高二数学必修五简单线性规划检测
人教B版人教B版高中数学必修五3.5.2《简单线性规划》测试
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）【高中数学新人教B 版必修5】3.5.2《简单线性规划》测试一．选择题：1．以下四个命题中，正确的是（ ）Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x －y=0同侧 Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）A ．右上方B ．右下方C ． 左下方D ．左上方3．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 Ｃ．223 Ｄ．2 二．填空题： 4．若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤≤+≤822624y x y x ，则x+y 的范围是 。
6．非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是 。
7．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是 。
8．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（ ）A ． 2B ． 1C ． －2D ． －39．已知变量x 、y 满足约束条件1≤x+y ≤4，－2≤x －y ≤2。
若目标函数z=ax+y （其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围是 。
10．设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距离的最大值是 。
三．解答题：11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A 型、B 型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型、B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。
人教B版人教B版高中数学必修五第3章 3.4 简单线性规划 同步测试()
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.4 简单线性规划（数学人教B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1. 若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是( )A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)2. 已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3. 设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A. 256B.83C.113D.44. 设x，y满足24,1,22,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z=x+y（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值二、填空题(每小题5分，共10分)5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 .6．若x，y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.三、解答题(共70分)7．（15分）变量x，y满足(1)设z= ，求z的最小值；(2)设，求z的取值范围.8. （15分）试用不等式组表示由直线20,x y++=210,x y++=210x y++=围成的三角形区域（包括边界）.9.（20分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？10．(20分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？3.4 简单线性规划（数学人教B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.4 简单线性规划（数学人教B 版必修5）参考答案一、选择题1. B 解析：如图所示，可行域为△ABC .当a =0时，显然成立. 当a ＞0时，直线ax +2y -z =0的斜率k =- ＞=-1，∴ a ＜2. 当a ＜0时，k =- ＜=2，∴ a ＞-4.综上可得-4＜a ＜2.2. C 解析：作出可行域，如图，因为目标函数z =x-y 中y 的系数-1＜0，而直线y =x-z 表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y 轴上的截距最小，此时z 取最大值2；当它过点（0，1）时，在y 轴上的截距最大，此时z 取最小值-1，所以z =x-y 的取值范围是［-1，2］，故选C.3.A 解析：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by =z （a ＞0，b ＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为（4，6）时，目标函数z =ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大值12，即4a+6b =12，即2a+3b =6，而2a +3b=（2a +3b ）·236a b =136+b a +a b ≥136+2=256，故选A.4.B 解析：如图,作出不等式组表示的可行域，由于z =x+y 的斜率大于2x+y =4的斜率，因此当z =x+y 过点（2，0）时，z 有最小值2，但z 没有最大值.二、填空题5. 4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则解得A (2，0).由解得B (2，4).∴ S = ×4×2=4.6. 4 -4 解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z =2x+y 可知当x =2，y =0时，z 最大值为4；当x =-2，y =0时，z 最小值为-4.三、解答题7. 解：由约束条件作出(x ，y )的可行域如图所示. 由 得A (1， ). 由得C (1，1). 由得B (5，2).(1)∵ z = = ，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率， 由图形可知== .(2)的几何意义是可行域上的点到坐标原点O 的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，=|OC |= ，=|OB |= .∴ 2≤z ≤29.8．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图.取原点（0，0），将x =0，y =0代入x+y+2得2＞0，代入x+2y+1，得1＞0，代入2x+y+1得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩9.解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为z =3x+2y ，作出可行域如图. 把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z最小，即z 最小.由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A (145，3)，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.10.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z =80x ， ∴ 当x =300时，z m ax =80×300=24 000（元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元. （2）设只生产书橱y 张，可获利润z 元.则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z =120y ，∴ 当y =450时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元.则0.10.290,2900,2600,2600,0,0,00,x y x y x y x y x x y y +≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤+≤⎪⎪⇒⎨⎨≥≥⎪⎪⎪⎪≥≥⎩⎩z =80x+120y .作出可行域如图. 由图可知：当直线y =-23x+ 120z经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为（100，400）.∴ z max =80x+120y =80×100+120×400=56 000（元）. 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.。
北师大版数学高二-必修5试题 3.4简单线性规划
3.4.简单线性规划同步练习1．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式( )A ．2x ＋y －2≥0B ．2x ＋y －2≤0C ．2x －y －2≥0D ．2x －y －2≤0解析：由截距式得直线方程为x 1＋y 2＝1， 即2x ＋y －2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －2，得2×0＋0－2＜0，且(0,0)不在图中平面区域内，故不等式为2x ＋y －2≥0.答案：A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：不等式组表示的平面区域如图，点A 的坐标为(3,6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S ＝12×3×6＝9. 答案：C3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案：B4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A ．C ．∪[43，＋∞) 解析：画出前三个不等式表示的平面区域为图中△OAB ，当直线l ：x ＋y ＝a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形，又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43. 所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案：D5．若点A (3,3)，B (2，－1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 解析：∵点A ，B 在直线两侧，∴(3＋3－a )(2－1－a )＜0.即(a －6)(a －1)＜0.解得1＜a ＜6.答案：(1,6)6．观察如图区域，它对应的不等式组是________．解析：由图可求三边对应的直线方程分别为x ＋y －3＝0；x －2y ＝0； x －y ＋1＝0，由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.7．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3a ＋4－3＞0.∴a ＞－13. 又∵P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离等于25，∴|a －8＋2|5＝2 5.∴|a －6|＝10. ∴a ＝16或－4.又∵a ＞－13，∴a ＝16. ∴P (16,4)．8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界及内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)∵直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点．∴点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0两侧或有一点在直线上．将B ，C 的坐标代入4x －3y －a ，得(14－a )(－18－a )≤0，得a 的取值范围是．1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2.则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最大值，也无最小值 解析：如图所示，作出可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，当l 0平移至过点A (2,0)时，z 有最小值2，无最大值．答案：B2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为 ( ) A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：画出可行域如图，分析图可知当直线z ＝x ＋2y 经过点A (0，1)，C (0，－1)时分别对应z 的最大值和最小值．答案：B3．已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．(－125，－310) B ． C ．(－512，－103) D ． 解析：∵k BC ＝1－450－23＝－310，k AC ＝45－023－1＝－125， ∴－125＜k ＜－310. 答案：A4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，32)C ．解析：作出可行域如图． ∵a >0，b >0.∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，得A (4,6)． ∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，32]． 答案：D5．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x－y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，显然直线z ＝2x －y 经过点A (1,1)时z 最小，则2x －y 的最小值为1.答案：16．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤a ≤1.答案：7．设z ＝x ＋2y －4，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求z 的最大值和最小值．解：作出可行域(如图)，其中可行域的顶点为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．将直线l 0：x ＋2y ＝0平移，当直线平移到B (3,1)处时，对应直线l 1的纵截距最小，此时z 也取得最小值；当直线平移到C (7,9)时，对应直线l 2的纵截距最大，此时z 也取得最大值．将B (3,1)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z min ＝1；将C (7,9)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z max ＝21.所以z 的最小值为1，最大值为21.8．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． 解：画出可行域，如图阴影部分所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示可行域内点P (x ，y )到原点O 距离的平方，由图可知，当P 与C 重合时，u 最大，当P 与O 重合时，u 最小，又C 点坐标为(3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。
人教A版高中数学必修五 3-5简单的线性规划问题习题课
3.5简单的线性规划问题习题课（检测学生版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．106．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．8．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳均为6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．。
人教版高中数学高二人教A版必修5练习 .1简单的线性规划问题
