论徐利治对数理哲学中无限问题的研究
谈谈我的一些数学治学经验--徐利治
标题: 谈谈我的一些数学治学经验--徐利治(zz)发信站: 碧海青天 (Mon May 5 19:57:29 2003), 转信我出生在长江之滨，很喜欢苏拭的诗句：“叹人生之须臾，羡长江之永流。
”看来这诗句隐含有劝人珍惜年华、努力向上之意。
我们知道，在正常情况下，一般从事数学职业者在人世间还算是比较长寿的。
例如从数学史书上可以看到，19世纪至20世纪的众多数学家的平均寿命都在“古稀年令”之上。
迄至2000年我也将有55年的数学教学工龄了。
所以这篇谈话，真可说是“老生漫谈”了。
积半个世纪的数学教学与科研工作经历，我的个人经验可概括为五句话：一是培养兴趣，二是追求简易，三是重视直观，四是学会抽象，五是不伯计算。
最后要说的是，数十年来使我真正体验到了两条客观规律，即“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”。
我认为这些规律理应成为现代认知心理学和科学方法论中值得探讨的规律。
下面就让我来谈谈个人的一些经验与体会。
1 培养兴趣我把培养兴趣置于首要地位，因为众所周知，兴趣有助于集中注意、活跃思想，并能助长克服困难的勇气和毅力。
要想有成效地学习和研究数学尤其非要有兴趣不可。
记得我上初级小学时，对算术一点兴趣也没有，速算测试成绩也较差。
到了高小阶段，有一阵忽然对“鸡兔同笼”等问题产生了好奇心。
有一天我伯父把听来的一个“怪题”来考我：“100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个。
问有多少个大和尚和小和尚?”我利用学到了的鸡兔同笼问题的推理方式，居然得出了有25个大和尚与75个小和尚的正确答案，伯父很是赞许。
自此以后，我就特别喜欢求解算术应用题，开始学到了用算式表达事物间简单数量关系的能力。
这种能力其实也可以看作是最低层次的“数学建模能力”。
后来我读了师范学校，买到一本陈文翻译的《查理斯密斯大代数》；对书中的级数与连分式、排列与组合、或然率论、初等数论和方程式论最感兴趣。
还作了一些难题和怪题，很党高兴而自豪。
RMI原则在中学数学中的应用
RMI原则在中学数学中的应用中学数学中的“化归”是RMI原则的表现形式，RMI 原则是在数学中常用的思想，即“关系、映射、反演”原则。
说明如下：令表示一组原象的关系结构，包括待定原象。
表示一种映射，假定被映成映象关系结构，其中包含未知原象的映象。
确定，则通过逆映射确定其它内容。
工程技术用此原则会选映射确定，通过反演寻找目标对象。
本文从数学角度研究RMI原则的应用。
我国当代数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》中陈述了这一原理：给定一个含有目标原象的关系结构系统，如果能找到一个可定映映射，将映入，则从通过一定的数学方法把目标映象确定出来。
步骤为：关系――映射――定映――反演――得解。
相关概念如下：数学对象：表述为数学概念的个体。
如：数、量、数烈、向量、变数、函数等。
关系结构：数学对象的集合，数学关系指数学对象间确切定义的关系。
映射：在两个数学集合的元素间建立一种“对应关系”，就是一个映射。
定义阐述：使一个映射，把集合中的元素映入集合，表示的映象，是原象，可记作：若是一个关系结构，能将映满，则，为映象关系结构。
若中包含一个位置性状的对象，则为目标原象，在映射的作用下，成为目标映象。
函数法、换元法、参数法、构造法等都属于RMI原则的表现形态。
下面我们具体看集中表现形态：（一）变量待换：是一种简单的RMI原则过程，在讨论变量时，可用得到新变量，用代回，得到原来欲求结果。
就是一个映射，整个变量代换过程就是RMI的应用。
开方、乘方时可以运用对数。
例：计算：的数值。
原象关系；映象关系当有实数赋值时，可以通过查对数表来计算。
在这个例子中，先求映象。
函数中的换元法将函数的“自变量”代之以一个中间变量，找出对应关系，得出函数表达式。
（二）用解析几何法解决几何问题时的遵循RMI原则，通过坐标系，映射映入一对实数，将曲线映为方程，两曲线交点为联立方程的解。
（三）化归：通过对原问题的转换，使问题向所要求的方向转化。
下面我们就看化归是如何应用RMI原则的。
数学方法论的倡导者--数学名师徐利治
数学方法论的倡导者—数学名师徐利治◎上海市城市科技学校邵红能2019年3月11日，著名数学家徐利治在北京逝世，享年99岁。
他是 一位数学家，喜欢哲学。
对物质世界的洞察,让徐利治对数学有着精深的 理解。
徐利治是中国组合数学研究的倡导者，组建了全国组合数学研究 会，培养了一批组合数学人才。
他大力推动数学方法论的研究，其著作对 中国数学教育的改革和发展具有深远影响。
在渐进分析、逼近论方面取 得重要成果，被国际数学界誉为“徐氏渐进公式”、“徐氏逼近”。
