二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a≠0。
它的图像是抛物线。
顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可以用以下公式求得：x=-b/2ay=f(x)=a(x-h)^2+k其中，(h,k)表示顶点的坐标。
通过这个公式，我们可以很方便地求得二次函数的顶点坐标。
应用一：求解最优问题二次函数的顶点坐标在数学上具有重要的意义，它可以用来求解很多最优问题。
例如，我们想要在一个矩形内部，离一条边的距离最远，那么这个问题可以转化为求解顶点坐标的问题。
我们可以通过求解二次函数的极值来找到这个最优解。
应用二：描述物体运动的轨迹二次函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个物体从离地面一定高度开始自由下落，那么它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
我们可以通过求解二次函数的顶点坐标，来确定物体的最高点、落地点和运动轨迹等信息。
应用三：经济学中的边际分析在经济学中，边际分析是一种重要的工具，而二次函数的顶点坐标可以用来分析边际效应。
边际效应是指增加或减少一个单位的其中一种输入所产生的效益变化。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以找到产生边际效应最大或最小的输入水平，从而指导经济决策。
应用四：求解几何问题在几何学中，二次函数的顶点坐标也有广泛的应用。
例如，在平面几何中，已知一个抛物线和一条直线，我们想要找到抛物线上离直线最近和最远的点，就可以通过求解二次函数的顶点坐标来解决这个问题。
应用五：拟合实验数据二次函数的顶点坐标还可以用来拟合实验数据。
当我们通过实验或观察得到一些数据点时，可以通过求解二次函数的顶点坐标，来得到一个最佳的二次函数模型，以便与观察数据相拟合。
总结：二次函数的顶点坐标公式是一个简单且实用的工具，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。
它可以用来解决最优问题、描述物体运动的轨迹、经济学中的边际分析、求解几何问题以及拟合实验数据等。
通过掌握二次函数的顶点坐标公式，我们可以更好地理解和应用这个函数模型。
二次函数顶点式坐标公式
二次函数顶点式坐标公式顶点式坐标公式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示二次函数的顶点的坐标。
为了推导二次函数顶点式坐标公式，首先我们需要将一般形式的二次函数转化为顶点式坐标公式。
步骤1：将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c写成完全平方的形式。
在一般形式中，我们可以通过配方法将二次项的系数a提取出来，即y=a(x^2+(b/a)x)+c。
然后，我们将括号内的完全平方形式写为(x+(b/2a))^2，即y=a(x+(b/2a))^2+c-(b^2/4a)。
步骤2：通过移项将表达式转化为顶点式坐标公式。
现在，我们将上式右侧的两项合并为常数k，即k=c-(b^2/4a)。
我们可以将x+(b/2a)看作是一个新的变量，记为u=x+(b/2a)。
则y=a(u^2)+k。
因此，我们得到了二次函数顶点式坐标公式y=a(x-h)^2+k，其中h=-b/2a，k=c-(b^2/4a)。
这表示二次函数的顶点在坐标(h,k)处。
顶点式坐标公式的解释如下：1.顶点的横坐标x坐标为-h，其中h为一次项系数b与二次项系数a 的比值的负数。
它满足h=-b/2a，表示顶点横坐标在x=-b/2a处。
2.顶点的纵坐标y坐标为k，其中k为常数c减去(b^2/4a)。
它满足k=c-(b^2/4a)，表示顶点纵坐标为c-(b^2/4a)。
顶点式坐标公式的应用：1.找到二次函数的顶点坐标，以便画出函数的图像。
2.通过顶点坐标，确定二次函数在x轴上的对称轴。
3.分析二次函数的开口方向（凸向上还是凸向下）：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
4.根据顶点坐标，确定二次函数在x轴上的最值。
当二次函数开口向上时，顶点是二次函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是二次函数的最大值。
总之，二次函数顶点式坐标公式是一种便于分析和计算二次函数的顶点位置的方法。
通过这个公式，我们可以简单地找到二次函数的顶点坐标，并利用它来解决各种相关问题。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b )/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m) +k(a,h,k为常数，a0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次
方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是一个特殊的二次多项式函数，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
其中，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在x轴上的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
顶点坐标公式是二次函数的一个重要性质，可以用来确定二次函数的顶点坐标。
