湖南省沅江三中2012届高三第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

沅江三中2012届高三第一次月考数学（理科）试卷1,函数()2()log 6f x x -的定义域是（ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤2, 若2log a ＜0，1()2b ＞1，则( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜03, 下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ） A ．12y x =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2x y =4, 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）5,定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则 ( )(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-< (C) (2)(1)(3)f f f -<< (D) (3)(1)(2)f f f <<-6, 设向量)1,1(-=x ，)3,1(+=x ，则”“2=x 是//“”的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7, 给出下列四个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立； ③对于集合,M N ，若x MN ∈，则x M ∈且x N ∈.④若||||OA OB OA OB +=-则向量,OA OB 垂直。

其中真命题的个数是 ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8，以下三个命题：①关于x 的不等式11≥x的解为]1,(-∞②曲线2s i n 2y x =与直线0x =，34x π=及x 轴围成的图形面积为1s ，曲线y =0x =，2x =及x 轴围成的图形面积为2s ，则122s s +=③直线03=-y x 总在函数x y ln =图像的上方其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39, 设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ 则2()f x dx ⎰=__________ 10, 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是11, 已知：,1,2,1=∙==b a b a 则b a +与b a -的夹角为12，已知(1,7),(3,1)OA OB ==,D 为线段AB 的中点，设M 为线段OD 上的任意一点，（O 为坐标原点），则MA MB ⋅的最大值为 。

13，已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是14, 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 15, 有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． ④由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是[)1,+∞，其中假命题的序号是 ．三、解答题：（本大题6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16, （本小题满分12分） 设U R =，()232f x x x =++，()2(1),g x x m x m m R =+++∈， （1）设集合(){}|0A x f x ==，(){}|0B x g x ==；若()U C A B =∅，求m 的值. （2）设集合(){}|,P y y f x ==()[){}|Q m g x =∞在区间-1，+上是增函数，求P Q ⋂. 17，（本小题满分12分）已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R ，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量→a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 12)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d =(1,2)， （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集.18，（本小题满分12分）函数)(2)(23R x x ax x x f ∈+++=（Ⅰ）若的取值范围求实数上是增函数在a ，，x x f )()(∞+-∞∈。

（Ⅱ）2)(03++==x x x f ，a 曲线时的切线斜率的取值范围记为集合A ，曲线),(),(2)(22113y x ，Q y x p x x x f 上不同两点++=连线斜率取值范围记为集合B ，你认为集合A 、B 之间有怎样的关系，（真子集、相等），并证明你的结论。

（Ⅲ）)()(23)(323x f ，x f x x x x ，f a ''+++==是二次函数的导函数时的图象关于轴对称。

你认为三次函数23)(23+++=x x x x f 的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论。

19，（本小题满分13分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；（2）现有两个奖励函数模型：(1)y ＝2150x+；(2)y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？20，（本小题满分13分）已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．21，（本小题满分13分）已知函数)(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=．（1）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若[]1,3x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象在区间()1,+∞内恒在直线2y ax =下方，求实数a 的取值范围．沅江三中2012届高三第一次月考数学（理科）试卷23πα∴=1, D 2, D 3, C 4, A 5, A 6, A 7, D 8， A9, 56 10, 1sin()212y x π=+ 11, 12， 1013，21π++-=x y14, ②③ 15, ①④ 三、解答题：16, 解：（1）A={}1,2--，当1m =时，B={}1-，此时()U C A B =∅，∴1m =适合， 当1m ≠时，B={}1,m --，又()U C A B =∅，∴2m =，综上：1m =或2（2）1,4P ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，()2221(1)(1)()24m m g x x m x m x m ++=+++=+-+ 由题意有：112m +-≤-，即1m ≥，∴Q=[)1,+∞，∴P Q ⋂=[)1,+∞ 17，解；（1）设f (x )图象上的两点为A(－x ,y 1）、B(2＋x , y 2），因为(－x )＋(2＋x )2=1 f (－x ) = f (2＋x )，所以y 1= y 2由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称， ∴x ≥1时，f (x )是增函数 ；x ≤1时，f (x )是减函数。

（2）∵→a ·→b =（sinx ，2）·（2sinx , 12）=2sin 2x ＋1≥1，→c ·→d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥1，∵f (x )在是[1，+∞）上为增函数，∴f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )⇔f (2sin 2x ＋1)＞ f (cos 2x ＋2)⇔ 2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔ cos 2x ＜0⇔2k π＋2π＜2x ＜2k π＋23π,k ∈z ⇔k π＋4π＜x ＜k π＋43π, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4π＜x ＜43π综上所述，不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集是：{ x |4π＜x ＜43π } 。