徐利治(1920.923 ~20丨93.11)，原名徐泉涌，江苏省张家港人, 著名数学家、数学教育家，中共 党员，大连理工大学教授、博士 生导师，其主要研究领域是分析学、计算数学和组合数学等。
徐 利治致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分、无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导 数学方法论的研究。
其代表作品为《渐近积分和积分逼近》、《高维的数值积分》和《数学方法论选讲》等。
徐利治已发表170多篇学术论文、十余部数学与数学方法论专著，并指导20多位博士研究生，包括2位菲律宾博士研究生61945年，徐利治毕业于西南联合大学。
1946年，加入中国共产党。
1949年，先后在英国亚贝丁大学、剑桥大学学习。
1951年回国，历任清华大学副教授，吉林大学教授、教务长，华中工学院数学系教授、系主任，大连工学院教授、应用数学研究所所长。
1985年，徐利治获国家教委科技进步奖二等奖。
1988年，担任中国组合数学研究会第一任理事长。
徐利治多次在国际学术会议上作主题报告，多次受邀在美国斯坦福大学、西点军校、德国亚琛工业大学等著名大学和青年教师45机构作学术演讲。
2015年，他获 得中共中央、国务院、中央军委 颁发的“中国人民抗战胜利70 周年”纪念章。
1出生木匠家庭，求学西南联大徐利治1920年9月23日出生于江苏省沙洲县(现为张家 港市）东莱乡一个普通木匠家庭。
名人名言摘录
名人名言摘录一激活的理论要证明一个几何题，从认知心理学看，其本质是寻找条件与结论之间的逻辑蕴涵关系，这个过程有三个阶段：知识点被激活；思路点的扩张力及按条件与结论之间的线索接通的三阶段。
什么是思路点呢？“在证明命题时，认知结构中首先被激活的知识点叫做思路点。
【1】”什么是思路点的扩张力？“认知结构中各思路点的激活能力与向外扩展的能力称为扩展力，”【2】这里既有量的指标，又有质的指标，量的指标是指一个思路点激活其它知识点的数量，质的指标是指一个思路点激活其它知识点的正确与清晰的程度。
二关于“对一题多证(或一题多解”的论述有句名言说“一个新想法是旧成份的新组合……它是开启新想法大门的钥匙,没有新成分,只有新组合.”这是对一题多证(或一题多解) 的辩证论述, 国际数学教育家G. 波利亚说: “重新组合的可能性是无限的, 困难的问题需要一种神奇的不寻常的崭新的组合, 而解题者的才能就在于组合的独特性.”三比较数学比较是在思维中确定所研究的对象的相同点和不同点。
“在比较中认识一切[1]”这是一句格言，它一针见血地说明了比较在认识中的作用，比较既是一种研究方法，又是认知的一种策略。
它不但用于研究对象的数学性质，也用于证实这些数学性质。
比较数学就是将两个数学概念、推理、证明和两个数学题进行类似比较而发现异同的数学。
比较数学在数学教学中应该有它特殊的认识作用。
唐朝魏徵说: “以史为鉴,可以知兴替, 以铜为鉴,可以正衣冠, 以人为鉴, 可以知得失”(引自《贞观纪要》),四以退求进的策略普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合.而特殊化是从考滤一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个较小的集合,或仅仅一个对象.华罗庚教授说的:“要善于退,足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”他还说：“”五数形结合的理论中考题之展现出“数形结合”的数学思想，表现出数与形常结合在一起，在方法上相互渗透、在内容上相互联系、在一定的条件下相互转化、在认识上相互促进、在理解上相互补充、共同促进学生的数学思维能力的提高。
徐利治与数学方法论
“ 徐利 治所 倡导 的数 学 方 法 论 研 究 被看 作 是 促 进 我国 ２ 纪 ８ ０世 ０年代 数 学教 育研 究深 入发 展 的最 为重 要 的三 大动力 因素 之 一”． 得 一 提 的是 ， 值 分
别于 ２ ０世 纪 ５ Ｏ年代 和 ８ ０年 代 出版 的《 学 分析 数
较重 要的 贡献 ． 警事实 上 ， 许 多 出 色 的数 学 成果 他
正是 应用 ＲＭＪ方法 的典范 （ 比如 沟通 连续 与 离散 的普遍 反演定 理） 这 同时也 充 分揭 示 了“ 过 ‘ ， 通 做
数学’ 的途 径去 搞 数 学 方法 论 研 究 ”的思 想 具有
以对 数 学 抽象 法 则 的定 性 分析 为 基 础 ， 利 徐
治开创 了对数 学抽 象 的定量研 究 ． 体地说 ， 提 具 他
强大的生命力． 徐利治凭 借其卓越的洞察力预测
