上海市徐汇区2020届高三一模数学试卷
2020年上海市高三数学一模分类汇编：二项式定理
3（2020徐汇一模）. 二项式11(31)x -的二项展开式中第3项的二项式系数为
4（2020松江一模）. 252
()x x
+的展开式中4x 的系数为
5（2020奉贤一模）. 在252()x x -二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答） 6（2020宝山一模）. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为
6（2020杨浦一模）. 已知7(1)ax +二项展开式中3x 的系数为280，则实数a = 6（2020普陀一模）. 631(1)(1)x x +
-的展开式中含2x 项的系数为 （结果用数值表示）
6（2020浦东一模）.
在6(x 的二项展开式中，常数项为 7（2020崇明一模）. 二项式62()x x +的展开式中常数项的值等于
*
7（2020虹口一模）. 设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋅⋅⋅+，则5a =
7（2020闵行一模）. 已知2824160128(1)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = （结果
用数字表示）
13（2020青浦一模）.
使得(3n x +（*n ∈N ）的展开式中含有常数项的最小的n 为
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
15（2020静安一模）. 若展开(1)(2)(3)(4)(5)a a a a a +++++，则展开式中3a 的系数等于（ ）
A. 在1、2、3、4、5中所有任取两个不同的数的乘积之和
B. 在1、2、3、4、5中所有任取三个不同的数的乘积之和
C. 在1、2、3、4、5中所有任取四个不同的数的乘积之和
|
D. 以上结论都不对。
上海2020高三数学一模分类汇编-平面向量、复数(详答版)
2020年一模汇编——平面向量一、填空题 【徐汇2】 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为【答案】3【解析】向量a →在向量b →方向上的投影为3cos 31a ba ba a a bbθ→→→→→→→→→⋅⋅=⨯===⨯【闵行5】在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =【答案】2133a b + 【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 【长宁，嘉定，金山6】己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 【答案】6π【解析】向量的夹角公式23cos 222221212121=+⋅++=y x y x y y x x θ，6πθ=∴【静安7】如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=【松江7】已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =【答案】32-【解析】()212,8a b m →→-=-，又2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，()()12380m m ∴---=，解得：32m =-【长宁，嘉定，金山10】已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x【答案】-3【解析】由题意得()()1;b c ma b xa yb y b m x a +=⇒++=+=-即1y =-，()()=1a c na a xa yb x a n y b +⇒++⇒+=-；即1x =- 23x y ∴+=-【虹口10】如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 【答案】1-【解析】以O 为坐标原点OA 为x 轴OB 为y 轴建立直角坐标系，可得(0,0)(1,0)(0,1)()01O A B OD AB OA AD AB OA AB AD AB AB AD AD AB OD AB OA AB →→→→→→→→→→→→→→→==+⊥∴=∴==-、、【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________. 【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+2224PC CM PC =-=-，max ||22222PC OC =+=+，min ||62PC OB OC =-=-，∴2[1046,1282]PC ∈-+，即[646,882]PM PN ⋅∈-+，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020年上海市徐汇区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
徐汇区高三数学 本卷共4页 第页2020年上海市徐汇区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）2019.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合}2|{>=x x M ，集合{|1}N x x =≤，则MN ＝_______________．2．向量a =（3,4）在向量b =（1,0）方向上的投影为_______________． 3 ．二项式()1131x -的二项展开式中第3项的二项式系数为_____________． 4．复数1+34ii+的共轭复数为___________． 5．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是__________________． 6. 已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf． 7．已知x R ∈，条件p ：x x <2，条件q ：1(0)a a x≥>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .8．已知等差数列的公差3d =，表示的前n 项和，若数列{}n S 是递增数列，则的取值范围是_________.9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为_____________．10．过抛物线2:2C y x =的焦点FC 于点M （M 在x 轴的上方），l为抛物线C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为___________．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32nn n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是 .12．已知函数()24+1,1610,1,x x f x x x x ->-⎧=⎨++≤-⎩关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集是()()123,,x x x +∞.若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是___________．{}n a n S {}n a 1a徐汇区高三数学 本卷共4页 第页二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。
