导数及其应用第八讲导数的综合应用
导数的应用完全归纳
导数的应⽤完全归纳第8讲导数应⽤的题型与⽅法（4课时）⼀、考试内容导数的概念，导数的⼏何意义，⼏种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利⽤导数研究函数的单调性和极值，函数的最⼤值和最⼩值⼆、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在⼀点处的导数的定义和导数的⼏何意义，理解导函数的概念。
x的导数）。
掌握两个函数四⑵熟记基本导数公式（c,x m (m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, loga则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求⼀些实际问题（⼀般指单峰函数）的最⼤值和最⼩值。
三、复习⽬标1．了解导数的概念，能利⽤导数定义求导数．掌握函数在⼀点处的导数的定义和导数的⼏何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2．熟记基本导数公式（c,x m (m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, logx的导数）。
掌握两个函数四则a运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够⽤导数求单调区间，求⼀个函数的最⼤(⼩)值的问题，掌握导数的基本应⽤．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运⽤函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将⼀个函数的复合过程进⾏分解或将⼏个函数进⾏复合。
掌握复合函数的求导法则，并会⽤法则解决⼀些简单问题。
四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有⼒⼯具。
在⾼中阶段对于导数的学习，主要是以下⼏个⽅⾯:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（⽐初等⽅法精确细微）；（2）同⼏何中切线联系（导数⽅法可⽤于研究平⾯曲线的切线）；（3）应⽤问题（初等⽅法往往技巧性要求较⾼，⽽导数⽅法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
导数的综合应用
导数的综合应用类型一：导数的几何意义及应用例1.已知曲线3431)(3+=x x f 。
（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程； （2）求曲线过点P （2，4）处的切线方程；（3）求一满足斜率为1的切线方程。
变式1.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.2．设函数f(x)＝ax －b x，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．2. (2010湖北)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.y ＝f(x)在P(0，f(0))处切线方程为y ＝1.(1)确定b 、c 的值；(2)设y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))及(x 2，f(x 2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x 1≠x 2时， 12()()f x f x ''≠；(3)若过点(0,2)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，求a 的取值范围．类型二： 利用导数求解函数的单调性问题例2. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．变式1.已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y +=，求b a ,的值；（2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围。
2．已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．类型三：求函数的极值问题例3.已知函数f(x)＝kx ＋1x 2＋c(c ＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．变式1. 函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝ （ ）A ．9B ．－9C ．1D ．－12.已知函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，且x 1，x 2是f(x)的两个极值点， 0＜x 1＜1＜x 2＜3，则a 的取值范围_________.3．设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值.类型四：求解函数的最值问题例4.已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a)。
简析导数的概念在高等数学中的综合应用
简析导数的概念在高等数学中的综合应用导数是高等数学中重要的概念之一，它在数学应用中有着广泛的应用。
下面将简要分析导数的概念在高等数学中的综合应用。
导数的定义可以用于求函数的极值。
函数在局部最大或最小点处的导数为0。
我们可以通过计算函数的导数，并求解导数为0的解，来确定函数的最大和最小值。
这在优化问题中有着重要的应用。
我们想要求解一个函数的最大值，可以计算函数的导数，然后将导数为0的解代入函数中，得到这个函数的最大值。
这种方法被广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域的最优化问题。
导数的概念也可以应用于解析几何。
在解析几何中，我们经常需要求解曲线在某一点的切线方程。
根据导数的定义，曲线在某一点的切线的斜率等于曲线在该点的导数。
通过计算曲线在给定点的导数，我们可以求解曲线在该点的切线方程，从而研究曲线的性质。
这种方法在解析几何中有着重要的应用，用于研究曲线的变化趋势、曲线之间的关系等问题。
导数的概念还可以用于求解微分方程。
微分方程是数学中重要的方程类型之一，广泛应用于工程学、物理学等领域。
通过将微分方程转化为关于函数导数的方程，我们可以利用导数的定义，求解微分方程的解析解。
这种方法在工程学中的控制系统设计、物理学中的系统动力学等问题中有着广泛的应用。
通过求解微分方程的解析解，可以得到系统的稳定性、响应特性等重要信息。
导数的概念在微积分中还有其他的应用。
通过导数的概念，我们可以求解曲线的弧长、曲率等重要的几何性质。
导数也被用于求解函数的反函数。
通过求解函数的导数和反函数的导数之间的关系，可以确定反函数的导数，并计算反函数在给定点的导数值。
这些应用在几何、函数论、微积分中都有着重要的应用。
导数的概念在高等数学中有着广泛的应用。
它可以用于求解函数的极值，解析几何中的切线方程，微分方程的解析解等问题。
导数的概念在几何、函数论、微积分等数学分支中都有重要的应用，为研究和解决复杂问题提供了有力的数学工具。
导数的综合应用
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，
对于任意实
若 方 程 f ( x ) ＝即m的最大值为－34.
数x，
0有且仅有一
f′(x)≥m恒
个实根，求a
成立，求m 的取值范围．
的最1大．值；设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
1．求参数的取值范围
与导数相关的参数范围问题是高考中 考查的一个重点，大多
给出函数的单调性，属运用导数研究 函数单调性的逆向问题，解
题关键在于灵活运用等价转化、分类 讨论、数形结合等思想方法，
建立关于字母参数的不等关系．
2．用导数方法证不等式
用导数证不等式的一般步骤是：构造可 导函数→研究单调性
数单调递增，∴当 x＝20 时，y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里/ 小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
思想与方法
例题：(2011 年“江南十校” 联考)已知函数 f(x)＝ax3＋ bx2＋
cx 在 x＝±1 处取得极 值，且在 x＝0 处的切 线的斜率为－3.
8．利用数形结 合思想讨论函 数的图象及性
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)， 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
高考理科数学专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用答案.pdf
2
上单调递减，在
(
1 ,
2
) 上单调递增，作出 g( x) 与 h( x) 的大致图象如图所示，
y 3 g(x)=ex(2x-1)
2
1 O –３ –２ –１ –１
h(x)= ax- a 1 2x
h(0) g(0)
故
，即
h( 1)≤ g( 1)
a1 2a ≤
3 ，所以 3 ≤ a <1 ． 2e
e
1 7． D【解析】∵ f ( x) kx ln x ，∴ f ( x) k ，∵ f ( x) 在 (1, ) 单调递增，
象可知， y f ( x) 的极值点一负两正，所以 D 符合，选 D ．
3．D【解析】当 x ? 0 时，令函数 f ( x) 2 x2 ex ，则 f ( x) 4x ex ，易知 f ( x) 在 [0， ln 4 ）上单调递
增 ， 在 [ ln 4 ， 2] 上 单 调 递 减 ， 又 f (0)
18 ，选 B．
f ( x)
5． A 【解析】令 h( x) =
，因为 f ( x) 为奇函数，所以 h( x) 为偶函数，由于
x
xf ( x) f (x)
h (x)
x2
，当 x > 0 时， xf '( x) f (x) 0 ，所以 h( x) 在 (0, )
上单调递减，根据对称性 h( x) 在 ( ,0) 上单调递增，又 f ( 1) 0 ， f (1) = 0 ，
f (x) 0 ， f (x) 单调递减；当 x (1, ) ， f (x) 0 ， f ( x) 单调递增，所以 f (x) 的极小值为 f (1) (1 1 1)e1 1 1，选 A ．
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
导数的综合应用
3.3 导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．( √ )(2)函数f (x )＝x 2－3x ＋2的极小值也是最小值．( √ )(3)函数f (x )＝x ＋x －1和g (x )＝x －x －1都是在x ＝0时取得最小值－1.( × )(4)函数f (x )＝x 2ln x 没有最值．( × ) (5)已知x ∈(0，π2)，则sin x >x .( × )(6)若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．( × )1．(2014·湖南)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．2121e e ln ln xxx x >－－ B ．1221e eln ln xx x x <－－C ．1221e e x xx x > D ．1221e e xxx x < 答案 C解析 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e e xxx x >.2．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x (x >0)的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点， 也是最小值点，故t ＝22. 4．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件 D ．4百万件答案 C解析 y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0； 当x >3时，y ′<0.故当x ＝3时，该商品的年利润最大.题型一 利用导数证明不等式例1 已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <13e 时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >13e 时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，13e )上为增函数，在(13e ，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (13e )＝233e 2，即b 的最大值为233e 2.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．思维升华 利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x . 证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈(0，π4)时，F ′(x )>0，F (x )在[0，π4]上是增函数；当x ∈(π4，1)时，F ′(x )<0，F (x )在[π4，1]上是减函数．又F (0)＝0，F (1)>0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0， 即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1<0， 所以H (x )在[0,1]上是减函数， 则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x≤sin x≤x，x∈[0,1]．题型二利用导数研究函数零点问题例2(2013·北京)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解(1)由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)．∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，则a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．思维升华函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1， f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)． 题型三 生活中的优化问题例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维点拨 (1)由x ＝5时y ＝11求a ；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x 的函数关系，利用导数求最值． 解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm. 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一审条件挖隐含典例：(12分)设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M .(2)如果对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．审题路线图(1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M(正确理解“存在”的含义) [g (x 1)－g (x 2)]max ≥M挖掘[g (x 1)－g (x 2)]max 的隐含实质 g (x )max －g (x )min ≥MM 的最大整数值(2)对任意s ，t ∈[12，2]都有f (s )≥g (t )(理解“任意”的含义) f (x )min ≥g (x )max求得g (x )max ＝1 ax＋x ln x ≥1恒成立 分离常数 a ≥x －x 2ln x 恒成立求h (x )＝x －x 2ln x 的最大值 a ≥h (x )max ＝h (1)＝1 a ≥1 规范解答解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .[2分]由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x (x －23)．令g ′(x )>0得x <0，或x >23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间[0，23]上单调递减，在区间[23，2]上单调递增，所以g (x )min ＝g (23)＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.[5分](2)对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间[12，2]上，函数f (x )min ≥g (x )max .