2018高考数学压轴小题突破练
2018版高考数学理科(全国通用)总复习压轴小题突破练4 Word版含解析
.与解析几何有关的压轴小题.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线＋－＝相切，则圆面积的最小值为().(－)π答案解析设直线：＋－＝.因为＝＝，其中为点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线.圆半径最小值为＝×＝，其中为点到直线的距离，圆面积的最小值为π＝.故选..(届云南大理检测)已知双曲线－＝与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于，两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则等于().－.－答案解析设(，)，(，)，(，)，则－＝，－＝，由点差法可得(－)(＋)＝，所以直线的斜率为＝＝＝，直线的斜率为＝，＝×＝，故选..(届枣庄期末)过抛物线＝(＞)的焦点作斜率为－的直线，与离心率为的双曲线－＝(＞)的两条渐近线的交点分别为，.若，，分别表示，，的横坐标，且＝－·，则等于()答案解析由题意，知(，)，则直线的方程为＝－＋，∵双曲线的渐近线方程为＝±，∴直线与渐近线的交点横坐标分为，，又＝－·，即＝－·，整理得＝，∴＝＝＝，故选..已知双曲线－＝(＞)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的离心率为()答案解析以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为＋＝，渐近线的方程为＝±，设(，)，因为四边形的面积为，所以·＝，＝±，将代入＋＝可得＝，从而可得＝，又因为＝，所以离心率＝＝..已知是抛物线＝的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，·＝(其中为坐标原点)，则△与△面积之和的最小值为()答案解析由题意得，设(，)，(，)，则＝，＝，＋＝，＝－或＝，∵，位于轴两侧，∴＝－，两面积之和为＝－＋××＝×－＋××＝－＋×＝＋×＝＝＋≥，当且仅当＝时“＝”成立..已知(－，)，(，)为椭圆＋＝(＞＞)的两个焦点，为椭圆上一点且·＝，则此椭圆离心率的取值范围是()答案解析设(，)，则·＝(－－，－)·(－，－)＝－＋＝，∴－＝.①把(，)代入＋＝，得＋＝，②①代入②得＝≥，。
2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：压轴小题突破练3 Word版含解析
3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3＋4B.2π＋43C.π3＋4D.π＋43答案 D解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝2，故其体积V 1＝12πr 2h ＝12π×12×2＝π； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1.故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝43. 故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋43. 2.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是AB ，AD ，AA 1的中点，又P ，Q 分别在线段A 1B 1，A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x ，0＜x ＜1，设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，则下列结论中不成立的是( )A.l ∥平面ABCDB.l ⊥ACC.平面MEF 与平面MPQ 垂直D.当x 变化时，l 是定直线答案 C解析 连接BD ，A 1D ，A 1B ，AC 1，显然平面MEF ∥平面A 1DB ，设A 1B ∩MP ＝H ，A 1D ∩QM ＝G ，连接HG ，则l ∥HG ，又HG ∥平面ABCD ，所以l ∥平面ABCD ，AC ⊥BD .又HG ∥l ∥BD ，故AC ⊥l ，当P ，Q 分别与B 1，D 1重合时，平面MEF ⊥平面MPQ ， 又0＜x ＜1，故平面MEF 与平面MPQ 不垂直.无论x 怎么变化，l 是过M 点与EF 平行的定直线.3.(2017届重庆八中调研)用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( ) A.33π8 B.33π7 C.32π8 D.32π7答案 C解析 设圆柱的高为x ，则圆铁皮内接矩形的一边长为x ，那么另一边长为y ＝2R 2－⎝⎛⎭⎫x 22，所以圆柱的体积为V (x )＝πy 2x ＝π×4⎣⎡⎦⎤R 2－⎝⎛⎭⎫x 22x ＝π(－x 3＋4R 2x )(0＜x ＜2R )，则V ′(x )＝π(－3x 2＋4R 2)，令V ′(x )＞0，得0＜x ＜233R ；令V ′(x )＜0，得233R ＜x ＜2R ，即V (x )在⎝⎛⎭⎫0，233R。
【数学】2018高考数学压轴题含答案
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.【关键字】数学【例1】已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）11【课堂笔记】【规律总结】............................................................................................................................................................................................................【例2】已知函数xx x x ax x f ln ln )(2--+=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3322x x x x --的值为（ ）A ．a -1B ．1-aC ．1-D ．1【课堂笔记】 【规律总结】【例3】已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点，记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .【课堂笔记】 【规律总结】...........................................................................................................................................................................................................【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .【例5】在平面直角坐标系中动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于D C ,两点（C A ,两点相邻）.①若BF tFA =，当]2,1[∈t 时，求k 的取值范围；②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN ∆与BDN ∆面积之积的最小值.............................................................................................................................................................................................................【综合演练】1.已知抛物线px y 22=的准线方程为1-=x 焦点为C B A F ,,,为该抛物线上不同的三点，B 在x 轴下方，若=++，则直线AC 的方程为 ．【规律总结】【例6】已知函数()()ln 1.af x x x a R x=-++∈ （1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；（2）当0a =时，关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ，证明：12 2.x x +>............................................................................................................................................................................................................【综合演练】2.已知函数()24,0ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩图象上有且只有4个不同的点关于直线e y =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()1,0-C. ()2,1--D.()6,1-- 【规律总结】此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2018届高考数学文科二轮复习全国通用：压轴小题突破练
2.与数列有关的压轴小题1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－n ，令b n ＝a n cos n π2，记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2 017等于( ) A.2 013 B.2 014 C.2 015 D.2 016答案 D解析 根据题意有a n ＝2n －2，所以有b n ＝(2n －2)·cosn π2，所以T 2 017＝(0－2＋0＋6)＋(0－10＋0＋14)＋…＋(0－4 026＋0＋4 030)＋0＝4×504＝2 016，故选D.2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )等于( ) A.0 B.0或1 C.－1或0 D.1或－1答案 A解析 ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )的周期为2，∵数列{a n }满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f (0)＝0，故选A.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n， 所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101.4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＜2，对任意的x ，y ∈R ，f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )＋2成立，若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫a na n ＋3，n ∈N *，则a 2 017等于( )A.2B.62×32 016－1 C.22×32 016－1 D.22×32 015－1答案 C解析 令x ＝y ＝0，得f (0)＝2，令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝4，则f (x )－2＋f (－x )－2＝0，令x ＝x 1，y ＝x 2－x 1，x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2－x 1)＜2，f (x 1)＋f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋2，f (x 1)－f (x 2)＝2－f (x 2－x 1)＞0，f (x )是单调递减的.据此可得函数g (x )＝f (x )－2是单调递减的奇函数，由函数的单调性可得a n ＋1＝a n a n ＋3，整理可得⎝⎛⎭⎫1a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝22×3n －1－1，据此可得a 2 017＝22×32 016－1. 6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ， 依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121.7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1， 直至n ＝1 008，s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1， 结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1 ＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④ 答案 D解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝______. 答案 －3 58解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12. 已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且S 3＝29，则S 2 017＝________. 答案 4 730解析 ∵S 3＝29为奇数，且当a n 是奇数时， a n ＋1＝3a n ＋1是偶数，∴a 1，a 2，a 3中必有两个偶数，一个奇数，若a 1为偶数，a 2为偶数，a 3为奇数，依题意得a 1＋a 12＋a 14＝29，此时a 1无正整数解，舍去；若a 1为偶数，a 2为奇数，a 3为偶数，依题意得a 1＋a 12＋3a 12＋1＝29，此时a 1无整数解，舍去；若a 1为奇数，a 2，a 3是偶数：a 1＋3a 1＋1＋3a 1＋12＝29⇒a 1＝5，a 2＝16，a 3＝8，a 4＝4，a 5＝2，a 6＝1，a 7＝4，∴从第四项起，数列{a n }是以3为周期的数列，而2 014＝3×671＋1， ∴S 2 017＝5＋16＋8＋7×671＋4＝4 730.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案 －325解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB →＋λAC →＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.。
