云南省昆明市2015届高三10月摸底调研数学(理)试题含解析

云南省昆明市2015届高三10月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x2＜4的解集，再求出集合A，由交集的运算求出A∩B．解答：解：由x2＜4得，﹣2＜x＜2，则集合A={x∈Z|x2＜4}={﹣1，0，1}，又B={x|x＞﹣1}，则A∩B={0，1}，故选：A．点评：本题考查了交集及其运算，注意元素的取值范围，属于基础题．2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z为﹣1+i，由此可得它对应的点的坐标．解答：解：∵复数===﹣1+i，故它对应的点的坐标为（1，﹣1），故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=|x+1| B．y=C．y=2﹣|x|D．y=log2|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系解答：解：A．函数y=|x+1|为非奇非偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为偶函数，当x＞0时，y=2﹣|x|=y=2﹣x，为减函数，不满足条件．D．y=log2|x|是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质．4．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分析：由题意可判断出直线x﹣2y+1=0与渐近线y=x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵双曲线=1的渐近线方程为y=±x．又直线x+2y﹣1=0可化为y=x+，可得斜率为．∵双曲线=1的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，∴×=﹣1，得到=﹣2．∴双曲的离心率e====．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则•=（）A．1 B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形中线的性质将和分别用表示，然后进行向量的模的运算即可．解答：解：因为在△ABC中，点D为BC的中点，所以，，因为AB=，AC=3，所以•====2；故选B．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及向量的乘法的计算，运用了向量的平方与其模的平方相等使问题得到解决．6．已知关于x的方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根，则实数a的数值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．[﹣2，）∪（，2] D．（﹣2，）∪（，2）考点：函数的零点．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作图可得．解答：解：方程2sin（x+）﹣a=0在区间[0，2π]上有两个不同的实根可化为函数a=2sin（x+）的图象特征，作出其图如下：由图可知，实数a的数值范围是：（﹣2，）∪（，2）．故选D．点评：本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，N的值分别为1，2，3，则输出的S=（）A．27 B．81 C．99 D．577考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的x，y S，k的值，当k=4时满足条件k≥N，输出S的值为81．解答：解：执行程序框图，有x=1，y=2，N=3k=1，a=1，b=2第1次执行循环体，x=5，y=4，S=9，k=2；不满足条件k＞N，第2次执行循环体，x=13，y=14，S=27，k=3；不满足条件k＞N，第3次执行循环体，x=41，y=40，S=81，k=4；满足条件k≥N，输出S的值为81．故选：B．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．8．设α为第四象限的角，若=，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先根据3α=α+2α对sin3α进行变换，再由正切函数的二倍角公式可得答案．解答：解：∵a为第四象限的角∴sinα＜0，cosα＞0∵===2cos2α+cos2α=4cos2α﹣1=∴cosα=，sinα=﹣∴tanα=﹣故选：A．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正切函数的二倍角公式．9．4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，记“3个项目都有人选择”为事件A1，计算事件A1包含出现的结果数，由古典概型公式，计算可得答案；解答：解：4名学生选择3个项目可能出现的结果数为34，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C43C21C11；记“3个项目都有人选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=，故选C．点评：本题考查排列、组合的综合运用与概率的计算，关键在于利用组合数公式计算事件包括的情况的数目．10．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，若∠ABD=90°，△ABF的面积为3，则p=（）A．1 B．C．2D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，|AB|=|AF|=|BF|，△ABF是等边三角形，利用△ABF的面积为3，求出|BF|，即可得出结论．解答：解：由题意，以F为圆心且经过点A的圆交l于B、D两点，∠ABD=90°，∴|AB|=|AF|=|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD=30°．∵△ABF的面积为3，∴|BF|=2，∴|DF|=，即p=．故选：B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体体积的最小值等于（）A．36 B．C．18 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3，即可求出几何体体积的最小值．解答：解：由三视图知：几何体体积的最小时，几何体是四棱锥与正方体的组合体，且正方体的棱长为3，四棱锥的底面为正方形，边长为3，高为3∴几何体的体积的最小值V=3×3+=18．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12．已知函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣1]考点：函数的零点与方程根的关系；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解并求出解，从而得函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0．解答：解：由题意，f′（x）=2ax﹣==0在（0，+∞）上有解，则a＞0，解为x=，则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；则函数f（x）=ax2﹣lnx，若f（x）存在两个零点可化为f（）＜0，即﹣ln＜0，解得实数a的取值范围是（0，）．故选A．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时用到了导数及函数的单调性，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（+）6的展开式中常数项为60．（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据二项展开式的通项公式，求出常数项来．解答：解：∵的展开式中，T r+1=••=2γ••，令3﹣=0，解得r=2；∴常数项为T2+1=22×=4×15=60．故答案为：60．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用通项展开式进行解答，是基础题．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15．已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是9．考点：三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，整理后可得a2+b2﹣ab=36再利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：由题意，由余弦定理可得36=a2+b2﹣2abcos，∴a2+b2﹣ab=36∵a2+b2≥2ab，∴ab≤36∴S=absin，∴△ABC面积的最大值是9．故答案为：9．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为11π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，∴×=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=11π．故答案为：11π．点评：本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=log2a n=n﹣1，可得a n+1•b n+1=n•2n．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比q＞0，∵a2=2，a3a5=64，∴a1q=2，，解得q=2，a1=1．∴．（2）b n=log2a n=n﹣1，∴a n+1•b n+1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．