了Ｒ ＭＪ方法 的应 用 前 景 ． 指 出 ， 对 各 种 已发 他 针 现的很 有价值 的 Ｒ ＭＪ方法 可解 问题类 ， 去设计 便
于应 用 的 Ｒ Ｍ１解 算机 ， 一项 极 有 意 义 的工作 ， 是
会 常务 理事 等职． 他创 办 了《 学研 究 与 评 论 》杂 数
志 ， 曾担任 多 家 有重 要 影 响 刊物 的主 编 或 名誉 并
主编．
徐 利治 的研究 涉 及分 析数 学 、 合数 学 、 组 计算
方法 、 数学基 础 和数 学方 法学 等众 多领 域． 辩证 唯 物 观点 和唯 物数学 史观是 他 进行 数 学研 究和 数学 方 法论研 究 的基本 指 导原则． 他认 为 “ 有方 法 和 没 史学 观点 ， 不 能很好 地 理解 数学 ， 就 更难 以说 得 上
数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换中作用
集
宁
师
专
学
报
Ｖ ｌ ３ Ｎｏ ４ ｏ－ ， ３ ． Ｄｅ ． ０ ｃ２ １ ｌ
Ｊ Ｈ ｎ ｌ ｆ ｉ ｉｇ ｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ｏ ｌ ａ Ｊｎ ｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ＇ ｏ ｅ
数 学 中有 限与无 限转换 的哲学意义 及 极 限在 该 转 换 中作 用
２数 学 中有限 与无 限转换 的哲 学意 义 ．
数学是探讨数与形运动规律的学科 。数学教学法是研究数学教学规律的。马克思主义
哲 学是研 究数 学 、 自然科 学 、社会 科 学和 思维科 学 的科 学 。
哲 学作 为方法 论 ，为数 学提供 有用 的认 识 工具和 探索 工具 ，在 现实 世 界中 的有 限与无
收 稿 日 期 ：２ １— — ０ ０ １８ １
作 者简 介：司桂荣 （９ ４ ） １６ 一 ，女，汉族，兴安盟广播 电视大学 ，副教授 。
第 ４期
司桂荣，李斯亚：数学中有限与无限转换的哲学意义及极限在该转换 中作 用
８ １
数 学 中，首先 建立 一个 数学 式 的模 型 ，在 这 个模 型中 首先剥 离 出任何 内容 的存 在 ，就好 像 是康 德 所说 的一种 先验 的直 观形 式相 似 的结 构 。 马克 思和 恩格 斯不 仅创 立 了马克 思主义 哲 学 ，对 数 学研 究和 发展起 到 了 巨大 的 指导 和推 动 作用 ，而 且他 们也直 接研 究过 数 学 。恩格 斯在 《 自然辩证 法 》 中指 出： “ 质 是按质 量 物 的相对 大 小分成 一系 列较 大 的，容 易分清 的组 。使 每 一组 的各 个组成 部分 相互 间 在物质 方 面 都 具有确 定 的、有 限 的 比值 ，但 对邻 近 的各个 组成 部 分则具 有在 数学 意义 下 的无 限大 或
2019徐利治：透过数字 发现数学之美精品教育.doc
徐利治：透过数字发现数学之美中国江苏网11月18日讯作为基础学科之一的数学，有些学生很喜爱，有些学生很头疼，面对一堆数字和做不完的题，很多人失去学习数学的兴趣和信心，久而久之，数学成绩每况愈下。
那么，如何才能学好数学？昨天，本报记者专访著名学术家、中国数学会组合数学与图论专业委员会主任、中科院数学研究所顾问徐利治，请他老人家为众多学子来解答。
徐利治与省泰州中学学生在交流数学学习方法。
数学的美在于发现规律同学们要知道，数学是处理和研究数学现象的学科，数字只是外在的表现形式，如果你完全只看到一堆数字，那么肯定枯燥无味。
学生们在学习数学时，要联系客观现象，走出片面的误区，发现数学的美、数学的客观规律。
其实，在我们刚开始启蒙学习时，老师就已经教会我们如何去学习数学了。
大家都知道一首小学课文中的诗：“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。
”这就是数学与客观现象联系的典型例子，1至10的数字在与诗词的巧妙联系中，很容易让学生接受，一下就记住了。
数学如同诗歌一般美丽数学就如同这诗歌一般美丽，而且好玩，数学中有一个简单有趣的问题：什么数字乘以9是它的倒数？你琢磨出这个就当作一种玩乐，慢慢的通过这种的方式就会明白数学的规律。
数学的审美意识很重要，我觉得数学审美能帮助人形成创造性思维，发现探索自然现象规律。
数学审美意识如果能长久保持，还有利于健康长寿，因为你会运用数学的逻辑思维和形象思维去处理各种各样的问题，并从中发现事物的美，那么你并不感觉困惑和“无解”，自然心情舒畅，延年益寿。
所以，家长和老师要善于让孩子们去发现数学之美，感受数学之美，从而建立起自己的数学审美意识。
少考试，多看课外读物我曾教过小学、中学、大学，在执教的几十年里，一直不断告诉我的学生们，不要害怕数学，也总是努力把教材中最简单、最直观、最易懂的内容运用到教学中来，让学生们通过直观的数学现象明白数学客观规律和各类公式。
