26.1.2_二次函数y=a(x-h)2图像和性质(3)
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26.1.2二次函数图像和性质00
演示
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
26.1.3二次函数y=a(x-h)2图像
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
增减性
在同一坐标系中观察 y 3x 2 和 y 3 x 1 的函数图象， 回答问题。
2
(1)函数y=3(x-1)2的图象 与y=3x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x 2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
1. 抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同, 开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0). 4.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象(3)
课后作业：教科书复习巩固第5,8题．
练习
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
x
及时小结
转化 数学问题 建 模
实际问题
确立坐标系 确定点坐标
利用性质 求出解析式
巩固练习
1．抛物线 y x 2 3 的顶点坐标是（ A ） A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
2
2.把抛物线 y x 向左平移1个单位，再向上平移 3个单位，平移后抛物线的解析式为（ D ） A. y ( x 1)2 3 B.y ( x 1)2 3 C. y ( x 1)2 3 D.y ( x 1)2 3
引入新知
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
解:
先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象 平移 沿 轴向 平移____ _个单位 得到的，k为正向 ，k为负向 .
y=a(xh)2的图象是由y=ax2的图 象沿___轴向 平移 个单位 得到的，h为正向_____，h为负 向_____.
课堂小结
这节课中， 你有哪些收获？ 解决问题的方法是什么？ 还有哪些疑惑？
二次函数y=a(x-h)2的图象
3、将抛物线y=ax2向右平移3个单位，且经过点 （1，4），求函数解析式。
7.抛物线y=3(x-8)2最小值
.
9.已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
为
x=-2
下
，对称轴
(-2,0) ，顶点坐标为________.
5、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式。
6、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ， 顶点是最 低 点， 当x= 抛物线与x轴的交点坐标 （3，0） ，与y轴 的交点坐标 （0，36）。
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 增大；在 ，在___
,对称轴 时，
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y= −2x2
侧，y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最大，最大值是
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
26.1.3
二次函数y=a(xh)2+k的图象
7.抛物线y=3(x-8)2最小值
.
9.已知二次函数y=8(x -2)2 当 时,y随x的增大而增大, 当 时，y随x的增大而减小.
1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴 对称后，所形成的二次函数的解析式为 。
为
x=-2
下
，对称轴
(-2,0) ，顶点坐标为________.
5、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但 开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物 线解析式。
6、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ， 顶点是最 低 点， 当x= 抛物线与x轴的交点坐标 （3，0） ，与y轴 的交点坐标 （0，36）。
x=0时,y最小=c
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 是 增大；在 ，在___
,对称轴 时，
侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y= −2x2
侧，y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最大，最大值是
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
3、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
26.1.3
二次函数y=a(xh)2+k的图象
九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
二次函数y=a(x-h)2的图象及性质
• 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度 不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要 加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x 变大了，要使y不变，则需要x 减。）
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致;
当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
(1) y=5x2 向上，y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6)
(4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
探究
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1 x 1 的2 开口向下，对称轴是
2
经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12 的开
2 口向______下___，对称轴是_直线_______x__=__1____，顶点是
（2）对称轴： 对称轴直线x=h;
（3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性：
当a＞0时，对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小，
对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大，
对称轴右侧y随x增大而减小。 （5）最值
• 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致;
当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
(1) y=5x2 向上，y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6)
(4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
探究
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1 x 1 的2 开口向下，对称轴是
2
