2013届高考数学(理)一轮复习课件：第三篇导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理)
高三理数一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理
������ ������
f(t)dt.
(
)
(2)若
f(x)是连续的偶函数,则
������ -������
f(x)dx=2
������ 0
f(x)dx;若
f(x)是连续
的奇函数,则
������ -������
f(x)dx=0.
()
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所
2
-������
|12
=
1-
1 2
-0+
1 2
×
22-2
−
1×
2
12-1
=1.
考点1
考点2
考点3
-14-
解题心得计算定积分的解题步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数 与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
f(x) 2.定积分的几何意义
(,定积分
������ ������
的几dx
何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面
积(图①中阴影部分).
图①
图②
(2)一般情况下,定积分
������ ������
f(x)dx 的几何意义是介于x轴、曲线
; (其中 a<c<b).
-7-
知识梳理 双基自测
1234
4.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么
高考数学一轮复习第三章导数及其应用积分的运算及应用课件
3．(1)已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx＝8，则 0
6 f(x)dx 等于( )
-6
A．0
1 N 能拉长弹簧 1 cm，为了将弹簧拉长 6 cm，需做功__0_.1_8____ J.
解析 (1)因为 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，
所以6 f(x)dx＝26f(x)dx＝8×2＝16.故选 D.
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a
b
个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式，为了方便，常常把
b
bf(x)dx＝
a
F(x) ＝F(b)－F(a)
a
．
F(b)－F(a)记作
F(x)
a
，即
6 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
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4 常见求定积分的公式 (1)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)；
＝
－13.故选 B.
(2) 如图，面积 S＝1xdx＋ 0
141xdx＝12x210
＋ln x4
1
＝12＋ln 4.
(3) 1a2x＋1xdx＝1a2xdx＋1a1xdx＝x2a1
＋ln xa
1
＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
a2－1＝3，
所以a＝2.
解得 a＝2.
15 撬点·基础点 重难点
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撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
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高中数学课件：导数的概念及计算、定积分
考点二 导数的几何意义(综合之翼巧贯通)
考法(一) 求切线方程 [例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的 切线方程为________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲 线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
解：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率k＝ln12， ∴切线方程为y＝ln12(x－1)， ∴所求三角形的面积S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝12log2e.
考点一 导数的运算(基础之翼练牢固) [题组练通]
1．已知f(x)＝sinx21－2cos2x4，则f′(x)＝________.
解析：因为f(x)＝sinx2－cosx2＝－12sin x， 所以f′(x)＝－12sin x′＝－12(sin x)′＝－12cos x. 答案：－12cos x
f(x)＝sin x f(x)＝ex
f(x)＝ln x
f(x)＝xα(α∈Q *) f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝___co_s__x f′(x)＝__e_x__
1
f′(x)＝__x__
f′(x)＝ αxα－1
考法(二) 求切点坐标 [例2] (1)已知函数f(x)＝xln x在点P(x0，f(x0))处的切线与 直线x＋y＝0垂直，则切点P的坐标为________． (2)(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然 对数的底数)，则点A的坐标是________．
高考数学一轮复习课件：第三篇导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理
微积分基本定理的推论
推论一
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意 x∈[a, b]，有F(x)=∫xaf(t)dt。
推论二
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且∫abf(x)dx=0，则f(x)=0在[a, b]上至少 有一个根。
03
定积分的应用
高档题解析
总结词
考察定积分的概念和微积分基本定理的综合 应用。
详细描述
高档题涉及定积分的概念和微积分基本定理 的综合应用，包括求复杂的定积分、利用微 积分基本定理解决复杂问题等，需要较高的 数学思维和解题能力。
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性质2
定积分的区间可加性，即对于闭 区间[a,b]上的连续函数f(x)，有 ∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b) f(x)dx，其中c是a和b之间的任意 一点。
性质3
定积分的常数倍性质，即对于任 意实数k，有 ∫(a,b)kf(x)dx=k∫(a,b)f(x)dx。
02
变速直线运动的路程问题
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
详细描述
对于一个变速直线运动，其速度函数为$v(t)$，根据定积分的定义，路程$s$可以表示为 $s = int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$，其中$t_1$和$t_2$分别为运动开始和结束的时间。
示例
如果一个物体在$0 leq t leq 2$时间内以速度函数$v(t) = t^2$运动，求其路程。根据定 积分计算，得$s = int_{0}^{2} t^2 dt = left[frac{t^3}{3}right]_{0}^{2} = frac{8}{3}$。
高考数学一轮总复习第三章导数及应用4定积分与微积分基本定理课件理
第十八页，共41页。
【解析】 (1)∵(x5)′＝5x4，
∴105x4dx＝x5 Ｋ102＝105－25＝99 968. 2
(2)3(1＋x＋x2)dx＝31dx＋3xdx＋3x2dx
1
1
1
1
＝x Ｋ31＋12x2 Ｋ31＋13x3 Ｋ31
＝(3－1)＋12(32－12)＋13(33－13)＝434.
