2014-2015年江西省赣州市十二县(市)联考高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
江西省赣州市2014-2015学年高二上学期期末联考数学(理)试卷及答案
江西省赣州市2014～2015学年度第一学期期末联考高二数学（理科）试题一、选择题1～5.ACBAD ； 6～10.BCDBC 11～12.AC二、填空题13.10； 14.83； 16.3(1)n n +. 三、解答题17.解：由题意:232p x -≤-≤因为15x ≤≤，所以非:1p x <或5x >……………………………………………………3分 :11q m x m -≤≤+所以非:1q x m <-或1x m >+………………………………………………………………6分又因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以1115m m -≥⎧⎨+≤⎩……………………………………8分所以24x ≤≤…………………………………………………………………………………10分18.解：（1）设(,)x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)L L (6,5)，(6,6)，共36个基本事件……………………………2分用A 表示事件“3x y +≤”，则A 包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件…………3分 所以31()3612P A ==，即事件“3x y +≤”的概率为112…………………………………6分 （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 包含(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，共8个基本事件……………………………………………………………9分 所以82()369P B ==，即事件“2x y -=”的概率为29………………………………12分 19.解:（1）1(0.020.0160.0060.004)100.54-+++⨯=……………………………2分 所以27500.54n ==人………………………………………………………………………4分 （2）成绩在区间[)40,50的学生人数是：500.042⨯=人……………………………5分成绩在区间[)50,60的学生人数是：500.063⨯=人……………………………………6分设成绩在区间[)40,50的学生分别是12,A A ，成绩在区间[)50,60的学生分别是123,,B B B ，从成绩在[)40,60的学生中随机选取2人的所有结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共10种情况…………………………………………………………………………8分至少有1人成绩在[)40,50内的结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B 共7种情况………………………………………………………………10分所以至少有1人成绩在[)40,50内的概率710P =…………………………………………12分 20.解：过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线方程为(1)y k x =+……………………1分将(1)y k x =+代入24y x =，化简得2222(24)0k x k x k +-+=………………………4分设1122(,),(,)M x y N x y ，则有212242k x x k-+=，121x x =……………………………6分 又2114y x =，2224y x =，所以221216y y =……………………………………………………7分 因为120y y >，所以124y y =………………………………………………………………8分 从而有21212284(1)(1)k FM FN x x y y k-⋅=--+=uuu r uuu r ………………………………………9分12(1)(1)FM FN x x ⋅==++uuu r uu u r 24k=…………………10分 因为cos ,FM FN FM FN FM FN⋅<>=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以22284142k k k -=-⨯…………………………11分 解得12k =±…………………………………………………………………………………12分 21．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，所以ABC △为正三角形……………………………………………………………………1分因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥……………………………………………………2分又BC AD ∥，所以AE AD ⊥……………………………………………………………3分因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥………………………………………………………………………………4分而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ……………………………………………5分所以AE PD ⊥……………………………………………………………………………6分（2）解法一∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ………………………………………………………………7分过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角……………8分在Rt AOE △中，3sin 30EO AE =⋅=3cos302AO AE =⋅=， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 45SO AO=⋅= (10)分又SE ===11分 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE∠===12分 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BCPC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎭，，，，，，，……………………7分所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()m x y z =，，，则00m AE m AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11110102x y z =++=……………………………………………8分 取11z =-，则(021)m =-，，………………………………………………………………9分D BE CF A O S P∵BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，∴BD ⊥平面AFC …………………………………………………………………………10分故BD 为平面AFC 的一法向量又(0)BD =，，所以cos 5m BDm BD m BD ⋅<>===⋅，11分 因为二面角E AF C --为锐角，12分 22.解：（1）依题意，c =1b =………………………………………………………2分 所以a =………………………………………………………………………3分故椭圆C 的方程为2213x y +=………………………………………………………………5分 （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y==…………………6分 不妨设A，(1,B ， 所以122233222k k ++=+=…………………………………………………………8分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=， 整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=………………………………………9分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+……………………10分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-……………………………………………………11分所以12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++ 121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126)2126k k +==+……………………12分 所以122k k +=。
江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题
赣州市十二县（市）重点中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题命题学校：定南中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ]3,1[-B {}|34x x x 或≤≥ C ．)1,2[--D ． )4,2[-2．若i b i i a -=-)2(，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=（ ） A ．0B ．2C ．25D ．53.设a ∈R ，则 “直线21y a x =+与直线1y x =-平行”是“1a =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是（ ） A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数6．设曲线21y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）7. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b + 与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π 8.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （ ）（A ）B ）（C ）（D ）9.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ） A.35 B . 34 C.45D. 25 10．给出定义:若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:①()y f x =的定义域是R ,值域是11(,]22-;②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心,其中k Z ∈;③函数()y f x =的最小正周期为1;④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数.则上述命题中真命题的序号是 （ ）A ．①④ B．①③ C ．②③ D．②④第Ⅱ卷注意事项：须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
2014-2015学年高三第一学期赣州市十二县(市)期中联考数学试卷及答案(文)
期中联考高三年级数学文科试卷第1页（共2页）2014-2015学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考高三 数学（文）试卷命题学校：瑞金一中 石城中学 命题人：温剑峰 伊达东 审题人：黄志军本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B = （ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}- 2.设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i -3.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x C. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x4. 在ABC △中，3AB BC == ，60ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）A ．94-B ．94C ．274D ．95.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,15,S S ==则9S =（ ）A ．27B ．36C ．44D ．54 6.函数2()3ln f x x x =+)f 处的切线斜率是（ ）A.-B.7. 若将函数sin 2c )s (o 2x x f x +=的图像向左平移ϕ个单位，得到偶函数，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B. 4π C. 83π D. 43π 8. 已知函数1()f x x x=+，则函数()y f x =的大致图像为（ ）9.函数9()3x xaf x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则=+b a （ ） A.1 B. 1- C. 21-D. 2110.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为17，则a =（ ）A ．-7 B. 5 C ．-7或5 D. -5或7二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
赣州市2014—2015学年第二学期高三理科数学期中试题
俯视图（11题图）2014—2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高三年级数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合{})23lg(x y x A -==，集合{}x y y B -==1，则=B A （ ） A ． )23,0[ B ． （﹣∞，1] C ．D ．2．已知向量21,e e 是两个不共线的向量，若212e e a -=与21e e b λ+=共线，则λ的值为 ( ) A. 1- B. 21-C. 1D. 213．直线:1l y kx =+与圆221x y +=相交于A ，B 两点，则“△OAB 的面积为43”是“3=k ” 的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若=<<-=>)02(,)2(ξξP p P 则 （ ） A ．p +21B ．p -1C ．p -21D ．p 21-5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为 （ ）A ．[]3,3-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．⎦⎤⎢⎣⎡-32,32 6．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=， 则ABC ∆的面积为 ( )A ．2B ．23C ． 22D ． 247．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的))(0,(,2121x x x x ≠-∞∈，都有0)()(1212<--x x x f x f .则（ ）A ．)5(log )2()3.0(23.02f f f << B ．)3.0()2()5(log 23.02f f f << C ．)2()3.0()5(log 3.022f f f << D ．)2()5(log )3.0(3.022f f f <<8．5)31(y x --的展开式中不含x 的项的系数和为 ( )A ．32B ．32-错误！未找到引用源。
2014-2015年江西省南昌市高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)(甲卷)
2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．22．（5分）直线2x﹣y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣5=0 D．x+2y﹣5=03．（5分）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为（）A．0或﹣B．0或﹣ C．0或D．0或4．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l 在x轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣25．（5分）抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．46．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．407．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．2 D．9．（5分）在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．B．C．ρcosθ=2 D．ρsinθ=2 10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，]D．[0，+∞）11．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．12．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是．14．（4分）直线（t为参数）被曲线p=2cos（θ+）所截得的弦长为．15．（4分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（12分）设不等式组表示的平面区域为D．（1）在直角坐标系中画出平面区域D；（2）若直线分平面区域D为面积相等的两部分，求k的值．18．（12分）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点，求抛物线方程与椭圆方程．19．（12分）设△ABC的顶点A（3，﹣1），内角B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10=0，AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59=0，求△ABC面积．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0．（1）若M是圆C上任意一点，点Q（﹣2，3），求|MQ|的最大值与最小值．（2）求μ=x﹣2y的最大值与最小值．（3）求ν=的最大值．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．22．（14分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．2．（5分）直线2x﹣y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣5=0 D．x+2y﹣5=0【解答】解：设直线2x﹣y+1=0关于直线x=1对称的直线上任意点的坐标为（x，y），则（x，y）关于x=1的对称点的坐标为：（2﹣x，y）代入直线2x﹣y+1=0可得所求对称直线方程：2x+y﹣5=0；故选：C．3．（5分）若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为（）A．0或﹣B．0或﹣ C．0或D．0或【解答】解：∵直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，∴a+2a（a+1）=0，解得a=0或a=﹣．故选：A．4．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l 在x轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2【解答】解：由题意知，两直线的斜率存在，∵直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，∴解的：m=﹣1∴直线l为x﹣y+1=0∴直线l在x轴上的截距为﹣1．故选：B．5．（5分）抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由于双曲线可得a=，b=1，故可得c=2由双曲线方程的形式知，其右焦点坐标是（2，0）又抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合∴，得p=4故选：D．6．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选：B．7．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1=，∴=，，可得e=．