我常对学生们说，由观察可以发现数学现象中的客观规律，因此当你学习一道公式时，知道它的具体来源，明白它的客观规律，你就真弄懂了。
谈谈在微积分中引入实无限小量问题[论文]
![谈谈在微积分中引入实无限小量问题[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/325c0a7a01f69e3143329462.png)
谈谈在微积分中引入实无限小量的问题摘要微积分学是一种计算手段，而微积分实无限小量的问题，不仅是建构实无限小量的逻辑问题，还是不同阶段无限小量与其倒数同标准实数进行合理运算的问题。
通常情况下，均默认直线是由“无限小线段”共同构建而成的，而“无限小线段”又被称之为“实无限小”，“实无限小”概念在微积分学中也得到了一定的认可。
关键词微积分实无限小量中图分类号：o172 文献标识码：a由阿基米得原理得知：实无限小并不属于实数范围内，之后又由康托尔公理得知：实数与直线坐标点是一一对应的关系，因此，无论是作为算术量还是几何量，实无限小在标准分析数学中都是不存在的概念。
所以，就出现了“非标准微积分”的概念，对无穷小进行相关的分析。
1 对无穷小直线元素的界定问题进行分析针对这个界定问题的分析主要是通过分析数学中各种记号、记法与集合的形式等展开。
比如：直线l表示从正无穷到负无穷，r+、l+表示从零到正无穷，n为自然数，r为实数，利用经典分析法进行分析可以得出，在标准数学中存在着在实数之外的无穷小直线元素?%r+。
由此可以看出，?%r+是在l+之内r+之外的非空实体，同时也可以确定?%r+的线性测度是正无穷小的。
众所周知，对于给定的非空集合，根据交集运算定义，可以得出其交集结果存在两种情况，单元集与空集。
一般情况下，都会将实数与直线进行严格的划分，认为实数只是构成直线的特定部分，并不是代表直线的全部，这样的思路是正确的。
事实上是应用了一条默认公里，也就是“可嵌入公理”，另外也就是默认了“存在性公理”，也就是直线内含有一定的非标准元素，比如无穷小直线元素等，而这一条公理是预设得来的。
在认可了非标准实体?%r+存在于直线上之后，就要对其测度的正无穷小进行相应的证明，其证明难点就是怎样确定其属于正性。
在证明此项问题的时候，要用到微分的赋值规定表以及正向积分公理。
由上述内容可以看出，直线上存在的无穷小直线元素是需要运用适合的公理来进行相关界定的。
关于数学哲学几个基本问题的思考
一、关于数学哲学的辨析数学哲学是一个古老而又年轻的学科。
对于什么是数学哲学，它的对象、范围和意义是什么，人们至今还没有一致的看法。
把数学哲学定义为对数学的哲学反思和分析，不免过于笼统、模糊，只能算是一个统称。
从历史上不难看到，对于数学和哲学的不同发展状况，依照人们选取不同的视角，采用不同的哲学路线和理论，数学哲学呈现出各种不同的形式，形成了多种多样的理论。
在古代，正象人们对科学与哲学不加区别一样，人们对数学与哲学也没有分明的界线。
例如，古希腊哲学家惊异于数（实际上只是有理数）的神通广大和无穷奥秘，提出了“万物皆数”的思想。
毕达哥拉斯学派认为，“万物的始基是一元。
从…一元‟产生出…二元‟”进而“产生出各种数目，从数目产生出点，从点产生出线，从线产生出平面，从平面产生出立体，从立体产生出感觉所及的一切物体，产生出四种元素：水、火、土、空气”进而产生整个世界〔1〕。
在古代的东方，中国的《老子》则说，“道生一、一生二，二生三，三生万物。
”〔2 〕可见，这些古代深刻的哲学世界图景都是用数学的语言来描绘的。
古代的数学哲学奉行的是数学即哲学，数理即哲理的观念。
毕氏主义在历史上影响深远。
例如，直到本世纪，海森堡的数学实在论等都还包含着这一古代数学哲学的韵味。
随着数学的发展，毕氏学派发现＠①和1没有公度的事实，导致了数学的第一次危机，此后，希腊人的数学研究往往避开数量关系，而专注于空间形式。
应用了古希腊形式逻辑成果的演绎体系——欧几里得《几何原本》成为评判数学的唯一标准，甚至成了一切科学的典范。
它统治了西方数学和科学思想长达几千年之久，也深深地影响了如笛卡尔，莱布尼茨，康德等哲学家。
两千多年以来，欧氏《原本》被当作人类唯一可能获得的几何学，唯一可靠的被严格证明的数学。
在哲学上，康德认为欧氏几何是先天的、唯一的现实空间的观念。
《几何原本》也可以说是这一时期数学哲学的经典。
19世纪是数学的一个伟大转折点，数学经历了它有史以来最剧烈的变革。
对数学方法论中RMI原则的探讨
、
,
本 文 对 数 学 中 R M I原 则 的 目的
,
关
有 效性
,
映 射 反演 的 特 性 进 行 了 探 索 并 对 数 学 中 R M I 原 则 应 用 的 推 广 也 作 了 一 定 的 讨
。
。
抛砖 引 玉
h ip
:
不 当之处
a
,
敬请 指 正
.
