六年级下册奥数讲义-奥数方法：综合训练(练习无答案)全国通用
六年级下册奥数讲义-奥数方法：假设法（练习无答案）全国通用
六年级下册奥数讲义-奥数⽅法：假设法（练习⽆答案）全国通⽤对于某些数学问题，可以根据题⽬中的已知条件或结论作出某种假设，然后依据假设进⾏分析推理，这种解题⽅法叫做假设法。
假设思维是⼀种常⽤的推测性的辩证思维，它要求⼈们在错综复杂的数量关系中，找出能起主导作⽤的某⼀数量或某⼀等量关系，以显现可求解的对应关系，从⽽确定解题思路。
常⽤的假设有条件假设、问题假_设、单位假设及情境假设等。
⽤假设法解题的思维过程分为三步：第⼀步对题⽬中的部分条件进⾏假设，第⼆步由假设导出⽭盾，第三步分析产⽣⽭盾的原因，原因找到后，问题也就解决了。
【例1]有五堆苹果，较⼩的三堆平均有18个苹果，较⼤的两堆，苹果数之差为5个，⼜，较⼤三堆平均有26个苹果，较⼩的两堆苹果数之差为7个。
最⼤堆与最⼩堆平均有22个苹果。
则每堆各有个苹果。
分析与解答根据题意按从⼤到⼩⽤字母表⽰如下：abcde，因为a，b，c的平均数是26，所以b应接近26，则a=26+5=31，e=22×2-31=13，d=13+7= 20。
c=18×3-13-20=21，符合题意，故每堆有(从⼤到⼩)31、26、21、20、13。
[例2] 绕湖的⼀周是22千⽶，甲、⼄⼆⼈从湖边某⼀地点同时出发反向⽽⾏，甲以4千⽶／⼩时的速度每⾛1⼩时后休息5分钟，⼄以6千⽶／⼩时的速度每⾛50分钟后休息10分钟，则两⼈从出发到第⼀次相遇⽤分析与解答如图1所⽰，包括休息时间，甲65分钟⾛4千⽶，⼄60分钟⾛5千⽶(⼄以60千⽶／⼩时的速度⾛50分钟只能⾛5千⽶)。
剩下的路程两⼈共同⾛完需：(22-19)÷(4+6)=0．3(⼩时)=18(分钟)故两⼈从出发到第⼀次相遇⽤时：65×2+18=148(分钟)。
[例3】⼩⽞和⼩斌⼀起跳绳，⼩⽞先跳了2分钟，然后两⼈各跳了3分钟，⼀共跳了780下，已知⼩⽞⽐⼩斌每分钟多跳12下，问⼩⽞⽐⼩斌多跳了多少下?周『-路剖析因为本题中有些数量关系⽐较隐蔽，如果对已知条件作出假设，就能顺利找到解此题的途径和答案了。
六年级下册数学试题-奥数专题讲练：第十三讲最大公因数与最小公倍数(无答案)全国通用
解：224×8÷32=56
答：乙数是56。
我能行：
1、 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，求另一个数。
2、 已知两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数各是多少？
第三关：我想会
例1.求3、9、27的最大公因数。
14
解析：求几个最简分数的最大公因数的方法是：取各最简分数分子的最大公因数做分子，取各最简分数分母的最小公倍数做分母，所得新分数就是这几个最简分数的最大公因数。
解：（3,9,27）=3
〔14,28,70〕=140（3，
9，27）=3
14
答：3、9、27的最大公因数是3。
例 1.求 24 和 32 的最大公因数
解析：要想求几个数的最大公因数，我们要掌握求最大公因数的几种方法。有：列举法、短除法、分解质因数法、和辗转相除法等。最常用、最方便的方法是短除法。
解： 2
2
2
34
(24,32)=2×2×2=8
答：24 和 32 的最大公因数是 8。
我试试：
1、用短除法求出下面各组的最大公因数
（1）25和15（2）140和35（3）24和36
（4）4，8和16（5）45和135（6）48，16 和24
2、直接说出下列各组数的最小公倍数，你发现了什么？
（1）18和3612和248、16和72
（2）9和105、7和113、4和5
3、填一填，判一判，选一选。
（1）填一填
①a 和 b 都是自然数，如果 a 除以 b 商是 5 没有余数，那么 a 和 b 的最大公约数是（），最小公倍数（）。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：植树问题(练习无答案)全国通用
植树问题一般是指以植树为内容，研究总距离、棵数、株距、段数等数量关系的问题，其中株距是指相邻两棵树的距离。
植树问题与形成的图形有着密切的关系，图形不同，上述四个量之间的关系就略有不同，解题方法也就不同。
下面，我们先大体介绍一下四种最简单、最基本的植树问题。
为了形象直观，我们用图示法来说明，用点表示树，用线表示植树的沿线。
这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭曲线上的点数与相邻两点之间线段之间的关系问题。
1．非封闭曲线的两端都有点，如图1所示。
棵数=段数+1或段数=棵数一12．非封闭曲线只有一端有点，如图2所示。
棵数=段数3．非封闭的两端都没有点，如图3所示。
棵数=段数-l或段数=棵数+1 4．封闭曲线上，如图4所示。
棵数=段数实际上，许多应用题我们都可以转化或借助植树问题来解答。
[例1】一条小路长30米，在路一侧从一端开始，每5米栽一棵杨树，一共可栽多少棵(图5)?思路剖析小路全长30米，每5米分一段，刚好分成30÷5=6段。
因为从路的一端开始栽树，到尽头时还可栽一棵，所以栽树的总棵数等于段数加1。
解答30÷5+1=6+1=7(棵)．答：一共可栽7棵杨树。
．[例2】一段公路的两侧连两端在内共有92棵树，同一侧的每两棵树中间的距离是4米，问：这段公路长多少米?解答(1)每侧有：92÷2=46(棵)(2)每侧共被分成：46-1=45(段)(3)这段公路长：4×45=180(米)答：这段公路长为180米。
[例3】操场的直跑道长100米，在跑道的一旁等距离插了21面旗帜。
每两面旗帜之间相距多少米?思路剖析和前面2个例题相比较，这是一道植树问题的类似题，只不过知道旗帜数，要求跑道长。
因为连两端在内共有21面旗帜，所以有20个间隔。
求每两面旗帜之间的距离就是求每个间隔的长度。
解答100÷(21-1)=100÷20=5(米)答：每两面旗帜之间相距5米。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十二讲 整除问题(一)(无答案)全国通用
， 第十二讲 整除问题（一）在学习整数除法时，我们已经知道：被除数＝除数×商数＋余数这里要求除数不为零，且余数小于除数。