2018年高考数学真题压轴小题(解析版)
2018年高考数学压轴题小题一．选择题1（2018年1卷理11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．23D ．4 2（2018年1卷理12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．33B ．23C ．32D ．33(中档题 2018年3卷理11．）设F 1，F 2是双曲线C: x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 24.2018年3卷理12）设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( )A ．a+b<ab<0B ．ab<a+b<0C ．a+b<0<abD ．ab<0<a+b5.（2018年1卷文12）12．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，6.（2018年3卷文12）．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．5437.（2018•新课标Ⅱ）已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f（1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．508.（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．9.（2018•上海）设D 是函数1的有限实数集，f （x ）是定义在D 上的函数，若f （x ）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（ ）A ．B ．C ．D ．010.（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．+1 C ．2 D ．2﹣11.（2018•浙江）已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S ﹣AB ﹣C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ112.（2018•浙江）函数y=2|x |sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 1.（2018年1卷理16题）已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是 .2.（2018年2卷理16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．3(2018年3卷理16）已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点．若∠AMB=900，则k=________．4.（2018年1卷文16）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________ 5.(2018年2卷文16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．6.(2018年2卷文16）．已知函数()()2ln 11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．7．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为c ，则其离心率的值为 ．8．（2018•江苏）若函数f （x ）=2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f （x ）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为 ．9．（2018•天津）已知a ＞0，函数f （x ）=．若关于x 的方程f （x ）=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．10．（2018•北京）已知椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：﹣=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．11．（2018•上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=，则+的最大值为 ． 12．（2018•上海）已知常数a ＞0，函数f （x ）=的图象经过点P （p ，），Q （q ，）．若2p +q =36pq ，则a= ．13．（2018•浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=，当λ=2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．14．（2018•浙江）已知点P （0，1），椭圆+y 2=m （m ＞1）上两点A ，B 满足=2，则当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大．15．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）2018年高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题1.（2018年1卷11题）已知双曲线2213x C y ：-=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN =解：OF=22.（2018年1卷12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为B ．334 B ．233C ．324D ．32 解：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半。
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：压轴大题突破练(二)(含答案解析)
(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的一个焦点为(3，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A ，B ，P (x 0，y 0)(x 0≠0)是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l ：y ＝－1于点C ，N 为线段BC 的中点，如果△MON 的面积为32，求y 0的值． 解 (1)设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1， 由题意，得c ＝ 3.因为a 2－c 2＝b 2，所以b 2＝a 2－3.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆上的一个点， 所以1a 2＋34a 2－3＝1，解得a 2＝4或a 2＝34(舍去)， 从而椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 204＋y 20＝1.因为M 为线段PQ 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又A (0,1)，所以直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B (0，－1)， N 为线段BC 的中点，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1. 因此，OM →·NM →＝x 02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)＋y 0·(y 0＋1)＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.从而OM ⊥MN .因为|OM |＝x 204＋y 20＝1， |ON |＝ x 204(1－y 0)2＋1＝ 1－y 20(1－y 0)2＋1＝ 21－y 0， 所以在Rt△MON 中，|MN |＝|ON |2－|OM |2，因此S △MON ＝12|OM ||MN |＝121＋y 01－y 0. 从而有12 1＋y 01－y 0＝32，解得y 0＝45. 2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问△PMN 与△PAB 面积之差是否为定值？说明理由．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20＋4y 20＝4，直线PA ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 则|BM |＝|1－y M |＝y M －1＝－1－2y 0x 0－2. 直线PB ：y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，则|AN |＝|2－x N |＝x N －2＝－2－x 0y 0－1，∴S △PMN －S △PAB ＝12|AN |·(|OM |－|OB |) ＝12|AN |·|BM | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2y 0x 0－2 ＝12·x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12·4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 3．(2017·山西省实验中学模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(0，－2)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为 2.(1)求椭圆E 的离心率和方程；(2)设A ，B 是椭圆上两动点，若直线AB 的斜率为－14，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，－2)，所以b ＝2，由PF 1⊥x 轴，且△OPF 1的面积为2， 得12×c ×b 2a ＝2， 所以c a ＝22，即离心率e ＝22. 因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－c 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝4，c a ＝22，解得⎩⎨⎧ a ＝22，c ＝2(舍负)，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝－14x ＋t ， 与x 2＋2y 2＝8联立，消去y ，整理得98x 2－tx ＋2t 2－8＝0， 由Δ＝(－t )2－4×98(2t 2－8)＝－8t 2＋36>0， 得－322<t <322，x 1＋x 2＝8t 9，x 1x 2＝89(2t 2－8)， 故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋116× 64t 281－329(2t 2－8) ＝174×1699－2t 2 ＝41799－2t 2， 易知点O 到直线AB 的距离为d ＝4|t |17， 则△OAB 的面积S ＝12×4|t |17×41799－2t 2 ＝8922t 2(9－2t 2) ≤892×2t 2＋9－2t 22＝22， 当且仅当2t 2＝9－2t 2，即t ＝±32时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB 面积的最大值为2 2. 4．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)在平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－3，0)，圆F 2：x 2＋y 2－23x －13＝0，以动点P 为圆心的圆经过点F 1，且圆P 与圆F 2内切．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点(1,0)，且与曲线E 交于A ，B 两点，则在x 轴上是否存在一点D (t,0)(t ≠0)，使得x 轴平分∠ADB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)圆F 2的方程可化为(x －3)2＋y 2＝16，故圆心F 2(3，0)，半径r ＝4，而|F 1F 2|＝23<4，所以点F 1在圆F 2内．