S＝2(2x－x)dx－2(x2－x)dx＝x22|20－(x33－x22)|21＝2－(83－2)
0
1
＋(13－12)＝76.
第二十八页，共41页。
方法三：如图(2)，把整个区域上定积分问题，转 化成 y 是自变量的情况．
由方法一知 O，A，B 三点的纵坐标分别是 0，1， 4，
故所求的面积 S＝S△AEO＋S3， 其中 S3 是两线段 BE，AE 和抛物线段 AB 围成的区域的面积．
第二页，共41页。
课前自助餐
第三页，共41页。
定积分的定义
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－ 1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个区间[xi －1，xi]上取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑ i＝n 1f(ξi)Δxi＝∑ i＝n 1b－n af(ξi)，
0
【答案】 ①240 m ②240 m
第三十六页，共41页。
(2)设力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x＝1 运 动到 x＝10，已知 F(x)＝x2＋1 且和 x 轴正向相同，求力 F(x)对质 点 M 所作的功．
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
2013届高考数学理一轮复习课件3.18定积分与微积分基本定理
π
2 0
sin 2
x 2
dx
=
π
2 0
1
cos 2
x
dx
＝(12x－12sinx)
π
|02
＝π－4 2.
【点评】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指 数函数与常数的积或差；
②分别用求导公式找到一个相应的原函数；
③计算原始定积分的值．
四、定积分综合问题
求：(1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程．
【解析】(1)在时刻 t＝4 s 时该点的位置为
4(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|40＝34 m.
0
即在 t＝4 s 时，该点距出发点43 m.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)
【点评】①分段函数在区间[a，b]上的积分可分 成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定， 按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细.
1．定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的 原函数，即导数运算的逆运算．
2．定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程 和物理原理．
3．利用定积分求平面图形面积的步骤：
【解析】(1)由 f(x)＝x3－x，得 f′(x)＝3x2－1＝3(x－ 33)(x＋ 33)， 当 x∈(－∞，－ 33)，( 33，＋∞)时， f′(x)＞0； 当 x∈(－ 33， 33)时，f′(x)＜0. 因此，f(x)的单调增区间为(－∞，－ 33)， ( 33，＋∞)， 单调减区间为(－ 33， 33)．
(2)2(e2x＋1x)dx； 1
(3)
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个 常数 ，
这个 常数 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝
0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
(word完整版)高三理科数学一轮总复习导数及其应用教师用书95891
第三章导数及其应用高考导航知识网络3.1 导数的概念与运算典例精析题型一 导数的概念【例1】 已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ， 求0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.【解析】由导数的定义知：0Δlim→x f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－20Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx 的极限.【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/minB.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min 【解析】选A. 题型二 求导函数【例2】 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2.(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x 1－x 32)-1－x ＋x (1－x )2＝13(x 1－x 32)-1(1－x )2 ＝13x 32- (1－x ) 34-【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(用数字作答).【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2， 由导数定义0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2. 题型三 利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0 (x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， 所以y 0x 0＝x 2－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 20－6x 0＋2. 又 k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝x 20－3x 0＋2，其中x 0≠0， 解得x 0＝32.所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38).【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由 y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得2－y 0＝(3x 20－3)(－2－x 0)，① 而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.总结提高1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求0Δlim→x ΔyΔx ＝0Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的值；(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值. 2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.3.2 导数的应用(一)典例精析题型一 求函数f (x )的单调区间【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞). f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x (x －a ＋22)x －1，①若a ≤0，则a ＋22≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，＋∞).②若a ＞0，则a ＋22＞1，故当x ∈(1，a ＋22]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0；当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0，所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞).【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围. 【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，所以2x ＋1x －a ≥0在(0,1)上恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立.