[7分]由(1)可知在区间[12，2]上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间[12，2]上，f (x )＝ax＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在区间[12，2]上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.[10分]即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间(12，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．方法与技巧1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 失误与防范1．函数f (x )在某个区间内单调递增，则f ′(x )≥0而不是f ′(x )>0，(f ′(x )＝0在有限个点处取到)．2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(b >－2)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在区间(a ，－2)(a <－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )(－2<b <0)内的函数值为负，由此可排除选项A ，B ，D.2．(2014·课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.4．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.33B. 3C.3＋1D.3－1 答案 D解析 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，若a >1，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ＝a 时，令f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． 若0<a ≤1，则f ′(x )≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1，故选D. 5．设函数h t (x )＝3tx －322t ，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0等于( )A ．5B. 5 C ．3D.7答案 D解析 ∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－322t ，则g ′(t )＝3x 0－123t ，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D. 6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，且当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.当x <1a时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，解得a ＝1.7．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.答案 －2或2解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．由题意知，f (1)＝0或f (－1)＝0，若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.8．设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．答案 4解析 若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4， 所以g (x )在区间(0，12]上单调递增， 在区间[12，1]上单调递减， 因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而k ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4.9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a .(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040小时，共耗油10040×(1128 000×403－380×40＋8)＝17.5(升)．因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时， 设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25.易知h (80)是h (x )在(0,120]上的最小值．故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．(2014·辽宁)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C 解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3， ∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3， φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.12．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为常数．若f (x )在(1，＋∞)上是减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x －a ，由题意得，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )≤0恒成立，即x ∈(1，＋∞)时a ≥1x 恒成立，则a ≥1.因为g ′(x )＝e x －a 在(1，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )>g ′(1)＝e －a .又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则必有e －a <0，即a >e.综上，a 的取值范围是(e ，＋∞)．13．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－1e，＋∞) 解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )当x >－1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x <－1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数f (x )的最小值为f (－1)＝－1e. 而函数g (x )的最大值为a ，则由题意，可得－1e ≤a 即a ≥－1e. 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.15．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12； (3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(1)解 ∵a ＝1，∴f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x＝x －1x， ∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明 ∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，∴[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln x x 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增．∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12， ∴[f (x )]min －[g (x )]max >12， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12. (3)解 假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，则f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a)上单调递减， 在(1a，e]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时f (x )无最小值． 综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.。
最新高考数学指导：导数的综合应用精编版
2020年高考数学指导：导数的综合应用精编版高考数学指导：导数的综合应用导数既是高中数学的新增内容，又是高考的新热点，导数知识的综合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.(一)求与曲线的切线斜率有关的问题曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线斜率为«Skip Record If...»，切线方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»例1 (03年高考题)设«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处切线的倾斜角的取值范围为«Skip Record If...»则点P到曲线«Skip Record If...»对称轴距离的取值范围为（）.(A)«Skip Record If...» (B) «Skip Record If...» (C) «Skip RecordIf...» (D) «Skip Record If...»分析：本题应把曲线的切线斜率、二次函数的性质及不等式的性质结合起来思考.解：∵«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的切线斜率是«Skip Record If...»又曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处切线的倾斜角的取值范围为«Skip Record If...»因此斜率的取值范围是«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»又曲线«Skip Record If...»对称轴方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»点P到曲线«Skip Record If...»对称轴距离为«Skip Record If...»其范围是«Skip Record If...», 故选(B).例2 (03年高考题)已知抛物线«Skip Record If...»如果直线«Skip Record If...»同时是«Skip Record If...»的切线，称«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)«Skip Record If...»取什么值时,«Skip Record If...»有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程；(2)若«Skip Record If...»有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.分析:先分别假设两抛物线上的切点，写出相应切线方程，再由它们是同一个方程，得出对应项系数相等进行思考.解:(1)函数«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线方程«Skip Record If...»即«Skip Record If...»①函数«Skip Record If...»曲线«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的切线方程：«Skip Record If...»即«Skip Record If...»②若直线«Skip Record If...»是过«Skip Record If...»的公切线，则①和②都是«Skip Record If...»的方程，所以«Skip Record If...»消去«Skip Record If...»若判别式«Skip Record If...»此时点P与Q重合.«Skip Record有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(2)略.(二)求运动物体的瞬时速度物体的运动方程为«Skip Record If...»则物体的瞬时速度为«Skip Record If...»例3 向高为8m,上口直径为8m的倒圆锥形容器内注水,其速度为每分种4m«Skip Record If...»,求当水深为5m时,水面上升的速度.分析：由注水体积与容器内的水的体积相等，建立水深与时间的函数关系，再用导数方法思考相应时刻水深的变化率.解:设t分钟后水深为y m,此时水面半径为«Skip RecordIf...»m, «Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»«Skip Record If...».答:水面上升的速度为每分钟«Skip Record If...»米.例4 两船同时从同一码头出发,甲船以每时30公里的速度向北行驶,乙船以每时40公里的速度向东行驶,求两船相离的速度.分析：本题由物体运动距离与时间的关系，思考物体在各时刻的运动状态.解:依题意有,两船的距离d与时间t的函数关系为: «Skip Record If...» «Skip Record If...»,其中«Skip Record If...»两船相离的速度为每时«Skip Record If...»公里.(三)求函数单调区间函数«Skip Record If...»内可导,若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内为增函数(或减函数).即:①«SkipRecord If...»单增(减)区间为«Skip Record If...»的解集为«SkipRecord If...»②«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单增(减))0(0)(<>'⇔x f ,在«Skip Record If...»内恒成立.例5 (02年高考题)已知函数«Skip Record If...»在x =1处有极小值«Skip Record If...»，试确定a ,b 的值，并求出«Skip Record If...»的单调区间.分析：由函数值和极值确定a 、b ，再根据导函数值的符号确定函数单调区间.解：由已知,可得«Skip Record If...»①，«Skip Record If...»«Skip Record If...»②.由①②得«Skip Record If...».故«Skip Record If...». «Skip Record If...». 令«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»为单增；在«SkipRecord If...»为单减.例6 (03年高考题)设«Skip Record If...»求函数«SkipRecord If...»的单调区间.分析:本题是含参数函数的单调区间问题,要对参数进行分类讨论.解：«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...» 时，对所有«Skip RecordIf...»，有«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增.(2)当«Skip Record If...»时，对所有«Skip RecordIf...»，有«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增,在«Skip Record If...»内单调递增.又«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递增.(3)当«Skip Record If...»时，令«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单增,在«SkipRecord If...»内单增.令«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»得«Skip Record If...»故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调递减.(四)求函数的最值求可导函数«Skip Record If...»的极值的步骤为：①求导数«Skip Record If...»②求方程«Skip Record If...»的根;③检验«Skip Record If...»在方程根左右的符号，若左正右负，则«Skip Record If...»在这个根处取极大值；若左负右正，则«Skip Record If...»