又由已知得圆P 的半径R ＝|PF 1|，由圆P 与圆F 2内切，可得圆P 内切于圆F 2，即|PF 2|＝4－|PF 1|，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|，故点P 的轨迹即曲线E 是以F 1，F 2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c ＝3，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，故曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不为0且存在时，设直线l ：x ＝ny ＋1，代入x 2＋4y 2－4＝0，得(n 2＋4)y 2＋2ny －3＝0，Δ＝16(n 2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y 1＋y 2＝－2nn 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4，设直线DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，则由∠ODA ＝∠ODB ，得k 1＋k 2＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝y 1(ny 2＋1－t )＋y 2(ny 1＋1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)(x 1－t )(x 2－t )＝0.所以2ny 1y 2＋(1－t )(y 1＋y 2)＝0，将y 1＋y 2＝－2n n 2＋4，y 1y 2＝－3n 2＋4代入得－6n －2n ＋2nt ＝0，因此n (t －4)＝0，故存在t ＝4满足题意．当直线AB 的斜率为0时，直线为x 轴，取A (－2,0)，B (2，0)，满足∠ODA ＝∠ODB ， 当直线AB 的斜率不存在时，取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，满足∠ODA ＝∠ODB .综上，在x 轴上存在一点D (4,0)，使得x 轴平分∠ADB .。
2018年高考数学压轴题
2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为(22212x y a a +=。
由已知得,().22222a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得2a c == 所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =。
（2）解：由（1）可得A （3，0）。
设直线PQ 的方程为()3y k x =-。
由方程组,()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得k <。
设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 212227631k x x k -=+。
② 由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。
于是()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。
③∵0OP OQ ⋅=，∴12120x x y y +=。
④ 由①②③④得251k =，从而(k =。
所以直线PQ的方程为30x -=或30x +-=2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。
（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。
（2） 证明)(x f 是偶函数。
（3） 试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x 。
2018版高考数学(全国甲卷通用理科) 压轴大题突破练(四)含答案
压轴大题突破练(四) 函数与导数(2)1.已知函数f(x)＝12x －sinx ，x ∈R. (1)试求函数f(x)的递减区间；(2)试求函数f(x)在区间[－π，π]上的最值.解 (1)求导数得：f ′(x)＝12－cosx ， 令f ′(x)<0，即12－cosx<0， 得－π3＋2k π<x<π3＋2k π，k ∈Z ， ∴函数f(x)在区间(－π3＋2k π，π3＋2k π)，k ∈Z 上为减函数. (2)由(1)知，函数f(x)在区间(－π，－π3)，(π3，π)上为增函数，在区间(－π3，π3)上为减函数，∴函数f(x)在x ＝－π3处取极大值f(－π3)＝32－π6，在x ＝π3处取极小值f(π3)＝π6－32，∵f(－π)＝－π2，f(π)＝π2，∴函数f(x)在区间[－π，π]上的最大值为f(π)＝π2，最小值为f(－π)＝－π2. 2.已知函数f(x)＝alnx ＋x 2－1.(1)求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)＞(a ＋1)lnx ＋ax －1在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.解 (1)由题意得，f ′(x)＝a x＋2x(x ＞0)， ∴f ′(1)＝a ＋2，又f(1)＝0，∴切线方程是y ＝(a ＋2)(x －1)，即(a ＋2)x －y －a －2＝0.(2)由f(x)＞(a ＋1)lnx ＋ax －1得，ax ＜x 2－lnx ，∵x＞1，∴a＜x－lnxx恒成立.令g(x)＝x－lnx x，则g′(x)＝x2＋lnx－1x2，令h(x)＝x2＋lnx－1，则h′(x)＝2x＋1x＞0，∴h(x)在(1，＋∞)上递增，而h(1)＝0，∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(1，＋∞)上递增，∴g(x)＞g(1)＝1，∴当a≤1时，a＜g(x)恒成立，∴a的取值范围是(－∞，1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.(1)解f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a).①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点.②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b<ln a 2，则f(b)>a2(b－2)＋a(b－1)2＝a⎝⎛⎭⎪⎫b2－32b>0，故f(x)存在两个零点.③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增.又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若a<－e2，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增.又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).(2)证明不妨设x1<x2.由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)＝－xe2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)，所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0，从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.4.已知函数f(x)＝lnx－12ax2 (a∈R).(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝lnx－12ax2.∴f′(x)＝1x－ax＝1－ax2x，由于直线x－2y＋1＝0的斜率为1 2，∴12×1－4a2＝－1，∴a＝54.。
2018届高考数学理科(全国通用)总复习：压轴大题突破练2 Word版含解析
2.圆锥曲线1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝53. (1)求C 1的方程；(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程.解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，由题意知点F 2即为点F (1，0).由抛物线的定义，|MF 2|＝53⇒x 1＋1＝53⇒x 1＝23， 因为y 21＝4x 1，所以y 1＝263，即M ⎝⎛⎭⎫23，263， 所以|MF 1|＝⎝⎛⎭⎫23＋12＋⎝⎛⎭⎫2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53＝4⇒a ＝2， 所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0⇔－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m 7， 所以AC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7，由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7在直线BD 上，所以7·4m 7－7·3m 7＋1＝0⇒m ＝－1∈()－7，7. 所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝143？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ， 因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1， 因为椭圆的离心率为22，则c a ＝22，即a ＝2c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )，则直线PM 的方程为y ＝y 0－m x 0x ＋m ， 即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1， 即|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20＝1，即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0x 0－2， |MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2－4mn ＝4y 20(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝4x 20＋4y 20－8x 0(x 0－2)2. 因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 202＋y 20＝1， 即y 20＝1－x 202， 则|MN |＝2x 20－8x 0＋4(x 0－2)2＝2(x 0－2)2－4(x 0－2)2＝2－4(x 0－2)2， 令2－4(x 0－2)2＝143， 则(x 0－2)2＝9，因为x 0＜0，则x 0＝－1，y 20＝1－x 202＝12，即y 0＝±22， 故存在点P ⎝⎛⎭⎫－1，±22满足题设条件. 3.(2017·河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2，∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)A (0，1)，F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1， 又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，代入x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1(舍)，⎩⎨⎧ x ＝－43，y ＝13.∴B ⎝⎛⎭⎫－43，13， k AB ＝1－130－⎝⎛⎭⎫－43＝12， ∴直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.。
2018版考前三个月高考数学理科总复习题压轴小题突破练4 含解析