2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.设θ∈R，则“θ=”是“sinθ=”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）A. 16B. 16C.D.3.对于函数y=f（x），如果其图象上的任意一点都在平面区域{（x，y）|（y+x）（y-x）≤0}内，则称函数f（x）为“蝶型函数”，已知函数：①y=sin x；②y=，下列结论正确的是（）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数”4.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n≥S3，则的值不可能为（）A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为______．6.已知全集U=R，集合A={y|y=x-2，x∈R，x≠0}，则∁U A=______．7.若实数x，y满足xy=1，则2x2+y2的最小值为______．8.若数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*），则a n=______．9.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=2x，它的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同，则此双曲线的方程是____________．10.在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，=（3，1）是l的一个法向量．已知数列{a n}满足：对任意的正整数n，点（a n+1，a n）均在l上，若a2=6，则a3的值为______．11.已知（2x2-）n（n∈N*）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）12.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：A+成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为______人．13.已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=lg（x+1），令函数g（x）=f（x）（x∈[1，2]），则g（x）的反函数为______．14.已知函数y=sin x的定义域是[a，b]，值域是[-1，]，则b-a的最大值是______．15.已知λ∈R，函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是______．16.已知圆M：x2+（y-1）2=1，圆N：x2+（y+1）2=1．直线l1、l2分别过圆心M、N，且11与圆M相交于A，B两点，12与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆=1上任意一点，则+的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1．（1）正方体ABCD-A′B′C′D'中哪些棱所在的直线与直线A′B是异面直线？（2）若M，N分别是A'B，BC′的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．18.已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）≤-1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．19.我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角∠AOB=，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．（1）求海域ABCD的面积；（2）现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点20海里．判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由．20.已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的长轴长为2，右顶点到左焦点的距离为+1，直线l：y=kx+m与椭圆Γ交于A，B两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，，求k的值．（3）若原点O到直线l的距离为1，=λ，当时，求△OAB的面积S 的范围．21.已知项数为n0（n0≥4）项的有穷数列{a n}，若同时满足以下三个条件：①a1=1，a=m（m为正整数）；②a i-a i-1=0或1，其中i=2，3，……，n0；③任取数列{a n}中的两项a p，a q（p≠q），剩下的n0-2项中一定存在两项a s，a t（s≠t），满足a p+a q=a s+a t，则称数列{a n}为Ω数列．（1）若数列{a n}是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{a n}是否是Ω数列，并说明理由．（2）当m=3时，设Ω数列{a n}中1出现d1次，2出现d2次，3出现d3次，其中d1，d2，d3∈N*．求证：d1≥4，d2≥2，d3≥4；（3）当m=2019时，求Ω数列{a n}中项数n0的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分条件、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数，属于简单题.根据定义结合三角函数直接判断即可.【解答】由θ=，则有sinθ=，即“θ=”是“sinθ=”的充分条件，由sinθ=，得：θ=2kπ+，或θ=2kπ+，即“θ=”不是“sinθ=”的必要条件，即“θ=”是“sinθ=”的充分不必要条件．故选：A．2.【答案】C【解析】解：正方体的棱长为2，则其内切球的半径r=1，∴正方体的内切球的体积，又由已知，∴．故选：C．由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由y=sin x，设g（x）=sin x+x，导数为cos x+1≥0，即有x＞0，g（x）＞0；x＜0时，g（x）＜0；设h（x）=sin x-x，其导数为cos x-1≤0，x＞0时，h（x）＜0，x＜0时，h（x）＞0，可得（y+x）（y-x）≤0恒成立，即有y=sin x为“蝶型函数”；由（+x）（-x）=x2-1-x2=-1＜0，可得y=为“蝶型函数”．故选：B．由g（x）=sin x+x，h（x）=sin x-x，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断①；由平方差公式，化简结合“蝶型函数”．可判断②．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，都有S n≥S3，∴，∴，且∴-3d≤a1≤-2d，∴当==2时，a1=-3d．成立；当==时，a1=-d．成立；当==时，a1=-2d．成立；当==时，a1=-d．不成立．∴的值不可能为．故选：D．由等差数数列前n项和公式推导出-3d≤a1≤-2d，由此能求出的值不可能为．本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.【答案】2【解析】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6.【答案】（-∞，0]【解析】解：A=（0，+∞）；∴∁U A=（-∞，0]．故答案为：（-∞，0]．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算．7.【答案】2【解析】解：∵xy=1，∴2x2+y2≥2=2，（当且仅当2x=y=±时，取等），故答案为：2．根据基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用．属基础题．8.【答案】-1【解析】解：数列{a n}的通项公式为a n==-，则a n=（-）=-1．故答案为：-1．利用行列式求出数列的通项公式，然后利用数列的极限求解即可．本题考查数列的极限的求法，通项公式的求法，考查计算能力．9.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线与抛物线的性质及几何意义，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点（5，0），根据渐近线方程，可得双曲线b=2a，根据，联立解方程即可得到a，b的值，由此写出双曲线方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线为y=2x，可得b=2a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点相同，可得=5，解得a=，b=2，则双曲线的方程为：．故答案为：．10.【答案】-2【解析】解：直线经过坐标原点，=（3，1）是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．故答案为：-2．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为-1求得r，则答案可求．本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．12.