2016考研数学多元函数积分学大纲考点
第一轮复习之多元函数积分学
f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
设 f ( x, y ) 在 D 上连续， 若在 D 内的任意子区域 D0 ， 有 ∫∫ f ( x, y )dxdy = 0 ，则 f ( x, y ) ≡ 0 ， ( x, y ) ∈ D 。
D0
三、
两类曲线积分之间的联系： 1) 设 L ∩ 是分段光滑的曲线，两类曲线积分的关系为：
切不可大意失荆州！ 具体计算方法： 取 x 轴上一点 x0 ， 做平行于 YOZ 的平面 x = x0 ， 这 个 截面是以区间
[ϕ1 ( x), ϕ2 ( x)] 为底，曲线 z = f ( x, y)
ϕ2 ( x )
为曲边的曲边梯形，这个截面的面积
f ( x0 , y ) dy
AB
L∩
Qdy ∫ ( P cos α + Q cos β ) ds ∫ Pdx +=
AB
L∩
AB
cos α cos β
为曲线弧 AB 从 A 到 B 方向的切线的方
AB
∩
向余弦，P Q 是在 L ∩ 上的连续函数。 可推广到空间的情形。 2) 两类曲面积分之间的关系： 设 ∑ 为光滑的曲面，则两类曲面积分之间的关系为：
S
∫∫ Rdxdy = 0 （若 S 在垂直于 OXY 平面）
S
四、
多元积分的运算：
6
细节决定成败！
切不可大意失荆州！ 1) 曲线积分化成定积分： 根据： 曲线由参数方程给出：
= ds
φ ′2 (t ) + ϕ ′2 (t )dt
r 2 (θ ) + r ′2 (θ )dθ
曲线由极坐标方程给出：
= ∫ f ( x, y, z )ds
考研高数讲稿第七章多元函数积分学.docx
第七章多元函数积分学一、考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法；会建立简单应用问题中的函数关系；会求函数的定义域、值域及表达式.2.理解函数的儿种特性：有界性、单调性、奇偶性与周期性.3.理解复合函数、反函数、分段函数及隐函数的概念，会求一•些简单函数的反函数；能将初等函数分解为一些基本初等函数的复合.4.熟悉基木初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.5.理解数列极限与函数极限（包括左右极限）的定义及它们的性质.6.掌握极限的四则运算，会丿IJ极限的复合运算法则求极限；掌握夹逼定理与单调有界定理，并会利用它们求极限.7.掌握两个重要极限及其应用.8.理解无穷小、无穷大的概念.，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9.理解函数连续性的概念（含左极限、右连续），会判断间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解区间上连续函数的性质定理（有界性、最人值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质.二、内容结构第七章多元函数积分学§7.1二重积分（甲）内容要点•、在直角坐标系屮化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域D = {(x,y)\a <x<h, ^,(x) < y < ^2(x)} '其中(p、(x), © (兀)在S，甸上连续，/(x，A)在D上连续，则, h <Pi (x) Q兀,yW = y)clxdy = p/x \f(x,y)dyD D a (P\{x)模型II:设有•界闭区域其中叭(y),® (刃在［c,d］上连续，/(x,y)在D上连续…d ©(y)JJ7(x，y)dxdy = Jdy J f(x,y)dx则JJ7(x,y)dcr =D D c ©(y)关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算, 对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II 屮关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和, 而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 10),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。
2、性质：（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰Ddxdy y x f k ),(（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D dxdy y x g ),( （3）、D dx d y D =⎰⎰（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰Ddxdy y x g ),(（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤⎰⎰),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x ba D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ （2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ⎰L ds y x f ),(=dx x x x f ba ⎰'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则⎰L ds y x f ),(=dy y y y f dc ⎰'+2))((1)),((ϕϕ （3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，βα≤≤t ，则⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'βαϕφϕφ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P ba ⎰'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y=，终点d y =，则 ⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c⎰+')),(()())),((ϕϕϕ （3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ⎰'+'βαϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
2016考研数学知识点大纲
2016考研数学知识点大纲1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换这些小的知识点在历年的考察中都比较高。
而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。
2、处理连续性，可导性和可微性的关系要求掌握各种函数的求导方法。
比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。