4.与解析几何有关的压轴小题1.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y －4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( )4π 3π 5π A. B. C.(6－2 5)π D. 答案 A1解析 设直线 l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝ |AB |＝d ，其中 d 为点 C 到直线 l 的距离，所以圆2 1 11 1 42 心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线.圆 C 半径最小值为 d ＝ × ＝ ，其中 d 2 2 5 522 4π为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 面积的最小值为 π ＝ .故选 A.52.(2017 届云南大理检测)已知双曲线 yx － ＝1 与不过原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相交2于 M ，N 两点，线段 MN 的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k ，直线 OP 的斜率为 k ，则 k k121 2等于()1 1A. B.－ C.2 D.－2 2 2答案 A解析 设 M (x ，y )，N (x ，y )，P (x ，y )，则 y 1 1 2 2 0 0 1x x － ＝1，y － ＝1，由点差法可得(y －y )(y2 2 2 1 2 1x －x x ＋x y －y x ＋x x ＋y )＝，所以直线 l 的斜率为 k ＝ ＝ ＝ ，直线 OP 的斜率为 2x －x 2y ＋y 2y 1 2 1 2y x y 1k ＝ ，k k ＝ × ＝ ，故选 A. 2 x 1 2 2y x 20 00 3.(2017 届枣庄期末)过抛物线 y ＝4ax (a ＞0)的焦点 F 作斜率为－1 的直线 l ，l 与离心率为 ex y 的双曲线 － ＝1(b ＞0)的两条渐近线的交点分别为 B ，C .若 x ，x ，x 分别表示 B ，C ，F ab B C F的横坐标，且 x ＝－x · x ，则 e 等于( )FB CA.6B. 6C.3D. 3答案 D解析 由题意，知 F (a ， 0)，则直线 l 的方程为 y ＝－x ＋a ，b∵双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，aa a ∴直线 l 与渐近线的交点横坐标分为 ， ，a －b a ＋b5 4 4 2 252 22 2 2 1 2 2 12 1 21 2 1 20 2 1 00 0 02 2 2 2 2 2 2 2又 x ＝－x · x ，FB C即 a 2 a a b ＝－· ，整理得 ＝2， a －b a ＋b ac∴e ＝ ＝a1＋a＝ 3，故选 D.y4.已知双曲线 x － ＝1(b ＞0)，以原点 O 为圆心，双曲线的半实轴长为半径的圆与双曲线的 b两条渐近线相交于 A ，B ，C ，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 b ，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C.3 D.2 2 答案 B解析 以原点为圆心、双曲线的半实轴长为半径的圆的方程为 x ＋y ＝1，渐近线的方程为 y1 1 b＝±bx ，设 A (x ，bx )，因为四边形 ABCD 的面积为 b ，所以 2x ·2bx ＝b ，x ＝± ，将 A ， 代 2 入 x ＋y ＝1 可得 b ＝3，从而可得 c ＝2，又因为 a ＝1，c所以离心率 e ＝ ＝2.a→ →5.已知 F 是抛物线 y ＝x 的焦点，点 A ，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA · O B ＝2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为( )17 2 A.2 B.3 C. D. 108答案 B解析1由题意得 F ，0 ，设 A (x ，y )，B (x ，y )，则 x ＝y ，x ＝y ，y y ＋y y ＝2，y y1 12 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2＝－2 或 y y ＝1，1 2∵A ，B 位于 x 轴两侧，∴y y ＝－2，两面积之和为1 21 1 1 1 1 1 12 1S ＝ |x y －x y |＋ × ×|y |＝ ×|y y －y y |＋ × ×|y |＝|y －y |＋ × y ＝ ＋y ＋ ×|y | 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 8 8 12 9 2 9 ＝ ＋ y ＝ ＋ y y 8 y 8 1 14 ≥3，当且仅当|y |＝ 时“＝”成立.1 3 x y → →6.已知 F (－c ，0)，F (c ，0)为椭圆 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且P F · P F 1 2 a b 1 2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是( )3 1 1 3 2 3 3 2 3 22 2答案 C→ → 解析 设 P (m ，n )，则P F · P F ＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m －c ＋n ＝c ，1 22 2 2 2 2 b2 222 222 2 2 2 2 2222 24| |2 21y 1 1112 2 222 ， C. ， D. 0， ，1 B. A. 2222∴2c －m 2 ＝n2.①x y m n 把 P (m ，n )代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，a b a b②a b －2a c①代入②得 m ＝ ≥0，b －a∴a b ≤2a c ，即 b ≤2c ，c 3又 a ＝b ＋c ，∴a ≤3c ⇒e ＝ ≥ .a 3a b －2a c c 2又 m ＝ ≤a ⇒a ≥2c ⇒e ＝ ≤ ，b －a a 232∴椭圆离心率的取值范围是 ， .3 2xy 7.(2017 届河南开封月考)双曲线 C ： － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F (－c ，0)，a b 1F (c ，0)，M ，N 两点在双曲线 C 上，且 MN ∥F F ，|F F |＝4|MN |，线段 F N 交双曲线 C 于 21 21 21点 Q ，且|F Q |＝|QN |，则双曲线 C 的离心率为()1A.2B. 3C. 5D. 6 答案 D解析 由于 MN ∥F F ，|F F |＝4|MN |，1 21 2c则|MN |＝ ，2设 N ，y，又 F (－c ，0)， 13c y c y 9c y 且|F Q |＝|QN |，则 Q － ， ，点 N ，Q 在双曲线上满足方程，有 － ＝1， － ＝1 16a b 64a 4b1，消去 y 得 e ＝6，则 e ＝ 6.x y 8.(2017· 日照模拟)已知双曲线 － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 为双曲a b 1 2线右支上一点(异于右顶点) △，PF F 的内切圆与 x 轴切于点(2，0).过 F 作直线 l 与双曲线交1 22于 A ，B 两点，若使|A B |＝b 2 的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1， 2)B.(1，2)C.( 2，＋∞)D.(2，＋∞)答案 C解析 设|F F |＝2c (c ＞0)，△PF △F 的内切圆分别与 PF ，F F ，PF 切于点G ，H ，I ，1 21 211 22则|P G |＝|P I |，|F G |＝|F H |，|F H |＝|F I |.1122由双曲线的定义知2a ＝|PF |－|PF |＝|F G |－|F I |＝|F H |－|F H |，12 1 2 1 2 又|F H |＋|F H |＝|F F |＝2c ，121 22 22222 2 2 22 22 222 2 2 22 222222222 22 22 2 2 22 2 2 22 2 c4 2 2 2 28 22 2 2 222 22 2所以|F H|1＝c＋a，|F H|＝c－a，2所以H(a，0)，即a＝2.注意到这样的事实：若直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则当l⊥x轴时，|AB|有最小值2ba2＝b；若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)，则当l⊥y轴时，|AB|有最小值c2a，于是，由题意得b＞2a＝4，b＞2，c＝a＋b＞22，所以双曲线的离心率e＝＞ 2.a故选C.9.(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)已知抛物线C：y＝2px(0＜p＜4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4，0)，B(p，2p)，且|PA|的最小值为15，则|BF|等于()911A.4B.C.5D.22答案B解析设P(x，y)且y＝2px，则|PA|＝x－4＋y＝x－4＋2px＝x ＋2p－8x＋16，根号下二次函数的对称轴为x＝4－p∈(0，4)，所以在对称轴处取得最小值，即4－p ＋2p－84－p＋16＝15，解得p＝3或5(舍去)，所以抛物线方程为y＝6x，B(3，32)，易知点B在抛物线上，39所以|BF|＝3＋＝，故选B.2210.(2017届河南省天一大联考)等腰直角△AOB内接于抛物线y＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶|OM|点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的|MF|最大值为()A.362326B. C. D. 3333答案C解析因为等腰直△角AOB内接于抛物线y＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，所以可设A(a，a)(a＞0)，1S＝a×2a＝16，得a＝4，2将A(4，4)代入y＝2px，得p＝2，抛物线的方程为y＝4x，所以F(1，0).设M(x，y)，则x≥0，设t＝1|OM| (0<t≤1)，则x＋1MF22222222222222△AOB22||x＋y x＋4x ＝＝＝x＋1x＋1231＋－x＋1x＋12＝－3t ＋2t＋1＝41－3t－≤423＝，331当t＝时“＝”成立.故选C.3→→11.过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若M F＝4FN，则直线l的斜率为____________.答案4±3解析不妨设M(x，y)(x＞0，y＞0)，N(x，y)，111122→→∵MF＝4FN，∴y＝－4y，12y＝2px，设直线l的斜率为k ，联立py＝k x－2，2p得y－y－p＝0，k∴y y＝－p，12p p∴y＝－，x＝，2228p－－024∴k＝＝.MN p p3－824根据对称可得直线l的斜率为±.312.(2017届四川成都诊断)如图，抛物线y＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长O A至点C，使|O A|＝|A C|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|E G|的最小值为______________.答案4解析设点A，B的坐标为A(x，y)，B(x，y)，A AB B由题意可知＝＋＝2yB (2|y|A×12|y|B＝2|y y|A B，设直线AB的斜率为k，联立直线AB与抛物线的方程，由根与系数的关系，得y y＝－pA B 2222()223322MN22 221||||||＋y≥2EG OE OGA2)＝－4，由此可知|EG |≥4 ，当且仅当|y B即|E G | 的最小值为 4.| ＝4| y |时等号成立， Ax y 13.设双曲线 C ： － ＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为 F (－c ，0)，点 M ，N 在双曲线 C 上，Oa b是坐标原点，若四边形 OFMN 为平行四边形，且四边形 OFMN 的面积为 2cb ，则双曲线 C 的离心率为______________.答案 2 3解析 设 M (x ，y )，∵四边形 OFMN 为平行四边形，c∴x ＝－ ，0 2∵四边形 OFMN 的面积为 2cb ，∴ | y |c ＝ 2cb ，即| y |＝ 2b ，c e ∴M － ，±2b ，代入双曲线方程得 －2＝1， 4∵e ＞1，∴e ＝2 3.14.(2017· 湖南长沙一中月考)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F ，F .这两条曲线在第一象限的交点为 P ，△P F △ F 是以 PF 为底边的等腰三角形. 121 21若|PF |＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e ，e ，则 e e 的取值范围是_________. 1121 2答案 ，＋∞3x y xy 解析 设椭圆和双曲线的方程分别为 ＋ ＝1 和 － ＝1，椭圆和双曲线的半焦距为 c ，|P F | a b a b 11 12 2＝m ，|PF |＝n ，其中 m ＞n ，2由于△PF △F 是以 PF 为底边的等腰三角形，1 21若|PF |＝10，，即有 m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得 m ＋n ＝2a ，11由双曲线的定义可得 m －n ＝2a ，即得 a ＝5＋c ，a ＝5－c ，其中 c ＜5，再由三角形的两边212之和大于第三边，5 5可得 2c ＋2c ＞10，可得 c ＞ ，即 ＜c ＜5，2 2c c c 1 25 1 1由离心率公式可得 e · e ＝ · ＝ ＝ ，由于 1＜ ＜4，则由 ＞ ，则 e e 的 1 2 a a 25－c 25 c 25 3 1 2 －1 －1c c1 取值范围是 ，＋∞ .2 22 2 0 0 22 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 23。
2018版高考数学理科(全国通用)总复习压轴小题突破练3 Word版含解析
.与立体几何有关的压轴小题
.(届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为()
＋＋.π＋
答案
解析由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面为圆柱的轴截面，顶点在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且在上的射影为底面的圆心.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径＝，高＝，
故其体积＝π＝π××＝π；
四棱锥的底面为边长为的正方形，⊥底面，且＝＝.