经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住直线
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12 的开
2 口向______下___，对称轴是_直线_______x__=__1____，顶点是
（2）对称轴： 对称轴直线x=h;
（3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性：
当a＞0时，对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小，
对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大； 当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大，
对称轴右侧y随x增大而减小。 （5）最值
• 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
26.1.2二次函数的性质(1)
4
对称轴
3
2
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
自学展示：
1. 二次函数y＝x2的性质。 2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于___对称，因此， 抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于______ 对称， 开口大小______． 3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越__； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越 ___； 因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_____， 反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越_____
m2 2
自学检测:
1.函数y＝x2的图象开口向___，顶点是___，对称轴是 ____，当x＝____时，有最___值是___． m2 m 2.二次函数y＝mx 有最低点，则m＝____． 3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为____． 4.写出一个过点（1，2）的 函数表达式____． 5.如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2 比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接_______。
二次函数的图 象和性质（1）
学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物 线；
2.会画二次函数y＝ax2的图象； 3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并
会灵活应用．
自学指导（一）:
看课本4页的内容,完成下列问题: 1.画二次函数y＝x2的图象． 2.观察图象，口答下列问题：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫____． （2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝___，抛物线y＝x2开 口___． （3）自变量x的取值范围是___． （4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相 等，所描出的各对应点关于______对称，从而图象关于 ______对称． （5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物 线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛 物线的_____________． （6）抛物线y＝x2有____点（填“最高”或“最低”） ．
26.1.4二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
a<0,向下 X=0
(0,0)
y=ax² + k
a>0,向上 X=0
(0,k)
a<0,向下 X=0
(0,k)
y=a(xh)2
a>0,向上 X=h
(h,0)
a<0,向下 X=h
(h,0)
总结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
3．将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2 个单位后，得到的抛物线解析式为 ____________． 4．写出一个顶点是（5，0），形状 、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同 的 二 次 函 数 解 析 式 ___________________________
小结
(1) 抛物线 y a( x h) 的图象可由 y ax 的图象左右平
2
2
移得到, h 0,向右平移, h 0,向左平移,平移
h 个单位.
(2)抛物线 y a( x h) 的性质：
2
① a 0 时,开口向上； 0 时，开口向下； a ②对称轴是：直线 ③顶点坐标是 ：
x h；
(h,0)
(3)对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小完全 相同，只是开口方向和位置不同
函数y＝a（x-h）2的图像和性质
黄梅县八角亭中学九年级数学组
复习:
在的图象,
2
比较它们与二次函数 y x 的图象之 间有怎样的关系?
2
抛物线
开口方向 a>o a<o 向下
对称轴 顶点坐标 X=0 X=0 （0，0）
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
人教版九年级数学下册：26.1.2反比例函数的图像和性质(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数，它描述了一种变量之间的反比关系。这种关系在现实生活中广泛存在，如物体在反比例力作用下的运动等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一辆汽车以恒定功率行驶，功率与速度的平方成正比，我们可以通过反比例函数来描述功率与速度的关系，并分析在不同速度下能行驶的最大距离。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过距离和速度成反比的情况？”（例如，汽车以恒定功率行驶，速度越快，能行驶的距离越短。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们能够将反比例函数的概念应用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。这一过程不仅加深了他们对反比例函数的理解，还培养了他们的团队合作能力。但在讨论过程中，我也注意到有些学生较为内向，不太愿意表达自己的观点。在今后的教学中，我会更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强自信心。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号进行表达和交流的能力，通过反比例函数的学习，使学生在实际问题中抽象出数学模型，提高数学建模素养。
2.培养学生运用数形结合思想分析问题，和空间想象能力。
3.培养学生运用函数性质解决问题的能力，让学生在实际情境中发现反比例函数的增减性和奇偶性，提高数学抽象和逻辑推理素养。
此外，通过今天的课程，我也意识到教学过程中要充分关注学生的个体差异。在难点内容的讲解上，需要放慢节奏，给予学生更多的消化和理解时间。同时，针对不同学生的掌握程度，布置分层作业，使他们在巩固知识的基础上，能够有所提高。