故此双曲线的离心率为：．故选：D．8．（5分）设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．2 D．【解答】解：在坐标系中画出可行域由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z 越小平移直线2x+y=0经过点B时，z=2x+y最小由可得B（2，0）则目标函数z=2x+y的最小值为z=2故选：C．9．（5分）在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．B．C．ρcosθ=2 D．ρsinθ=2【解答】解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，化为x2+y2=4y，配方为x2+（y﹣2）2=4．A.化为+（y﹣1）2=4，表示的是圆的方程，不满足题意，舍去；B.化为=4，表示的是圆的方程，不满足题意，舍去；C．ρcosθ=2化为x=2，与圆x2+（y﹣2）2=4相切，满足题意．D．ρsinθ=2化为y=2，与圆x2+（y﹣2）2=4相交，不满足题意，舍去．故选：C．10．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，]D．[0，+∞）【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可得，圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3﹣2=；即≤，则a2+b2+4ab≤0，若a=0，则b=0，故不成立，故a≠0，则上式可化为1+（）2+4≤0，由直线l的斜率k=﹣，则上式可化为1+k2﹣4k≤0，则∈[2﹣，2+]，故选：B．11．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为=1，即．故选：D．12．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．二、填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是x+2y﹣3=0．【解答】解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由于AB的斜率为=2，故直线l1的斜率为﹣，故它的方程是y﹣1=﹣（x ﹣1），化简为x+2y﹣3=0，故答案为x+2y﹣3=0，故答案为x+2y﹣3=0．14．（4分）直线（t为参数）被曲线p=2cos（θ+）所截得的弦长为．【解答】解：直线（t为参数）的普通方程为3x+4y+1=0，ρ=2cos（θ+）的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2=2，∴圆心（1，﹣1）在直线3x+4y+1=0上，∴截得的弦长为2．故答案为：2．15．（4分）已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是．【解答】解：首先，当x=4时，代入抛物线方程，求得|y|=4而|a|＞4，说明A（4，a）是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）抛物线焦点可求得是F（1，0），准线L：x=﹣1P在y轴上的射影是M，说明PM⊥y轴，延长PM交L：x=﹣1于点N，必有：|PM|=|PN|﹣|MN|=|PN|﹣1|PN|就是P到准线L：x=﹣1的距离！连接PF根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=﹣1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离！即：|PF|=|PN|∴|PM|=|PF|﹣1|PA|+|PM|=|PF|+|PA|﹣1只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：连接|AF|由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'1°当P与P'不重合时：A，P，F三点必不共线，三点构成一个三角形APF，根据三角形“两边之和大于第三边”的性质，可得：|PF|+|PA|＞|AF|=^=2°当P与P'重合时，A，P（P'），F三点共线，根据几何关系有：|PF|+|PA|=|AF|=综合1°，2°两种情况可得：|PF|+|PA|≥∴（|PF|+|PA|）min=∴（|PA|+|PM|）min=﹣116．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣2）2=32，则圆心C（m，2），半径r=4，S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB，∴当∠ACB=90时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB==8，则C到AB距离=，∴4≤PC＜4，即4≤＜4，∴16≤（m﹣3）2+4＜32，即12≤（m﹣3）2＜28，∴，解得3﹣2＜m≤3﹣2或3+2≤m＜3+2，∵点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，∴|PC|=，即（m﹣3）2＜28，即﹣2＜m﹣3＜2，即3﹣2＜m＜3+2，故答案为：（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（12分）设不等式组表示的平面区域为D．（1）在直角坐标系中画出平面区域D；（2）若直线分平面区域D为面积相等的两部分，求k的值．【解答】解：（1）如图所示，区域D为△ABC内部及其边界；…（6分）（2）依题可知，直线恒过定点，…（8分），B（0，4），由解得C（1，1）直线分区域D为面积相等的两部分，则直线经过线段BC的中点，…（10分）所以．…（12分）18．（12分）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．两曲线的焦点在同一坐标轴上，椭圆的长轴长为4．抛物线与椭圆交于点，求抛物线方程与椭圆方程．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，且两曲线的焦点在同一坐标轴上，∴抛物线的焦点也在x轴上，可设抛物线的方程为y2=mx（m≠0）．∵在抛物线上，∴，解得m=4，∴抛物线的方程为y2=4x．∵在椭圆上，∴①又2a=4 ②由①②可得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程是．19．（12分）设△ABC的顶点A（3，﹣1），内角B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10=0，AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59=0，求△ABC面积．【解答】解：设AB中点D（x0，y0），则B（2x0﹣3，2y0+1），∵BD分别在两已知直线上，∴，解得，∴D（，2），B（10，5）设A关于∠B平分线对称点A′（m，n），则有，解方程组可得A′（1，7），∵A′在BC上，∴即BA′方程为2x+9y﹣65=0，BC边上高h BC=，联立方程解得，∴|BC|=，∴20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0．（1）若M是圆C上任意一点，点Q（﹣2，3），求|MQ|的最大值与最小值．（2）求μ=x﹣2y的最大值与最小值．（3）求ν=的最大值．【解答】解：（1）将圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，则圆心C（2，7），半径，又∵Q（﹣2，3），∴|QC|=4，∴点Q在圆外，则由得，，．（2）∵直线u=x﹣2y与圆C有公共点，∴，∴．∴μ=x﹣2y的最大值为2﹣12，最小值为﹣2﹣12．（3）ν=的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（﹣2，3）连线的斜率，则当直线y﹣νx﹣2ν﹣3=0与圆C相切时ν取的最值，则=2，解得ν=2﹣或2，则．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）22．（14分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，化简可得3x2﹣y2﹣3=0而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①∴①有两根且均在（1，+∞）内设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2设Q，R的坐标分别为（x Q，y Q），（x R，y R），∵|PQ|＜|PR|，∴x R=2m+，x Q=2m﹣，∴==∵m＞1，且m≠2∴，且∴，且∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）。
江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题
赣州市十二县（市）重点中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题命题学校：定南中一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,2M N ==-,下列结论成立的是（ ） A ．N M ⊆ B ．M N M ⋃= C ．M N N ⋂= D ．{}2M N ⋂=2．函数y =的定义域为 （ ）A. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭ B 、3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、 ()1,+∞D 、3,14⎛⎫⎪⎝⎭∪()1,+∞ 3.下列选项中，说法正确的是 A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题；（ ） B.命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”; C.命题“p q ∨”为真命题，则命题p q 和均为真命题；D. 设,a b是向量，命题“若,a b a b =-= 则”的否命题是真命题.4. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ ）A．2BC． D．5. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．166. 已知a ∈（2π，π），sinα=，则tan2α= （ ）A.C. 43-D.347. 如图，平行四边形ABCD 中，2,1,A B A D A ==∠=，点M 在AB 边上，且13AM AB DM DB =⋅ ，则等于 （ ）A.2-B.2C.1-D.18. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只要将)(x f 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度9、设O 为坐标原点，第一象限内的点(,)M x y 的坐标满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，(,)(0,0)ON a b a b =>>，若OM ON的最大值为40，则51a b+的最小值为（ ） （A ）256（B ）94 （C ）1 （D ）410. 如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的最大值为（ ）．A. B ． 2C ．3D ．C BD8题图二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置．) 11. 在平面直角坐标系xOy 中，由直线0,1,0x x y ===与曲线x y e =围成的封闭图形的面积是12.211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f = 13.若双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2，线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为____ __. 14.根据下面一组等式 S 1=1 S 2=2+3=5 S 3=4+5+6=1 5 S 4=7+8+9+1 0=34S 5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65S 6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1 S 7=22+23+24+25+26+27+28=1 75 … … … … … … … …可得13521...n s s s s -++++=三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）15．(1)（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．则直线与曲线C 的位置关系为(2)（选修4—5 不等式选讲）不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是____________. 四、解答题：16、（本小题满分12分）已知向量22,cos )m x x =+u r ，(1,,2cos )n x =r ，()f x m n =⋅u r r．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，ABC V，求a 的值． 17、（本小题满分12分）袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （I ）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II ）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.18、（本小题满分12分）如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==． （Ⅰ）点P 是直线BC 中点，证明//DP 平面EAB ； （Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，1211n n a a a a -+++-=- （2n ≥且*N n ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令22121log (0,1)5n n n aa a d a a +++=+>≠，记数列{}n d 的前n 项和为n S ， 若2nnS S 恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.20、（本小题满分13分）已知抛物线24y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，以F 1,F 2为焦点的椭圆C过点⎛⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点T )0,2(，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，且22F A F B λ=，若[]2,1,T A T B λ∈--+求的取值范围.21、（本小题满分14分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[,1](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xxe ex>-成立.2013---2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考高三数学（理科）试卷答案17、解：解: （Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C += ………2分从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = ………………3分 故所求概率为1928P =………………………………6分 （Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有11C 114312C C =种 ………………………………7分一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有214424C C =种， ………………………………8分 一种是所摸得的3小球均为红球，共有344C =种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种. ………………………………10分由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3.其分布列为：3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………………12分 18、（Ⅰ）证明：取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则AC FP //，AC FP 21=， 取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒，∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥．∴四边形EMCD 为矩形，∴AC MC ED 21==．………………4分又∵AC ED //，∴FP ED //且ED FP =，四边形EFPD 是平行四边形．∴EF DP //，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，∴//DP 平面EAB ．……6分 （Ⅱ）（法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ，∵AC ED //，∴l ED //，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分 ∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥，∴⊥DC平面ABC ，又∵⊂l 平面ABC ，,DC l ∴⊥∴⊥l 平面DGC ，∴DG l ⊥， ∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………10分 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，∴a CD GC GD 722=+=，∴772cos cos ==∠=GD GC DGC θ． ………12分 （法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）．设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．∴)3,,2(a a a --=，)0,,0(a =，…………………8分AB CD E PMF G设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则n EB ⊥ 且n ED ⊥ ， ∴0,0.n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴⎩⎨⎧==--.0,032ay az ay ax解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.0,23y z x取2z =，得平面EBD 的一个法向量为0,2)n =. ………10分又∵平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)'=n ． ……10分cos cos ,θ'=<>==n n ．………12分 19、（本小题满分12分）解: （Ⅰ）由题1211n n a a a a -+++-=- ……①1211n n a a a a +∴+++-=- ……②由①-②得：120n n a a +-=，即12(2)n na n a +=≥…………………………………………3分 当2n =时，121a a -=-，11a = ，∴22a =,212a a = 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列 故12n n a -=（*N n ∈）………………………………………………………………………6分（Ⅱ）12n n a -= ，22121log 12log 25n n n a a a a d n +++∴=+=+12log 2n n a d d +-= ，{}n d ∴是以112log 2a d =+为首项，以2log 2a 为公差的等差数列，…………………8分22(21)2(12log 2)(2log 2)2(1)(12log 2)(2log 2)2a a nna a n n n S n n S n -++⨯∴=-++⨯2(42)log 21(1)log 2a a n n λ++==++(4)log 2(2)(1log 2)0a a n λλ⇒-+-+= ……………………………………………10分2nn S S 恒为一个与n 无关的常数λ，∴(4)log 20(2)(1log 2)0a a λλ-=⎧⎨-+=⎩解之得：4λ=，12a = ………………………………………………………………12分20、解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则121122=+b a ③ 122+=b a ④将④代入③，解得12=b 或212-=b （舍去）所以2122=+=b a故椭圆C 的标准方程为1222=+y x ……………………4分 （Ⅱ）方法一：容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中得：22(2)210k y ky ++-=.