人教版九年级上册与圆有关的计算讲与练(含答案)
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)
E ，满足 AEC 65 ，连接 AD ，则 BAD
度．
答案： 一、选择题
1．（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上， ＝ ，AC 交 BD 于点 G．若∠COD＝126°，则 ∠AGB 的度数为（ ）
A．99°
B．108°
解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
度数是（ ）
A．130°
B．140°
C．150°
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
D．160°
6．（2020•眉山）如图，四边形 ABCD 的外接圆为 O ， BC CD ， DAC 35 ， ACD 45 ，则 ADB 的度数 为( )
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+ x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+ x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+ x）﹣（20°+ x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°， ∴20°＜∠CED＜40° 故选：C． 二、填空题
16．（2020•襄阳）在 O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA ，则弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ． 解：如图，
上任意一点．则
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
解：连接 OD、OE， ∵OC＝OA， ∴△OAC 是等腰三角形， ∵点 D 为弦 AC 的中点， ∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°， 设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°， ∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
最新人教版初中九年级上册数学《圆》题含答案》同步练习
九年级数学上册第24章《圆》同步练习一、选择题1．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则（）A.当d=8 cm，时，直线与圆相交B.当d=4.5 cm时，直线与圆相离C.当d=6.5 cm时，直线与圆相切D.当d=13 cm时，直线与圆相切2．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A.80°B.70°C.60°D.50°3．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．102 B．20 C．18 D．2024．如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=700，则∠AOC为（）（A）1400 （B）1200（C）900 （D）3505．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定6．（3分）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）（2015•牡丹江）如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）．A．32° B．38° C．52° D．66°8．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm二、填空题9．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于 cm．10．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为．（结果保留π）11．如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是．12．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为 cm．（3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径．13．14．（3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为．15．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2．16．（4分）如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB=BC=12，则OC= ．三、解答题17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C ，若AB=2，∠P=30°，求AP 的长（结果保留根号）．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A.18．求证： BC 是⊙O 的切线；19．若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.O EDB A20．如图，已知⊙O 与BC 相切，点C 不是切点，AO ⊥OC ，∠OAC=∠ABO ，且AC=BO ，判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由．21．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，DE切⊙O于点D，且DE⊥MN于点E．（1）求证：AD平分∠CAM．（2）若DE=6，AE=3，求⊙O的半径．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧AC的长（结果保留π）．参考答案1．C2．B．3．B．4．A5．B ．6．D ．7．B ．8．B ．9．310．24π．11．4π．12．4．13．1．14 15．3π．16．17．18．证明：（1）∵AB 为⊙O 的直径∴∠D=90°, ∠A+∠ABD=90°∵∠DBC =∠A∴∠DBC+∠ABD=90°∴BC ⊥AB∴BC 是⊙O 的切线19．∵OC ∥AD ，∠D=90°，BD=6∴OC ⊥BD∴BE=12BD=3 ∵O 是AB 的中点∴AD=2EO -∵BC ⊥AB ，OC ⊥BD∴△CEB ∽△BEO ，∴2BE CE OE =•∵CE=4，∴94 OE∴AD=9 220．直线AB与⊙O的位置关系是相离．理由见解析．21．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为7.5．22．（1）证明见试题解析；（2）2π．后序亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
【新】九年级上册数学 有关圆的计算 (知识点+练习题)人教版
有关圆的计算教案知识点：（十二）和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2EM·MD=BM·MGCN·NH=DN·NE（十三）圆和圆的位置关系如图6－9若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：1、两圆外离⇔d ＞R＋r；2、两圆外切⇔d = R＋r；3、两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r（R＞r）4、两圆内切⇔d = R－r；（R＞r）5、两圆内含⇔d＜R－r。
（R＞r）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6－10，O1，O2为圆心，则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分（十四）两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。
d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13， OO1C为直角三角形。
d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。
（十五）相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14（十六）正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
九年级数学上册 圆中计算及综合训练讲义 (新版)新人教版
圆中计算及综合训练（讲义）课前预习1.半径为r 的圆的周长为，面积为．2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为，面积为．3.已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为．4.默写圆周角定理的相关推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：；．推论 3：圆内接四边形对角互补．5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4 的⊙O 上剪下一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为．6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．Rh主视图左视图r俯视图知识点睛1.圆中的计算公式弧长公式：．扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：= + ．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①；②．2.圆中处理问题，通常的思考方向有：①找圆心、连半径；②遇弦，作垂线，配合建等式；③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆周角）④遇切线，；⑤由弧找角，由角看弧．精讲精练1.如图，⊙O 的半径是 1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°， 则劣弧 BC 的长是 ．B第 1 题图第 2 题图2. 如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B ′，则图中阴影部分的面积是 ．3.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径 AC 的长为 12 分米，伞骨 AB 的长为 9 分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料 平方分米．BAC4.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为 4、底边为 2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 ．42 主视图左视图俯视图D第 4 题图第 5 题图5.如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为 4， 则图中阴影部分的面积为 ．43…6.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是．7.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图 2．图1 图2 8.如图，Rt△ABC 的边BC位于直线l 上，AC= ，∠ACB=90°，∠A=30°．若 Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3 次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为．（结果保留π）AC B l9.如图，在三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应B′点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为． C（结果保留π）A A′ B10.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，已知 AO =45 cm ，CO = 5 cm ，当 AC绕点 O 顺时针旋转 90°时，则雨刷器 AC 扫过的面积为 cm 2（结果保留 π）．AOPBC第 10 题图第 11 题图1. 如图，在 Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段 CP 的最小值为 ．12.如图，CD 是⊙O 的直径，且 CD =2 cm ，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA ，PB ，切点分别为点 A ，B ．（1）连接 AC ，若∠APO =30°，试证明△ACP 是等腰三角形． （2）填空：①当 DP = cm 时，四边形 AOBD 是菱形； ②当 DP = cm 时，四边形 AOBP 是菱形．13.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A ，B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C ，使 PC =PB ，D 是 AC 的中点， 连接 PD ，PO ． （1）求证：△CDP ≌△POB ． （2）填空：①若 AB =4，则四边形 AOPD 的最大面积为 ； ②连接 OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形．CAO B14. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点 M 是 AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交 AC ，BM 于点 D ，E ．（1）求证：MD =ME ． （2）填空：连接 OD ，OE ，当∠A 的度数为 时，四边形 ODME 是菱形．ADP︵︵15.已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，点D 在边BC 上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【参考答案】课前预习1. 2πr ；πr 22. n r180n r 2；3603. 6 cm4. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5. 906. 图形略知识点睛1. ln R．180n R 2lR① S；② S ．360 2S =πlr ．全面积；侧面积；底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长； ②圆锥的侧面积等于扇形面积．2. ②垂径定理；勾股定理；③直径； ④连半径精讲精练1.2 5 2. 6 3. 54π 4. 4π 5.16 3 6. 18° 7.15 cm 8.(4 9.3310. 500π3)2 11. 212. （1）证明略；（2）①1；② 1 13. （1）证明略．（2）①4；②60°． 14. （1）证明略．（2）60°． 15. （1）证明略；（2）证明略．。