又2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，取等号).所以a ≤22，故a 的取值范围为(－∞，22].【点拨】当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时⇒f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立；同样，当函数f (x )在区间(a ，b )上为减函数时⇒f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.题型二 求函数的极值【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . 因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-② ,13① ,032ac ab又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以当f ′(x )＝32x 2－32＞0时，有x ＜－1或x ＞1；当f ′(x )＝32x 2－32＜0时，有－1＜x ＜1.所以函数f (x )＝12x 3－32x 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f (x )来讲， f (x )在点x ＝x 0处取极值的必要条件是f ′(x )＝0.但是， 当x 0满足f ′(x 0)＝0时， f (x )在点x ＝x 0处却未必取得极值，只有在x 0的两侧f (x )的导数异号时，x 0才是f (x )的极值点.并且如果f ′(x )在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；如果f ′(x )在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值.【变式训练2】定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞3，则有( )A.f (x 1)＜f (x 2)B.f (x 1)＞f (x 2)C.f (x 1)＝f (x 2)D.不确定【解析】由f (3－x )＝f (x )可得f [3－(x ＋32)]＝f (x ＋32)，即f (32－x )＝f (x ＋32)，所以函数f (x )的图象关于x ＝32对称.又因为(x －32)f ′(x )＜0，所以当x ＞32时，函数f (x )单调递减，当x ＜32时，函数f (x )单调递增.当x 1＋x 22＝32时，f (x 1)＝f (x 2)，因为x 1＋x 2＞3，所以x 1＋x 22＞32，相当于x 1，x 2的中点向右偏离对称轴，所以f (x 1)＞f (x 2).故选B.题型三 求函数的最值【例3】 求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f ′(x )＝11＋x －12x ，令11＋x －12x ＝0，化简为x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2或x 2＝1，其中x 1＝－2舍去.又由f ′(x )＝11＋x －12x ＞0，且x ∈[0,2]，得知函数f (x )的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f (x )的单调递减区间是(1,2)，所以f (1)＝ln 2－14为函数f (x )的极大值.又因为f (0)＝0，f (2)＝ln 3－1＞0，f (1)＞f (2)，所以，f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，f (1)＝ln 2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值.【点拨】求函数f (x )在某闭区间[a ，b ]上的最值，首先需求函数f (x )在开区间(a ，b )内的极值，然后，将f (x )的各个极值与f (x )在闭区间上的端点的函数值f (a )、f (b )比较，才能得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.【变式训练3】(2008江苏)f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝. 【解析】若x ＝0，则无论a 为何值，f (x )≥0恒成立. 当x ∈(0,1]时，f (x )≥0可以化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，x ∈(0，12)时，g ′(x )＞0，x ∈(12，1]时，g ′(x )＜0.因此g (x )max ＝g (12)＝4，所以a ≥4.当x ∈[－1,0)时，f (x )≥0可以化为 a ≤3x 2－1x 3，此时g ′(x )＝3(1－2x )x 4＞0， g (x )min ＝g (－1)＝4，所以a ≤4. 综上可知，a ＝4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是： (1)确定函数f (x )的定义域D ； (2)求导数f ′(x )；(3)根据f ′(x )＞0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递增区间；根据f ′(x )＜0，且x ∈D ，求得函数f (x )的单调递减区间.2.求函数极值的步骤是： (1)求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)判断f ′(x )在方程根左右的值的符号，确定f (x )在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是：先求f (x )在(a ，b )内的极值；再将f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.3 导数的应用(二)典例精析题型一 利用导数证明不等式 【例1】已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.【解析】(1)由已知f ′(x )＝x ＋1x，当x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，因此f (x )在 [1，e]上为增函数. 故f (x )max ＝f (e)＝e 22＋1，f (x )min ＝f (1)＝12，因而f (x )在区间[1，e]上的值域为[12，e 22＋1].(2)证明：令F (x )＝f (x )－23x 3＝－23x 3＋12x 2＋ln x ，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，因为x ＞1，所以F ′(x )＜0， 故F (x )在(1，＋∞)上为减函数. 又F (1)＝－16＜0，故x ＞1时，F (x )＜0恒成立， 即f (x )＜23x 3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时( )A.f ′(x )＞0，g ′(x )＞0B.f ′(x )＞0，g ′(x )＜0C.f ′(x )＜0，g ′(x )＞0D.f ′(x )＜0，g ′(x )＜0 【解析】选B. 题型二 优化问题【例2】 (2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21 ＝m2x2(x 23－512).令f ′(x )＝0，得x 23＝512.所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r ，高为h ， 则由已知可得4(4r ＋2h )＝9.6，所以2r ＋h ＝1.2. S ＝2.4πr －3πr 2，h ＝1.2－2r ＞0，所以r ＜0.6. 所以S ＝2.4πr －3πr 2(0＜r ＜0.6). 令f (r )＝2.4πr －3πr 2，则f ′(r )＝2.4π－6πr . 令f ′(r )＝0得r ＝0.4.所以当0＜r ＜0.4，f ′(r )＞0； 当0.4＜r ＜0.6，f ′(r )＜0.所以r ＝0.4时S 最大，S max ＝1.51. 题型三 导数与函数零点问题【例3】 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5.因为f (2)＝23，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为y －23＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0.(2)f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4). 