…………………6分 设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系，可得：12222ky y k +=-+ ⑤12212y y k =-+ ⑥ …………………7分因为F F 22λ=，所以12y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式，得：221222214142222y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]51112,1+22022λλλλλ∈--⇒-≤≤-⇒-≤++≤2214022k k ⇒-≤-≤+所以 7202≤≤k ……………………………………………………………10分因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+， 又12222ky y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+，故2222221212222216(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++ 2222222216(2)28(2)828816(2)2(2)k k k k k +-++==-++++， 令212t k =+，所以2207k ≤≤ 所以27111622k ≤≤+，即71[,]162t ∈，所以222717||()828168()42TA TB f t t t t +==-+=-- .而71[,]162t ∈，所以169()[4,]32f t ∈.所以||TA TB +∈ . ………………………………………………13分 方法二：1）当直线l 的斜率不存在时，即1-=λ时，)22,1(A ，)22,1(-B ， 又T )0,2(，所以(1,(1,222TA TB +=-+--= …………6分 2）当直线l 的斜率存在时，即[)1,2--∈λ时，设直线l 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1222y x kkx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k 设()()1122,,,A x y B x y ，显然120,0y y ≠≠，则由根与系数的关系，可得：2221214k k x x +=+，22212122kk x x +-=⋅ ……………………7分 221212122)(k kk x x k y y +-=-+=+ ⑤22212122121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=⋅ ⑥ 因为B F A F 22λ=，所以12y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式得：221421k+-=++λλ 由[)1,2--∈λ得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+2,251λλ即⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈++0,2121λλ 故0214212<+-≤-k ，解得272≥k ………………………………………10分 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=- ， 所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+ ， 又222121)1(44kk x x ++-=-+，2222222221221)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-+=+ 22222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=…………………11分 令2211k t +=，因为272≥k 所以8121102≤+<k ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈81,0t ， 所以22251721042()22TA TB t t t +=++=+- 1694,32⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.⎥⎦⎤ ⎝⎛+8213,2 ……………………12分综上所述：||TA TB +∈ . ……………………13分 21、【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+. 当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增 ……2分 ① 101t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e==-；………………4分 ②11t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,1]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==．所以min 11,0.()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩. ……………………………………6分 （Ⅱ）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=，………………8分 ① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减，② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=. ………………10分 （Ⅲ）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞， 由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到.…12分 设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1()x x m x e-'=，易知 max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到， 从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立. ………………14分。
【数学】2014-2015年江西省赣州市十二县(市)联考高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（）A．﹣B．﹣C．1 D．22．（3分）若，则正数k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．23．（3分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）4．（3分）平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．D．25．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．（3分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）已知数列{a n}是递增等差数列，若a2014+a2015＜0，a2014•a2015＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最小值，那么S n取得最小正值时n等于（）A．4029 B．4028 C．4027 D．40269．（3分）在实数集R中定义一种运算“*”，∀a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③10．（3分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置）11．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，若M∩N=N，则a的值是．12．（5分）若函数f（x）=且b=f（f（f（0））），若是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，则整数a的值是．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，令a n=f（），则a1+a2+a3+…+a2014=．14．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）【标系与参数方程选做题】15．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ在点M（2，0）处的切线的极坐标方程为．【不等式选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•，①求函数f（x）的最小正周期T；②已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．19．（12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．21．（13分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．22．（14分）已知函数f（x）=ax2+xlnx，（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）在区间（1，2）内任取两个实数p，q（p≠q），若不等式＞1恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＜（其中n＞1，n∈N*，e=2.71828…）．2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（）A．﹣B．﹣C．1 D．2【解答】解：z1•z2=（1+i）（2+xi）=2﹣x+（2+x）i，∵z1．z2∈R，∴2+x=0．即x=﹣2．故选：A．2．（3分）若，则正数k的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．2【解答】解：（2x﹣3x2）dx=（x2﹣x3）=k2﹣k3=0，解得k=1或k=0（舍去），故选：B．3．（3分）函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，1）【解答】解：要使函数有意义，需即0≤x＜1故函数的定义域为[0，1）故选：D．4．（3分）平面向量，的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由得；所以根据已知条件可得：=．故选：A．5．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．6．（3分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选：C．7．（3分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意作出其平面区域，则由目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，a+4b=8，则由2≤=4得，ab≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选：D．8．（3分）已知数列{a n}是递增等差数列，若a2014+a2015＜0，a2014•a2015＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最小值，那么S n取得最小正值时n等于（）A．4029 B．4028 C．4027 D．4026【解答】解：∵{a n}是递增的等差数列，又∵a2014+a2015＜0，a2014•a2015＜0∴a2014＜0，∴a2015＞0，∴数列的前2014项为负数，从第2015项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027===4027a2014＜0，S4028==2014（a1+a4028）=2014（a2014+a2015）＜0，S4029===4029a2015＞0，∵S n取得最小正值时n等于4029故选：A．9．（3分）在实数集R中定义一种运算“*”，∀a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③【解答】解：∵f（x）=（e x）*=（e x）•+（e x）*0+*0=1+e x+，对于①，∵1+e x+≥1+2=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；对于②，∵f（x）=1+e x+=1+e x+e﹣x，∴f（﹣x）=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．10．（3分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置）11．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，若M∩N=N，则a的值是﹣1．【解答】解：因为集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，若M∩N=N，又a2≥0，∴当a2=0时，a=0，此时N={0，0}，不符合集合元素的互异性，故a≠0，当a2=1时，a=±1，a=1时，N={1，1}，不符合集合元素的互异性，故a≠1，a=﹣1，此时N={﹣1，1}故a=﹣1．故答案为：﹣112．（5分）若函数f（x）=且b=f（f（f（0））），若是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，则整数a的值是1或3．【解答】解：由分段函数f（x）可得，b=f（f（f（0）））=f（f（﹣2））=f（1）=1，由于是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，则a2﹣4a﹣1＜0，解得2﹣＜a＜2，由于a为整数，则a=0，1，2，3，4检验：只有a=1，3时，函数y=x﹣4为偶函数，故答案为：1或3．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，令a n=f（），则a1+a2+a3+…+a2014=0．【解答】解：由图象可知，T=，解得T=π，故有．函数的图象过点（，1）故有1=sin（2×+φ），|φ|＜，故可解得φ=，从而有f（x）=sin（2x+）．a1=sin（2×+）=1a2=sin（2×+）=a3=sin（2×+）=﹣a4=sin（2×+）=﹣1a5=sin（2×+）=﹣a6=sin（2×+）=a7=sin（2×+）=1a8=sin（2×+）=…观察规律可知a n的取值以6为周期，且有一个周期内的和为0，且2014=6×335+4，所以有：a2014=sin（2×+）=﹣1．则a1+a2+a3+…+a2014=a2011+a2012+a2013+a2014=1+=0．故答案为：0．14．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）【标系与参数方程选做题】15．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ在点M（2，0）处的切线的极坐标方程为ρcosθ=2．【解答】解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，则x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，在点M（2，0）处的切线方程为x=2，所以切线的极坐标方程是：ρcosθ=2．故答案为：ρcosθ=2．【不等式选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•，①求函数f（x）的最小正周期T；②已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．【解答】解：（1）已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），则：函数f（x）=（+）•===sin（2x﹣）+2所以：函数f（x）的最小正周期为：T=（2）由（1）得知：A ∈[0，]所以：当，f （A ）恰是f （x ）在[0，]上的最大值．解得：A=已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a=2，c=4，利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosAb 2﹣4b +4=0 解得：b=2=四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（sinx ，﹣1），向量=（cosx ，﹣），函数f （x ）=（+）•．（1）求f （x ）的最小正周期T ；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a=2，c=4，且f （A ）恰是f （x ）在[0，]上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S ．【解答】解：∵（1）向量=（sinx ，﹣1），向量=（cosx ，﹣），∴+=（sinx +cosx ，﹣），由此可得f （x ）=（+）•=sinx （sinx +cosx ）+=sin 2x +sinxcosx +∵sin 2x=，sinxcosx=sin2x∴f （x ）=sin2x ﹣cos2x +2=sin （2x ﹣）+2 根据三角函数的周期公式，得周期T==π；（2）f（A）=sin（2A﹣）+2，当A∈[0，]时，f（A）的最大值为f（）=3∴锐角A=，根据余弦定理，得cosA==，可得b2+c2﹣a2=bc∵a=2，c=4，∴b2+16﹣12=4b，解之得b=2根据正弦定理，得△ABC的面积为：S=bcsinA=×2×4sin=2．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）19．（12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）乙厂生产的产品总数为5=35．…．（2分）（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为35×．…（4分）（3）由题意知ξ=0，1，2，…..（5分）P（ξ=0）===0.3，P（ξ=1）===0.6，P（ξ=2）==，…．（8分）ξ的分布列为…．（11分）均值Eξ=1×0.6+2×0.1=0.8…．（12分）20．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…（12分）21．（13分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有S n，S n+2，S n+1成等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）已知b n=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵对于任意的n∈N+有S n，S n+2，S n+1成等差，∴2．整理得：．∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=．又，把q=代入后可得．所以，；（Ⅱ）∵b n=n，，∴，∴．．∴=∴．若（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）•（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，∴m≥对于n≥2恒成立，令，∵=∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．∴m．所以，（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．22．（14分）已知函数f（x）=ax2+xlnx，（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）在区间（1，2）内任取两个实数p，q（p≠q），若不等式＞1恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＜（其中n＞1，n∈N*，e=2.71828…）．【解答】（1）解：∵a=0时，f（x）=xlnx（x＞0），由f′（x）=1+lnx＞0，得，∴f（x）在上递减，在上递增．∴；（2）解：=，表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，又1＜p＜2，1＜q ＜2，∴2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立．∴当x∈（2，3）时，恒成立．∴．设，则．若g′（x）=0，则x=e．当2＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）上单调递减；当e＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）上单调递增．又，∴．故；（3）由（2）得，，∴，∴，∴，又==1﹣，∴+++…+＜．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