当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。
如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。
一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。
但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。
偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。
2．末位数字为零的整数必被 10 整除。
这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。
3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。
由于4｜96能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：平均数(练习无答案)全国通用
专题3平均数在日常生产和生活中，经常可以遇到很多平均数问题，如：几个同学的平均身高；几门功课的平均成绩；一周的平均气温；平均亩产量；汽车的平均速度等。
把几个不相等的数，在总和不变的情况下，移多补少，使它们完全相等，所得的相等数，叫做这几个数的平均数，这样的问题就叫做平均数问题。
平均数问题的基本解法是：先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数，即：总数量÷总份数=平均数这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即：平均数×总份数=总数量总数量÷平均数：总份数所以，对于这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。
另外要注意的是：“平均数”是“移多补少”的结果，所以平均数的数值范围有固定的特点：不能大于最大数，也不能小于最小数。
[例l】有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有几个数。
分析与解答设第二组数有x个98+llx=8×(16+x)3x=30x=10 故第二组有10个数。
[例2] 小明期末考试语文、数学、思想品德、体育、音乐五科成绩分别是95、100、90、85、80分，问小明这五科平均成绩是多少分思路剖析由于五科成绩已经知道，故可以得出小明在期末考试中五科的总成绩是（95+100+90+85+80）=450（分）现在我们需要求的是这五科的平均成绩，也就是把五科的总成绩平均分成五份取其中的一份，这就是这五科的平均成绩。
要求小明五科的平均成绩，首先应把五科的总成绩和考试科目的总数求出来。
五科的总成绩为：95+100+90+85+80=450(分)五科的平均成绩为：450÷5=90(分)答：小明这五科的平均成绩是90分。
[例3] 有五个数的平均数为30，如果把其中一个数按60计算，则平均数变为40，求这个数原来是多少?思路剖析可以这样想，先求出总数增加了多少，总数增加的数值，实际上就是把某数按60计算是比原来多算的数值，这样，我们就可以求出原来的数了。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：交集法(练习无答案)全国通用
有些数学题目的问题所求，是由几个条件共同决定的，这时我们可以对每一条进行分别考虑，然后再求满足所有条件的情况。
在考虑问题时，我们把满足每一个条件的情况称为一个集合，用一个圈表示。
那么这些圈的交叉重叠部分就是同时满足这几个条件公共部分，称为交集。
用这种思考方法解题叫做交集法。
另一方面，在运用交集法解题的过程中，常要考虑由于重复、相互包含而引起的多加的数学问题，即包含与排除的问题，也就是常说的“容反”原理。
同时，用交集法解题，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。
[例1】有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色或红色的。
若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有分析与解答50个学生中，有14人穿的是蓝色上衣白裤子，则剩下的50-14=36 (人)穿的是红上衣白裤和蓝上衣黑裤子，红上衣黑裤子，又知31人穿黑裤子，则剩下36-31=5(人)穿红上衣白裤子，又知穿红上衣有18人，故18-5=13(人)穿红上衣黑裤子。
[例2】 100名学生，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人?至多有几人?思路剖析这100名学生可以分成4部分：①爱好音乐而不爱好体育的同学；②爱好体育而不爱好音乐的同学；③既爱好体育又爱好音乐的同学；④既不爱好音乐又不爱好体育的同学。
如图l所示。
①+③表示爱好音乐的同学53人，②+③表示爱好体育的同学72人。
由于①+②+③+④=100，即有(①+③)+(②+③)-③+④=100，53+72-③+④=100，故有③=25+④。
由③=25+④知，当既不爱好音乐又不爱好体育的人数为0时，既爱好音乐又爱好体育的人数最少为25人。
因为音乐爱好者53人，体育爱好者72人，53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
解答53+72-100=25(人)……音乐、体育都爱好的学生最少人数因53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
六年级下册数学奥数讲义-分数、百分数应用题(二)(无答案)全国通用
1
，第二天比
2
【巩固】 迎 春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的 划产量的 16％．那么，原计划生产插秧机台．
56％，如果再生产 5040 台，总产量就超过计
【例 9】 某运输队运一批大米． 第一天运走总数的 1 多 60 袋，第二天运走总数的 1 少 60 袋．还剩下 220