人教版数学九年级上册：24《圆》专题练习(附答案)
word版初中数学第二十四章《圆》专题练习目录专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1)专题2圆周角定理 (3)专题3 证明切线的两种常用方法 (4)专题4与切线长有关的教材变式 (5)专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6)专题6 求阴影部分的面积 (8)专题1 与圆周角有关的辅助线作法类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( )A ．70°B ．55°C ．35.5°D ．35°2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．20°D ．35°3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°类型2 利用直径构造直角三角形5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ．6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ．7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ．8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．类型3 构造圆内接四边形9．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是()A．50° B．60°C．80° D．100°10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙O的直径AB＝2 3.若∠ACD＝120°，则线段AD的长为．专题2 圆周角定理1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.3．如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(1)求证：BD 是该圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法类型1 直线与圆有交点：连半径，证垂直 (一)借助角度转换证垂直1．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点E ，点P 是CD 延长线上的一点，AP ＝AC ，且∠B ＝2∠P.求证：PA 是⊙O 的切线．(二)利用平行证垂直2．如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且点C 为BF ︵的中点，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D.求证：CD 是⊙O 的切线．(三)利用全等证垂直3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC.求证： (1)DE ︵＝BE ︵； (2)CD 是⊙O 的切线．(四)利用勾股定理的逆定理证垂直4．(南充中考改编)如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.求证：PC 是⊙O 的切线．类型2 不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径5．如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E.求证：AC 是⊙O 的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，若∠BOC ＝90°，求证：AB ∥CD.2．如图，⊙O的直径AB＝12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C 两点．设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．3．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，则⊙O 的半径为．4．如图，△ABC的周长为18，其内切圆⊙O分别切三边于D，E，F三点，AF＝3，FC＝4，则BE＝．5．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为()A.32B.32C. 3 D．2 3专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A ，点C 重合的一个动点，连接AD ，CD.若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( )A.3＋12 B.3－32 C.3＋13 D.3－333．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是( )A.52B. 5C.52D ．2 24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至点F ，使得BD ＝DF ，连接CF ，BE.求证： (1)DB ＝DE ；(2)直线CF 为⊙O 的切线．5．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O 的半径为1，求菱形ACBP 的面积．7．如图，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 为BC ︵的中点，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AC 的延长线于点E ，连接AD ，CD.(1)DE 与⊙O 的位置关系是相切； (2)求△ADC 的内切圆半径r.专题6 求阴影部分的面积类型1 直接利用公式求面积1．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( ) A.π2 m 2 B.32π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 2类型2 利用和差法求面积2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是( )A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π3．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－44．如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )A.32π B ．3π C.72π D ．2π5．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是( )A.2π3 B ．23－π3 C ．23－2π3 D ．43－2π36．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为 ．8．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是 ．类型3 利用等积转化法求面积9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )A ．2πB ．Π C.π3 D.2π310．如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积()A．不变 B．由大变小C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小11．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为()A．5π cm2 B．10π cm2 C．15π cm2 D．20π cm212．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD ＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是()A.252π B．10π C．24＋4π D．24＋5π13．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．参考答案：专题1 与圆周角有关的辅助线作法1．D2．A3．D4．D5．110°__．67．1．829．D11．3．专题2 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用1．解：△ABC是等腰三角形，理由：∵四边形APBC是圆内接四边形，∴∠EPA＝∠ACB.∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．2．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)连接OB ，OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.3．证明：(1)∵∠ACB ＝∠ADB ＝45°， ∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°. ∴BD 是该圆的直径．(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA. ∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD.∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CAE是等腰直角三角形．∴2AC＝CE.∴2AC＝DE＋CD＝BC＋CD.专题3 证明切线的两种常用方法1．证明：连接OA，AD.∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC.∴∠ADC＝2∠P.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP.∴∠ADC＝2∠ACP.∵CD为直径，∴∠DAC＝90°.∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.∴△ADO为等边三角形．∴∠AOP＝60°.而∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA.又∵AO为⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．2．证明：连接OC，∵CF ︵＝CB ︵，OA ＝OC ， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝∠ACO. ∴AD ∥OC. ∵CD ⊥AF 于点D ， ∴∠DCO ＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线． 3．证明：(1)连接OD. ∵AD ∥OC ，∴∠DAO ＝∠COB ，∠ADO ＝∠DOC. 又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO. ∴∠COB ＝∠COD. ∴DE ︵＝BE ︵.(2)由(1)知∠DOE ＝∠BOE ， 在△COD 和△COB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DOC ＝∠BOC ，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB (SAS )． ∴∠CDO ＝∠B.又∵BC ⊥AB ，∴∠CDO ＝∠B ＝90°.∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．4．证明：连接OC.∵⊙O的半径为3，∴OC＝OB＝3.又∵BP＝2，∴OP＝5.在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°.∴OC⊥PC.∵C是⊙O上一点，∴PC为⊙O的切线．5．证明：连接OA，OD，作OF⊥AC于点F，垂足为F. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.而OF⊥AC，∴OF＝OD.∴AC是⊙O的切线．专题4 与切线长有关的教材变式1．证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBF.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.2．解：过点D作DF⊥BC于点F.∵AD，BC分别是⊙O的切线，∴∠OAD＝∠OBF＝90°.又∵DF⊥BC，∴四边形ABFD为矩形．∴DF＝AB＝12 cm，BF＝AD.∵AD，BC，DC分别为⊙O的切线，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y.∴DC＝x＋y，CF＝y－x.在Rt △DCF 中，由勾股定理，得DC 2＝CF 2＋DF 2，即(x ＋y )2＝(y －x )2＋122，整理，得xy ＝36.∴y ＝36x. ∴y 关于x 的函数解析式y ＝36x(x>0)． 3．2．4．2．5．C专题5 与圆的切线有关的计算与证明1．C2．B3．B4．证明：(1)∵E 为△ABC 的内心，∴∠DAC ＝∠DAB ，∠CBE ＝∠EBA.又∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠EAB ＋∠EBA ，∴∠DBE ＝∠DEB.∴DB ＝DE.(2)连接OD.∵BD ＝DF ，O 是BC 的中点，∴OD ∥CF.又∵BC 为⊙O 的直径，OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠DBO ＝∠DAC ＝45°.∴∠OCF ＝∠BOD ＝90°.∴OC ⊥CF.又∵OC 为⊙O 的半径，∴直线CF 为⊙O 的切线．5．解：(1)证明：过点O 作OD ⊥PB ，连接OC.∵AP 与⊙O 相切，∴OC ⊥AP.又∵OP 平分∠APB ，∴OD ＝OC.∴PB 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CF ⊥PE 于点F.在Rt △OCP 中，OP ＝OC2＋CP2＝5.∵S △OCP ＝12OC ·CP ＝12OP ·CF ，∴CF ＝125. 在Rt △COF 中，OF ＝CO2－CF2＝95. ∴FE ＝3＋95＝245.在Rt △CFE 中，CE ＝CF2＋EF2＝1255. 6.解：(1)证明：连接AO ，BO.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°. ∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∴∠AOP ＝∠CAO ＋∠ACO.∴∠ACO ＝30°.∴∠ACO ＝∠APO.∴AC ＝AP.同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP.∴四边形ACBP 是菱形．(2)连接AB 交PC 于点D ，则AD ⊥PC.在Rt △AOD 中，∠AOD ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴OD ＝12OA ＝12. ∴AD ＝OA2－OD2＝12－（12）2＝32.∴PA ＝2AD ＝3，AB ＝2AD ＝ 3.∴OP ＝OA2＋PA2＝2，PC ＝OP ＋OC ＝2＋1＝3.∴菱形ACBP 的面积为12AB ·PC ＝332. 7．解：∵D 为BC ︵的中点，∴BD ︵＝DC ︵.∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°.又∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC.∴AD 为⊙O 的直径．∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，设DC ＝x ，则AD ＝2x.由勾股定理，得AD 2＝DC 2＋AC 2，即(2x )2＝x 2＋62.解得x ＝2 3.∴DC ＝23，AD ＝4 3.作Rt △ADC 的内切圆⊙O ′，分别切AD ，AC ，DC 于点F ，G ，H ，易知CG ＝CH ＝r ， ∴AG ＝AF ＝6－r ，DH ＝DF ＝23－r.∵AF ＋DF ＝AD ，∴6－r ＋23－r ＝4 3.∴r ＝3－ 3.专题6 求阴影部分的面积1．A2．A3．A4．C5．C6．C73823 9．D10．A11．B12．A13．94π．。