故其体积＝正方形×＝××＝.
故该几何体的体积＝＋＝π＋.
.如图，正四面体－的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是()
－是正三棱锥
.直线与平面相交
.直线与平面所成的角的正弦值为
.异面直线和所成的角是°
答案
解析①如图为正四面体，
∴△为等边三角形，
又∵，，两两垂直，
∴⊥平面，∴⊥.
过作底面的垂线，垂足为，
连接交于，可知⊥，
∴为的中点，
同理可证，连接交于，则为的中点，
∴为底面△的中心，
∴－是正三棱锥，故正确；
②将正四面体放入正方体中，如图所示，显然与平面不平行，则正确；。
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：压轴大题突破练(四)(含答案解析)
(四)函数与导数(2)1．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数f(x)＝x3－3x2－m，g(x)＝3e x－6(1－m)x－3(m∈R，e为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f(x)的零点个数；(2)证明：当m>0且x>0时，总有g(x)>f′(x)．(1)解f(x)＝x3－3x2－m的零点个数即为方程x3－3x2＝m的根的个数．记h(x)＝x3－3x2，则h′(x)＝3x(x－2)，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：故可画出h(x)的草图如图所示．由图象知，当m<－4或m>0时，函数f(x)有一个零点；当m＝－4或m＝0时，函数f(x)有两个零点；当－4<m<0时，函数f(x)有三个零点．(2)证明f′(x)＝3x2－6x，记函数u(x)＝g(x)－f′(x)＝3e x－3x2＋6mx－3(x>0)，则u′(x)＝3(e x－2x＋2m)，记v(x)＝e x－2x＋2m，则v′(x)＝e x－2，当x变化时，v′(x)，v(x)的变化情况如下表：由上表可知，v(x)≥v(ln 2)，而v(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2m＝2－2ln 2＋2m＝2(m－ln 2＋1)，由m>0知，m>ln 2－1.所以v (ln 2)>0，所以v (x )>0，即u ′(x )>0，所以u (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，所以当x >0时，u (x )>u (0)＝0.即当m >0且x >0时，g (x )>f ′(x )．2．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋cos x (a ∈R )，记f (x )的导函数为g (x )．(1)证明：当a ＝12时，g (x )在R 上为单调函数； (2)若f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围；(3)设函数h (x )的定义域为D ，区间(m ，＋∞)⊆D .若h (x )在(m ，＋∞)上是单调函数，则称h (x )在D 上广义单调．试证明函数y ＝f (x )－x ln x 在(0，＋∞)上广义单调．(1)证明 当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋cos x ， 所以f ′(x )＝x －sin x ，即g (x )＝x －sin x ，所以g ′(x )＝1－cos x ≥0，所以g (x )在R 上单调递增．(2)解 因为g (x )＝f ′(x )＝2ax －sin x ，所以g ′(x )＝2a －cos x .①当a ≥12时，g ′(x )≥1－cos x ≥0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递增．若x >0，则f ′(x )>f ′(0)＝0；若x <0，则f ′(x )<f ′(0)＝0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，所以f (x )在x ＝0处取得极小值，符合题意．②当a ≤－12时，g ′(x )≤－1－cos x ≤0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递减．若x >0，则f ′(x )<f ′(0)＝0；若x <0，则f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，单调递增区间是(－∞，0)，所以f (x )在x ＝0处取得极大值，不符合题意．③当－12<a <12时，∃x 0∈(0，π)，使得cos x 0＝2a ，即g ′(x 0)＝0，但当x ∈(0，x 0)时，cos x >2a ，即g ′(x )<0， 所以函数f ′(x )在(0，x 0)上单调递减，所以f ′(x )<f ′(0)＝0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)证明 记h (x )＝ax 2＋cos x －x ln x (x >0)．①若a >0，注意到ln x <x ，则ln x 12<x 12，即ln x <2x ，h ′(x )＝2ax －sin x －1－ln x >2ax －2x －2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－4a ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4a ＋12a .当x >⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a ＋12a 2时，h ′(x )>0，所以当m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a ＋12a 2时，函数h (x )在(m ，＋∞)上单调递增．②若a ≤0，当x >1时，h ′(x )＝2ax －sin x －1－ln x ≤－sin x －1－ln x <0，所以当m ＝1时，函数h (x )在(m ，＋∞)上单调递减．综上所述，函数y ＝f (x )－x ln x 在区间(0，＋∞)上广义单调．3．(2017届天津市耀华中学模拟)已知f (x )＝2x ＋1－e ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若x 1，x 2为方程f (x )＝1的两个相异的实根，求证：x 1＋x 2>2a .(1)解 f ′(x )＝2－a e ax .当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 2a ，＋∞上单调递减．(2)证明 x 1，x 2为方程f (x )＝1的两个相异的实根，则x 1，x 2为方程2x －e ax＝0的两个相异的实根，即x 1，x 2为方程ax ＝ln(2x )的两个相异的实根，所以ax 1＝ln(2x 1)，ax 2＝ln(2x 2)．不妨设x 1>x 2>0，则a >0，所以a (x 1－x 2)＝ln x 1x 2，即a ＝ln x 1x 2x 1－x 2，要证明x 1＋x 2>2a ⇔a >2x 1＋x 2，只需证明lnx 1x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2， 即证明ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2， 令x 1x 2＝t >1， g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1>0 (t >1)，g (1)＝0. g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， 所以函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，所以ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2成立， 即x 1＋x 2>2a. 4．(2017届福建省厦门第一中学模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋32x 2. (1)讨论f (x )的极值点的个数；(2)若对于∀x >0，总有f (x )≤g (x )．①求实数a 的取值范围；②求证：对于∀x >0，不等式e x ＋x 2－(e ＋1)x ＋e x>2成立． (1)解 由题意得f ′(x )＝x ＋1x＋a ＝x 2＋ax ＋1x(x >0)， 令Δ＝a 2－4， 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0对x >0恒成立，即f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x ≥0对x >0恒成立，此时f (x )没有极值点．当Δ＝a 2－4>0，即a <－2或a >2，①当a <－2时，设方程x 2＋ax ＋1＝0两个不同实根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 2>x 1>0，∴当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，故x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点．②当a >2时，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两个不同实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－a <0，x 1x 2＝1>0，故x 2<0，x 1<0，∴当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )没有极值点．综上，当a <－2时，函数f (x )有两个极值点．当a ≥－2时，函数f (x )没有极值点．(2)①解 由题意可知，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋x 2－ln x x min ，设φ(x )＝e x ＋x 2－ln x x ，易知φ(x )＝e x ＋x 2－ln x x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e ＋1，a ≤e＋1.∴a 的取值范围为(－∞，e ＋1]．②证明 ∵e x ＋x 2－(e ＋1)x ≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号， ∴只需证明ln x ＋e x ≥2，设θ(x )＝ln x ＋e x ，易得θ(x )＝ln x ＋e x 在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，θ(x )≥θ(e)＝2，即ln x ＋e x ≥2，当x ＝e 时取等号．综上，两式不同时取等号，故e x ＋x 2－(e ＋1)x ＋e x >2成立．。
2018高考数学(理)压轴大题突破练(二) 含解析
压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)1．(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k|1＋a 2k2·1＋k 2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所求离心率的取值范围是(0，22]．2．已知过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px(p>0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点．(1)求p 的值；(2)当AM ＋4BM 最小时，求直线l 的方程． 解 (1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎨⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2. ∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4.∵p>0，∴p ＝2. (2)由抛物线定义，得AM ＝x 1＋p2＝x 1＋1，BM ＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴AM ＋4BM ＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号． 将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去)．将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24.∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0. 3．已知动点S(x ，y)到直线l ：x ＝22的距离是它到点T(2，0)的距离的2倍.(1)求动点S 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 上一动点P 满足：OP →＝λOM →＋2μON →，其中M ，N 是轨迹C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，若Q(λ，μ)为一动点，E 1(－32，0)，E 2(32，0)为两定点，求QE 1＋QE 2的值． 解 (1) 点S(x ，y)到直线x ＝22的距离， 是到点T(2，0)的距离的2倍， 则|x －22|＝ 2 (x －2)2＋y 2， 化简得x 24＋y 22＝1.所以轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 则OP →＝λOM →＋2μON →，即x ＝λx 1＋2μx 2，y ＝λy 1＋2μy 2， 因为点P ，M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，x 2＋2y 2＝4，故x 2＋2y 2＝λ2(x 21＋2y 21)＋4μ2(x 22＋2y 22)＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x 1x 2＋2y 1y 2)＝4， 设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题意知，k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点Q 是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E 1，E 2恰为该椭圆的左，右焦点，。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——压轴大题突破练1 Word版含答案