5
4
袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？
我国人口是部分数， 世界人口就是单
位“ 1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“
1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是
带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通
常就作为标准量，也就是单位“ 1”。
分数、百分数应用题（二）
知识框架
一、 知识点概述：
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一
方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”
之间的对应是解题的关键． 关键： 分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称
【例 6】 一个机关精简机构后有工作人员 120 人，比原来工作人员少 40 人，精简了百分之几？
【巩固】 小 强看一本书，每天看 15 页， 4 天后加快进度，又看了全书的 多少页？
2 ，还剩下 30 页，这本故事书有 5
【例 7】 有男女同学 325 人，新学年男生增加 25 人， 女生减少 5％，总人数增加 16 人，那么现有男同学 多少人？
六年级下册数学试题-奥数专题讲练：还原法、假设法、替换法无答案全国通用
解决问题的策略还原法、假设法、替换法一、知识梳理1、还原法（倒推法）从结果开始，一步一步倒推回去，每步倒推时所用的方法要刚好和原来相反，例如原来加的倒推回去就是减，原来减得倒回去就是加，原来乘的倒回去就是除，原来除的就倒回去乘，一直推到最初的数据。
2、替换与假设：“替”指的是替代，“换”指的是更换，替换就是将实际问题中的数量用别的数量来代替，从而使问题简化。
假设是指对条件和问题进行假定和预设，然后根据数量之间的关系，对假定和预设进行调整，从而得到问题的答案。
转化：把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。
二、精讲例题例1、甲、乙两位师傅共做零件135个，如果从甲做的零件中拿36个给乙，而又从乙做的零件中拿出45个给甲，这时乙的零件个数是甲的1.5倍，原来甲、乙师傅各做零件多少个？分析：根据和倍问题先求出甲现有零件的个数，135：（1.5+1）=54 （个），再逆推出他原有零件的个数：54-45+36=45 （个），乙原有零件135-45=90 （个）。
例2、甲、乙、丙、丁各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给乙、丙，使乙、丙每人的棋子各增加一倍，然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给丙、丁，丙也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也将自己的棋子的一部分以这样的方式给了甲、乙。
这时四人的棋子都是16枚。
原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？分析：最后一次四人的棋子都是16枚，每次变化中，有一人的棋子数未动，有两人的棋子数增加一倍，倒推时应除以“2”，另一个人的棋子数减少了两人增加的总数。
我们可以用列表法进行倒推:例3、王师傅和李师傅一起打一份稿件。
王师傅打5分钟，李师傅打6分钟，两人一共打了757个字。
已知王师傅每分钟比李师傅多打15个字。
王师傅每分钟打多少个字？李师傅每分钟打多少个字？分析:王师傅每分钟比李师傅多打15个字，王师傅5分钟就比李师傅多打了15*5=75个字，757-75=682，也就是李师傅在11（5+6）分钟打了682个字，每分钟打682/11=62个字，王师傅每分钟打15+62=77个字。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：数字游戏(练习无答案)全国通用
在这里讲的数学游戏主要有数学谜语、奇妙的幻方和破数阵三个部分。
数学谜语是一种有趣的数学问题，也是锻炼人的思维的体操，它对我们学习数学，提高分析问题的能力是非常有益的。
数学谜语的特点是给出运算式子，但式子中的数学有些是用字母或汉字来代表的，要求我们根据它们的关系和特征，进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数。
解题时，选择有特征的部分作为突破口是解答这类问题的关键；其次还可以采用试验、估算的方法。
幻方是我国丰富的文化遗产之一，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究。
把一些自然数填在纵横都相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方。
数阵是某些数按照一定的规律排列成的一种图形，它是由幻方演变出来的一种数学图。
做填数阵的题时，一般要注意交叉点上的数的填写。
【例2】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人。
[例3] 如图l是一个小数的除法竖式，其中算式中所注明的两个字母要求：A<曰，那么满足这个竖式的除数与商的和是分析与解答由竖式可知：商的中间一位是0，商的末位乘以除数应是整百数，又因为被除数的首位是6，所以商的首位和除数的首位必须大于7，不难推出除数是75，商的末位是4或8。
当商的末位是4时，A>B，当商的末位是8，商的首位是9时，A=l，B=5，符合题意。
所以除数和商的和为75+9．08=84．08。
【例4] 在口里填入合适的数，使算式成立。
分析与解答确定加法竖式和减法竖式中的数字，主要根据加法和减法的互逆运算关系。
各个数位上的加数都可以看作是和减去一个加数得到的，加或减时要注意进位和退位。
(1)和的个位数是8。
被加数的个位数是2，加数的个位数为8-2=6。
