所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学问题时采取迂徊手段来达汇总
【专题十】化归思想
【专题十】化归思想【考情分析】化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题。
从而求得原问题的解决。
化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。
它的基本形式有:①化未知为已知;②化难为易,化繁为简;③化高维为低维;④化抽象为具体;⑤化非规范性问题为规范性问题;⑥化数为形,化形为数;;⑦化曲为直;⑧化实际问题为数学问题;⑨化综合为单一;⑩化一般为特殊等。
匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。
有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做?”对此,某人回答说:“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道:“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够的水,那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气,再把水壶放上去。
”但是更完善的回答应该是这样的:“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家会回答:‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了’”。
化归思想是指问题之间的相互转化。
前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅,有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了《什么叫解题》的演讲,她的答案显得惊人地简单,完全出乎人的意料:“解题就是把题归结为已经解决过的问题”,这句话实际上就是体现了化归思想。
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决得一种方法、一般总就是将复杂得问题通过变换转化为简单得问题,将难解得问题通过变换转化为容易求解得问题,将未解决得问题通过变换转化为已解决得问题、转化与化归思想在高考中占有十分重要得地位,数学问题得解决,总离不开转化与化归,如未知向已知得转化、新知识向旧知识得转化、复杂问题向简单问题得转化、不同数学问题之间得互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化得手段,转化得思想方法渗透到所有得数学教学内容与解题过程中、1、转化与化归得原则(1)熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验来解决、(2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题得解决,达到解决复杂问题得目得,或获得某种解题得启示与依据、(3)直观化原则:将比较抽象得问题化为比较直观得问题来解决、(4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探讨,使问题获解、2、常见得转化与化归得方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题得有效策略,同时也就是成功得思维方式、常见得转化方法有:(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、(2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂得函数、方程、不等式问题转化为易于解决得基本问题、(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径、(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决得等价命题,达到化归得目得、(5)特殊化方法:把原问题得形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后得问题、结论适合原问题、随着国家经济得发展,科技得发达,人才得需求,中国教育得改革,数学新课标得出现,在对学生得知识与技能,数学思想及情感与态度等方面得要求,学生在数学得学习方法也应该要相应改变了,要满足社会得需要、化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、除极简单得数学问题外,每个数学问题得解决都就是通过转化为已知得问题实现得、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向已知转化得过程,同时在生活中许许多多得事情也需要往已知得方面转化,把事情简单化,这对以后学生得能力与德育方面有很大得帮助、化归与转化得思想就是解决数学问题得根本思想,解题得过程实际上就就是一步步转化得过程、数学中得转化比比皆就是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识得转化,命题之间得转化,数与形得转化,空间向平面得转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式得转化,函数与方程得转化等,都就是转化思想得体现、新得教学体制得出现, 化归与转化得思想将就是贯穿整个中学教学得一种主要得思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中得精髓、关健词化归;转化;分析;联想1、化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当得数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉得问题),通过新问题得求解,达到解决原问题得目得,这一思想方法我们称之为“化归与转化得思想方法”、化归与转化思想得核心,就是以可变得观点对所要解决得问题进行变形,就就是在解决数学问题时,不就是对问题进行直接进攻,而就是采取迂回得战术,通过变形把要解决得问题,化归为某个已经解决得问题、从而求得原问题得解决、它得基本形式有:化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等、化归与转化得思想也不就是随时能用,或随便用得,它需要遵循一定得原则,从而达到转化得正确性,实现这种思想得作用、下面我就来谈谈我对这种方法得理解、2.化归与转化得原则化归与转化思想得实质就是揭示联系,实现转化、转化有等价转化与非等价转化,等价转化得作用就不用说,而不等价转换,如果没明确得附加条件,那就失去它得价值了、所以化归与转化就需要遵循一定得原则:2、1熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验与问题来解决、除了及少数得原始知识外,整个中学得数学知识得学习就就是在实现转化为旧得知识而得到得、例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间得转化等等、2、2简单化原则:将复杂得问题化归为简单问题,通过对简单问题得解决,达到解决复杂问题得目得,或获得某种解题得启示与依据、这个原则大部分学生都知道,她们都会想把问题简单化,达到求解得过程、这个原则可以在无以记数得数学简便方法中体现出来、2、3与谐化原则:化归问题得条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示得与谐得形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们得思维规律、也就就是说整个转化得过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边得想象,但也要能被人接受并能理解、体现出现在国家倡导得与谐社会、2、4直观化原则:将比较抽象得问题转化为比较直观得问题来解决、这个主要在函数与图象得联系中体现出来、把某些枯燥乏味得代数问题转化为图形来解决,能直观得解决问题、2、5正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探求,使问题获解、反证法得应用把这个原则表现得淋漓尽致,学生能理解到其中得精髓可就是可以受用无穷得,包括在生活中得应用、2、6 现实化原则:所学所用所理解得道理要用于社会实践,同时要满足社会人才得需求、3.化归与转化得方法化归与转化得方法,在千变万化得题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解得、3、1 直接转化法:直接把新得知识转化为前续知识、这个在讲解新课得时候,尽量让学生去体会,让她们能自己解决新得问题,获取新得知识,接着把新得知识吸收,继续解决新得问题、3、2 构造法:这个就是个重要得方法,有不少题目,不能直接解决与转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解得过程、3、3 数与形得转化:这个主要用于函数问题得解答与某些图型中得某些量得关系、数形结合就是数学学习得一种重要得思想、3、4换元法:这个重要就是把一些繁杂得,但又有重复性得题目简单化,更直观、这个主要用于方程得解答、3、5 相等与不相等之间得转化:这个主要用与不等式得证明与函数区间、3、6实际问题与数学理论得转化:理论联系实际得一种方法、也就是学生情感方面得培养、3、7 特殊与一般之间得转化:公式法解一元二次方程就就是把特殊得一般化了、同时也可以说把具体得抽象化了、3、8 数学各分支之间得转化:数学本来就就是一个连贯得整体,把各分支有机得联系起来,让人感到它得魄力、同时也能解决数学以外得我问题、5总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学得知识解决新问题,并能总结归纳,化为新得知识并接受,这样才能满足社会人才得需求、化归与转化就就是将待解决或未解决得问题,通过转化归结为一个已经能解决得问题,或者归结为一个比较容易解决得问题,或者归结为一个已为人们所熟知得具有既定解决方法与程序得问题,最终求得原问题得解决、懂得化归与转化得基本方向就是简单化、熟悉化、与谐化、化归与转化需要广泛与灵活得联想,联想得基础就是扎实得基础知识、基本技能与基本方法、熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能与基本方法就是转化得基础;丰富得联想、机敏细微得观察、比较、类比就是实现转化得桥梁;培养训练自己自觉得化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上得深刻理解与对典型习题得总结与提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间得本质联系、为了实施有效得化归,既可以变更问题得条件,也可以变更问题得结论,既可以变换问题得内部结构,又可以变换问题得外部形式,既可以从代数得角度去认识问题,又可以从几何得角度去解决问题、。