在这个根处取极小值；若左右符号相同，则«Skip Record If...»在这个根处没有极值.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最值的步骤为：①求«Skip Record If...»内的极值；②将«Skip Record If...»的各个极值与«Skip Record If...»、«Skip Record If...»比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.例7 (00年上海高考题)已知函数«Skip Record If...»(1)当«Skip Record If...»时，求函数«Skip Record If...»的最小值;(2)若对任意«Skip Record If...»恒成立,试求实数a的取值范围.分析：本题由导函数值的符号确定函数的单调性,再求其最值.解：(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»上单增，最小值为«Skip Record If...»(2)对«Skip Record If...»恒成立«Skip Record If...»恒成立«Skip Record If...»恒成立.设«Skip Record If...»,则a大于u的最大值,又«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»是减函数，当«Skip Record If...»时u取得最大值«Skip Record If...»«Skip Record If...»例8 求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值和最小值.分析：先用分段函数表示，思考连续函数在闭区间上的极值及在端点处的值，即可得出最值.解:∵«Skip Record If...»上连续，«Skip Record If...»必存在最大值和最小值.∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»在x=0处不可导，且解«Skip Record If...»得«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»函数«Skip Record If...»在x=0处取得最小值0；在x=«Skip Record If...»处取得最大值10.(五)求参数的范围此类问题考虑参数与变量分离的方法解决.例9 (00年高考题)设函数«Skip Record If...»,其中«Skip Record If...».(1)解不等式«Skip Record If...»；(2)求«Skip Record If...»的取值范围，使函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上是单调函数.分析：要使函数单调则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上恒正或恒负.解：(1)略.(2)«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时， «Skip Record If...»«Skip Record If...»又a>0,«Skip Record If...»当且仅当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...» «Skip Record If...»上恒小于0.故«Skip Record If...»上是单减函数. 例10 (02年上海高考题)已知函数«Skip Record If...» (1)当«Skip Record If...»时，求函数«Skip Record If...»的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上是单调函数.解: (1) «Skip Record If...»«Skip Record If...»令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»比较«Skip Record If...»得«Skip Record If...»的最大值37，最小值1.(2)要使«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调，当且仅当«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»总成立.«Skip Record If...»(六)求函数解析式此类问题往往先用待定系数法设出函数的解析式,再用函数性质思考.例11 (95年上海高考题)设«Skip Record If...»是二次函数，方程«Skip Record If...»有两个相等的实根，且«Skip Record If...»求«Skip Record If...»的表达式.分析:由待定系数法设出二次函数的解析式,用导函数比较系数和判别式为零来解.解：设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»又«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»又方程«Skip Record If...»有两个相等实根, «Skip Record If...»故«Skip Record If...»例12 已知«Skip Record If...»是一个一元三次函数, «Skip Record If...»在«Skip Record If...»«Skip Record If...»处分别取得极值«Skip Record If...»求此函数的解析式.分析:由函数值和导函数值列出方程组思考解决.解:设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»依题意有：«Skip Record If...»①«Skip Record If...»②«Skip Record If...»③«Skip Record If...»④解①②③④的方程组,得«Skip Record If...»即«Skip Record If...»(七)证明不等式这是导数问题的新题型, 函数、方程、不等式相互关联,解题时往往构造函数，考虑函数的性质.例13 (01年高考题)已知«Skip Record If...»是正整数，且«Skip Record If...»(1)证明:«Skip Record If...»(2)证明:«Skip Record If...»分析：本题不等式（2）等价于«Skip Record If...»，即«Skip Record If...» «Skip Record If...»，构造函数«Skip Record If...»思考其单调性即可.证明:(1)略.(2)考查函数«Skip Record If...»则«Skip Record If...»由«Skip Record If...»知,«Skip Record If...»«Skip Record If...»上单减.又«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»故«Skip Record If...»例14若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»取得极值«Skip Record If...»求证：«Skip Record If...»分析：由s, t是«Skip Record If...»的两实根，考查«Skip Record If...»的根的分布.证明：∵«Skip Record If...»«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»取得极值，«Skip Record If...»是方程«Skip Record If...»得两根，由根与系数关系知«Skip Record If...»均大于0.又«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内分别有一根.∵«Skip Record If...»(八)解应用问题解决数学应用问题，先构造目标函数，再根据导数和不等式知识确定函数的极值或最值.例15 一种变压器的铁心的截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字型应具有«Skip Record If...»cm«Skip Record If...»的面积，问应如何设计正十字型的宽x和长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁心上的铜线最省.解:设«Skip Record If...»由条件知«Skip Record If...»«Skip Record If...»设外接圆半径为R,«Skip Record If...»记«Skip Record If...» «Skip Record If...»则«Skip Record If...»令«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»最小，即R最小，从而周长最小，此时«Skip Record If...»cm,«Skip Record If...»«Skip Record If...»cm.例16 (01年高考题)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm«Skip Record If...»,画面的宽与高的比为«Skip Record If...»,画面的上、下各8cm空白,左、右各留5cm空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？解:设画面高为x cm,宽为«Skip Record If...»cm,则«Skip Record If...»设纸张面积为S，有«Skip Record If...» «Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»此时«Skip Record If...»S 有最小值,从而«Skip Record If...»答:画面的高为88cm,宽为55cm,能使宣传画所用纸张面积最小.。
导数的综合应用
导数的综合应用一、导数在不等式中的应用考点一 构造函数证明不等式【例1】 已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1；(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝x －1x(x >0)， 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0，即g (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.所以g (x )≥g (1)＝1，得证.(2)由f (x )＝1－x －1e x ，得f ′(x )＝x －2e x ， 所以当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (2)＝1－1e 2(当且仅当x ＝2时取等号).① 又由(1)知x －ln x ≥1(当且仅当x ＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 规律方法 1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，有f (a )≤f (x )≤f (b )，②∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则∀x ∈D ，有f (x )≤M (或f (x )≥m ).2.证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决.考点二 利用“若f (x )min >g (x )max ，则f (x )>g (x )”证明不等式【例2】 已知函数f (x )＝x ln x －ax .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最值；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1>1ex ＋1－2e 2x 成立. (1)解 函数f (x )＝x ln x －ax 的定义域为(0，＋∞).当a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x ，f ′(x )＝ln x ＋2.由f ′(x )＝0，得x ＝1e 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，f ′(x )<0；当x >1e 2时，f ′(x )>0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞上单调递增. 因此f (x )在x ＝1e 2处取得最小值，即f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝－1e 2，但f (x )在(0，＋∞)上无最大值. (2)证明 当x >0时，ln x ＋1>1e x ＋1－2e 2x 等价于x (ln x ＋1)>x ex ＋1－2e 2. 由(1)知a ＝－1时，f (x )＝x ln x ＋x 的最小值是－1e 2，当且仅当x ＝1e 2时取等号. 设G (x )＝x ex ＋1－2e 2，x ∈(0，＋∞)， 则G ′(x )＝1－x ex ＋1，易知G (x )max ＝G (1)＝－1e 2， 当且仅当x ＝1时取到，从而可知对一切x ∈(0，＋∞)，都有f (x )>G (x )，即ln x ＋1>1ex ＋1－2e 2x .规律方法 1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f (x )min >g (x )max 恒成立.从而f (x )>g (x )，但此处f (x )与g (x )取到最值的条件不是同一个“x 的值”.考点三 不等式恒成立或有解问题角度1 不等式恒成立求参数【例3－1】 已知函数f (x )＝sin x x(x ≠0). (1)判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性； (2)若f (x )<a 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，求实数a 的最小值. 解 (1)f ′(x )＝x cos x －sin x x 2， 令g (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则g ′(x )＝－x sin x ， 显然，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )＝－x sin x <0，即函数g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，且g (0)＝0. 从而g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于零， 所以f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于零， 所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减. (2)不等式f (x )<a ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，即sin x －ax <0恒成立. 令φ(x )＝sin x －ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则φ′(x )＝cos x －a ，且φ(0)＝0.当a ≥1时，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上φ′(x )<0，即函数φ(x )单调递减， 所以φ(x )<φ(0)＝0，故sin x －ax <0恒成立.当0<a <1时，φ′(x )＝cos x －a ＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上存在唯一解x 0， 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )>0，故φ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，且φ(0)＝0，从而φ(x )在区间(0，x 0)上大于零，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾.当a ≤0时，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上φ′(x )>0，即函数φ(x )单调递增，且φ(0)＝0，得sin x －ax >0恒成立，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾.故实数a 的最小值为1.规律方法 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a ≥f (x )(或a ≤f (x ))的形式，通过求函数y ＝f (x )的最值求得参数范围.角度2 不等式能成立求参数的取值范围【例3－2】 已知函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R ).