令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2.当x ∈(－∞，m －2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，m －2)上是增函数； 当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数； 当x ∈(m ＋2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(m ＋2，＋∞)上是增函数.因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧≠->--.0)4(3,0)4(12)3(222m m m 解得m ∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4). 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0.此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去. 当m ∈(－2,2)时，m －2＜0＜m ＋2， 所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1. 当m ∈(2,4)时，0＜m －2＜m ＋2， 所以0＜m －2＜α＜m ＋2＜β.因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立， 所以α＜1＜β.所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值.因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值， 所以m ＋2＝1，即m ＝－1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是{－1}.【变式训练3】已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＞0时，F (x )的递增区间为(1a ，＋∞)，递减区间为(0，1a)； 当a ≤0时，F (x )的递减区间为(0，＋∞). (2)[12ln 2，1e). 总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.3.4 定积分与微积分基本定理典例精析题型一 求常见函数的定积分 【例1】 计算下列定积分的值. (1)⎰21(x －1)5d x ；(2)⎰2π(x ＋sin x )d x .【解析】(1)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5， 所以⎰21 (x －1)5d x ＝6)1(61-x 12＝16. (2)因为(x 22－cos x )′＝x ＋sin x ， 所以⎰2π0(x ＋sin x )d x ＝)cos 2(2x x -12π＝π28＋1. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f (x )是偶函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝2⎰a 0f (x )d x ； ②若f (x )是奇函数时，则⎰-a a f (x )d x ＝0. 【变式训练1】求⎰-55(3x 3＋4sin x )d x . 【解析】⎰-55(3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.又f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x ).所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎰05(3x 3＋4sin x )d x ， 所以⎰-55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎰-50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎰05(3x 3＋4sin x )d x ＝0. 题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 得交点A (2,2)，B (8，－4)，则S ＝⎰02[2x －(－2x )]d x ＋⎰28[4－x －(－2x )]d x＝0223324x ＋28)32224(232x x x +-＝163＋383＝18. 方法二：S ＝⎰-42[(4－y )－y 22]d y ＝42)61214(32---y y y ＝18. 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值.【变式训练2】设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中x 3的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx －3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】T r ＋1＝C r k (x k )r ，令r ＝3，得x 3的系数为C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.由⎩⎨⎧-==34,2x y x y 得函数y ＝x 2与y ＝4x －3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S ＝⎰13(4x －3－x 2)d x ＝(2x 2－3x －13)313x ＝43. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时阻力所做的功.【解析】(1)当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )≤0，所以前2秒内所走过的路程为s ＝⎰01v (t )d t ＋⎰12(－v (t ))d t ＝⎰01(1－t 2)d t ＋⎰12(t 2－1)d t=01)31(3t t -＋12)31(3t t -＝2.2秒末所在的位置为x 1＝x 0＋⎰02v (t )d t ＝1＋⎰02(1－t 2)d t ＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x 1＝13. (2) 物体的速度为v ＝(bt 3)′＝3bt 2.媒质阻力F 阻＝kv 2＝k (3bt 2)2＝9kb 2t 4，其中k 为比例常数，且k ＞0.当x ＝0时，t ＝0；当x ＝a 时，t ＝t 1＝(a b)31， 又d s ＝v d t ，故阻力所做的功为W 阻＝⎰阻F d s ＝⎰01t kv 2·v d t ＝k ⎰01t v 3d t ＝ k ⎰01t (3bt 2)3d t ＝277kb 3t 71 ＝ 277k 3a 7b 2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v (t )＝⎰a ba (t )d t ，s (t )＝⎰ab v (t )d t 和W ＝⎰a b F (x )d x 这三个公式.【变式训练3】定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F [1，log 2(x 2－4x ＋9)]的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与线段OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解析】因为F (x ，y )＝(1＋x )y ，所以f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))＝)94log(22+-x x ＝x 2－4x ＋9，故A (0,9)，又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B (n ，t )(n ＞0)，f ′(x )＝2x －4. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=,42,942n nt n n t 解得B (3,6)， 所以S ＝⎰03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝(x 33－3x 2＋9x )03=9. 总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.。
2013高考数学一轮复习课件_定积分与微积分基本定理(理)
[答案]
4 3
21
ex，x∈[0，1] 本例中f(x)改为f(x)＝1x，x∈1，e].