第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5 B．6 C．7 D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由⎩⎨⎧y＝x，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝－1，y＝－1，所以A(－1，－1)．由⎩⎨⎧x＋y＝1，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝2，y＝－1，所以B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，z min＝2×(－1)－1＝－3＝n，当直线y＝－2x＋z经过点B时，z max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案：B2．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x －y的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：作出可行域如图所示．l o：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－32，在B点处z取最大值为6.答案：A3．已知实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx －y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1 B.12C．－12D．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个．答案：A4．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y 的最大值为2，则实数a的值是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝12x－12t在点(2，a－22)处取得最大值，即t max＝2－2·a－22＝4－a＝2，得a＝2.答案：C5．设关于x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2＞0，解得m ＜－23，故选C.答案：C 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0.则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由⎩⎨⎧x＝1，x－y＋1＝0，得A(1，2)，所以|AO|2＝5.答案：58．若点P(m，n)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－7≤0，x－2y＋5≤0，2x－y＋1≥0所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎨⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎨⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9x＋4y≤300，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥15，y≥15.z＝7x＋12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－712x＋z12，得到斜率为－712，在y轴上截距为z12，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距z12最大，z最大．解方程组⎩⎨⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300得点A坐标为(20，24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B 级 能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32.所以a的取值范围是1≤a≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a的取值范围为(－4，2)．。
(完整版)高二线性规划试卷(最新,含答案)
高二线性规划试卷（最新，含答案）一．选择题（共26 小题）1．（ 2013?四川）若变量x， y 满足拘束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为 b，则 a﹣ b 的值是（ C ）A ．48B． 30C． 24D． 16考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先依据条件画出可行域，设z=5y ﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转变成y 轴上的截距最大，只要求出直线，过可行域内的点 B （ 8， 0）时的最小值，过点A（ 4，4）时， 5y ﹣ x 最大，从而获得a﹣ b 的值．解答：解：满足拘束条件的可行域以以下图所示在座标系中画出可行域平移直线 5y ﹣ x=0，经过点 B （8， 0）时， 5y﹣ x 最小，最小值为：﹣ 8，则目标函数 z=5y﹣ x 的最小值为﹣ 8．经过点 A （ 4， 4）时， 5y﹣ x 最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣ x 的最大值为16．z=5y ﹣x 的最大值为a，最小值为b，则 a﹣ b 的值是： 24．应选 C．评论：借助于平面地域特征，用几何方法办理代数问题，表现了数形联合思想、化归思想．线性规划中的最优解，平时是利用平移直线法确立．2．（ 2013?湖南）若变量x， y 满足拘束条件，则x+2y的最大值是（）A．B．0C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，可适合x=， y=时， x+2y获得最大值为．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设 z=F（ x， y）=x+2y ，将直线 l： z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值∴z 最大值 =F（，）=应选： C评论：此题给出二元一次不等式组，求目标函数z 的最大值，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（ 2013?湖北）某旅游社租用 A 、B 两种型号的客车安排900 名客人旅游， A 、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1600 元 /辆和 2400 元 /辆，旅游社要求租车总数不超出 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为（）A ．31200 元B． 36000 元C． 36800 元D． 38400 元考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：设分别租用A、 B 两种型号的客车x 辆、 y 辆，总租金为z 元．可得目标函数z=1600x+2400y ，联合题意建立关于x、y 的不等式组，计算A、B 型号客车的人均租金，可得租用 B 型车的成本比 A 型车低，所以在满足不等式组的状况下尽可能多地租用 B 型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入拘束条件与目标函数考据，可得当 x=5 、y=12 时， z 达到最小值 36800．解答：解：设分别租用 A 、B 两种型号的客车x 辆、 y 辆，所用的总租金为z 元，则z=1600x+2400y ，此中 x、 y 满足不等式组，（x、y∈N）∵ A型车租金为1600 元，可载客36 人，∴A型车的人均租金是≈44.4 元，同理可得 B 型车的人均租金是=40 元，由此可得，租用 B 型车的成本比租用 A 型车的成本低所以，在满足不等式组的状况下尽可能多地租用 B 型车，可使总租金最低由此进行考据，可适合x=5、 y=12 时，可载客36×5+60×12=900 人，吻合要求且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800 ，达到最小值应选： C评论：题给出实质应用问题，要求我们建立目标函数和线性拘束条件，并求目标函数的最小值，侧重观察了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题．4．（ 2013?北京）设关于x， y 的不等式组表示的平面地域内存在点P（x0， y0），满足 x0﹣ 2y0=2，求得 m 的取值范围是（ C ）A ．B．C． D ．考点：简单线性规划．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：先依据拘束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1 ，要求可行域包括直线y= x﹣ 1 上的点，只要界限点（﹣m， 1﹣ 2m）在直线y= x﹣ 1 的上方，且（﹣ m，m）在直线 y= x﹣1 的下方，从而建立关于m 的不等式组，解之可得答案．解答：解：先依据拘束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣ 2m+1，要求可行域包括直线y=x﹣ 1 上的点，只要边界点（﹣ m， 1﹣ 2m）在直线 y= x﹣ 1 的上方，且（﹣m， m）在直线y=x﹣ 1 的下方，故得不等式组，解之得： m＜﹣．应选 C．评论：平面地域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，要点是正确地画出平面地域，分析表达式的几何意义，而后联合数形联合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．5．（ 2012?四川）若变量x， y 满足拘束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A ．12B． 26C． 28D． 33考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出拘束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的分析式，分析后易得目标函数z=3x+4y 的最大值．解答：解：作出拘束条件，所示的平面地域，作直线3x+4y=0 ，而后把直线L 向可行域平移，联合图形可知，平移到点 C 时z 最大由可得C（ 4， 4），此时z=28应选 C评论：此题主要观察了线性规划的简单应用，解题的要点是，明确目标函数的几何意义6．（ 2012?山东）设变量x，y 满足拘束条件则目标函数z=3x﹣ y 的取值范围是（ A ）A ．B．C． [﹣ 1，6]D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出不等式组表示的平面地域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z 的几何意义可求 z 的最大值与最小值，从而可求z 的范围解答：解：作出不等式组表示的平面地域，以以下图由 z=3x ﹣y 可得 y=3x ﹣ z，则﹣ z 为直线 y=3x ﹣ z 在 y 轴上的截距，截距越大， z 越小联合图形可知，当直线y=3x ﹣ z 平移到 B 时， z 最小，平移到 C 时 z 最大由可得B（，3），由可得 C（ 2， 0），z max=6∴应选 A评论：此题观察画不等式组表示的平面地域、观察数形联合求函数的最值．解题的要点是正确理解目标函数的几何意义7．（ 2012?辽宁）设变量x， y 满足，则2x+3y的最大值为（）A ．20B． 35C． 45D． 55考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出满足拘束条件的平面地域，联合几何意义，而后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．解答：解：满足拘束条件的平面地域以以下图所示：令 z=2x+3y 可得 y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线 l ： 2x+3y=0把直线向上平移可得过点 D 时 2x+3y 最大，由可得 x=5 ，y=15 ，此时 z=55应选 D评论：此题观察的知识点是简单线性规划，此中画出满足拘束条件的平面地域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答此题的要点．8．（ 2009?陕西）若x，y 满足拘束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是（B）A ．（﹣ 1，2）B．（﹣4， 2）C．（﹣ 4， 0]D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：惯例题型；压轴题．分析：先依据拘束条件画出可行域，设z=ax+2y ，再利用z 的几何意义求最值，只要利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处获得最小值，从而获得 a 的取值范围即可．解答：解：可行域为△ABC ，如图，当 a=0 时，明显建立．当 a＞ 0 时，直线 ax+2y ﹣ z=0 的斜率 k=﹣＞ k AC =﹣1， a＜ 2．当 a＜ 0 时， k= ﹣＜k AB=2a＞﹣ 4．综合得﹣ 4＜ a＜ 2，应选 B．评论：借助于平面地域特征，用几何方法办理代数问题，表现了数形联合思想、化归思想．线性规划中的最优解，平时是利用平移直线法确立．9．已知 a＞ 0，x，y 满足拘束条件，若z=2x+y的最小值为1，则 a=（B）A ．B．C．1D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先依据拘束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只要求出直线z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而获得 a 值即可．解答：解：先依据拘束条件画出可行域，设 z=2x+y ，将最大值转变成y 轴上的截距，当直线 z=2x+y 经过点 B 时， z 最小，由得：，代入直线y=a（ x﹣ 3）得， a=应选 B．评论：此题主要观察了用平面地域二元一次不等式组，以及简单的转变思想和数形联合的思想，属中档题．借助于平面地域特征，用几何方法办理代数问题，表现了数形联合思想、化归思想．线性规划中的最优解，平时是利用平移直线法确立．10．（ 2013?淄博二模）已知x， y 满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则 k=（B）A ．﹣16B．﹣6C．D．6考点：简单线性规划．分析：由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件（ k为常数）的可行域，依据目标函数的分析式形式，分析获得最优解的点的坐标，而后依据分析列出一个含参数 k 的方程组，消参后即可获得 k 的取值．解答：解：画出x， y 满足的（ k为常数）可行域以以下图：因为目标函数z=x+3y 的最大值为8，可得直线y=x 与直线 8=x+3y 的交点 A （2， 2），使目标函数z=x+3y 获得最大值，将 x=2 ，y=2 代入 2x+y+k=0 得： k=﹣ 6．应选 B．评论：假如拘束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面地域，分析获得最优解是哪两条直线的交点，而后获得一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去 x， y 后，即可求出参数的值．11．（2013?珠海二模）已知变量x、 y 满足，则z=2x﹣y的值域是（D）A ．[0，3]B．（0，3）C．（﹣3，）D．[﹣3，]考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ ABC及其内部，再将目标函数z=2x ﹣ y 对应的直线进行平移，可适合x=y=时， z=2x+y获得最大值为；当x=0， y=3时， z=2x+y 获得最小值为﹣3．由此即可获得z=2x﹣ y 的值域．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （0， 3），B （，），C（，）设 z=F（ x， y）=2x ﹣ y，将直线 l： z=2x﹣ y 进行平移，当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最大值，可得 z 最大值 =F （，） = 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值，可得 z 最小值 =F（0， 3） =﹣ 3所以， z 的取值范围为[﹣ 3，] ，即 z=2x﹣ y 的值域是 [﹣ 3，]应选： D评论：此题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x ﹣ y 的取值范围，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12．（ 2013?珠海二模）假如实数x， y 满足：，则目标函数z=4x+y 的最大值为（ C ）A ．2B． 3C．D． 