线段的垂直平分线与角平分线专题复习精编版
线段的垂直平分线复习巩固、角平分线
线段的垂直平分线复习巩固【知识要点】线段垂直平分线的性质与判定： （1）垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．； （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等；（3）线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； （4）三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
专题一 线段的垂直平分线与等腰三角形等的综合应用1. 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（ ）A ．BD 平分ABC ∠ B. BCD ∆的周长等于AB +BC C. AD =BD =BC D. 点D 是线段AC 的中点2. 如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长度。
3. 如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求 DFFC的值．ABCDE F图2A BCDE 图1角平分线复习巩固【知识要点】角平分线的性质与判定：（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角平分线逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
专题一角平分线性质及判定定理的应用1.（2011，岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A．B．C．6 D．43.如图，1l，2l，3l是三条公路线，且2l//3l，现在决定在区域内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处，共有几处？请画出图形.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积。
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习复习
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习例1.如图11所示，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, S∆ABC=28㎝2, AB=20㎝，AC=8㎝，求：DE例2.如图12，∠B=∠C=900，M是BC的中点，DM平分∠ADC，（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM又怎样的位置关系？例3.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AC例4.如图14所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，①求证：DE=DF；②若∠A=600，BE=1，求C∆ABC.图2EDCBA例5.如图15，等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到E使CE=CD，过D作DF⊥BC，求证：F是BE的中点。
练习：1. 如图3，∠C=900，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，若AB=8㎝,求C∆DEB2.如图5，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，C ∆CAB =12, 求S ∆ABC3. 如图9，△ABC 中∠C=900，AD 平分∠BAC ，AB=10，AC=8，求S ∆ABD ：S ∆ADC 的值4.如图2， DE 是AB 的垂直平分线， AE=3，C ∆BCD =13，求C ∆ABC5.如图2， DE 是AB 的垂直平分线，BC=3，C ∆BCD =13，求ACOD 图5CBA图2EDCBA6.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AB7.如图12，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，求证：AD=AE。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
线段的垂直平分线与角平分线复习PPT课件
C
B
N
定理的作用:这个结论是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结论出发,你还能联想到什么?
3.用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法:
A
B
3.用尺规作线段的垂直平分线.
ห้องสมุดไป่ตู้已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为 半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线
9.三角形的三条角平分线定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. A ND M 几何语言 P F 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条 B C E 角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC, H PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P, 且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相等). 提示: 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一.
提示:这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.
A
5.三角形三边垂直平分线定理的证明：
P B C
A
5.三角形三边垂直平分线定理的证明：
P B C
如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P, 连接AP,BP,CP. ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB (或AB的中点). 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
D
1 2 E P C
B
应用提示:这个结论又是经常用来证明点在直线
线段的垂直平分线和角平分线的复习
B
例 1已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上. 添辅助线的目的 分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？ 构造角平分线的 是什么？ 基本图形. （2）缺少了什么?怎么办？ D 角平分线上的点到另一边的垂线段. E 添加辅助线. A （3）能得到什么结论? G （4）用什么定理来证明结论?
8在△ABC中,D为BC 的点,DE⊥BC 交∠BAC的平分线AE于点,EF⊥AB A 于F点,EG⊥AC于G点
求证:BF=CG
F B
D
C G
E
当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的 基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.
1、作图题： 已知：∠AOB和∠AOB内一点C. 求作：点P，使PC=PO， 且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.
D
2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
如图，在△ABC中， AB=AC=16cm，AB的垂直平分线 交AC于D，如果BC=10cm，那么 26 △BCD的周长是_______cm. A
4.如图4-4-5所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，DB=10cm，则 AC=( C ) A.6 B.8 C.5 D.10
5.如图4-4-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂 直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则 36° ∠B= .