压轴大题突破练1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1.当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2，求得切线方程为y ＝2x －1.(2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e－(a ＋1)． ∴当e －(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e . 当e －(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min ＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e－(a ＋1))＝－e －(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1)＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0， g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1) ＝ln x －12x ＋12. 设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x 2x>0恒成立， ∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立．而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )单调递增，∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．2．设函数f (x )＝e x －|x －a |，其中a 是实数．(1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x ＋a ，x ≥a ，e x ＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x ≥a ，e x ＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0.此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0，f (x )单调递增，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a ，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a －a －1≥ka 对任意a <0恒成立，设g (a )＝e a －(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a －(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意． 综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围；(3)求函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)，由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)，由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1,1]．(3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值．设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)， 所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0， 极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0， 故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3<x <－a . 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )．因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0，两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0，即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2， 所以x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0. 解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)，即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2.又因为a >0，所以0<a <2.因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数． 又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.。
2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：压轴小题突破练5 含解析 精品
5.与向量有关的压轴小题1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 方法一 AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠CAD ， ∵|AD →|＝1，∴AD →·AC →＝|AC →|cos ∠CAD ， ∵∠BAC ＝π2＋∠DAC ，∴cos ∠CAD ＝sin ∠BAC ，AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B ＝BCsin ∠BAC，变形得AC sin ∠BAC ＝BC sin B ， ∴AD →·AC →＝|AC →|sin ∠BAC ＝BC ·AD BD＝3，故选C.方法二 AD →·AC →＝AD →·(BC →－BA →)＝AD →·BC →－AD →·BA →＝AD →·3BD →＝3AD →·(BA →＋AD →)＝3AD →·BA →＋3AD →·AD →＝3.2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OC →·AB →的值为( ) A.85 B.75 C.－15 D.45 答案 C解析 ∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴4OB →＋5OC →＝－3OA →，∴16OB →2＋40OB →·OC →＋25OC →2＝9OA →2， 又∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，∴OB →·OC →＝－45，同理可求OA →·OC →＝－35，∴OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA →)＝－45－⎝⎛⎭⎫－35＝－15. 故选C.3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →||CA →＋y ·CB →||CB→，则xy 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 由题设sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0，也即cos C ＝0， ∴C ＝90°，又∵bc cos A ＝9，故b 2＝9，即b ＝3. ∵12ab ＝6，故a ＝4，c ＝5， 故建立如图所示直角坐标系xOy ，则A (3，0)，B (0，4)，则由题设可知P (x ，y )，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1且x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y4＝1≥2xy 12，即xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时“＝”成立，故选C. 4.(2017·运城期中)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A解析 如图所示，延长OA ，OB ，OC ，使OD ＝2OA ，OE ＝3OB ，OF ＝4OC ，∵2OA →＋3OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OE →＋OF →＝0，即O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB 的面积为16，△BOC 的面积为112，△AOC 的面积为18，故△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为16∶112∶18＝4∶2∶3.故选A.5.若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则|a ＋b －c |的最小值为( ) A.2－1 B.1 C.2＋1 D. 2 答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴|a ＋b |＝2，又∵(a ＋b )·c ＝|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝2cos 〈a ＋b ，c 〉，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ＋b )·c ＝3－22cos 〈a ＋b ，c 〉， ∴当cos 〈(a ＋b ，c )〉＝1时，|a ＋b －c |2min ＝3－22＝(2－1)2，∴|a ＋b －c |的最小值为2－1.6.已知向量m ＝(sin 2x ，1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos 2x ，－32，f (x )＝(m －n )·m ，则函数f (x )的最小正周期与最大值分别为( ) A.π，3＋22 B.π2，3＋22 C.π，72 D.π2，3 答案 B解析 ∵m －n ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x －cos 2x ，52， 则f (x )＝(m －n )·m ＝sin 2x (sin 2x －cos 2x )＋52＝sin 22x －12sin 4x ＋52＝－12(cos 4x ＋sin 4x )＋3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2，最大值为3＋22，故选B.7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝34BC →－23BA →，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 在线段AB 上取D 使AD ＝23AB ，则AD →＝－23BA →，过A 作直线l 使l ∥BC ，在l 上取点E 使AE →＝34BC →，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得AP →＝34BC →－23BA →，设△PBC 的高为h ，△ABC 的高为k ，由三角形相似可得h ∶k ＝1∶3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为13，故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a ，b 满足|a |＝22|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤π6，π4 答案 C解析 求导可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，则由函数f (x )＝2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋7在实数集R 上单调递增，可得f ′(x )＝6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ≥0恒成立，即x 2＋|a |x ＋a ·b ≥0恒成立， 故判别式Δ＝a 2－4a·b ≤0恒成立，再由|a |＝22|b |≠0，可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉≥22， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉∈⎣⎡⎦⎤0，π4. 9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M (1，0)，A ，B 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，且MA →·MB →＝0，则MA →·BA →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[1，9]C.⎣⎡⎦⎤23，9D.⎣⎡⎦⎤63，3 答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－1，y 1)，MB →＝(x 2－1，y 2)，BA →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，由题意有MA →·MB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0， 所以MA →·BA →＝(x 1－1)(x 1－x 2)＋y 1(y 1－y 2)＝(x 1－1)x 1－(x 1－1)x 2＋y 21－y 1y 2＝x 21－x 1＋y 21－[(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＋(x 1－1)]＝x 21－x 1＋1－14x 21－x 1＋1＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝⎛⎭⎫x 1－432＋23，x 1∈[－2，2]. 所以当x ＝－2时，MA →·BA →有最大值9， 当x ＝43时，MA →·BA →有最小值23，故选C.10.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，λμ＝18，则该双曲线的离心率为( )A.322B.2C.233D. 2答案 D解析 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，焦点F (c ，0)，则A ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，因为OP →＝λOA →＋μOB →，所以⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ＝⎝⎛⎭⎫(λ＋μ)c ，(λ－μ)bc a ，所以λ＋μ＝1，λ－μ＝b c ， 解得λ＝c ＋b 2c ，μ＝c －b 2c ，又由λμ＝18，得c 2－b 24c 2＝18，解得a 2c 2＝12，所以e ＝2，故选D.11.