江西省赣州市十二县(市)2014-2015学年第二学期期中联考高二数学理试题
2014-2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数Z 的共轭复数12Z i =+ (i 为虚数单位)，则Z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若命题p ：4x =，命题q ：216x =，则P 是q 的 ( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．223π+B ．423π+C ．323π+D ．343π+4．设函数()e e x f x-=为自然常数）（e ，则该函数曲线在1=x 处的切线方程是( )A. 0=--e y exB. 01=+-y exC. 0=-y exD. 012=-+-e y ex5．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为( )A ．9(1)109n n n ++=+B ．9(1)109n n n -+=-C ．9(1)101n n n +-=-D ．9(1)(1)1010n n n -+-=-6．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1， 则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A. 6B. 6C. 6D. 67．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)p m -到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．6或－6B ．2或－2C ．4或－4D ．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有 ( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若92)1(axx -的展开式中9x 的系数为221-,则xdx a sin 0⎰的值等于( ) A. 2cos 1- B. 1cos 2- C. 12cos - D. 2cos 1+10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f11．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )A ．23B ．32C ．3D ．2312. 如图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记(01)SE x x =<<，截面下面部分的体积为()V x ，则函数()y V x =的图象大致为( )二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线x y 82=的焦点是双曲线)0(13222>=-a y a x 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学 生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线2y x =和直线2(01)y t t =<<，1x =，0x =所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________ 16．我们把形如()()x y f x ϕ=的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()x y f x x f x ϕϕ==，两边对x 求导数，得()()ln ()(),()y f x x f x x y f x ϕϕ'''=+于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数(0)xy x x =>在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知1()2nx +的展开式中前三项的系数成等差数列．设20121()2n n n x a a x a x a x +=++++.求：(1)n 的值； (2)5a 的值； (3) 0123(1)n n a a a a a -+-++-的值；18．平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD ==且60,BAD ∠=以BD 为折线，把ABD ∆折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，连接.AC （1）求证：AB DC ⊥；（2）求二面角B AC D -- 的余弦值.19．已知:p 关于x 的不等式(21)0xt dt m +->⎰对任意[1,2]x ∈恒成立；:q 2,0()1,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，不等式2()(2)f m f m >+成立.若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围.20.设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （1）当12a b ==时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围.21．椭圆E:22221x y a b+= (0)a b >>且过2P . (1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线l 过点1(,0)2M -,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点N ,直线l 与椭圆E 交于,A B 两点,与y 轴交与D 点,若AD AN λ=,BD BN μ=,且3λμ+=,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数2()(,)mxf x m n R x n=∈+在1x =处取得极值2. （1）求()f x 的表达式；（2）设函数()ln .g x ax x =-若对于任意的11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的2211,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得21()()g x f x =，求实数a 的取值范围.2014-2015学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示．由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24.当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2.此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B. 13.x y 3±= 14. 30 15. 1416. x y =16． 试题分析：仿照题目给定的方法，()()x x g x x f ==,所以()()1,1''==x g x f ，所以'11ln x y x x x x ⎛⎫=⨯+⋅ ⎪⎝⎭，所以'111|1ln 1x x x y x x x x ==⎡⎤⎛⎫=⨯+⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即：函数()0>=x x y x在()1,1处的切线的斜率为1，故切线方程为：11-=-x y ，即x y =，故答案为：x y =． 17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). 8181()2r rr r T C x-+=，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7………….6 (3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256 (10)18．解：（1）在ABD ∆中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以222,AD AB BD =+ 所以AB BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BDC ，所以AB ⊥平面BDC ，所以AB DC ⊥（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为z轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0）， B 3，0，0），C （0，1，0），A 3，0，1）（6分） 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =， 而(0,0,1),(3,1,0),BA BC ==-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：0,30z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩取(1,3,0),n =（8分） 再设平面DAC 的法向量为(,,),m x y z '''=而(3,0,1),(0,1,0),DA DC == 由00m DA m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：30,0x z y ''+='=⎪⎩取(1,0,3),m = （10分） 所以1cos ,,4n m n m n m⋅==即二面角B-AC-D 的余弦值是1;4（12分） 19．解：关于x 的不等式(21)0x t dt m +->⎰对任意[1,2]x ∈恒成立，即20x x m +->在[1,2]x ∈上恒成立。
江西省赣州市2014-2015学年高二上学期期末联考数学(文)试题 Word版含答案
赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、如果一个几何体的三视图都是等腰三角形，那么这个几何体可能是（ ） A ．圆锥 B ．正四棱锥 C ．正三棱锥 D ．正三棱台2、若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系是（ ） A ．异面 B ．相交或平行 C ．相交、平行和异面 D ．平行或异面3、设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的虚轴长为2，焦距为方程为（ ）A．y = B ．2y x =± C．y x= D ．12y x =± 4、用α表示一个平面，m 表示一条直线，则α内一定有无数多条直线与m （ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面5、一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（ ） A ．9，5 B ．8，6 C ．10，4 D ．7，76、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 的值为31，则a 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 7、如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（ ）A ．真命题B ．假命题C ．与所给的命题有关D ．无法判断8、已知a ，b 是实数，则“0a >，且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9、如图，在矩形CD AB 中，4AB =，C 2B =，随机向矩形内丢一粒豆子（豆子的体积忽略不计），则豆子落入圆内的概率为（ ）A ．14B ．12C ．8πD ．4π10、已知线性回归方程的系数b 的估计值是1.23，5y =，4x =，则线性回归方程是（ ）A ． 1.234y x =+B ．0.94 1.23y x =+C ． 1.230.08y x =+D ．0.08 1.23y x =+11、垂直于直线2610x y -+=，且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是（ ） A ．320x y ++= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y --=12、已知C ∆AB 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在C B 边上，则C ∆AB 的周长为（ ）A． B ．6 C ．12 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、函数2sin y x x =+的单调递增区间为 ．14、某校举行2015年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ，方差为 ． 15、若曲线()2ln f x ax x=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．16、将双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的实轴、虚轴互换，所得双曲线方程为22221x y ba -=（0a >，0b >），我们称这两双曲线是互为共轭的双曲线，若两共轭双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知命题:p 46x -≤，命题:q 22210x x a -+-≥（0a >），若p ⌝是q的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）某超市在2015年元旦期间举行抽奖活动，规则是：从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．()1求中三等奖的概率；()2求中奖的概率．19、（本小题满分12分）某汽车制造厂为了检测A，B两种轮胎的性能，分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面记录的是每个轮胎行驶的最远路程数（单位：100km）：轮胎A：96，112，97，108，100，103，86，98；轮胎B：108，101，94，105，96，93，97，106．()1分别计算A，B两种轮胎行驶最远路程的平均数、极差；()2比较A，B两种轮胎的性能，估计哪一种较为稳定．∆AB为正三角形，AE和CD都垂直于20、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，C平面C AB ，且2AE =AB =，CD 1=，F 为BE 的中点．()1求证：DF//平面C AB ； ()2求证：平面D BE ⊥平面ABE ．21、（本小题满分12分）已知函数()223x f x e x x=+-（e 为自然对数的底数）．()1求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；()2当1x ≥时，若关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22、（本小题满分12分）如图，F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，()4,2A 为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且FPA +P 的最小值为8．()1求抛物线的方程；()2如果过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且32MN ≥，求直线l 的倾斜角的取值范围．赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试 高二数学（文科）试题参考答案 一、选择题1～5. CCCCB ； 6～10. AACCC 11～12. AD 二、填空题13.(,)-∞+∞； 14.85,1.6； 15.(,0)-∞； 16.1 三、解答题 17.解：p ⌝即46x ->，解得10x >或2x <-，记{}102A x x x =|><-或22:210q x x a -+-≥，解得1x a ≥+或1x a ≤-，记{}11B x x a x a =|≥+≤-或p q ⌝⇒即A 是B 的真子集所以1211011a a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得03a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,318.解：（1）从四个小球任选两个共有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)六种结果 两个小球号码之和等于3的取法有两种：(0,3)，(1,2)所以两个小球号码之和等于3的概率12163P ==（2）两个小球号码之和等于的取法有一种(0,1)；两个小球号码之和等于2的取法有一种(0,2)，故中奖的概率为222163P =-=19.解：（1）轮胎A 的平均最远路程为1(9611298)1008A x =+++=L 轮胎B 的平均最远路程为1(108101106)1008B x =+++=L轮胎A 的平均最远路程的极差为1128626-= 轮胎B 的平均最远路程的极差为1089315-=（2）轮胎A 的最远路程的方差为22221(4122)55.258A s =+++=L轮胎B的最远路程的方差为22221(816)29.58Bs=+++=L由于22B As s<，所以B种轮胎的性能较为稳定.20.证明：（1）取AB的中点G，连接,CG FG 因为F为BE的中点，所以GF∥AE，且12 GF AE=又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC所以CD∥AE，且12 CD AE=所以GF∥CD且GF CD=所以四边形CDFG为平行四边形所以DF∥CG，又DF⊄平面ABC，CG⊆平面ABC所以DF∥平面ABC（2）由（1）知四边形CDFG为平行四边形，所以CG∥DF 又AE⊥平面ABC，AE⊆平面ABE所以平面ABE⊥平面ABC，交线为AB又ABC∆为正三角形，G为AB的中点所以CG AB⊥，所以CG⊥平面ABE又CG∥DF，所以DF⊥平面ABE而DF⊆平面DBE，所以平面DBE⊥平面ABE21.解：（1）因为2()e23xf x x x=+-，所以()e43xf x x'=+-则(1)e1f'=+，又(1)e1f=-，所以曲线()f x在点(1,(1))f处的切线方程(e1)20x y+--=HG EDCBFA（2）由()f x ax ≥，得2e 23x ax x x ≤+-，因为1x ≥，所以2e 23x x x a x +-≤ 令2e 23()x x x g x x +-=，则22(1)e 2()x x x g x x -+'=，因为1x ≥，所以()0g x '>所以函数()g x 在区间[)1,+∞内是增函数，所以函数()g x 的最小值为(1)e 1g =-故实数a 的取值范围为(],e 1-∞-22.解：（1）设P 点到抛物线的准线为2px =-的距离为d由抛物线的定义知d PF=，所以min min ()()482pPA PF PA d +=+=+=即8p =，所以抛物线的方程为216y x = （2）由（1）得(4,0)F ，易知当直线的斜率不存在时不合题意，设其斜率为k 则直线的方程为(4)y k x =-，显然0k ≠将直线的方程代入抛物线方程整理得：2222(816)160k x k k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122816k x x k ++=，1216x x ====2216(1)32k k +=≥所以2111k k ≤⇒-≤≤所以直线的倾斜角的取值范围是[)(]1,00,1-U ，倾斜角的范围是30,,44ππ⎛⎤⎡⎫π ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U。