4考点：简单线性规划．专题：计算题；数形联合．分析：此题主要观察线性规划的基本知识，先画出拘束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的分析式，分析后易得目标函数Z=4x+y 的最小值．解答：解：拘束条件的可行域以以下图示：由图易得目标函数z=4x+y 在 A （，）处获得最大，最大值，应选 C．评论：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：① 由拘束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标 ? ③将坐标逐个代入目标函数 ? ④考据，求出最优解．13．（ 2013?许昌三模）设 x，y 满足拘束条件，若目标函数z=ax+by（ a＞ 0，b＞ 0）的最大值为12，则+的最小值为（）A ．B．C． 1D． 2考点：简单线性规划．专题：数形联合．分析：先依据条件画出可行域，设z=ax+by ，再利用几何意义求最值，将最大值转变成y轴上的截距，只要求出直线z=ax+by ，过可行域内的点（4， 6）时获得最大值，从而得到一个关于a， b 的等式，最后利用二次函数求最小值即可．解答：解：不等式表示的平面地域以以下图暗影部分，当直线 ax+by=z （ a＞0， b＞ 0）过直线x﹣ y+2=0 与直线 3x﹣ y﹣ 6=0 的交点（ 4， 6）时，目标函数z=ax+by （ a＞ 0， b＞0）获得最大12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6 ，则+=的最小值为应选 A．评论：此题综合地观察了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．出不等式表示的平面地域，而且可以求得目标函数的最值．要求能正确地画14．（ 2013?顺义区二模）设变量x， y 满足拘束条件则 23x ﹣y的取值范围是（ C ）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面地域；作出目标函数对应的直线；联合图象依据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x ﹣ y 的取值范围，最后依据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量 x， y 满足拘束条件，设目标函数为：z=3x ﹣ y，直线 4x﹣ y+1=0 与 x+2y ﹣ 2=0 交于点 A （0， 1），直线 2x+y ﹣ 4=0 与 x+2y ﹣ 2=0 交于点 C（ 2， 0），直线 4x﹣ y+1=0 与 2x+y ﹣ 4=0 交于点 B （，3），分析可知z 在点 B 处获得最小值，z min =3× ﹣ 1=﹣，z 在点 C 处获得最大值，z max=3×2﹣ 0=6 ，∴ ﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．应选 C．评论：此题观察画不等式组表示的平面地域、观察数形联合求函数的最值．解题的要点是正确理解目标函数的几何意义．15．（ 2013?石家庄二模）设x， y 满足拘束条件则的取值范围是（ A ）A ．B．[， ]C．[， ]D．[ ， +∞][ ， ]考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ AB0 及其内部．目标函数=k ，表示直线 PQ 的斜率，此中P（ x，y）为地域内的动点，点Q 的坐标为（﹣ 2，﹣ 1）．运动点 P 并加以观察，可得k 的最小值和最大值，由此即可获得的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ AB0及其内部，此中A（2，2），B（0，）， 0（ 0， 0）设 P（ x，y）为地域内的动点，定点Q 的坐标为（﹣ 2，﹣ 1），则 PQ 的斜率k=，运动点 P 并加以观察，得直线PQ 的倾斜角为锐角当 P 与原点 0 重合时， k 达到最小值， k min；当 P 与点 B 重合时， k 达到最大==值， k max==由此可得 PQ 的斜率 k 的取值范围是 [，] ，即目标函数的取值范围是 [， ] ．应选： A评论：此题给出二元一次不等式组，求目标函数 k=的取值范围，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域和直线的斜率公式等知识，属于中档题．16．（ 2013?汕头一模）假如实数x， y 满足，目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为3，最小值为﹣1，那么实数 k 的值为（）A ．1B．﹣2C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，获得角点坐标．再经过利用选择题的特色把答案直接代入，看哪个答案吻合要求即可获得答案．解答：解：可行域如图：得： A （ 1， 2）， B （1，﹣ 1）， C（3， 0）．①当 k=1 时，当直线z=x﹣ y 过 A（ 1， 2）时， Z 获得最小值﹣ 1．当直线 z=x ﹣ y 过 C（ 3，0）时， Z 获得最大值3．②当 k= ﹣2 时，当直线z=﹣2x﹣ y 过 B（ 1，﹣ 1）时， Z 获得最大值﹣ 1．当直线 z=﹣ 2x﹣ y 过 C（3， 0）时， Z 获得最小值﹣ 6．③ 当k=时，当直线z= x﹣y过A（1，2）时， Z获得最小值﹣．当直线 z=x﹣ y过C（ 3， 0）时，Z 获得最大值．④当 k= ﹣时，当直线z=﹣x﹣ y 过 A （ 1，2）时， Z 获得最小值﹣．当直线 z=﹣x﹣ y 过 B （ 1，﹣ 1）时， Z 获得最大值．故 k=1 ．应选 A．评论：此题主要观察简单线性规划以及分类谈论思想．解决此题计算量较大．属于基础题．17．（ 2013?宁德模拟）若不等式组所表示的平面地域被直线mx+y+2=0 分为面积相等的两部分，则实数m 的值为（ C ）A ．﹣B．﹣C． 1D． 2考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题．分析：先依据拘束条件：，画出可行域，求出可行域极点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足拘束条件：，平面地域如图示：由图可知，直线mx+y+2=0 恒经过点A（﹣ 2，0），当直线 mx+y+2=0 再经过 BC 的中点 M （ 1，﹣ 3）时，平面地域被直线 mx+y+2=0 分为面积相等的两部分．令x=1 ，y= ﹣ 3，代入直线 mx+y+2=0 的方程得： m=1，应选 C．评论：此题主要观察了用平面地域二元一次不等式组，以及简单的转变思想和数形联合的思想，属中档题．18．（ 2013?南充三模）设z=x+y ，此中实数x， y 满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A ．﹣3B．﹣6C． 3D． 6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，获得角点坐标．再利用 z 的最大值为12，经过平移直线z=x+y 获得最大值点 A ，求出 k 值，即可获得答案．解答：解：可行域如图：由得： A （ k， k），目标函数z=x+y 在 x=k ， y=k时取最大值，即直线z=x+y在 y 轴上的截距z 最大，此时， 12=k+k ，故 k=6 ．∴得 B（﹣ 12， 6），目标函数z=x+y在 x= ﹣ 12， y=6时取最小值，此时，z 的最小值为z=﹣ 12+6=﹣ 6，应选 B．评论：此题主要观察简单线性规划．解决此类问题的要点是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数给予几何意义．19．（ 2013?牡丹江一模）实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kx ﹣y当且仅当 x=3， y=1 时取最大值，则k 的取值范围是（C）A ．B．（） C．D．（﹣∞，﹣ 1]考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ ABC及其内部．将目标函数z=kx ﹣ y 对应的直线进行平移，当且仅当l 经过点 C（ 3， 1）时目标函数z 达到最大值，由此观察直线斜率的范围联合斜率计算公式，即可获得l 斜率 k 的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （1， 2），B （ 4，2）， C（ 3， 1）设 z=F（ x， y）=kx ﹣ y，将直线 l： z=kx ﹣ y 进行平移，可得直线在 y 轴上的截距为﹣ z，所以直线在 y 轴上截距最小时目标函数 z 达到最大值∵当且仅当 l 经过点 C（ 3，1）时，目标函数 z 达到最大值∴直线 l 的斜率应介于直线 AC 斜率与直线 BC 斜率之间，∵ k AC==﹣，k BC==1∴k 的取值范围是应选： C评论：此题给出二元一次不等式组，谈论目标函数z=kx ﹣ y 的最大值有独一最优解的问题，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域和简单的线性规划等知识，属于基础题．20．（ 2013?莱芜二模）已知，若 x﹣ y＜λ恒建立，则λ的取值范围是（）A ．（﹣∞，10]B．（﹣∞，10）C． [10， +∞）D．（ 10， +∞）考点：简单线性规划．分析：依据已知得出x，y 的拘束条件，画出满足拘束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣ y 的范围，再依据最值给出λ的最大值．解答：解：由题意得，即．画出不等式组表示的可行域以以下图示：在可行域内平移直线z=x ﹣y，当直线经过3x+y ﹣ 2=0 与 x=3 的交点 A （ 3，﹣ 7）时，目标函数z=x ﹣ y 有极大值z=3+7=10 ．z=x ﹣ y 的取值范围是（﹣∞，10）．若 x﹣ y＜λ恒建立，则λ≥10，∴ λ的取值范围是[10 ，+∞）．应选 C．评论：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出拘束条件和目标函数是要点，可先将题目中的量分类、列出表格，理清眉目，而后列出不等式组（方程组）追求拘束条件，并就题目所述找出目标函数．而后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可获得目标函数的最优解．21．（ 2013?菏泽二模）已知 x，y 满足线性拘束条件，若=（ x，﹣ 2），=（ 1，y），则 Z=? 的最大值是（ C ）A ．﹣1B．﹣C． 5D． 7考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：依据向量数目积的坐标运算公式，可得 z= ?=x ﹣2y，而后作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数 z=x ﹣2y 对应的直线进行平移，可适合 x=3 ， y=﹣ 1 时，目标函数 z 获得最大值为 5．解答：解：∵=（ x，﹣ 2），=（1， y），∴z= ? =x ×1+（﹣ 2）×y=x﹣ 2y作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （3，﹣ 1）， B （﹣ 1， 0），C（，）设 z=F（ x， y）=x ﹣ 2y，将直线l： z=x ﹣2y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数z 达到最大值∴z 最大值 =F（ 3，﹣ 1）=5应选 C评论：此题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，侧重观察了向量数目积公式、二元一次不等式组表示的平面地域和简单的线性规划等知识，属于基础题．22．（ 2013?杭州二模）若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣ 2y+m ≤0 都建立，则实数m 的取值范围是（）A ．m≥0B． m≤3C． m≥l D． m≥3考点：简单线性规划．分析：作出题中不等式组表示的平面地域，得如图的△ ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣ 2y 对应的直线进行平移，可适合x=y=3时，z获得最小值为﹣3；当 x=4 且 y=2 时，z 获得最大值为0，由此可得z 的取值范围为[﹣ 3， 0]，再由存在实数m 使不等式x﹣ 2y+m≤0 建立，即可算出实数m 的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （4， 2），B （ 1，1）， C（ 3， 3）设 z=F（ x， y）=x ﹣ 2y，将直线 l： z=x ﹣2y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数z 达到最大值，可得z 最大值 =F（4， 2） =0当 l 经过点 C 时，目标函数z 达到最小值，可得z 最小值 =F （3， 3） =﹣ 3所以， z=x ﹣ 2y 的取值范围为 [﹣ 3， 0]，∵存在实数m，使不等式x﹣ 2y+m ≤0 建立，即存在实数m，使 x﹣2y≤﹣ m 建立∴ ﹣ m 大于或等于z=x﹣ 2y 的最小值，即﹣3≤﹣ m，解之得 m≤3应选： B评论：此题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x ﹣ 2y 的取值范围，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域、不等式的解集非空和简单的线性规划等知识，属于基础题．23．（ 2013?海淀区一模）不等式组表示面积为 1 的直角三角形地域，则k的值为（）A ．﹣2B．﹣1C． 0D． 1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先作出不等式组表示的平面地域，依据已知条件可表示出平面地域的面积，而后联合已知可求k．解答：解：作出不等式组表示的平面地域，以以下图，由题意可得A（ 1， 3）， B （，），C（1，k）∴S△ABC = AC ?d（ d 为 B 到 AC 的距离）= ×（ 3﹣ k）×（﹣ 1） =1，∴k=1．应选 D．评论：此题主要观察了二元一次不等式组表示平面地域，属于基础试题．24．（ 2013?广西一模）关于x 的实系数一元二次方程2的两个实数根分别位于区x +ac+2b=0间（ 0， 1），（ 1， 2），则的取值范围是（）A．（，1）B．（）C．（﹣）D．（﹣）考点：简单线性规划；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题 ：不等式的解法及应用．分析：由方程 x 2+ax+2b=0 的两根分别位于区间（0，1），（ 1，2），联合对应二次函数性质得到 而后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形联合即可获得结论．解答：解：实系数一元二次方程x 2+ax+2b=0 有两个相异实根，f （ x ）=x 2+ax+2b ，图象张口向上，对称轴为 x= ﹣ ，∴可得 ，画出可行域：由图得 A （﹣ 1， 0）、B （﹣ 3， 1）；设目标函数 z=，表示可行域里面的点Q （a ， b ）与点 P （ 1， 2）的斜率的大小，z min=k ==1 ；APz max =k BP = = ，∴ ＜ z ＜ 1，∴ z=的取值范围是（， 1）．应选 B ．评论：此题主要观察函数的零点的判判定理，还观察了简单线性和规划问题，要分析的几何的意义，是一道基础题．25．（ 2013?东城区模拟） 已知 z=2x+y ，x ，y 满足 ，且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 m 的值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依据题意，可得m＜ 1 且不等式的表示的平面地域为一个有界地域．由此作出不等式组表示的平面地域，得如图的△ ABC 及其内部，再将目标函数z=2x+y 对应的直线进行平移，可适合x=y=1 时 z 获得最大值3，当 x=y=m 时 z 获得最小值3m．联合题意建立关于m 的方程，解之即可获得m 的值．解答：解：∵z=2x+y 既存在最大值，又存在最小值，∴不等式表示的平面地域为一个有界地域，可得m＜ 1作出不等式组表示的平面地域，获得如图的△ ABC 及其内部，此中 A （1， 1），B （ m， m）， C（ m， 2﹣ m）设 z=F（ x， y）=2x+y ，将直线 l： z=2x+y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数z 达到最大值；当l 经过点 B 时，目标函数z 达到最小值∴z 最大值 =F（ 1， 1） =3； z 最小值 =F（ m，m） =3m∵ z 的最大值是最小值的 4 倍，∴3=4×3m，解之得 m=应选： A评论：此题给出含有字母参数的二元一次不等式组，求在目标函数z=2x+y 的最大值等于最小值的 4 倍的状况下求参数 m 的值，侧重观察了二元一次不等式组表示的平面地域和简单的线性规划等知识，属于基础题．26．（ 2012?信阳模拟）设x，y 满足拘束条件，则的最大值是（）A ．9B． 8C． 7D． 6考点：简单线性规划．专题：数形联合．分析：此题观察的知识点是线性规划，办理的思路为：依据已知的拘束条件，画出满足拘束条件的可行域，分析=，此中表示的几何意义，联合图象即可给出的最大值．