假设二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，那么它的顶点坐标可以通过以下公式求得：x=-b/2ay = f(x) = ax^2 + bx + c其中，x表示顶点在x轴上的坐标，y表示顶点在y轴上的坐标。
应用一：确定二次函数的最值二次函数的顶点坐标可以用来确定该二次函数的最值。
当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，此时顶点为函数的最小值；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为函数的最大值。
应用二：求解二次方程将二次函数表示为y = 0的形式，可以得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，可以求出二次函数的根。
根据二次方程的解的性质，如果判别式D = b^2 - 4ac大于0，则有两个不相等的实数根；如果D = 0，则有两个相等的实数根；如果D < 0，则没有实数根。
应用三：问题建模二次函数的顶点坐标公式可以应用于一些实际问题中的建模。
例如，商品的价格下降趋势可以用二次函数模型表示。
假设x表示时间，y表示价格，可以通过已知的两个数据点确定二次函数的两个参数a、b，从而得到价格随时间变化的函数。
顶点坐标可以表示价格的最低点，也可以表示价格开始上涨或下降的时间点。
应用四：数据拟合通过收集一系列的数据点，可以将二次函数的顶点坐标作为拟合函数的最低点，通过调整参数，使得拟合函数尽可能地与实际数据点相吻合，从而可以对未知数据进行预测和估计。
总结：二次函数顶点坐标公式是二次函数重要的性质之一，可以用来确定二次函数的顶点坐标。
应用二次函数顶点坐标公式可以求解二次方程、确定二次函数的最值、进行问题建模以及数据拟合等。
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式二次函数是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由顶点坐标决定。
顶点坐标公式是用来求解二次函数的顶点坐标的公式。
顶点坐标是抛物线的最高或最低点的坐标，也是二次函数的关键特征之一在我们推导顶点坐标公式之前，我们需要了解一些基本概念和性质：1.抛物线的轴对称性：抛物线对称于其顶点所在的直线。
轴对称线称为抛物线的轴线。
2. 顶点坐标的性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
为了推导顶点坐标公式，我们需要先将二次函数转化为标准的顶点形式。
这可以通过完成平方的方式来实现。
一般而言，通过配方，我们可以将一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c 转化为顶点形式的函数。
1. 首先，我们考虑二次函数的x部分，即y=ax^2+bx。
将其配方得：y=a(x^2+b/a*x)。
2.接下来，我们要补充平方项。
将这一步骤拆分为两部分：-对于x^2项，我们要添加(a/2)^2，以保持平方。
所以，我们将其变为：y=a(x^2+b/a*x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)。
-对于b/a*x项，我们要添加(b/2a)^2-(b/2a)^2所以，我们将其变为：y=a(x^2+b/a*x+(b/2a)^2-(b/2a)^2)。
3.将x^2项与x项相加并分解。
将(b/2a)^2分解为两个相同的项(b^2/4a^2)，我们得到：y=a((x+b/2a)^2-b^2/4a^2)。
4.最后，我们加上常数项c，以得到最终的顶点形式。
将其变为：y=a((x+b/2a)^2-b^2/4a^2)+c。
现在，我们已经将一般形式的二次函数转化为顶点形式其中，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a^2)。
顶点坐标公式为：顶点坐标=(-b/2a,c-b^2/4a^2)。
通过这个公式，我们可以直接计算出任何一般形式的二次函数的顶点坐标。
顶点坐标公式二次函数表达式
顶点坐标公式二次函数表达式
二次函数表达式是一种重要的数学模型，它是用来描述特定几何图
形在坐标系中的位置，位置以坐标顶点表示。
它具有特定的公式格式：y^2 = ax2 + by + c，其中y为函数值，a、b、c为系数。
本文将介绍顶
点坐标公式二次函数表达式的具体内容：
一、定义：
二次函数曲线：它是一个满足方程y²=ax²+bx+c的函数的图形表示。
顶点：在二次函数中，经过所有点的曲线有两个极点，这两个极点就
是二次函数曲线的顶点。
顶点坐标公式：可以用二次函数表达式来求取一个二次函数曲线的顶
点坐标，它的公式如下：
(x0,y0)=(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
二、计算方法
（1）准备所需的材料：一个二次函数的方程，如y²=ax²+bx+c，其中a，b，c为系数。
（2）求解方法：将系数a、b、c代入到顶点坐标公式中然后解算：
(x0,y0)=(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
（3）结果：根据上述公式得出结果，用以判断二次函数曲线的顶点坐标。
三、应用：
应用二次函数表达式，可以方便地求出几何图形的顶点坐标，指导实际计算问题的求解。
四、总结：
顶点坐标公式二次函数表达式的求解方法是：将系数a、b、c代入顶点坐标公式：(x0,y0)=(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，得出具体的顶点坐标结果，用以描述几何图形在空间中的位置、方向等信息。
二次函数与曲线的顶点坐标求解技巧