初三数学圆试题讲解及答案
初三数学圆试题讲解及答案初三数学圆的知识点主要包括圆的性质、圆周角、切线的性质、弧长公式、扇形面积等。
本试题旨在帮助学生巩固这些知识点，并通过练习提高解题能力。
一、选择题1. 已知圆的半径为5，圆心角为30°，那么这个圆心角所对的弧长是多少？A. 2πB. 5πC. 10πD. 15π答案：B2. 在圆中，圆周角的度数是圆心角的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/4答案：A二、填空题1. 半径为r的圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \) 。
2. 如果一个扇形的半径为3，圆心角为60°，那么它的面积是\( \frac{1}{6}\pi r^2 \) ，即 \( \frac{1}{6} \times 3^2\times \pi \) 。
三、解答题1. 如图所示，圆O的半径为10，点A、B、C是圆O上的三点，且∠AOB=60°，求AB的长度。
解：根据圆周角定理，我们知道圆周角的度数是圆心角的一半，所以∠AOB=30°。
由于AB是圆O的弦，根据弦长公式，我们有：\[ AB = 2 \times \text{半径} \times \sin(\frac{\text{圆心角}}{2}) \]\[ AB = 2 \times 10 \times \sin(15°) \]计算得AB的长度。
2. 已知扇形的半径为6，圆心角为45°，求这个扇形的弧长和面积。
解：弧长公式为：\[ L = r \times \theta \]其中r是半径，θ是圆心角（以弧度为单位）。
首先将角度转换为弧度：\[ 45° = \frac{\pi}{4} \text{ 弧度} \]然后计算弧长：\[ L = 6 \times \frac{\pi}{4} \]扇形面积公式为：\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]计算面积：\[ A = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{4} \]结束语通过本试题的练习，希望同学们能够熟练掌握初三数学中圆的相关知识，提高解题技巧和应用能力。
初三数学圆练习题及答案
初三数学圆练习题及答案初三数学圆练习题及答案数学是一门需要不断练习的学科，而初三的数学学习则是为了为高中数学的学习打下坚实的基础。
在初三数学中，圆是一个重要的内容，掌握圆的相关知识对于解题非常有帮助。
下面，我将给大家提供一些初三数学圆练习题及答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 已知圆的半径为5cm，求该圆的周长和面积。
解答：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。
将半径r=5cm代入公式得到周长C=2π×5=10π≈31.42cm。
圆的面积公式为S=πr²，将半径r=5cm代入公式得到面积S=π×5²=25π≈78.54cm²。
2. 已知圆的直径为12cm，求该圆的周长和面积。
解答：圆的周长公式为C=πd，其中d为直径。
将直径d=12cm代入公式得到周长C=π×12≈37.68cm。
圆的面积公式为S=πr²，其中r为半径。
将直径d=12cm代入公式得到半径r=12/2=6cm，再将半径r=6cm代入公式得到面积S=π×6²=36π≈113.04cm²。
3. 已知一个圆的周长为18π，求该圆的半径和面积。
解答：圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径。
将周长C=18π代入公式得到18π=2πr，解方程得到r=9。
所以该圆的半径为9，面积公式为S=πr²，将半径r=9代入公式得到面积S=π×9²=81π≈254.34。
4. 已知一个圆的面积为64π，求该圆的半径和周长。
解答：圆的面积公式为S=πr²，其中r为半径。
将面积S=64π代入公式得到64π=πr²，解方程得到r=8。
所以该圆的半径为8，周长公式为C=2πr，将半径r=8代入公式得到周长C=2π×8=16π≈50.27。
通过以上练习题，我们可以看到掌握圆的周长和面积的计算方法非常重要。
(完整word版)人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习(含答案)
圆24.1.1 圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。
固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图所示，直径为CD，AB 是弦，且CD⊥AB，C MA BAM=BM垂足为M AC =BCAD=BD D垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD 与非直径弦AB 相交于点M，CD⊥ABAM=BMAC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
精品 九年级数学上册 圆-与圆有关的计算同步讲义+同步练习
与圆有关的计算知识点：(1)多边形内角和公式：(2)把一个圆分成n(n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的 ．(3)一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．(4)正n 边形的每一个内角等于________，它的中心角等于________，它的每一个外角等于_________(5)正多边形的轴对称性：正多边形都是 图形.一个正n 边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
(6)正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
几种特殊的正多边形：正三角形 正方形 正六边形a 34r 2==R a 21r 2==Ra r 32==R 弧长：如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长=l扇形面积计算： 方法一：如果已知扇形圆心角为n ，半径为r ，那么扇形面积=s 方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r ， 那么扇形面积=s※圆锥的侧面积与表面积:（1）h 为圆锥的 ，l 为圆锥的 ，r 为圆锥的 ，由勾股定理可得：l 、h 、r 之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。
故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。
圆锥的表面积= +例1.已知圆内接正六边形面积为33cm 2，求该圆外切正方形的边长。
例2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为20πcm，求此扇形的面积。
例3.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=600，OC=2．(1)求OE和CD的长；(2)求图中阴影部分的面积．例4.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF.10cm,设OE=x,求x值及阴影部分的面积.(1)求证:OF∥BC;(2)求证:△AFO≌△CEB;(3)若EB=5cm,CD=3例5.如图,半圆的直径AB=10,P为AB上一点,点C，D为半圆的三等分点,求阴影部分的面积．例6.如图(1)、(2)、(3)、…、(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.(1)求图(1)中∠MON的度数；(2)图(2)中∠MON的度数是_________，图(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).同步练习：1.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.34 2.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.33 3.如图.在△ABC 中,∠B=900, ∠A=300，AC=4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A /B /C /的位置，且A 、C 、B /三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为( ) A.43cm B.8cm C.163cm π D.83cm π第3题图 第4题图 第5题图4.如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转600，此时点B 到了点B /，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3πB.6πC.5πD.4π 5.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC 是底面圆的直径,高BC=6cm,点P 是母线BC 上一点,且PC=BC 32．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A.(64π+)cm B.5cm C.35cm D.7cm 6.如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=32，AB=3，弦BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A.33π B.32π C.π D.32π第6题图 第7题图 第8题图 第9题图7.如图,同心圆中，两圆半径分别为2、1,∠AOB=1200，则阴影部分的面积（ ）．A.πB.34π C.2π D.4π 8.如图,在△ABC 中090=∠BAC ,AB=AC=2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为（ ）．A.1B.2C.41π+D.42π-9.如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）．A.πB.π5.1C.π2D.π5.210.如图,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为1200，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．A.2πcm 100B.2πcm 3400C.2πcm 800D.2πcm 3800第10题图 第11题图 第12题图 第13题图11.如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB 、CD 过圆心O ，且AB ⊥CD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4πB.2πC.πD.2π 12.如图，△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( )． A.9π4- B.9π84- C.94π8- D.98π8- 13.如图,两个半圆,大半圆中长为16cm 的弦AB 平行于直径CD,且与小半圆相切,则图中阴影部分的面积为（ ）A.234cm πB.2128cm πC.232cm πD.216cm π 14.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 15.边长为6cm 的正三角形的半径是_________cm,边心距是_________cm ,面积是_________cm.16.正多边形的一个中心角为360,那么这个正多边形的一个内角等于________度.17.同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是_________.18.正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是_________cm.19.同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是_________.20.半径为8cm 的圆中，720的圆心角所对的弧长为_________；弧长为8cm 的圆心角约为_________．21.已知⊙O 的半径OA=6，∠AOB=900，则∠AOB 所对的弧AB 的长为 .22.圆心角为1200的扇形的弧长为20π，它的面积为 .23.已知弓形的弧所对的圆心角为600，弓形的弦长为6，则这个弓形面积是 。
九年级数学与圆有关的计算(含答案)