解答：解：拘束条件，对应的平面地域以以下图示：因为=，此中表示的几何意义，表示平面上必定点（﹣1，﹣ 1）与可行域内任一点连线斜率，由图易适合P 点为 A （0， 4）时，获得最大值5．从而的最大值9．应选 A ．评论：平面地域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，要点是正确地画出平面地域，分析表达式的几何意义，而后联合数形联合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二．填空题（共 2 小题）27．（ 2013?宜宾二模）已知平面直角坐标系xoy 上的地域 D 由不等式组给定，若M （x， y）为 D 上的动点， A 的坐标为（﹣ 1， 1），则的取值范围是[0， 2]．考点：简单线性规划；平面向量数目积的坐标表示、模、夹角．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面地域如图，依据向量数目积的坐标运算公式可得z=﹣x+y ，再进行直线平移法可得z 的最值，从而得出的取值范围．解答：解：作出可行域如右图∵ M （ x，y）， A （ 0， 2）， B （1， 1）∴ z==﹣x+y ，将直线 l ： z=﹣ x+y 进行平移，当它经过交点 A （ 0， 2）时，z 达到最大值2，当它经过交点 B （ 1，1）时， z 达到最小值，则 z=﹣ x+y 的取值范围是 [0， 2] ．∴则的取值范围是[0，2]．故答案为： [0， 2]．评论：此题以向量数目积的坐标运算为载体，观察了简单的线性规划的知识，属于基础题．采纳直线平移法，是解决此类问题的要点所在．28．（ 2013?深圳一模）已知变量x， y，满足拘束条件，则的取值范围是[[2 ，6]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：此题主要观察线性规划的基本知识，先画出拘束条件的可行域，而后分析的几何意义，联合图象，用数形联合的思想，即可求解．解答：解：满足拘束条件的可行域，以以下图所示：又表示的是可行域内一点与原点连线的斜率，当 x=2 ，y=4 时，有最小值 2；当 x=1 ，y=6 时，有最大值 6故答案为： [[2 ， 6] ．评论：平面地域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，要点是正确地画出平面地域，分析表达式的几何意义，而后联合数形联合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．三．解答题（共 2 小题）29．（ 2009?烟台二模）设非负实数x、y 满足不等式组（1）如图在所给的坐标系中，画出不等式组所表示的平面地域；（2）求 k=x+3y 的取值范围；（3）在不等式组所表示的平面地域内，求点（x， y）落在 x∈[1， 2]地域内的概率．考点：简单线性规划；几何概型．专题：不等式的解法及应用．分析：（ 1）先依据拘束条件非负实数x、y 满足不等式组画出可行域；。
高二数学简单线性规划测试卷
典型例题一例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域；然后求其公共部分．解：把0=x ；0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+-∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界）； 即位于原点的一侧；同理可画出其他两部分；不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．典型例题二例2 画出332≤<-y x 表示的区域；并求所有的正整数解),(y x ．分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ；y 还有限制条件；即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域；知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解；先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域；如图所示．容易求得；在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来；然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．典型例题三例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来；判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形；如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：； )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：；)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直； 所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题四例1 若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104010230122y x y x y x ，，求y x z 2+=的最大值和最小值．分析：画出可行域；平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域；即可行域；如图所示．作直线z y x l =+2:；即z x y 2121+-=；它表示斜率为21-；纵截距为2z的平行直线系；当它在可行域内滑动时；由图可知；直线l 过点时；z 取得最大值；当l 过点B 时；z 取得最小值．∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z说明：解决线性规划问题；首先应明确可行域；再将线性目标函数作平移取得最值．典型例题五例5 用不等式表示以)4,1(A ；)0,3(-B ；)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来；然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
高二数学简单的线性规划问题检测试卷
高二数学简单的线性规划问题检测试卷高二数学简单的线性规划问题检测试题1.目标函数z=4x+y，将其看成直线方程时，z的几何意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的横截距D.该直线的纵截距的相反数解析：选B.把z=4x+y变形为y=-4x+z，则此方程为直线方程的斜截式，因此z为该直线的纵截距.2.若x0，y0，且x+y1，则z=x-y的最大值为()A.-1B.1C.2D.-2答案：B高二数学简单的线性规划问题检测3.若实数x、y满足x+y-20，x4，y 5，则s=x+y的最大值为________.解析：可行域如图所示，作直线y=-x，当平移直线y=-x至点A处时，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.答案：94.已知实数x、y满足y-2x.x3(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值.解：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，因此三角形OAB的面积为：S△OAB=12123=18.(2)目标函数化为：y=12x-z2，画直线y=12x及其平行线，当此直线通过A时，-z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，因此，z的最小值为3-26=-9.一、选择题1.z=x-y在2x-y+10x-2y-10 x+y1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A.(0,1)B.(-1，-1)C.(1,0)D.(12，12)解析：选C.能够验证这四个点均是可行解，当x=0，y=1时，z=-1;当x =-1，y=-1时，z=0;当x=1，y=0时，z=1;当x=12，y=12时，z=0.排除A，B，D.2.(2021年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x+3y-30，2x-y-30，x -y+10，则x+y的最大值为()A.9B.157C.1D.715解析：选A.画出可行域如图：令z=x+y，可变为y=-x+z，作出目标函数线，平移目标函数线，明显过点A时z最大.由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，zmax=4+5=9.3.在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范畴为()A.[1,3]B.[-3,1]C.[-1,3]D.[-3，-1]解析：选C.直线m=y-x的斜率k1=1kAB=23，且k1=1直线通过C时m最小，为-1，通过B时m最大，为3.4.已知点P(x，y)在不等式组x-20x+2y-20表示的平面区域内运动，则z =x-y的取值范畴是()A.[-2，-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，∵z=x-y，y=x-z.由图知截距-z的范畴为[-2，1]，z的范畴为[-1,2].5.设动点坐标(x，y)满足x-y+1x+y-40，x3，y1.则x2+y2的最小值为()A.5B.10C.172D.10解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.6.(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是() w w w .x k b 1.c o mA.12万元B.20万元C.25万元D.27万元解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z=5x+3 y.由题意得x0，y0，3x+y13，2x+3y18，可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，现在x=3，y=4，z=5 3+34=27(万元).二、填空题7.点P(x，y)满足条件0101，y-x12则P点坐标为________时，z=4-2x+ y取最大值________.解析：可行域如图所示，新课标第一网当y-2x最大时，z最大，现在直线y-2x=z1，过点A(0,1)，(z1)max=1，故当点P的坐标为(0,1)时z=4-2x+y取得最大值5.答案：(0,1) 58.已知点P(x，y)满足条件xx2x+y+k0(k为常数)，若x+3y的最大值为8，则k=________.解析：作出可行域如图所示：作直线l0∶x+3y=0，平移l0知当l0过点A时，x+3y最大，由于A点坐标为(-k3，-k3).-k3-k=8，从而k=-6.答案：-69.(2021年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b/万吨c/百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元).解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.由题意可得约束条件为12x+710y1.9，x+12y2，x0，y0.作出可行域如图所示：由图可知，目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin=31+62 =15答案：15三、解答题10.设z=2y-2x+4，式中x，y满足条件01022y-x1，求z的最大值和最小值.解：作出不等式组01022y-x1的可行域(如图所示).令t=2y-2x则z=t+4.将t=2y-2x变形得直线l∶y=x+t2.则其与y=x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l通过可行域上的点A时，t最大，z最大;当直线l通过可行域上的点B 时，t最小，z最小.zmax=22-20+4=8，zmin=21-21+4=4.11.已知实数x、y满足约束条件x-ay-102x+y1(aR)，目标函数z=x+3y 只有当x=1y=0时取得最大值，求a的取值范畴.解：直线x-ay-1=0过定点(1,0)，画出区域2x+y0，x1，让直线x-ay-1= 0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域.平移直线x+3y=0，观看图象知必须使直线x-ay-1=0的斜率1a0才满足要求，故a0.12.某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，预备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元.(1)假如只安排生产方桌，可获利润多少?(2)假如只安排生产书橱，可获利润多少?(3)如何样安排生产可使所获利润最大?解：由题意可画表格如下：方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)书桌(个) 0.1 2 80书橱(个) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，则0.1x600xN*900x300xN*300，xN*.目标函数为z=80x.因此当x=300时，zmax=80300=24000(元)，即假如只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则0.2y901600yN*450y600yN*450，yN*.目标函数为z=120y.因此当y=450时，zmax=120450=54000(元)，即假如只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则0.1x+0.2y902x+y0，x0，xNx+2y900，2x+y600，x0，y0，且xN，yN.目标函数为z= 80x+120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(图略).作直线l∶80x+120y=0，即直线l∶2x+3y=0(图略).死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
高二数学简单线性规划试题
高二数学简单线性规划试题1.设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为（）A．1，1B．2，2C．1，2D．2，1【答案】B【解析】解：利用图像可知，可行域为三角形，且过点（0，-1）（0,1）点时目标函数取得最小值和最大值分别为-2,2。
因此填写选项B2.已知点的坐标满足,点为坐标原点,则的最小值为，最大值为【答案】，【解析】解：因为点的坐标满足表示的为直角三角形，则的最小值即为区域内的点到原点距离的最小值，根据图像可知，原点到直线x+y=4的距离即为所求，得到为，而过点（3，，3）时距离最大为3.如图，四边形围成的可行域（含边界），其中、、那么目标函数的最大值的是 .【答案】【解析】解：因为目标函数当过点B时，此时在y轴上的截距最大，因此为4.已知点满足,点在曲线上运动，则的最小值是【答案】【解析】解：如图，画出平面区域（阴影部分所示）和曲线y=1x(x＜0)，由Q（-1，-1）向直线x+y-1=0作垂线，Q （-1，-1）到直线x+y-1=0的距离为 |-1-1-1|/=，所以可求得|PQ|的最小值是5.设、满足条件，则的最小值 .【答案】2【解析】此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后找出直线，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的就是最小值；如下图：，当直线平移到是，目标函数取得最小值是2；或者把三个点的坐标代入目标函数计算即可，即，所以最小值是26.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[2,6]B．[2,5]C．[3,6]D．（3,5]【答案】A【解析】满足约束条件的点的可行域如下：由图可知，目标函数在点处取到最大值6，在点处取到最小值2，所以其取值范围是，故选A7.设平面区域是由双曲线的两条渐近线和抛物线的准线围成的三角形(含边界与内部).若点,则函数的最大值为__________.【答案】3【解析】双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，其这三条直线所围成的三角形如下图：由图可知，当点时，目标函数在点处取到最大值38.（14分）有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．轮船运输量／飞机运输量／现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？【答案】20、答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则即目标函数为．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．【解析】略9.【答案】7【解析】略10.若变量满足，则的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】作可行域，如图阴影部分；当直线平移到过点是z取最大值，最大值是故选B。
