4.2.123导数的计算
常用导数公式及运算
常用导数公式及运算导数公式及运算是微积分的基础，对于研究函数的性质和求解实际问题具有重要作用。
下面将介绍一些常用的导数公式以及其运算。
1.常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0，即dy/dx = 0。
2.幂函数的导数若y = x^n，其中n为实数，其导数可以通过幂函数的定义和求导法则求解。
根据求导法则，对于y = x^n，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
特殊情况下，我们可以得到以下幂函数的导数公式：- y = x，导数为1，即dy/dx = 1；- y = x^0，导数为0，即dy/dx = 0；- y = x^1/n，则其导数为dy/dx = (1/n)x^(1/n-1)。
3.指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是相互逆的函数。
若y = a^x，其中a为正常数且a ≠ 1，其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。
对数函数的导数为dy/dx = 1/(x * ln(a))。
4.三角函数的导数- y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)。
- y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)。
- y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)。
- y = cot(x)的导数为dy/dx = -csc^2(x)。
- y = sec(x)的导数为dy/dx = sec(x) * tan(x)。
- y = csc(x)的导数为dy/dx = -csc(x) * cot(x)。
5.反三角函数的导数- y = arcsin(x)的导数为dy/dx = 1/√(1-x^2)。
- y = arccos(x)的导数为dy/dx = -1/√(1-x^2)。
- y = arctan(x)的导数为dy/dx = 1/(1+x^2)。
- y = arccot(x)的导数为dy/dx = -1/(1+x^2)。
- y = arcsec(x)的导数为dy/dx = 1/(x * √(x^2-1))。
24个基本求导公式
24个基本求导公式在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念。
它的作用是用来寻找函数的导数，即函数在给定的点上的斜率。
而求导的基本公式通常用来简化这个过程，使我们能够快速地求得函数的导数。
下面是24个常用的求导公式：1.常数规则：f(x)=c,其中c是常数，则f'(x)=0。
简单来说，常数的导数等于0。
2.幂规则：f(x) = x^n, 其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
换句话说，幂函数的导数是常数乘以幂次减13.指数规则：f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
e是自然对数的底数，它的指数函数的导数就是自身。
4.对数规则：f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
这个公式适用于自然对数函数。
5.三角函数规则：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
即正弦函数的导数是余弦函数。
6.余弦函数规则：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
即余弦函数的导数是负的正弦函数。
7.正切函数规则：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
即正切函数的导数是正割平方函数。
8.反三角函数规则：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
即反正弦函数的导数是1除以1减去x的平方根。
9.反余弦函数规则：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
即反余弦函数的导数是负1除以1减去x的平方根。
10.反正切函数规则：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
即反正切函数的导数是1除以1加x的平方。
11.双曲正弦函数规则：f(x) = sinh(x)，则f'(x) = cosh(x)。
即双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数。
12.双曲余弦函数规则：f(x) = cosh(x)，则f'(x) = sinh(x)。
高中数学导数的四则运算法则
x02 3x0
2
又∵ y’=3x2－6x＋2，
∴ k=3x02－6x0＋2， ∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0．
∵ x0≠0, ∴ x0=
3 2
k=3x02－6x0＋2=－
1 4
，
综上所述，k=2或k=－ 1
4
[ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)] f g
y f g x x x
lim
x0
y x
lim
x0
f x
g x
lim
x0
f x
lim
x0
g x
即 y ' ( f g) ' f ' g '
同理可证 y ' ( f g) ' f ' g '
这个法则可以推广到任意有限个函数，
1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’= f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差).