(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)
中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。
1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。
线段的垂直平分线与角平分线专题复习精编版
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………线段的垂直平分线与角平分线专题复习知识点复习：1、线段垂直平分线的性质C线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点垂直平分线性质定理：1）（.的距离相等m BDAD＝，∵ CD⊥AB，且定理的数学表示：如图1BC.AC＝∴DBA定理的作用：证明两条线段相等图1.）线段关于它的垂直平分线对称（2C线段垂直平分线的判定定理：、2m. 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上BC＝定理的数学表示：如图2，∵ AC DBA.点C在线段AB的垂直平分线m上∴图2.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上A3、关于线段垂直平分线性质定理的推论ki（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：O的距三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．CBj图3.离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等 2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：（若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；反之，也则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 若三角形是钝角三角形，成立。
、角平分线的性质定理：4角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.，定理的数学表示：如图4B，C⊥OA于点CF是是∠∵ OEAOB的平分线，FOE上一点，且D DF.，∴ CF＝DOBDF⊥于点EF 1OAC4图……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.、角平分线性质定理的逆定理：5角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.B D定理的数学表示：如图5， PC＝PD，PD⊥OB于D，且于∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OAC，P.AOB的平分线上P∴点在∠AOC5图用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角定理的作用：A平分线FR 6、关于三角形三条角平分线的定理：QIE 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：（三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相DPB6图C.等、∠ABCBAC定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠、∠ACB的平分线，那么： I；相交于一点① AP、BQ、CRFI. ＝D、E、F，则DI＝EI、、②若IDIE、IF分别垂直于BC、CAAB于点①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题定理的作用：.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：这个交点叫做三角形的内心（即三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部..内切圆的圆心）7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： 2）会作已知角的角平分线；）会作已知线段的垂直平分线；（（1.）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形（3精品习题：到D3，则点，且AD：DC=5：的平分线．在△1ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC.已知，AC=32 _______.AB的距离为:SS= BAD，则（）平分∠，，中，在△．2如图，ABDAD=4AB=3AC?C?BCADA3:44:316:19 D．不能确定．A． B． C2……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S：S：S等于______.CAO?ABO?BCO?．的度数为 AC．则∠PAQABBAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分和4．如图所示，∠?．90的关PC上，则PD与PB，平分∠ABC，点P5D=AD∥BC，∠恰好在CD，AP平分∠DAB系是（） PD=PC D．无法判断A．PD>PC B．PD<PC C．三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，C、6．如图，有AB、( )使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在AC、BC两边高线的交点处．在A 两边中线的交点处、BCACB.在 BC两边垂直平分线的交点处、C．在AC 的角平分线的交点处BD.在∠A、∠处，E的中点折叠，将△斜边AB上的高，BCD沿CDB点恰好落在ABABCRtCD．7如图，是△( ) A则∠等于 ooo．A25 B.30 C.45 D.60o3……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………），则有（=AD，BC=BD8．AC AB．CD垂直平分B AB A．垂直平分CDACBCD平分∠CD互相垂直平分D．C．AB与．下列结论中不一定成立B，⊥OB，垂足分别为A平分∠AOB，PA⊥OA，PB9．如图，OP）的是（AB垂直平分OP D=OB．CB PA=PB．PO平分∠APB．OA A．小红的爸爸想在本镇的三条随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，10．，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选相互交叉的公路（如图所示））处。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
线段的垂直平分线和角平分线的复习(适合各种版本)知识讲解
线段垂直平分线与角平分线复习
如图,在一个三角形的小岛上，小
动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，
要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边
的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，
要求起点到小岛三边的距离相等，你能
帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的 距离相等呢？
B
A C
线段垂直平分线与角平分线复习
文字语言：
三角形三条边的 垂直平分线相交于一 点,并且这一点到三个 顶点的距离相等。
aA
符号语言：
如图,在△ABC中,
c
b
∵直线c,a,b分别是AB,
P
BC,AC的垂直平分线
B
C ∴直线c,a,b相交于一点P,
证明线段相等
且PA=PB=PC
线段垂直平分线与角平分线复习
性质定理
角平分线
逆定理
文字语言：
角的平分线上的
点到角的两边的
距离相等.
O
文字语言：
D
A 在一个角的内部，且到角的
两边距离相等的点，在这个 P 角的平分线上.
符号语言：
E
∵ OP 是∠AOB 的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴PD=PE
B
符号语言：
∵ PD=PE PD⊥OA , PE⊥OB
∴点P 在∠AOB 的平分线上
证明两条线段相等的根据之一 温馨提示: 证明一个点是否在角平分线上，
同理：PG＝PF.
的距离相等）
∴PE＝PF(等量代换).
B
FC
∴点P在EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上）.