人教版数学高二版必修5课时检测(十八) 简单的线性规划问题
课时达标检测（十八） 简单的线性规划问题一、选择题1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的相反数D ．该直线的横截距解析：选C 由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，在该方程中－z 表示直线的纵截距，因此z 表示该直线的纵截距的相反数．2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x 辆载重6吨汽车和y 辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y解析：选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z ＝6x ＋4y .3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]解析：选C 先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．4．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1解析：选D利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝y－1x＋1表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1，1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W＜1.5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是()A．12 万元B．20 万元C．25 万元D．27 万元解析：选D设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品x吨3x 2x乙产品y吨y 3y则有⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，目标函数z＝5x＋3y.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知，当x＝3，y＝4时可获得最大利润27万元，故选D.二、填空题6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0.在这些点中，使目标函数z＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．答案：(0,5)7．(北京高考)若x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤1，x－y－1≤0，x＋y－1≥0，则z＝3x＋y的最小值为________.解析：根据题意画出可行域如图，由于z＝3x＋y对应的直线斜率为－3，且z与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A(0,1)时，z取得最小值1.答案：18．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≤0，x－y＋2≤0，y≤n，x≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≤0x－y＋2≤0，x≥－3作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．答案：(2，＋∞)三、解答题9．已知关于x，y的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0.(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝4，x＋2＝0，得C(－2,3)，∴u最小值＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝4，x－y＝1，得B(2,1)，∴u最大值＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≤4，x－y≤1，x＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z＝x＋2y＋2，得y＝－12x＋12z－1，得到斜率为－12，在y轴上的截距为12z－1，且随z变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距12z－1最小，即z最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2＝0，x－y＝1，得A(－2，－3)，∴z最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线y＝－12x＋12z－1与直线x＋2y＝4重合时，截距12z－1最大，即z最大，∴z最大值＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.10．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？解：根据题意，可列出下表：A药品(g)B药品(g)C药品(g)甲种烟花34 4乙种烟花211 6原料限额120400240x＋y(美元). 其中x、y应满足：⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，3x＋2y≤120，4x＋11y≤400，4x＋6y≤240.如图可行域为阴影部分的整点，把z＝1.2x＋y变形为平行直线系l：y＝－1.2x＋z.由图可知，当直线l经过平面区域上的点M时，截距z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋6y－240＝0，3x＋2y－120＝0，得交点M(24,24)．故每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润最大．11．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？解：设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，根据题意得约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥15，x＋3y≥27，x>0，x∈N*，y>0，y∈N*，目标函数是z＝x＋y，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝15，x＋3y＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3.6，y＝7.8.此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，所以点(3.6,7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z最小的直线是x＋y＝12，即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．12．x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3，目标函数为z＝ax＋5y.如果z在可行域内点A⎝⎛⎭⎫32，52处取得最大值，求实数a的取值范围．解：由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3作出可行域，如图所示的阴影部分．由z＝ax＋5y可化为y＝－a5x＋z5.∴目标函数对应直线的斜率k＝－a5.又直线AB 的斜率k AB ＝1，直线AC 的斜率k AC ＝－53.由图可知当k AC ≤k ≤k AB ，即－53≤－a 5≤1时，z 都能在A 点取得最大值．故所求a 的取值范围是－5≤a ≤253.。
高二数学简单线性规划单元测试.doc
高二数学简单线性规划单元测试x y 2 0,1. 设变量 x, y 满足约束条件 x5 y 100, 则目标函数 z 3x 4 y 的最大值和最x y80,小值 分别为（ ） A ．3，-11 B ． -3 ，-11 C ．11， -3 D ． 11，3 2. 不等式 ( x －y ＋1)( x ＋ 2y － 1) ≤ 0 在坐标平面内表示的区域 ( 用阴影部分表 示 ) 为（ ）y ≥ ，13. 已知实数， 满足y ≤2x －1，如果目标函数z＝－y 的最小值为－ ，x yx ＋y ≤ mx1.则实数 m 为()A ．7B． 5C．4D ．34. 若实数 x 、y 满足xy 1 0，则 y的取值范围为（ ）x0 x A ．(0,1)B ．(0,1)C ．(1,+ ∞)D ． 1,→ → ，O 为坐标 原点，动 点 P x ， y 满足条件5. 向量 OA ＝(1,0) ， OB ＝(1,1) ( )→ →0＜ OP ·OA ＜ ，1 则点 P 的变化范围用阴影部分表示为 ()→ →0＜ OP ·OB ＜ ，2x － y ＋5≥06. 若不等式组 y ≥ a 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范0≤ x ≤2 围为( ) A ．a ＜5B． a ≥7 C ．5≤ a ＜7 D ． a＜ 5 或 a ≥7x ＋y ≥2，7. 已知 O 是坐标原点，点 A －1,1) ，若点 M x ，y为平面区域x ≤1，上(()y ≤2→ →)的一个动点，则 OA ·OM 的取值范围为 (A ．[ －1,0]B ．[0,1] C． [0,2] D ．[ －1,2]8. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需运往 A地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次． 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元．该公司 合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z=（ ） A ．4650 元 B ．4700 元 C ．4900 元 D ．5000 元x y 19. 若 x ，y 满足约束条件x y1 ，目标函数 z ax2 y 仅在点（ 1，0）处取2x y 2得最小值，则 a 的取值范围为（ ）A ．（ 1，2 ）B ．（ 4 ，2 ）C ．(4,0]D ． ( 2,4)x ≥0410. 若不等式组 x ＋3y ≥4， 所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋ 分为面积x ＋ y ≤4 33相等的两部分，则 k 的值为 ( )7 3 4 3 A ．3B． 7C．3D.4x1,11. 已知点 P(x, y) 的坐标满足条件y2, 那么 x 2 y 2 的取值范围为2xy 2 0,________．x 4 y 312. 已知变量 x, y 满足 3x5y 25 ，设 z ax y(a0) , 若当 z 取得最大值时对x 1应的点有无数个，则 a 的值为．x －y ＜ ，3 013. 已知 A(3 ， 3) ，O 是原点，点 P( x ，y) 的坐标满足 x － 3y ＋2＜0，则y ≥0，→ →OA ·OP→ 的取值范围为 ________．| OP|x ≤ 0,14. 若 A 为不等式组 y ≥ 0,表示的平面区域， 则 a 从 -2 连续变化到 1 时，动y x ≤ 2直线 x y a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 ．15. 实系数一元二次方程 x 2＋ ax ＋2b ＝0 有两个根，一个根在区间 (0,1) 内，另一个根在区间 (1,2) 内，求：(1) 点 ( a ，b) 对应的平面区域；b －2(2) a －1的取值范围；(3)( a －1) 2＋( b －2) 2 的取值范围．16. 某公司计划 2012 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/ 分钟和200元/ 分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？17.（2011 安徽理）在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这 n 2 个数构成递增的等比数列，将这n 2 个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn,n≥1.{ a }（Ⅱ）设b n tan a n gtan a n 1,求数列{b n}的前n项和S n.18.（ 2011 山东理）等比数列an中，a1, a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1, a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9 8 18（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若数列bn 满足：bnan( 1)ln an ，求数列{bn}的前n项和Sn .高二数学简单线性规划单元测试参考答案ACBCA CCCBA11. [ 4,5]512. 3513. [ －3,3) 14.7．415. 实系数一元二次方程 x 2＋ ax ＋2b ＝0 有两个根，一个根在区间 (0,1) 内，另一个根在区间 (1,2) 内，求：(1) 点 ( a ，b) 对应的平面区域；b －2(2) a －1的取值范围；(3)( a －1) 2＋( b －2) 2 的取值范围． 和上的几何意义是：函数 y ＝ 解：方程 x 2＋ax ＋ b ＝ 0 的两根在区间(0,1) (1,2) f x ＝x 2＋ ax ＋ b 2 和 的图象与 x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1) (1,2) ( ) 2内， f b ，0 >0，>0由此可得不等式组 f 1 <0， 所以 a ＋2b ＋1<0，f 2 >0，a ＋b ＋2>0.a ＋b ＋ ＝2 1 ，解得 A( －3,1) ．由a ＋b ＋ ＝2由 a ＋ b ＋ 2＝ 0，解得B －1．b ＝ 0( 2,0) ．( 4， 1) ．(8,17)a ＋b ＋ ＝21C － 1,0) ．由，解得(b ＝ 0(1) 在如图所示的 aOb 坐标平面内，满足约束条件的点 ( a ， b) 对应的平面区域为△ ABC( 不包括边界 ) ．b －2(2) a －1的几何意义是点 ( a ，b) 和点 D(1,2) 连线的斜率．2－1 1 2－0因为 k AD ＝1＋3＝4，k CD ＝1＋1＝1，b－2由图可知 k AD<a－1<k CD.1 b－2b－2 1所以4<a－1<1，即a－1∈( 4，1) ．(3)因为 ( a－ 1) 2＋( b－2) 2表示区域内的点 ( a，b) 与定点 (1,2) 之间的距离的平方，2 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 ＋－ 2 所以a其最小值为 CD＝(1 1) 2 ＝，最大值为 AD＝(1 3) (2 1) ＝17.8 ( －1) 2＋ ( b－2) 2∈(8,17) ．16.某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/ 分钟和200元/ 分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收x y ≤ 300，益为 z 元，由题意得500x 200y ≤ 90000，x ≥ 0， y ≥ 0.目标函数为 z 3000 x 2000 y ．x y ≤ 300，二元一次不等式组等价于5x 2 y ≤ 900，x ≥ 0，y ≥ 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线 l :3000 x 2000 y 0 ，即 3x 2 y 0 ．平移直线 l ，从图中可知，当直线 l 过M点时，目标函数取得最大值．y500 400300x y300，联立解得 x 100， y200 ．5x 2 y900.l 200 M点 M 的坐标为 (100，200) ．100z max 3000 x 2000 y 700000 （元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做0 100 200 300x 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70 万元．17.（2011 安徽理）在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这n 2个数构成递增的等比数列，将这n 2个数的乘积记作T n，再令a n lg T n, n≥1.（Ⅰ）求数列{ an}的通项公式；（Ⅱ）设bntan angtan an 1,求数列{bn}的前n项和Sn .解：（ I ）设 l 1 ,l 2 ,,l n 2 构成等比数列，其中 t11,t n 2100, 则T n t 1 t 2t n 1 tn 2 , ①T n t n 1 t n 2t 2 t 1 ,②①×②并利用 t 1tn3 it 1tn 210 2 (1 in 2), 得T n 2 (t 1t n 2 ) (t 2t n 1 ) (t n 1t 2 ) (t n 2 t 1 ) 102 (n 2 ) , a nlg T n n 2, n 1.（II ）由题意和（ I ）中计算结果，知bntan(n 2) tan(n 3), n 1.tan1 tan(( k 1) k )tan(k 1) tan k ,另一方面，利用1 tan( k 1) tan ktan(k 1) tan k tan(k 1) tan k 1.tan1得n n 2所以S nb k tan(k 1) tan kk 1k 3n 2( tan(k1) tan k 1) k 3tan1 tan(n 3) tan 3 n.tan118. （ 2011 山东理） 等比数列an中，a 1, a 2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1, a 2,a3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列 第二列第三列 第一行 3 2 10第二行 6 4 14 第三行 9818（Ⅰ）求数列 a n的通项公式；（Ⅱ）若数列b n满足：b nan( 1) ln an，求数列{b n }的前 n 项和Sn.解：（I ）当 a 13时，不合题意；当a 1 2时，当且仅当a 26, a 318时，符合题意；当a 110时，不合题意。