数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。
3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。
对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。
另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。
这一类问题就是逆问题。
对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。
当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。
4、级数问题，主要针对数一和数三这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。
对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。
5、一维随机变量函数的分布这个要重点掌握连续性变量的这一块。
这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。
另外是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。
2016考研数学临考必看知识点归纳
高等数学部分第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)线性代数部分第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定概率论与数理统计部分第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显著性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验最后冲刺很多同学在做模拟题，中域考研提醒考生要学会思考着去做题。
考研数学：多元函数积分学具体考点及出题方式分析
Born To Win 考研数学：多元函数积分学具体考点及出题方式分析考研数学之多元函数积分学这部分内容在考研中数一数二数三的区别比较大，数二和数三只考二重积分，数一除了考二重积分还考三重积分、曲线积分和曲面积分。
2016年考研数学一试卷既考查了二重积分、还考了曲线和曲面积分，对多元函数积分学的是面面俱到。
二重积分相对简单，重点是计算，会算直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算。
下面跨考教育数学教研室田晓辉老师主要谈谈数一单独考查的内容。
数一单独考查的内容：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度。
这部分内容属于每年必考题型、常以解答题形式出现、至少11分。
得分率偏低，主要原因不是因为这部分内容难，而是因为该部分内容比较生疏，做题较少造成的。
如果今年考生没好好复习这块内容，将会后悔莫及啊。
数一三道大题全是多元函数积分学的题目，填空题还有一道考查旋度。
这部分内容主要是计算。
三重积分计算要掌握“先二后一”、“先一后二”及球坐标系计算三重积分的方法，另外结合奇偶性及轮换对称性可简化计算。
第一型和第二曲线积分计算，记住四个字“代入、定限”，代入代的是曲线方程，定限二者有所区别，第一型定限下限是积分变量的最小值，上限是积分变量的最大值，第二型定限是起点到终点。
第二型曲线积分也可考虑用格林公式将第二型曲线积分转化成二重积分，也可以用积分与路径无关相关知识计算，若是空间中的闭合曲线也可考虑用斯托克斯。
计算曲线积分尤其是第一型的也经常结合对称性简化计算。
第一型曲面积分计算，记住“代入、投影”，代入的是曲面方程如将z=z(x,y)代到被积函数中，投在某个坐标平面如xoy平面，当然dS与dxdx还有一个比例关系不要漏掉。
第一型曲面积分也常结合对称性（奇偶性、轮换对称性）简化计算。
第二型曲面积分，计算也是记住四个字“代入、投影”，代入曲面方程，投影时注意要带符号，另外经常“三化一”（几乎每道题均可如此）。
多元函数微积分学考试内容及重点
第四章：多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 ⼆元函数的⼏何意义 ⼆元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上⼆元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法 ⼆阶偏导数 多元函数的极值和条件极值、值和最⼩值 ⼆重积分的概念、基本性质和计算 考试要求 1、了解多元函数的概念，了解⼆元函数的⼏何意义 2、了解⼆元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上⼆元连续函数的性质 3、了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数⼀阶、⼆阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数 4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解⼆元函数极值存在的充分条件，会求⼆元函数的极值，会⽤拉格朗⽇乘数法求条件极值，会求简单多元函数的值和最⼩值，并求解⼀些简单的应⽤题。
5、了解⼆重积分的概念与基本性质，掌握⼆重积分(直⾓坐标、极坐标)的计算⽅法 第五章：常微分⽅程 考试内容 常微分⽅程的基本概念 变量可分离的微分⽅程 齐次微分⽅程 ⼀阶线性微分⽅程 可降阶的⾼阶微分⽅程 线性微分⽅程解的性质及解的结构定理 ⼆阶常系数齐次线性微分⽅程 ⾼于⼆阶的某些常系数齐次线性微分⽅程 简单的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程 微分⽅程的简单应⽤ 考试要求 1、了解微分⽅程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分⽅程及⼀阶线性微分⽅程的解法，会解齐次微分⽅程 3、会⽤降阶法解下列形式的微分⽅程 4、理解⼆阶线性微分⽅程解的性质及解的结构定理。
5、掌握⼆阶常系数齐次线性微分⽅程的解法，并会解某些⾼于⼆阶的常系数齐次线性微分⽅程。
6、会解⾃由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程。
7、会⽤微分⽅程解决⼀些简单的应⽤问题。
考研数学多元函数微分学的应用知识点总结