即 (u v)' u'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
x
x
x
因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
y
u( x x) u( x)
lim lim
v( x x)
x0 x x0
x
u( x) lim v( x x) v( x) u( x)v( x) u( x)v( x);
常用导数表
常用导数表导数是数学中十分重要的概念，它们可以帮助我们解决一系列的数学问题。
尽管数学的精细性受到了一定的限制，但掌握导数的知识可以帮助我们更好地理解物理现象和其他概念。
下面是一些常用的导数表，可以帮助我们理解导数的重要性：一阶导数表：若y = f(x)， dy/dx =数加法法则： dy/dx (u + v) = du/dx + dv/dx乘法法则： dy/dx (uv) = udv/dx + vdu/dx链式法则： dy/dx(f(u)) = df/du (du/dx)二阶导数表：若y = f(x)， d2y/dx2 = 二阶导数加法法则： d2y/dx2 (u + v) = d2u/dx2 + d2v/dx2乘法法则： d2y/dx2 (uv) = ud2v/dx2 + vd2u/dx2 + (du/dx)2 链式法则： d2y/dx2(f(u)) = d2f/du2 (du/dx)2 + df/du(d2u/dx2)三阶导数表：若y = f(x)， d3y/dx3 = 三阶导数加法法则： d3y/dx3 (u + v) = d3u/dx3 + d3v/dx3乘法法则： d3y/dx3 (uv) = ud3v/dx3 + vd3u/dx3 + 3(du/dx) (d2u/dx2)链式法则： d3y/dx3(f(u)) = d3f/du3 (du/dx)3 +3df/du(d2u/dx2) + (d3u/dx3)以上就是常用导数表，学习这些表可以帮助我们更好地理解相关概念，为解决更多的数学问题做好准备。
这些表也被广泛用于物理和化学等学科，有助于我们更好地掌握一些科学概念。
此外，学习导数表也有助于了解微积分的概念，在许多科学领域中都可以用微积分和导数表来求解科学难题。
对于经常使用微积分和导数表求解问题的应用者来说，掌握这些常用导数表可以极大地提高工作的效率，而且有助于解决更多的问题。
于正在研究工作的科学家来说，学习常用导数表也是十分重要的，这些表可以为他们提供宝贵的指导，让他们有更多的可能性去探索新的科学突破性发现。
高中数学 第4章 导数及其应用 4.2 导数的运算 4.2.3 导数的运算法则课堂讲义配套课件 湘教版选修2-2
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数的运算法则
(1)(cf(x))′＝cf′(x)
；
(2)(f(x)
f′(x)＋＋g′(x)
＝
f′(x)－g′(x)
跟踪演练3
已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝
t－1 t2
＋
2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速
度．
解 ∵s(t)＝t－t21＋2t2＝tt2－t12＋2t2＝1t －t12＋2t2，
∴s′(t)＝－t12＋2·t13＋4t，
∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32273，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32273 m/s.
再见
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
4．2.3 导数的运算法则
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公 式和四则运算求简单函数的导数．
3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法 则．
4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．
高中导数公式及导数的运算法则
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
(6) y (7) y 4 ; 5 x
3 x; 2
练习： 求下列函数的导数： 5 3 2 2 (1)y＝x －3x －5x ＋6； (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1
两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数减去第一个函数乘第二个函数的导数再除以第二个函数的平方
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 x y＝e 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.2.3导数的运算法则课件湘教版选修2_2
【解】 (1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 法二：因为 y＝(2x2＋3)(3x－2) ＝6x3－4x2＋9x－6，所以 y′＝18x2－8x＋9.
1．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1，2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析：选 A.y′＝－3x2＋6x，当 x＝1 时，切线的斜率 k＝－3×12
＋6×1＝3，故切线方程为 y－2＝3(x－1)，即 y＝3x－1，故选 A.
2．已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为 ________． 解析：由题意得 f′(x)＝(2x＋3)ex，则得 f′(0)＝3.
答案：3
3．求下列函数的导数：
(1)y＝ x－ln x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝1＋xc2os
x .
解：(1)y′＝( x－ln x)′＝(
x)′－(ln x)′＝21x－1x.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
3．设函数 f(x)＝sinx x，f′(x)为函数 f(x)的导函数，则 f′(π)＝
________．
答案：－π1
求导法则的直接运用 求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝xx－＋11；(4)y＝x·tan x；(5)y＝lgxx.