人教版数学高二B版必修5自我小测3.5.2简单线性规划
自我小测1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值2．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C ⎝⎛⎭⎫23，45是该目标函数z＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－103，－512B ．⎝⎛⎭⎫－125，－310C ．⎝⎛⎭⎫310，125D ．⎝⎛⎭⎫－125，3103．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是( )A ．80B ．85C ．90D ．954．给出下列定义：连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度．已知平面点集M 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0给出，则M 的长度是( ) A ．322 B ．52 C ．94 D ．2945．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A ．35B ．14C ．4D ．536．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0的点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是______．7．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝__________．8．已知实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)与区间(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，求解下列问题：(1)求目标函数z ＝4x －y 的最小值；(2)若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，求2a ＋3b的最小值．10．学校有线网络同时提供A ，B 两套选修课程．A 套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？参考答案1．解析：由图象可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z min ＝2，无最大值．答案：B2．解析：因为k BC ＝－310，k AC ＝－125，最优解为C 点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间，故a ∈⎝⎛⎭⎫－125，－310．故选B ． 答案：B3．解析：画出可行域如图阴影部分所示，寻找最优解．故找到点A (5．5，4．5)，又x ，y ∈N ，所以最优解为(5，4)．∴z ＝10x ＋10y 的最大值为10×5＋10×4＝90．答案：C4．解析：不等式组可化为 作出不等式组所表示的平面区域，如右图阴影部分所示．由图，可知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B (1，2)，则M 的长度等于|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52．答案：B5．解析：由题意，当l 0：ax ＋y ＝0平移到恰好与AC 重合时，取最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝k AC ＝2－2255－1＝－35，∴a ＝35．答案：A6．解析：首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域如图阴影部分所示，然后由直线z ＝6x ＋8y 在平面区域内平移可得在点(0，5)处取最大值．答案：(0，5)7．解析：画出可行域如图所示．由可行域知，最优解可能在A (0，2)或C (4，4)处取得． 若在A (0，2)处取得不符合题意；若在C (4，4)处取得，则4k ＋4＝12，解得k ＝2，此时符合题意． 答案：28．解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，依题意，此函数图象与x 轴两交点的横坐标在(0，1)和(1，2)内，其条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0.在直角坐标系中作出可行域如下图阴影部分所示．由b －2a －1的几何意义知△ABC 内任一点P (a ，b )与定点M (1，2)连线的斜率的范围即为所求． ∵k MA ＝14，k MB ＝1，∴14＜b －2a －1＜1．答案：⎝⎛⎭⎫14，19．解：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．(1)z min ＝－2．(2)当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4，6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6， 所以2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ⎝⎛⎭⎫2a ＋3b 6＝136＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256，当且仅当a ＝b ＝65时，等号成立．即2a ＋3b 的最小值为256． 10．解：设选择A ，B 两套课程分别为x ，y 次，z 为学分，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤40，40x ＋32y ≤1 400，20x ＋40y ≥1 000，x ，y ∈N .在直角坐标系中作出可行域如图阴影部分所示．目标函数：z＝5x＋4y．由方程组解得：点A(15，25)，B(25，12．5)，由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15，25)，C(19，20)，D(23，15)都符合题意，使得学分最高为175分．但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点．例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25)．。
北师大版数学高二必修5练习简单线性规划
学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 取得最大值的可行解为( )A ．(0，－1)B ．(3,2)C ．(1,0)D ．(－1,2)【解析】 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3,2)，∴z 取最大值的可行解为(3,2)． 【答案】 B2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )【导学号：47172116】A ．－7B ．－1C ．1D ．2【解析】 画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z ＝3x －y 可化为y＝3x －z ，其斜率为3，纵截距为－z ，平移直线y ＝3x 知当直线y ＝3x －z 经过点A 时，其纵截距最大，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＋y ＝－1，得A (－2,1)，故z min ＝3×(－2)－1＝－7，故选A.【答案】 A3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )【导学号：47172117】A ．11B ．10C ．9D ．8.5【解析】 画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y ＋1得直线y ＝－23x ＋z －13，当直线过点A (3,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y ＋1取得最大值为10，故选B.【答案】 B4．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，l 0：ax ＋y ＝0的斜率为－a ，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.【答案】 C5．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ≤1，y ≤2，x ＋y ≥2，上的一个动点，则OM →·O A →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]【解析】 作出可行域，如图所示，O A →·OM→＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴O A →·OM →的取值范围是[0,2]．【答案】 C 二、填空题6．已知x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.【解析】 依题意可知a ＜1，作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得A (a ，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，得B (1,1)， ∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝3a ，∴a ＝13. 【答案】 137．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________.【导学号：47172118】【解析】 ∵z ＝3x ＋y ，∴y＝－3x＋z.∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．由⎩⎨⎧x＋y－2＝0，x－2y＋1＝0解得B(1,1)，∴z max＝3×1＋1＝4.【答案】 48．已知M，N是不等式组⎩⎨⎧x≥1，y≥1，x－y＋1≥0，x＋y≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为17.【答案】17三、解答题9．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，求z＝2x－3y的取值范围．【解】画出可行域(如图)，将目标函数z ＝2x －3y 变形为y ＝23x －z 3，它表示与y ＝23x 平行、截距是－z3的一组平行直线，当它经过点A 时，截距－z3最大，此时z 最小(取不到)；当它经过点B 时，截距－z3最小，此时z 最大(取不到)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋y ＝4⇒A (3,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1x －y ＝3⇒B (1，－2)， ∴过点A 时，z ＝2×3－3×1＝3， 过点B 时，z ＝2×1－3×(－2)＝8，所以目标函数z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2的取值范围.【导学号：47172119】【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1作出可行域，如图阴影部分所示．z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2表示可行域内的任意一点与点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0距离的平方． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2的最小值为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x ＋2y －1＝0距离的平方，则z min＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－121＋4＝120；z 的最大值为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到点A 、点B 、点D 距离平方中的最大值，则z max ＝14. 综上，z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫120，14.[能力提升]1．已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y ，当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是( )图3-4-3A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，－310 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，－103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512，－103 【解析】 ∵k BC ＝1－450－23＝－310，k AC ＝45－023－1＝－125， ∴－125＜k ＜－310.【答案】A2．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 【解析】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)．由于u ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ，令t ＝y x ，则u ＝t ＋1t ，t ＝yx 表示P (x ，y )与原点连线的斜率，M (3,1)，N (1,2)，由图形可知，k OM ≤t ≤k ON ，而k OM ＝13，k ON ＝2，所以13≤t ≤2，从而2≤t ＋1t ≤103.【答案】 B3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围________．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤y ＋1，x ≥－(y ＋1)，表示的平面区域，如图阴影部分所示，由x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2知所求的取值范围是平面区域内点P (x ，y )到点B (3,0)距离平方的取值范围，最大值为(3＋1)2＝16，最小值为B 到直线x －y －1＝0的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2.【答案】 [2,16]4．设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，试求O A →·O B →的最大值．【解】 不等式x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0⇔(x －1)2＋(y －1)2≥1. 先作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．O A →·O B →＝(1,1)·(x ，y )＝x ＋y ，令z ＝x ＋y ，化为y ＝－x ＋z ， 则将直线y ＝－x 向右上方平移时，z 随之增大， 当平移至通过可行域内的点B (2,2)时，z 最大， ∴z max ＝2＋2＝4，即O A →·O B →的最大值为4.。