再求∫e0f(x)dx的值．
22
解：∫e0f(x)dx＝∫10exdx＋∫e11xdx ＝ex| 10＋ln x| e1＝e－1＋lne－ln1＝e.
23
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
3
4
一、定积分的性质
b
b
1.akf(x)dx＝
k a
f(x)dx(k为常数)
；
b
b
b
2.a[f(x)±g(x)]dx＝
a
f(x)dx±a
g(x)dx
；
b
b
3.a
f(x)dx＝c a
f(x)dx+ c
f(x)dx (其中 a＜c＜b)．
1．(2012·齐齐哈尔调研)计算∫π0(sin x－cos x)dx＝________. 解析：∫π0(sin x－cos x)dx＝∫π0sin xdx－∫π0cos xdx ＝(－cos x)| π0－sin x| π0＝2.
答案：2
24
2．(2012·石家庄模拟)∫02|1－x|dx＝________.
9
10
1．计算∫10x2dx＝
A.14
B.13
C.12
D．1
解析：∫10x2dx＝13x3|01＝13×1－13×0＝13.
答案：B
()
11
2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是 ( )
A．S＝∫01(x2－x)dx C．S＝∫01(y2－y)dy
B．S＝∫10(x－x2)dx D．S＝∫01(y－ y)dy
新课标高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理课件理
第九页，共25页。
(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围 成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
第十页，共25页。
(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图 形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微 积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理 意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
第二十五页，共25页。
解：01( 1－x2－x)dx＝01 1－x2dx－01xdx＝π4
－12x2|10＝π4 －12.故填π4 －12.
第十一页，共25页。
类型一 计算简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)2x－1xdx；
1
(3)π(sinx－cosx)dx. 0
第十二页，共25页。
点分别为(－1，0)和(1，0)．
所以 S＝2|x2－1|dx＝1(1－x2)dx＋2(x2－1)dx
0
0
1
＝x－x33|10＋x33－x|12＝1－13＋38－2－13－1＝
2.故填 2.
【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应 注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利 用对称性，使问题简化．
解：(1)－3 1(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.
2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课件)3-4定积分与微积分基本定理(理)
(3)定积分bf(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 a
[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
2．定积分的几何意义 当 f(x)≥0 时，定积分b f(x)dx 的几何意义：表示由
a
直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时b
二、填空题
4.
[答案] 10 [解析] ∵|x＋1|＋|x－1|＝－ 2 2－x 1<x≤x<－1 1 ，
2x x≥1
[点评] 由定积分的几何意义知，积分值为图 中阴影部分的面积．
[答案] D
[解析]
2．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则 a 的值为(
A．6
B．4
C．3
) D．2
[答案] D
[解析] ∵1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)|1a ＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2 ∴a＝2.
3．已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2＋n，函数
f(x)＝1x1t dt，若 f(x)<a3，则 x 的取值范围是(
)
A. 63，＋∞ C．(e－11，e)
B．(0，e21) D．(0，e11)
[答案] D [解析] f(x)＝1x1t dt＝lnt得，0<x<e11.
n32(i－1)＝nli→m∞
32·n－n 1＝32.