考研数学高数知识点总结多元函数微分学的应用一、无条件极值1、基本概念设是二元函数的定义域，是的内点，若存在的邻域，使得对任意异于的点均有（或），则称函数在点处取得极大值（或极小值），点称为函数的极大值点（或极小值点），极大值点与极小值点统称为极值点.2、常用公式、定理(1）极值的必要条件：定理：设函数在点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有.(2）极值的充分条件：定理：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令（1）若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值.（2）若，则函数在点不能取到极值.（3）若，则函数在点可能有极值，也可能没有极D (,)z f x y =()000,P x y D 0P 0()U P 0P ()0,()x y U P ∈()00,(,)f x y f x y <()00,(,)f x y f x y >(,)z f x y =0P 0P (,)z f x y =(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ，''''''===20AC B ->(,)z f x y =00(,)x y 0A >0A <20AC B -<(,)z f x y =00(,)x y 20AC B -=(,)z f x y =00(,)x y值.【例1】：设可微函数在点取得极小值，则下列结论中正确的是（）.在处的导数等于0在处的导数大于0在处的导数小于0在处的导数不一定存在答案：【例2】：设函数的全微分为，则点不是的连续点；不是的极值点是的极大值点；的极小值点答案：【例3】：计算下列函数的极值（1）；（2）答案：（1）8 极大值;（2）极小值.【例4】：求二元函数的极值.答案：极小值. 【例5】：设函数，证明：函数有无穷多个极大值点，而无极小值点.(,)u f x y =00(,)x y ()A 0(,)f x y 0y y =()B 0(,)f x y 0y y =()C 0(,)f x y 0y y =()D 0(,)f x y 0y y =().A (,)z f x y =dz xdx ydy =+(0,0).()A (,)z f x y =()B (,)z f x y =()C (,)z f x y =()D (,)z f x y =().D 22(,)4()f x y x y x y =---222(,)(2).x f x y e x y y =++1515e ()22(,)2ln f x y x y y y =++1e-()1cos y y z e x ye =+-(,)z f x y =。
考研数学多元函数微分学的知识点总结讲解优秀版
点总结讲解优秀版2020 考研数学多元函数微分学的知识点总结讲解多元函数微分学是考研数学大题考查的重点，同学们在复习的过程中需掌握基本概念、公式及定量，并会熟练计算。
下面小编对该章的知识点进行总结性讲解，以帮助广大考生更好的复习掌握这部分知识。
二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.二次函数y a x h k =-+的性质3.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. ①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）交点式：()()21x x x x a y --=。
已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故a c x x ab x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221214.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小（2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴； ②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置. ①0=c ，抛物线经过原点；②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.（4）ac b 42-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数△①0 ∆，有2个交点②,0=∆ 有1个交点；③0 ∆，无交点5、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达➢ 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；➢ 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；➢ 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；➢ 关于顶点对称()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
2016考研大纲解析之多元函数微分学
2016考研大纲解析之多元函数微分学大家好，2015年考研数学已经落下帷幕。
凯程数学教研室的老师针对考纲对2016年考试复习提供建议。
在2015年数学考试中，数学二在选择题的第五题，填空题的13题以及大题的17题都有所反应。
考试的主要考点是链式法则的应用，难道适中。
针对2015年对多元函数微分学的考察方式，结合2016大纲，同学们在2016年考研备考中应该注意下面问题1.结合大纲：深刻理解概念深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地方。
那么，在多元函数微分学的知识体系中，最重要的就是对基本概念的理解。
也就是要理解多元函数的极限，连续，可导与可微。
重点是可导的概念。
我以二元函数为例。
二元函数有两个变量，那么可导就是说的偏导数。
至于可微的思想可以直接平移一元的。
虽然有些变化，但是基本的形式是一样的。
最后，三者关系。
这是相当重要的一个点。
具体来说，可微可以推出可导和连续，而反之不成立。
希望大家不仅要记住结论，还要知道为什么是这样的关系。
大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。
在大家深刻理解了这些概念后，后面的内容就偏向计算了。
2.深挖大纲：培养计算能力这章考查的重点还是计算。
计算实质上就是多元函数微分学的应用。
它主要包括偏导数的计算；方向导数与梯度；二元函数极值（无条件与条件）。
其实考查计算对大家来说是最容易的考法。
因为大家只要懂方法就够了，不用理解方法怎么来的。
具体来说，计算偏导数，特别是高阶偏导数，大家只要掌握了链式法则就够了。
同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。
至于计算方向导数与梯度，大家就需要知道它的含义，然后记住两个公式就行了。
最后是二元函数的极值。
它分为无条件极值和有条件极值。
先说无条件极值。
大家可以把它跟一元函数极值做个类比。
这样会学的轻松些。
至于条件极值，大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。
所以，这章对大家的计算能力要求很高。
大家一定要沉下心仔细体会方法，然后多做练习就够了。
多元函数微分学知识点梳理2页
多元函数微分学知识点梳理2页一、偏导数定义：对于多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，当其自变量$x_i$在某一点固定而其他自变量发生变化时，函数值的变化量与$x_i$的变化量之比，称为$f$对$x_i$的偏导数，记为$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$。