江西省赣州市2014-2015学年高二数学上学期十二县(市)期中联考试题 理
江西省赣州市2014-2015学年高二数学上学期十二县〔市〕期中联考试题 理第1卷一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的．1．α为锐角，且满足cos2sin αα=，如此α等于〔 〕A ．30或270B ．45C ．60D ．30 2．如下既是偶函数，又在),0(+∞单调递增的函数是〔 〕 A ．||2x y -= B ．22log y x = C ．2y x x =+ D ．cos y x =3．集合{1,2}A =，{|30}B x ax =-=，假设B A ⊆，如此实数a 的值是〔 〕A ．30,,32B ．0,3C ．3,32D ．3 4．直线1:l x ＋my ＋6＝0，2:l (m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，假设1l ∥2l ，如此实数m 的值是〔 〕A ．3B ．1,3-C ．1-D ．3- 5．,a b R +∈，且22a b +=，如此使得12a b+取得最小值的,a b 分别是〔 〕 A ．2，2 B ．1,12 C ．13,42 D ．11,226．一个几何体的三视图如下列图，如此该几何体的体积是〔 〕AB ．43CD．7．如图，正方形ABCD 是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正 方形拼接而成，现随机地向大正方形内部区域投掷小球，假设直角三角形 的两条直角边的比是2:1，如此小球落在小正方形区域的概率是〔 〕 A ．35 B ．15 C ．34 D ．148．函数cos 2y x =的图象经过如下何种平移可得函数sin(2)3y x π=-的图象〔 〕A ．向右平移512π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移3π个单位 9．假设直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，如此b 的取值范围是〔 〕 A ．[122-，3]B ．[12-，3]C ．[1-，122+]D ．[122-，122+]10．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -中1BC 上的动点,如下命题：①1AP B C ⊥；②1BP CD 与所成的角是60°；③1P AD C V -为定值； ④1B P ∥平面1D AC ；⑤二面角P AB C --的平面角为45°． 其中正确命题的个数有〔 〕A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第2卷二、填空题：本大题共5小题，每一小题5分，共25分．11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，如此应从高一年级抽取名学生． 12．程序框图如如下图，假设输出的S 值为62，如此n 的值为．13．数列{}n a 满足：112a =，11(),(*)2n n n a a n N -=+∈，如此n a =． 14．∆ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22AB = ，BC =1，AC =3，三棱锥O -ABC的体积为66，如此球O 的外表积为． 15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为线段BD 上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，D C 1C B 1A 1AD 1BP CDAPB如此λμ+的最大值为．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16．〔本小题总分为12分〕某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民某年的月均用水量〔单位：t 〕，样本统计结果如如下图表： 〔Ⅰ〕分别求出x ，n ，y 的值；〔Ⅱ〕假设从样本中月均用水量在[5，6]内的5位居民a ,b ,c ,d ,e 中任选2人作进一步的调查研究，求居民a 被选中的概率．17．〔本小题总分为12分〕如图(左)，边长为2的正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点，将DAE ∆与DCF ∆折起，使A 、C 重合于G 点，构成如图(右)所示的几何体．〔Ⅰ〕求证：GD EF ⊥；〔Ⅱ〕假设EF ∥平面GMN ，求三棱锥G EFD -的体积G EFD V -．18．〔本小题总分为12分〕，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，假设CDAF EG(2)a c AB BC cBC CA -⋅=⋅〔Ⅰ〕求B ∠的大小； 〔Ⅱ〕假设()2sin 2cos 2cos 2sin 22B B f x x x =⋅+⋅，5[,]1212x ππ∈-， 求()f x 的最大值和最小值．19．〔本小题总分为12分〕在数列{}n a 、{}n b 中，{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n b n 、(,)n n S 分别在函数2log y x = 与函数22y x x =+的图象上．〔Ⅰ〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．〔本小题总分为13分〕如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面11BB C C ， BC =1，AB =BB 1=2，∠BCC 1=3π. 〔Ⅰ〕求证：C 1B ⊥平面ABC ；〔Ⅱ〕P 是线段1BB 上的动点，当平面1C AP ⊥平面11AA B B 时，求线段1B P 的长； 〔Ⅲ〕假设E 为1BB 的中点，求二面角11C AE A --平面角的余弦值．21．〔本小题总分为14分〕圆C ：22(3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两A 1个不同的点，M 为P 、Q 的中点．〔Ⅰ〕(3,0)A ，假设0AP AQ ⋅=，求实数k 的值； 〔Ⅱ〕求点M 的轨迹方程；〔Ⅲ〕假设直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ⋅为定值． 又500.25x n==，∴200=n ………………………………………………4分 ∴250.125200y ==…………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕记“居民a 被选中〞为事件A ，所以根本事件为：〔a ，b 〕，〔a ，c 〕，〔a ，d 〕，〔a ，e 〕，〔b ，c 〕，〔b ，d 〕，〔b ，e 〕，〔c ，d 〕，〔c ，e 〕，〔d ，e 〕共计10个根本事件………………………………………………………………10分事件A 包含的根本事件有〔a ，b 〕，〔a ，c 〕，〔a ，d 〕，〔a ，e 〕，共4个……11分 所以居民a 被选中的概率()52104==A P ………………………12分 17．〔Ⅰ〕证明：(略)………………………………………………………………………6分 〔Ⅱ〕EF ∥平面GMN 知：F 是BC 边上的中点，故有：GE GF ⊥G EFD V -=D GEF V -=13……………………………………………………………12分18．解：〔Ⅰ〕(2)a c AB BC cBC CA -⋅=⋅得：(2)cos(B)cos()a c ca cab C ππ--=-……………………………………2分 由正弦定理得：2sin cos sin()A B B C =+……………………………………4分 即：1cos 2B =所以：B ∠=3π…………………………………………………6分 yx l 2l 1N OMPA CQ〔Ⅱ〕()2sin 2cos2cos 2sin 22B B f x x x =+2sin(2)2B x =+2sin(2)6x π=+ 由51212x ππ-≤≤得22363x πππ-≤+≤……………………………………9分当262x ππ+=-即3x π=-时，min ()2f x =-当263x ππ+=即12x π=时，max ()f x =12分19．解：〔Ⅰ〕依题意，2nn b =………………………………………………………2分22n S n n =+求得21n a n =+……………………………………………6分〔Ⅱ〕(21)2nn n n c a b n =⋅=+⋅123325272...(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅① 23412325272...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅②………………８分①-②得：12312311322222...22(21)222(222...2)(21)22(12)22(21)212n n n n n n n T n n n +++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅=+++++⋯⋯-+⋅-=+⋅-+⋅-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分∴1(21)22,(*)n n T n n N +=-+∈…………………………………………12分20．〔Ⅰ〕证明：AB ⊥侧面11BB C C 得AB ⊥1C B由BC =1，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=3π知∠C 1CB=90°即1C B CB ⊥， 又,CB BA 交于点A ，故C 1B ⊥平面ABC …………………………………………4分 〔Ⅱ〕由AB ⊥侧面11BB C C 知面1111ABB A BB C C ⊥面，过C 1作11C P BB P ⊥于,如此111C P AA B B ⊥面，因11C P C AP ⊂面故平面1C AP ⊥平面11AA B B ，求得1B P =12…………………………………………8分 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知111C P AA B B ⊥面， 过P 作AE H PH AE ⊥交所在直线于点，由三角形相似求得：PH =，又1C P =，∴113515tan /252C P C HP PH ∠===，故：1219cos 19C HP ∠=………………13分 21．解：〔Ⅰ〕0AP AQ ⋅=即AP AQ ⊥，因为点A 在圆C 上故直线1l 过圆心C (3,3)，得1k =…………………………………3分 〔Ⅱ〕设(,)M x y ，如此OM CM ⊥，即0OM CM ⋅=坐标代入得：(,)(3,3)0x y x y ⋅--=化简得：22333x x y y -+-=(0,0)x y >>……8分〔Ⅲ〕设112200(,),(,),(,)P x y Q x y M x y 将y kx =代入22(3)(3)9x y -+-=并整理得：22(1)6(1)90(*)k x k x +-++=⋯⋯⋯⋯如此12,x x 为方程(*)的两根∴1226(1)1k x x k ++=+2222200000||()1OM x y x kx k x =+=+=+⋅ 223(1)11k k k +=+⋅+……………………………………………………10分。
江西省赣州市2014-2015学年高二上学期期末联考数学(理)试题
赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、命题“存在R x ∈，使221x x +≤”的否定是（ ）A ．对任意R x ∈，有221x x +>B ．对任意R x ∈，有221x x +≤C ．存在R x ∈，使221x x +>D ．不存在R x ∈，使221x x +≤ 2、“0ab <”是“方程221ax by +=表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3、以下四组向量中，互相平行的组数为（ ）①()2,2,1a =，()3,2,2b =-- ②()8,4,6a =-，()4,2,3b =- ③()0,1,1a =-，()0,3,3b =- ④()3,2,0a =-，()4,3,3b =-A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 4、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：x 的回归直线方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 5、已知()cos ,1,sin a αα=，()sin ,1,cos b αα=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A ．0 B ．60 C ．30 D ．906、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,x y A ，()22,x y B 两点，如果126x x +=，那么AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．47、下图所示的算法流程图中，若输出的720T =，则正整数a 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 8、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）A ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥B ．若αβ⊥，m α⊄，m β⊥，则//m αC ．若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 9、已知命题:p 对任意的R x ∈，有23x x <；命题:q 存在R x ∈，使321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p 且qB ．非p 且qC ．p 且非qD ．非p 且非q 10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B ．3 C ．3 D ．611、若圆22490x y x +--=与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．221972y x -= B ．221972x y -= C ．2211681x y -= D ．2218116y x -= 12、设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为12FF ∆P 的内心，若1212F F FF 2S S S ∆IP ∆IP ∆I +=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．14BC ．12 D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ．14、在边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子（豆子的体积忽略不计），它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为 ． 15、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，C 2AB =B =，11AA =，则1C B 与平面11D D BB 所成角的正弦值为 ．16、如图都是由棱长为1的正方体叠成的几何体，例如第()1个几何体的表面积为6个平方单位，第()2个几何体的表面积为18个平方单位，第()3个几何体的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n 个几何体的表面积是 个平方单位．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知:p 32x -≤，:q ()()110x m x m -+--≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 18、（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．()1求事件“3x y +≤”的概率； ()2求事件“2x y -=”的概率．19、（本小题满分12分）从某校高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[)40,100，且成绩在区间[)70,90的学生人数是27人． ()1求n 的值；()2若从数学成绩（单位：分）在[)40,60的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[)40,50内的概率．20、（本小题满分12分）设F 是抛物线C :24y x =的焦点，过点()1,0A -且斜率为k （0k ≠）的直线与抛物线C 相交于M ，N 两点，设F M 与F N 的夹角为120，求k 的值．21、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB =，E ，F 分别是C B ，C P 的中点． ()1证明：D AE ⊥P ；()2若2AB =，2PA =，求二面角F C E -A -的余弦值．22、（本小题满分12分）如图，已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为()1F ，)2F ，点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．()1求椭圆C 的方程；()2已知点N 的坐标为()3,2，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试求12k k +的值．赣州市2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题参考答案一、选择题1～5.ACBAD ； 6～10.BCDBC 11～12.AC 二、填空题13.10； 14.83； 16.3(1)n n +.三、解答题17.解：由题意:232p x -≤-≤因为15x ≤≤，所以非:1p x <或5x >……………………………………………………3分:11q m x m -≤≤+所以非:1q x m <-或1x m >+………………………………………………………………6分 又因为非p 是非q 的充分不必要条件，所以1115m m -≥⎧⎨+≤⎩……………………………………8分所以24x ≤≤…………………………………………………………………………………10分 18.解：（1）设(,)x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)L L (6,5)，(6,6)，共36个基本事件……………………………2分用A 表示事件“3x y +≤”，则A 包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件…………3分 所以31()3612P A ==，即事件“3x y +≤”的概率为112…………………………………6分 （2）用B 表示事件“2x y -=”，则B 包含(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，共8个基本事件……………………………………………………………9分所以82()369P B ==，即事件“2x y -=”的概率为29………………………………12分 19.解:（1）1(0.020.0160.0060.004)100.54-+++⨯=……………………………2分 所以27500.54n ==人………………………………………………………………………4分（2）成绩在区间)40,50的学生人数是：500.042⨯=人……………………………5分 成绩在区间[)50,60的学生人数是：500.063⨯=人……………………………………6分 设成绩在区间[)40,50的学生分别是12,A A ，成绩在区间[)50,60的学生分别是123,,B B B ， 从成绩在[)40,60的学生中随机选取2人的所有结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B 共10种情况…………………………………………………………………………8分至少有人成绩在[)40,50内的结果有：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B 共7种情况………………………………………………………………10分所以至少有人成绩在[)40,50内的概率710P =…………………………………………12分 20.