数在函数图象上关于y轴对称，这种函数被称为偶函数。
中考总复习：函数综合--知识讲解
中考总复习：函数综合—知识讲解（提高）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•.,y xk=Θ ∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值.如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小.4、抛物线的对称变换 ①关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---.②关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++.③关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-.④关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．⑤关于点()m n，对称()2y a x h k=-+关于点()m n，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，O是坐标原点（如图所示）：（1）P点坐标设为(x, y) ，写出ΔOPA的面积S的关系式；（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；（3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；（5）当S=10时，求P的坐标；（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形.举一反三：2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.【变式】已知关于x的一元二次方程2（1）求k的值；y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线1y=x+b(b<k)2与此图象有两公共点时，b的取值范围.2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是( )(A) (B) (C) (D)举一反三：【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).类型二、函数的综合题3．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．82举一反三：【变式】在坐标系中，二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . （1）求点A 的坐标；（2）当45ABC ∠=︒时，求m 的值；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N . 若只有当22n -<< 时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式.AB CO yx4．（2015•湖北模拟）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x 轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④举一反三：【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t 秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．类型三、函数与几何综合题5．如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在y 轴正半轴上．点E 是边AB上的—个动点(不与点A 、B 重合)，过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图象与边BC 交于点F. （1）若△OAE、△OCF 的而积分别为S 1、S 2．且S 1＋S 2=2，求k 的值；（2）若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?6．（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （8，1），B （0，﹣3），反比例函数 y=（x ＞0）的图象经过点A ，动直线x=t （0＜t ＜8）与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于 点N ．（1）求k 的值；（2）求△BMN 面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t 的值．7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．。
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中考总复习：函数综合—知识讲解（拔高）要求：结合书本复习一次、反比例、二次函数1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【函数知识网络】【模型梳理】模型一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移模型诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .模型二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象模型诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.模型三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题模型诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.模型四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题模型诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk =∴||k S k xy ==，.模型五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题模型诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值.如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小.4、抛物线的对称变换①关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---.②关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++.③关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-.④关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．⑤关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．模型六、函数的应用1.一次函数的实际应用2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用模型诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 是第一象限内的直线y=6－x 上的点，O 是坐标原点（如图所示）：（1）P 点坐标设为(x,y)，写出ΔOPA 的面积S 的关系式；（2）S 与y 具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y 的取值范围；（3）S 与x 具有怎样的函数关系？写出自变量x 的取值范围；（4）如果把x 看作S 的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；（5）当S=10时，求P 的坐标；（6）在直线y=6－x 上，求一点P，使ΔPOA 是以OA 为底的等腰三角形.【求真教研组总结】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系.函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.举一反三：2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.【变式】已知关于x的一元二次方程2（1）求k的值；y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线1y=x+b(b<k)2与此图象有两公共点时，b的取值范围.2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是()(A)(B)(C)(D)举一反三：【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是().类型二、函数的综合题3．如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x－6上时，线段BC 扫过的面积为（）A．4B．8C．16D．82A B CO yx【求真教研组总结】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强.举一反三：【变式】在坐标系中，二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A 的坐标；（2）当45ABC ∠=︒时，求m 的值；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N .若只有当22n -<<时，点M 位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.4．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A.3B.-6C.2D.6【求真教研组总结】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t 秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．类型三、函数与几何综合题5．如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在y 轴正半轴上．点E 是边AB上的—个动点(不与点A、B 重合)，过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图象与边BC 交于点F.（1）若△OAE、△OCF 的而积分别为S 1、S 2．且S 1＋S 2=2，求k 的值；（2）若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?【求真教研组总结】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.6．如图，P 1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为（2，0）．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积将如何变化？（2）若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．【求真教研组总结】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【求真教研组总结】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）。