线段垂直平分线与角平分线复习
线段的垂直平分线和角平分线的复习
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REPORTING
目录
• 垂直平分线与角平分线基本概念 • 垂直平分线相关定理与推论 • 角平分线相关定理与推论 • 垂直平分线与角平分线在几何图形中应用 • 解题技巧与策略总结 • 练习题与答案解析
PART 01
垂直平分线与角平分线基 本概念
对称性等。
角平分线在多边形中可用于求解 角度和线段长度，如利用角平分 线性质求解多边形中的角度和边
长。
垂直平分线和角平分线的交点在 多边形中可用于求解多边形的内 切圆和外接圆以及与这些圆相关
的性质。
PART 05
解题技巧与策略总结
REPORTING
WENKU DESIGN
观察图形特征，选择合适方法
03
2. 题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于 点F，交BC于点G，且 DE=DF． 求证：△ABC是等腰三 角形．
04
解析
根据角平分线的性质“角的平分 线上的点到角的两边的距离相等” 可得点D在∠BAC的平分线上，再 根据等腰三角形的性质“等边对 等角”以及平角的性质证明 ∠B=∠C即可。
练习题三：证明四边形性质
题目
四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， E、F分别是BD、AC的中点，求证： EF垂直平分AC。
解析
连接AE、CE，由于AB=CD，AD=BC， BD=BD，所以△ABD≌△CDB，从而 ∠ABD=∠CDB，又因为E是BD的中点，所以 AE=CE，又因为F是AC的中点，所以EF垂直平 分AC。
两者关系与区别
关系
垂直平分线和角平分线都是几何学中的基本概念，它们都与距离和角度有关。
完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)
完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)尺规作图是用无刻度的直尺和圆规画图的方法，常见的作图包括线段的垂线、垂直平分线、角平分线、等长线段和等角。
以下是各种作图的具体方法：1.直线垂线的画法：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A、B两点，再以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M、N，连接MN，即可得到所求的垂线。
2.线段垂直平分线的画法：以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C、D，连接CD，即可得到线段AB的垂直平分线。
3.角平分线的画法：以角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A、B点，再以A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，交点为H，连接OH并延长，即可得到所求的角平分线。
4.等长的线段的画法：直接用圆规量取即可。
5.等角的画法：以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A、B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求。
需要注意的是，直尺主要用于画直线和射线，圆规主要用于截取相等线段和画弧。
在作图时，如果有多个要求，应逐个满足并取公共部分。
例如，对于要求作一个三角形的问题，可以根据三角形全等的基本事实或判定定理来进行作图。
以下是例题解析：例题1：已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a。
作法如下：1.作线段BC=a；2.分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；3.连接AB、AC。
例题2：已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α。
作法如下：1.作∠XXX∠α；2.以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM、AN 于点B、C；3.连接B、C。
例题3：已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA+PC=BC。
作法如下：作出AB的垂直平分线，与BC交于点P。
线段的垂直平分线与角的平分线
线段的垂直平分线与角的平分线在几何学中，线段的垂直平分线和角的平分线是重要的概念。
它们在解题和构造中经常被使用。
本文将探讨线段的垂直平分线和角的平分线的定义、特性和应用。
一、线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个相等部分的直线。
它具有以下性质：1. 垂直性：线段的垂直平分线与线段之间始终垂直相交。
由此可见，线段的垂直平分线是指能够将线段垂直平分为两个相等部分的直线。
二、角的平分线角的平分线是指将一个角等分为两个相等角度的射线或线段。
它具有以下性质：1. 相等性：角的平分线将原角分割为两个度数相等的角。
2. 共线性：角的平分线与原角的两边共线。
由此可知，角的平分线将一个角等分为两个相等的角度。
三、线段的垂直平分线与角的平分线的应用线段的垂直平分线和角的平分线在几何学中有广泛的应用。
以下是其中一些应用示例：1. 构造垂直线段：通过线段的垂直平分线可以方便地构造垂直于给定线段的线段。
2. 查找角的平分线：通过角的平分线可以准确地确定一个给定角度的中心点，并进一步进行角度测量和角度关系的判断。
3. 证明角度相等：通过利用角的平分线的性质，可以证明两个角度相等的命题。
4. 解题应用：在线段几何或三角几何的问题中，运用线段的垂直平分线和角的平分线的概念，可以简化问题的解决过程，提高解题的效率。
综上所述，线段的垂直平分线和角的平分线在几何学中具有重要的地位和应用。
它们有着特定的定义和性质，能够方便地解决各种几何问题。
在实际应用中，我们可以根据问题的需求，灵活运用线段的垂直平分线和角的平分线的概念，以求得更准确和高效的解答。
线段的垂直平分线与角平分线 复习课
结论(1),BM=CN成立；结论（2）应为AB+AC=2BM
证明：(1)连结DB、DC
∵DE垂直平分BC