(1)若f (x )在区间[1，2]上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)函数g (x )＝(1－a )x ，若∃x 0∈[1，e]使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝（2x －1）（x －a ）x，当导函数f ′(x )的零点x ＝a 落在区间(1，2)内时，函数f (x )在区间[1，2]上就不是单调函数，即a ∉(1，2)，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).(2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解，即x 2－2x ＋a (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解.因为当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，x －ln x >0，所以a ≤x 2－2x x －ln x 在区间[1，e]上有解. 令h (x )＝x 2－2x x －ln x ，则h ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2. 因为x ∈[1，e]，所以x ＋2>2≥2ln x ，所以h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上单调递增，所以x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝e(e －2)e －1， 所以a ≤e(e －2)e －1， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e(e －2)e －1. 规律方法 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ；a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max .2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x 1∈A ，任意x 2∈B 使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )max ≥g (x )max ；(2)任意x 1∈A ，存在x 2∈B ，使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )min ≥g (x )min .[方法技巧]1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题.2.恒(能)成立问题的转化策略.若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ，f (x )>0⇔f (x )min >0；∀x ∈D ，f (x )<0⇔f (x )max <0.(2)能成立：∃x ∈D ，f (x )>0⇔f (x )max >0；∃x ∈D ，f (x )<0⇔f (x )min <0.3.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.4.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.二、导数在函数零点中的应用考点一 判断零点的个数【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋g (x )极大值 极小值当0<x ≤3时，g 当x >3时，g (e 5)＝e 5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，故g (x )仅有1个零点．规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g (x )(要求g ′(x )易求，g ′(x )＝0可解)，转化确定g (x )的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g (x )的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】 函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝1处取得极值．(1)求f (x )的单调区间；(2)若y ＝f (x )－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ax ＋x ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，因为f ′(1)＝a ＋1＝0，解得a ＝－1，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋x ln x ，即f ′(x )＝ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1.所以f (x )在x ＝1处取得极小值，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y ＝f (x )－m －1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y ＝f (x )与y ＝m ＋1图象有两个不同的交点． 由(1)知，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－1，由题意得，m ＋1>－1，即m >－2，①当0<x <e 时，f (x )＝x (－1＋ln x )<0；当x >e 时，f (x )>0.当x >0且x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，显然f (x )→＋∞.由图象可知，m ＋1<0，即m <－1，②由①②可得－2<m <－1.所以m 的取值范围是(－2，－1)．规律方法 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．考点三 函数零点的综合问题【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a . (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4时，且b <14，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 规律方法 1.在(1)中，当a >0时，f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而f ′(x )在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b ，使f ′(b )<0.2．由(1)知，函数f′(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)≥2a＋a ln 2 a.[方法技巧]1．解决函数y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等．2．通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解”问题相互转化．3．函数y＝f(x)在某一区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.。
高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)
导数及其应用（理）（一）导数导数的基本知识点：（一）．极限的基础知识:1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.5.两个重要的极限（1）0sin lim1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).基本方法和数学思想1.数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim=∞→nn ，0lim =∞→n n q （a <1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S nn -==∞→1lim 1（0<1<q ）2.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则；3..函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4..初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→（二）导数的定义：1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.例题讲解：求极限的方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x例4、(1)1lim2n a n n a ∞++=+→，则a =例5、）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）当时） ，点在x=0处连续，则2221lim x an a n n →∞+=+ .例6、（2007湖北理）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→A ．0B ．1C ．pqD ．11p q --练习：极限及其运算1.(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ;(4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-=;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .2.设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= . 3.已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .4.下列说法正确的是 A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B若()f x 则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.5.下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩导数的几何意义应用：一、知识点：1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是________________________________.2. 若函数)(x f y =在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线上点))(,(00x f x 处的切线方程是___________________________.3.曲线423+-=x x y 在点（1,3）处的切线的倾斜角为_______.4.曲线12++=x xe y x 在点（0,1）处的切线方程是_______________________.5.曲线2-=x xy 在点1=x 处的切线方程是______________________________. 例题：1.已知函数ax x x f +=32)(与c bx x g +=2)(的图像都过点P(2,0),且在点P 处有相同的切线。
导数及其应用第八讲 导数的综合应用
专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用2019年1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数f(x) 2x 3 ax2 2.（1）讨论f(x) 的单调性；（2）当0<a<3时，记f(x) 在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M m的取值范围.2.（2019北京文20）已知函数1f(x) x x x．3 24（Ⅰ）求曲线y f(x) 的斜率为1 的切线方程；（Ⅱ）当x[2, 4]时，求证：x 6 f(x) x；（Ⅲ）设F(x) | f(x) (x a) | (a R) ，记F(x) 在区间[2, 4] 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a 的值．3.（2019江苏19）设函数f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x) 为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x) 的零点均在集合{3,1, 3}中，求f（x）的极小值；（3）若a0,0 b…1,c1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4 27．4.（2019 全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．5.（2019 全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．6.（2019 全国Ⅱ文21）已知函数f(x) (x1) ln x x1.证明：（1）f(x) 存在唯一的极值点；（2）f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.17.（2019 天津文20）设函数f(x) ln x a(x1)e x，其中a R. （Ⅰ）若a≤0 ，讨论f x 的单调性；1（Ⅱ）若0 a，e（i）证明f x恰有两个零点（ii）设x为f x 的极值点，x为f x的零点，且1 x x，证明3x x2.1 0 0 18.（2019 浙江22）已知实数a0 ，设函数f(x)=a ln x x1, x0.（1）当3a时，求函数f(x) 的单调区间；4（2）对任意1 xx[ ,) 均有( ) ,f x求a的取值范围.e 2a2注：e=2.71828…为自然对数的底数.2010-2018 年一、选择题1．（2017 新课标Ⅰ）已知函数f(x) ln x ln(2 x) ，则A．f(x) 在(0, 2) 单调递增B．f(x) 在(0, 2) 单调递减C．y f(x) 的图像关于直线x1对称D．y f(x) 的图像关于点(1, 0) 对称2．（2017 浙江）函数y f(x) 的导函数y f(x) 的图像如图所示，则函数y f(x) 的图像可能是yO x2yyOxxOA ．B ．yyxxOOC ．D ．3．（2016 年全国 I 卷）若函数1f x x x a x 在 (,) 单调递增，则 a 的( )sin 2 sin 3取值范围是 A ．[1, 1]B ．[1, 1]C ．[ 1 , 1]D ．[ 1, 1]33 334．（2016 年四川）已知 a 为函数 f (x ) x 3 12x 的极小值点，则 aA ． 4B ． 2C ．4D ．25．（2014 新课标 2）若函数 f (x ) kx ln x 在区间（1，+ ）单调递增，则 k 的取值范围是 A．,2B．,1C ．2,D ．1,6．（2014 新课标 2）设函数 f x3 sin x．若存在 f x的极值点mx满足2x f xm ，则 m 的取值范围是2 2A．,66,B．,44,C ．,22,D ．,11,7．（2014 辽宁）当 x [2,1]时，不等式 ax3x24x 3 0恒成立，则实数 a 的取值范围是3A ．[5,3]B ．[ 6, 9]C ．[6,2]D ．[4,3]88．（2014 湖南）若0 x x1，则12xxlnlne eln x ln xA ．21e ex xB ．xx212121C ． x ex eD ． xx 1221x exx ex1221a9．（2014 江西）在同一直角坐标系中，函数 y ax 2 x与 y a 2 x 3 2ax 2 x a2(a R ) 的 图 像 不．可．能．的是 yyyyOxxOAxOBCxOD f x x 3 ax 2bx c ，下列结论中错误的是10．（2013 新课标 2）已知函数A ．x 0 R , f x0 0B ．函数 yf x的图像是中心对称图形C ．若 x 是 f x的极小值点，则 fx 在区间, x 单调递减D ．若 x 是 f x的极值点，则f ' x11．（2013 四川）设函数 f (x ) e x x a （ a R ，e 为自然对数的底数）．若存在b[0,1]使 f ( f (b )) b 成立，则 a 的取值范围是（ ）A ．[1,e ]B ．[1,1 e ]C ．[e ,1 e ]D ．[0,1]x 0 (x 0 0)是 f (x ) 的极大值点，以下结论一12．（2013 福建）设函数f(x) 的定义域为R，定正确的是A．xx R, f(x) f(x) B．是f(x) 的极小值点0 0C．x是f(x) 的极小值点D．是f(x) 的极小值点x0 01 213．（2012 辽宁）函数y x ln x的单调递减区间为24A．(－1,1] B．(0,1] C．[1,+ ) D．(0,+ )14．（2012 陕西）设函数f(x ) xe x，则A．x 1为f(x) 的极大值点B．x 1为f(x) 的极小值点C．x1为f(x) 的极大值点D．x1为f(x) 的极小值点15．（2011 福建）若a0 ，b0，且函数f(x ) 4x3 ax2 2bx 2 在x 1处有极值，则ab的最大值等于A．2 B．3 C．6 D．916．