逻辑思维训练6复合命题及其推理下-精品

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如果合同有效，那么甲方和乙方就应遵守合同。
如果用“p”表示“合同有效”，用“q”和“r”分别表示“甲方 应遵守合同”、“乙方应遵守合同”。
p→（q∧r）“如果p，则q 而且r”； （p→q）∧r “如果p则q，并且r”。
①在有括号时，先括号内，后括号外；
②在无括号时，¬ 最先，∧、∨ 最后。
逻辑思维训练
Logic and Critical Thinking
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第三节 命题逻辑的现代形式
一、多重复合命题和自然语言的符号化
一般步骤是：首先用p、q、r、s……等分别表示 各个简单命题（不同的简单命题用不同的命题变 项符号表示，同一个简单命题用同一个命题变项 符号表示）。
其次，按自然语言语句所表达的命题的逻辑含义 确定其中各个成分命题（简单命题）的先后配置 次序，为此可用括号“（”、“）”为其辅助符 号。
命题形式的这一特性，犹如数学的函数特性。 不同的是，数学中函数及其自变元的值是无穷多个实数，
而真值函数及其自变元的值仅取真、假二值； 因此，真值函数实际上就是复合命题的逻辑特性。
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n 个不同命题变项可能有的真假组合是2n（＝m）个。 对于每一个真假组合又可以有两种断定：肯定或否定。
对2n（＝m）个组合，肯定和否定的组合共有：
由已学过的命题联结词和p、q、r 等命题 变项组成的命题形式，其数目有无限多。 若根据命题形式所表示的真值函项的不同， 则无数的命题形式可分为三大类：永真式 （又叫重言式）、协调式和矛盾式。
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所谓真值函数，就是函数值为真值，而且其自变元 的值亦为真值的函数。
在各种复合命题的逻辑特性时看到，一旦命题形式 中的命题变项（即自变元）的真值确定后，整个命 题形式的真值随之也就确定了；
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永真式具有特别重要的意义，因为它们是逻辑 真理的表现形式。
凡复合命题演绎推理的有效推理形式，如表示 成横写式，都是重言蕴涵式。反之，若非重言 式的蕴涵式，它表示的推理就不是有效推理。
表示充分条件假言推理否定前件到否定后件的蕴涵 式（p → q）∧¬ p →¬ q，可用真值表证明其不是 永真式，因而与其相应的推理不是有效的。
协调式可定义为：一命题形式是协调的，当且仅当 不论其命题变项取何值，命题的值有真有假。
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p∨¬p
p p
¬（p∧¬p）
f1
p∨p ¬p
p∧p p ¬p
¬（¬p） ¬p∨¬p
f2
f3
p∧¬p
¬（p p）
¬（p∨¬p）
f4
f1 永真式（重言式） f4 永假式（矛盾式） f2 f3 协调式（可真可假）
矛盾式则是逻辑矛盾的表现形式。由于矛盾式 的负命题就是永真式，因此，如能证明一命题 形式的永假是不可能的，就实际上证明了该命 题形式是永真式。
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三、命题形式的判定方法
（一）真值表判定方法 真值表是用来判定一命题形式是永真式、永
假式还是协调式的最直接的方法。 5种基本真值形式
¬ p 否定式 p ∧q 合取式 p∨q 析取式 pq 蕴涵式 pq 等值式
其中，每一个组合就是一个真值函数的内容。所以，如果以n 为命题形式中不同命题变项的个数，那么不同的真值函数有 2m 个，其中m＝2n。
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设n＝1，那么真假组合有：
21＝2
令m＝21，则其真值函数的数目是：
2m＝4
若用“f( )”代表真值函数，那么只有一个命题 变项p 的真值函数的个数可以列表如下：
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f1(p)是恒取真值的函数，表示它的命题形式可以是 p∨¬ p，也可以表示为p→p。
f2(p)是这样一个函数，当p 真时它真，当p假时它假， 因而表示它的命题形式就是p。
f3(p)则相反，它是对p 的否定，应表示为¬ p。
f4(p)恒取假值，其相应的命题形式是p∧¬ p，或者¬ （p∨¬ p），或者¬ （p→p）。
→、←和↔
p→ q∧r
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小张和小王不能同时上场比赛。
如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和 “小王上场比赛”，则相应的命题形式为：
¬ （q∧r）
小张和小王至少有一人上场比赛。
如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和 “小王上场比赛”，则相应的命题形式为：
p∨q
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二、命题的永真式、协调式和永假式
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真值表的作法
分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如 （（p∧q ）r） （（¬r ∧ p） ¬q ）
先找到主联结词，即最大括号外的联结词。蕴涵号 得到（（p∧q ）r）和（¬r ∧ p） ¬q ）再行分解 得到p∧q 和r； ¬r ∧ p和¬q 按变项－最简单公式－复杂公式顺序排列 p，q，r， ¬q ， ¬r ，p∧q ， ¬r ∧ p， （p∧q ）r，（¬r ∧ p） ¬q ， 最后是总公式（（p∧q ）r） （¬r ∧ p） ¬q ） 可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为 p，q，r， ¬q ， ¬r ，p∧q ， （p∧q ）r， ¬r ∧ p ,（¬r ∧ p） ¬q ， 只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。
由以上分析可知，由于真值函数有常真、常假和有真有
假之分，因而表示真值函数的命题形式亦可相应地分成
永真式、矛盾式和协调式三种。
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永真式
永真式就是表示常真的真值函数的命题形式， 又称重言式。
p∨¬ ，是重言析取式； p→p 是重言蕴涵式。
永真式可以定义为：一命题形式是永真式， 当且仅当不论其命题变项取何值，命题的真 值恒为真。
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矛盾式
矛盾式是表示常假的真值函数的命题形式，
p∧¬ p ¬ （p∨¬ p)
任何永真式的负命题都是矛盾式。矛盾式可 定义为：一命题形式是矛盾式，当且仅当不 论其命题变项取何值，命题的值恒为假。
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协调式
协调式就是表示有真有假的真值函数的命题形式， 即既非永真式又非矛盾式的命题形式；
p∧q p∨q p→q
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用真值表方法证明（p∨q）∧¬ p → q 和 （p → q）∧¬ p → ¬ q
pq 充分条件假言命题的逻辑性质： pq是假的，当 且仅当p真且q假。
p∧q 联言命题的逻辑性质： p∧q是真的，当且仅当p 是真的，并且q是真的。
p∨q 相容选言命题的逻辑性质： p∨q是真的，当且仅
当p和q至少有一真。