数学中的变换法
哈尔滨师范大学学年论文题目数学中的变换法学生陈超群学号 2004040590指导老师吕凤祥副教授年级 2005级8班学院数学与计算机科学学院系别数学系哈尔滨师范大学2007年6月论文提要所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学课题时采取迂回的手段来达到目的的一种方法,也就是把将要解决的问题先进行变换,使之转化.具体地讲,将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;将难的问题通过变换转化成容易的问题;将未解决的问题通过变换转化成已解决的问题。
利用变换转化的方法解决数学问题时常用的一种最基本的方法,是数学思维方法的一个组成部分。
数学变换方法的主要特点是灵活性、多样性,具体的讲,就是对于同一个数学结构,其变形并非唯一,而是多种多样的。
因此,如果应用数学变换方法解决数学问题,就没有一个统一的格调格式。
本文通过对数学变换法的阐述和思考,解决了什么是变换法,变换法的类型,变换法的作用,以及变换法在数学解题中的应用等问题.数学中的变换法陈超群摘 要: 所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学课题时采取迂回的手段来达到目的的一种方法,也就是把将要解决的问题先进行变换,使之转化,具体地讲,将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;将难的问题通过变换转化成容易的问题;将未解决的问题通过变换转化成已解决的问题。
利用变换转化的方法解决数学问题时常用的一种最基本的方法,是数学思维方法的一个组成部分。
数学变换方法的主要特点是灵活性、多样性,具体的讲,就是对于同一个数学结构,其变形并非唯一,而是多种多样的。
因此,如果应用数学变换方法解决数学问题,就没有一个统一的格调格式。
尽管如此,单从其解决问题的逻辑结构框架来看,却有其相同或相似之T (变换)—————————————————→T1-(逆变换)←—————————————————| |↓| |↓在我们接触到的数学变换法中,有恒等变换,分割变换,映射变换,幂级数变换,拉普拉斯变换,傅立叶变换,参数变换和一些几何中的变换。
5.2 数学中的 变换方法
F G H B C 、在单位正方形的内接正三角形中,找出一
变换方法
§5.2
变换方法
D
注意到⊿EFG的边长大小是随FG E A 与AB的交角而变动,所以我们可考虑 以 ∠ GFB 的 大 小 为 参 数 , 即 令 ∠GFB= ,因为∠GFB为钝角时, F ∠FGC将为锐角,故由对称性可只讨 H B 论 ≤90°的情况。 图9--2 为 了 把 与 FG 联 系 起 来 , 我 们 作 GH⊥AB于H,于是有 GH 1 FG sin sin
G C
§5.2
变换方法
即随的增大(或减小),边FG减小(或增大)。 由此易知,当F与H重合时,正三角形EFG的 面积最小, 此时
S EFG 3 1 3 ; 4 sin 90 4
2
2
当G与C重合时,正三角形EFG的面积最大,此时
S EFG 3 1 2 3 3. 4 sin 75
§5.2
变换方法
数学变换方法的主要特点是灵活性、多样性。 具体地讲,对同一个数学结构,其形变并非唯一, 而是多种多样。因此,如果运用数学变换方法解 决有关数学问题,就没有一个统一的格调和模式。 尽管如此,单从其解决问题的逻辑结构框架来看, 却有其相同或相似之处。正因为如此,所以在介 绍变换方法解决具体问题之前,有必要先指出它 们的共性,即它们都具有相同的思路结构框图:
1 由 x y z 1, 取其平均值 为标准量,进行如下增量变换: 3
7 xy yz zx 2 xyz 27
1 1 1 a x ,b y ,c z , 3 3 3 1 则 a b c 0, b . 且 3
§5.2
于是,令
转化思维在数学解题中的应用
转化思维在数学解题中的应用作者:费有平来源:《教育与管理》2013年第04期【摘要】转化思维是被广泛使用着的一种用来研究数学问题,解决数学问题的重要方法,是数学问题解决的基本思想方法之一。
数学都离不开转化,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,都是转化思想的具体体现。
本文通过具体例子介绍转化思想的几种基本类型在数学解题中的体现与应用。
【关键词】数学思想方法转化原则转化方法1 引言著名数学家玻利亚说:“解决数学问题的关键在于转化。
”人们在学习数学、解决问题的过程中常常会遇到一些比较复杂的、陌生的或非标准的问题,这些问题往往不易直接得到它的解答,因而采用“迂回的战术”——即对于复杂的、陌生的或非标准的问题,通过变形促使问题不断转化,最后,将它转化为较为简单的、熟悉的或标准的,已经解决的问题或容易解决的问题,转化思维就是我们数学问题的解决过程中的一种最基本的数学思维方式。
在中学数学中运用转化思想分析和解决问题的范例几乎处处可见。
比如在解不等式时,通常都是将“不等式”转化为“函数、方程”,“正面”转化为“反面”,“一般”转化为“特殊”,通过数形结合在解析几何中将几何问题转化为代数问题等。
2 转化思维的含义所谓的转化思维,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法。
一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
3 几种常见的转化思维形式的应用3.1 抓住数与式的辩证关系,实现数与式的转化。
例:若(■+■x)30=a0+a1x+a2x2+…+a30x30,则(a0+a2+a4+…+a30)2-(a1+a3+a5+…+a29)2的值。
分析:如果用常规的解题办法,本题展开式中的各项含有无理数,使运算量增加了难度。
国家开放大学《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)
国家开放大学《数学思想与方法》期末复习题参考答案模拟试卷A卷一、填空题(每题3分,共30分)1.算法的有效性是指(如果使用该算法从它的初始数据出发,能够得到这一问题的正确解)2.数学的研究对象大致可以分成两大类:(数量关系,空间形式)3.所谓数形结合方法,就是在研究数学问题时,(由数思形、见形思数、数形结合考虑问题)的一种思想方法。
4.推动数学发展的原因主要有两个:(实践的需要,理论的需要),数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5.古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用,以(《九章算术》)为典范。
6.匀速直线运动的数学模型是(一次函数)。
7.数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为(数学的各个分支相互渗透和相互结合)的趋势。
8.不完全归纳法是根据(对某类事物中的部分对象的分析),作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
9.学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段:(潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段)10.在实施数学思想方法教学时,应该注意三条原则:(化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则)二、判断题(每题4分,共20分。
在括号里填上是或否)1.计算机是数学的创造物,又是数学的创造者。
(是)2.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
(否)3.一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
(否)4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想,一是公理化思想,一是机械化思想。
(是)5.提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
(否)三、简答题(每题10分,共50分)1.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系?参考答案:(1)因为在《几何原本》中,除了推导时所需要的逻辑规则外,每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理,并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求,原则上不再依赖其它东西。
所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学问题时采取迂徊手段来达汇总
a b ab 6aba b 6b 1a 2 6b 2 1 a b 2
利用a b c 0减少变量个数
§5.2 变换方法
1 因为 a,b,c不全为正,不妨设 b 0,但 b , 3 所以6b 1 0,于是
§5.2 变换方法
分析:原方程是一个偶次倒数方程,可化为 1 2 1 1 x 2 a x b 0 x x 并把原方程的实数根确定为正根x>0。