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x（k≠0）的函数，它描述了一种变量之间的反比关系。这种关系在现实生活中广泛存在，如物体在反比例力作用下的运动等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一辆汽车以恒定功率行驶，功率与速度的平方成正比，我们可以通过反比例函数来描述功率与速度的关系，并分析在不同速度下能行驶的最大距离。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过距离和速度成反比的情况？”（例如，汽车以恒定功率行驶，速度越快，能行驶的距离越短。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们能够将反比例函数的概念应用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。这一过程不仅加深了他们对反比例函数的理解，还培养了他们的团队合作能力。但在讨论过程中，我也注意到有些学生较为内向，不太愿意表达自己的观点。在今后的教学中，我会更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强自信心。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学符号进行表达和交流的能力，通过反比例函数的学习，使学生在实际问题中抽象出数学模型，提高数学建模素养。
2.培养学生运用数形结合思想分析问题，和空间想象能力。
3.培养学生运用函数性质解决问题的能力，让学生在实际情境中发现反比例函数的增减性和奇偶性，提高数学抽象和逻辑推理素养。
此外，通过今天的课程，我也意识到教学过程中要充分关注学生的个体差异。在难点内容的讲解上，需要放慢节奏，给予学生更多的消化和理解时间。同时，针对不同学生的掌握程度，布置分层作业，使他们在巩固知识的基础上，能够有所提高。
26.2二次函数y=ax2的图象
26.1.2二次函数2y ax =的图象【学习目标】1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y ＝ax 2的图象； 3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、温故知新1.画一个函数图象的一般过程是 ① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自学指导认真阅读课本第P 4-6页的内容，完成下列问题。
（一）画二次函数y ＝x 2的图象．1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答：2.归纳总结：① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ； ③2x y =的图象开口_______；④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线2x y =的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。
三、例题分析在图（4）中，画出函数221x y =，2x y =，22x y =的图象． 解：列表归纳：抛物线221x y =，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．归纳：抛物线221x y -=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在图（4）中画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．列表：四、合作交流：归纳：抛物线2ax y =的性质2.当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y 随x 的增大而 。
人教版九年级数学26.1.2_二次函数图象(1)
1 2
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
y
,y=x2,y=-2x2的图像与 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 y = − x2 2
y =−2x2
当a>0时,抛物线的开口向上, a>0时 抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 越大 越大, 顶点是抛物线的最低点,a越大 抛物线的开口越小
1 2 y= x 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 y=－ 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x2和y=－2x2的图像 y= :(1)列表 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … (2)描点 (2)描点
y= -
x … -2 y=2x2 … 8
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
y= 2x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
(3) 连线 函数y= 函数y= 2 与函数y=x2(图中虚线图形) 与函数y=x 图中虚线图形) 的图像相比, 的图像相比,有什么共同点 和不同点? 和不同点? 共同点：开口向上; 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同; 不同点: 开口大小不同; x21,y=2x2的图像
1 x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－ y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
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13.函数y=-4x2+4x-1的图象可以由抛物线 y=-4x2 平移得到吗?应怎样平移?
14、用配方法把下列函数化成的形式，并指出开 口方向，顶点坐标和对称轴。 2 1 2 9 (1) y x 4x 4 (2) y x 3x 2 2 15、已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像 经过点（2，-2）与（-1，-8）求此函数解析式。 16、抛物线 y a( x 2) 经过（1，－1）。 （1）确定的值；（2）画出这个函数图象；（3） 求出抛物线与坐标轴的交点坐标。
A
5、二次函数 y 3( x 2) 图像的对称轴是（ A ） （A）直线x=2 （B）直线x=-2 （C ）y 轴 （D ）x 轴 2 6、将抛物线 y 3x 向左平移3个单位所得的抛 物线的函数关系式为（ D ） 2 2 A、 y 3x 3 B、 y 3( x 3) C、 y 3x 2 3 D、 y 3( x 3) 2 2 2 y=-X 7、抛物线 y ( x 1) 是由抛物线 向 右 平 移 1 个单位得到的，平称后的抛物线对称轴 是 直线x=1 ，顶点坐标是 (1,0) ，当x= 1 时， y有最 大 值，其值是 0 。
2
8、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上，对 称轴是直线x=3，顶点坐标是 （3，0） ， 小 抛物线是最 低 点，当x= 3 时，y有最___ 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交点 坐标 （0，36） 。
9、若将抛物线y=-2x2-2的图象的顶点 移到原点，则下列平移方法正确的是 （ A ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 是 直线x= 4 ，当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 . （3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函 数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3 ， 顶点是 （3，0） ，当x ＞3 时，y随x的增大而增大； 当x ＜3 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点坐标（-1，0） ， 对称轴是 直线x= -1 ，当x= -1 时，y有最 大 值，是 0 .