和的十位数是7，加数的十位数是4，被加数的十位数为7-4=3。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：染色法(练习无答案)全国通用
在解决某些数学问题时，我们常常需要把有关元素适当分类。
为了使这种分类更为形象，我们可以设想把元素分别涂上不同的颜色。
这类用涂色的方法来寻求解题思路的方法叫做染色法。
根据染色对象的不同，染色法一般分为方格染色、线段染色和点染色三种，在运用染色法解题的过程中，常结合抽屉原理等组合知识和图论初步知识。
解题步骤一般分为：(1)审题，把实际问题用染色图表示出来；(2)运用抽屉原理或图论知识对染色图进行分析；(3)找出问题的答案。
[例1] 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在横盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。
按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。
问：是否存在一种方法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?思路剖析本题的游戏规则是一枚棋子越过相邻的棋子进行移动，故每一次移动会影响3个棋盘方块的棋子数，可考虑用3种颜色对棋盘染色，研究其变动规律，推出答案。
解答如图1所示，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。
按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。
但如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另—部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
[例2]在5×5的方格棋盘中的A格里放一颗棋子，规定每次棋子可向左右或上下移动一格，问这颗棋子走25步后能否回到原处?思路剖析如图2所示，棋子从A出发，每一步都有2┉4种走法，25步以后出现的情况很多。
从表面上看，似乎找不到棋子行走的规律，若利用染色法，对棋格作相间染色，很容易发现规律，找到本题答案。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：割补法(练习无答案)全国通用
我们在求解一些图形面积时，不能直接使用基本公式和有关图形的性质求解，这时我们就必须对图形进行适当的加工，而常见的加工方法便是割补法。
割补法具体使用时分为分割和填补两大类，其中“分割”的方法是把一个整体看成是由若干个“零件”组成的方法；“填补”则是一个图形不能满足要求的，通过给它添加一个或几个“零件”，使图形符合要求。
用割补法解题经常需要较强的观察能力和想象能力，涉及到的基本关系列成算式表达如下：如果：部分1+部分2=总和那么：部分1=总和-部分2或者：部分2=总和-部分1[例1] 图l中，大圆半径为6，则其阴影部分面积为分析与解答如图2，根据容斥原理：4个半圆的总面积一两两重合的面积(即小正方形内的空白部分)=覆盖桌面的面积(即小正方形的面积)，有：即空白=18π-36 所以总阴影部分面积为：4个半圆面积+正方形面积一空白部分面积[例2] 将图3分成两块，然后拼成一个正方形。
分析与解答如图4所示：[例3】计算图5中阴影部分面积是多少平方厘米(圆半径r=10厘米．π取3．14)?思路剖析要计算图5中阴影部分的面积，关键在于处理图中空白部分的面积。
利用割补进行转化，把空白部分转移到图的边缘，如图6所示。
这样阴影部分面积就可转化为圆面积加上两个正方形的面积来计算。
解答=25π+200=78．5+200=278．5(平方厘米)答：图5中阴影部分面积是278．5平方厘米。
[例4] 求图7中阴影部分的面积(单位：厘米,丌取3.14)．=4π-8=12．56-8=4．56(平方厘米)答：图7中阴影部分的面积是4．56平方厘米。
[例5】某开发区的大标语牌上，要画出如图9所示(图形阴影部分) 的三种标点符号：句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。
若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多?哪一个标点符号的油漆用得少?思路剖析在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：奇偶分析法(练习无答案)全国通用
我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数和偶数两大类。
灵活运用奇偶数的一些性质，可以解决许多复杂而有趣的问题，这种解题方法就叫做奇偶分析法。
奇偶分析法常用于解决判定满足某些条件的事件是否存在的问题。
用奇偶分析法解题，需要用到奇偶数的许多性质，常用的有：(1)相邻的两个自然数总是一奇一偶；(2)偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数；(3)偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数。
[例1] 有四个互不相同的自然数，最大的数与最小的数之差是4。
最大数与最小数之积是奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，则这四个数的乘积是分析与解答由题意知，最大数与最小数之积是奇数，那么最大数和最小数要么是一奇一偶，要么是两奇，又知最大的数与最小的数之差是4，所以这两个数是两个奇数，并且四个数之和是最小的两位奇数，即ll，那么最大数和最小数可能是5和1，7和3，试验得只有5和1再加上3和2符合条件，即四个数的乘积是1×2×3×5=30。
[例2]在一间屋子里，有一百盏电灯排成一排，依从左到右的顺序编上号码1、2、3、4、…、99、100，每盏电灯上有一根拉线开关。
开始的时候，全部电灯是关着的。