点评：本题考查了“错位相减法”和等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=PC，（1）证明：PB⊥AC；（2）若平面PAC⊥平面平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB，求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接PO，AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，由PA=PC，得AC⊥PO，从而AC⊥平面PBD，由此能证明PB⊥AC．（Ⅱ）由已知得PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，从而∠OHC 是二面角D﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC和BD的中点，又PA=PC，∴AC⊥PO，∵BD∩PO=O，BD、PO⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，AC⊥PO，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，过点O作OH⊥PB于点H，连结CH，得CH⊥PB，∴∠OHC是二面角D﹣PB﹣C的平面角，设PA=AB=a，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，CO=，BO=，在Rt△POB中，PO===，OH==，∴在Rt△COH中，CH===，=，∴二面角D﹣PB﹣C的余弦值．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）某校高一年级共有800名学生，其中男生480名，女生320名，在某次满分为100分的数学考试中，所有学生成绩在30分及30分以上，成绩在“80分及80分以上”的学生视为优秀．现按性别采用分层抽样的方法共抽取100名学生，将他们的成绩按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七组．得到的频率分布直方图如图所示：（1）请将下列2×2列联表补充完整，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩“成绩优秀”的学生人数为X，求X的分布列及期望．附：K2=，其中n=a+b+c+d．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；独立性检验．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知得应抽取男生60人，女生40人，从而能作出2×2列联表，求出k2=0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及期望．解答：解：（Ⅰ）应抽取男生60人，女生40人，2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生12 48 60女生 6 34 40合计18 82 100k2==0.407＜3.841，计算结果表明，没有95%把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=C=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为X 0 1 2 3PE（X）==．点评：本题考查2×2列联表的作法，计算并说明是否有95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合的合理运用．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质及其定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．再利用b2=a2﹣c2即可得出．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．由于利用基本不等式的性质可得．当△AFA′面积取得最大时，=，解得A，可得直线AB的方程为：，设B（x2，y2），与椭圆的方程联立可得B，利用|AB|=即可得出．解答：解：（I）设F′是椭圆的右焦点，由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．解得a=2，∵左焦点为F（﹣，0），c=，∴b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为=1．（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．∵≥2×=，∴．当△AFA′面积取得最大时，=，解得，y 1=1．由F（﹣，0），A，可得直线AB的方程为：，化为=0，设B（x2，y2），联立，解得，，可得B．∴|AB|==．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=e x﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切线在x轴上的截距为．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=e x﹣x2，则g（x）=e2x﹣e x﹣3x2，函数的导数g′（x）=2e2x﹣e x﹣6x，令h（x）=2e2x﹣e x﹣6x，h′（x）=2e2x﹣e x﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴当x＞ln时，h（x）递增，当x＜ln时，h（x）递减，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），设d（x）=ln（x+1）﹣x，则d′（x）=，则d（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，∴ln（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上单调递增．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数证明函数的单调性，综合考查导数的应用，运算量较大，难度较大．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD 为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）若BD=5，CF=，求四边形EDFC外接圆的半径．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用AD，BD是直径，可得∠AED=∠BFD=90°，再证明∠DEC+∠DFC=180°，即可证明：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）确定BD是四边形EDFC外接圆的切线，求出BD，同理求出CD，即可求四边形EDFC 外接圆的半径．解答：（Ⅰ）证明：连接ED，FD，∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴∠DEC+∠DFC=180°，∴E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，∴CD是四边形EDFC外接圆的直径，∵CD是△ABC中AB边上的高，∴BD是四边形EDFC外接圆的切线，∴BD=BF•BC∵BD=5，CF=，∴BF=3，同理CD=∴四边形EDFC外接圆的半径为．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．一、选修4-4-：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程是（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，与y轴交于点E，求|EA|+|EB|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，利用即可得出；由直线l的参数方程（t是参数），把t=2x代入即可得出．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．利用|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=及其根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0，化为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，∴x2+y2﹣2x﹣4y=0；由直线l的参数方程（t是参数）化为．（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得：t2﹣t﹣4=0．点E对应的参数为t=0．设点A，B分别对应的参数为t1，t2．则t1+t2=1，t1t2=﹣4．∴|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．点评：本题考查了参数方程极坐标方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≤3的解集，和已知的解集作对比，从而求得实数b的值．（Ⅱ）设g（x）=f（x+3）+f（x+1）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，它的最小值为4，从而求得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得≤x≤．再由不等式f（x）≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}，可得=﹣1，=2，解得b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）﹣（2x+1）|=4，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．故实数m的取值范围为（﹣∞，4]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．。