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一个极为重要的概念，它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解锁许多复杂问题的谜底。
而要熟练运用导数这一工具，就必须对其基本公式及运算法则了如指掌。
首先，咱们来聊聊导数的定义。
导数其实就是函数在某一点的变化率。
简单来说，如果我们把一个函数想象成一辆汽车行驶的路程与时间的关系，那么导数就是汽车在某一时刻的速度。
那导数的基本公式都有哪些呢？常见的有常数函数的导数，比如常数 C 的导数为 0。
这就好比一辆车一直停在原地不动，速度当然就是 0 啦。
幂函数的导数公式也很重要。
对于函数＼（y ＝ x^n\），其导数为＼（y' ＝ nx^｛n 1}＼）。
比如说，＼（y ＝ x^2\）的导数就是＼（y' ＝ 2x\），＼（y ＝ x^3\）的导数就是＼（y' ＝ 3x^2\）。
指数函数的导数公式，像＼（y ＝ e^x\）的导数就是它本身＼（e^x\）。
而对于＼（y ＝ a^x\），其导数为＼（y' ＝ a^x ＼ln a\）。
对数函数的导数也有特定的公式。
比如＼（y ＝＼ln x\）的导数是＼（y' ＝＼frac{1}｛x}＼），＼（y ＝＼log_a x\）的导数是＼（y' ＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）。
接下来，咱们再看看导数的运算法则。
加法法则，如果有两个函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼），那么它们的和＼（u(x) ＋ v(x)＼）的导数等于＼（u'（x) ＋ v'（x)＼）。
这就好比两辆车同时在行驶，它们速度的总和就是两辆车各自速度相加。
减法法则同理，＼（u(x) v(x)＼）的导数等于＼（u'（x) v'（x)＼）。
乘法法则稍微复杂一点，＼（（u(x)v(x)）＇＝ u'（x)v(x) ＋ u(x)v'（x)＼）。
可以想象成两个相互关联的因素共同影响一个结果，它们对结果变化率的贡献要分别考虑并相加。
导数公式记忆口诀
导数公式记忆口诀
导数公式记忆口诀如下：
1.常为零，幂降次；对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）；指不变
（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正；切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）；割乘切，反分式。
2.导数定义记牢，求导数要细心，正负号要分清，切线斜率正负与切线夹角有关
系。
3.导数公式要牢记，灵活运用有法度，常用公式要掌握，其他公式要能熟练推导。
4.导数运算法则常运用，基本公式综合法，常积常导常数乘法要记牢。
5.导数运算分步走，步步为营不可漏，复合函数求导法则：链式法则求商的导，
指数法则求积的导。
6.复合函数导数求法：先分解再求导最后求原式导数，先求内再求外最后用链式
法则。
7.隐函数求导法则：两边求导最后把y看作x的函数用复合函数求导法则。
8.参数方程求导法则：消去参数化为普通方程两边求导最后用复合函数求导法则。
9.反三角函数求导法则：复合函数求导法则及基本初等函数求导公式。
10.指数对数求导法则：常系数乘以幂次法则，系数倒数为幂次法则。
11.分式型求导法则：基本初等函数求导公式与求商法则。
12.幂指对求导法则：复合函数求导法则及幂对数求导法则。
13.导数定义切记好，极限形式才可靠，不为0才意义合，公式推导才能行。
求导数公式及运算法则方程
求导数公式及运算法则方程在微积分中，求导数是一项重要的运算技巧，它用于计算函数的变化率。
本文将介绍一些常见的求导数公式和运算法则方程，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
导数基本概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(f)，它在点f处的导数可以定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$如果这个极限存在，那么函数f(f)在点f处可导，导数即为这个极限的值。
常见导数公式基本导数1.$ \frac{d}{dx} (c) = 0 $ （常数函数的导数为 0）2.$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $ （幂函数的导数）3.$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $ （指数函数的导数）4.$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} $ （对数函数的导数）三角函数导数1.$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) $2.$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) $3.$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) $复合函数导数若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $导数运算法则和差法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：1.$ \frac{d}{dx} (u(x) + v(x)) = \frac{du}{dx} +\frac{dv}{dx} $2.$ \frac{d}{dx} (u(x) - v(x)) = \frac{du}{dx} -\frac{dv}{dx} $乘法法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：$ \frac{d}{dx} (u(x) \cdot v(x)) = u(x) \cdot \frac{dv}{dx} + v(x) \cdot \frac{du}{dx} $商法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，且 $ v(x)eq 0 $，则：$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{v(x)\cdot \frac{du}{dx} - u(x) \cdot \frac{dv}{dx}}{(v(x))^2} $运算法则的应用通过以上运算法则，我们可以对各种函数进行求导操作。
导数的基本公式和运算法则
1 2 (sin x x 2 sin x cos x) 2 x sin x
1 (sin x x sin 2 x) 2 cot x 2 x x sin x
2
4 、y [ln(x sin x)] ln x ln sin x
主讲：甄海燕
全院普文
2.2.1 导数的四则运算法则 定理2.3 设函数 u u x ,v v x 在点 x 处可导，
u x v x 0 则函数 u x v x , u x v x , v x
在点 x处也可导， 且有：
x ln x
1 (ln x x ) e x ln x (ln x 1) x
3、y (sin x sin x ) (sin x ) ( sin x ) 1 1 2 (sin x) (sin x ) cos x ( x ) 2 1 cos x 1 (sin x) 2 cos x 2 x 2 1 2 2 4、y [ln(x sin x)] ( x sin x) 2 x sin x
1、y x ln x 3、y cos x ln x n x 5、y x e
2
2、y 2 x sin x 2 4、y x ( x 1) n 6、y x ln x
sin x y 2 x cos x 2、 x
2 4、y 3x 2x n1 y x (n ln x 1) 6、
导数的乘积运算也可以推广到有限个的 形式：
u x v x w x u x v x w x
u x v x w x u x v x w x
高中数学常用导数公式
高中数学常用导数公式导数是微积分中的重要基础概念，高中数学常用的导数公式有哪些呢？为此店铺为大家推荐了一些高中数学常用导数公式，欢迎大家参阅。
高中数学导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2高中数学常用推导公式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
高中数学第4章导数及其应用4.2导数的运算4.2.3导数的运算法则课堂讲义配套