因为方程(1)的每一实根是正数或者是负数。 如果 x0 <0是方程(1)的负根,则 x0>0是方程
2
§5.2 变换方法
此例解决问题的基本方法是引入必要的参数, 利用参数与已知量及所求量之间的关系列式,通过 讨论参数的变化而求得原问题的解。在此,参数对 我们解题所要达到的目的起着桥梁作用,引入参数 则是我们试图达到目的的一种手段。
例8 、 已知 a,b是实数,且x 4 ax 3 bx 2 ax 1 0 至少有一个实数根,试计算a 2 b 2的最小值。
§5.2
变换方法
数学变换方法的主要特点是灵活性、多样性。 具体地讲,对同一个数学结构,其形变并非唯一, 而是多种多样。因此,如果运用数学变换方法解 决有关数学问题,就没有一个统一的格调和模式。 尽管如此,单从其解决问题的逻辑结构框架来看, 却有其相同或相似之处。正因为如此,所以在介 绍变换方法解决具体问题之前,有必要先指出它 们的共性,即它们都具有相同的思路结构框图:
G C
§5.2 变换方法
即随 的增大(或减小),边FG减小(或增大)。 由此易知,当 F 与 H 重合时,正三角形 EFG 的面积最 小, 2 3 1 3 S EFG ; 此时 4 sin 90 4 当G与C重合时,正三角形EFG的面积最大,此时
数学变换思想在微积分中的应用
T ( 逆变换 )
R} ( 解 )
图 1 数 学变换 思想 解决 问题 的结构框 图
数学变换思想是解决数学问题的一种重要的思想方法 ,是数学思维方法的重要组成部分,其在数学问 题 中的应 用非 常灵 活 、广 泛 .
1 恒等变换
Ab s t r a c t : Ma t h e ma t i c a l t r a n s f o r ma t i o n ho t u g h t i s he t i mp o r t a n t t h i n k i n g me ho t d t o s o l v e ma he t ma t i c a l p r o b l e ms ,
恒等变换就是通过使用各种代数式、三角式的恒等变形将复杂问题转化为较易解决的简单 问题 的一种
收稿 日期 :2 0 1 3 - - 0 1 — 2 0
作者简介:高玉芹 ( 1 9 6 7 一) ,女 ,山东泰安人,副教授 ,硕士,从事数学教育研究.E a i l :l a o b a n s d @s o h u . 0 m
5月
文章编 号 :1 0 0 7 — 9 8 3 1( 2 0 1 3) 0 3 — 0 0 4 2 — 0 4
数学变换思想在微积分 中的应用
高玉芹
( 山东服装职业学院 信息工程系,山东 泰安 2 7 1 0 0 0)
摘要 :数学变换思想是解决数学问题的重要 思想方法,研究了数 学变换方法 ,给 出了常见的七种 变换在微积分中的应用. 关键 词 :数 学变换 ;微积 分 ;变换 式 中图分类 号 :O 1 7: G 6 4 2 . 0 文献标 识码 :A d o i :1 0 . 3 9 6 9  ̄ . i s s n . 1 0 0 7 — 9 8 3 1 . 2 0 1 3 . 0 3 . 0 1 4
2020年国家开放大学电大《数学思想与方法》期末考试复习试题答案小抄
2020年国家开放大学《数学思想与方法》期末考试复习试题答案小抄一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型:一种是崇尚逻辑推理,以《几何原本》为代表;一种是长于计算和实际应用,以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式,而且还被移植到其它学科,并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个:实践的需要;理论的需要;数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何,标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下,可能发生某种情况,也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程,就是把一个新的特征:两边相等,加入到三角形概念中去,使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的体现,它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指,通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征:一组邻边相等,加入到平行四边形概念中去,使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比,是指由一类事物具有某种属性,推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法;常称这种方法为类比法,也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点:具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决的问题中,最终获得原问题解答的一种方法。
高考数学转化与化归的思想
高考冲刺转化与化归的思想编稿:孙永钊审稿:张林娟【高考展望】解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位,可以说比比皆是,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.高考对本讲的考查为:(1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等。
(2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
(3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
(4)出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程,不断地改变待解决的问题,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西为止.1.转化与化归应遵循的原则(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.(2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式,或者转化命题,使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.2.转化与化归的基本类型(1)正与反、一般与特殊的转化,即正难则反,特殊化原则.(2)常量与变量的变化,即在处理多元问题时,选取其中的变量(或参数)当“主元”,其他的变量看作常量.(3)数与形的转化,即利用对数量关系的讨论来研究图形性质,也可利用图形直观提供思路,直观地反映函数或方程中的变量之间的关系.(4)数学各分支之间的转化,如利用向量方法解立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.(5)相等与不等之间的转化,如利用均值不等式、判别式等.(6)实际问题与数学模型的转化.3.常见的转化方法(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换、获得转化途径.(4)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化.(5)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.(6)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题.(7)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论.(8)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题.(9)一般化方法:当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时,可将问题通过一般化的途径进行转化.(10)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的.(11)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即把命题的结论加强为原命题的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,加强命题法是非等价转化方法.(12)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集U Að获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的,不能截然分割.4.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下:【典型例题】类型一、函数、方程与不等式之间的转化与化归【例1高清转化与化归的思想例题1 ID:404094】设函数f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.【思路点拨】(1)求f′(x)=0的根,比较两根的大小、确定区间,讨论f(x)的单调性;(2)将f(x)>0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).由已知a>1,∴2a>2,∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2,∴当x∈(-∞,2)和x∈(2a,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(2,2a)时,f(x)单调递减.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f(2a)=13(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-43a3+4a2+24a=-43a(a-6)(a+3),f(0)=24a.由题设知1,(2)0,(0)0,af af>⎧⎪>⎨⎪>⎩即1,4(3)(6)0,3240,aa a aa>⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6).【总结升华】函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 举一反三:【变式】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ .【答案】(【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得:1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩【例2】已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【思路点拨】利用递推数列的通项公式构造函数,利用导数判断函数单调性求解。