【答案】15【解析】解：设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，则70×5+67x+64y+61z=64×（5+x+y+z），即z-x=10，又x，y，z∈N，即当且仅当x=0，y=0，z=10时，5+x+y+z取得最小值15，取得A成绩的0人，取得B+成绩的0人，取得B成绩的10人，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，故答案为：15可设取得A成绩的x人，取得B+成绩的y人，取得B成绩的z人，由题意可得：70×5+67x+64y+61z=64×（5+x+y+z），解得：z-x=10，又x，y，z∈N，故当且仅当x=0，y=0，z=10时，5+x+y+z取得最小值15，故得解．本题考查了实际问题通过数学问题解决，考查了阅读理解及数学建模的能力，属中档题．13.【答案】g-1（x）=3-10x（0≤x≤lg2）【解析】解：当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，∴f（x）=f（-x）=lg（-x+1），当1≤x≤2时，-1≤x-2≤0，∴f（x）=f（x-2）=lg[-（x-2）+1]=lg（-x+3）．∴g（x）=lg（-x+3）（1≤x≤2），∴-x+3=10g（x），∴x=3-10g（x），故答案为：g-1（x）=3-10x，（0≤x≤lg2）先根据偶函数性质求出x∈[-1，0]上的解析式，再根据周期为2求出x∈[1，2]上的解析式，最后求出反函数．本题考查了反函数，属基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了正弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．根据函数y=sin x，令≤a≤，要使b-a的最大值，结合三角函数的图象可得b=，可得答案；【解答】解：函数y=sin x，令≤a≤，要使b-a的最大值，可知b的最大值为：b=，∴b-a的最大值为；故答案为：15.【答案】（1，3]∪（4，+∞）【解析】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+3的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，则1＜λ≤3或λ＞4，即λ的取值范围是：（1，3]∪（4，+∞）故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+3的图象，结合图象分析可得答案．本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.16.【答案】8【解析】解：由题意可得，M（0，1），N（0，-1），r M=r N=1，=（）•（）==，=（）•==-1，∵∵P为椭圆上的点，∴=+-2=2（x2+y2）=由题意可知，-3≤x≤3，∴8≤，故答案为：8．由题意可知，=，=-1，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解本题主要考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．17.【答案】解：（1）正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线A′B是异面直线的棱所在直线有：AD，B′C′，CD，C′D′，DD′，CC′，共6条．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，则A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），M（1，，），N（），B（1，1，0），C（0，1，0），=（-，0），=（-1，0，0），设异面直线MN与BC所成角的大小为θ，则cosθ===，∴θ=45°，∴异面直线MN与BC所成角的大小为45°．【解析】（1）利用列举法能求出直线A′B是异面直线的棱所在直线．（2）M，N分别是A'B，BC′的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC所成角的大小．本题考查异面直线的判断，考果异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18.【答案】解：（1）x的不等式f（x）≤-1，即为≤-1，即为≤0，当a=-1时，解集为{x|x≠-2}；当a＞-1时，解集为（-2，0]；当a＜-1时，解集为（-∞，-2）∪[0，+∞）；（2）f（x）==a+，由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，可得-2-2a＞0，解得a＜-1．即a的范围是（-∞，-1）．【解析】本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．（1）由题意可得≤0，对a讨论，可得所求解集；（2）求得f（x）==a+，由反比例函数的单调性，可得-2-2a＞0，解不等式即可得到所求范围．19.【答案】解：（1）∵∠AOB=，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，AB=100∴AD=BC=20，OA=OB=AB=100，∴OD=OA+AD=100+20=120，∴S ABCD=•π（OD2-OA2）=π（1202-1002）=（平方海里），（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即（x-100）2+y2=7600…①，点P也在圆A上，即（x-50）2+=1600…②；由①②组成方程组，解得或；又区域ABCD内的点满足，由302+=3600＜10000，∴点（30，30）不在区域ABCD内，由902+=15600＞14400，∴点（90，50）也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．【解析】（1）利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积；（2）由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD 内．本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意可知，，于是得到，因为右顶点到左焦点的距离为，所以，c=1，则，因此，椭圆Γ的方程为；（2）当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为（1，0），则m=1，直线l的方程为y=kx+1，将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得（2k2+1）x2+4kx=0，解得，，所以点B的坐标为，由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为，由于，所以，点N的坐标为，将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得；（3）由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，m2=k2+1．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，由韦达定理可得，，=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）====，由于，即，解得，线段AB的长为====，所以，．因此，△OAB的面积S的取值范围是．