与圆有关的计算中考要求内容 基本要求略高要求较高要求弧长 了解圆与圆的位置关系 会计算弧长 圆锥 会求圆锥的侧面积和全面积重难点1．理解直线与圆的位置关系；2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．课前预习美丽的扇形这是一张美丽的扇形画，你会计算它的面积吗？例题精讲模块一 与圆有关的计算 与圆有关的面积和长度计算：设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，弧长公式：π180n Rl =扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长．面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法☞求弧长【例1】 （2020•珠海）圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为（ ）A ．B ．πC ．D ．3π【难度】1星【解析】弧长公式：l =180n Rπ⋅⋅进行计算即可． 【答案】∵圆心角为60°，且半径为3，∴弧长=603180π⋅⋅=π．故选B ．【点评】本题考查了弧长公式：l =180n Rπ⋅⋅，其中n 为弧所对的圆心角的度数，R 为圆的半径．【巩固】（2020•綦江县）如图，PA ．PB 是O 的切线，切点是A B 、，已知60P ∠=︒，3OA =，那么AOB ∠所对弧的长度为（ ）PBAOA ．6πB ．5πC ．3πD ．2π【难度】2星【分析】由于PA ．PB 是O 的切线，由此得到90OAP OBP ∠=∠=︒，而60P ∠=︒，然后利用四边形的内角和即可求出AOB ∠然后利用已知条件和弧长公式即可求出AOB ∠所对弧的长度．【答案】∵PA ．PB 是O 的切线，∴OAP ∠90OBP =∠=︒， 而60P ∠=︒， ∴120AOB ∠=︒，AOB ∠所对弧的长度=12032180ππ⋅⋅=．故选D ．【点评】此题主要考查了弧长的计算问题，也利用了切线的性质和四边形的内角和，题目简单．【巩固】（2011•安徽）如图，⊙半径是1，A B C 、、是圆周上的三点，36BAC ∠=︒，则劣弧BC 的长是（ ）CBOAA ．B ．C ．D ．【难度】2星【解析】连OB ，OC ，根据圆周角定理得到272BOC BAC ∠=∠=︒，然后根据弧长公式计算劣弧BC 的长．CBOA【答案】连OB ，OC ，如图，∵36BAC ∠=︒，∴272BOC BAC ∠=∠=︒，∴劣弧BC 的长=72121805ππ⋅⋅=．故选B ．【拓展】（2011•烟台）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线1234567FK K K K K K K ……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A B C D E F ，，，，，循环，其弧长分别记为123456l l l l l l ，，，，，，…．当1AB =时，2011l 等于（ ） K 7K 6K 5K 4K 3K 2K 1FE D CB AA ．B ．C ．D ．【难度】3星【解析】利用弧长公式，分别计算出123L L L ，，……的长，寻找其中的规律，确定2011L 的长． 【答案】1L =601180π⋅23π=260221803L ππ⋅==360331803L ππ⋅== 460441803L ππ⋅==按照这种规律可以得到：3n n L π= ∴201120113L π=．故选B ．【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出2011L L 2011的长．【例2】 （2010•肇庆）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在圆的半径是 cm ． 【难度】1星【解析】由弧长公式：180n Rl π⋅⋅=计算．【答案】由题意得：圆的半径51802R π=⋅()756π÷=cm ． 故本题答案为：6．【点评】本题考查了弧长公式．【巩固】（2010•梧州）120︒的圆心角所对的弧长是12πcm ，则此弧所在的圆的半径是 cm ． 【难度】1星【解析】根据弧长公式180n R l π⋅⋅=得180lR n π=．【答案】根据弧长公式，得180l R n π=1801218120ππ⨯=（cm ）【点评】此题主要是考查了弧长公式．【例3】 （2009•潍坊）如图，已知Rt ABC △中，90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒，AB =，将ABC △绕顶点C 顺时针旋转至A B C '''△的位置，且'A B C 、、三点在同一条直线上，则点A 过的最短路线的长度是（ ）cm ．B'A'CBAA ．8 B． C ．323πD ．83π【难度】2星【解析】点A 经过的最短路线的长度是一段弧长，圆心是C ，半径是AC ，旋转的度数是120度，由特殊三角函数可求得AC =4，所以根据弧长公式可得．【答案】弧长=120481803ππ⨯=． 故选D ．【点评】本题的关键是找准圆心角和半径求弧长．【巩固】（2010•枣庄）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4BC cm =，3AC cm =．把ABC △绕点A 顺时针旋转90︒后，得到11AB C △，如图所示，则点B 所走过的路径长为（ ）A ．52B ．54πcmC ．52πcmD ．5πcm【难度】2星【解析】根据勾股定理可将AB 的长求出，点B 所经过的路程是以点A 为圆心，以AB 的长为半径，圆心角为60°的扇形． 【答案】在Rt ABC △中，2222435AB BC AC =+=+=，2259053603602Rn AB πππ⨯⨯===cm故点B 所经过的路程为52cm π．故选C ．【点评】本题的主要是将点B 所走的路程转化为求弧长，使问题简化．【例4】 （2019•黔南州）如图，把Rt ABC △的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A B C ''''''△的位置．若13BC AC ==，，则顶点A 运动到点A ''的位置时，点A 两次运动所经过的路程．（计算结果不取近似值）【难度】3星【解析】根据题意得到直角三角形在直线l 上转动两次点A 分别绕点B 旋转60°和绕C 旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．【答案】在Rt ABC △中，∵13BC AC ==，∴260AB CBA =∠=︒，，∴120241803AA ππ⨯'==，9033A A π⨯'''== ∴点A 经过的路线的长是433π．【点评】本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A 是以那一点为圆心转动多大的角度．【巩固】矩形ABCD 的边86AB AD ==，，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时(如图所示)，则顶点A 所经过的路线长是_________．【难度】2星 【解析】12π解决此题目需要画出A 点在旋转过程中，每次旋转的路线，找到每次的旋转中心，旋转角和旋转半径，从而利用弧长公式计算出走过的弧长，最后做加和即可．【答案】12π【拓展】（2011•桂林）如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）A ．423a π+ B ．843a π+ C ．43a π+ D ．423a π+ 【难度】3星【解析】连15A A ，14A A ，13A A ，作615A C A A ⊥，利用正六边形的性质分别计算出142A A a =，15133A A A A a ==，而当1A 第一次滚动到图2位置时，顶点1A 所经过的路径分别是以65432A A A A A ，，，，为圆心，以323a a a a a ，，，，为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．【答案】连151413A A A A A A ，，，作615A C A A ⊥，如图，∵六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6为正六边形，∴142A A a =，165120A A A ∠=︒， ∴1630CA A ∠=︒， ∴61132A C a AC ==，， ∴15133A A A A a ==，当1A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径分别是以65432A A A A A ，，，，为圆心，以323a a a a a ，，，，为半径，圆心角都为60°的五条弧，∴顶点A 1所经过的路径的长=6060360260360180180180a a a a πππππ⨯⨯⨯⨯⨯+++423a +．故选A ．【点评】本题考查了弧长公式；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．☞求面积【例5】 （2011•江津区）如图，点A B C 、、在直径为的O 上，45BAC ∠=︒，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果中保留π）．【难度】2星【解析】首先连接OB ，OC ，即可求得90BOC ∠=︒，然后求得扇形OBC 的面积与OBC △的面积，求其差即是图中阴影部分的面积．【答案】连接OB OC ，， ∵45BAC ∠=︒， ∴90BOC ∠=︒，∵O的直径为，∴BO CO =，∴290313360422OBC OBC SS ππ⨯===扇形，△∴33=42OBC OBC S S S π-=-阴影扇形△ 【点评】此题考查了圆周角的性质，扇形的面积与直角三角形面积得求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【巩固】（2020•达州）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且2AC =，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值）．B【解析】用三角形ABC 的面积减去扇形EAD 和扇形FBD 的面积，即可得出阴影部分的面积．【答案】∵902BC AC C AC =∠=︒=，，，∴AB =，∵点D 为AB 的中点，∴AD BD =∴=ABC FBD S S S -阴影扇形△24512222360π=⨯⨯-⨯22π=-故答案为：22π-．【点评】本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：2360n r s π=．【巩固】（2010•江汉区）如图，等腰Rt ABC △的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点1C ，11C B AB ⊥于点1B ，设弧1BC ，11C B ，1B B 围成的阴影部分的面积为1S ，然后以A 为圆心，1AB 为半径作弧22B C ，交斜边AC 于点2C ，22C B AB ⊥于点2B ，设弧122221B C C B B B ，，围成的阴影部分的面积为2S ，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积3S = ．32B 1BA【难度】3星【解析】每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积． 此题的关键是求得23AB AB 、的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【答案】根据题意，得14AC AB ==．∴21AC AB == ∴322AC AB ==．∴3AB =∴阴影部分的面积345412136022S ππ⨯-⨯=-． 【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．【例6】 (09河南)如图，，圆心角等于45︒的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D E 、在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为____________．【难度】3星【解析】连结OF ，由勾股定理可计算得正方形CDEF 的边长为1，则正方形CDEF 的面积为1，等腰直角三角形COD 的面积为12，扇形AOB 的面积为()215588π⋅=π， 所以阴影部分的面积为5382π-．【答案】5382π-【巩固】将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90BCA ∠=°，4cm 30AB BAC ︒=∠=，，则图中阴影部分面积为 cm 2A'C'A【难度】3星 【解析】3π此题需要把BC 所在的圆补充完整，设它与线段AB 的交点为D ，与'A B 的交点为E ．从而看出整个阴影部分可以割补成扇形'ABA 的面积-扇形BDE 的面积．即221(42)34ππ-=．【答案】3π☞与圆锥有关的计算【例7】 （2011•漳州）如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm ，母线长为15cm ，那么纸杯的侧面积为 cm 2．（结果保留π）【难度】2星【解析】纸杯的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可． 【答案】纸杯的侧面积为π×5×15=75πcm2．故答案为75π．【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥侧面积的计算公式是解决本题的关键．【巩固】（2010•扬州）一个圆锥的底面半径为4cm ，将侧面展开后所得扇形的半径为5cm ，那么这个圆锥的侧面积等于 cm 2（结果保留π）．【难度】1星【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【答案】圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm 2． 【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．【巩固】（2011•铜仁地区）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO =8米，底面半径OB =6米，则圆锥的侧面积是 平方米（结果保留π）．B【难度】2星【解析】根据勾股定理求得BO ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法12S lr =，求得答案即可．【答案】∵8AO =米，6OB =米，∴10AB =米，∴圆锥的底面周长=2612ππ⨯⨯=米，∴11=12106022S lr ππ=⨯⨯=扇形（平方米）故答案为：60π．【点评】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【巩固】（2011•宜宾）一个圆锥形零件的母线长为4，底面半径为1．则这个圆锥形零件的全面积是 ． 【难度】2星【解析】利用圆锥的地面半径求得圆锥的底面积加上圆锥的侧面积即可得到圆锥的全面积． 【答案】∵底面半径为1．∴圆锥的底面面积为π， 侧面积为πrl=π×1×4=4π， ∴全面积为π+4π=5π， ∴全面积为5π． 故答案为：5π．【点评】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．【例8】 （2010•锦州）将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是则圆锥的侧面积是 ．【难度】2星【解析】由于圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，故可得到底面半径是3，母线长是6，底面圆周长是6π，再由圆锥的侧面积公式计算．【答案】∵圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，∴底面半径是3，母线长是6， ∴底面圆周长是6π，∴圆锥的侧面积是166182ππ⨯⨯=．故本题答案为：18π．【点评】本题解决的关键就是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥的关系．【巩固】（2011•广西）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ．【难度】2星【解析】运用公式s=πlr （其中勾股定理求解得到得母线长l 为5）求解． 【答案】由已知得，母线长l=5，半径r 为4，∴圆锥的侧面积是5420s lr πππ==⨯⨯=． 