若点O ，F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最大值为______________. 答案 6解析 设P (x ，y )，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值为6，即OP →·FP →的最大值为6.12.(2017·江西抚州市七校联考) 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则CA →·CB →＝________. 答案 3解析 由a 2＋b 2－c 2＝3ab ，得2cos C ＝3，即cos C ＝32，由ac sin B ＝23sin C ，得abc ＝23c ，即ab ＝23，CA →·CB →＝ab cos C ＝23×32＝3.13.(2017届河南开封月考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ，0)(c ＞0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →＝2OE →－OF →，则双曲线的离心率为________.答案102解析 由OP →＝2OE →－OF →，得OE →＝12(OF →＋OP →)可知，E 为PF 的中点，令右焦点为F ′，则O 为FF ′的中点，PF ′＝2OE ＝a ， ∵E 为切点，∴OE ⊥PF ，PF ′⊥PF ，|PF |－|PF ′|＝2a ，|PF |＝3a ，|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2， 则10a 2＝4c 2，e ＝102. 14.(2017·北京市丰台区二模)已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →. ①若∠C ＝90°，则λ＋μ＝______________；②若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为______________. 答案 12 23解析 ①若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点， BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故填12.②设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎨⎧12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2，化简得⎩⎨⎧λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎨⎧λ＝23－a3c ，μ＝23－c3a ，则λ＋μ＝43－⎝⎛⎭⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23，当且仅当△ABC 为等边三角形时“＝”成立.。
2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)_构造函数解决高考导数问题(2021年整理)
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构造函数解决高考导数问题1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x 使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)1,23[e -B ．)43,23[e -C ．)43,23[eD ．)1,23[e2。
（2016·课标全国II 卷理）若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +1)的切线，则b = ．3。
(2016·北京理）（本小题13分)设函数f (x)=x a x e -+bx ，曲线y =f （x)在点（2,f (2））处的切线方程为y =（e －1)x +4， （I ）求a ,b 的值；（II) 求f (x ）的单调区间．4.（2017·全国III 卷文)（12分）已知函数()f x =ln x +ax 2+（2a +1)x ．(1）讨论()f x 的单调性;（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．5. (2016•四川卷文)（本小题满分14分）设函数f （x ）=ax 2－a －ln x ，g (x )=错误!－错误!,其中a ∈R ,e =2。
最新-2018年高考数学压轴题突破训练6 精品
2018年高考数学压轴题突破训练61．已知二次函数),,(,)(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(，且当∈x （1，3）时，有2)2(81)(+≤x x f 成立。
（1）证明：2)2(=f 。
（2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。
（3）设x m x f x g 2)()(-= ),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线41=y 的上方，求实数m 的取值范围。
2．（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b na +++=（n=1，2，3…），求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。
（8分）（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条件，需说明理由。
[提示：设数列{b n }为)3,2,1(2 =-=+n a a b n n n3．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为21，乙赢的概率为31，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、0=n a ,51,*≤≤∈n N n 令n n a a a S +++= 21.(Ⅰ)求53=S 的概率；（Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξS （ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望.4．如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) .（I ）若动点M 满足0=+⋅BM AB ，求点M 的轨迹C ；（II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求∆OBE 与∆OBF 面积之比的取值范围.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2,na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1). （1）求数列n n a a 的通项公式}{；（2）设.,}2{n nnn T n a T 求项和的前为数列ABCA 1B 1C 1O8、已知向量a ax x f a a a m -=>=221)()0( 21,1(，将函数的图象按向量m 平移后得到函数)(x g 的图象。
2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：压轴大题突破练(一)(含答案解析)
压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)在x 轴上的椭圆C ：x 28＋1．(2017届南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求|AT |·|BT ||MN |2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)因为椭圆x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1.整理得b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) . 所以椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以|AT |·|BT ||MN |2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2. 因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以|AT |·|BT ||MN |2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732. (3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ， 所以P (0，－k )，从而AP →＝(－x 1，－k －y 1)，TB →＝(x 2－1，y 2)． 因为AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25.由(2)知，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1). 因为x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，所以－4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍)．又因为k >0，所以k ＝ 2.2．(2017·福建省福州第一中学质检)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，F (－1,0)，M 是圆C 上的一个动点，线段MF 的垂直平分线与线段MC 相交于点P . (1)求点P 的轨迹方程；(2)记点P 的轨迹为C 1，A ，B 是直线x ＝－2上的两点，满足AF ⊥BF ，曲线C 1上过A ，B 的两条切线(异于x ＝－2)交于点Q ，求四边形AQBF 面积的取值范围． 解 (1)依题意得圆心C (1,0)，半径r ＝4， 由于|PF |＋|PC |＝r ＝4>|CF |＝2，所以点P 的轨迹方程是以C ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即a ＝2，c ＝1，则b 2＝22－1＝3，所以点P 的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线AF 的斜率存在且不为零， 设y ＝k (x ＋1)，令x ＝－2，得A (－2，－k )， 同理B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1k .设过点A 的切线为y ＝k 1(x ＋2)－k ， 代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 21)x 2＋8k 1(2k 1－k )x ＋4(2k 1－k )2－12＝0. 由Δ＝64k 21(2k 1－k )2－16(3＋4k 21)[(2k 1－k )2－3]＝0，解得k 1＝k 2－34k，同理过点B 的切线的斜率k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3k 2－14k .联立两条切线⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2－34k(x ＋2)－k ，y ＝3k 2－14k (x ＋2)＋1k，解得x ＝－4.S 四边形AQBF ＝12|AB ||x F －x Q |＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k≥3，当且仅当k ＝±1时等号成立，所以四边形AQBF 面积的取值范围是[3，＋∞)．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝3的距离之比为33. (1)求动点M 的轨迹C 的方程； (2)已知P 为定直线x ＝3上一点．①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G (G 不在y 轴上)，求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为(3,3)，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同的两点R ，T ，线段RT 上的点H 满足|PR ||PT |＝|RH ||HT |，求证：点H 恒在一条定直线上．(1)解 设M (x ，y )，则|MF |＝(x －1)2＋y 2， 点M 到直线x ＝3的距离d ＝|x －3|， 由|MF |d ＝33，得(x －1)2＋y 2|x －3|2＝13，化简得x 23＋y 22＝1， 即动点M 的轨迹C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明 因为P 为直线x ＝3上的一点， 所以令P 的坐标为(3，t )．①令G (x 0，y 0)，由FG ⊥FP ，得FG →·FP →＝0， 即(x 0－1，y 0)·(2，t )＝0，即ty 0＝2－2x 0， 又因为点G (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上，所以y 20＝2－2x 23，而PG ，OG 的斜率分别为k PG ＝y 0－t x 0－3，k OG ＝y 0x 0，于是k PG ·k OG ＝(y 0－t )y 0(x 0－3)x 0＝y 20－ty 0x 20－3x 0＝2－2x 23－2＋2x 0x 20－3x 0＝－23(x 20－3x 0)x 20－3x 0＝－23，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值－23.②令|PR ||PT |＝|RH ||HT |＝λ(λ>0)，则PR →＝λPT →，RH →＝λHT →，令点H (x ，y )，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－3，y 1－3)＝λ(x 2－3，y 2－3)，(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3＝λx 2－3λ，y 1－3＝λy 2－3λ，x －x 1＝λx 2－λx ，y －y 1＝λy 2－λy ，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3＝λx 2－x 1λ－1， ①3＝λy 2－y 1λ－1， ②x ＝λx 2＋x1λ＋1， ③y ＝λy 2＋y 1λ＋1， ④由①×③，②×④，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λ2x 22－x 21λ2－1， ⑤3y ＝λ2y 22－y21λ2－1. ⑥因为R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)在椭圆x 23＋y 22＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 21＋3y 21＝6，2x 22＋3y 22＝6，⑤×2＋⑥×3，得6x ＋9y ＝2λ2x 22－2x 21＋3λ2y 22－3y 21λ2－1＝λ2(2x 22＋3y 22)－(2x 21＋3y 21)λ2－1＝6λ2－6λ2－1＝6(λ2－1)λ2－1＝6， 即2x ＋3y －2＝0，所以点H 在定直线2x ＋3y －2＝0上．