全国高中物理竞赛动量守恒专题

动量及动量守恒【基本内容】：1、冲量恒力的冲量指的是力与其作用时间的乘积。

随时间改变的力对物体的冲量是指力的作用对时间的积累效果,即力对时间的积分：dt t F I t t )(21⎰=2、动量动量是物质运动的一种量度，用P 表示。

它定义为质点的质量m 与其速度v 的乘积,即v m P =。

动量的单位是千克·米/秒(s m kg /⋅). 3、质点的动量定理质点所受的合外力的冲量等于其动量的增量，称之为质点动量定理.其积分形式为)()(12021v m v m v m P d dt t F I PP t t ∆=-===⎰⎰，其微分形式为I d dt F P d==，即质点动量的元增量等于作用在它上面的的元冲量。

4、质点系的动量定理如右图所示,质点系由n 个质点组成,动量各为i P （i =1，2，…，n ），第i 个质点受系统内其它质点作用的内力之和为内i F ，受系统外部作用的合外力为外i F ，对系统内各质点分别应用微分形式的动量定理：dt p d F F 111=+内外，…，dtp d F F i i i =+内外。

把各质点相加，得到∑∑∑=+dtp d F F ii i 内外。

考虑到系统内质点所受内力之和等于零，即0=∑内i F。

可得质点系动量定理的微分形式：∑∑=i i p dtdF 外。

用dt 乘等式两边，得∑∑=i i p d dt F外，再对等式两边积分，可得质点系动量定理的积分形式：00∑∑⎰∑-=i i tt i p p dt F外，即一段时间内质点系动量的增量等于质点系所受合外力的冲量。

5、动量守恒定律如果质点系不受外力或所受外力之和（或合外力的冲量）为零，则质点系的动量将保持不变。

即若0=∑ii F外,则=∑i ii v m 常矢量。

6、力矩由O 点到力的作用点的矢径r 与力F 的矢量积称为力F 对点O 的力矩，力矩是 力使物体绕某点(轴)转动效应的量度，用M 表示，即：F r M ⨯=。

7、冲量矩力对某定点的力矩M 与力矩作用的微小时间间隔dt 的乘积，称为力矩M 在时间dt 内的冲量矩，在1t 到2t 的一段时间内的冲量矩是dt M t t ⎰21。

8、动量矩质点对某点的位矢r 与质点在相应位置的动量v m 的矢量积，称作质点对该定点的动量矩(角动量)，即 v m r L ⨯=。

9、动量矩定理一段时间内质点所受合外力对某定点的冲量矩等于质点对该定点的动量矩的增量，即1221L L dt M t t -=⎰。

对于质点系，动量矩定理表述为一段时间内系统所受外力合冲量矩等于系统总动量矩的增量,即∑∑⎰∑-=ii ii t t ii L L dt M021外.10、动量矩守恒定律若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点动量矩守恒，即若0=合M ，则=⨯=∑iii iv m r L )(常量.【例题】例1 如图所示，长度为L 、质量为M 的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m 的人，也是静止的。

现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？解析 对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V ），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：)(0v m MV -+=即 MV mv = 对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。

即：V M v m = (1) 设全程的时间为t ，乘入(1)式两边，得：t V M t v m =设s 和S 分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：MS ms = (2)受船长L 的约束，s 和S 具有关系：L S s =+ (3)解(2)、(3)可得：船的移动距离 L mM mS +=另解：利用质心运动定律，人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。

先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x 表达。

根据力矩平衡知识，得：)(2M m m Lx +=），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。

所以可知船的位移为2x 。

例2 如图所示，A 、B 两物块及小车C 的质量之比为::1:2:3A B C m m m =，A 与B 之间夹有少量炸药。

刚开始时，A 、B 、C 均静止，A 与C 、B 与C 之间的摩擦系数均相同，水平地面光滑。

炸药爆炸后，A 、B 开始分开，直至A 和B 分别与小车C 相对静止时，所用的时间分别为A t 、B t ，求:A B t t 的值。

解析 从:1:2A B m m =可知B A m m >，则A B m g m g μμ<，B 先相对于C 静止，然后A 也相对于C 静止。

对于A 、B 、C 组成的系统，火药的爆炸力及A m g μ、B m g μ都是内力，在水平方向不受外力，系统动量守恒。

题目中明确给出A t 、B t ，这就为B 相对C 、CA BA fB f BCv (a)CAf (b)A BA CBA 相对C 静止的物理过程提供了使用动量定理的条件。