解：过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线方程为(1)y k x =+……………………1分 将(1)y k x =+代入24y x =，化简得2222(24)0k x k x k +-+=………………………4分设1122(,),(,)M x y N x y ，则有212242k x x k-+=，121x x =……………………………6分 又2114y x =，2224y x =，所以221216y y =……………………………………………………7分因为120y y >，所以124y y =………………………………………………………………8分从而有21212284(1)(1)k FM FN x x y y k-⋅=--+=uuu r uuu r ………………………………………9分12(1)(1)x x =++24k=…………………10分因为cos ,FM FN FM FN FM FN⋅<>=uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，所以22284142k k k -=-⨯…………………………11分 解得12k =±…………………………………………………………………………………12分 21．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，所以ABC △为正三角形……………………………………………………………………1分 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥……………………………………………………2分又BC AD ∥，所以AE AD ⊥……………………………………………………………3分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥………………………………………………………………………………4分 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ……………………………………………5分 所以AE PD ⊥……………………………………………………………………………6分 （2）解法一∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ………………………………………………………………7分 过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角……………8分在Rt AOE △中，3sin 30EO AE =⋅=3cos302AO AE =⋅=， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，3sin 45SO AO =⋅=10分又SE ===11分 在Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===12分 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，DBEC FAOS P所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)00)12P E F ⎫⎪⎪⎭，，，，，，，……………………7分所以31(300)12AE AF ⎛⎫== ⎪⎪⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()m x y z =，，，则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11110102x y z =++=……………………………………………8分 取11z =-，则(021)m =-，，………………………………………………………………9分 ∵BD AC ⊥，BD PA ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面AFC …………………………………………………………………………10分 故BD 为平面AFC 的一法向量 又(30)BD =，， 所以cos 5m BD m BD m BD⋅<>===⋅，11分 因为二面角E AF C --为锐角， ……………………………………………………………12分 22.解：（1）依题意，c =1b =………………………………………………………2分所以a ==………………………………………………………………………3分故椭圆C 的方程为2213x y +=………………………………………………………………5分第 11 页 共 11 页 （2）①当直线的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==…………………6分不妨设A，(1,B ，所以122k k +==…………………………………………………………8分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=， 整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=………………………………………9分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+……………………10分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-……………………………………………………11分 所以12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++ 121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126)2126k k +==+……………………12分 所以122k k +=。
江西省赣州中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
赣州中学2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试卷2014.11.13命题人：温福根 审题人：赖 敏说明：考试时间为120分钟，总分为150分，请考生用黑色签字笔作答，考试过程中禁止使用计算器。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填入答题卡上的相应空格内）1．为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为 （ ）A ．40B ．30C ．20D ．12 2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶 图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，533．由下表格数据得到的线性回归方程为35.07.0+=x y ，那么表格中的m 为（ ）A ．4B ．3.15C ．4.5D ．3 4．直线l 经过A （2，1）、B （1，2m ）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃5．点A 在z 轴上，它到（3，2，1A 的坐标是（ ） A ．（0，0，－1）B ．（0，1，1）C ．（0，0，1）D ．（0，0，13） 6．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A ．49B ．13C ．29D ．197．登上一个四级的台阶（可以一步上一级、二级、三级或四级）， 在所有行走方式中恰有一步是两级的概率（ ）A ．21B ．83C ．52D ．418．某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为（ ） A ．k ＞4 B ．k ＞5 C ．k ＞6 D ．k ＞7 9．设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题 ①若α//a ，α//b ，则b a // ②若α//a ，β//a ，则βα// ③若γα⊥，γβ⊥，则βα//其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.510．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为（ ） A ．20π B ．25π C ．100π D ．200π 11．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF 、C 1E 与 AB 所成的角分别是α、β，则α＋β等于（ ） A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°12．正四棱锥ABCD S -的底面边长为4，高为4，E 为边BC 的中点，动点P 在正四棱锥表面上运动，并且总保持AC PE ⊥，则动点P 的轨迹的周长为 （ ） A． B． C ．+ D ．22 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填入答题卡上） 13．当3=a 时，下面的程序段输出的结果是If 10a < Then2y a =*Elsey a a =*Print y14．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为 ．15．三棱锥的底面是边长为1的正三角形，且两条侧棱长为213，则第三条侧棱长的取值范围是 ．16．间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率为_______．三、解答题（本大题6小题，共70分。
2014-2015年江西省赣州市十二县(市)联考高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）为了解2000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．40 B．50 C．80 D．1002．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．a2＜b2C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜13．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．x2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y+3）2=1 4．（5分）下列结论成立的个数为（）A．直线m平行于平面α内的无数条直线，则m∥αB．若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m⊥αC．若平面α⊥平面β，直线m在α内，则m⊥βD．若直线m⊥平面α，n在平面α内，则m⊥n5．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=，则a2014等于（）A．2 B．﹣3 C．D．6．（5分）已知两直线l1：x+my+3=0，l2：（m﹣1）x+2my+2m=0，若l1∥l2，则m 的值为（）A．0 B．﹣1或 C．3 D．0或37．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为198．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a8＜0，a9＞|a8|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．15 B．16 C．17 D．189．（5分）右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（）A．0.28 B．0.38 C．0.72 D．0.6210．（5分）在空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），且该四面体的俯视图如图，则左视图为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上）11．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=2x+y的最大值为．13．（5分）已知圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30°，则该圆锥的表面积等于．14．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=．15．（5分）已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣2a）2=a2（a≠0），直线l：y=ax，下面四个结论：（1）对任意实数a（a≠0），直线l和圆M相切；（2）对任意实数a（a≠0），直线l和圆M有公共点；（3）存在实数a（a≠0），使得直线l与和圆M相切；（4）不存在实数a，使得直线l与和圆M相切．其中不正确结论的代号是（写出所有不正确结论的代号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，集合B={x|＜0}．（1）当a=2时，求A∩B；（2）当a＞时，若A∪B=A，求实数a的取值范围．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=2•（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．（12分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，△ABC 的面积为．（1）求角A的值；（2）若b=2，求a的值．20．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．21．（14分）数列{a n}中，a n＜0，前n项和S n=﹣．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N+），T n=b1+b2+…+b n，若对任意n∈N+，总存在m∈[﹣1，1]使T n＜m2﹣2m+t+成立，求出t的取值范围．2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）为了解2000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．40 B．50 C．80 D．100【解答】解：∵从2000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为2000÷40=50，故选：B．2．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．a2＜b2C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1【解答】解：A．∵0＜b＜a＜1，∴b2＜ab，不正确；B．∵0＜b＜a＜1，∴a2＞b2，不正确；C．∵0＜b＜a＜1，∴2b＜22＜2，正确．D．∵0＜b＜a＜1，∴a2＞b2，不正确．故选：C．3．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．x2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y+3）2=1【解答】解：设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得1=，∴b=2，故圆心为（0，2），故所求的圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选：A．4．（5分）下列结论成立的个数为（）A．直线m平行于平面α内的无数条直线，则m∥αB．若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m⊥αC．若平面α⊥平面β，直线m在α内，则m⊥βD．若直线m⊥平面α，n在平面α内，则m⊥n【解答】解：根据线面平行的判定，可知A不正确；根据线面垂直的判定，可知B不正确；根据平面与平面垂直的性质，可知C不正确，根据线面垂直的性质，可知D正确．故选：D．5．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=，则a2014等于（）A．2 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2===﹣3，a3===，a4===，a5===2，…由上可知，数列{a n}的项以4为周期周期出现．∴a2014=a503×4+2=a2=﹣3．故选：B．6．（5分）已知两直线l1：x+my+3=0，l2：（m﹣1）x+2my+2m=0，若l1∥l2，则m的值为（）A．0 B．﹣1或 C．3 D．0或3【解答】解：直线l1：x+my+3=0，l2：（m﹣1）x+2my+2m=0，设A1=1，B1=m，C1=3，A2=m﹣1，B2=2m，C2=2m，∵l1∥l2，∴，即，解得：m=0．故选：A．7．（5分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为19【解答】解：根据茎叶图中的数据，得中位数是=84，∴A错误；众数是83，∴B错误；平均数是=85，∴C正确；方差是[（78﹣85）2+（85﹣85）2+（83﹣85）2×2+（90﹣85）2（91﹣85）2]=19.7，∴D错误．故选：C．8．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a8＜0，a9＞|a8|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：由a8＜0，a9＞|a8|，得a9＞﹣a8，即a8+a9＞0，∴，而S15=15a8＜0．∴使S n＞0成立的最小正整数n为16．故选：B．9．（5分）右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（）A．0.28 B．0.38 C．0.72 D．0.62【解答】解：由流程图可知，最后输出的m 值是大于等于90分的人数，即次考试数学分数不低于90分的同学的人数是720，因为频率=，所以次考试数学分数不低于90分的同学的频率==0.72．故选：C．10．（5分）在空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），且该四面体的俯视图如图，则左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以yOx平面为投影面，则得到正视图为，以zOx平面为投影面，则得到左视图为：D故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上）11．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为．【解答】解：∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，∴直观图的面积S=，则原图的面积S′=2S=，故答案为：．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=2x+y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形0CAB及其内部，其中A（3，1），B（0，4），C（2，0），0（0，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z=F（2，1）=2×3+1=7最大值故答案为：713．（5分）已知圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30°，则该圆锥的表面积等于3π．【解答】解：∵圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30°，∴圆锥的底面半径为1，∴圆锥的底面周长是2π．则圆锥的底面面积为π，圆锥的侧面积是：×2π×2=2π，∴圆锥的表面积等于3π．故答案为：3π14．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=63．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2•（S6﹣S4），即122=3•（S 6﹣15），解得S 6=63故答案为：63．15．（5分）已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣2a）2=a2（a≠0），直线l：y=ax，下面四个结论：（1）对任意实数a（a≠0），直线l和圆M相切；（2）对任意实数a（a≠0），直线l和圆M有公共点；（3）存在实数a（a≠0），使得直线l与和圆M相切；（4）不存在实数a，使得直线l与和圆M相切．其中不正确结论的代号是（1）（2）（4）（写出所有不正确结论的代号）．【解答】解：∵圆M：（x﹣a）2+（y﹣2a）2=a2（a≠0），直线l：y=ax，∴圆心到直线的距离为d==|a|，则a=，∴（1）（4）不正确，（3）正确，a＜时，直线l和圆M没有公共点，即（2）不正确．故答案为：（1）（2）（4）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，集合B={x|＜0}．（1）当a=2时，求A∩B；（2）当a＞时，若A∪B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，由（x﹣2）（x﹣7）＜0，解得2＜x＜7，∴A={x|2＜x＜7}．由＜0，解得4＜x＜5，∴B={x|4＜x＜5}．∴A∩B={x|4＜x＜5}．（2）当a=1时，B=∅，满足A∪B=A，适合条件，∴a=1．当a＞时，且a≠1时，∵a2+1﹣2a=（a﹣1）2＞0，∴B={x|2a＜x＜a2+1}．