专题七 第4讲
第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决.(2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)直观化原则:将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.(4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有:(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.(5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看做集合A ,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ,通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决,体现了正难则反的原则. 3. 转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化,即化归对象. (2)化归到何处去,即化归目标. (3)如何进行化归,即化归方法.化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.类型一 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y =ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ,则1p +1q 等于( )A .2aB.12aC .4aD.4a(2)已知函数f (x )=a x a x +a (a >0且a ≠1),则f ⎝⎛⎭⎫1100+f ⎝⎛⎭⎫2100+…+f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________. 答案 (1)C (2)992解析 (1)由x 2=1a y (a >0)知抛物线开口向上,故过焦点F 作一在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ,则|PF |=|FQ |=12a ,即1p +1q=4a . (2)由于直接求解较困难,可探求一般规律,∵f (x )+f (1-x )=a x a x +a +a 1-x a 1-x +a =a x a x +a +aa +a x a=a x a x +a +aa +a x =a +a x a x +a =1, ∴f ⎝⎛⎭⎫1100+f ⎝⎛⎭⎫2100+…+f ⎝⎛⎭⎫99100 =⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100+f ⎝⎛⎭⎫99100+⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100+f ⎝⎛⎭⎫98100+…+⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100+f ⎝⎛⎭⎫51100+f ⎝⎛⎭⎫50100=1×49+12=992. 一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批的处理问题的效果.(1)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等差数列,则cos A +cos C1+cos A cos C=________.(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1)=(1+x )f (x ),则f ⎝⎛⎭⎫52=________. 答案 (1)45(2)0解析 (1)根据题意,所求数值是一个定值,故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令a =3,b =4,c =5,则△ABC 为直角三角形, 且cos A =45,cos C =0,代入所求式子,得cos A +cos C 1+cos A cos C=45+01+45×0=45.(2)因为xf (x +1)=(1+x )f (x ), 所以f (x +1)f (x )=1+x x ,使f (x )特殊化,可设f (x )=xg (x ),其中g (x )是周期为1的奇函数,再将g (x )特殊化, 可设g (x )=sin 2πx ,则f (x )=x sin 2πx , 经验证f (x )=x sin 2πx 满足题意,则f ⎝⎛⎭⎫52=0. 类型二 相等与不等的转化例2 若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是________.可采用换元法,令t =3x ,将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决.答案 (-∞,-8]解析 设t =3x ,则原命题等价于关于t 的方程 t 2+(4+a )t +4=0有正解,分离变量a 得 a +4=-⎝⎛⎭⎫t +4t , ∵t >0,∴-⎝⎛⎭⎫t +4t ≤-4, ∴a ≤-8,即实数a 的取值范围是(-∞,-8].等与不等是数学解题中矛盾的两个方面,但是它们在一定的条件下可以相互转化,例如本例,表面看来似乎只具有相等的数量关系,且根据这些相等关系很难解决,但是通过挖掘其中的不等量关系,转化为不等式(组)来求解,则显得非常简捷有效.定义运算:(ab )x =ax 2+bx +2,若关于x 的不等式(ab )x <0的解集为{x |1<x <2},则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A .(1,2)B .(-∞,1)∪(2,+∞) C.⎝⎛⎭⎫-23,1D.⎝⎛⎭⎫-∞,-23∪(1,+∞) 答案 D解析 1,2是方程ax 2+bx +2=0的两实根,1+2=-b a ,1×2=2a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-3,∴(-31)x =-3x 2+x +2<0,得3x 2-x -2>0,解得x <-23或x >1.类型三 常量与变量的转化例3 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ,使不等式x 2+px >4x +p -3成立的x 的取值范围是______________.本题若按常规法视x 为主元来解,需要分类讨论,这样会很繁琐,若以p 为主元,即可将原问题化归为在区间[0,4]上,一次函数f (p )=(x -1)p +x 2-4x +3>0成立的x 的取值范围.这样,借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 设f (p )=(x -1)p +x 2-4x +3, 则当x =1时,f (p )=0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正,等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0,f (4)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x -3)(x -1)>0,x 2-1>0, 解得x >3或x <-1. 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数),将其看做是“主元”,而把其它变元看做是常量,从而达到减少变元简化运算的目的.设f (x )是定义在R 上的单调增函数,若f (1-ax -x 2)≤f (2-a )对任意a ∈[-1,1]恒成立,求x 的取值范围. 解 ∵f (x )在R 上是增函数, ∴由f (1-ax -x 2)≤f (2-a )可得1-ax -x 2≤2-a ,a ∈[-1,1]. ∴a (x -1)+x 2+1≥0,对a ∈[-1,1]恒成立.令g (a )=(x -1)a +x 2+1.则当且仅当g (-1)=x 2-x +2≥0,g (1)=x 2+x ≥0, 解之,得x ≥0或x ≤-1.故实数x 的取值范围为x ≤-1或x ≥0. 类型四 正与反的相互转化例4 若对于任意t ∈[1,2],函数g (x )=x 3+⎝⎛⎭⎫m 2+2x 2-2x 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是__________. 答案 -373<m <-5解析 g ′(x )=3x 2+(m +4)x -2,若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数,则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立,或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x 2+(m +4)x -2≥0,即m +4≥2x -3x 在x ∈(t,3)上恒成立,∴m +4≥2t -3t 恒成立,则m +4≥-1, 即m ≥-5;由②得m +4≤2x -3x 在x ∈(t,3)上恒成立,则m +4≤23-9,即m ≤-373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为-373<m <-5.