有100个同学在门外排着队，第一个人走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关都拉了一下(即把所有的电灯都打开了)；接着第二个人走进屋来，把编号是2的倍数的所有电灯的开关都拉了一下(即把2、4、6、…、98、100号电灯又关上了)；第三个人进来把编号是 3的倍数的所有电灯的开关再拉一下，……最后第100个人走进来，把编号是100的倍数的电灯开关拉了一下(即仅把第100号电灯的开关拉一下)。
这样做完之后，问哪些电灯还亮着?思路剖析一盏电灯最后是亮着还是不亮；由开关被拉的次数决定。
因为开始所有电灯是关着的，所以被拉了偶数次的电灯，最后仍是关着的；被拉了奇数次的电灯，最后则是亮着的。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：推倒法(练习无答案)全国通用
有些数学问题，从条件出发顺向思考很难找到答案，倘若倒过来考 虑，则容易得多。
而这种采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做倒推法。
用倒推法分析数学问题，关键是要掌握数量之间运算的关系。
能用 倒推法求解的数学问题常常满足下列三个条件： (1)已知最后的结果；(2)已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法； (3)未知的是最初的数量。
用倒推法解题的步骤也是从最后得出的结果出发，按照原题运算的 逆运算，步步逆推，从而推算出原数。
[例1】 已知甲、乙、丙三个容器各盛水若干千克。
第一次把甲容器 的一部分水倒入乙、丙两容器，使乙、丙两容器内的水分别增加到原来的2 倍，第二次从乙容器把水倒入丙、甲两容器，使丙、甲两容器水分别增加到 第二次倒之前容器内水的2倍；第三次从丙容器把水倒入甲、乙两容器。
使甲、乙两容器内的水分别增加到第三次倒之前容器内水的2倍，这时各 容器内的水都为16千克。
问甲、乙、丙三个容器内原来各有水多少千 克?思路剖析根据题中条件，画一个表格，用倒推法进行逆运算。
所以由表1可知，甲、乙、丙三个容器原来的水依次为26千克、14千[例2] 某仓库原有化肥若干吨。
第一次运出原化肥的一半，第二次 运进450吨，第三次又运出现有化肥的一半又50吨，结果剩余化肥的2倍 是1200吨。
问仓库原有化肥多少吨? 思路剖析这道题由于原有化肥的总吨数是未知的，所以要想求解是很不容易 的。
根据题意画出图1。
根据图1用倒推法可知，“剩余化肥的2倍是1200吨”，就可以求出剩 余化肥的吨数；根据“第三次运出现有化肥的一半又50吨”。
和剩余化肥 的吨数，就可以求出现有化肥的一半是多少吨?进而可求出现有化肥的 吨数；用现有化肥的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有化肥 的一半是多少，最后再求出原有化肥多少吨? 解答(1)剩余化肥的吨数是：1200÷2=600(吨) (2)现有化肥的一半是：600+50=650(吨) (3)现有化肥的吨数是：650×2=1300(吨) (4)原有化肥的一半是：1300-450=850(吨)(5)原有化肥的吨数是．850×2=1700(吨)综合列式计算：[(1200÷2+50)×2-450]×2=[(600+50)×2-450]×2=(650×2-450)×2=(1300-450)×2=850×2=1700(吨)答：原有化肥为1700吨。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：平移法(练习无答案)全国通用
周长是指图形各边的边长总和，这一讲我们要学习利用平移法及其他方法来求一些图形的周长。
我们已经学习过以下两组周长公式：正方形周长=边长×4长方形周长=(长+宽)×2上述两组公式看起来非常简单，但用途却十分广泛。
本专题里，我们将主要是运用它们来巧求一些表面上看起来不像长方形或正方形的图形的周长。
首先，我们必须掌握转化的思维方法。
所谓转化，在这里是指将某个图形转化为长方形或正方形，以便计算它们的周长。
但一定要注意，在运用转化思维方法时，必须仔细观察题目所给的图形是不是一个直角多边形，即所有的角是不是均为直角。
因为任意直角多边形，总可以移补成一个长方形或正方形。
最后要指出的是前面所述的“转化”过程，实际上是采用平移法将部分“边”平行移动到恰当位置，使得图形变为一个长方形或正方形。
【例1] 求图l“凸”字形和“凹”字形的周长。
(单位：厘米)思路剖析我们发现这两个图形都不是规则的正方形或长方形，所以不能套用两个周长公式。
另外，如果直接利用定义来求解，又有几条线段的长未知，即条件不足。
但由于这两个图形均为直角多边形，因而我们可以将图形进行转化，即用平移法把有关线段平行移动使得图形变为长方形或正方形，分别如下：图2a是由图la把线段AC放在A’C’，CC’放在AA’，DB放在D’B’，DD’放在BB’的位置，两个图的周长相等。
而图1b经过同样处理后转化为图2b，它与图la一样。
那么我们只要求出图2a的周长，所求的两个图的周长均可求出。
而图2a是个长为5，宽为4的长方形，它的周长为(5+ 4)×2=18(厘米)。
解答[5+(3+1)]×2=9×2=18(厘米)答：两个图形的周长均为18厘米。
解答(50+40)×2+20×2=90×2+40=220(米)答：这块草坪的周长为220米。
[例3] 求图4中实线部分“E”字形的周长。
(单位：厘米) 解答☆解法一如图，可将所求周长转化为一个长为3厘米。
六年级下册数学试题-奥数讲义：第01讲 和差倍问题(上)(无答案)全国通用
第一讲和差倍问题（上）1、掌握解决较复杂的和差倍问题和年龄问题，并熟练运用线段图分析数量关系；2、培养学员的读题能力，会找“隐含量”，能理清多种数量彼此对应的关系；3、培养学员解决问题的能力，提高学员的信心。
和倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之和四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本公式：两数和÷（倍数＋1）＝小数（一倍数）小数×倍数＝大数（几倍数）两数和－小数＝大数（几倍数）解答和倍问题一般先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与标准数之间的倍数关系确定总和相当于标准数的多少倍，然后利用除法求出标准数，再求出其他各数。