（2011 浙江）设函数fx ax bx c a b c R，若x1为函数2 , , f x e的一x 个极值点，则下列图象不可能为yf x的图象是A B C D 17．（2011 湖南）设直线x t与函数f(x ) x2 ，g(x ) ln x的图像分别交于点M, N，则当MN达到最小时t的值为A．1 B．12C．52D．22二、填空题18．（2016 年天津）已知函数f(x ) (2x+1)e x, f (x) 为f(x) 的导函数，则f (0) 的值为____. 19．（2015 四川）已知函数f(x ) 2x，g(x ) x 2 ax(其中a R )．对于不相等的实数f(x) f(x)x x，设m＝ 1 21, 2x x1 2g(x) g(x)，n＝ 1 2x x1 2．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x x，都有m 0；1, 2②对于任意的a及任意不相等的实数x x，都有n>0 ；1, 2③对于任意的a，存在不相等的实数x x，使得m n；1, 2x x，使得mn；5④对于任意的 a ，存在不相等的实数 x x ，使得 m n ．1, 2x x ，使得 m n ． 其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．20．（2011 广东）函数 f x x x 在 x =______处取得极小值．( )3132三、解答题21．（2018 全国卷Ⅰ）已知函数 f (x ) ae x ln x 1．(1)设 x 2 是 f (x ) 的极值点．求 a ，并求 f (x ) 的单调区间； 1(2)证明：当 a ≥ 时， f (x )≥0 ．e 22．（2018 浙江）已知函数f (x ) x ln x ．(1)若 f (x ) 在 x x ， 1x ( 2x x )处导数相等，证明： 1 2f (x ) f (x ) 88ln 2 ；1 2(2)若 a ≤3 4ln 2 ，证明：对于任意 k0 ，直线 y kx a 与曲线 yf (x ) 有唯一 公共点．23．（2018 全国卷Ⅱ）已知函数 ( ) 1 3( 21)f xx a x x．3(1)若 a 3，求 f (x ) 的单调区间； (2)证明： f (x ) 只有一个零点．24．（2018 北京）设函数 f (x ) [ax (3a 1)x 3a 2]e x．2(1)若曲线 yf (x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a ； (2)若 f (x ) 在 x 1处取得极小值，求 a 的取值范围．25．（2018 全国卷Ⅲ）已知函数f (x )ax 2 x 1 ．e x(1)求曲线 yf (x ) 在点(0,1) 处的切线方程； (2)证明：当 a ≥1时， f (x ) e ≥0 ．26．（2018 江苏）记 f (x ), g (x ) 分别为函数 f (x ), g (x ) 的导函数．若存在 xR ，满足f (x )g (x ) 且 0 0f xg x ，则称 ( ) ( )x 为函数 f (x ) 与 g (x ) 的一个“ S 点”．(1)证明：函数f(x) x与g(x) x2 2x 2 不存在“S点”；6(2)若函数 f (x ) ax 1与 g (x ) ln x 存在“ S 点”，求实数 a 的值；2(3)已知函数f x x a ， ( )e( )g x．对任意 a 0 ，判断是否存在b 0，使函bx2x数 f (x ) 与 g (x ) 在区间 (0,)内存在“ S 点”，并说明理由．27．（2018 天津）设函数 f (x )=(x t )(x t )(x t ) ，其中t t tR ，且1, 2 , 3t t t 是公差 1, 2 , 3123为 d 的等差数列． (1)若 20, 1,t d 求曲线 y f (x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；(2)若 d 3，求 f (x ) 的极值；(3)若曲线 y f (x ) 与直线 y (x t ) 6 3 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围．228．（2017 新课标Ⅰ）已知函数 f (x ) e x (e xa ) a x ．2(1)讨论 f (x ) 的单调性；(2)若 f (x )≥0 ，求 a 的取值范围．29．（2017 新课标Ⅱ）设函数 f (x ) (1 x 2 )e x ．(1)讨论 f (x ) 的单调性；(2)当 x ≥ 0 时， f (x )≤ ax 1，求 a 的取值范围． 30．（2017 新课标Ⅲ）已知函数 f (x ) ln x ax (2a 1)x ．2(1)讨论 f (x ) 的单调性； (2)当 a 0 时，证明 ( )3 2f x≤．4a31．（2017 天津）设 a ,b R ，| a |≤1．已知函数 f (x ) x36x 23a (a 4)x b ，g (x ) e x f (x ) ．（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y g (x ) 和 y e x 的图象在公共点(x , y ) 处有相同的切线，（i）求证：f(x) 在x x处的导数等于0；7（ii）若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x1, x1]上恒成立，求b的取值范围．0 032．（2017 浙江）已知函数f(x) (x2x1)e x( 1)x≥．2（Ⅰ）求f(x) 的导函数；1（Ⅱ）求f(x) 在区间[ ,) 上的取值范围．233．（2017 江苏）已知函数( ) 1f x x3 ax2 bx(a0,b R) 有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x) 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；b2 3a；（2）证明：34．（2016 年全国I 卷）已知函数f(x) (x2)e a(x1) .2 2(I)讨论f(x) 的单调性；(II)若f(x) 有两个零点，求a的取值范围.35．（2016 年全国II 卷）已知函数f(x) (x1) ln x a(x1) .(Ⅰ)当a4时，求曲线y f(x) 在1, f(1)处的切线方程；(Ⅱ)若当x1,时，f(x)＞0 ，求a的取值范围.36．（2016 年全国III 卷）设函数f(x) ln x x1．（Ⅰ）讨论f(x) 的单调性；（Ⅱ）证明当x(1,) 时，1 1x；xln x（III）设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)x c x．37．（2015 新课标2）已知函数f(x) ln x a(1x) ．（Ⅰ）讨论f(x) 的单调性；（Ⅱ）当f(x) 有最大值，且最大值大于2a 2 时，求a的取值范围．f x 2 ae x ln8（Ⅰ）讨论 f x的导函数 fx零点的个数；2（Ⅱ）证明：当 a 0 时f x2a a ln ≥．a39．（2014 新课标 2）已知函数 f (x ) x 3x ax 2 ，曲线 y f (x ) 在点（0，2）处的32切线与 x 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求 a ；（Ⅱ）证明：当 k 1时，曲线 y f (x ) 与直线 y kx 2 只有一个交点．40．(2014 山东）设函数(2 ln )xk （ k 为常数， e 2.71828L 是自然对数efx 2x xx的底数）（Ⅰ）当 k 0 时，求函数 f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f x在0, 2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 1 af x a ln x x bx a 1 ，41．（2014 新课标 1）设函数22曲线 y f x 在点1，f 1处的切线斜率为 0（Ⅰ）求b ；a（Ⅱ）若存在，求 a 的取值范围．x使得1,f xa 1x 142．（2014 山东）设函数 ( ) ln ，其中 a 为常数．f x a xx 1（Ⅰ）若 a 0 ，求曲线 y f (x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数 f (x ) 的单调性．43．(2014 广东) 已知函数1f(x ) x x ax 1(a R)3 23（Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间；（Ⅱ）当a 0 时，试讨论是否存在1 1x(0, ) U( ,1) ，使得2 21f(x ) f( ) ．244．(2014 江苏)已知函数f(x ) e x e x，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：f(x) 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x的不等式mf(x) ≤e x m1在(0,) 上恒成立，求实数m的取值范围；9（Ⅲ）已知正数a满足：存在x0 [1,) ，使得f(x0 ) a(x03 3x0 ) 成立．试比较e a1与a e1 的大小，并证明你的结论．45．（2013 新课标1）已知函数f(x) e x(ax b) x2 4x，曲线y f(x) 在点(0, f(0)) 处切线方程为y4x 4 ．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）讨论f(x) 的单调性，并求f(x) 的极大值．46．（2013 新课标2）已知函数f(x) x2e x．（Ⅰ）求f(x) 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y f(x) 的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．a（a R，e为自然对数的底数）．47．（2013 福建）已知函数f(x) x 1ex（Ⅰ）若曲线y f(x) 在点(1, f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f(x) 的极值；（Ⅲ）当a1的值时，若直线l: y kx1与曲线y f(x) 没有公共点，求k的最大值．48．(2013 天津)已知函数f(x) x2 ln x．（Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t0 ，存在唯一的s，使t f(s) ．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s g(t) ，t e时，有2 ln g(t) 12．证明：当5 ln t 249．（2013 江苏）设函数f x ln x ax，g x e x ax，其中a为实数．（Ⅰ）若f x在1,上是单调减函数，且g x在1,上有最小值，求a的取值范围；10（Ⅱ）若 g x在1,上是单调增函数，试求 fx的零点个数，并证明你的结论．50．（2012 新课标）设函数 f (x )= e －ax －2x（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间（Ⅱ）若 a 1， k 为整数，且当 x 0 时，(x k ) f (x ) x 1 0 ，求 k 的最大值51．（2012 安徽）设函数1f (x ) ae xb (a 0)aex（Ⅰ）求 f (x ) 在[0,) 内的最小值；（Ⅱ）设曲线 y f (x ) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为3y x ；求 a ,b 的值。
重难点08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用—2023年高考数学(原卷版)
重难点08 导数在研究函数图像与性质中的应用一.导数的计算二.切线方程的求法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x 0)，再根据y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可． 3.求切点坐标已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 三.求参数的值(范围)1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 四.解决两曲线的公切线问题的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.2023年高考仍然重点考查利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．已知曲线y ＝24x －3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-3．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+4．曲线y=x 3+11在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A ．﹣9B ．﹣3C ．9D ．155．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒6．已知f (x )＝x ln x ，若0()2f x '=，则x 0＝（ ） A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln27．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +128．若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<9．曲线sin 1y sin cos 2x x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则=a A ．2B ．12C ．12-D ．2-12．曲线2e 1x y -=+在点 ()0,2处的切线与直线0y =和 y x =围成的三角形的面积为 A ．13B ．12C ．23D ．1二、填空题 13．曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 14．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 15．曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则=a ________.16．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．三、解答题17．设函数32()33f x x ax bx =-+的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点（1，－11）． (1)求a 、b 的值．(2)讨论函数f （x ）的单调性．18．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．。
导数的应用课件
02
导数在函数中的应用
Chapter
函数的单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性 ，通过导数的正负来判断函数在 某区间内的增减性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0 ，则函数在此区间内单调递增； 如果导数小于0，则函数在此区间 内单调递减。
函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，当导数 由正变为负或由负变为正时，函数在 此点取得极值。
06
导数在其他领域的应用
Chapter
在化学反应速率中的应用
总结词
导数在化学反应速率中的应用主要表现在反 应速率的计算和反应机理的研究上。
详细描述
在化学反应中，反应速率是描述反应快慢的 重要参数。通过导数的计算，可以精确地描 述反应速率随温度、压力、浓度等条件的变 化情况，进而研究反应的动力学特征和机理 。导数分析有助于深入理解化学反应的本质 ，为优化反应条件和提高产率提供理论支持 。
速度与加速度
速度
瞬时速度是物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，它由物体运动的距离和时间的比值定义。导数可以用来计 算瞬时速度，通过求位移函数的导数，得到瞬时速度的表达式。
加速度
加速度是速度的变化率，表示物体运动的快慢和方向。导数可以用来计算加速度，通过求速度函数的导数，得到 加速度的表达式。
斜抛运动
05
导数在经济学中的应用
Chapter
边际分析
01
边际成本
导数可以用来计算边际成本，即生产某一数量的产品所需增加或减少的
成本。通过导数分析，企业可以确定生产某一数量的产品时，成本增加
或减少的速度。
02
边际收益
导数还可以用来计算边际收益，即销售某一数量的产品所增加或减少的
高中数学 导数及其应用导数的综合应用
第9课时
No.1 middle school ，my love ！
导数的综合应用
• 练一练:设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图 象可能是( ).
• 【答案】C
第9课时
No.1 middle school ，my love ！
导数的综合应用
• 预学3:函数的最值的求法
• 将函数y＝f(x)在[a，b]上的各极值与端点处 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值.
在[1，e]上为减函数，f(x)min＝f(e)＝1－ 得a＝－������������(舍去).