18，解（Ⅰ）123)(2)(223++='+++=ax x x f x ax x x f 得若3301242<<-<-=∆a a 即时对于上单调递增在有R x f x f Rx )(0)(∴>'∈若301242±==-=∆a a 即时对于0)3(0)(,=-'≥'∈a f x f R x 当且仅当有故f(x)在R 上单调递增若△> 0，显然不合综合所述，[]3,3,)(-∈a a R x f 取值范围为上是增函数在（Ⅱ）A B ⊆ 证明：2)(3++=x x x f 有[)∞+=≥+=',1113)(2A x x f 故设PQ 斜率K ，则212132312121)()()()(x x x x x x x x x f x f k --+-=--==2122212121)1)((x x x x x x x x -+++- 143)2(122221222121+++=+++=x x x x x x x020121221≠=+=≠x xx x x x 有故若若0020222121≠≠-==+x xx x x 得有043)2(22221>++x x x 得),1(1+∞=∴>B k 故 A B ⊆（Ⅲ）的图象具备中心对称23)(23+++=x x x x f证明1，由1163)(2-=++='x x x x f 对称轴 现证中心对称图象关于点)3,1()(-C x f设),()3,1(),(,)(),(00y x N C y x M x f y y x M 对称的点为关于且图象上任意一点是-= 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+321200y y x x 得⎩⎨⎧-=--=y y x x 620023)(020300+++=x x x x f)(66)23()44(3)6128(2)2()2(3)2(0002323223x f y y y x x x xx x x x x x x x ==+-=++++-=-++++++-=+--+--+--=即故M 关于点图象也在函数对称的点)(),()3,1(00x f y y x N C =-对称图象关于点函数)3,1()(-=∴C x f y19，解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[10，1000]时，①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③()5xf x ≤恒成立. …………4分（Ⅱ）（1）对于函数模型()2150xf x =+： 当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<. 所以f (x )≤9恒成立.因为函数()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()111[]15055f x x =+>. 从而()1211505f x x x =+≤，即()5xf x ≤不恒成立. 故该函数模型不符合公司要求. （2）对于函数模型f (x )＝4lg x －3：当x ∈[10，1000]时，f (x )是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=.所以f (x )≤9恒成立.设g (x )＝4lg x －3－5x ，则4lg 1()5e g x x '=-. 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-≤=<，所以g (x )在[10，1000]上是减函数，从而g (x )≤g (10)＝－1＜0.所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x，所以()5xf x <恒成立.故该函数模型符合公司要求. 20，解⑴1a =．⑵由于21()ax f x x +'=． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减． ⑶当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----．当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负．所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立21，解：（1） )(ln )21()(2R a x x a x f ∈+-=的定义域为(0,)+∞． 当0a =时，21()ln 2f x x x =-+，2/11()x f x x x x-=-+=． 由/()0f x >，结合定义域，解得01x <<，故得函数()f x 的单调递增区间为(0,1)（2）x x x f ln )1()(+<，即21()ln ()2a x x x a R -<∈， ∵[]1,3x ∈，∴ln 12x a x <+．令ln 1()2x g x x =+， 则[]1,3x ∃∈，使x x x f ln )1()(+<成立，等价于max ()a g x < ∵/21ln ()x g x x-=．由/()0g x =，结合[]1,3x ∈，解得：x e =． 当1x e ≤<时，/()0g x >；当3e x <≤时，/()0g x <．故得max 11()()2g x g e e ==+． ∴实数a 的取值范围是11(,)2e -∞+． （3）令21()()2()2ln 2h x f x ax a x ax x =-=--+，()h x 的定义域为(0,)+∞．函数()f x 的图象在区间()1,+∞内恒在直线2y ax =下方，等价于()0h x <在(1,)+∞上恒成立，即max ()0h x <．/1(1)[(21)1]()(21)2x a x h x a x a x x---=--+=． ① 若12a >，令/()0h x =，得1211,21x x a ==-． 当211x x >=，即112a <<时，在2(1,)x 上，/()0h x <，()h x 为减函数，在(1,)+∞上，/()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为2((),)g x +∞，不合题意． 当211x x ≤=，即1a ≥时，同理可得在(1,)+∞上，/()0h x >，()h x 为增函数，故()h x 的值域为1((),)g x +∞，也不合题意．②若12a ≤，则有210a -≤，此时，在区间(1,)+∞上，恒有/()0h x <，从而()h x 为减函数，max 1()(1)02h x h a ==--≤，结合12a ≤，解得1122a -≤≤． 综合①②可得：实数a 的取值范围1122a -≤≤．。