高中数学必修5同步测试题 第3章 第4节 简单线性规划 缺答案
《线性规划表示区域问题》同步测试题1、画出不等式01427<-+y x 表示的平面区域2、画出不等式：023≤+y x 表示的区域3、画出以下不等式组表示的平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+182450y x y x4、画出以下不等式组表示的平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0825943y x y x y x5、画出不等式：0)3)(12(<-++-y x y x 表示的区域。
6、画出不等式:0)32)(1(≥---+y x y x 表示的区域7、已知点)1,3(--，)6,4(-在直线023=++-a y x 的两侧，则a 的范围是8、点（1，2）和点(－1，3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是________．9、不等式组。
错误!表示的平面区域内整点的个数是________10、在平面直角坐标系中，若不等式组错误!，（a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________11、设x,y满足约束条件错误!，则z＝2x－y的最大值为12、设变量x、y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为13、设x、y满足约束条件错误!则z＝x＋4y的最大值为________14、设,,x y z满足约束条件组1320101x y zy zxy++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z=++的最大值和最小值.15、若变量x、y满足约束条件错误!,且z＝5y－x的最大值为a,最小值为b，则a－b的值是16、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件错误!,则z＝10x＋10y的最大值是( )A．80 B．85 C．90 D．9517、设x、y满足约束条件错误!，分别求：（1）z＝6x＋10y的最大值、最小值；（2）2x－y的取值范围；（3）z＝2x－y(x,y均为整数)的最大值、最小值．18、设x,y满足约束条件错误!且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( ）A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－319、若不等式组错误!所表示的平面区域被直线y＝kx＋错误!分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误! 20、设z＝kx＋y,其中实数x，y满足错误!若z的最大值为12，则实数k＝_______.21、记不等式组错误!所表示的平面区域为D．若直线y＝a（x＋1）与D有公共点,则a的取值范围是________．22、若实数x、y满足不等式错误!，且x＋y的最大值为9，则实数m＝（ )A ．－2B ．－1C ．1D ．223、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥,022,0,0y x y x y 则11+-=x y ω的取值范围是__________. 24、已知变量x ，y 满足约束条件错误!,求错误!的最大值和最小值．25、已知错误!z ＝x 2＋2y －4x －4y ＋8,则z 的最小值为（ )26、在约束条件⎩⎨⎧≤+≤≤-≤-4221b a b a ； 在上述约束条件下 (1)求a b u =的取值范围；(2)求22b aw +=的取值范围 (3）设2()f x axbx =+，且2)1(1≤-≤-f ，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围。
人教新课标版数学高二-数学必修5训练 简单的线性规划问题
数学·必修5(人教A版)3．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题►基础达标1．(2013·湖南卷)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2xx＋y≤1，y≥－1，则x ＋2y的最大值是()A．－52B．0 C.53 D.52答案：C2．变量x、y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥12，2x＋9y≥36，2x＋3y≥24，x≥0，y≥0.则使得z＝3x＋2y的值最小的(x，y)是()A．(4,5) B．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4) 分析：本题考查直线线性规划的基础知识，作出直线包纳范围，画出可行域，求解．解析：画出如图所示的可行域，将z ＝3x ＋2y 平移到点M (3，6)有最小值．故选B.答案：B3．已知非负实数x 、y 同时满足2x ＋y －4≤0，x ＋y －1≥0，则目标函数z ＝x 2＋(y ＋2)2的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －1≥0(x ，y ≥0)表示的平面区域如下图所示：又x 2＋(y ＋2)2表示区域内的点到点B (0，－2)的距离，当点(x ，y )在点A (1,0)处时，(x 2＋(y ＋2)2)min ＝5，∴z ＝x 2＋(y ＋2)2的最小值为5.答案：B4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，则2x ＋y 的最大值是______；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，则圆O 的面积的最大值是________．解析：区域D 如下图所示：当直线2x ＋y ＝z 过点A (4,6)时，z max ＝14.又圆x 2＋y 2＝r 2在区域D 上，故半径r 的最大值是原点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|－2|22＋(－1)2＝25， ∴圆O 的面积的最大值为45π.答案：14 45π5．在条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1下，z ＝(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．解析：不等式组所表示的平面区域如下图所示：z 表示区域内的点P (x ，y )到点A (1,1)距离的平方，又|PA |min 就是点A 到直线x －y ＝1的距离22，|PA |max 就是点A 到点(2,0)的距离2，∴12≤z ≤2，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12，26．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问桌子和椅子各购买多少？解析：设桌椅分别买x ，y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ，y ∈N *，由⎩⎨⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，∴A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752.所以满足约束条件的可行域是以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如上图)．观察图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为⎝⎛⎭⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取y ＝37.故买桌子25张，椅子37张是最好选择．►巩固提高 7．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：作出可行域，当直线z ＝2y －2x ＋4过可行域上点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小，又点B (1,1)，∴z min ＝2×1－2×1＋4＝4.答案：C8．将大小不同的两种钢板截成A 、B 两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如下表所示．若现在需要A 、B 两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共______张.第一种钢板 2 1 第二种钢板13解析：设这两种钢板分别需要x ，y 张，依题意有：⎩⎨⎧2x ＋y ≥12，x ＋3y ≥10且x ，y ∈N ，可行域如下图所示：目标函数z ＝x ＋y ，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋3y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝265，y ＝85，∵x 、y ∈N ，∴当x ＝5，y ＝2时，z min ＝7， 即当直线x ＋y ＝z 过点(5,2)时，z 取最小值7. 答案：79．实数x、y满足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则k＝y－3x＋1的取值范围为________．解析：不等式所表示的平面区域如下图所示．k表示区域内的点与点M(－1,3)连线的斜率．由下图可知：k MO≤k≤k MA又k MO＝－3，k MA＝－13，∴－3≤k≤－13.故k的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－1310．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成表，如下表所示.设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润建立目标函数．解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.z ＝7x ＋12y .作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z ＝7x ＋12y ，变为y ＝－712x ＋z 12，得到斜率为－712，在y 轴上截距为z 12，且随z 变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A 时，截距z 12最大，z 最大． 解方程组⎩⎨⎧ 4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300得点A 坐标为(20,24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．答：生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．解简单线性规划问题的基本步骤：1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即可行域．2．定线．令z＝0，得一过原点的直线．3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．4．求最优解．通过解方程组求出最优解．5．求最值．求出线性目标函数的最大或最大值．。
人教版高中数学高二 简单的线性规划问题 精品测试
课时作业21简单的线性规划问题时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题1．线性目标函数z＝x－y在⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋1≥0x－2y－1≤0x＋y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A．(0,1)B．(－1，－1)C．(1,0)D．(12，12)解析：图1作出可行域如图1.由z＝x－y，∴y＝x－z，∴线性目标函数z＝x－y取得最大值的可行解为(1,0)，故选C.答案：C2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2 D．－2解析：变量x、y的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤1.作出可行域，如图2所示，当直线z＝x－y 过可行域上点A时，截距最小，z最大，又点A坐标为(1,0)，所以z max＝1.图2答案：B 3．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1.则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：本题可利用线性规划知识先求z ′＝2y －2x 的最小值，再求z ＝z ′＋4的最小值． 答案：C4．设G 是平面上以A (2,1)，B (－1，－4)，C (－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x ，y )在G 上运动，f (x ，y )＝4x －3y 的最大值为a ，最小值为b ，则a ＋b 的值是( )A ．－1B ．－9C ．13D ．－6解析：利用线性规划知识求出f (x ，y )＝4x －3y 的最大值和最小值，即可求得a ＋b 的值． 答案：D5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 必须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－12，2x ＋3y ≥9，2x ≤11.x ，y ∈N则z ＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90D ．95解析：由线性约束条件，作出可行域，根据题意，本题的最优解应该是整点解，验证后知z 的最大值是80，故选A.答案：A6．已知变量x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－y≤0，x－3y＋5≥0，则z＝log2(x－y＋5)x≥0.的最大值为() A．2 B．log25C．1 D．log210－log23解析：⎩⎨⎧2x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0.则z＝log2(x－y＋5)画出可行域，则y＝x＋5－2z.当z最大时只需5－2z最小，当x＝y＝0时z max＝log25.答案：B二、填空题图37．如图3所示，A(1,0)，B(0,1)，C(23，45)，目标函数t＝ax－y的可行域为四边形OACB，若当且仅当x＝23，y＝45时，目标函数t取得最小值，则实数a的取值范围是________．解析：方法1：k BC＝－310，k AC＝－125，平移斜率为a的直线ax－y＝0，由题意可知－125 <a<－310.方法2：由题意知，直线t＝ax－y过点A或点B的t值都比它过点C的值大，即⎩⎨⎧a×0－1>23a－45，a×1－0>23a－45⇒－125<a<－310.答案：－125<a<－310图48．图4中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤5，2x＋y≤6，x≥0，y≥0在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．答案：(0,5)9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≥0，x＋y＋2≥0，2x－y－2≤0所确定的平面区域记为D.若点(x，y)是区域D上的点，则2x＋y的最大值是________；若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D上，则圆O面积的最大值是________．解析：图5如图5，令z＝2x＋y可知，直线z＝2x＋y经过(4,6)时z最大，此时z＝14；当圆O：x2＋y2＝r2和直线：2x－y－2＝0相切时半径最大．此时半径r＝25，面积S＝45π.答案：14，45π三、解答题图610．已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0.求z ＝x ＋y 的最大值．下列解法是否正确，如果不正确，请说明原因，并把正确解法写在下面．作出可行域，如图6中阴影部分．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．∴z max ＝8027＋7727＝15727.解：错因分析：将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点，不是B 点而是A 点，究其原因是作图时的误差引起的，由于三条边界的直线的斜率依次是：－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过B 时，则直线x ＋y ＝z 必在A点的下方，即B 点不是向上平移直线时最后离开的点，A 点才是最后离开的点．正解：作约束条件的可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，将它向上平移，∵1>0，∴z ＝x ＋y 的值也随之增加．当它经过A 点时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎨⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝11919.11．若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：图7因为f (x )的图象过原点，所以可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 所以f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4.其图象如图7所示阴影区域．因为f (－2)＝4a －2b ，作直线4a －2b ＝0，易知A 、B 点分别为使f (－2)取最小值点和最大值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，a －b ＝1得A (2,1)；⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2，得B (3,1)．所以f (－2)min ＝4×2－2×1＝6，f (－2)max ＝4×3－2×1＝10，所以6≤f (－2)≤10.B 创新达标12．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为多少？货物 体积每箱(m 3) 重量每箱50 kg 利润每箱(百元) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制2413解：图8设托运甲货物和乙货物分别为x 箱和y 箱，则由表格中的条件知：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤242x ＋5y ≤13x ≥0y ≥0x ，y ∈N再设该厂托运甲、乙两种货物所获利润为z ，则z ＝20x ＋10y ，作出可行域如图8，由图分析知当直线z ＝20x ＋10y 经过直线5x ＋4y ＝24与x 轴的交点时目标函数取最大值，但此点不是整点，故可求得当直线过(4,1)时，可获最大托运利润，所以托运甲货物4箱，托运乙货物1箱时可获得最大利润．。