计算方法：将$x_i$看作变量，其他自变量视为常数，对$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$以$x_i$为自变量求导。
二、全微分定义：当$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某一邻域内具有一阶连续偏导数时，存在常数$A,B$，使得$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$$其中$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow0}\alpha=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\beta=0$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，$\Delta z$称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量，$A\Delta x+B\Delta y$称为$\Delta z$的一次主部，记作$dz$，称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分。
计算方法：$$df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$$三、隐函数及其求导法定义：设有方程$F(x,y)=0$，如果在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内，恒有一函数$y=\varphi(x)$，使得$F(x,\varphi(x))=0$，则称方程$F(x,y)=0$在该邻域内以$x$为自变量，$y$为因变量确定着一函数$\varphi(x)$。
考研数学习题课讲义--4 多元函数微积分学
2 x uv f f 4 , 练习 设对任意的 x 和 y, 有 用变量代换 将 f (x, y)变 2 2 1 x y y 2 (u v )
2
g g 2 2 换成 g(u, v), 试求满足 a b u v 中的常数 a 和 b. u v
2
2
3
例 11 设
x u 2 v z y u vz
,求
u v u , , . x x z
练习: 1. 设函数 z = z(x, y)由方程 z e
2 x 3 z
2 y 确定, 则 3
z z ____ . x y
2. 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 z = (x + y + z) 所确定的函数, 其中 有二阶导数 且
x2 y4
, 则函数在原点偏导数存在的情况是 ______ .
(A) fx(0, 0) 存在, fy(0, 0) 存在 (B) fx(0, 0) 存在, fy(0, 0) 不存在 (C) fx(0, 0) 不存在, fy(0, 0) 存在 (D) fx(0, 0) 不存在, fy(0, 0) 不存在
.
2
例 7 设 ������ = ������ (������ 2 + ������ 2 , ), 其中 f (u, v) 具有连续的二阶偏导数, 求 . ������ ������������������������
������
����Байду номын сангаас� 2 ������
例 8 设 ������ = ������(������������ + ������������) + ������(������ 2 ������, ������������ 2 ), 其中 f, g 都具有连续的二阶偏导数, 求
03高数——多元函数微分学要点速记
多元函数微分学1、极限与连续性平面上的点列的极限：设{}n M 为平面点列，20M R ∈，若()0lim ,0n M M ρ=，则称{}n M 是收敛点列，0M 是点列的极限，记做0lim n n M M→∞=（00lim ,lim n n x x y y ⇔==）。
极限：设n 元函数()f P ，n P D R ∈⊂，0P 是D 的聚点，若存在常数A ，对0ε∀>，0,δ∃>对一切0(,δ)oP D U P ∈ ，有()f P A ε-<，则称常数A 为函数()f x 当0P P →时的极限，记做()0lim P P f P A →=（也叫n 重极限）。
二元函数的极限可写作：()()000,lim (,)lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y f x y f x y A ρ→→→→→===。
连续性：0M 为D 的聚点时，0lim ()()M M f M f M →=；或0M 为D 的孤立点时，也是连续点。
2、微分和偏导数微分：0000(,)(,)()f x x y y f x y A x B y o ρ+∆+∆-=∆+∆+⇒00(,)dz df x y A x B y ==∆+∆。
偏导数：设(),z f x y =在点()000,M x y 的某邻域中有极限00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆（将y 当作常数）存在，则称此极限高 数多元函数微分学知识点速记为函数(),z f x y =在点()000,M x y 对x 的偏导数，即0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-'=∆；同理，函数(),z f x y =在点()000,M x y 对y 的偏导数0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-'=∆。
2016考研数学：多元函数积分中的知识点
2016考研数学：多元函数积分中的知识点多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分，一直以来多元函数积分学积分都是考研高等数学的重点，尤其是对数一、数三而言，更是重中之重，每年都至少会考一道大题，选择填空的题目也是以各种各样的形式出现，所以对于多元函数积分学的知识点必须引起各位考生的重视。
2016考研数学复习指导：多元函数积分学" />有很多同学认为多元函数积分学比较难，事实上如果大家感觉到难的话，只能说你在上册数上欠的账太多了。
多元函数积分学的知识往往是起点比较高，但是落点比较低，只要你学好了一元函数积分学，那么多元函数积分学的知识只是手到擒来的事情。
下面我就带着大家来看一下多元函数积分学的知识。
二重积分是三重积分的基础，是基于单积分发展起来的，它的几何意义就是求一个空间立体图形的体积。
在建立了二重积分概念以后，三重积分是其自然的推广，没有本质折差别。
在计算上看来，二重积分与三重积分都是最终化为定积分来计算的，但三重积分不论是采用"先二后一"还是"先一后二"，都要通过二重积分的计算，所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用，深入理解二重积分的概念，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键。
三重积分是二重积分的进一步延拓，它的物理意义就是求一个空间立体图形的质量。
对三重积分来说，计算的基本思路是转化为定积分，但计算的繁简取决于坐标系的选择，而坐标系的选择取决于积分区域的形状。