∵3a+1＞2，∴A={x|2＜x＜3a+1}．∵A∪B=A，∴B⊆A，∴a必须满足且a≠1，解得1＜a≤3．综上可知：a的取值范围是{a|1≤a≤3}．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=2•（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（1）=sin2x+cos2x+1=∴．（2）∵∴f（x）的最小正周期为π．令解得即f（x）的单调递增区间为．18．（12分）已知点M（3，1），直线l：ax﹣y+4=0及圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．【解答】解：（1）圆C的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心C（1，2），半径是2．①当切线斜率存在时，设切线方程为，y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0∵，∴，②当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3也与圆C相切，所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0．（2）∵点C到直线l的距离利用勾股定理得：d=同时利用圆心到直线的距离：d=，解方程得：．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，△ABC 的面积为．（1）求角A的值；（2）若b=2，求a的值．【解答】解：（1）∵•=bccosA=3①，S=bcsinA=②，△ABC∴②÷①得：tanA=，又∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵bccosA=3，b=2，cosA=，∴c=3，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣6=7，则a=．20．（13分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD∴AB∥平面PCD（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1又AB=2，∴BE=1在Rt△BEC中，∠ABC=45°∴CE=BE=1，CB=∴AD=CE=1则AC==，AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又由PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC（Ⅲ）∵M是PC中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半∴．21．（14分）数列{a n}中，a n＜0，前n项和S n=﹣．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N+），T n=b1+b2+…+b n，若对任意n∈N+，总存在m∈[﹣1，1]使T n＜m2﹣2m+t+成立，求出t的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，∵，∴a1=﹣1．当n≥2时，，∴．=﹣2（n≥2）．∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=﹣2n+1．（2）∵．∴．=．∴T n．设，函数f（m）在m∈[﹣1，1]内的最大值为t+，∴，∴t≥﹣3．。
【解析版】江西省赣州市十二县(市)2015届高三上学期期中联考+数学理试题
江西省赣州市十二县（市）2015届高三上学期期中联考数学理试题【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。
紧扣考纲，注重双基 .本次期末考试有很多题目源于课本。
2、突出重点和数学思想. 试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。
对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设复数11z i =+，22()z xi x R =+∈，若12z z R ⋅∈，则x 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】A 解析：12z z ×=()()()1i222xi x x i ++=-++，∵12z z R ⋅∈，∴20x +=．即x=﹣2．故选：A ．【思路点拨】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数12z z ×，然后由虚部为0即可求出x 的值． 【题文】2．若20(23)0kx x dx -=⎰，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2 【知识点】定积分．B13【答案】【解析】B 解析：20(23)kx x dx -ò=23230|0kx x k k -=-=，解得k=1或k=0（舍去），故选：B. 【思路点拨】根据定积分的计算即可． 【题文】3.函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 ( )A ． ),31(+∞- B ．)1,31(- C ．)31,31(- D ．[)1,0【知识点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．B1 B7【答案】【解析】D 解析：要使函数有意义，需()lg 31010x x ì+ ïí->ïî,即0≤x ＜1故函数的定义域为[)1,0,故选D ．【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x 的范围即为定义域．【题文】4.平面向量→a ，→b 的夹角为60︒，)0,2(=→a ，1=→b ， 则=+→→b a 2（ ）A ．23B ．3C ．32D ． 2 【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】A 解析：由)0,2(=→a ,得2a =r ；又因为平面向量→a ，→b 的夹角为60︒，1=→b ，所以根据已知条件可得：=+→→b a 21484232+?=．故选A ． 【思路点拨】根据已知条件可求出a r ，又知夹角以及b r，从而能求出2a b +。
江西省赣州市十三县(市)高二数学上学期期中联考试题
2015-2016学年第一学期赣州市十三县（市）期中联考高二年级数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知直线(1)210m x my +-+=的倾斜角是45︒，则m 的值是（ ） A.-1 B. 0 C.1 D.2 2．已知,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若， 则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 3.等差数列中，则数列前9项的和等于（ ） A ．66B ．99C ．144D ．2974. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵,为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．155. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，,则质点落在以为直径的半圆内的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）A ．B ．C ．或 D. 或7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 8．在中，内角的对边分别是， 若，则=（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 9．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．B ．C ．D ． 10.已知则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；B ．函数的最大值为；C ．函数的图象关于对称；D ．函数的最小正周期为.11. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5AB1A 1B D ．60＋12 512.已知一个正四面体纸盒的棱长为，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分,请将答案填在答题纸上） 13. 若两圆和有三条公切线，则常数 .14．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则这200辆汽车时速的中位 数为 ．15．已知实数满足，则的取值范围是__________. 16. 已知为内一点，满足,,且,则的面积为__________.三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明） 17．（本题10分）按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在(不含)之间，属酒后驾车；在(含)以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员人，右图是对这人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的人中，醉酒驾车的人数；(2)从血液酒精浓度在范围内的驾驶员中任取人，求恰有人属于醉酒驾车的概率．18．（本题12分）如图，是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，． (1)求证：平面⊥平面. (2)求几何体的体积的最大值.ABCM1B 1C 1A19．（本题12分）已知中,角，所对的边分别是，且. （1）求的值;（2）若，求面积的最大值.20. (本题12分)已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖． (1)试求圆的方程.(2)若斜率为1的直线与圆交于不同两点满足,求直线的方程.21. （本题12分）如图，三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点 为的中点. (1)证明:平面;(2)问在棱上是否存在点，使平面？若存在，试确定点的位置，并证明你的结论；若不存在， 请说明理由．22．（本题12分）已知数列的前项和为，向量,满足条件. （1）求数列的通项公式； （2）设函数，数列满足条件，.①求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和．2015-2016学年第一学期赣州市十三县（市）期中联考高二年级数学（理科）试卷答案1—12 CDBCC DDAAC BD13.14. 62.5 15.16.17．解: (1)由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在内范围内有：人………………………………2分血液酒精浓度在内范围内有：人……………………………4分所以醉酒驾车的人数为人…………………………………………………5分(2)因为血液酒精浓度在内范围内有人，记为范围内有人，记为则从中任取2人的所有情况为,,，共10种……………………………………………………………………7分恰有一人的血液酒精浓度在范围内的情况有,，共6种…………………………………………9分设“恰有人属于醉酒驾车”为事件，则…………………………………10分18.(1)证明 C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径,.…………2分……………………3分………………………………6分(2)在Rt中,设,则…………10分当,即时,的最大值为.……………………12分19. （1）……………………3分…………6分（2）又……………………8分…………10分当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为……………………12分20.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. ……………………………6分(2)设直线的方程是:.因为,……………………………8分所以圆心到直线的距离是,即……………………………10分解得:.所以直线的方程是:. …………………………12分21.解: 在中，在中，.,即为等腰三角形. ……2分又点为的中点,.又四边形为正方形,为的中点,,平面,平面平面…………6分(2)当为中点…………7分取中点,连,而分别为与的中点,平面,平面平面,同理可证平面…………9分又平面平面. …………10分平面，…………11分平面.…………12分22.解：解析：（1）因为所以．…………… 1分当时…………2分当时，满足上式所以…………3分(2)①即，又…………4分是以1为首项1为公差的等差数列…………6分②两边同乘得：‚…………………8分以上两式相减得。
江西省赣州市十二县(市)高三数学上学期期中联考试题
江西省赣州市十二县（市）2015届高三上学期期中联考数学文试题【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。
紧扣考纲，注重双基 .本次期末考试有很多题目源于课本。
2、突出重点和数学思想. 试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。
对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B I =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}- 【知识点】交集及其运算．A1【答案】【解析】D 解析：{|(1)(2)0}A x x x =+-≤={|12}x x ﹣≤≤，又集合B 为整数集，故A B I ={1,0,1,2}-，故选D ．【思路点拨】由题意，可先化简集合A ，再求两集合的交集． 【题文】2.设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i -【知识点】复数代数形式的混合运算．L4 【答案】【解析】A 解析：复数=++i ii 123()()()()211111i i i i i i i i --+=-+-=+-． 故选：A ．【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．【题文】3.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x C. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 【知识点】命题的否定．A2【答案】【解析】C 解析：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定0||,2000<+∈∃x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【题文】4. 在ABC △中，3AB BC ==u u ru u r，60ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD ACu u u r u u u r ⋅的值等于（ ）A ．94-B ．94 C ．274D ．9【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】C 解析：分别以BC ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系；根据已知条件可求以下几点坐标：A 330,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝，D ()0,0，C 3,02⎛⎫⎪⎝⎭； ∴330,2AD u u u r ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝，333,22AC u u u r ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝；∴274AD AC u u u r u u u r ⋅=．故选C ． 【思路点拨】根据已知条件可以分别以BC ，DA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，而根据已知的边长及角的值可求出向量AD u u u r ，AC u u ur 的坐标，根据数量积的坐标运算即可求出AD AC u u u r u u u r ⋅．【题文】5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,15,S S ==则9S =（ ） A ．27 B ．36 C ．44 D ．54 【知识点】数列的求和．D4【答案】【解析】B 解析：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，363,15,S S == ∴36396-S S S S S ，，﹣成等差数列．∴2（63-S S ）= 3S + 96S S ﹣．∴2×（15﹣3）=3+ 9S ﹣15，解得9S =36．故选：B ．【思路点拨】利用等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，可得36396-S S S S S ，，﹣成等差数列．即可得出．【题文】6. 函数2()3ln f x x x =++在点)f 处的切线斜率是（ ）A.- C.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11【答案】【解析】C 解析：由2()3ln f x x x =++得3()2f x x x'=+∴f '=．故选：C ．【思路点拨】求出原函数的导函数，然后直接取x =2()3ln f x x x =+-+在点)f 处的导数值，即切线的斜率．【题文】7. 若将函数sin 2c )s (o 2x x f x +=的图像向左平移ϕ个单位，得到偶函数，则ϕ的最小正值是（ ） A.8πB.4πC.83π D. 43π 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换。
江西省赣州市十二县(市)重点中学高二数学上学期期中试
开始i = 12 , s = 1是否江西省赣州市十二县（市）重点中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 北师大版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ） A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用分层抽样法，②用随机抽样法 C.①用系统抽样法，②用分层抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法 2．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( ) （A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）16 4．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是（ ） A ．6 B ．23C ．26D ．325．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg)6366707274 根据上表可得回归直线方程0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为( )A 70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kg0.450.250.150.100.0514013012011010090频率分数D ．71.05kg7．如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（ ） A. i≥10 B. i≥11 C. i≤11 D. i≥128．在区间[0,]π上随机取一个数x,则事件“≥sinx cosx ” 发生的概率为（ ） A ．14 B. 12 C. 34D.19．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.163π B.193π C.1912π D.43π10．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上）11.在某市高三数学统考的抽样调查中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如 图所示，若130～140分数段的人数为90人， 则90～100分数段的人数为_____________人．第7题图 第10题图 第9题图第11题图12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s 值等于 ．13．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为．14．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________2cm .15．将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD 沿较短对角线BD 折成四面体ABCD 点E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则下列命题中正确的是 . （将正确的命题序号全填上）①EF ∥AB ②EF ⊥AC ③ EF ⊥BD④当四面体ABCD 的体积最大时，AC=6 ⑤A C 垂直于截面BDE三、解答题（本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中： （Ⅰ）射中10环或7环的概率； （Ⅱ）不够7环的概率。