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次(céngcì)，并要弄清每 一步是哪个变量对哪个变量的求导．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层 地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟 练后，就不必再写中间步骤．
2021/12/12
y对u的导数(dǎo shù)与u对x的导数的积 .
2021/12/12
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要点一 利用(lìyòng)导数的运算法则求函数的导 数
例1 求下列函数的导数：
(1) y＝x3－2x＋3； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝3x－lg x.
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2021/12/12
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规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题， 求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导 法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进 行适当的恒等变形转化(zhuǎnhuà)为较易求导的结 构形式再求导数．
2021/12/12
第八页，共二十页。
跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x； (3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－x12. 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝exx＋ex·ln x； (4)y′＝xln110＋x23.
＋
2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速
度．
解 ∵s(t)＝t－t21＋2t2＝tt2－t12＋2t2＝1t －t12＋2t2，
∴s′(t)＝－t12＋2·t13＋4t，
常用导数公式总结
常用导数公式总结2020-09-21常用导数公式总结1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的`，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。
导数运算公式及法则
导数运算公式及法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
以下是一些常见的导数运算公式和法则：常数规则：如果f(x) = c，其中c 是一个常数，则f'(x) = 0。
幂规则：如果f(x) = x^n，其中n 是任意实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
求和规则：如果f(x) = u(x) + v(x)，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
差的规则：如果f(x) = u(x) - v(x)，则f'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘积规则：如果f(x) = u(x) * v(x)，则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
商的规则：如果f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / v(x)^2，其中v(x) ≠0。
链式法则：如果f(x) = g(u(x))，其中g 是一个可微函数，而u 是关于x 的可微函数，则f'(x) = g'(u(x)) * u'(x)。
指数函数和对数函数的导数：如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
三角函数的导数：如果f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
如果f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
如果f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
这些是微积分中一些常见的导数运算公式和法则。
在应用这些法则时，需要注意函数的可微性、区间的合法性等条件。
导数公式表推导
导数公式表推导在微积分中，导数是描述函数曲线斜率变化率的重要概念。
为了计算导数，我们需要使用导数公式表。
本文将通过推导导数公式表的过程，帮助读者更好地理解导数的概念。
1. 导数的定义导数在数学上表示函数在某一点上的变化率，即函数图像在该点处的切线的斜率。
对于函数f(f)，它在点f处的导数记为f′(f)或$\\frac{df}{dx}$。
导数的定义可以表达为：$$ f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) -f(x)}{\\Delta x} $$其中$\\Delta x$表示自变量f的变化量。
导数的计算可以通过极限的方式来求解。
2. 导数公式表推导为了推导导数公式表，我们将以基本的函数及其导数为例进行推导。
2.1 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，它的导数为：$$ \\frac{d}{dx}C = 0 $$这是因为常数函数的图像是水平的直线，斜率始终为0。
2.2 幂函数的导数考虑幂函数f(f)=f f，其中f为正整数。
我们可用导数的定义求出导数表达式：$$ \\begin{aligned} f'(x) & = \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\frac{(x + \\Delta x)^n - x^n}{\\Delta x} \\\\ & =\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{x^n + nx^{n-1}\\Delta x +\\text{高阶项} - x^n}{\\Delta x} \\\\ & = nx^{n-1}\\end{aligned} $$从上述推导可以得出，幂函数的导数为$n \\cdot x^{n-1}$。
2.3 指数函数的导数考虑指数函数f(f)=f f，其中f为常数。
我们用导数的定义计算其导数表达式：$$ \\begin{aligned} f'(x) & = \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\frac{a^{x+\\Delta x} - a^x}{\\Delta x} \\\\ & =\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{a^x \\cdot a^{\\Delta x} -a^x}{\\Delta x} \\\\ & = a^x \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\frac{a^{\\Delta x} - 1}{\\Delta x} \\\\ & = a^x \\cdot \\ln{a} \\end{aligned} $$因此，指数函数的导数为$a^x \\cdot \\ln{a}$。
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1 练 : 已知曲线 y 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 x
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3,
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) (1)y=(2x 2 2 y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
18 x 8 x 9 6 (2)y=(1+x )(2+sinx)
2
y' 6 x (2 sin x) (1 x ) cos x
不需推导，但要注意符号的运算.