故答案为20π．【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解．【例9】 （2011•宿迁）如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是 cm ．【难度】2星【解析】首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径即可．【答案】∵把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，∴扇形的弧长为：1283r ππ⨯=∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴2πr=8π， 解得：r=4cm ， 故答案为：4【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【巩固】（2011•哈尔滨）若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6π的扇形，则这个圆锥的底面半经是 ． 【难度】2星【解析】利用底面周长=展开图的弧长可得． 【答案】16π=2πr解得r=8． 故答案为：8．【点评】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后求值．【巩固】（2011•本溪）若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长 ．【难度】2星【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图．根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底面圆的周长．【答案】设这个圆锥的底面半径是R ，则有122120180R ππ=⨯解得：R=4． 故答案为：4．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【例10】 （2011•鸡西）将一个半径为6cm ，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．【难度】2星【解析】根据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数． 【答案】∵将一个半径为6cm ，母线长为15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，∴扇形面积为21590360n ππ⨯=，解得：144n =，∴侧面展开图的圆心角是144︒． 故答案为：144．【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键．【巩固】（2010•襄阳）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是 度．【难度】2星【解析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．【答案】设母线长为R ，底面半径为r ，∴底面周长=2πr ，底面面积=πr2，侧面面积=πrR ， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴R=2r ，设圆心角为n ，有2180n Rr R πππ==，∴n=180°．【点评】本题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．【巩固】（2010•红河州）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为 度． 【难度】2星【解析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的扇形的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．【答案】圆锥的底面周长=4π，∴=4π，解得n=120°．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．【巩固】（2010•哈尔滨）将一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．【难度】2星【解析】易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角度数．【答案】圆锥的底面周长=2π×5=10π，∴=10π，∴n=150°．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．【例11】 （2011•攀枝花）用半径为9cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为 cm ． 【难度】2星【解析】已知半径为9 cm ，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．【答案】扇形弧长为：L=1209180π⨯=6πcm ， 设圆锥底面半径为r ，则：2πr=6π，所以，r=3cm ，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边， 设圆锥高为h ，所以2229h r +=，即：2h =72，h=62， 所以圆锥的高为 2．故答案为：62．【点评】考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【巩固】（2010•盐城）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 ． 【难度】2星【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．【答案】设圆锥的母线长为R ，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，∴圆锥的高2253-．【点评】用到的知识点为：圆锥侧面积的求法；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．【巩固】（2011•内江）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°．则圆锥的母线是 ．【难度】2星【解析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解． 【答案】将l=20π，α=120代入扇形弧长公式l=中，得20π=，解得r=30． 故答案为：30．【点评】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．课堂检测1.如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为( ) A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcm D ．2.5πcm1A 2A【难度】3星【解析】A 点走过的路径长 要归结到A 点在两次旋转过程中所走过的路线．A →A 1可看做是A 点绕着点B顺时针旋转90︒得到，此段弧长即为半径为5cm 的圆周长的14，而A 1→A 2的路线可看做是A 1点绕着点C 顺时针旋转60︒得到，此时弧长即为半径为3cm 的圆周长的16．两段弧长加在一起即为本题最终答案．【答案】B2. 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，6BC =，点D 为BC 中点，将ABD △绕点A 按逆时针方向旋转120得到AB D ''△，则点D 在旋转过程中所经过的路程为 ．(结果保留π)【难度】3星【解析】根据题意在图中标注已知条件，点D 在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧．这条弧所在的圆的半径为AD =12BC =3，圆心角=旋转度数=120︒，带入公式180nl R π=，即可得出结果2π．【答案】2π3. 一个扇形所在圆的半径为3cm ，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是 cm 2． 【难度】2星B ADD 'B '【解析】此题考查的是扇形面积公式2360n RS π=︒，其中n=120°，半径=3cm ，带入求值即可． 【答案】3π课后作业1.如图7，在Rt ABC ∆中，9042C AC BC ∠=︒==，，分别以AC BC ，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留π)【难度】2星【解析】观察图形可知：图中阴影部分面积可分隔成两部分求解．设C 点到AB 的距离为CD ，第一部分：半圆AC 的面积-ACD S ∆，第二部分：半圆BC 的面积-BCD S ∆，最后两部分求和即可． 【答案】542π-2.如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积于 。
人教版九年级上册与圆有关的计算讲与练(含答案)
与圆有关的计算一、中考考点透视：本章包括弧长、扇形的面积以及圆锥、圆柱的侧面积计算等内容.利用上述公式解决生活中实际应用性问题是本章的重点内容.二、应考策略： 随着新课程标准对圆的证明要求的降低，圆的有关计算逐步成为近年中考的热点问题，而且这些问题与现实生活接触的越来越紧密.中考中此类问题既有低档的填空、选择题，又有中档的解答题，分值约在5-10分左右.复习中我们首先要记准弧长公式、扇形的面积公式以及圆锥的侧面面积的计算方法.其次就是加强对这些公式在生活实际中的应用性问题的训练.三、典例借鉴与剖析：例1.如图1，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A .3cmB .4cmC .21cmD .62cm 分析：首先搞清楚圆形纸片的半径和圆锥的母线是相等的，其次可求出圆形纸片阴影部分的弧长为4πcm =圆锥底面圆的周长,可求出半径为r =2cm ，再根据勾股定理求出圆锥的高为21cm .解；本题选C .点拨:对于此类题目主要搞清楚扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥地面圆的周长.记住扇形的弧长公式即可很好的解决.例2.如图2，水平地面上有一面积为230cm π的扇形AOB ，半径OA =6cm ，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）A ．20cmB .24cmC .10cm πD .30cm π分析:观察开始的扇形和最终的扇形O 点发生的变化，O 点移动的距离就是AB 的长度即扇形的弧长。
解：本题选C 。
点拨：本题表面上是扇形滚动过程中圆心移动的距离，但实质上是求扇形的弧长，无论对于什么问题一定要抓住其本质,提高我们的数学水平。
例3.小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图3-1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图3），其中顶部圆弧的圆心在竖直边缘上，另一条圆弧的AB 1O AD BC 圆心在水平边缘的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm ）解决下2O DC 面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，取3.1416）.π（1）计算出弧所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧的长度（精确到0.1cm ）；ABAB 40%5=R 图160%图2（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到1cm 2）；（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？分析;(1)求弧AB 的长度关键是找到圆心O 1的位置和圆心角；（2）遮雨罩一个侧面的面积等于扇形的面积+梯形1O AB 的面积－扇形的面积；（3）总面积包括三部分。
九年级数学：与圆有关的计算讲与练(含答案)
与圆有关的计算一、中考考点透视：本章包括弧长、扇形的面积以及圆锥、圆柱的侧面积计算等内容.利用上述公式解决生活中实际应用性问题是本章的重点内容. 二、应考策略：随着新课程标准对圆的证明要求的降低，圆的有关计算逐步成为近年中考的热点问题，而且这些问题与现实生活接触的越来越紧密.中考中此类问题既有低档的填空、选择题，又有中档的解答题，分值约在5-10分左右.复习中我们首先要记准弧长公式、扇形的面积公式以及圆锥的侧面面积的计算方法.其次就是加强对这些公式在生活实际中的应用性问题的训练. 三、典例借鉴与剖析：例1.如图1，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A .3B .4C .D . 分析：首先搞清楚圆形纸片的半径和圆锥的母线是相等的，其次可求出圆形纸片阴影部分的弧长为4πcm =圆锥底面圆的周长,可求出半径为r =2cm ，再根据勾股定理求出圆锥的高为cm . 解；本题选C .点拨:对于此类题目主要搞清楚扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥地面圆的周长.记住扇形的弧长公式即可很好的解决.例2.如图2，水平地面上有一面积为的扇形AOB ，半径OA =，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）A ．B .C .D . 分析:观察开始的扇形和最终的扇形O 点发生的变化，O 点移动的距离就是AB 的长度即扇形的弧长。
解：本题选C 。
点拨：本题表面上是扇形滚动过程中圆心移动的距离，但实质上是求扇形的弧长，无论对于什么问题一定要抓住其本质,提高我们的数学水平。
例3.小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图3-1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图3），其中顶部圆弧AB 的圆心1O 在竖直边缘AD 上，另一条圆弧BC 的圆心2O 在水平边缘DC 的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm ）解决下面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）.（1）计算出弧AB 所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB 的长度（精确到0.1cm ）；cm cm cm 21cm 62cm 21230cm π6cm 20cm 24cm 10cm π30cm π40%图160%图2（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到1cm 2）；（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？分析;(1)求弧AB 的长度关键是找到圆心O 1的位置和圆心角；（2）遮雨罩一个侧面的面积等于扇形1O AB 的面积+梯形12O BO D 的面积－扇形2O BC 的面积；（3）总面积包括三部分。
人教版九年级数学上册试题 第二十四章圆课堂练习题及答案(含知识点)