在 著 名 学 者 徐利 治教授 的 《 数 学方 法 论 选 讲 》 第
DOI : 10. 13391 /j . cnki . i ssn. 1674 -7798. 1987. 03. 008
贵 州 教 育 学院 学 报
自然 科 学 版
9 断 手 第 三期 1
对 数 学 方 法 论 中R I 原 则 的探 讨
刘 奇 光
M
在 学 习 徐 利 治 先 生 的 《 数 学 方 法 论选 讲 》 的 基 础 上
、
。
关系
描 述 这 个过 程 的
X, = 甲
。
(
X
) 分 别 是 关 系结 构 s
* S 中 的 数 学 对 象 ( 浪p 可 表述 为数 学 概 念 的 事物 ( 对
。
象 ) 个体 例子
.
0 个 例 了 来 说 明 数 学 中 R M I原 则 的 应 用 ) 作者 还举 了 1
,
为 了 深 入 探 讨 作 者所 简 述
竺(
意
思 是 x 具有 性 状 R k 系
R
要 应 用 R M I原 则 来 确立 R
皇
,
,
当然要涉 及到 与 尽
奎有关
,
的其 它关
数学分析的方法及例题选讲--分析学的思想、方法与技巧--徐利治
数学分析的⽅法及例题选讲--分析学的思想、⽅法与技巧--徐利治1.(分部求和法)设s k=a1+a2+⋯+a n(k=1,2,3,…),则n∑k=1a k b k=n−1∑k=1s k(b k−b k+1)+s n b n.证明：只要将a1=s1,a k=s k−s k−1(k=2,3,…)代⼊等式的左边，就可以看出等式是成⽴的.2.设s n=a1+a2+⋯+a n→s(n→∞)n∑k=1a k b k=sb1+(s n−s)b n−n−1∑k=1(s k−s)(b k+1−b k).提⽰：上⾯左边出现的s实际是可以消去的.3.(Abel引理)若对于⼀切n=1,2,3,…⽽⾔，b1⩾b2⩾⋯⩾b n⩾0,m⩽a1+a2+⋯+a n⩽M.则有b1m⩽a1b1+a2b2+⋯+a n b n⩽b1M.证明：应⽤命题1，并注意m⩽s k⩽M,b k−b k+1⩾0,便得到n∑k=1a k b k⩽n∑k=1M(b k−b k+1)+Mb n=Mb1,n ∑k=1⩾n∑k=1m(b k−b k+1)+mb n=mb1.4. [Abel]设对⼀切n⽽⾔,f n⩾f n+1⩾0.⼜设A=\mathrm{max}(\verb"|"a_1\verb"|",\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|",\dots,\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|"+\dots+\verb"|"a_n\verb"|").则得\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant Af_1.证明：设s_m=\sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|",由分部求和法有\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant \sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|"f_n=\sum_{n=1}^{m-1}s_n(f_n-f_{n+1})+s_mf_m\leqslant \sum_{n=1}^{m-1}A(b_n-b_{n+1})+Af_m=Af_1.5. 设a_1,a_2,\dots,w_1,w_2,\dots为任意实数或复数.⼜设A代表加式\verb"|" \sum_{n=1}^pa_n\verb"|",(p=1,2,\dots,m)中的最⼤值，则得\verb"|"\sum_{n=1}^ma_nw_n\verb"|"\leqslant A\{\sum_{n=1}^{m-1}\verb"|"w_{n+1}-w_n\verb"|"+\verb"|"w_m\verb"|"\}.6. [克朗内克]设\phi(n)>0,\phi(n)\uparrow \infty(n\rightarrow \infty).⼜设\sum a_n为收敛.则有\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=o(\phi(n))(n\rightarrow \infty).证明：本题可⽤分部求和法（命题2）来证.令N表任⼀固定的正整数⽽n>N+2.