二次函数与曲线的顶点坐标求解技巧二次函数是高中数学中常见且重要的概念，它的图像是一条平滑的曲线，其中最重要的特征之一就是顶点。
顶点坐标的求解对于理解二次函数的性质和解决实际问题非常有帮助。
本文将介绍求解二次函数与曲线的顶点坐标的几种常用技巧。
一、标准式求解顶点坐标二次函数的标准式一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
通过标准式，我们可以很方便地求解二次函数的顶点坐标。
1. 顶点的横坐标：二次函数的顶点横坐标可通过下式求得：x = -b / (2a)。
这个公式是由于二次函数的横坐标是一个抛物线的对称轴，对称轴的方程可以通过对函数的一阶导数求解得到，即y' = 0，将一阶导数等于0，解得x = -b / (2a)。
2. 顶点的纵坐标：将顶点横坐标代入二次函数的标准式可求得顶点的纵坐标。
例如，二次函数的标准式为y = 3x^2 + 2x + 1，根据上述求解方法，我们可以得到顶点的横坐标 x = -b / (2a) = -2 / (2*3) = -1/3。
将顶点的横坐标代入二次函数的标准式可得顶点的纵坐标 y = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) + 1 = 4/3。
因此，二次函数y = 3x^2 + 2x + 1的顶点坐标为(-1/3, 4/3)。
二、顶点形式求解顶点坐标二次函数还可以通过顶点形式的表示来求解顶点坐标。
顶点形式的二次函数表达式为：y = a(x-h)^2 + k，其中(a≠0)。
通过顶点形式，我们可以直接读取顶点的坐标。
例如，二次函数的顶点形式为y = 2(x+3)^2 + 4，从这个式子中我们可以直接读取到顶点坐标为(-3, 4)。
三、图像特征观察法除了数学公式的运算求解，我们还可以通过观察二次函数的图像特征来估算和求解顶点坐标。
1. 面积法：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a>0时，对应的图像是一个开口向上的抛物线。
二次函数顶点式公式的推导方法
二次函数顶点式公式的推导方法摘要：1.二次函数顶点式公式简介2.二次函数顶点式公式的推导过程3.顶点式公式在实际问题中的应用4.结论与总结正文：【1】二次函数顶点式公式简介二次函数是中学数学中的重要内容，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
顶点式公式是二次函数的一种特殊表示形式，形式为y = a(x - h)^2 + k。
顶点式公式更容易理解二次函数的图像特征，如顶点位置、开口方向等。
【2】二次函数顶点式公式的推导过程要将二次函数转化为顶点式公式，我们可以通过以下步骤进行推导：1.先将二次函数的一般形式进行完全平方处理，得到y = a(x^2 + b/2a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
2.化简上式，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b^2/4a) + c。
3.由此可知，二次函数的顶点式公式为y = a(x - h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - (b^2/4a)。
【3】顶点式公式在实际问题中的应用顶点式公式在实际问题中具有广泛的应用，如求解最值问题、几何问题等。
以下是一个求解最值问题的例子：已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其在x轴上的最大值。
解析：首先求出顶点坐标，h = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1，k = c -(b^2/4a) = 3 - (0/4*2) = 3。
所以顶点坐标为(1, 3)。
由于a > 0，所以二次函数开口向上，因此在顶点处取得最小值。
将x = 1代入原函数，得到最小值为y = 2*1^2 - 4*1 + 3 = 1。
所以二次函数在x轴上的最大值为1。
【4】结论与总结通过以上分析，我们可以看出二次函数顶点式公式具有直观、易于理解的特点。
掌握顶点式公式的推导过程和实际应用，有助于提高我们的数学素养和解决问题的能力。
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式
普通地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)普通式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),那么称y 为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式〔与x轴〕：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x
轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数经过配方都可以化为顶点式y＝
a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，依据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝
ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
1 / 1。
二次函数顶点坐标公式
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当抛物线y＝ax2的顶点在原点.