【解析】（1）先根据已知条件可求出a、c的值，结合a、b、c的值可得出b的值，进而可求出椭圆Γ的标准方程；（2）先得出直线l的方程为y=kx+1，将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标，利用中点坐标公式可得出点M的坐标，根据已知条件可得出点N的坐标，再将点N的坐标代入椭圆的方程，即可求出k的值；（3）利用原点O到直线l的距离可得出m2=k2+1，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入λ，结合λ的取值范围可得出k2的取值范围，并求出线段AB的长度的表达式，可求出|AB|的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）若数列{a n}：1，2，3，4，5，6是Ω数列，取数列{a n}中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项a s，a t（s≠t），使得1+2=a s+a t，故数列{a n}不是Ω数列；（2）若d1≤3，对于p=1，q=2，若存在2＜s＜t，满足a p+a q=a s+a t，∵2＜s＜t，于是s≥3，t≥4，故a5≥a2，a t＞a1，从而a s+a t＞a2+a1，矛盾，故d1≥4，同理d3≥4，下面证明d2≥2：若d2=1，即2出现了1次，不妨设a k=2，a1+a k=a s+a t，等式左边是3，等式右边有几种可能，分别是1+1或1+3或3+3，等式两边不相等，矛盾，于是d1≥2；（3）设1出现d1次，2出现d2次…，2019出现d2019次，其中d1，d2，…，d2019∈N*，由（2）可知，d1≥4，d2019≥4，且d2≥2，同理d2018≥2，又∵d3，d4…，d2017∈N*，故项数n0=d1+d2+…+d2019≥2027，下面证明项数n0的最小值是2027：取d1=4，d2=2，d3=d4=…=d2017=1，d2018=2，d2019=4，可以得到数列{a n}：1，1，1，1，2，2，3，4…，2016，2017，2018，2019，2019，2019，2019，接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1，1，则其余的项中还存在2个1，满足1+1=1+1，同理，若任取的两项分别是2019，2019也满足要求，若任取的两项分别是1，2，则其余的项中还存在3个1，1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018，2019也满足要求，若任取a p=1，a q≥3，则在其中的项中取a5=2，a t=a q-1，满足要求，同理，若a p≤2017，a q=2019也满足要求，若任取的两项a p，a q满足1＜a p≤a q＜2019，则在其余的项中选取a s=a p-1，a t=a q+1，每个数最多被选取了1次，于是也满足要求，从而，项数n0的最小值是2027．【解析】（1）根据Ω数列的定义判断即可；（2）根据Ω数列的定义证明即可；（3）先证明项数n0的最小值是2027：再证明上述数列是Ω数列，从而判断即可．本题考查了新定义问题，考查数列的证明以及转化思想，是一道综合题．。
2020 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 (解析版)
2020学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一.填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题题4分,第712题每题5分) 学生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 222lim 253n n nn n ∞→+=−+______________【答案】12【解析】2221121limlim 5325322n n n n nn n n n→∞→∞++==−+−+2.已知(2,3),(1,),//,a m b m a b m =−−=−=若则______________【答案】1−或3【解析】()//23013a b m m m or ⇒−−=⇒=−3.不等式1032x−>−的解集为______________ 【答案】23x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】1223323x x x −=−+>⇒>−4.在6(1)x −的二项展开式中,中间项的系数是______________ 【答案】20−【解析】中间项为()333346120T C x x =⋅⋅−=−5.设集合{}{}(,)4,,(,)628,,xxA x y y x RB x y y x R A B ==∈==⨯−∈⋂=∣∣=______________ 【答案】()(){}1,4,2,16【解析】462846280x x x x =⨯−⇒−⨯+=令2x t =，则()()2680240t t t t −+=⇒−−=解得24t or =，所以22412x or x or =⇒=，()(){}1,4,2,16A B ∴⋃=6.函数arccos ,[1,0]y x x =∈−的反函数是1()f x −==______________【答案】cos ,2x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】()1cos ,2f x x x ππ−⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦7用数学归纳法证明()2511222n n N −*++++∈能被31整除时,从k 到k+1添加的项数共有______________项(填多少项即) 【答案】5【解析】()()551525354122222k k k k k f k f k +++++−=++++，共5项 8.如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________ 【答案】3π【解析】圆锥的侧面展开是半圆，半圆的半径为母线l ，设圆锥的底面半径为r则半圆的弧长22l l r r ππ=⇒=， 所以母线与底面所成角的余弦值为1cos 23r l παα==⇒= 9.小王同学有4本不同的数学书,3本不同的物理书和3本不同的化学书,从中任取2本,则这两本书属于不同学科的概率为______________结果用分数表示 【答案】1115【解析】1111114343332101115C C C C C C P C ⋅+⋅+⋅==10.在Δ ,45,ABC A ∠=中M 是AB 的中点,若||||2AB BC ==,D 在线段AC 上运动,则DB DM ⋅的最小值为______________【答案】78【解析】45A ∠=︒，2AB BC ==，ABC ∴∆是等腰直角三角形取MB 的中点为E ，作EF AC ⊥，则sin 4EF AE A =⋅=，2CE ==所以4DE ⎡∈⎢⎣⎦， 则()()22217,448DB DM DE EB DE EM DE EB DE ⎡⎤⋅=++=−=−∈⎢⎥⎣⎦11 己知函数()(,)f x ax b a b R =+∈其中，对任意[0,1],? |()|1x f x ∈≤有，则(21)(21)a b ++的最小值为______________【答案】：9- 【解析】：1)(≤x f ,⎩⎨⎧≤+≤−≤≤−∴1111b a b 令z b a =++)12)(12（，()()412120≤+++≤a b ,令12,12+=+=b y a x 3121≤+=≤−b y xy z =∴根据线性规划图易判断∴9,1,2min −=−==z b a 4,21,21max ===z b a12.已知双曲线22Γ:145x y −=的左右焦点分别为F 、F2,直线与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方).若直线2,PF QF 的斜率均为k ,且四边形21PQF F的面积为，则k=______________ 【答案】：，【解析】：解析：由题意知)0,3(1−F ，)0,3(2F 1PF ∥2QF ,21QF PF 与直线∴也关于原点对称令直线21QF PF 、延长后与曲线交点为M N 、则四边形PQMN 为平行四边形QM F PQMN F PQF S S S 11221∆==∴平行四边形四边形设)3(:2−=x k y QF ,与曲线联立化简得:203624)45(2222=−−+−k x k x k 2222124512011k k k x x k QM −+⋅+=−+=∴2161k k d QM F +=−62045120621221=−+⋅=∴kk k S QMF 化简得050832924=+−k k解得⎪⎩⎪⎨⎧==2925222k k ，29252=k 时，直线与曲线交于两侧，此时交点不在x 轴上方，舍去。
上海市徐汇区达标名校2020年高考一月数学模拟试卷含解析
上海市徐汇区达标名校2020年高考一月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人2．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月3．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A 3B 5C 6D 5 4．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．2-B ．2C ．43-D ．435．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．50x y ±=D ．50x y ±=6．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 7．已知函数2,0()4,0x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B 43C ．1D ．29．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ）A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 210．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（ ）A ．{}1|0x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x >11．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1612．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市徐汇区2024届高三年级一模考试数学试卷(附答案)