《简单的线性规划》测试题(新人教必修5)
3. 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第1题. 已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 答案：Ｄ第2题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ） Ａ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥Ｂ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤Ｃ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤Ｄ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥0答案：Ａ第3题. 已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．1P ，2P Ｂ．1P ，3PＣ．2P ，3PＤ．2P答案：Ｃ第4题. 若222x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ）Ａ．[26]，Ｂ．[25]，Ｃ．[36]，Ｄ．[35]，答案：Ａ第5题. 设a 是正数，则同时满足下列条件：22ax a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸 边形．答案：六第6题. 原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-++-，≥，≤，≤所表示的平面区域的位置关系是 ，点(11)M ，与集合A 的位置关系是 ． 答案：O 在区域外，M 在区域内第7题. 点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ． 答案：(33)-，第8题. 给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．答案：30153x y y x x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≤．第9题. 某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？答案：解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车限量车辆数 运物吨数费用由表可知x y 1024301800804x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≤≤≤≤，且320504z x y =+． 作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= （元），即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=（元），只用B 型车，成本费为180504302430⨯=（元）．第10题. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．轮船运输量／t飞机运输量／t粮食 石油现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则3001502000250100150000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥ ，≥ ，≥，≥．即6340523000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥，≥，≥． 目标函数为z x y =+．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线x y t +=（t 为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线63400x y +-=和0y =的交点2003A ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线方程为：203x y +=． 由于203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003⎛⎫⎪⎝⎭，不是最优解．经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是(70)，，即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．第11题. 用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示的平面区域． 答案：解：第12题. 求22z x y=+的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥． 答案：解：已知不等式方式效果 种类组为27043120230x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+-⎩≥≤≥．在同一直角坐标系中，作直线270x y -+=，43120x y --=和230x y +-=， 再根据不等式组确定可行域△ABC （如图）． 由27043120x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点(56)A ，．所以22222max ()||5661x y OA +==+=；因为原点O 到直线BC 的距离为|003|355+-=， 所以22min 9()5x y +=． 第13题. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适？ 答案：解：设桌椅分别买x ，y 张，由题意得502020001.500x y y x x y x y +⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤，≤，≤，≥，≥．由50202000x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得20072007x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴点A 的坐标为20020077⎛⎫⎪⎝⎭，． 由 1.550202000y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得25752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．∴点B 的坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，以上不等式所表示的区域如图所示， 即以20020077A ⎛⎫⎪⎝⎭，，75252B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(00)O ，为顶点的△AOB 及其内部．对△AOB 内的点()P x y ，，设x y a +=，即y x a =-+为斜率为1-，y 轴上截距为a 的平行直线系．只有点P 与B 重合，即取25x =，752y =时，a 取最大值． y ∈Z ∵，37y =∴．∴买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．第14题. 画出不等式组200112x x y y x ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩≤≥≥表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解．答案：解：不等式组表示的区域如图所示，其整数解为第15题. 如图所示，(21)(3)0x y x y -++-<表示的平面区域是（ ）答案：C第16题. 已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ） Ａ．7a <-或24a > Ｂ．7a =或24a =Ｃ．724a -<< Ｄ．247a -<< 答案：Ｃ第17题. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）ＢＣＤＡ．14Ｂ．35Ｃ．4Ｄ．53答案：Ｂ第18题. 能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是（ ）Ａ．01220y x y ⎧⎨-+⎩≤≤≤Ｂ．1220y x y ⎧⎨-+⎩≤≥Ｃ．012200y x y x ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≤≤Ｄ．10220y x x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤≤答案：Ｃ第19题. 已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --⎧⎪+<⎨⎪⎩≤，，≥．则（ ）Ａ．max min 123z z ==， Ｂ．max 12z =，无最小值 Ｃ．min 3z =，无最大值Ｄ．z 无最大值，也无最小值答案：Ｃ第20题. 下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）Ａ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤Ｂ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+<⎩≥≥Ｃ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-⎪⎨--⎪⎪-+>⎩≤≤Ｄ．10236010220x y x y x y x y +-⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+⎩≥≥答案：Ｃ第21题. 已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤．则24z x y =+的最小值为（ ）Ａ．5 Ｂ．6-Ｃ．10Ｄ．10-答案：Ｂ第22题. 满足||||2x y +≤的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（ ） Ａ．11Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14答案：Ｃ第23题. 不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ ） Ａ．右上方 Ｂ．右下方Ｃ．左上方Ｄ．左下方答案：Ｂ第24题. 在ABC △中，三顶点(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在△ABC 内部及边界运动，则z x y =-最大值为（ ） Ａ．1 Ｂ．3-Ｃ．1-Ｄ．3答案：Ａ第25题. 不等式组(5)()003x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是一个（ ）Ａ．三角形 Ｂ．直角梯形Ｃ．梯形Ｄ．矩形答案：Ｃ第26题. 不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．(00)，Ｂ．(11)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，答案：Ｄ第27题. ABC △中，三个顶点的坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是 和 ．答案：1，3-第28题. 已知集合{()|||||1}A x y x y =+，≤，{()|()()0}B x y y x y x =-+，≤，M A B =，则M 的面积是 ．答案：1。
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烟台市中英文学校假期作业检测（六）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区
域的面积等于2，则a 的值为 ( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知D 是由不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ≥0，
x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为 ( )
A.π4
B.π2
C.3π4
D.3π
2
3.(2009·天津高考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥3，
x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝2x ＋3y 的 最小值为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23
4.(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最
小值，则a 的取值范围是 ( )
A ．(－1,2)
B ．(－4,2)
C ．(－4,0]
D ．(－2,4)
5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型
货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用
为 (
) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元
6.(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原
料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元
7.已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ≥0，
x ＋3y ≥0
所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长
为 ( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.3π2
二．填空题
8. 当不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
kx －y ＋2－k ≥0(k <0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于
________．
三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
8.（本题满分12分）某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p ＝100＋3(5－y )＋2(8－x )元，那么v 、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．。