否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单,因此,间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.若二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间[-1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0,求实数p 的取值范围. 解 如果在[-1,1]内没有值满足f (c )>0,则⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)≤0,f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤-12或p ≥1,p ≤-3或p ≥32⇒p ≤-3或p ≥32,取补集为-3<p <32,即为满足条件的p 的取值范围.在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题.(2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.(3)直观化原则:将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想,立体几何问题向平面几何问题转化).(4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =S n ·S n -1 (n ≥2),a 1=29,则a 10等于( )A.49B.47C.463D.563答案 C解析 由a n =S n ·S n -1 (n ≥2),得1S n -1S n -1=-1,∴1S n =92+(n -1)×(-1), ∴S n =211-2n ,∴a 10=S 10-S 9=463.2. 方程m +1-x =x 有解,则m 取得最大值( )A .1B .0C .-1D .-2答案 A解析 由原式得m =x -1-x , 设1-x =t (t ≥0),则m =1-t 2-t =54-⎝⎛⎭⎫t +122, ∴m =54-⎝⎛⎭⎫t +122在[0,+∞)上是减函数, ∴t =0时,m 的最大值为1.3. 过双曲线x 2a 2-y 2b2=1上任意一点P ,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R 、Q 两点,则PR →·PQ →的值为( )A .a 2B .b 2C .2abD .a 2+b 2答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时,|PR →|=|PQ →|=a ,故选A.4. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1、a 3、a 9成等比数列,则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10的值是________.答案1316解析 由题意知,只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件,{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的.因此,可把抽象数列化归为具体数列.比如,可选取数列a n =n (n ∈N *),则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=1+3+92+4+10=1316.5. 已知函数f (x )=x 3+2x 2-ax +1.若函数g (x )=f ′(x )在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是______________________________________________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫-43,7 解析 g (x )=f ′(x )=3x 2+4x -a ,g (x )=f ′(x )在区间(-1,1)上存在零点,等价于3x 2+4x =a 在区间(-1,1)上有解,等价于a 的取值范围是函数y =3x 2+4x 在区间(-1,1)上的值域,不难求出这个函数的值域是⎣⎡⎭⎫-43,7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-43,7. 6. 已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ,且f (x )在[0,+∞)上是增函数,当0≤θ≤π2时,是否存在这样的实数m ,使f (cos 2θ-3)+f (4m -2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0,π2均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m ;若不存在,请说明理由.解 因为f (x )在R 上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数,故f (x )在R 上为增函数,且f (0)=0.由题设条件可得,f (cos 2θ-3)+f (4m -2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数,可得 f (cos 2θ-3)>f (2m cos θ-4m ). ∵f (x )在R 上为增函数, ∴cos 2θ-3>2m cos θ-4m , 即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 令cos θ=t ,∵0≤θ≤π2,∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1, 不等式t 2-mt +2m -2>0恒成立. ∴t 2-2>m (t -2),即m >t 2-2t -2恒成立. 又∵t 2-2t -2=(t -2)+2t -2+4≤4-22,∴m >4-22,∴存在实数m 满足题设的条件,且m >4-2 2.感谢您的阅读,祝您生活愉快。
利用变换转化策略解决数学问题
利用变换转化策略解决数学问题(贵州省遵义市第十一中学邹磊563000)摘要:所谓变换转化策略,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法。
它作为一种基本的思想方法在数学应用中具有重要地位。
转化是一种常见的极其重要的解决问题的策略。
关键词:变换转化策略问题正文:变换转化策略是把未知问题转化为已知问题、复杂问题转化为简单问题、陌生问题转化为熟悉问题、困难问题转化为容易问题的达到最终目的。
俗话说妙计可以打胜仗,良策则有利于解题,当学生对数学知识,数学思想方法的学习和运用达到一定水平时,应该把一般的思维升华到计策谋略的境界。
只有掌握了一定的解题策略,才会在遇到问题时,找到问题的思考点和突破口,迅速、正确地解题.一、转换性:将待求的复杂问题A转换为已容易解决的问题B,寻求解决问题的途径,问题的转换是变换与转化的关键。
例1、如图1,圆柱体玻璃容器,高15cm,底面圆周长为40cm 上口左侧点A处有一只蚂蚁,与蚂蚁相对的下底右侧点E处有一只虫子不能爬动,试求急于捕获虫子充饥的蚂蚁,所走的最短路线的长度。
【分析】如图2,将圆柱体侧面展开得矩形ABCD中,AB=15cm,BC=40cm,则BE=20cm∴AE= 221520 =25(cm)此题在义务教育课程标准北师大版教材《数学》八年级教材上册有类似的例子。
蚂蚁从A点到E点的路线有多种走法,关键是哪一种走法的路线最短。
把立体图形转换位平面图形,将曲线问题转化位平面路线问题,,能正确地找出最短路线,准确地利用勾股定理,求出最短路程。
例2、探究:多边形的内角和为(n-2)×180o【分析】如下表格:图形从一个顶点引对角线条数三角形的个数所有三角形的内角和多边形的内角和四边形1 2 2×180o2×180o五边形2 3 3×180o3×180o六边形3 4 4×180o4×180o ……………n边形(n-3)(n-2)(n-2)×180o(n-2)×180o 解决此问题我们只有从特殊的图形(四边形、五边形、六边形)出发,把求多边形的内角和转化为三角形的内角和,探求规律。
第五章 数学变换方法
关系· 映射· 反演方法,简称为RMI方法。
• 关系· 映射· 反演方法就是借助于应用各种有 效的映射变换手段去实现解题任务的普遍 方法。由于它是数理科学的一种普遍的思 想方法,带有一般的原则性,所以有时也 称为“RMI原则”。数学中的RMI方法可简 述如下:
• 给定一个含有目标原象x的关系结构R,如 果能找到一个可定映的映射f,将R映入或 映满R*,则可从R*通过一定的数学方法 把目标映象y=f(x)确定出来,这样,原来的 问题就得到了解决。RMI方法用框图表示如 下:
第五章 数学变换方法
Байду номын сангаас1 数学变换方法概述
• 一、数学变换方法的含义 • 所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学课 题时采取迂回手段来达到目的的一种方法,也就 是把将要解决的问题先进行变换,使之转化。具 体地讲,就是将复杂的问题通过变换转化成简单 的问题,将难的问题通过变换转化成容易的问题, 将未解决的问题通过变换转化已解决的问题。 • 利用变换方法解决数学问题是常用的一种最基 本的方法,所以它是数学思维方法的一个组成部 分。
§2 数学变换方法的几种类型
• 一、恒等变换 • 恒等变换的特点是:将复杂的问题通过 表达形式的变形转化成容易解决的若干简 单问题。就是把一个解析式变换成另一个 和它恒等的解析式.中学数学中的配方法、 因式分解法、待定系数法等恒等变换,都 起到将复杂(难、未知)的问题化归简单 (易、已知)的问题的作用.