为了更好的弄清楚题意，通常可采用画线段图的方法。
两个仓库共有存粮173吨，从第一个仓库运出38吨，第二个仓库的粮食是第一个仓库的2倍还多6吨，求第一个仓库、第二个仓库原有粮食各多少吨？A书架加上24本书时，书数正好与B书架上的书数相等。
B书架加上36本书时，书数等于A书架书数的3倍，A、B书架原来各有多少本书？讲演者：得分：讲演者：得分：水果店里有苹果和梨共123筐，已经卖出8筐苹果和15筐梨，剩下苹果的筐数正好比梨多2倍，水果店原有苹果和梨各多少筐？甲乙丙三个数的和为78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2，求甲乙丙各是多少？某家禽养殖场有鸡鸭鹅共1462只，其中鸡的数量比鸭的4倍还多132只，鹅的数量比鸭的2倍少70只，问该养殖场有鸡鸭鹅各多少只？某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变为公鸡只数的4倍，则养鸡场原来一共养了多少只鸡？至慧学堂老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。
她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖。
发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍。
那么共有多少个小朋友？11年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍，14年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，今年父亲多少岁，儿子多少岁？图书馆有语文书、数学书、英语书共72本。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十五讲 应用问题(五)(无答案)全国通用
第十五讲应用问题（五）在应用题的前几讲中，同学们已经学习了如何分析应用题的数量关系，也学习了解答一般应用题，或解答具有一定的解题规律，需用特殊方法解答的应用题的解题方法。
有一定的解题规律的应用题大约有十几种，同学们已经掌握了根据“两数的和与差求两数”、“两数的和与倍数关系求两数”、“两数的差与倍数关系求两数”的解题方法。
在日常生活中，人们离不开乘车或走路，这一讲，讲“行程问题”。
解行程问题经常要用到下面的关系式：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度例 1 慢车从甲地开往乙地，开出 1 小时后，离甲地 40 千米。
这时，快车从乙地开往甲地，快车开出 2 小时30 分后，两车相遇。
已知甲、乙两地相距 265 千米，求快车速度。
分析：已知快车开出 2 小时30 分（2.5 小时）后两车相遇，如果再知道快车 2.5 小时行多少千米，就可以求出快车速度。
要求快车行的路程，就要从总路程中减去慢车1＋2.5＝3.5（小时）所走的路程。
解：（1）慢车共行了多少千米？40×（1＋2.5）＝140（千米）（2）快车行了多少千米？265－140＝125（千米）（3）快车每小时行多少千米？125÷2.5＝50（千米）综合算式：[265－40×（1＋2.5）]÷2.5＝125÷2.5＝50（千米）答：快车每小时行 50 千米。
例2 甲乙两地相距 231 千米，一辆摩托车和一辆自行车同时由甲乙两地相向而行，3 小时相遇。
已知摩托车的速度是自行车速度的 2.5 倍，摩托车和自行车每小时各行多少千米？分析：已知甲乙两地相距 231 千米，又知摩托车和自行车同时从两地相向而行，3 小时相遇，就可以求出两车 1 小时共行多少千米（速度和）。
题目中又给了摩托车的速度是自行车速度的 2.5 倍，就可以根据“已知两数的和与倍数关系”解答此题了。
解：（1）两车 1 小时共行多少千米？231÷3＝77（千米）（2）自行车每小时行多少千米？77÷（2.5＋1）＝22（千米）（3）摩托车每小时行多少千米？22×2.5＝55（千米）综合算式：231÷3÷（2.5＋1）＝77÷3.5＝22（千米）（自行车速度）22×2.5＝55（千米）答：自行车速度是每小时 22 千米，摩托车速度是每小时 55 千米。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：分析综合法(练习无答案)全国通用
我们解题的过程，就是寻找已知条件和所求问题之间联系的思维过程。
这种思维过程有两种，一种是综合法，即从已知出发，由因导果，逐步推出所求的问题；另一种是分析法，即从所求问题出发，执果索因，步步逆推，直到所需条件都已知为止。
而把这两种方法结合起来的思考方法就是分析综合法，即通过边分析，边综合，在分析的时候，随时考虑已知条件，使中间问题向条件靠拢；在综合的时候也要随时注意搭配已知条件，向问题引申。
用这种方法解答一些较难的问题时容易奏效。
[例1] 一类自然数，它们各数位上数的和为2003，那么这类自然数中最小的一个是[例2] 如图l所示，在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，甲环行一周需分析与解答从第一次相遇到第二次相遇用了6+10=16(分钟)，两人共行一圈。
从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共行半圈，即从A到B是半圈。
甲从A到曰用了8+6=14(分钟)，甲环行一周需14×2=28(分钟)。
[例3] 有11只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中的4只杯子同时“翻转”，使其杯口向下。
问能不能经过这样有限多次的“翻转”，使11 只杯口全部向下?为什么?思路剖析对每只杯口向上的杯子，只有“翻转”一次、三次、以后才能使杯口向下，即对每只杯子，只有“翻转”奇数次后，其杯口才能向下。
现在要求8 只杯口全部朝下，那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”，根据前面的性质，这九个奇数的和一定是个奇数，即只有经过奇数次“翻转”才能使11 只杯子的杯口朝下。