上海市徐汇区2024届高三年级一模考试试卷数 学考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等 相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________． 2. 不等式11x>的解集是_____________. 3. 已知直线:2l y kx =+经过点(1,1)，则直线l 倾斜角的大小为_______________．4. 若实数,x y 满足2x y +=，则22x y +的最小值为______________.5. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为_________.6. 函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________.7. 已知1021001210(1)x a a x a x a x -=+++⋯+，则57139a a a a a ++++=___________.8. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________.9. 在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设(1,2,3)k k k I P B P C k =⋅=，则123I I I -+=___________.10. 某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽BC 为1米，则该设备能水平通过直角型过道的长AB 不超过______________米．11. 已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数a 的最大值为______________ .二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设12z z ∈C 、，则“12z z 、中至少有一个虚数”是“12z z -为虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是 ( )A.中位数B.平均数C.方差D.极差三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12q =，且满足449a b +=，求数列{}n n a b -的前n 项和n T .18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，某多面体的底面ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB⊥，1MA =，2AB PB ==.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角B PM D --的平面角的正弦值.19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备. 如图{}n a B所示，在某项运动赛事扇形场地OAB 中，2AOB π∠=，500OA =米，点Q 是弧AB 的中点，P 为线段OQ 上一点（不与点O ，Q 重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO ，PA ，PB .记APQ θ∠=，三条轨道的总长度为y 米． （1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的取值范围； （2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO 的长．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线的离心率为e .（1）若e =E经过点，求双曲线E 的方程；（2）若2a =，双曲线E 的左、右焦点分别为12F F 、，焦点到双曲线E，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若1MF =8，求12cos F MF ∠的值；（3）设圆22:4O x y +=，,k m ∈R . 若动直线:l y kx m =+与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A B 、时，总有2AOB π∠=，求双曲线E 离心率e 的取值范围．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若函数(),y f x x =∈R 的导函数(),y f x x '=∈R 是以(0)T T ≠为周期的函数，则称函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”.()2222:10,0x y E a b a b-=>>（1）试判断函数2y x =和sin y x =是否具有“2π性质”，并说明理由；（2）已知函数()y h x =，其中2()2sin (03)=++<<h x ax bx bx b 具有“π性质”，求函数()y h x =在[0,]π上的极小值点；（3）若函数(),y f x x =∈R 具有“T 性质”，且存在实数0M >使得对任意x ∈R 都有|()|f x M <成立，求证：(),y f x x =∈R 为周期函数.（可用结论：若函数(),y f x x =∈R 的导函数满足()=0,f x x '∈R ，则()()常数=f x C .）参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．[]2,2- 2 .()0,1 3.34π4. 25. 3006. 27. 512-8. 249.1 10. 2- 11. 2 12.49943773⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. B 14. A 15. D 16. C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+.（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.因为12q =，可得41332b b q ==，所以，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B = ， 所以PB ⊥平面ABCD .118222333P ABCD ABCD V S PB -=⋅=⨯⨯⨯=.（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又PB AB ⊥，PB BC ⊥.所以如图，建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(220)D ,,，(222)PD =-,,，(201)PM =-,,.设平面PDM 的法向量为()x y z m = ,,，则00PD PM m m ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,.令2z =，则1x =，1y =.于是(112)m = ,,.所以，平面PDM 的一个法向量为(112)m =,,. 平面PBAM 的一个法向量为(010)n =,,， 设二面角B PM D --的平面角为θ，所以cos cos 6m n m n m nθ=<>==⋅,.所以，二面角B PM D --的平面角的正弦值为6.19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为点Q 是弧AB 的中点，由对称性，知PA PB =，4AOP BOP π∠=∠=，又APO πθ∠=-，4OAP πθ∠=-，500OA =由正弦定理，得()sin sinsin 44APOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，500sin 4,sin sin AP OP πθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==所以，. 