二次函数顶点坐标公式
二次函数顶点坐标公式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
二次函数一般式与顶点坐标公式
二次函数一般式与顶点坐标公式一、二次函数一般式二次函数是指函数的最高次项是二次的多项式函数。
具体形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般式包含了二次函数的三个重要参数，分别是a、b和c。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，a的正负决定了开口向上还是向下；b决定了二次函数的对称轴位置；c决定了二次函数的纵坐标偏移。
具体来说，若a>0，则二次函数开口向上，a的绝对值越大，开口程度越大；若a<0，则二次函数开口向下，a的绝对值越大，开口程度越大。
b决定了二次函数关于y轴的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c决定了二次函数的纵坐标偏移，即二次函数图像在y轴上的位置。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，即二次函数图像的最值点。
顶点坐标可以直接读出二次函数的一般式，也可以通过顶点坐标公式计算得到。
顶点坐标公式为：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
其中，-b/2a对应了二次函数关于x的对称轴的横坐标，即对称轴的x坐标；f(-b/2a)对应了二次函数关于x的对称轴的纵坐标，即对称轴上的函数值。
通过顶点坐标，可以很直观地描述二次函数的形态。
若a > 0，顶点坐标为(xv, yv)，则函数图像在顶点上有一个最小值点，该点是图像上的最低点；若a < 0，顶点坐标为(xv, yv)，则函数图像在顶点上有一个最大值点，该点是图像上的最高点。
顶点坐标公式的推导过程如下：设y = ax^2 + bx + c为二次函数的一般式，对x进行平移，即将对称轴的横坐标平移到原点，令z = x + b/2a，则原方程化简为：y=a(z-b/2a)^2+c= az^2 - abz + ab^2/4a^2 + c= az^2 - abz + b^2/4a + c其中，z=x+b/2a为新的横坐标，代表了对称轴，将z带入原方程可得。
由于这是一个关于z的二次函数，而关于二次函数的顶点坐标公式已知，即顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，所以原方程的顶点坐标为(-(b/2a+b/2a),f(-(b/2a+b/2a)))=(-b/2a,f(-b/2a))。
二次函数的顶点坐标公式
二次函数的顶点坐标公式二次函数是代数中的一个常见函数类型，它的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像为一个抛物线，它的顶点是最值点，对于抛物线向上开口（a>0）的二次函数，顶点为最低点，对于抛物线向下开口（a<0）的二次函数，顶点为最高点。
本文将介绍二次函数的顶点坐标公式，帮助读者理解二次函数的特性以及如何确定顶点坐标。
1. 二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最值点，决定了抛物线的开口方向以及最低点或最高点的位置。
我们知道，二次函数的图像是一个平滑的曲线，没有拐点或角点。
而顶点恰好位于平滑曲线的转折点处。
2. 二次函数顶点的横坐标公式要确定二次函数的顶点的横坐标，我们可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)其中，a为二次项系数，b为一次项系数。
这个公式可以通过配方法或求导等方式推导得到，但在使用时，我们只需记住该公式的形式即可。
通过将这个公式代入二次函数的横坐标，我们可以轻松地求出顶点的横坐标。
3. 二次函数顶点的纵坐标公式要确定二次函数的顶点的纵坐标，我们可以将顶点的横坐标代入原二次函数中，即将 x = -b / (2a) 代入 f(x) = ax^2 + bx + c。
f(-b / (2a)) = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c化简上式可得：f(-b / (2a)) = (-b^2 + 4ac) / (4a)相比于顶点的横坐标公式，顶点的纵坐标公式需要多一些计算步骤，但同样是通过将顶点的横坐标代入原函数来求解。
综上所述，二次函数的顶点坐标公式为：横坐标：x = -b / (2a)纵坐标：y = (-b^2 + 4ac) / (4a)这是求解二次函数顶点坐标的常用公式，可以帮助我们快速准确地确定二次函数的顶点坐标。
在实际问题中，顶点坐标可以提供重要的信息，帮助我们研究函数的特性和解决实际应用问题。
二次函数求菱形顶点坐标公式
二次函数求菱形顶点坐标公式
二次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k。
具体情况：
当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h 个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
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5、△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高
AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边
QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，
假设这个矩形PQMN的一边长PQ=x(cm), 面积是
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
B
PF Q
C
❖2．抛物线y＝ax2-4x-6的顶 点横坐标是-２，则a=_____.