另外，每次只能同时“翻转”4只杯子。
这就是说，不管如何“翻转”，最后“翻转”的总次数一定是4的倍数。
4是偶数，所以“翻转”的总次数是个偶数。
前面要求“翻转”总次数必须是奇数，这里又说它一定是偶数，前后矛盾，所以按要求无论怎样“翻转”，都不能使11只杯口全部向下。
解答每只杯口只有经过奇数次“翻转”才能由杯口朝上的状况变为杯口朝下。
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1．在1997后面补上三个数字，组成一个七位数1997口口口，如果这个七位数能被4、5、6整除，那么补上的三个数字的和的最小可能值2．在300到400之间的自然数中，恰有3个约数的数的总和等于3．给定1997个连续的自然数。
已知其中最小数与最大数的平均但是1997，那么最大数等于4．在下式的方框里分别填上2、4、6、8四个数字，使等式成立。
最多可写出个不同的算式。
5．如图1所示，四边形ABCD的周长是60厘米．点M到各边的距离都是4．5厘米，这个四边形的面积是平方厘米。
6．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到，那么这些小朋友最多有人。
7．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。
在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降 40％，二队的工作效率要下降10％。
结果两队同时完成这两项工程。
那么在施工的日子里，雨天确天。
8．龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍。
当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉。
兔子醒来时。
龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么在兔子睡觉期间，龟跑了米。
9．中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长20％，1996年12月份销售了120台，按此速度下去，预计1997年3月份比l月份多销售多少台?(按四舍五入计算)。
10．一辆汽车的速度是每小时50千米，现有一块每5小时慢2分的表，若用该表计时，测得这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数) 11．图2中有九个方格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
问：图中左上角的数是多少?12．甲管注水速度是乙管的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。
现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将游泳池注满，问：甲管注水时间是多少?13．威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25％，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米。
问：高是多少厘米?(按四舍五入计算；π=3．14)14．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。
现甲自A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。
出发时，甲、乙为步行，丙骑车。
途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行。
三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按各自原有方向继续前进。
问：三人之中谁最先到达自己的目的地?谁最后到达目的地?15．某公共汽车线路中间有10个站。
车有快车及慢车两种，快车车速是慢车车速的1．2倍。
慢车每站都停，快车则只停靠中间1个站，每站停留时间都是3分钟。
当某次慢车发出40分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。
问：快车从起点到终点共用多少时间?16．下面是一个由数字组成的三角形，试研究它的组成规律，从而确定其中的X的数值。
17．甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。
已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余人各捐lO册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。
已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册。
各班捐书总数在400册与550册之间。
问：每班各有多少人?1．某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25％，后来按定价的90％出售，每天销售提高到原来的2．5 倍，照这样计算，每天的利润比原来增加2．甲、乙两列火车的速度比是5：4。
乙车先发，从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车往日站，两列火车相遇的地方离A、B两站距离的比是3：4，那A、B两站之间的距离为千米。
3．某次数学竞赛设一、二等奖。
已知：(1)甲、乙两校获奖人数的比为6：5；(2)甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的60％；(3)甲、乙两校获二等奖的人数之比为5：6。
甲校获二等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于4．一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得的两数之差为34．65，则原来的小数是5．已知小明与小强步行的速度比是2：3，小强与小刚步行的速度比是4：5。