500sin 2sin cos 42sin sin y AP BP OP AP OP πθθθθθ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=++=+==所以，因为APQ AOP ∠>∠，所以4πθ>，13248AQO OAQ πππ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭， 所以5,48ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）法一：由（1）得：2cos sin y θθ-=+，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 记2cos sin t θθ-=，则sin cos 2t θθ+=，由辅助角公式可得：)2sin()1θϕθϕ+=⇒+=≤，解得t ≥，当t =时，可有5sin(1,6348ππππθθ⎛⎫+=⇒=∈ ⎪⎝⎭，等号可以取得． 故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =． 法二：由（1）得：2cos sin y θθ-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．记2cos sin t θθ-=，tan tan ,tan 2816x θππ5⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则由万能置换公式可得：2222123111132221x x x t x x x x x--+⎛⎫+===+= ⎪⎝⎭+，当且仅当3x =即3πθ=时等号成立． 故当3πθ=，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =． 法三：令()2sin cos sin fθθθθ+-=，5,48ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 由()212cos '0sin f θθθ-==，解得3πθ=，则有所以当3πθ=，即(2503OP =米时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值， 则()min 1f θ=+，三条轨道的最小值为+.故当3πθ=时，三条轨道的总长度最小，此时(2503OP =． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）由e =，得c =，又222c a b =+得22a b =,又双曲线E 经过点，有22211a b-=，所以21a =, 所以，双曲线方程为221x y -=.（2）由已知得22214x y b-=，渐近线方程为20bx y ±=，焦点坐标为(0)焦点到双曲线E=，所以b =，由双曲线定义知，24MF =，222128413cos 28416F MF +-∠==⨯⨯所以，.（3）因为直线:l y kx m =+与圆O 相切，且2R =2=，化简得2244m k =+,又2AOB π∠=，11221212(,),(,),0,0A x y B x y OA OB x x y y ⋅=+=则即，设则221212(1)()0k x x km x x m ++++=，（*） 联立2222222222222)201y kx mb a k x a kmx a m a b x y a b =+⎧⎪----=⎨-=⎪⎩得 (，则222212122222222(),a mk a m b x x x x b a k b a k-++==--代入（*） 得222222222(1)()2()0k a m b km a mk m b a k ⎡⎤+-++⋅+-=⎣⎦将2244m k =+代入，进一步化简得222222222(1)(44)0,440k a a b b a a b b ++-=+-=则，又222c a b =+，22222222224()4()8024a a c a c a cb a a +---+==>由，得，则ce a=>e的取值范围)+∞.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）2()=f x x 不具有“2π性质”.理由是：()2,(2)(0)40,(2)(0)πππ'''''=-=≠∴≠f x x f f f f ；法一：。
上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 (含答案解析)
上海市徐汇区2020届高考一模试卷数学一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝．2．向量在向量方向上的投影为．3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为．4．复数的共轭复数为．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：415．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．上海市2020届徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝{x|x≤1或x＞2} ．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．向量在向量方向上的投影为 3 ．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）＝＝＝，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）＝5×＝3，故答案为3；3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55 ．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，故答案为：55．4．复数的共轭复数为．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2 ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），即2≤|a|，∴a≤﹣2或a≥2，故答案为：a≤﹣2或a≥2．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．【解答】解：令arcsin（2x+1）＝即sin＝2x+1＝解得x＝故答案为：7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；因为条件q：≥a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以，所以0＜a≤1，故答案为：（0，1]．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：S n＝na1+．∵数列{S n}是递增数列，∴S n+1＞S n，∴（n+1）a1+×3＞na1+．化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840 ．【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9分2种情况讨论：①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，共784+56＝840；故答案为：840．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，当x＝时，解得y＝，设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，所以N（，）．所以NF的直线方程为，所以当M（）到直线的距离d＝＝．故答案为：11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是（）．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3，当n＝1时，，解得，当n＝3时，，整理得，①当n＝4时，，整理得，②由①②得：，所以，整理得，解得，所以：实数p的取值范围是（），故答案为：（）．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是[2﹣12，+∞）．