江西省赣州市十四县高二数学上学期期中联考试题理(含解析)
高二年级数学（理科）试卷本卷分第I 和第 II卷，共150分.考：120分第 I 卷( 共60 分)一、：（本大共12 个小，每小 5 分，共 60 分，在每小出的四个中，只有一是切合要求的）1.直若,（）A. B. 1 C. D. 0【答案】 D【分析】，解得：，故 A.2.体由号 01,02, ⋯,29,30的 30 个个体成。
利用下边的随机数表取7 个个体，取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右挨次取两个数字，出来的第 6 个个体的号 ( )78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 01【答案】 D【分析】剖析：取的数据挨次08,02,14,07,01，所以出来的第 5 个个体的号01考点：随机数表3.已知是某几何体的三，几何体的体（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆锥和一个三棱柱组合而成，其体积为，应选 B.点睛： 1. 解答此类题目的重点是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧同样高、正俯同样长、俯侧同样宽”，所以，能够依据三视图的形状及相关数据推测出原几何图形中的点、线、面之间的地点关系及有关数据．4.在中，角所对边长分别为若则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】，则的最小值为 . 选 A.5.某中学采纳系统抽样方法，从该校高一年级全体800 名学生中抽50 名学生做牙齿健康检查．现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号．已知从33～ 48 这 16 个数中取的数是39，则在第1 小组 1～ 16 中随机抽到的数是（）A.5B.7C. 11D. 13【答案】 B【分析】试题剖析：设第一小组抽到的数是m，则，解得，答案选 B．考点：系统抽样6.若样本的均匀数是，方差是，则对样本，以下结论正确的选项是( )A. 均匀数为10，方差为 2B.均匀数为 11，方差为 3C. 均匀数为11，方差为 2D.均匀数为 12，方差为 4【答案】 C【分析】样本的均匀数是，则对样本的均匀数为，样本与样本7.履行以下图的程序框图，若输出的的值为20，则判断框中能够填（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】由题意得，运转程序框图可知，此程序框图表示乞降，要使得输出时，此时应填写，应选D。
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2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知α为锐角，且满足cos2α=sinα，则α等于（）A．30°或270°B．45°C．60°D．30°2．（5分）下列既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=2﹣|x|B．y=log2x2C．y=x2+x D．y=cosx3．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．34．（5分）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则实数m的值是（）A．3 B．﹣1，3 C．﹣1 D．﹣35．（5分）已知a，b∈R+，且2a+b=2，则使得取得最小值的a，b分别是（）A．2，2 B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，正方形ABCD是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正方形拼接而成，现随机地向大正方形内部区域投掷小球，若直角三角形的两条直角边的比是2：1，则小球落在小正方形区域的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=cos2x的图象经过下列何种平移可得函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（5分）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BC1上的动点，下列命题：①AP⊥B1C；②BP与CD1所成的角是60°；③为定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P﹣AB﹣C的平面角为45°．其中正确命题的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．12．（5分）程序框图如图，若输出的S值为62，则n的值为．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=，，（n∈N*），则a n=．14．（5分）已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB=2，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为．15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为线段BD上的任意一点，设向量，则λ+μ的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：（Ⅰ）分别求出x，n，y的值；（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]内的5位居民a，b，c，d，e中任选2人作进一步的调查研究，求居民a被选中的概率．17．（12分）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将△DAE及△DCF折起，使A、C重合于G点，构成如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：GD⊥EF；（Ⅱ）若EF∥平面GMN，求三棱锥G﹣EFD的体积V G﹣．EFD18．（12分）已知，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）•=c•（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若f（x）=2sin2x•cos+2c os2x•sin，x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．19．（12分）在数列{a n}、{b n}中，{a n}的前n项和为S n，点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x及函数y=x2+2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长；（Ⅲ）若E为BB1的中点，求二面角C1﹣AE﹣A1平面角的余弦值．21．（14分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9，直线l1：y=kx与圆C交于P、Q 两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知A（3，0），若，求实数k的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线l1与l2：x+y+1=0的交点为N，求证：|OM|•|ON|为定值．2014-2015学年江西省赣州市十二县（市）联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知α为锐角，且满足cos2α=sinα，则α等于（）A．30°或270°B．45°C．60°D．30°【解答】解：∵α为锐角，且满足cos2α=1﹣2sin2α=sinα，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），则α=30°，故选：D．2．（5分）下列既是偶函数，又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=2﹣|x|B．y=log2x2C．y=x2+x D．y=cosx【解答】解：对于A．有f（﹣x）=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=2﹣x单调递减，故A不满足；对于B．有f（﹣x）=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=2log2x单调递增，故B满足；对于C．y=x2+x不是偶函数，也不是奇函数，故C不满足；对于D．函数是偶函数，在（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）上递增，故D不满足．故选：B．3．（5分）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．4．（5分）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则实数m的值是（）A．3 B．﹣1，3 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则，解得：m=﹣1．故选：C．5．（5分）已知a，b∈R+，且2a+b=2，则使得取得最小值的a，b分别是（）A．2，2 B．C．D．【解答】解：∵a，b∈R+，且2a+b=2，∴===4，当且仅当b=2a=1时取等号．因此使得取得最小值的a，b分别是，1．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，底面为边长2的正方形，侧棱相等，斜高为，则由体积公式得，V=×22×=．故选：C．7．（5分）如图，正方形ABCD是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正方形拼接而成，现随机地向大正方形内部区域投掷小球，若直角三角形的两条直角边的比是2：1，则小球落在小正方形区域的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意分析可得：直角三角形的直角边设为a，2a，正方形ABCD边长为，故面积为5a2；阴影部分边长为2a﹣a=a，面积为a2；则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为．故选：B．8．（5分）函数y=cos2x的图象经过下列何种平移可得函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数y=cos2x=sin（2x+）=sin（2x﹣+）=sin[2（x﹣+）]所以要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]图象，只需将函数y=cos2x 的图象向右边平移个单位即可．故选：A．9．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．10．（5分）如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中BC1上的动点，下列命题：①AP⊥B1C；②BP与CD1所成的角是60°；③为定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P﹣AB﹣C的平面角为45°．其中正确命题的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：对于①，∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C，∴B1C⊥面ABC1，∴AP⊥B1C，命题①正确；对于②，BP与CD1所成的角等于AD1与CD1所成的角，等于60°，命题②正确；对于③，∵BC1∥面AD1C，则P到面AD1C的距离相等，∴为定值，命题③正确；对于④，∵面BB1C1与面AD1C相交，∴B1P∥平面D1AC错误；对于⑤，由二面角的定义知，∠C1BC为二面角P﹣AB﹣C的平面角，等于45°，命题⑤正确．∴正确命题的个数是4个．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15名学生．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：1512．（5分）程序框图如图，若输出的S值为62，则n的值为6．【解答】解：执行程序框图，有i=1，A=0满足条件i＜n，有S=2，i=2；满足条件i＜n，有S=6，i=3；满足条件i＜n，有S=14，i=4；满足条件i＜n，有S=30，i=5；满足条件i＜n，有S=62，i=6；根据题意，此时应该不满足条件i＜n，输出S的值为62．故有n=6．故答案为：6．13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=，，（n∈N*），则a n=1﹣．【解答】解：∵，（n∈N*），∴，∵a1=，∴，∴数列{a}是首项为1的常数数列，∴a=1，∴，（n∈N*）．14．（5分）已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB=2，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为12π．【解答】解：△ABC中AB=2，BC=1，AC=3，由勾股定理可知斜边AC的中点O′就是△ABC的外接圆的圆心，∵三棱锥O﹣ABC的体积为，∴=，∴OO′=∴R==，球O的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为线段BD上的任意一点，设向量，则λ+μ的最大值为5．【解答】解：以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），E（1.0），D（0，2），P（x，y），∴=（2，2），=（1，﹣2），=（x，y），由于直线BD的方程为：，∴x+y=2，0≤x≤2，0≤y≤2，∴y=2﹣x，∵，∴，∴，∴λ+μ=，令f（x）=，（0≤x≤20）∵f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）max=f（0）=5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：（Ⅰ）分别求出x，n，y的值；（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]内的5位居民a，b，c，d，e中任选2人作进一步的调查研究，求居民a被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得，月均用水量在[2，3）的频率为0.25，即x=0.25；又∵，∴n=200；…（4分）∴；…（6分）（Ⅱ）记“居民a被选中”为事件A，∴基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）；共计10个基本事件；…（10分）事件A包含的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），共4个，…（11分）∴居民a被选中的概率为P（A）==．…（12分）17．（12分）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点，将△DAE及△DCF折起，使A、C重合于G点，构成如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：GD⊥EF；（Ⅱ）若EF∥平面GMN，求三棱锥G﹣EFD的体积V G﹣．EFD【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DA⊥AE，DC⊥CF，∴DG⊥GE，DG⊥GF，又∵GE∩GF=G，∴DG⊥平面EFG，∴GD⊥EF．（Ⅱ）∵EF∥平面GMN，∴EF∥MN，又∵E是AB边的中点，∴F是BC边上的中点，∴GE⊥GF，=V D﹣GEF=××1×1×2=．∴V G﹣EFD18．（12分）已知，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）•=c•（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若f（x）=2sin2x•cos+2cos2x•sin，x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c），则：（2a﹣c）accos（180°﹣B）=abccos（180°﹣C），（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，2cosB=1，0°＜B＜180°，B=；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论：f（x）=2sin2xcos==2，由于：，2x+，，f（x），所以：f（x）的最大值为：，函数f（x）的最小值为：﹣2．19．（12分）在数列{a n}、{b n}中，{a n}的前n项和为S n，点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x及函数y=x2+2x的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）点（b n，n）、（n，S n）分别在函数y=log2x及函数y=x2+2x的图象上依题意，n=log2b n，n=S n2+2S n，可求得，从而求得：a n=2n+1．（Ⅱ）①②①﹣②得：∴20．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长；（Ⅲ）若E为BB1的中点，求二面角C1﹣AE﹣A1平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B，由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=，知∠C1BC=90°，即C1B⊥CB，又CB∩BA=A，故C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：由已知AB⊥侧面BB1C1C，知面ABB1A1⊥面BB1C1C，过C1作C1P⊥BB1于P，则C1P⊥面AA1B1B，因C1P⊂面C1AP，故平面C1AP⊥平面AA1B1B，在直角三角形BB1C1中，B1P=B1C1cos60°=；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知C1P⊥面AA1B1B，过P作PH⊥AE，交AE所在直线于点H，则AE⊥平面C1HP，即有AE⊥C1H，∠C1HP为二面角C1﹣AE﹣A1平面角．由三角形相似求得：，又，∴，故．21．（14分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9，直线l1：y=kx与圆C交于P、Q 两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知A（3，0），若，求实数k的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线l1与l2：x+y+1=0的交点为N，求证：|OM|•|ON|为定值．【解答】解：（Ⅰ）即，因为点A在圆C上故直线l1过圆心C（3，3），解得：k=1；（Ⅱ）设M（x，y），则OM⊥CM，即①所以：，，坐标代入①解得：（x，y）•（x﹣3，y﹣3）=0，化简得：x2﹣3x+y2﹣3y=0（x＞0，y＞0）．（Ⅲ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）将y=kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2=9并整理得：（k 2+1）x 2﹣6（k +1）x +9=0 则x 1，x 2为方程的两根，利用根和系数的关系： ∴所以：=直线l 1与l 2：x +y +1=0的交点为N ，解得：N所以：|ON |==所以：|ON |•|OM |==3（定值）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。