❖3.已知二次函数y＝x2-6x+m 的最小值为１，则m=____.
4.抛物线y＝ax2 +2x+c的顶点坐标是
（
1 3
，１），则a=____ ,c=___.
5.求二次函数y＝mx2＋2mx ＋3(m＞0)的图象的对称 轴，并叙述该函数的增减 性.
作业本
2、如图所示，△ABC中，AB=6厘米，BC=8厘米，
∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移 动.当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动. 如
果P、Q分别从A、B同时出发,经过x秒△PBQ的面积等于
y平方厘米.
（1）写出y(平方厘米)与x(秒)之 C
(1)用含有x的代数式表示BF的长.
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系 式.
(3)当x为何值时D ，SC有最大值，并求出这个最大值.
G
A
EBF
8.如图：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AF为BC边上 的高，矩形PQED的边PQ在线段BC上，点D、E分别 在线段AB、AC上，设BP=x.
应用2.利用二次函数
的最大（小）值解决 实际问题.
▪例、 用长20cm的铁丝围成 一矩形框架，如果矩形的一 边长为xcm，写出矩形面积y （cm2）与x（cm）之间的函 数关系式.并求x为多少时， 这个矩形的面积最大，最大 面积为多少？
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
图 26.2.5
过程看课本16页的例5
❖ 做练习2题 3题（规范写法）
1.已知直角三角形两条 直角边的和等于8cm,求 当两条直角边各为多少 时,此直角三角形的面积 最大,最大面积是多少?
小结：
▪ 1.抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式： h=- b 2a
k= 4acb2
4a
▪ ２.熟练应用二次函数顶点坐标公式解 决实际问题．
P
EN
BQ
DM C
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求AC、BC长；
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
B
P
C
7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
当 当xx22baba时时yy最最大小==
4ac b2 4a
4ac b2 4a
左减右增
左增右减
应用1.直接求抛 物线的顶点坐标.
1.把二次函数y=-
1 5
x²-2x+2化为
y=a(x-h)²+k的形式为_______,
其图象的顶点坐标为____,
对称轴为_____；
当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而增小.
4.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可 售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售, 增加盈利,商场决定采取适当的降价措施, 经过调查发现,每件衬衫每降价1元,商场 平均每天就可以多卖出 2件.若商场每天 要赢利y元，每件衬衫应降价x元.
(1)写出ｙ与ｘ的函数关系式，并确定自 变量的取值范围.
(2) 当每件衬衫降价多少元时，每天的赢 利最多．最多赢利是多少?
第七课时
抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)
顶点坐标公式：
h=- b
2a
k= 4acb2
4a
二次函数y=ax²+bx+c 的图象及性质
条 件
a≠0 开
口
图象
对称轴 顶点
性质
增减性 最 值
a＞0
向 上
b ,
直线x b 2a
2a 4ac b2
a＜0 向
4a
下
二次函数的图象特点和性质（两种形式的统一）：
二次函数 开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0 增 a＞0 减 性 a＜0
y=a(x－h)2+k
y=ax2+bx+c
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
x=h
x b 2a
(h , k)
b 2a
,
4ac 4a
b2
当x=h时y最小值=k 当x=h时y最大值=k
间的函数关系式.
Q
（2）经过几秒时△PBQ的面积最大，
最大面积是多少.
B
A
P
3.一边靠校园院墙(院墙长22米)， 其它三边用40米的篱笆围成一个矩 形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米 (AB边垂直于墙)，面积为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式(并且
确定自变量x的取值范围);
(2)当AB为多少时此矩形ABCD面积最 大，并求这个最大面积.