第8章 非线性系统分析

非线性系统的响应
(1 x) x x 0 ，其初始条件
x(0) x0 ，试
x0 e t x(t ) 1 x0 (1 e t )
由此可看出，（1）当初始条件 0 x0 1 时，系统的动态过程按指数规律衰减 ，运动收敛于x(t ) 0 ,系统是稳定的；（2）当初始条件x0 0 时，系统运动收敛 于 x(t ) 0 ，系统是稳定的；（3）当初始条件 x0 1 时，系统在有限时间 ln x0 x0 1 内，运动趋向无穷大，系统不稳定的。
x （8.1-3） x
为死区宽度； k 为线性区特性的斜率。 式中：
图8.1-3 死区特性
具有死区非线性的元件：调节器和执行机构的死区；测量变送装 置的不灵敏区；弹簧预紧力。
死区非线性特性对系统的主要影响: 1）使系统的稳态误差增大,特别是测量元件的死区对系统的稳态性能的影响 更大。 2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系统抗扰动的能力。 3）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等信号时，死区引起系统的输出在时间 上滞后。
y(t ) sin td (t )
k ( A sin t ) sin td (t )
2
1
4

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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
4 1 2 2 kAsin td (t ) kb sin td (t ) 1 0
0 1 1

2
t
死区特性的描述函数
1 1

2
t
N ( A)
Y1 B 1 1 A A
x(t)=Asint

2k 2 arcsin 1 ( ) 2 A A A

（ A ）
B1

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0
y m signx
,
x x0
图8.1-1 饱和非线性特性
系统存在具有饱和非线性特性的元件，它的开环增益会有所下降，系统过渡过 程时间的增加和稳态误差的增大。但在有些控制系统中，有目的地引入饱和非 线性环节。例如在具有转速和电流调节器的双闭环直流调速系统中，把速度调 节器和电流调节器设计成具有饱和非线性特性，以改善系统的动态性能和限制 系统的最大电流。
2016/2/13 第8章 非线性系统分析 5
自动控制原理
4. 继电器特性
实际的继电器特性是既有死区,又有滞环,数学表达式为
0 0 y bsignx b b
; ma x a
,
; a x ma , ; x a ; ; x ma x m a , ,
铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙等均可形成这类特性。 若系统中包含间隙特性，其影响之一是增大系统稳态误差，影 响之二是系统振荡加剧，动态特性变差，稳定性变差。
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自动控制原理
• 3. 死区特性
数学表达式为 , 0 y , k ( x signx)
（ Ab ）
N ( A) 1 。 饱和元件的描述函数是输入振幅 A 的实函数。A b 时，
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第8章 非线性系统分析
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自动控制原理
3.继电器特性 输出信号 y(t ) 的表达式为
0 y (t ) M 0 , 0 t 1 , 1 t 2 , 2 t
3）系统的线性部分G(s)具有较好的低通滤波特性。实际系统一 般都能满足此特性，且G(s)阶次越高，低通滤波性能越好。该 特性可以保证非线性环节的输出y(t)中高次谐波分量被充分衰减 ,从而可近似认为y(t)只有基波分量通过。
2．描述函数的定义 非线性环节 y f ( x)

输入信号x(t ) 为正弦信号

1
2
0
y(t ) sin td (t )

4
2 0
y(t ) sin td (t )
k ( A sin t ) sin td (t )
2
1
4

2kA 2 arcsin 1 ( ) 2 A A A
第8章 非线性系统分析 15
自动控制原理
8.1.2 非线性系统的特点
1．系统输出动态响应曲线形状与输入信号大小和系统初始条件有关。
死区 0.8 ,阶跃输入不同幅值 R1 1, R2 2 时,对应非线性系统输出响应曲线
响应曲线形状完全 不同,一条曲线无 超调,一条曲线有 超调,稳态误差在0 到0.8范围内。
R1 1
A1

1
2
0
y (t ) cos td (t )
B1

1
2
0
y (t ) sin td (t )
8.2.2 典型非线性环节的描述函数 1.死区特性
输出信号 y(t ) 的表达式为
0 , 0 t 1 y (t ) k ( A sin t ) , 1 t 1 0 , 1 t
， 式表明，当非线性环节输入为正弦信号时，其输出为与输入信号同 频率的正弦信号，不同在幅值和相角上。
定义非线性环节在正弦信号作用下，非线性环节稳态输出信号 的一次谐波分量和输入信号的复数比为描述函数，它一般为输 入正弦信号幅值A的函数，用N(A)表示，其数学表达式为
N ( A) N ( A) e
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自动控制原理
2. 间隙特性 间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是其输入— 输出曲线为闭合环路。 数学表达式为
k ( x asignx) , y , bsignx
0 y 0 y
图8.1-2间隙特性
式中： 2a 为间隙宽度， k 为间隙特性的斜率。
1．应用描述函数法的基本条件 1）非线性系统应简化为一个非线性 环节N和一个线性部分G(s)串联的典 型结构 。
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r(t ) 0 x(t ) N( A)
y(t )
G(s)
c(t )
-
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2) 非线性环节N应满足奇对称性,即 y( x) y( x) ,以保证非线性 环节的正弦响应不含有直流分量,通常典型的非线性环节均满足 此特性。
2kA t 1 1 4kb sin 2 t ( cost ) 2 0 2 4