【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象，x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，即为f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；∴x3＝；∴结合图象可得m＜0，当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，解得m＝﹣；当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，m＝﹣4．由直线y＝m（x+2）+2在y＝f（x）的上方，可得﹣4＜m＜﹣．∴m+4＞0，∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；故答案为：[2﹣12，+∞）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，故所求的直线方程为y＝﹣（x﹣1）即3x+5y+3＝0．故选：B．14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1：＝：2．则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．故选：C．15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|＜，即5＞或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故选：D．16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设＝x，∵3+4+5＝，∴，∴，同理可求得，∴．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．（2）如图所示：在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．依题意：AM＝，MN＝，AN＝，所以＝，所以面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．②当x＜a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝；在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．【解答】解：（1）依题意，数列{a n}的前10项为：，，，，，，，，，；（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，∴前10项和为：S10＝+++＝5；求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即＝2019，∴n∈（63，64），数列分母取慢2﹣64时，共有＝2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，∴数列{b n}前2019项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，S2019＝S′+＝1008，（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：＝1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1﹣）+（y﹣2）2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：+＝1，A（0，2）设P（（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1﹣）+（y﹣2）2＝（﹣+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（舍）；②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，综上a的范围：（2，2]．（3）a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y＝x+2⇒M （，0）则直线AQ：y＝+2⇒N（，0），MN为直径的圆过定点C（m，n）则，＝0，所以得定点（0，2）．。
2020年上海徐汇区高三一模数学试卷
2020年上海徐汇区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1.已知集合，集合，则 ．2.向量在向量方向上的投影为 ．3.二项式的二项展开式中第项的二项式系数为 ．4.复数的共轭复数为 ．5.已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得成立的实数的取值范围是 ．6.已知函数，则 ．7.已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．8.已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是 ．9.数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数为 ．10.过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为 ．11.已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是 ．12.已知函数关于的不等式的解集是，若，则的取值范围是 ．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ）．A.B.C.D.14.一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（ ）．A.B.C.D.15.若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.16.设是的垂心，且，则的值为（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.如图所示，圆锥的底面圆半径，母线．求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积．过点在圆锥底面作的垂线交底面圆圆弧于点，设线段中点为，求异面直线与所成角的大小．（1）（2）18.设函数，（为实数）．若为偶函数，求实数的值．设，求函数的最小值（用表示）．，（1）（2）19.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知．东北北景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到）求景点与景点之间的距离．（结果精确到）20.给正有理数、（，，，，，，，且和不同时成立），按以下规则排列：①若，则排在前面；②若【答案】解析:L集合，集合．或．解析:向量，，（1）（2）（3），且，则排在的前面，按此规则排列得到数列．（例如：，，，）依次写出数列的前项．对数列中小于的各项，按以下规则排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列，求数列的前项的和，前项的和．对数列中所有整数项，由小到大取前个互不相等的整数项构成集合，的子集满足：对任意的，，有，求集合中元素个数的最大值．（1）（2）（3）21.已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上的异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．若，判断椭圆是否为“圆椭圆”．若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围．若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．或1.2.则在方向上的投影为．3.解析:的二项展开式中第项为：，此项的二项系数为．故答案为：．4.解析:复数，共轭复数为．5.，，解析:因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，所以不等式等价为，即，所以或．故实数的取值范围为．6.解析:令，即，解得．故答案为：．7.解析:∵条件：，，，解得，∴条件：．条件：，，则，条件：，由是的充分不必要条件，则但，即，所以，故实数的取值范围为．8.解析:若数列是递增数列，也就是说，对于任意的正整数都有成立，即，∴，即，只需大于最大值即可，当时，取得最大值，∴，的取值范围为，故答案为：．9.