已知小刚10分钟比小明多走420米，那么，小明在20分钟里比小强少走．米。
6．三件运动衣上的号码分别是1、2、3，甲、乙、丙三人各穿一件。
现有25个小球。
首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球。
规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。
那么，甲穿的运动衣的号码是7．在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73 分，两队全体同学的平均分为73．5分。
又知乙队比甲队多6人，那么乙队有8．在图1所示的乘法算式中，每一个方框里要填一个数字；每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么，这个乘法算式的最后乘积是． 9．在等腰直角三角形中，D、E两点分别是两腰上的中点(如图2)。
已知三角形ABE的面积是18平方厘米，图中阴影部分的面积是10．53、27和42三个数被同一个数去除，所得的商的和是9，余数的和是14，求它们各自的商和余数?11．把加工一批零件的任务平均分给三名工人。
甲先加工了186个，乙加工了207个，丙加工了127个，这时三人剩下的零件总数与每人分到的个数相等。
问：三人各剩了多少个零件?12．电梯在一座10层的楼房内上下运行。
到二楼时，如果有人上或下，管理员就在盒内放入一个小球；到三楼时，如果有人上或下，就放两个小球；到四楼……以此类推，并且这个规律不变。
如果无人上或下，则不放小球。
一次，电梯从一楼开始上行到达顶层时，有3层楼无人上、下，管理员共放了25个小球，问：有哪几层楼无人上、下?(共有几种情况，都写出来)。
13．一个棱长11厘米的正方体，在它的三个面的中心处各凿一个长、宽各是3厘米的孔，穿透这个正方体(如图3)。
现在这个正方体的表面积比原来增加了多少平方厘米?14．澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛组成，已知澳门的人口为43万人，其中90％居住在半岛上，半岛的面积为7平方千米。
问：半岛上平均每平方千米有多少万人?(取二位小数)。
15．某人年初买了一种股票，该股票当年下跌了20％，第二年应上涨多少才能保持原值?16．甲、乙、丙三所小学学生数的总和为1999，已知甲校学生人数乘以2，乙校学生人数减3、丙校学生人数加4的结果都是相等的。
问：甲、乙、丙各校学生人数是多少?17。
用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?2．一个千位数字是1的四位数，当它分别被四个不同的质数相除时，余数都是1，满足这些条件的最大的偶数是4．下式是经过四舍五入得到的一个式子：其中每一个△代表一个一位自然数，这三个△所代表的三个自然数分别是5．现有一堆工程废料需要清理出去。
第一次运走总量的第二次运走余下的废料的第三次运走余下的第四次运走余下的第五次运走余下的依此规律继续运下去，那么当运走50次后，余下废料是总量的6．甲、乙二人从周长为2．50米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑。
甲每秒跑乙每秒跑那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是分钟。
7．五个连续偶数之和为平方数，中间三个偶数之和为立方数(即一个整数的三次方)。
这样一组数中的最大数的最小值是8．甲、乙、丙三人参加一次考试，共得260分，已知甲得分的乙得分的与丙得分的一半减去22分都相等。
那么丙得9．今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米长的木棍各一根(规定不许折断)，从中选用若干根组成正方形，可有种不同方法。
18．图3是圆心0，半径是10厘米的圆，以C 为圆心，CA 为半径画一圆弧。
求阴影部分的面积。
10．甲、乙两船分别在一条河的A 、B 两地同时相向而行，甲顺流而 下，乙逆流而行。
相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进， 甲到达B 地，乙到达A 地后，都立即按原来路线反航，两船第二次相遇 时，甲船比乙船少行1千米。
如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1 小时20分，则河水的流速为每小日寸11．将1～9这九个数字填入图1的9个圆圈中， 使每个三角形和直线上的3个数字之和都相等(写 出一个答案即可)。
12．一本故事书，李明12天可以看完，而王芳要 比李明多2天看完，李明每天比王芳多看4页。
这本 故事书共有多少页?13．新新商贸服务公司，为客户出售货物收取3％的服务费，代客户 购物品收取2％服务费。
今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和 代为购置新设备。
已知该公司共扣取了客户服务费264元，客户恰好收 支平衡。
问：所购置的新设备花费了多少元?14．甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉。
如果把乙粮仓的面粉 装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下 的面粉占甲粮仓容量的每个粮仓各可以装面粉多少吨?15．10年前父亲的年龄是女儿的7倍，15年后父亲的年龄是女儿的2 倍，现在父亲的年龄多大?16．一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节 与节间隔1．5米，这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2 分钟，这个山洞长多少米?17．如图2，甲、乙两人环绕边长为9米的正方形花 坛四周散步，甲每分钟走30米，乙每分钟走18米，两人 每绕过一个顶点都要多花6秒钟。
甲在出发后多少分 钟，在什么地点刚好追上乙?。