∴DB=DC
∵AD平分∠NAB，且ＤＭ⊥ＡＢ，
ＤＮ⊥ＡＣ，
∴DM=DN
在Rt△BDM和Rt△CDN中
DB=DC
DM=DN
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴BM=CN
“
”
见
垂
直
平
分
线
连
端
点
一法”
面
积
相
等
法
”
知识回顾
M
P
X
A
等腰△ABM
X
N
B
基本图形1
知识回顾
A
D
O
P
1D=PE
△ODP≌△OEP
OD=OE
基本图形2
知识回顾
M
X
A
A
D
P
O
X
N
P
1
2
B
E
基本图形1
C
B
基本图形2
自主学习
1、如图，在△ABC中，AB = AC=27，∠BAC=40°，AB的垂直平分线DE交
80°
AC 于点E，则∠BEC= ________
∴DM=DN
在Rt△BDM和Rt△CDN中
DB=DC
DM=DN
∴Rt△BDM≌Rt△CDN
∴BM=CN
（2）猜想AB，AC和BM的关系？
AB-AC=2BM
证明：易证△ADM≌△ADN
∴AM=AN
∴AB-BM=AC+CN
∵BM=CN
线段的垂直平分线和角平分线的复习适合各种版本_2022年学习资料
线段垂直平分线与角平分线复习-你还记得吗？-定义-性质-判定-三角形三边垂-尺规作图-直平分线和角-平分线 性质
线段垂直平分线与角平分线复习-线段的垂直平分线-性质定理-逆定理-文字语言：-M-线段垂直平分线上-到一条 段两个蜥点-的点到这条线段两-距离相等的点，在这条-个蜥点距离相等】-线段的垂直平分线上-符号语言：-BMN⊥AB,AC=BC,-PA=PB已知，-P是MN上任意点-”.点P在AB的垂直平分线上-.PA=PB-证明点在直线上（或直线-证明两条线段相等的根据之一-温馨提示：-经过某一点的根据之一.-的☆☆☆☆
线段垂直平分线与角平分线复习-规律总结-当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的-基本图形时，要 置辅助线构造运用它们的基本图形-垂直年分钱-·-点向西端连线我-角年分线点向两边作垂线度
线段垂直平分线与角平分线复习-初级目标-达标测试-1.下列命题中正确的命题有（A-①线段垂直平分线上任一点 线段两个端点的距离相等；-②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；-③经过线段中点的直线只有一条-④点P在 段AB外且P作PB,过P的直线W是线段AB的中垂线；-⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.-A.1个.2个-C.3个-D.4个-2.如图，PC⊥0A于点C,PD⊥0B于点D,-∠1一∠2，下列结论不正确的是 -A.PC=PD-B.OC=OD-C.∠DP0=∠CP0-D.0D元0P
★-线段垂直平分线与角平分线复习
线段垂直平分线与角平分线复习-请你来帮忙-如图，在一个三角形的小岛上，小-动物们即将举行长跑比赛，比赛分三 ，-要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边-的路线，分别跑到小岛三边为公平起见-要求起点到小岛三边的距离相等， 能-帮它们确定起点吗？如果到三个项点的-B-距离相等呢？
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线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习：
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.
图1
图2
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题：
1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.
2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S
∆∆
= （ ）
A ．3:4
B ．4:3
C ．16:19
D ．不能确定
3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分
为三个三角形，则S
ABO
∆：S
BCO
∆
：S
CAO
∆
等于______.
4．如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．
5．AD∥BC，∠D=90︒，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关
系是（）
A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º
8．AC=AD，BC=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
9．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
A、1
B、2
C、3
D、4
11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC 于E点，求PE的长．
12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.
13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．
（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．
16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你
同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC =a ，BD =b ，请用含a ，b 的式子表示四边形ABCD 的面积．
17．如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。
18．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。
D
A A
B
E
C
D
19．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
D
B C。