������ ������
＝
������ ������
，
第9课时
No.1 middle school ，my love ！
导数的综合应用
• ③当－e＜a＜－1时，由f'(x)＝0，得x0＝－a， • 当1＜x＜x0时，f'(x)＜0，f(x)在(1，x0)上为
• (1)求实数a的值;
• (2)求函数f(x)的单调区间;
• (3)若函数y＝f(x)有3个不同的零点，求实数b 的取值范围.
• 【方法指导】先求出f'(x)，再根据极值点得 到a的值，进而求出f(x)的单调区间，最后结 合函数的单调区间及极值求解b的取值范围.
第9课时
No.1 middle school ，my love ！
• 得������������＋3b－2≤0，b≤������������. • 故实数b的取值范围为(－∞，������������].
第9课时
No.1 middle school ，my love ！
导数的综合应用
导数的综合应用优秀课件
2021/1/17
§3.3 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求导数 f′(x)；(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间． 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；（2）求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x) ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导； (2)求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值； (3)求函数 f(x)在[a，b]端点处的函数值 f(a)，f(b)； (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)的大小，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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4．经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y＝x22交于两点，且两个 交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k= －16 .
解析 设直线 l 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x－3)，设
直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝x22，
得 x2－2kx＋6k＝0，
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又函数 g(x)＝－x3＋bx＋c＋3 是奇函数，g(0)＝0，
∴c＝－3.
∴a＝－2，b＝4，c＝－3，∴f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.
(2)f′(x)＝－3x2－4x＋4＝－(3x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝23或 x＝－2，
专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用
专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-f (f )=(f 2+ff −1)f f −1`的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e - D ．12．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ． 4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 9．（2014新课标Ⅱ）设函数()3x f x m π=．若存在()f x 的极值点0x 满足 ()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 A ．()(),66,-∞-⋃+∞ B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++ ()a R ∈的图像不可能．．．的是 14．（2013新课标Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =15．（2013四川）设函数()e x f x x a =+-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是A ． ]e ,1[B ．]11e [1，--C ． [1e 1+，]D ． [1e 1e 1--+，]16．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点17．（2012辽宁）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+∞)D ．(0,+∞) 18．（2012陕西）设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 20．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A ．1 B ．12 C ．52 D ．22二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数 21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ；③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =；④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=．其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程 1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．25．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值．三、解答题 26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x =-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ． 27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =-x f x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ；(2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．30．(2018天津)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >． (1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln a x g x a +=-； (3)证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；(2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值； (3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x aea e x =+--． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<e −2<f(x 0)<2−3．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值． 36．（2017浙江）已知函数()(21)x f x x x e -=-1()2x ≥． （Ⅰ）求()f x 的导函数； （Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q∈ 满足041||p x q Aq -≥． 39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x->-在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41．43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-f (x )=(x −2)e x +a(x −1)2有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x f(x)的两个零点，证明：122x x +<．44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a --+-，其中 min{,}p q =,>p p q q p q ⎧⎨⎩，≤ ． （I ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若21a e -，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 52．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．53．（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围． 54．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数． （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性． 55．(2014广东) 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =． 56．(2014江苏)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立．试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论．57．（2013新课标Ⅰ）已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．58．（2013新课标Ⅱ）已知函数2()x f x x e -=．（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．59．（2013福建）已知函数()1xa f x x e =-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．60．(2013天津)已知函数2()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =， 证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<． 61．（2013江苏）设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论．62．（2012新课标）设函数()2x f x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值．63．（2012安徽）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++>． （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =，求,a b 的值． 64．（2012山东）已知函数ln ()x x k f x e+=（k 为常数， 71828.2=e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '是()f x 的导数．证明：对任意的0x >，2()1g x e -<+． 65．（2011新课标）已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． 66．（2011浙江）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．67．（2011福建）已知a ，b 为常数，且0a ≠，函数()ln f x ax b ax x =-++，()2f e =（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =时，是否同时存在实数m 和M (m M <)，使得对每一个t ∈[,]m M ，直线y t =与曲线()y f x =(x ∈[1e，e ])都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．68．（2010新课标）设函数2()(1)x f x x e ax =--．（Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．。
导数及其应用课件
个数便是确定的了，它除了不依赖于定义
中的区间分法和 的取法外，也不依赖
于符号 b
＝ f (t)dt
ab，f (x因)dx此中，的定积积分分变记量号ｘ中，的即积分ab f (变x)dx
a
量可以用任何字母来表示．此外，对于定
a x b 积分符号
化范围是
b
a f (x)dx
，意味着积分变量
（五）求函数 y = f ( x ）在点x 。处的导数有两 种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
（六）导数的应用
１利用导数判断函数的单调性
2 函数的极值
（l ）设函数 f ( x ）在点 x 。的附近有定义，如果对附 近所有的点都有：
（2 ）可导函数 f ( x ）在极值点处的导数为０，但 导数为０的点不一定是极值点。
由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，所以 不能用它来研究函数的局部性质，例如有两个在 [ a ，b]上 可积的函数 f (x)和 g ( x ) ，若
则由定积分的性质知道
• 奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是 很有用的，但要求被积函数是奇函数或偶函数，积 分区间是对称区间 [- a , a ] ．不过在解题时可以活 用，例知:
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数 f ( x ) ，在 ［ a ，ｂ］上必有最大值和最 小值． （2 ）利用导数求最值的步骤：
① 求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
② 将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较， 确定 f （x ）的最大值和最小值．
（七）定积分的概念
１关于定积分的定义
在定 f （x ）在 ［a , b ］上连续或可导的条件 相比是最弱的条件，即 f （x ）在［ a ，ｂ］ 上有以下关系：
导数的综合应用
练习：已知函数f (x) x ln x (1)求f (x)的最小值 (2)若对所有的x 1,都有f (x) ax 1, 求实数a的取值范围
课堂小结
题型一：导数的基本应用
（1）几何意义：f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率 （2）求单调区间注意： 先求定义域，单调区间不能用 连接
例：设f (x) x3 3ax2 2bx在x 1处的切线为y 1 (1)求a，b的值，以及f (x)的单调区间，极值
规律方法 题型一：导数的基本应用
1、f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率
2、求单调区间的主要步骤： （1）求定义域 （2）令f '(x) 0(或 0)求出相应的递增（或递减区间） 或者列表法
注意：单调区间不能用 连接
例：设f (x) x3 3ax2 2bx在x 1处的切线为y 1 (1)求a，b的值，以及f (x)的单调区间，极值 (2)若方程f (x) c有3个实根，求c的取值范围。
规律方法
题型二：方程根个数问题 这类问题求解的通法是 (1)构造函数 (2)求导数，得单调区间和极值点(求其定义域) (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象交点情况 进而求解．
示 2．多以解答题的形式出现，属中、高档题目.