1 y ( x 2) 2 向左平移 2 2个单位
y
1 2 y x 2 2
1 y x2 2
1 2 y x 2 2
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
-1
-2
-3
-4
x
1 2 y x 2
-2
向右平移 y 1 ( x 2) 2 2 2个单位
2
向左平移 向右平移 顶点(－2,0) 顶点(2,0) 顶点(0,0) 2个单位 2个单位 向左平移 对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=－2 2个单位 即直线:x=0 2个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下性质:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
1 -5 -4-3-2 -1 -1 o1 2 3 4 5 x 1 -2 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y
(3)顶点是(h,0).
10、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象 的顶点移到原点，则下列平移方法正 C 确的是（ ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
k 11、下列图像可能是y= x 同一坐标系的是（ C ）
和y=k (x-1)2在
A
B
C
D
12、把抛物线y=2x2向左平移5个单位。 会得到哪条抛物线？向右平移3.4个单 位呢？
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函 数解析式是 y=－3（x－4）2 ；将函数y=3（x－4）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 y=3（x+4）2 ； （6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= -3 ，h= -2 .若 抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛 物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= 144 . （7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函 数 y=2x2 的图象，在向 右 平移 3 个单 位得到函数y= 2（x-3）2的图象. （8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数 y=9（x－3）2 的 图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 上 ，对称 轴是 直线x=－2 ，顶点坐标是（－2，0），当x ＞－2 时， y随x的增大而增大，当x= －2 时，y有最 小 值是 0 .
2
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线 y=ax2的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,0).
22.1 .3
二次函数y=a(x-h) 图象和性质
2
概念复习：
1. 抛物线y=ax2的图像性质:
(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点 是抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小; 3) a>0时, 在对称轴左侧,y随x的增大 而减小,在对称轴右侧,y随x增大而增大; a<0时, 在对称轴左侧,y随x的增 大而增大,在对称轴右侧,y随x增大而减 少;
1 y
1 可以看出,抛物线 y ( x 1) 2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 的开口向下, -2 1 2 y ( x 1 ) 对称轴是经过点(－1,0)且 -3 2 -4 与x轴垂直的直线,我们把它 -5 记为x=－1, 顶点是(－1,0); -6 -7 1 -8 2 y ( x 1 ) -9 抛物线 呢? y 1 ( x 1)2 2 2 -10
1 2 向右平移 1 y x y (x 6)2 2 6个单位 2 1 2 y (x 6) 抛物线 对称轴是直线x=6. 顶点是(6,0), 2
当x=6时,函数y有最大值,y最大=0 .
如果反过 来,如何表述?
3. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 抛物线 ，开口 向上 ， 对称轴是直线x= -5，当x= -5 时，y有最 小 值，是 0 .
x=－1
有什么关系?
1 1 抛物线 y ( x 1) 2， y ( x 1) 2 与抛物线 2 2 1 2 向左平移 y 1 ( x 1) 2 y x 2 2 1个单位
1 y
用平移观点看函数：
1 y x2 2
1 2向右平移 1 o1 2 3 4 5 y x y ( x 1) 2 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 1个单位 2 -2 1
-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
x
y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 2
1 2 y x 2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5
1 y ( x 2) 2 2
观察三条抛物线的位 置关系,并分别指出 它们的开口方向,对 称轴及顶点.
1 1 2 2 y ( x 1 ) y ( x 1 ) 画出二次函数 、 2 2
的图像,并考
1 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
3 … … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
抛物线
开口方向 对称轴
直线x=-3
顶点坐标
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
y = 2(x+3)2 向上 y = -3(x-1)2 向下
y = -4(x-3)2 向下
直线x=1
o
y
a>0
x
a<0
2、一般地,抛物线y=ax2+k有如下性质: (1)当a>0时, 开口向上; y 10 9 当a<0时,开口向下; 8 7 6 (2)对称轴是y轴; 5 4 3 (3)顶点是(0,k). 2
1 -5-4 -3 -2-1 o1 2 3 4 5 x
探究
虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0
直线x=3
1 2 y (x 6) 2.说出函数 的图象的顶点坐标和对 2
1 对于二次函数 y (x 6)2 请回答下列问题: 2 1 2 1.把函数 y x 的图象作怎样的平移变换得 2 1 到函数 y (x 6)2 的图象. 2