按假设，s_n-s=o(1)(n\rightarrow \infty),显然可书\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=(s_n-s)\phi(n)+s\phi(1)-\sum_{k=1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}=o(\phi(n))+O(1)-\sum_{k=1}^N(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}-\sum_{N+1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}.故对于任⼀固定N⽽⾔，我们有\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+O(1)+O(1)+\varepsilon_N\sum_{N+1}^{n-1}\{\phi{k+1}-\phi(k)\},(n\rightarrow \infty)此处\varepsilon_N\rightarrow 0(N\rightarrow \infty),因此对于任意预先给定的\varepsilon>0(不论如何⼩),总可选N充分⼤，使得\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon_N\phi(n)\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon\phi(n).由于上式左端与\varepsilon并⽆关系，⾃然可令\varepsilon\rightarrow 0.故命题得证.Loading [MathJax]/extensions/TeX/verb.js。
数学中的现代柏拉图主义与有关问题
On the Neoplatonism in Mathematics and Some
Related Questions
作者： 徐利治
作者机构： 大连理工大学数学科学研究所，辽宁大连116024
出版物刊名： 数学教育学报
页码： 1-5页
主题词： 数学真理 现代 柏拉图主义 本体论 认识论 抽象思维
摘要：数学中的"柏拉图主义"历史悠久,影响深远.现代柏拉图主义的重要观点主要表现在本体论与认识论两个方面.从科学反映论的观点来看,应对新柏拉图主义作两点较重要的修正和补充.一是,随着数学对象的不断被创造,与之相关的"数学真理"也是可以不断地诞生出来的.这个修正的要义是,有些数学真理是被创造出来的,而新、老柏拉图主义的数学发现观,必须融入数学发明观.二是,现代柏拉图主义者只是宏观地认识到了数学真理认识的不完全性.而事实上,人脑所能进行的概念思维,都只能是"单相性"的抽象思维.每一个数学概念都必然是"单相性抽象"的产物.故从本体论着眼,数学理念世界是不可能完全的.现代柏拉图主义很接近科学反映论,故对数学教育工作者也有重要启示作用.。
有关无限观的三个问题
有关无限观的三个问题
徐利治;郭锡伯
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2009(12)1
【摘要】2008年出版的<数学与无穷观的逻辑基础>第三篇(无穷观问题探索)中,有三个引人注目的内容.一是论述现代分析数学中存在着"新贝克莱悖论";二是证明了令人惊奇的定理:"任何可数无穷集合都是自相矛盾的非集";三是质疑了Cantor 关于实数不可数的对角线证明方法的合理性.本篇评述立足于经典分析数学与Cantor-Zermelo-Halmos素朴集合论的理论基础上,经由分析指出了上述三项内容中的数学论证与推理是不能成立的,并解释了书中出错的主要原因.
【总页数】4页(P3-6)
【作者】徐利治;郭锡伯
【作者单位】大连理工大学数学研究所,大连,116024;北京信息科技大学理学院,北京,100192
【正文语种】中文
【中图分类】O1-0;O143
【相关文献】
1.无穷观问题的研究(Ⅴ)--一个兼容实无限与潜无限的公理集合论系统APAS [J], 肖奚安;宋方敏;顾红芳;宫宁生;朱梧槚
2.论社会主义核心价值观中友善观的三个基本问题 [J], 赵宇佳;张卫平
3.半无限横观各向同性介质中三维裂纹问题数值分析 [J], 王炳军;肖洪天;孙凌志;岳中琦
4.旋出无限风景——观综合实践活动课《玩旋转拉盘提有趣问题》有感 [J], 黄吉鸿;李海忠
5.论恩格斯发展观的无限问题——也谈其与黑格尔辩证法的差异 [J], 荣伟杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
文献综述要求知识讲解
怎样撰写文献综述文献综述，是指作者围绕某一课题，从大量原始研究论文中的数据、资料和主要观点进行归纳整理、分析提炼而写成的论文。