第二十四章圆多套题附答案测试1 圆学习要求理解圆的有关概念，掌握圆和弧的表示方法，掌握同圆的半径相等这一性质．课堂学习检测一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．综合、运用、诊断10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．11．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．拓广、探究、思考12．已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过A，B，C三点的⊙O．测试2 垂直于弦的直径学习要求1．理解圆是轴对称图形．2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论．课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．5题图6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．6题图7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．7题图8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD 的距离是______．8题图9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．9题图10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10题图综合、运用、诊断11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．12．已知：如图，试用尺规将它四等分．13．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．14．已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为2，3，求∠BAC的度数．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．拓广、探究、思考16．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD 上求作一点P ，使得AP ＋PB 最短；(2)若CD =4cm ，求AP ＋PB 的最小值．X|k |b| 1 . c|o |m17．如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m ，宽3m ，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?测试3 弧、弦、圆心角学习要求1．理解圆心角的概念．2．掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．课堂学习检测一、基础知识填空1．______________的______________叫做圆心角．2．如图，若长为⊙O 周长的nm ，则∠AOB =____________．3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么______________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．二、解答题5．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．综合、运用、诊断6．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．7．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．拓广、探究、思考8．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定9．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．10．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．测试4 圆周角学习要求1．理解圆周角的概念．2．掌握圆周角定理及其推论．3．理解圆内接四边形的性质，探究四点不共圆的性质．课堂学习检测一、基础知识填空1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．5题图6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．6题图7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．7题图二、选择题8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．10题图A．64°B．48°C．32°D．76°11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．A．70°B．90°C．110°D．120°综合、运用、诊断14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．拓广、探究、思考18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．测试5 点和圆的位置关系学习要求1．能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系．2．能过不在同一直线上的三点作圆，理解三角形的外心概念．3．初步了解反证法，学习如何用反证法进行证明．课堂学习检测一、基础知识填空1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有d>r⇔点P在⊙O______；d=r⇔点P在⊙O______；d<r⇔点P在⊙O______．2．平面内，经过已知点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________ _______________．3．平面内，经过已知两点A，B的圆的圆心P点在______________________________________ ____________________．4．______________________________________________确定一个圆．5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点．6．锐角三角形的外心在三角形的___________部，钝角三角形的外心在三角形的__________ ___部，直角三角形的外心在________________．7．若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．8．若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．9．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．10．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．二、解答题11．已知：如图，△ABC．作法：求件△ABC的外接圆O．综合、运用、诊断一、选择题12．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆13．下列说法正确的是( )．A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形的中心C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上14．下列说法不正确的是( )．A．任何一个三角形都有外接圆B．等边三角形的外心是这个三角形的中心C．直角三角形的外心是其斜边的中点D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部15．正三角形的外接圆的半径和高的比为( )．A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3 16．已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2－2x ＋d =0有实根，则点P ( )．A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 的内部二、解答题17．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的⊙O ，试确定点A (－2，－3)，B (4，－2)，)2,32(-C 与⊙O 的位置关系．18．在直线123-=x y 上是否存在一点P ，使得以P 点为圆心的圆经过已知两点A (－3，2)，B (1，2)．若存在，求出P 点的坐标，并作图．测试6 自我检测(一)一、选择题1．如图，△ABC 内接于⊙O ，若AC =BC ，弦CD 平分∠ACB ，则下列结论中，正确的个数是( )．1题图①CD 是⊙O 的直径 ②CD 平分弦AB ③CD ⊥AB④＝ ⑤＝A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，若AB =10cm ，CE ∶ED =1∶5，则⊙O 的半径是( )．2题图A ．cm 25B ．cm 34C ．cm 53D ．cm 623．如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，若弦CD=8cm，则点A、B到直线CD的距离之和为( )．3题图A．12cm B．8cm C．6cm D.4cm4．△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，若∠A=50°，则∠BOD等于( )．A．30°B．25°C．50°D．100°5．有四个命题，其中正确的命题是( )．①经过三点一定可以作一个圆②任意一个三角形有且只有一个外接圆③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦A．①、②、③、④B．①、②、③C．②、③、④D．②、③6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6，则∠D等于( )．A．67.5°B．135°C．112.5° D.45°二、填空题7．如图，AC是⊙O的直径，∠1=46°，∠2=28°，则∠BCD=______．7题图8．如图，AB是⊙O的直径，若∠C=58°，则∠D=______．8题图9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，若BD=10cm，则AB=______，∠BCD=______．9题图10．若△ABC 内接于⊙O ，OC =6cm ，cm 36 AC ，则∠B 等于______．三、解答题11．已知：如图，⊙O 中，AB =AC ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ．求证：∠ODE =∠OED ．12．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥BC 于D ，AC =8cm ，求OD 的长．13．已知：如图，点D 的坐标为(0，6)，过原点O ，D 点的圆交x 轴的正半轴于A 点．圆周角∠OCA =30°，求A 点的坐标．14．已知：如图，试用尺规作图确定这个圆的圆心．15．已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点．求∠CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形(图中阴影部分)的面积S．测试7 直线和圆的位置关系(一)学习要求1．理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，掌握它们的判定方法．2．掌握切线的性质和切线的判定，能正确作圆的切线．课堂学习检测一、基础知识填空1．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有______种，它们分别是____________ __________________．2．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________．这个公共点叫做_________．直线和圆____________时，叫做直线和圆相离．3．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________⇔直线l和圆O相离；_________⇔直线l和圆O相切；_________⇔直线l和圆O相交．4．圆的切线的性质定理是__________________________________________．5．圆的切线的判定定理是__________________________________________．6．已知直线l及其上一点A，则与直线l相切于A点的圆的圆心P在__________________ __________________________________________________________________．二、解答题7．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?8．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．9．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE 与⊙O的位置关系，并证明你的结论．综合、运用、诊断10．已知：如图，割线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．11．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．12．已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，.21BC AD 以△ABC 的中位线为直径作半圆O ，试确定BC 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．13．已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．14．已知：如图，以△ABC 的一边BC 为直径作半圆，交AB 于E ，过E 点作半圆O 的切线恰与AC 垂直，试确定边BC 与AC 的大小关系，并证明你的结论．15．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．X|k |b| 1 . c|o |m拓广、探究、思考16．已知：如图，P A切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．P A=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．测试8 直线和圆的位置关系(二)学习要求1．掌握圆的切线的性质及判定定理．2．理解切线长的概念，掌握由圆外一点引圆的切线的性质．3．理解三角形的内切圆及内心的概念，会作三角形的内切圆．课堂学习检测一、基础知识填空1．经过圆外一点作圆的切线，______________________________叫做这点到圆的切线长．2．