x
练习 (1) 5x4 ; (2) 6x5 ;
(为常数)
(3) cost ;(t为常数) (4) -sin
3 ( 5) 4 ; x
1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题 （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
2、已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都 过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
3、已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. 求 S 上斜率最 小的切线方程。
复合函数求导法
复习与思考:
(e )'
x
e
x
(e )' e
' u
则
' u ' x
y' f ' (u) g ' ( x)
或
y' y u
即 : 原复合函数的导数 分解后各导数乖积
复合函数求导关键:
、 会分解复合函数为基本 初等函数 1 、 熟练掌握基本初等函数 的导数公式 2
例 求函数y sin x的导数
2
2
2
求函数y (3x 1) 的导数的别一种书写方 式:
4 100
解 : (分解过程不写出 )
4 100
4 99 3 3
（推荐）
4 99
y [(3x 1) ]' 100 ? (3x4 1)99 (3x4 1)'
[(3x 4 1)100 ]'的的外表象哪个导数公 式?
100(3x 1) 12x 1200x (3x 1)
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x); (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
' ' '
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x)
1、求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(1og a x ) ' x ln10 B.(1og a x ) ' x x C.(3 ) ' 3 x D.(3 ) ' 3 ln 3
x x
3.填空
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______; 2 1 3 x 3 2 (2) y x 的导数是_______; 3
把(3x 4 1)看作x, 按公式( x )' x 1计算 刚才把(3x 4 1)看作x, 事实上它不是 x!
要马上乘以刚才心目中 函数 (3x 4 1) 的导数 !
求复合函数导数的方法 :
1 、 根据函数的外表选择导 数基本公式 . 2、 把某个整体 (函数式)看作x, 按导数基本公式进行求 导. 3 、 马上乘以刚才心目中的 函数的导数 .
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
( 3) f ( x ) e , 则f ( x )等于 ______; e
x '
x
e f (1)等于 ______
'
(4)
(1og a x)
'
1 ________ x ln a
典型例题 •例1、 求曲线y=sinx在 点A(π/6,1/2)处的切线方 程
例2、已知P（-1，1），Q（2，4） 是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y=x2的切线方程。
0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
x 0 4.2 导数的计算 当x x0 , 平均变化率 瞬时变化率
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
'
1.导数的定义
'
知识回顾
x 0
当x x0 , 平均变化率 瞬时变化率 f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x 叫函数在x=x0的导数 2.求函数的导数的方法是:
基本初等 函数 导数基本 公式
解: y sin x (sin x) 原函数可分解为 : 2 y u u sin x
y' 2u cos x
2 sin x cos x sin 2x
回代
y u
' u ' x
(u )' 2u (sin x)' cos x
堂上练习
求函数y (3x 4 1)100的导数
解 : 原函数可分解为 :
y u
100
4
u 3x 1
u'
y (u )' 100u
' u 100
99
x
(3x 1) 12x
4 '
3
y' 100u 12x
99
3 4
3
1200x (3x 1)
99
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0;
我们今后可以直接使用的 基本初等函数的导数公式
公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
1 ( 4) y 2 ; x
公式3 (sin x) cos x. ' 公式4 (cos x ) sin x.
'
记 一 记
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
公式7
公式8 (1nx )
1 (1og a x) x ln a 1 '' Nhomakorabean
n 1
. Q) (n
Q)
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
算一算 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
练习:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数 公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
y 解 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x