综述属三次文献，专题性强，涉及范围较小，具有一定的深度和时间性，能反映出这一专题的历史背景、研究现状和发展趋势，具有较高的情报学价值。
1.基本解释文献综述是在确定了选题后，在对选题所涉及的研究领域的文献进行广泛阅读和理解的基础上，对该研究领域的研究现状（包括主要学术观点、前人研究成果和研究水平、争论焦点、存在的问题及可能的原因等）、新水平、新动态、新技术和新发现、发展前景等内容进行综合分析、归纳整理和评论，并提出自己的见解和研究思路而写成的一种不同于毕业论文的文体。
它要求作者既要对所查阅资料的主要观点进行综合整理、陈述，还要根据自己的理解和认识，对综合整理后的文献进行比较专门的、全面的、深入的、系统的论述和相应的评价，而不仅仅是相关领域学术研究的“堆砌”。
文献综述是研究者在其提前阅读过某一主题的文献后，经过理解、整理、融会贯通，综合分析和评价而组成的一种不同于研究论文的文体。
[1] 检索和阅读文献是撰写综述的重要前提工作。
一篇综述的质量如何，很大程度上取决于作者对本题相关的最新文献的掌握程度。
如果没有做好文献检索和阅读工作，就去撰写综述，是决不会写出高水平的综述的。
好的文献综述，不但可以为下一步的学位论文写作奠定一个坚实的理论基础和提供某种延伸的契机，而且能表明写本综述的作者对既有研究文献的归纳分析和梳理整合的综合能力，从而有助于提高对学位论文水平的总体评价。
在《怎样做文献综述——六步走向成功》中，劳伦斯·马奇和布伦达·麦克伊沃提出了文献综述的六步模型，将文献综述的过程分为六步：选择主题、文献搜索、展开论证、文献研究、文献批评和综述撰写。
文献综述根据研究的目的不同，可分为基本文献综述和高级文献综述两种。
基本文献综述是对有关研究课题的现有知识进行总结和评价，以陈述现有知识的状况；高级文献综述则是在选择研究兴趣和主题之后，对相关文献进行回顾，确立研究论题，再提出进一步的研究，从而建立一个研究项目。
漫谈宏观的与微观的数学方法论
漫谈宏观的与微观的数学方法论
徐利治;董加礼
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1995(0)4
【摘要】漫谈宏观的与微观的数学方法论徐利治，董加礼（大连理工大学，大连１１６０２４）（吉林工业大学．长春１３００２５）数学方法论的论题很多，这里仅就宏观的方法论与微观的方法论以及发明创造的大脑活动规律三个小题目加以剖析和论述，借以探求某些规律，它或许对今后的...
【总页数】5页(P1-5)
【作者】徐利治;董加礼
【作者单位】[1]大连理工大学;[2]吉林工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O119
【相关文献】
1.探索宏观政策的微观影响拓展会计研究领域——“新经济形势下宏观政策的微观影响”研讨会综述 [J], 许海晏;王静;陈晓梅
2.有关微观数学方法论的几个问题 [J], 胡万良
3.微观数学方法论简介 [J], 郝宏彦
4.微观数学方法论简介 [J], 郝宏彦
5.从微观到宏观漫谈肿瘤免疫检查点抑制剂疗效的影响因素 [J], 杜成;金山琇;谢晓冬
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早 在古 希腊 时代 ， 亚里 士多德 就明确 提 出了实无 限和潜无 限 的区分 ， 认 为实无 限并不 具有 任 并 何 实在 性． 此后 ， 于无 限 的争 论便成 为推 动整个 数学 和数 学哲 学 发展 的一种 内在 根本 动 力 ， 学 对 数 家 和数 学哲学 家也 因此 被划分 成 了实无 限和潜无 限两个 阵 营． 徐利 治 从辩 证 唯 物 主义 的立 场 出发
摘 要 对 无 限 的认 识 是 数 学 哲 学 的 一 个 核 心 问题 ． 徐利 治 对 无 限 进 行 了深 入 研 究 ， 立 了超 穷 过 程 论 ， 据 创 并
此解 决 了 数理 哲 学 中关 于无 限 的许 多 疑 难 问题 ， 数 学 和哲 学 两 方 面 大 大 丰 富 了人 们 对 于 无 限 的 认 识 ． 从 关 键 词 徐 利 治 ； 学 ； 限 ； 穷 过 程 论 ； 续 统 假 设 ； 完 全 定 理 ． 哲 无 超 连 不 中 图分 类 号 Ｇ Ｏ０ ２ ４ 一３
Ａ＆Ｍ 大学 客座 教授 ． 徐利 治教授是 国内首批博 士 生 导师 ， 曾任 国务 院 学位 委员 会 委 员 、 中国数 学
会 组合 与 图论专 业委员 会 主任和 中 国计 算数 学学会 与运筹 学会常 务理事 等职 ． 他创 办 了《 数学 研究