从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________平分____________．3．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到__________________相等．4．__________________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____________，叫做三角形的____________．5．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a=______．6．设O为△ABC的内心，若∠A=52°，则∠BOC=____________．二、解答题7．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD；(2)DE=BC．8．已知：如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．9．已知：如图，△AB C．求作：△ABC的内切圆⊙O．10．已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．综合、运用、诊断11．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．12．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．13．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．测试9 自我检测(二)一、选择题1．已知：如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB =65°，则∠APB 等于( )．1题图A ．65°B ．50°C ．45°D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则( )．2题图 A ．∠A =90°－αB ．∠A = αC ．∠ABD = α D ．∠α2190o -=ABD 3．如图，△ABC 中，∠A =60°，BC =6，它的周长为16．若⊙O 与BC ，AC ，AB 三边分别切于E ，F ，D 点，则DF 的长为( )．3题图A ．2B ．3C ．4D ．6 4．下面图形中，一定有内切圆的是( )．A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形 5．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )．A ．3:2:1B ．3:2:1C ．2:3:1D ．1∶2∶3二、解答题6．已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 切DC边于E 点，AD =3cm ，BC =5cm ．求⊙O 的面积．7．已知：如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且=，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．8．已知：如图，P A，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．10．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．11．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙O 于D ．(1)求证：AT 平分∠BAC ；(2)若,3,2==TC AD 求⊙O 的半径．测试10 圆和圆的位置关系学习要求1．理解两个圆相离、相切(外切和内切)、相交、内含的概念，能利用两圆的圆心距d 与两个圆的半径r 1和r 2之间的关系，讨论两圆的位置关系．2．对两圆相交或相切时的性质有所了解．课堂学习检测一、基础知识填空1．没有______的两个圆叫做这两个圆相离．当两个圆相离时，如果其中一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆外离；如果其中有一个圆在另一个圆的______，叫做这两个圆内含．2．____________的两个圆叫做这两个圆相切．这个公共点叫做______．当两个圆相切时，如果其中的一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆外切；如果其中有一个圆(除切点外)在另一个圆的______，叫做这两个圆内切．3．______的两个圆叫做这两个圆相交，这两个公共点叫做这两个圆的______以这两个公共点为端点的线段叫做两圆的______．4．设d 是⊙O 1与⊙O 2的圆心距，r 1，r 2(r 1>r 2)分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，则⊙O 1与⊙O 2外离⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2外切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2相交⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内切⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2内含⇔d ________________________；⊙O 1与⊙O 2为同心圆⇔d ____________________．二、选择题5．若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )．A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm6．若相交两圆的半径分别是17+和17-，则这两个圆的圆心距可取的整数值的个数是( )．A.1B.2 C ．3D ．4综合、运用、诊断 一、填空题7．如图，在12×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位)，⊙A 的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移______个单位．7题图8．相交两圆的半径分别是为6cm 和8cm ，请你写出一个符合条件的圆心距为______cm ．二．解答题 9．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点．求证：直线O 1O 2垂直平分AB ．9题图10．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．11．已知：如图，两圆相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于D ，F 点，过B 点的割线分别交两圆于H ，E 点．求证：HD ∥EF ．12．已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．拓广、探究、思考13．如图，工地放置的三根外径是1m 的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离．14．已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，圆心O 1在⊙O 2上，过B 点作两圆的割线CD ，射线DO 1交AC 于E 点．求证：DE ⊥AC ．15．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于C，D，弦CE∥DB，连结EB，试判断EB与⊙O2的位置关系，并证明你的结论．16．如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)．(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2)问点A出发多少秒时两圆相切?测试11 正多边形和圆学习要求1．能通过把一个圆n(n≥3)等分，得到圆的内接正n边形及外切正n边形．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距的概念，并能进行简单的计算．课堂学习检测一、基础知识填空1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．二、解答题9．在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．(1)正三角形 (2)正方形 (3)正五边形(4)正六边形 (5)正八边形 (6)正十二边形综合、运用、诊断一、选择题10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的( )．A ．3倍B ．5倍 C.4倍 D ．2倍11．已知正方形的周长为x ，它的外接圆半径为y ，则y 与x 的函数关系式是( )．A ．x y 42=B ．x y 82=C ．x y 21=D ．x y 22= 12．有一个长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是( )．A ．10cmB ．12cmC ．14cmD ．16cm二、解答题13．已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8内接于半径为R 的⊙O ．(1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O 的面积；(3)求此正八边形的面积S ．14．已知：如图，⊙O 的半径为R ，正方形ABCD ，A ′B ′C ′D 分别是⊙O 的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB ∶A ′B ′和面积比S 内∶S 外．拓广、探究、思考15．已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．测试12 弧长和扇形面积学习要求掌握弧长和扇形面积的计算公式，能计算由简单平面图形组合的图形的面积．课堂学习检测一、基础知识填空1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．3题图4．半径为8cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm的圆心角约为______(精确到1′)．5．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为2cm 3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为15πcm 2，则它的圆心角为______．6．若半径为6cm 的圆中，扇形面积为9πcm 2，则它的弧长为______． 二、选择题7．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为( )．7题图A ．π425 B ．π825 C ．π1625 D ．π32258．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．8题图A ．2πcm 100B ．2πcm 3400 C ．2πcm 800 D ．2πcm 3800 9．如图，△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则圆中阴影部分的面积是( )．A ．9π4-B ．9π84-C ．94π8-D ．98π8-综合、运用、诊断10．已知：如图，在边长为a 的正△ABC 中，分别以A ，B ，C 点为圆心，a 21长为半径作 ，，，求阴影部分的面积．11．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，,34=BC 以A 点为圆心，AC 长为半径作，求∠B 与围成的阴影部分的面积．拓广、探究、思考 12．已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C 交半圆O 2于D 点．试比较与的长．13．已知：如图，扇形OAB 和扇形OA ′B ′的圆心角相同，设AA ′＝BB ′＝d ．＝l 1，＝l 2． 求证：图中阴影部分的面积.)(2121d l l S +=测试13 圆锥的侧面积和全面积学习要求掌握圆锥的侧面积和全面积的计算公式．课堂学习检测一、基础知识填空1．以直角三角形的一条______所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做______．连结圆锥______和____________的线段叫做圆锥的母线，圆锥的顶点和底面圆心的距离是圆锥的______．2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是一个______．若设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为______，扇形的弧长为______，因此圆锥的侧面积为______，圆锥的全面积为______．3．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC＝3cm，以直线BC为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是______，这个圆锥的侧面积是______，圆锥的侧面展开图的圆心角是______．4．若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的周长是______，半径是______，圆锥的高是______，侧面积是______．二、选择题5．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面积为( )．A．2πcm2B．3πcm2C．6πcm2D．12πcm26．若圆锥的底面积为16πcm2，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角为( )．A．240°B．120°C．180°D．90°7．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为( )．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为( )．A．120°B．1 80°C．240°D. 300°综合、运用、诊断一、选择题9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R与r之间的关系是( )．A ．R =2rB ．r R 3C ．R =3rD ．R =4r10．如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )．A ．21B ．22C ．2D ．22二、解答题11．如图，矩形ABCD 中，AB =18cm ，AD =12cm ，以AB 上一点O 为圆心，OB 长为半径画恰与DC 边相切，交AD 于F 点，连结OF ．若将这个扇形OBF 围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S ．拓广、探究、思考12．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．求在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长．