1.如图，函数y f (x)的图像在 点P处的切线方程是y x 8
则f '(5) __-_1__, f (5) _3____
知识回顾
导数的几何意义： f ' (x0 )是曲线在x x0处的切线斜率
2.已知y f '(x)的图像如右图所示， 则f (x)的增区间是 _(___,_0)_和__（_2_，_+__）_ 减区间是 _(_0_,_2)__
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专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用2019 年1（2019 天津理 8）已知 aR ，设函数f (x )2 2 2 , 1, x ax a x …x a ln x , x1,若关于 x 的不等式f (x )…0在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为A.0,1B.0, 2C.0, eD.1, e2.（2019 全国Ⅲ理 20）已知函数 f (x ) 2x 3ax2b .（1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）是否存在a ,b ，使得 f (x ) 在区间[0,1] 的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出 a ,b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019 浙江 22）已知实数a 0 ，设函数 f (x )=a ln x x 1, x 0.3（1）当a 时，求函数 f (x ) 的单调区间；4（2）对任意1x x [ ,) 均有 ( ),f x 求 a 的取值范围.e2a2注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019 全国Ⅰ理 20）已知函数 f (x ) sin x ln(1 x )， f (x )为 f (x ) 的导数．证明：（1） f (x )在区间 (1, )存在唯一极大值点；2（2） f (x ) 有且仅有 2 个零点．15.（2019 全国Ⅱ理 20）已知函数f xlnxx .x 1（1）讨论 f (x )的单调性，并证明 f (x )有且仅有两个零点；（2）设 x 0 是 f (x )的一个零点，证明曲线 y =ln x 在点 A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线 y e x 的切线.16.（2019 江苏 19）设函数 f (x ) (x a )(x b )(x c ),a ,b ,c R 、 f '(x ) 为 f （x ）的导函数．（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f '(x ) 的零点均在集合{ 3,1, 3}中，求 f （x ）的极小值； （3）若 a 0,0 b … 1, c 1，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤4 27． 17.（2019 北京理 19）已知函数 f (x) x 3 x 2x .4（Ⅰ）求曲线y f (x ) 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 x2, 4时，求证： x 6 fx x .(III)设 F (x) fx x a a R ，记 F (x ) 在区间2, 4上的最大值为 M a ，当 M a 最小 时，求 a 的值.8.（2019 天津理 20）设函数 f (x ) e x cos x , g (x ) 为 f x 的导函数.（Ⅰ）求 f x的单调区间；（Ⅱ）当 xπ π ,4 2时，证明f xg x π x ( ) ( ) …0 ； 2 （Ⅲ）设x 为函数u (x ) f (x ) 1在区间 2 π ,2 π π m mn4 2内的零点，其中 n N ，证明2nπ e 2nx2sin x cos xn.2010-2018 年一、选择题1．（2017 新课标Ⅱ）若x 2是函数 f (x ) (x2ax 1)e x 1的极值点，则f (x ) (x2ax 1)e x 1的极小值为A ． 1B ． 2e 3C ．5e 3D ．12．（2017 浙江）函数y f (x ) 的导函数y f (x ) 的图像如图所示，则函数y f (x ) 的图2像可能是yO xy yO x xOA．B．y yx xO OC．D．3．(2016 全国I) 函数y 2x e x 在[–2,2]的图像大致为2 | |A．B．C．D．3fxmx n x m ，n在区间 1212810 ， 4．（2015 四川）如果函数222单调递减，那么 mn 的最大值为81A ．16B ．18C ．25D ．25．（2015 新课标Ⅱ）设函数 f (x ) 是奇函数 f (x )(x R ) 的导函数，f (1) 0，当x 0 时，xf x fx 0 ，则使得 f (x ) 0 成立的 x 的取值范围是'( ) ( )A．,1U 0,1 B ．1, 0U1, C．,1U1,0D ．0,1U1,6．（2015 新课标Ⅰ）设函数 f (x ) e x (2x 1) ax a ，其中 a 1，若存在唯一的整数x ，使得 f (x ) 0 ，则 a 的取值范围是A ．[ ,1)3 B ．[ 3 , 3) C ．[ 3 , 3)3 B ．[ 3 , 3)C ．[ 3 , 3)2e2e 4 2e 43 D ．[, 1) 2e7．（2014 新课标Ⅱ）若函数 f (x ) kx ln x 在区间(1,)单调递增，则 k 的取值范围是A．,2B．,1C ．2,D ．1,8．（2014 陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为y (千米)y =3x -6y =-x湖面x(千米)O2A ． C ．y 1 x 1 x xB ．1 3 12 3y x x x 322 2 22y x xD ．1 3 12 21y x x x 34 4 29．（2014 新课标Ⅱ）设函数f x 3 sin x．若存在fx的极值点mx满足2x f x m ，则m 的取值范围是2 2A．,66,B．,44,4C．,22,D．,11,10．（2014 陕西）如图，某飞行器在4 千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为y2x5-5 OA-2地面跑道A．C．y 1 x 3 x B． 2 3 43 y x x125 5 125 5 y 3 x x D． 3 3 1y x x 3125 125 511．（2014 辽宁）当x[2,1]时，不等式ax 3 x 2 4x 3 0恒成立，则实数a 的取值范围是A．[5,3] B．[ 6, 9]C．[6,2] D．[4,3]812．（2014 湖南）若0 x x 1，则1 2A．ex e xx x B．ln ln ln ln e x e xx x2 1 2 12 1 2 1C．x e x e D．x x1 22 1 x e x x e x1 22 113．（2014 江西）在同一直角坐标系中，函数(a R) 的图像不．可．能．的是ay ax x 与y a2 x3 2ax 2 x a 22y yyyOxxOA xOB Cx ODf x x3 ax2 bx c ，下列结论中错误的是14．（2013 新课标Ⅱ）已知函数A．x R f x0 , 0 05B ．函数y f x的图像是中心对称图形C ．若 x 是 f x的极小值点，则 fx 在区间, x 单调递减D ．若 x 是 f x的极值点，则f ' x15．（2013 四川）设函数 f (x ) e x x a （ a R ，e 为自然对数的底数），若曲线 y sin x上存在点 (y )x ， 使得 0f ( 0 )) ，则 a 的取值范围是 ( f y y 0A ． [1, e]B ．[e 1 1，1]C ． [1， e 1]D ． [ e 1 1， e 1]16．（2013 福建）设函数 f (x ) 的定义域为 R ， 0 ( 00)xx 是 f (x ) 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．x R , f (x ) f (x )B ． 是 f (x ) 的极小值点xC ． x 是 f (x ) 的极小值点D ． 是 f (x ) 的极小值点x1 217．（2012 辽宁）函数y x ln x 的单调递减区间为2A ．(－1,1]B ．(0,1]C ． [1,+ )D ．(0,+ )18．（2012 陕西）设函数 f (x ) xe x ，则A ． x 1为 f (x ) 的极大值点B ． x 1为 f (x ) 的极小值点C ．x 1为 f (x ) 的极大值点D ．x 1为 f (x ) 的极小值点19．（2011 福建）若 a 0 ， b 0，且函数 f (x ) 4x3ax22bx 2 在 x 1处有极值，则 ab 的最大值等于 A ．2B ．3C ．6D ．920．（2011 浙江）设函数 fx ax bx c a b c R，若x 1为函数2, ,f x e 的一x个极值点，则下列图象不可能为y f x的图象是A B C D621．（2011 湖南）设直线 x t 与函数 f (x ) x 2 ， g (x ) ln x 的图像分别交于点 M , N ，则当 MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C ．5 2D ．22二、填空题22．（2015 安徽）设 x 3 ax b 0，其中 a ,b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）① a 3, b 3 ；② a 3, b 2；③ a 3, b 2；④ a 0, b 2 ； ⑤ a 1, b 2 ．23．（2015 四川）已知函数 f (x ) 2 ， g (x ) x 2 ax （其中 a R ）．对于不相等的实数xx，设 m1, x2f f x(x 1) ( )，2x x12n g (x 1) g (x ) ，现有如下命题：2x x12①对于任意不相等的实数 x，都有 m 0；1, x2②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x 1, x ，都有 n 0 ； 2③对于任意的 a ，存在不相等的实数 x，使得 m n ；1, xx，使得 m n ；2④对于任意的 a ，存在不相等的实数 x，使得 m n ．1, xx，使得 m n ．2其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．24．（2015 江苏）已知函数 f (x ) | ln x |，0,0 x 1g (x )，则方程| x 2 4 | 2, x 1| f (x ) g (x ) |1实根的个数为．25．（2011 广东）函数 f x x 3 x 2在 x =______处取得极小值．( )3 1三、解答题26．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数1f (x )x a ln x ． x(1)讨论f (x) 的单调性；7(2)若 f (x ) 存在两个极值点f (x ) f (x )x x ，证明： 1 2 a 2 1, 2．x x1227．(2018 全国卷Ⅱ)已知函数 f (x ) exax ．2(1)若 a 1，证明：当 x ≥ 0 时， f (x )≥1； (2)若 f (x ) 在 (0,) 只有一个零点，求 a ．28．(2018 全国卷Ⅲ)已知函数 ( ) (2) ln(1 ) 2fx x ax2x x ．(1)若a 0 ，证明：当 1 x 0 时， f (x ) 0；当x 0 时， f (x ) 0 ； (2)若x 0 是 f (x ) 的极大值点，求 a ． 29．(2018北京)设函数f (x ) [ax 2 (4 a 1)x 4 a 3]e x ．(1)若曲线y f (x ) 在点(1, f (1))处的切线与 x 轴平行，求 a ； (2)若 f (x ) 在 x 2 处取得极小值，求 a 的取值范围． 30．(2018 天津)已知函数 f (x ) a x ， g (x ) log x ，其中 a 1．a(1)求函数 h (x ) f (x ) x ln a 的单调区间；(2)若曲线 y f (x ) 在点 (x , f (x )) 处的切线与曲线 y g (x ) 在点 11(x , g (x )) 处的切22线平行，证明2ln ln ax g (x )；12ln a1(3)证明当ea ≥ 时，存在直线l ，使l 是曲线y f (x ) 的切线，也是曲线 y g (x ) 的e切线．31．(2018 江苏)记 f (x ), g (x ) 分别为函数 f (x ), g (x ) 的导函数．若存在 xR ，满足f (x )g (x ) 且 0 0f xg x ，则称 ( ) ( )x 为函数 f (x ) 与 g (x ) 的一个“ S 点”．0 (1)证明：函数 f (x ) x 与 g (x ) x 2 2x 2 不存在“ S 点”； (2)若函数 ( )1f x ax 2 与g (x ) ln x 存在“ S 点”，求实数 a 的值；(3)已知函数f x x a ，( ) b e( ) g x ．对任意a 0 ，判断是否存在b 0，使函x2x8数 f (x ) 与 g (x ) 在区间 (0,)内存在“ S 点”，并说明理由．32．(2018 浙江)已知函数 f (x ) x ln x ．