五、参数变换法
• 不论在初等数学还是在高等数学的解 题中,参数变换方法的应用也比较广泛。 所谓参数变换法,就是在解题时先引 入辅助性的新变数,人们称这种变数为参 数;然后把要证明或求解的关系式转化为 含有参数的关系式;最后再消去参数,从 而得到问题的解。其思路结构框图是:
映射变换方法在数学分析中的应用
映射变换方法在数学分析中的应用高婷婷;张明会【摘要】数学分析研究变量及变量间的依存关系,从某种意义上说,就是研究“变换”规律的,因而变换方法在这里更有用武之地,具有重要的作用.不仅许多具体问题的解决都普遍利用数学变换方法,而且一些理论问题的处理,也都借助于数学变换思维方法.从现代数学的观点看,数学分析中的函数关系,就是由实数集到实数集的特殊映射.因而在数学分析也被当作熟知的方法.【期刊名称】《湖南工程学院学报(自然科学版)》【年(卷),期】2013(023)001【总页数】3页(P62-64)【关键词】变换;映射变换;积分;极限【作者】高婷婷;张明会【作者单位】陇南师范高等专科学校数学系,成县742500【正文语种】中文【中图分类】O151.21 数学变换方法的特征概述所谓数学变换方法,概括地讲,就是在解决数学问题时,采用迂回的方式和“改头换面”的手段来达到目的的一种方法.具体地讲,就是在研究或解答数学问题时,将复杂的问题通过适当的变换转化成简单的问题,将繁难的问题通过适当的变换转换成容易的问题,从而达到解决问题的目的.从思维特征看:数学变换方法不是“守株待兔”,而是主张在运动、变化中去寻求问题的答案.这就是所谓的动态思维.从方法的特征看:数学变换方法的主要特征是灵活、多样,即对同一个数学结构,其变形方式并非唯一,而是多方位的,可以通过各种可能的途径去求得问题的解决.正因为这种多样性,就给人们解决问题提供了很大的自由度.从数学结构的内在规律性看:数学结构组成元素之间的互相依存和联结的形式具有可变性,人们正是利用了这种可变性的特征,来强化自身在解决数学问题时的应变能力,而不断地提高自己解决数学问题的技能和技巧.虽然用变换的方法解决数学问题形式多样、方法灵活,但已解决问题过程的整体逻辑结构框架来看,却有其相同和相似之处.因此,在介绍用变换方法解决具体问题之前,有必要指出它们的共性,即变换方法应用中都具有如下相同的思路结构框架:从以上变换方法的逻辑结构框架可以看出,要用变换方法解决数学问题,关键在于寻找变换T与其逆变换T-1的表达式,这就为人们提出了两个尚待探讨的问题:一是对每一个数学问题都能通过某种变换方法得到解决.这就表明,变换方法尽管灵活且应用广泛,但并非万能.二是如果这样的变换存在,如何具体地找出来?一般地讲,这既非变换方法本身所能解决,也非全靠逻辑思维所能办到,主要靠高度的想象力和洞察力去进行探索性的发现.2 映射变换用集合与对应的观点看,映射就是在两个集合元素之间建立的一种特殊的对应关系.映射变换的主要特点是:灵活性强,覆盖面广.利用映射变换解决问题的思路结构框架是:从现代数学的观点看,数学分析中的函数关系,就是由实数集到实数集的特殊映射.下面举例说明映射变换方法在数学分析中的一些具体应用.例1 定积分的换元公式设f在区间(a,b)上连续,函数x=φ(t)足条件:①将区间(α,β)变为区间(a,b),且φ(α)=a,φ(β)=b;②在(α,β)上有连续导数φ′(t);则这就是利用映射x=φ(t),将区间(a,b)上的定积分变为与它等值的区间(α,β)上的定积分使积分的计算得以实现.因为被积函数在(0,1)上连续,但相应的不定积分不能表为初等函数的有限形式,因此直接利用牛顿-莱布尼茨公式有困难.若令x=tgt,则当t从0增加到时,x由0变到1,所以有再令,当t由0增加到时,u由减小到0,故所以例2 在二重积分的计算中,极坐标变换为其逆变换为:此变换极为有用,二重积分极坐标变换公式为:在三重积分的计算中,柱坐标与球坐标变换经常使用,点P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(r,θ,z)有变换式;三重积分的柱坐标变换公式是:点P的直角坐标(x,y,x)与球坐标(ρ,φ,θ)的变换式为三重积分的球坐标变换式为:例3 在求某些幂级数的和函数时,采用映射变换的方法往往很有效,例如10求幂级数的和函数解设和函数为f(x),取微分算子D作为映射,即于是有对上式两边积分得从而有又因f(0)=0,故有f(x)=(1+x)ln(1+x)-x 20求冥级数1·2+2·3x+3·4x2+…+(n+1)(n+2)xn+…的和函数解取积分算子∫作为映射,即于是有再对g(x)作一次积分映射,即对(2)式两边求导,得从而有将(3)式代入(1)式有对上式再两边求导,即得原级数的表达式.参考文献【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001. [2]马振华.离散数学导引[M].北京:清华大学出版社,2006.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002. [4]马振民,吕克璞.微积分习题类型分析[M].兰州大学出版社,1999.[5]张明会.恒等变换方法在数学分析中的应用[J].湖南工程学院学报,2011(2).。
变换法的名词解释
变换法的名词解释变换法是一种在数学、物理学以及工程学领域中广泛应用的方法。
它通过将某个问题转化为不同的表达形式或坐标系,从而使问题的解决变得更加简单和直观。
该方法通常涉及到函数的变换、坐标系的变换以及问题的重构等方面。
一、函数的变换变换法在数学领域中最常见的应用之一是函数的变换。
通常情况下,我们会遇到各种各样的复杂函数,而直接对这些函数进行求解往往是相当困难的。