1

2kA b b b 2 arcsin 1 ( ) A A A
饱和特性的描述函数为
N ( A) Y1 B 2k b b b 2 1 1 arcsin 1 ( ) A A A A A
第8章 非线性系统分析
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第8章 非线性系统分析
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第8章 非线性系统分析 • 8.1 非线性系统的概述 8.2 描述函数分析法 8.3 基于MATLAB/Simulink的非线性 系统分析
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第8章 非线性系统分析
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8.1 非线性系统的概述 非线性特性有很多种，最常见的有饱和、死区、间隙和继电 特性。 8.1.1 典型的非线性特性 1. 饱和特性 数学表达式为 , x x （8.1-1） kx y
自动控制原理
1 A0 2

2
0
y (t )d (t )
An
2 n
1


2
0
y (t ) cos ntd (t )
Bn

1
2
0
y (t ) sin ntd (t )
Yn
A B
2 n
n arctan
An Bn
根据描述函数法基本条件
y(t ) y1 (t ) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1 )
x0 1 时，系统的运动发散到无穷远处，当
时，系统运动最终都能回到 x 0 处，它们
都不再回到 x 1 这个平衡状态。
3．自持振荡问题 4．非线性系统的畸变现象
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自动控制原理
8.2 描述函数分析法 8.2.1 描述函数的基本概念
非线性系统通常包含常见的非线性环节.当非线性系统满足一定 的假设条件时,非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐 波分量表示,由此可得非线性环节的近似等效频率特性,即描述函 数.此时,非线性环节就可用一个线性环节来近似代替,从而,就可 以用线性系统的频域分析法来近似分析非线性系统的性能,这种 方法称为描述函数法。
1 arcsin
A 。
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为死区范围;
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k 为线性区特性的斜率;
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y(t) y(t) y(t) k -Δ 0 k 0 A x(t) Δ x(t) ks y1(t)=Y1sin t
由于死区特性为单值奇对 称函数，所以 A0 0, A1 0
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jN ( A)
Y 1 e j1 A
A12 B12 A
arctan
A1 B1
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第8章 非线性系统分析
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式中：A为非线性环节输入正弦信号的幅值；Y1为非线性环节 1 为非线性环节输出信号的一 输出信号的一次谐波分量幅值； 次谐波分量与输入正弦信号的相位差，且
。 b 为线性区域范围; k 为
t
1 1

2
t
x(t)=Asint
饱和特性线性区特性的斜 率; 1 arcsin b 。
A
由于饱和特性为单值且关于原点对称的奇函数，所以
B1
A0 0, A1 0

1
2
0
y(t ) sin td (t )

4

2 0
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R2 2
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自动控制原理
2．系统的稳定性与初始条件有关 对线性系统，其稳定性决定于系统结构和参数，与输入信号大小 及初始条件无关。对非线性系统，其稳定性则可能与输入信号大 小及初始条件有关。不同的初始条件,系统的稳定性情况不同。
一个非线性系统的微分方程为 讨论非线性系统的稳定性。
x(t)=Asint
由于具有死区和滞环的继电特性为多 值奇对称函数，故 A0 0 1 2 2 A1 y (t ) cos td (t ) Βιβλιοθήκη Baidu (t ) cos td (t ) 0 0
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在不同初始条件下，系统运动特性
该非线性系统有两个平衡状态 x 0 和
x0
x0 1
x 1。
这个平衡状态是稳定的，因为在x 0 附近，从 出发的运动最终都能回到 x 0 这个平衡状
x 1
态；而
x0 1
这个平衡状态是不稳定的，因为当
0 x 0 x 0 x 0 x
b
式中： a 为继电器的吸合电压; ma 为继电器的释放电压; 电器的饱和输出。
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继
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a)理想继电器特性 b) 死区继电器特性 c) 滞环继电器特性 d) 死区滞环继电器特性
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x(t ) A sin t
输出信号y(t)一般为非正弦的周期信号，将其展开为傅里叶级数，即
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) A0 Yn sin(nt n )
n 1 n 1
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y(t) M
m
y(t) y(t)
m
0
x(t)
0
1 2
3 4
2 t
-M
1 2
0
A x(t)
y1 (t ) Y1 sin(t 1 )
式中:
M
为继电器的输出幅值；
。

1 arcsin
; 2 arcsin A A
3 4
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2.饱和特性 输出信号 y(t ) 的表达式为
-b y(t) k 0 0 b X x(t) x(t) y(t) kb 0 1 1

2
0 t 1 kA sin t , y (t ) kb , 1 t 1 kA sin t , t 1