与评论 》 杂志 ， 曾担任《 并 逼近论 及其应 用 》 志 的主编． 杂 徐利治 的研究涉及分析数学 、 组合数学、 计算方法 、 数学基础和数学方法学等众 多领域． 他遵循“ 方法 引路在先 ， 哲学探索在后”的研究 习惯 ， 坚持 以“ 会当凌绝顶 ， 一览众 山小”的眼光重新 审视前人对 于无 限 的论述 ， 把数学实践和哲学思维有机地结合起来 ， 从而具备了大家的风范， 成为了数学家 中非常罕见 的哲 学家． 作为一个数学家 中的哲学家 ， 他的研究兴趣必然会指 向无 限这一人类认识领域 中最根本和最 困难
－ 收 稿 日期 ｌ０ ６ １ １ ． ２ ０ — ０— ２
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高 等 数 学 研究
２０ ０ ８年 ７ 月
徐 利 治利用不 断延 伸原理 与相对穷 竭原理对 潜无 限与 实无 限作 了具 体 的界定 ， 而 使 得 长期 从
停 留于哲学 思辨 之上 的关于两者 的争论 在数学领 域 中得到 了具 体 的表 述． 他进 一 步揭 示 出 了无 限
创 造性 地提 出了超 穷过 程论 ， 潜无 限和实 无 限的争论提 出 了一种 新 的解决 方案 ． 对
１ １ 超 穷 过 程 论 的 基 本 原 理 ．
徐利治建立超穷 过程论 的出发 点是采 用过程构 造 的观 点来研 究无 限集合 的形 成方 式 ， 就是把 也 数学上 的许 多无 限集合都看作是 有各种超穷 过程所 造成 的总体． 抽象 概括 出不 变准则 是无穷 过程 他 得以进行 ， 并最终形 成无穷总体 的根本 原 因 ， 并进一 步以不 变准则及 其决 定 的延伸规 律 为 出发 点 ， 具
徐利 治对 辩证法 的一 次杰 出运 用 ， 它准 确刻 画了数学无 限 的矛盾本 性 ， 长期存 在 的关 于潜无 限和 给 实无 限 的争论找 到 了一个解决 问题 的新 方案． 谓超 穷过 程不 可超 越 原理 是 指 ； 对 于 任 意 已知 的 所 “
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Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬＥ ＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｓ Ｃ
高等 数 学 研 究
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论徐 利 治 对 数 理哲 学 中无 限 问题 的研 究
武 海 蓬 王 剑 （ 东师 山 范大学数学 科学学院 济南 ２０１） ５ ４ ０
体刻 画了无穷 过程得 以形成 的两个 基本 原理 ： 不断延伸原理 （Ｐ ｅ 广义延伸规 律） 相对穷 竭原理 （ 和 即狭
义延伸规律 ）并在 Ｈｅｅ 对消极无 限的批判 中找 到了两个 原理 的哲 学基础［ ． ， ｇｌ ¨ 徐利治 指 出： 断延伸 不
原理恰好是 消极无 限观念在超穷过程论 中的表现 ， 而消极无限恰好是不 断延伸 原理 的哲 学基础 ． 相对
徐 利 治教授 （ ９ ０一） 我国著 名 的 数 学 家 、 学 教育 家 、 学方 法 论 专 家 和 数 学哲 学 家． １２ 是 数 数 他 １４ ９ ５年毕 业 于西南 联合 大学 ， ９ ９年赴英 国亚贝丁 与剑桥 大学 留学 ， １４ 回国后 历任清 华大学 副教 授 、
吉林 大学 教授 、 中理 工 大学 数 学 系 主任 、 连理 工 大 学应 用 数 学研 究 所 所 长 、 国得 克 萨 斯 州 华 大 美
的两个 本质 特性 ： 即双相无 限性 （ 于一 个无 穷 总体 而 言 ）以及 超穷 过程 的层 次不 可超 越 原理 （ 对 对
于不 同层次 的无穷 总体而 言） 所谓 双 相无 限性是 指 ： 无 限过 程 乃是 真无 限 与潜 无 限 的对 立 统 一 ． “ 体， 两种 无 限概 念 只不 过是对 同一无 限对象 的两个侧 面 的摹写 或反 映． ［ ”２ 相无 限概 念 的提 出是 双
穷竭 原理恰 好是真正 的无 限在超 穷过 程论 中的表 现 ， 而真 正 的无 限恰 好 是 相对 穷 竭原 理 的哲学 基 础ｕ ． 由于不 断延伸原 理是一 个关于量 变 的原理 ， 而相对穷竭 原理却 是一个 导致质 变的原理 ， 两者 是 相互对立 的、 相互联系的一对矛盾 ， 因此它们就揭示 了超穷过程具 体形 成 的质 量互 变的矛盾本质．
的研究对象 ， 从而他对无限做 出杰 出的贡献就是一种必然． 他没有停 留于无 限与有限的矛盾去认识无限 ，
而是熟练地运用辩证法 ， 紧紧抓住潜， 数理 哲学 中关 于 对 无 限的问题做出了精辟论述 ， 从而在数学和哲学两方面大大丰富了人们对无 限的认识．