此时,变换法就可以通过对函数进行适当的变换,将其转化为更简单的形式,从而降低了求解的难度。
例如,在微积分中,变换法常常应用于对积分和微分的求解。
通过变换法,我们可以将一个复杂的积分或微分问题转化为一个更简单的形式。
以换元积分法为例,通过引入新的变量,我们可以将原来的积分问题转化为一个更容易求解的形式,从而简化了计算过程。
二、坐标系的变换在物理学和工程学领域中,坐标系的变换是变换法的另一个重要应用。
通过选择合适的坐标系,我们可以改变问题的描述方式,从而提供更直观和便利的分析方法。
例如,在流体力学中,变换法可以通过选择合适的坐标系来求解复杂的流动问题。
通过变换法,可以将原本复杂的偏微分方程转化为一个更简单的形式,从而使问题的解决变得更加容易。
借助变换法,我们可以将问题从笛卡尔坐标系转化到极坐标系或柱坐标系中,这无疑对于分析和解决一些对称性较强的问题是非常有帮助的。
三、问题的重构除了函数的变换和坐标系的变换,变换法还可以通过问题的重构来解决一些复杂的问题。
通过对问题进行重新构造和转化,我们可以使问题的结构更清晰,从而提供一种更简单和直观的解决方案。
例如,在信号处理中,变换法经常用于处理复杂的信号。
通过对信号进行变换,我们可以将信号从时域转换到频域,或从空域转换到小波域。
这种变换可以帮助我们发现信号中的特定频率成分或局部特征,从而对信号进行更准确和有效的处理。
综上所述,变换法是一种在数学、物理学以及工程学中广泛应用的方法。
它通过函数的变换、坐标系的变换以及问题的重构等方式,能够使问题的解决变得更加简单和直观。
数学解题不能忽视的一种方法——转化-2019年精选文档
数学解题不能忽视的一种方法——转化
在教学中,按照常规思维,教会学生掌握解题的一般规律、熟悉常规解法是很有必要的。
但常规方法有时行不通,有时因过程繁杂而半途而废,或者虽然解得出来,但耗费了大量的时间和精力,那也是很不合算。
所以,在学生熟悉常规解法后,教会学生去捕捉题目的各种特征,寻找问题的较优解法,开拓学生的思维也很有必要。
“转化”是数学中最基本的思想方法之一,它能沟通各类问题间的联系,突破求解模式。
有些数学题看起来庞大复杂,似难下手,但是,可以通过等价变换,把复杂的转化为简单的、正面的转化为反面的、隐含的转化为明朗的、数(形)转化为形(数)、动(静)转化为静(动),等等。
笔者就数学解题中的转化方法归纳如下:。
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所谓数学变换方法,就是在研究和解决数学问题 时采取迂徊手段来达到目的的一种方法,也就是把将 要解决的问题先进行变换,使之转化。具体地讲,将 复杂的问题通过变换转化成简单的问题;将繁难的问 题通过变换转化成容易的问题;将未解决的问题通过 变换转化成已解决的问题。 利用变换转化的方法解决数学问题是常用的一种 最基本的方法,所以它是数学思维方法的一个组成部 分。因此,作为数学工作者必须善于灵活机动地运用 数学变换方法。
§5.2 变换方法
参数变易法 辩证唯物论肯定事物之间的联系是无穷的,联系的方式是 丰富多彩的,有明有暗,有显有隐。科学的任务就是要揭示事 物之间的联系,从而发现事物的变化规律。 参数常存在于所研究的问题中,它虽不是直接的研究对象, 但参数的作用是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内 在联系。在解决数学问题时,引进了参数就能表现出较大的能 动作用和活力。利用参数可沟通问题中各个量之间的内在联系, 或改变数量关系的结构,或利用参数求出所需确定的常数和变 量。在表现形式上即是将待解决的问题化归为参数问题加以解 决。
§5.2 变换方法
数学学科的主要特征是高度的抽象性和形式 化。那么,如何揭示和把握这种抽象形式结构的 规律性呢?辩证法告诉我们:任何事物都不是孤 立的、静止和一成不变的,而是在不断的发展变 化。因此,作为一个数学系统或数学结构,其组 成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变 的。这就是数学变换方法的哲学思想基础。数学 家们也正是利用这种可变的规律性,强化自身在 解决数学问题中的应变能力,不断地提高自己解 决数学问题的思维能力和技能、技巧。
§5.2 变换方法
分析:解这个关于x的三次方程较困难,但注意 到系数的特点,我们不妨把3看作未知数,即设 t= 3 ,则得到关于t 的二次方程
x2 x 1 由于x≠0,解上述方程得:t1 1 x , t 2 x 2
3 2 x 2 3 x 3x 3 1 0 例4 解方程
f 6b 1 46b 1 b 2
2 2
6b 16b 3b 2 0
故 f 0, 即
7 xy yz zx 2 xyz 27
§5.2 变换方法
例2中所用到的变换方法是一种增量变换方 法。所谓增量变换是指,对于任意两个实数a、b, 总存在实数d,使得a=b+d,实数d称为增量。增 量变换在解决许多数学问题中常能发挥奇妙的作 用。例如,在一个数学问题中,若存在有多种形 式的变量时,我们常选用一个能沟通各变量的所 谓“标准量”作为增量,把各种形式的变量都用 标准量和另外取定的辅助量表示出来,从而使各 变量之间的关系更加明确,使问题更加简化。
F G H B C 、在单位正方形的内接正三角形中,找出一
§5.2
变换方法
D
注意到⊿ EFG 的边长大小是随 FG E A 与AB的交角而变动,所以我们可考虑 以 ∠ GFB 的 大 小 为 参 数 , 即 令 ∠ GFB= ,因为∠ GFB 为钝角时, F ∠ FGC 将为锐角,故由对称性可只讨 H B 论 ≤90°的情况。 图9--2 为 了 把 与 FG 联 系 起 来 , 我 们 作 GH⊥AB于H,于是有 GH 1 FG sin sin