在B t 时间内，以C 为研究对象，见图（a ），运动过程中A 对C 的摩擦力A A f m g μ=向左；B 对C 的摩擦力B B f m g μ=向右。

当B 与C 相对静止的一瞬间，B 与C 的共同速度BC v ,向右。

()B A B C BC m g m g t m v μμ-= ①再经()A B t t -时间，A 也相对C 静止，见图（b ）。

以B 和C 为研究对象，在A 与C 相对静止的一瞬间，对于A 、B 、C 整个系统有0()()A B C A B C t m m m v m m m v ++=++ ②由于00v =，所以A 、B 、C 的末速度0t v =，即A 、B 、C 均静止，而在()A B t t -过程中，对B 和C 有()0()A A B B C BC m g t t m m v μ--=-- ③ 方程①/③得，C B A B A A B BC m m m t m t t m m -=-+ ，即 213132B A B t t t -=-+ ， 则85A B t t = 例3 质量为M ，半径为R 的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为 L I ω=,212I MR =现有如图所示系统，细绳质量可忽略，细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，12m m >，试求a 。

解析 以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为L I ω=设左、右绳中张力分别为1T 、2T ，它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为12()M T T R =- 又因为 ()L M I I t tωβ∆∆===∆∆ 有 12()T T R I β-=βa aM 2m1m R对1m 、2m 有方程 111m g T m a -= 222T m g m a -=a 与β的关系为 a R β=可解得 12122()2()m m a g m m M-=++例 4 质量为m 的小球通过细绳悬挂于固定点O '上，小球以速度v 在水平面上作匀速圆周运动，细绳与竖直线的夹角为α，如图所示。

求小球从图中A 点运动到B 点过程中绳子张力的冲量。

解 设圆周运动的半径为R ，由图示的小球受力情况可得⎪⎩⎪⎨⎧==R v mT m g T 2sin cos αα解得 αcot 2gvR =小球从A 点运动到B 点经过的时间t 为 αππc o t gvvRt ==.因此，小球所受的重力在这段时间里的冲量g I 为 k mv gvk mg t k mg I g ⋅-=⋅⋅-=⋅⋅-=απαπcot cot由动量定理，小球所受合力的冲量应等于其动量的改变量，所以 j mv j mv j mv p p I A B 2-=--=-= 合力的冲量应等于合分力冲量的矢量和，所以 k mv j mv I I I g T ⋅+-=-=απcot 2， 即T I 的大小为 απ22cot 4+mv例5 一股横截面积为A 、密度为ρ、以绝对速度0v 在水平方向运动的水流，无弹∙∙∙Byzx OO 'TAmgα性地弹中一质量为m 的木块，即水离开木块时水相对于木块的水平速度分量为零。

若木块与它在其上滑动的水平面间的摩擦因数为μ，求木块的最终速度。

解析 方法一：先作为变质量质点的运动问题来处理。

木块视为本体，入射到木块的水流是微粒1，使本体质量增加，离开木块的水流是微粒2，使本体的质量减少，总的结果，木块的质量不变。

120dm dm dm dt dt dt =+= 其中 10dm dt >，20dmdt < 10()dm v v A dtρ=- 这是由()t t dt + 时间内，射到木块上的水的质量0()dm v v Adt ρ=-得出的。

210()dm dmv v A dt dtρ=-=-- 微粒1并入本体前的水平速度为0v ，微粒2从本体分离后的水平速度为v ，与木块的速度相同。

120()()dm dm dvmv v v v mg dt dt dtμ+-+-=- 代入1dm dt的表达式，上式变为 20()dvm v v A mg dt ρμ--=- 达到最终速度时，0dvdt=，此时 20()v v A mg ρμ-=注意0v v <，有120()mg v v A μρ-= 木块的最终速度 120()mg v v Aμρ=- 方法二：不用变质量质点的运动微分方程，而用质点系的动量定理。

考虑木块已经达到最终速度v 后的dt 时间内，对以木块和此期间与之发生无弹性碰撞的水流为系统运动动量定理。

在()t t dt + 时间内，木块的动量无增量，水流的质量为0()v v Adt ρ-，速度从0v 变为v ，水流的动量增量为2000()()()v v A d t v v vv A d tρρ--=--它也是所述系统的动量增量，由动量定理知，它应等于摩擦力对木块的冲量mgdt μ-，即 20()v v Adt mgdt ρμ--=- 解出 120()mg v v Aμρ=- 例6 如图所示，传送带向上传送砂石，料斗供给传送带砂石的速度为()kg s μ，两轮间传动带长l ，传送带倾角α，主动轮半径R ，求： （1）为使传送带匀速向上传送砂石，发动机的最小转矩是多少（空转时所加力矩不计）？（2）相应的传送带速度为多大？并定性说明当速度偏大或偏小时，为匀速向上传送砂石，发动机将会有较大的转矩。

解析 （1）主动轮匀速转动可以匀速传送砂石。

此时发动机作用在主动轮的转矩M 应与阻力矩平衡。