4．(2017届辽宁省锦州市质检)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >1)的左焦点F 与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，直线x －y ＋22＝0与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切． (1)求该椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．记△GFD 的面积为S 1，△OED 的面积为S 2.问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2，若存在，求直线AB 的方程，若不存在，说明理由．解 (1)由题意，得c ＝1，e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－0＋222＝12，即c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线AB 使S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x 轴，y 轴垂直，∴直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8k24k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝6k4k 2＋3， ∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k24k 2＋3，3k 4k 2＋3. ∵DG ⊥AB ，∴3k 4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D ×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0. ∵△GFD ∽△OED ，∴|GF ||OE |＝|DG ||OD |，∴|GF ||OE |·|DG ||OD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|DG ||OD |2，即S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|DG ||OD |2.又∵S 1＝S 2，∴|GD |＝|OD |，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0， ∵此方程无解，∴不存在直线AB 满足S 1＝S 2.。
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2018高考数学压轴小题突破练1.与函数、不等式有关的压轴小题1.(2017届枣庄期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg ||x ＋1的图象，如图所示：由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点有3个，故选C.2.设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，∀x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且在(0，＋∞)上f ′(x )＜x ，若f (4－m )－f (m )≥8－4m ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－2，2] B.[2，＋∞)C.[0，＋∞)D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 B解析 令g (x )＝f (x )－12x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，函数g (x )为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g ′(x )＝f ′(x )－x ＜0，且g (0)＝0，则函数g (x )是R 上的单调递减函数，故 f (4－m )－f (m )＝g (4－m )＋12(4－m )2－g (m )－12m 2＝g (4－m )－g (m )＋8－4m ≥8－4m ，据此可得g (4－m )≥g (m )，∴4－m ≤m ，m ≥2.3.(2017·马鞍山三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的根，则m的取值范围是( ) A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 答案 D解析 若m <0，那么f (x )＝f (－x )只会有2个交点，所以m ＞0， 若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，ln x ＝－mx有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′<0，函数单调递减，当x ＞1e 时，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－m ＞－1e ⇒m <1e ，所以0<m <1e ，故选D.4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0，1]，函数g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，43 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤23，43 D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 2x ＋1的值域是[0，1]，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0，1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0，1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0，1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－32a ＜0， 即a <12或a ＞43，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43，故选A. 5.(2017届河南天一大联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(45，＋∞) C.(3，＋∞) D.(45，3)答案 C解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜2，log a5＜4，得a ＞3，故选C.6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，－4a －32≥0，3a ≥1，解得13≤a ≤34.结合图象可知方程在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞23时，则x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，符合题设条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝34.故选C.7.(2017·四川成都一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[]－1，0时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝||cosπx 在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A.－7B.－6C.－3D.－1 答案 A解析 因为函数是偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：两个函数在区间⎣⎡⎦⎤－52，12上有7个交点，中间点是x ＝－1，其余6个交点关于x ＝－1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A.8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则t 的取值范围为( ) A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)C.[－2，1]D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 A解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1，当m ＝1时，t ＝－2，此时由m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上实数t 的取值范围为t ≤－2，故选A.9.若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( ) A.3B.4C.5D.6 答案 A解析 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，说明方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，∴方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的解为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，若x 1<x 2，即x 1是极大值点，x 2是极小值点， 由于f (x 1)＝x 1，∴x 1是极大值，f (x )＝x 1有两解，x 1＜x 2，f (x )＝x 2＞f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解，若x 1＞x 2，即x 1是极小值点，x 2是极大值点，由于f (x 1)＝x 1， ∴x 1是极小值，f (x )＝x 1有2解，x 1＞x 2，f (x )＝x 2<f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解. 综上可知，选A.10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[)0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n(n ∈N *)上的所有零点的和为( )A.n (n ＋1)2B.22n －1＋2n －1C.(1＋2n )22D.2n －1答案 B解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤1，f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，则21－1＝f (0)＋m ，可得m ＝1，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图：图象交点横坐标就是g (x )＝f (x )－x 的零点，由图知，在区间[0，2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3…＋(2n －1)＋2n ＝22n －1＋2n －1，故选B.11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，log a |x －1|＋1，x ≠1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个零点)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0，1，2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.12.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx ＝0，∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln xx(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，f 2(x )＝ln xx ，∴f 2′(x )＝1－ln x x2， 发现函数f 1(x )，f 2(x )在(0，e)上都单调递增，在(e ，＋∞)上都单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e.13.(2017届柳州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝__________. 答案 2解析 令t ＝f (x )，作出函数f (x )的图象如图所示：由图可知方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42－(2m ＋1)×4＋m 2＝0⇒m ＝2或m ＝6，又当m ＝2时，另一根为1，满足题意；当m ＝6时，另一根为9，不满足题意，故m ＝2.14.(2017·山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝e x －2＋x －3(e 为自然对数的底数)，g (x )＝x 2－ax－a ＋3.若存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是______________. 答案 []2，3解析 函数f (x )＝e x －2＋x －3的导数为f ′(x )＝e x －2＋1＞0，f (x )在R 上单调递增，由f (2)＝0，可得f (x 1)＝0的解为x 1＝2，存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，即为g (x 2)＝0且|2－x 2|≤1，即x 2－ax －a ＋3＝0在[1，3]上有解， 即有a ＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2在[1，3]上有解，令t ＝x ＋1(2≤t ≤4)，由t ＋4t －2在[2，4]上单调递增，可得最小值为2，最大值为3，则a 的取值范围是[2，3].。