由1得 x a 2, 代入2得:
2 2 1 x 3 x 12 1 2 a a 4 x 8 4 a 2 2 2 2 2 x x 4 1 2 a a x x 4 1 2 a a
a 2
§5.2 变换方法
分析:原方程是一个偶次倒数方程,可化为 1 2 1 1 x 2 a x b 0 x x 并把原方程的实数根确定为正根x>0。
因为方程(1)的每一实根是正数或者是负数。 如果 x0 <0是方程(1)的负根,则 x0>0是方程
xt 2 2 x 2 1 t x 3 1 0
于是有 1 x 3 或
x x 1 3 。所以,原方程的解为 : x 1 1 4 x1 1 3 ; x 2 1 3 12 ; x3 1 3 4 12 2 2
§5.2
§5.2
分析:换元: 令 所以,方程化简为
例3,解方程 2
变换方法
x 2 3x 12 x 2 x 4 2 4 x 8 x 3x 12 2x 2 x 4 2
x 3x 12 1 a , 则 x x 4 a 1 ,
2
§5.2 变换方法
此例解决问题的基本方法是引入必要的参数, 利用参数与已知量及所求量之间的关系列式,通过 讨论参数的变化而求得原问题的解。在此,参数对 我们解题所要达到的目的起着桥梁作用,引入参数 则是我们试图达到目的的一种手段。
例8 、 已知 a,b是实数,且x 4 ax 3 bx 2 ax 1 0 至少有一个实数根,试计算a 2 b 2的最小值。
2
a 2 4 1 2a a 2
得 3a 9 即a 3, 从而 x 1. 经检验知x 1是原方程的解 .
§5.2 变换方法
在解决某些数学问题时,我们常根据需要, 有时把常量用一个字母或函数表示,暂且把常量 看作变量,然后,通过研究变动的、一般状态来 考察不变的、特殊的情形。这种变换称为“常量 变换”,这种处理方法有时会受到奇效。下面的 例4就是运用到了常量变换方法,使问题中的各 变量间的数量特征更加明确,并获得问题的解。
10 lg 5 lg lg 10 lg 2 . 2 10
§5.2 变换方法
还有一个有趣的事实在是上面利用了 lg10=1 , “1”在数系中占有重要地位,作为数系里的元素, 它是单位元。因此便产生了许多关于“1”的恒等式。 因此,在解题中,有时利用这些“1”的恒等式,往 往能起到事半功倍之效。 在数学中我们常利用变量替换、换元、增量替 换等方法解题,关键在于根据问题的结构特征,适 当选取能够以简驭繁、化难为易的变换,以实现问 题的化归。
分析:本题若将左端展开,将得到关于x的四次函数, 不易讨论函数值的范围,注意到求证式左端的结构特征, 2 我们设 y x 6 x 7 ,那么左端就化为关于y的二次函 数,问题就好解决了。
§5.2 变换方法
2 y x 6 x 7 ,原不等式就化为 事实上,若设
y y 8 15 0 , 即 y 5 y 3 0
由此可知在y<-5或y>-3时,左端恒大于零,又
y x 2 6x 7 x 3 2
2
即对任意数x,都有y≥-2,这就证明了原不等式。题,一方面要分析问题 的结构特征,对已知条件作适当的变形; 另一方面要善于发现问题中的特殊条件、 结构特征,挖掘问题中所隐含的特殊关系, 以便于由这些特殊条件提出各种可能的代 换。这样可在作出这些代换后减少变量的 个数,降低次数,使问题结构简单,常收 到出人意料的效果。
1 1 1 a x ,b y ,c z , 3 3 3 1 则 a b c 0, 且b . 3
§5.2
于是,令
变换方法
7 xy yz zx 2 xyz 27
7 f 3 xy yz zx 2 xyz 27 ab bc ca 6abc ab ca b 6abc
A
E
D
§5.2 变换方法
例7 图9--2 个面积最大的与一个面积最小的,并求出这两个面 积。 分析:如图9—2,单位正方形ABCD的内接正三角 形EFG必有两个顶点落在对边,不妨设是在AB、CD 两边上。 由于正三角形的面积由边长唯一确定,所以我们 只要在所有的内接正三角形中,找出一个边长最大 的与一个边长最小的即可。
2
1 解方程 2 x 5 x 3 0 ,取正根,得 x 2 2 3 1 cos cos cos ∴ 7 7 7 2
2
§5.2 变换方法
例5中用到了一种自身换元法,这种方法的基本思 想是:把所给的问题整个地用一个未知元来代替,并进 行适当的运算,从而得出未知元的数值;或用求方程的 根的方法求值。 例6、求证: x 2 6 x 7 x 2 6x 15 15 0
§5.2
变换方法
例2 设x, y, z 0 , 且 x y z 1。 求证: 7 0 xy yz zx 2 xyz 27
分析: xy yz zx 2 xyz 0 较易证明,下面讨论 7 xy yz zx 2 xyz 27
1 由 x y z 1, 取其平均值 为标准量,进行如下增 量变换: 3
§5.2
问题R
变换方法
T (变换)
问题R′
R的解答
1 T (逆变换)
R′的解答
§5.2
变换方法
首先讲到的是恒等变形,这是最常用的方法。 所谓“恒等”,其意思是不要变;所谓 “变形” 当然又是要求变。在这里,变的要求是主要方面, 要化归就必须变;但变化时又必须遵守一定规则, 在这里是要求“恒等”,也就说恒等变形是要求 变要在“不变”的前提下进行。 数学中的很多公式从本质上讲,只不过是一 种恒等变形,所以恒等变形在数学中的地位是十 分重要的。
G C
§5.2 变换方法
即随 的增大(或减小),边FG减小(或增大)。 由此易知,当 F 与 H 重合时,正三角形 EFG 的面积最 小, 2 3 1 3 S EFG ; 此时 4 sin 90 4 当G与C重合时,正三角形EFG的面积最大,此时
S EFG 3 1 2 3 3. 4 sin 75