第二章 第三节 函数的单调性 课下作业

第二章 第三节 的单调性
1.(2009·12x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( )
A.f (x )＝1
x B.f (x )＝(x －1)2
C.f (x )＝e x
D.f (x )＝ln(x ＋1)
解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，
都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数.
答案：A
2.函数y ＝x 2＋b x ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是
( ) A.b ≥0 B.b ≤0 C. b ＞0 D. b ＜0 解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为单调函数
∴x ＝－2b
≤0，即b ≥0.
答案：A
3.讨论函数f (x )＝x ＋a
x (a >0)的单调性.
解：f (x )＝x ＋a
x (a >0)，
∵定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}且
f (－x )＝－x ＋a
－x ＝－(x ＋a
x )＝－f (x ).
∴f (x )为奇函数，
所以先讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性.
设x 1> x 2>0，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1a
x －x 2－2a x ＝(x 1－x 2)(1－12
a
x x )， ∵当0<x 2<x 1≤a 时，恒有12
a
x x >1.
则f (x 1)
－f (x 2)<0，故f (x )在(0，a ]上是减函数.
当x 1>x 2≥a 时，恒有0<12a
x x <1，
则f (x 1)－f (x 2)>0，故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数.
∵f (x )是奇函数，
∴f (x )在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数；
f (x )在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数.
4.如果函数f (a 的取值范围是
( )
A.[－3，＋∞)
B.(－∞，－3]
C.(－∞，5]
D.[3，＋∞)
解析：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，
∴f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3.
答案：B
5．函数y ＝12
log (4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( )
A ．(－∞，32]
B ．[32
，＋∞) C ．(－1，32) D ．[32
，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，
即函数y ＝12log (4＋3x －x 2)的定义域为(－1，4)，
又y ＝12
log t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32
，4)上递减， 所以函数y ＝12
log (4＋3x －x 2)在
[32
，4)上递增． 答案：D
6.已知函数f (x )＝1a - (a ≠1).
(1)若a ＞0，则f (x )的定义域是 ；
(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
解析：当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3
a ，即此时函数f (x )的定义域是(－∞，3a ]； (2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3.
当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0，
此时a ＜0.
综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3].
答案：(1)(－∞，3
a ] (2)(－∞，0)∪(1,3]
7.已知f (a ＝f (log 47)，b ＝f (12
log 3)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )
A.c <b <a
B.b <c <a
C.c >a >b
D.a <b <c
解析：由题意f (x )＝f (|x |).
∵log 47＝log 27>1，|12
log 3|＝log 23>1,0<0.20.6<1，
∴|12
log 3|>|log 47|>|0.20.6|.
又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数.∴c >a >b .
答案：C
8.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实
数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52
)的值是 ( ) A.0 B.12 C.1 D.52
解析：令x ＝－12，∴－12f (12)＝12f (－12)＝12f (12
) (∵f (－12)＝f (12))，∴f (12
)＝0. 令x ＝12，∴12f (32)＝32f (12)，∴f (32
)＝0. 令x ＝32，∴32f (52)＝52f (32)，∴f (52
)＝0. 答案：A
9.设奇函数f (x )在 [－1,1]上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是 .
解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，由已知易得f (x )的最大值是1，
∴1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，
设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立，
则g g ⎧⎨⎩(-1)≤0
(1)≤0⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.
答案：t ≤－2或t ＝0或t ≥2
10.(2010·海口模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2
)时，f (x )＝x ＋sin x ，则 ( )
A ．f (1)<f (2)<f (0)
B ．f (2)<f (0)<f (1)
C ．f (0)<f (2)<f (1)
D ．f (0)<f (1)<f (2)
解析：∵f (x )＝f (π－x )，∴f (2)＝f (π－2)．
∵f (x )＝x ＋sin x 在(－π2，π2
)是增函数 ∴f (x )＝x ＋sin x 在(π2，3π2
)是减函数，且π－2>1>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (0)， ∴f (2)>f (1)>f (0)．
答案：D
11. (2009·临沂模拟)已知函数f (x )＝22x x a
x ++，x ∈[1，＋∞).
(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；
(2)当a ＝12
时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值.
解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋
4x ＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是
增函数.
∴f (x )min ＝f (2)＝6.
(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数.
∴f (x )min ＝f (1)＝72
. (3)函数f (x )＝x ＋a x ＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数. 若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.
若a≤1，即0<a≤1时，
f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.
12.已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)＝1，
(1)求证：f(1)＝0；
(2)求f(1
16)；
(3)解不等式f(x)＋f(x－3)≤1.
解：(1)证明：令x＝4，y＝1，则f(4)＝f(4×1)＝f(4)＋f(1).∴f(1)＝0.
(2)f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(1)＝f(1
16×16)＝f(1
16)＋f(16)＝0，
故f(1
16)＝－2.
(3)设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f( x1
x2)＞0，
∴f(x1)＝f( x1
x2×x2 )＝f(
x1
x2)＋f(x2)＞f(x2).
∴f(x)为x∈(0，＋∞)上的增函数.
又∵f(x)＋f(x－3)＝f[x(x－3)]≤1＝f(4)，
∴
>6,
3>0,
3
x
x
x x
⎧
⎪
-
⎨
⎪-
⎩()≤4,
⇒3＜x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}.。