一般来说，当积分区域是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转面与其他曲面所围成的空间立体时，宜利用柱面坐标变换计算;当积分区域是球体、锥体或球本省的一部分时，宜利用球面坐标变换计算;当积分区域是长方体、四面体或任意形体时，宜利用直角坐标计算。
曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它的物理意义分别是平面曲线或者空间曲线的质量和变力做功。
曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分，它的物理意义分别是空间曲面的质量和通过曲面的流量。
多元微积分复习提纲
微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f grad ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由方程组()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9④由方程组()()⎩⎨⎧==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(x z x y t x ωφϕ在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程见P46 例3， P50习题2③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。
2016考研数学复习高等数学第六章多元函数积分学
223第六章 多元函数积分学2016考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green ）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss ）公式 斯托克斯（Stokes ）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分的应用2016考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。
3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4. 掌握计算两类曲线积分的方法。
5. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。
7. 了解散度与旋度的概念，并会计算。
8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。
关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。
后积先定常数限， 先积方向正直穿； 相交必须同一线， 否则域内要分拆； 隐含边界辅助线， 极坐标 逆弧圆； 多种曲线同园拆， 六大对称记心间； 三重积分切穿影， 曲线曲面入路径；闭线闭面高托格， 开线开面三补全开面锐正闭面外， 正规区域一项算； 极柱球系雅换元， 六类积分谙转换。
224第一节 多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）一、 三基层面1、性质与定理①比较定理 ()()(),, DDf g f x y d g x y d d dxdy σσσ≤⇒≤=⎰⎰⎰⎰②估值定理 ,M m 分别为(),f x y 在闭区域D 上的最大与最小值，A 为D 的面积，则(),Dm A f x y d sM A≤≤⎰⎰ ③中值定理● (),f x y 在D 上连续，则(),D ξη∃∈⇒()(),,Df x y ds f A ξη=⎰⎰● ()(),, ,f x y g x y 在D 上连续，则(),D ξη∃∈⇒()()()(),,,,DDf x y f x y d fg x y d σξησ=⎰⎰⎰⎰④几何意义(), Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，以(), z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
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2016考研数学多元函数积分学大纲考点高等数学包是考研的重点考试科目，很多考生由于在学习高数的时候基础没有打牢，所以在复习的时候会觉得难以下手，为了使大家能够掌握好高数知识点，下面我们为大家带来了2016考研数学多元函数积分学大纲考点。
一、2016考研高等数学大[微博]纲“多元函数积分学”(数一考生)
1、考试内容
(1)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;(2)两类曲线积分的概念、性质及计算;(3)两类曲线积分的关系;(4)格林(Green)公式;(5)平面曲线积分与路径无关的条
件;(6)二元函数全微分的原函数;(7)两类曲面积分的概念、性质及计算;(8)两类曲面积分的关系;(9)高斯(Gauss)公式;(10)斯托克斯(Stokes)公式;(11)散度、旋度的概念及计算 ;(12)曲线积分和曲面积分的应用
2、考试要求
(1)理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理;(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);(3)理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系;(4)掌握计算两类曲线积分的方法;(5)掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数;(6)了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分;(7)了解散度与旋度的概念，并会计算;(8)会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。
3、常考题型
(1)二重积分的定义与基本性质;(2)改变积分次序;(3)直角坐标系、极坐标系下计算二重积分;(4)二重积分的相关证明;(5)直角坐标系、柱坐标、球坐标系计算三重积分;(6)两类曲线积分的关系与计算;(7)格林公式;(8)两类曲面积分的关系与计算;(9)高斯公式;(10)斯托克斯公式
二、2016考研高等数学大纲“多元函数积分学”(数二、数三考生)
1、考试内容
二重积分的概念。
基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分
2、考试要求
(1)了解二重积分的概念与基本性质;(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标。
极坐标);(3)了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。
3、常考题型
(1)二重积分的定义与基本性质;(2)改变积分次序;(3)计算二重积分(直角坐标系和极坐标系);(4)二重积分的证明
2016考研数学多元函数积分学大纲考点为大家带来了，希望我们能够好好地掌握这些内容，这样我们就能够在解题的时候手到擒来了。