解析:由题意知，个位数字和千位数字在下列个集合中取值：、、、、、，、，其中的中不能作千位数字，因此千位数字和百位数字的选法共有：种，随后十位和百位数字要选定千位和个位数字后剩余的个数字中选取，共有种，依分步乘法计数原理，所求四位数的个数为种．故答案为：．10.解析:∵直线的斜率为，∴，∵由抛物线的定义可得，∴，∴，∵，∴，∵抛物线，∴，∴，∵正三角形，∴到直线的距离为．解析:因为对任意，，当时，，解得，当时，，当为偶数时，则，故（为正奇数），当为奇数时，则，故（为正偶数），则 ，则由，即，即，解得，故实数的取值范围为，故答案为：．解析:此题转化为数形结合，即，画出大致图象，如下图：因为直线，则过定点，显然，则，则，11.12.消同理：，又因为，故只需过为的临界值，代入求得：，要符合题意，故，则，故，当且仅当时，取等号．解析:直线，，，则过点，且与直线有相同方向向量的直线方程为：，即，．故选．解析:设截后棱锥的高为，原棱锥的高为，由于截面与底面相似，一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为，，即比值为．故选．解析:将圆写成标准方程为：，圆心，半径．又由圆，可知圆心，半径为，又因为两圆没有公共点，所以两圆相离，或者两圆内含．消B 13.C 14.D 15.（1）①当两圆相离时，即，即，解得，又因为，所以．②当两圆内含时，即，即，解得．所以实数的取值范围为．故选．解析:∵，∴，所以大致图象，如图所示，设，则，则，则，根据面积比：，即：，又因为是垂心，根据，又因为，故解得：，，，则．故选．解析:因为，，D 16.（1），．（2）．17.侧（2）所以在中，，所以圆锥的体积，侧面展开图扇形的面积．方法一：以、、所在射线为轴、轴、轴建立坐标系，则有，，，，于是，，设向量与的夹角为，则，所以，异面直线与所成角大小为．方法二：取线段中点，连，则且，（或其补角）为异面直线与的夹角，，，∴，，（1）（2）（1），所以，异面直线与所成角大小为．解析:函数，（，为实数），∵函数为偶函数，∴，则，．函数，（，为实数），∵，①当时，，函数对称轴为，由函数在上单调递增，，②当时，，函数对称轴为，由，则函数在上单调递减，上单调递增，则，∵，由则，即，综上所述当时，函数的最小值为．解析:如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，（1）．（2）．18.（1）这条公路长．（2）景点与景点之间的距离约为．19.（2）（1）（2）东北北在中，，∴，∴，在中，，∴，，在中，，∴，，∴，∴景点向公路修建的这条公路约是．由题意可知，由（）可知，所以，∴，在中，，∴，∴景点与景点之间的距离约为．解析:，，，，，，，，，．显然的大小是以自然数顺序（从开始）排列，于是按题设规则排列，数列各项中分子与分母和为的为第一组，只有一个数；（1），，，，，，，，，．（2），．（3）．20.（3）（1）分子与分母和为的设为第二组，有两个数；分子与分母和为的设为第三组，有三个数，分子与分母和为的设第组，有个数，数列中小于的项在数列中第组中的倒数第个数，按题设规则排列得数列各项依次为：，，，，，，，，，，，，，，，其将此数列分母相同的各项分为一组，第组中各项为，，，，其和，数列为等差数列，通项为，前项和，设在第组，则有可取，∵，∴为第组的第个数，故，综上，，．，设，，，，则，，都不在中，设，则，，所以得，能否取到，我们构造，则集合的子集符合题设，所以集合中元素个数最大值为．解析:（1）是（2）．（3）．21.（2）（3）设，则，，，∵，∴仅在时，，∴椭圆是“圆椭圆”．设，则，．∵，关于的二次函数的对称轴为，∵椭圆为“圆椭圆”，故，即．，椭圆，设直线方程为，联立椭圆方程得，解得，不妨设，，则直线方程为，令，得，则，同理于是圆方程为，即令即，∴圆过定点．。
2020年上海市徐汇区高考数学一模试卷
A． − 30 10
B． − 5 5
C． − 6 6
D． − 70 14
三、解答题（本题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤。
17．（14 分）如图所示，圆锥 SO 的底面半径| OA |= 1，母线 SA = 3 ；
（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
A． 3x + 5y − 3 = 0
B． 3x + 5y + 3 = 0
C． 3x + 5y −1 = 0
D． 3x + 5y + 5 = 0
14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好为棱锥底面面积的一半，则截得的小棱
锥与原棱锥的高之比是（ ）
A．1:2
B．1:8
C． 2 : 2
D． 2 : 4
方）， l 为抛物线的准线，点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为_______.
11.
已知数列{an}的前 n 项和，对任意的 n ∈ N ∗ ， Sn
= (−1)n an
+
1 2n
+ n − 3 ，且
(a1 − p)(a2 − p) < 0 ，则实数 p 的取值范围是_________.
n
j
，则
mi ni
排在 m j nj
前面，按此规则排列得到数列{an}；
（1）依次写出数列{an}的前 10 项；
（2）对数列{an}中小于 1 的各项，按以下规则 Q 排列：①各项不做化简运算；②分母小
的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{bn} ，求数列{bn}
上海2020年高三数学 限时测试卷 系列03(徐汇中学卷)学生版
已知点
A(2
,
0)
，
B(2
,
0)
，动点 C
、
D
依次满足 |
AC
|
2
，
AD
1
( AB
AC )
．
2
（1）求动点 D 的轨迹方程；
（2）过点 A 作直线 l 交以 A 、 B 为焦点的椭圆于 M 、 N 两点，若线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 4 ，且直 5
线 l 与圆 x 2 y 2 1 相切，求该椭圆的方程；
（ 3）若 X 数 列 cn 满足 c1 2 ，c2 2
2
，cn
0 ，设数 列
1 的前 cn
n 项 和 为 Tn
．是 否 存 在 正 整 数
p,
q，
使 不 等 式 Tn pn q 1对 一 切 n N* 都 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 p, q 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由
2
倍，纵坐标缩小到原来的
1 2
倍后，得到的曲线的
焦点坐标为
.
7．疫情好转，小 P 在回家途中仍要经过 4 个志愿者关口，假设在各关口是否遇到测温是相互独立的，抽到测温的
概率都是 2 ，则他在回家路上到第三个关口时首次遇到测温的概率为 3
．（用最简分数表示）
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项 a1=1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，若
x a (1 )b, [0,1] ．已知向量 ON OA (1 )OB ，若不等式 MN k 对任意 [0,1] 恒成立，则
称函数 f (x) 在[a, b] 上“ k 阶线性近似”．若函数 y x 1 在 1,2上“ k 阶线性近似”，则实数的 k 取值范围
2020届上海市徐汇区高三上学期第一次模拟数学试题（解析版）
【点睛】
本题主要考查二项式系数公式，考查了组合数的运算，属于基础题．
8．复数 的共轭复数为________.
【答案】
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
9．已知 是定义在 上的偶函数，且它在 上单调递增，那么使得 成立的实数 的取值范围是_________
【答案】
【解析】利用函数是偶函数得到不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．
【详解】
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．
【详解】
根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线的方向向量及平行与斜率的关系，属于基础题．
2．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比，推导出相似比为1： ，由此能求出截得的小棱锥与原棱锥的高之比．
4．设 是 的垂心，且 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角形垂心性质及已知条件可求得 ， ，由向量的夹角公式即可求解．
【详解】
由三角形垂心性质可得， ，不妨设 x，
∵3 4 5 ，