(1)若 f (x ) 在 x x ， 1 x ( 2 x x )处导数相等，证明： 1 2f (x ) f (x ) 88ln 2 ；1 2(2)若 a ≤3 4ln 2 ，证明：对于任意 k 0 ，直线 y kx a 与曲线 y f (x ) 有唯一 公共点．33．（2017 新课标Ⅰ）已知函数 f (x ) ae2x(a 2)e x x ． (1)讨论 f (x ) 的单调性；(2)若 f (x ) 有两个零点，求 a 的取值范围．34．（2017 新课标Ⅱ）已知函数 f (x ) ax ax x ln x ，且 f (x )≥0 ．2(1)求 a ；(2)证明： f (x ) 存在唯一的极大值点 x ，且e2f (x ) 22 ．35．（2017 新课标Ⅲ）已知函数 f (x ) x 1 a ln x ．(1)若 f (x )≥0 ，求 a 的值；1 1 1(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，(1 )(1 )(1 ) m ，求 m 的最小值．2 2 2n236．（2017 浙江）已知函数 f (x ) (x 2x 1)e x (1)x ≥ ．2（Ⅰ）求 f (x ) 的导函数；1（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[ ,) 上的取值范围．237．（2017 江苏）已知函数 ( )1f x x3ax2bx (a 0,b R ) 有极值，且导函数 f (x )的极值点是 f (x ) 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；b 2 3a ；（2）证明：（3）若 f (x ) ， f (x )这两个函数的所有极值之和不小于 7，求 a 的取值范围． 238．（2017 天津）设a Z ，已知定义在R 上的函数f (x) 2x4 3x3 3x2 6x a 在区9间(1, 2) 内有一个零点x ，g(x) 为f (x) 的导函数．（Ⅰ）求g(x) 的单调区间；（Ⅱ）设m[1, x ) U(x ,2]，函数h(x) g(x)(m x ) f (m) ，求证：h(m)h(x ) 0；0 0 0 0（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数A ，使得对于任意的正整数p,q ，且pq[1, x ) U(x , 2],0 0p 1满足| x |．0 4q Aq39．（2017 山东）已知函数f x x x ，cos sin 2 22 2 c os g x e x x x ，其中xe 2.71828L是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y f x在点(, f ()) 处的切线方程；（Ⅱ）令h(x) g(x) af (x) (a R) ，讨论h(x) 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．2x 140．(2016 年山东)已知f (x) a x ln x ,a R ．x2（I）讨论f (x) 的单调性；3（II）当a 1时，证明f x ＞f x对于任意的x1, 2成立．( ) '241．(2016 年四川) 设函数( ) lnf x ax2 a x ，其中a R .（I）讨论f (x)的单调性；1（II）确定a 的所有可能取值，使得f (x) e1 x 在区间(1,) 内恒成立(e=2.718…x为自然对数的底数)．42．(2016 年天津)设函数f x x 3 ax b , x R ，其中a,b R( ) ( 1)(I)求f (x) 的单调区间；(II)若f (x) 存在极值点x ，且f (x ) ( )，其中1 f x0 0 x ，求证：1 xx x ；1 2 0 31(Ⅲ)设a 0，函数g(x ) | f (x) | ，求证：g(x) 在区间[1,1]上的最大值不．小．于．4．43．(2016 年全国Ⅰ) 已知函数f (x ) (x 2)e x a(x 1) 有两个零点．210（I ）求 a 的取值范围；（II ）设 x ， 1x 是 f (x ) 的两个零点，证明： 2x x． 1 2244．(2016 年全国Ⅱ)(I)讨论函数x 2 f (x ) e 的单调性，并证明当 x 0 时， (x 2)e x x 2 0 ；x x 2e x ax a有最小值．设 g x 的最小值为(II)证明：当 a [0,1) 时，函数g x =(x 0)x2h (a ) ，求函数 h (a ) 的值域．45．(2016 年全国Ⅲ) 设函数 f (x ) cos 2x ( 1)(cos x 1)，其中0 ，记| f (x ) | 的最大值为 A ． （Ⅰ）求 f (x )； （Ⅱ）求 A ；（Ⅲ）证明 | f (x )|≤ 2A ．46．（2016 年浙江高考）已知 a ≥ 3 ，函数 F (x )= min{2 | x 1|, x 2 2ax 4a 2}，其中min{p ,q } = p p q ， ≤q , p > q．（I ）求使得等式 F (x ) x 2ax 4a 2 成立的 x 的取值范围；2（II ）（i ）求 F (x )的最小值 m (a )；（ii ）求 F (x )在区间[0, 6] 上的最大值 M (a ) ．47．(2016 江苏) 已知函数0, 0, 1, 1f x axbxa b a b ．（1）设 a 2 ，1 b ．2①求方程 fx 2 的根；②若对于任意 x R ，不等式 f 2x ≥ mfx 6 恒成立，求实数 m 的最大值； （2）若 0 a 1， b 1，函数 gxfx 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值．48．(2015 新课标Ⅱ）设函数f (x) e mx x mx ．211(Ⅰ)证明：f (x) 在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；(Ⅱ)若对于任意x ，1 x [1,1]，都有| f (x ) f (x ) | ≤e 1，求m 的取值范围．2 1 249．(2015 山东)设函数f (x) ln(x 1) a(x2 x)，其中a R ．（Ⅰ）讨论函数f (x) 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x 0，f (x)≥0 成立，求a 的取值范围．50．（2015 湖南）已知a 0 ，函数f (x) e ax sin x(x[0,)) ．记x为f (x) 的从小到大n的第n (n N* ) 个极值点．证明：（1）数列{ f (x )}是等比数列；n1（2）若a≥，则对一切n N* ，x | f (x ) | 恒成立．n ne2151．（2014 新课标Ⅱ）已知函数f (x) x 3x ax 2 ，曲线y f (x) 在点（0，2）处3 2的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当k 1时，曲线y f (x) 与直线y kx 2 只有一个交点．f x52．(2014 山东）设函数(2ln )（k 为常数，e 2.71828L是自然对数ex2k xx x的底数）．（Ⅰ）当k 0 时，求函数f x的单调区间；（Ⅱ）若函数f x在0, 2内存在两个极值点，求k 的取值范围．1af x a ln x x bx a 1 ，曲线y f (x) 在点53．（2014 新课标Ⅰ）设函数22(1, f (1))处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；ax 使得，求a 的取值范围．（Ⅱ）若存在0 1,f x0 1ax 154．（2014 山东）设函数f (x) a ln x ，其中a 为常数．x 112（Ⅰ）若a 0 ，求曲线y f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f (x) 的单调性．55．(2014 广东) 已知函数( ) 1 3 2 1( )fx x x ax a R ．3（Ⅰ）求函数f (x) 的单调区间；（Ⅱ）当a 0 时，试讨论是否存在1 1x (0, ) U( ,1) ，使得2 21f (x ) f ( ) ．256．(2014 江苏)已知函数f (x ) e x e x ，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：f (x) 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式mf (x) ≤e x m 1在(0,) 上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在x 0 [1,) ，使得f (x0 ) a(x03 3x0 ) 成立．试比较e a1与a e1 的大小，并证明你的结论．57．（2013 新课标Ⅰ）已知函数f (x ) e x (ax b) x 4x ，曲线y f (x) 在点(0, f (0))2处切线方程为y 4x 4 ．（Ⅰ）求a,b 的值；（Ⅱ）讨论f (x) 的单调性，并求f (x) 的极大值．58．（2013 新课标Ⅱ）已知函数f x x2e．( ) x（Ⅰ）求f (x) 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y f (x) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．a59．（2013 福建）已知函数f (x) x1（a R ，e为自然对数的底数）．ex（Ⅰ）若曲线y f (x) 在点(1, f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；（Ⅱ）求函数f (x) 的极值；（Ⅲ）当a 1的值时，若直线l : y kx 1与曲线y f (x) 没有公共点，求k 的最大值．1360．(2013 天津)已知函数 f (x ) x ln x ．2（Ⅰ）求函数 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的t 0 ，存在唯一的 s ，使t f (s ) ．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的 s 关于t 的函数为 s g (t ) ，证明：当t e 2 时，有 2 ln g (t ) 1 ．5 ln t261．（2013 江苏）设函数 f (x ) ln x ax ， g (x ) e x ax ，其中 a 为实数．（Ⅰ）若 f (x ) 在 (1,)上是单调减函数，且 g (x ) 在(1,)上有最小值，求 a 的取值 范围；（Ⅱ）若 g (x ) 在 (1,)上是单调增函数，试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．62．（2012 新课标）设函数 f (x ) e x ax 2 ．（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）若 a 1， k 为整数，且当 x 0 时，(x k ) f (x ) x 1 0 ，求 k 的最大值．63．（2012 安徽）设函数 1f (x ) ae xb (a 0) ．ae x （Ⅰ）求 f (x ) 在[0,) 内的最小值；（Ⅱ）设曲线 y f (x ) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为3y x ，求 a ,b 的值．2 ln x k64．（2012 山东）已知函数 f (x )（ k 为常数，e 2.71828 是自然对数的底数），ex曲线 y f (x ) 在点 (1, f (1))处的切线与 x 轴平行．（Ⅰ）求 k 的值；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）设 g (x ) (x 2 x ) f (x ) ，其中 f (x )是 f (x ) 的导数．证明：对任意的 x 0 ， g (x ) 1 e 2 ．65．（2011 新课标）已知函数 f (x ) a ln x b x 1 x，曲线 y f (x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程14为x 2y 3 0．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当x 0 ，且x 1时，( ) ln xf x．x 166．（2011 浙江）设函数f (x) a2 ln x x2 ax ，a 0 ．（Ⅰ）求f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使e 1≤f (x)≤e2 对x [1,e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．67．（2011 福建）已知a ，b 为常数，且a 0 ，函数f (x) ax b ax ln x ，f (e) 2 （e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数f (x) 的单调区间；（Ⅲ）当a 1时，是否同时存在实数m 和M ( m M )，使得对每一个t ∈[m,M ]，直线y t 与曲线y f (x) ( x ∈[ 1e，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．68．（2010 新课标）设函数f (x) x(e x 1) ax ．21（Ⅰ）若a ，求f (x) 的单调区间；2（Ⅱ）若当x≥0 时f (x)≥0 ，求a 的取值范围．15。