[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 曲线 y＝x3 围成的图形的面积吗？答案：145.
定积分的几何意义
[例 2] (2010·深圳市调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与 直线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( )
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故所求面积 S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝ 23x32＋16x210＋ 2x－13x213
＝23＋16＋43＝163.
考向三 定积分的应用 【例 3】 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在 t＝4 s 的位置； (2)在 t＝4 s 内运动的路程． [审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数．
围成的封闭图形的面积为( )．
1 A.2
B．1
3 C. 2
D. 3
答案 D
3．(2011·山东)由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面积为
( )．
1
1
1
7
A.12
B.4
C.3
D.12
解析 由yy＝ ＝xx23， ， 得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面
积为 S＝1(x2－x3)dx＝ 0
13x3－14x410＝112.
答案 A
4．如图，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝sin x(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内 随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则 所投的点落在阴影部分的概率
A.π
设阴影部分面积为 S.
①S＝bf(x)dx； a
②S＝－bf(x)dx； a
③S＝cf(x)dx－bf(x)dx；
a
c
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝ b[f(x)－g(x)]dx .
a
a
a
(2)匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝bv(t)dt .
求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐 标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清 被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达 式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．
【训练 2】 求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面 积． 解 由yy＝ ＝2－x，x， 得交点 A(1,1)；
B.π
C.4
D.π
解析
阴影部分的面积 S＝
πsin
0
xdx＝－cos
xπ0＝－(－1－1)＝
2，矩形的面积为 2π.
概率 P＝阴影矩部形分面的积面积＝22π＝1π.故应选 A.
答案 A
5．(人教 A 版教材习题改编)汽车以 v＝(3t＋2)m/s 作变速直线
运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是________．
解 (1)在时刻 t＝4 时该点的位置为
4(t2－4t＋3)dt＝
0
13t3－2t2＋3t04＝43(m)，
即在 t＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.
(2)因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]
上的 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以 t＝4 s 时的路程为
【训练 3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路 线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如 图所示)．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的 是( )． A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面 B．t1 时刻后，甲车在乙车后面 C．在 t0 时刻，两车的位置相同 D．t0 时刻后，乙车在甲车前面 解析 可观察出曲线 v 甲，直线 t＝t1 与 t 轴围成的面积大于曲线 v 乙，直线 t＝t1 与 t 轴围成的面积，故选 A. 答案 A
1
(xcos x－5sin x＋2)dx＝
1－12dx＝2x1－1＝4.
－1
(1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被
积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是
互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．
(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分．
(3)若 y＝f(x)为奇函数，则
一个公式 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数， 由此可知，求导与积分是互为逆运算．
双基自测
1．(2011·福建)1(ex＋2x)dx 等于( )． 0
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析 1(ex＋2x)dx 0
＝ ex＋x210 ＝(e＋1)－1＝e.
答案 C
2．(2011·湖南)由直线 x＝－3π，x＝3π，y＝0 与曲线 y＝cos x 所
a
一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解 决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极 限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯 曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成就． 三条性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．
S＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝ 13t3－2t2＋3t01＋| 13t3－2t2＋3t13|＋
13t3－2t2＋3t34＝43＋43＋43＝4 (m)， 即质点在 4s 内运动的路程为 4 m.
由 s＝v0t＋12at2 通过求导可推出 v＝v0＋at，反之根据 积分的几何意义，由 v＝v(t)(v(t)≥0)可求出 t∈[a，b]时间段内 所经过的路程．
解析
s
＝
2(3t
1
＋
2)dt
＝
32t2＋2t 21
＝
32×4
＋
4
－
32＋2
＝10－
7 2
＝123(m)．
答案 6.5 m
考向一 定积分的计算 【例 1】 计算下列积分
[审题视点] 求积分关键是求其原函数，当原函数较难求时，可 考虑由其几何意义解得．
(5)由 y＝xcos x－5sin x 为奇函数
＝0.
考向二 利用定积分求面积 【例2】 求下图中阴影部分的面积．
[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．
解 解方程组yy＝ 2＝x2－x，4，
得xy＝＝2－2 ，或xy＝＝84
S ＝8 阴影
2xdx－8＋2|－
2x|dx＋2
0
0
＝ 2 23x3280＋ 2 23x3220－6＝18.