答案与提示第二十四章 圆测试11．平面，旋转一周，图形，圆心，半径，⊙O ，圆O ．2．圆，一中同长也．3．(1)半径长，同一个圆上，定点，定长，点．(2)圆心的位置，半径的长短，圆心，半径长．4．圆上的任意两点，线段，圆心，弦，最长．5．任意两点间，弧，圆弧AB ，弧AB ．6．任意一条直径，一条弧．7．大于半圆的弧，小于半圆的弧．8．等圆．9．(1)OA ，OB ，OC ；AB ，AC ，BC ，AC ；；及(2)40°，50°，90°．10．(1)提示：在△OAB 中，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ．同理可证∠OCD ＝∠ODC ．又 ∵ ∠AOC ＝∠OCD －∠A ，∠BOD ＝∠ODC －∠B ，∴ ∠AOC ＝∠BOD ．(2)提示：AC ＝BD ．可作OE ⊥CD 于E ，进行证明．11．提示：连结OD ．不难得出∠C ＝36°，∠AOC ＝54°．12．提示：可分别作线段AB 、BC 的垂直平分线．测试21．轴，经过圆心的任何一条直线，中心，该圆的圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3．弦，不是直径，垂直于，弦所对的两条弧．4．6． 5．8； 6．.120,36o 7．a 22，a 21 8．2． 9．.13 10．.13 11．.2412．提示：先将二等分(设分点为C )，再分别二等分和．13．提示：题目中的“问径几何”是求圆材的直径．答：材径二尺六寸．14．75°或15°．15．22cm 或8cm ．16．(1)作法：①作弦B B '⊥CD ．②连结B A '，交CD 于P 点，连结PB ．则P 点为所求，即使AP ＋PB 最短．(2)cm.3217．可以顺利通过．测试31．顶点在圆心，角．2．⋅⨯nm 360 3．它们所对应的其余各组量也分别相等 4．相等，这两条弦也相等． 5．提示：先证＝．6．EF ＝GH ．提示：分别作PM ⊥EF 于M ，PN ⊥GH 于N ．7．55°． 8．C ．9．＝3 ．提示：设∠COD ＝α，则∠OPD ＝2α，∠AOD ＝3α＝3∠BOC ．10．(1)作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线．(2)四边形CDEF 的面积是定值，96221)(21⨯=⋅⋅⋅=⋅+=CD CH CD DE CF S ＝54． 测试41．顶点，与圆相交． 2．该弧所对的，一半． 3．同弧或等弧，相等．4．半圆(或直径)，所对的弦． 5．72°，36°，72°，108°．6．90°，30°，60°，120°． 7．60°，120°．8．C ． 9．B ． 10．A ． 11．B ． 12．A ． 13．C ．14．提示：作⊙O 的直径A B '，连结C A '．不难得出A B '＝cm.3815．cm.3416．提示：连结AH ，可证得∠H ＝∠C ＝∠AFH ．17．提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC18．提示：延长AO 交⊙O 于N ，连结BN ，证∠BAN ＝∠DAC ．19．提示：连结MB ，证∠DMB ＝∠CMB ．测试51．外，上，内． 2．以A 点为圆心，半径为R 的圆A 上．3．连结A ，B 两点的线段垂直平分线上． 4．不在同一直线上的三个点．5．内接三角形，外接圆，外心，三边的垂直平分线．6．内，外，它的斜边中点处． 7．.4332R 8．.3π2a 9．26cm ． 10．20πcm ． 11．略． 12．C ． 13．D ． 14．D ． 15．B ． 16．D ．17．A 点在⊙O 内，B 点在⊙O 外，C 点在⊙O 上． 18．)25,1(--，作图略．测试61．D ． 2．C ． 3．C ． 4．C ． 5．D ． 6．C ． 7．72°．8．32°． 9．,cm 21045° 10．60°或120°． 11．提示：先证OD ＝OE ． 12．4cm ． 13．)0,32(A ，提示：连结AD ． 14．略．15．∠CAD ＝30°，.πcm 6)(π6122==AO S 提示：连结OC 、CD ． 测试71．三，相离、相切、相交．2．有两个公共点，圆的割线；有一个公共点，圆的切线，切点；没有公共点．3．d >r ；d ＝r ；d <r .4．圆的切线垂直于过切点的半径．5．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．。
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与圆有关的计算一、中考考点透视：本章包括弧长、扇形的面积以及圆锥、圆柱的侧面积计算等内容.利用上述公式解决生活中实际应用性问题是本章的重点内容. 二、应考策略：随着新课程标准对圆的证明要求的降低，圆的有关计算逐步成为近年中考的热点问题，而且这些问题与现实生活接触的越来越紧密.中考中此类问题既有低档的填空、选择题，又有中档的解答题，分值约在5-10分左右.复习中我们首先要记准弧长公式、扇形的面积公式以及圆锥的侧面面积的计算方法.其次就是加强对这些公式在生活实际中的应用性问题的训练. 三、典例借鉴与剖析：例1.如图1，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A .3B .4C .D .分析：首先搞清楚圆形纸片的半径和圆锥的母线是相等的，其次可求出圆形纸片阴影部分的弧长为4πcm =圆锥底面圆的周长,可求出半径为r =2cm ，再根据勾股定理求出圆锥的高为cm . 解；本题选C .点拨:对于此类题目主要搞清楚扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥地面圆的周长.记住扇形的弧长公式即可很好的解决.例2.如图2，水平地面上有一面积为的扇形AOB ，半径OA =，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）A ．B .C .D .分析:观察开始的扇形和最终的扇形O 点发生的变化，O 点移动的距离就是AB 的长度即扇形的弧长。
解：本题选C 。
点拨：本题表面上是扇形滚动过程中圆心移动的距离，但实质上是求扇形的弧长，无论对于什么问题一定要抓住其本质,提高我们的数学水平。
例3.小亮家窗户上的遮雨罩是一种玻璃钢制品，它的顶部是圆柱侧面的一部分（如图3-1），它的侧面边缘上有两条圆弧（如图3），其中顶部圆弧AB 的圆心1O 在竖直边缘AD 上，另一条圆弧BC 的圆心2O 在水平边缘DC 的延长线上，其圆心角为90°，请你根据所标示的尺寸（单位：cm ）解决下面的问题（玻璃钢材料的厚度忽略不计，π取3.1416）.（1）计算出弧AB 所对的圆心角的度数（精确到0.01度）及弧AB 的长度（精确到0.1cm ）；cm cm cm 21cm 62cm 21230cm π6cm 20cm 24cm 10cm π30cm π40%5=R图160%图2（2）计算出遮雨罩一个侧面的面积（精确到1cm 2）；（3）制做这个遮雨罩大约需要多少平方米的玻璃钢材料（精确到0.1平方米）？分析;(1)求弧AB 的长度关键是找到圆心O 1的位置和圆心角；（2）遮雨罩一个侧面的面积等于扇形1O AB 的面积+梯形12O BO D 的面积－扇形2O BC 的面积；（3）总面积包括三部分。
解：（1）易知6050BE AE ==，， 连接1O B ，设弧AB 的半径为R ．在1Rt O BE △中，由勾股定理得22260(50)R R =+-．解得61R =． 由160sin 61BE BO E R ∠==，得179.61BO E ∠≈． ∴弧AB 的长79.61π6184.8180=⨯⨯≈（cm ）． （2）扇形1O AB 的面积184.8612586.42=⨯⨯≈（cm 2）． 扇形2O BC 的面积21π40400π1256.64=⨯⨯=≈（cm 2）． 梯形12O BO D 的面积1(2940)6020702=⨯+⨯=（cm 2）． ∴遮雨罩一个侧面的面积=扇形1O AB 的面积+梯形12O BO D 的面积－扇形2O BC 的面积 2586.420701256.63400=+-≈（cm 2）（3）遮雨罩顶部的面积84.818015264=⨯=（cm 2）．∴遮雨罩的总面积340021526422064=⨯+=（cm 2） 2.2≈（cm 2） . 制做这个遮雨罩大约需要2.2平方米玻璃钢材料．点拨：本题背景来源于生活中的遮阳罩问题，背景具有现实的生活意义，题目需要求扇形的面积等问题，由于题目接近现实，数据上显得比较难于计算。
四、备战中考实战演练：基础巩固训练一、选择题1.如图4，小红要制作一个高为8cm ，底面圆直径是12cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．2.如图5，有一圆心角为120 o、半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）260πcm 248πcm 2120πcm 296πcm图3-2图3-1A ．24cmB ．35cmC ．62cmD ．32cm3.如图6，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm ，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．22cmB ．2cmC ．22cm D ．21cm4.如图7，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r ，扇形的半径为R ，扇形的圆心角等于90°，则r 与R 之间的关系是( ) A 、R ＝2r ； B、R =； C 、R ＝3r ； D 、R ＝4r ．5.如图8，圆锥形烟囱帽的底面直径为80cm ，母线长为50cm ，则这样的烟囱帽的侧面积是（ ）． A .4000πcm 2B .3600πcm 2C .2000πcm 2D .1000πcm 26.如图9所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，加一端栓着一只小羊R .那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是（ ） A ．．D ．7.如图，在Rt △AOB中，∠AOB =90°，OA =3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．C ．3+πD ．8﹣π8.如图11，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB AC ，夹角为120，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） A ．2100cm πB ．2400cm 3πC ．2800cm π D ．2800cm 3π 9.如图12，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．94π-B ．984π-C ．948π-D ．988π- 10.如图13，Rt ABC △中，90ACB ∠= ，30CAB ∠=，2BC =，O H，2213π227m 2213πm 2427π图13AH B OC 1O 1H 11C图5AOB图6图4图7图8图9图11DC图12分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120 到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A．7π3- B．4π3+ C ．πD．4π3二、填空题11.在半径为5的圆中，︒30的圆心角所对的弧长为_________(结果保留π) 12.如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，那么它的侧面积等于2cm ．13.制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm ，侧面母线长为6cm ，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为度．14.如图14，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm ，弧长是cm ，那么围成的圆锥的高度是cm ．15.如图15，在⊙O 中，60AOB ∠= ，3cm AB =，则劣弧AB的长为cm ． 16.．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图16所示，则需要塑料布（m 2）与半径（m ）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分）．17.某厂接到为汶川地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成．样式如图17所示，则赶制这样的帐篷3000顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）m 2．（参考数据： 2.2π 3.1≈≈，）18.如图18是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线()OEOF 长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为cm ．三、解答题19.如图19，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件．它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏去”一个与圆柱体等高的圆锥而得到的．其底面直径12cm AB =，高8cm BC =．求这个零件的表面积．（结果保留π）20.图20-1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图20-2是小明锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图．已知0.64BC =米，0.24AD =米， 1.30AB =米．（1）求AB 的倾斜角α的度数（精确到1）；（2）若测得0.85EN =米，试计算小明头顶由M 点运动到N 点的路径⌒ MN 的长度（精确到0.01米）6πy R OBA图145cm图16图25-15ＡＦＥＯ图18图20-2BCE DAM α N图20-1图1917答案一、1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7. D 8.D 9.B 10.C 二、11.π6512. 18π 13.210 14.4 15.π 16.17. 203670 18.412三、19.这个零件的底面积212π36π2⎛⎫=∙= ⎪⎝⎭，这个零件的侧面积12π896π=∙=，圆锥的母线长10OB ==，这个零件的内侧面积112π1060π2=∙∙=，所以这个零件的表面积为：236π96π60π192πcm ++=． 20.（1）过A 作AF DC ∥，分别交BC NE ，延长线于F H ，．如图1AD CD ⊥∵，BC CD ⊥，AD BC ∴∥．∴四边形AFCD 为矩形．0.4BF BC AD =-=∴．在Rt ABF △中， 0.40sin 1.30BF AB α==∵， 18α≈∴°．即AB 的倾斜角度数约为18°． （2）NE AF ⊥∵，901872AEH ∠=-=∴°°°．230ππy R R =+BC E DAM α NF H 图1180108 MEN AEH∠=-∠=∴°°．∴⌒MN的长108π0.851.60180⨯⨯=≈（米）．答：小明头顶运动的路径⌒MN的长约为1.60米．。