2019年清华大学数学秋令营(面向高中学生)数学试题及解析
2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(解析版)
清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B AD ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离B ．||AB 的最小值为4C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为a c a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π， 类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B【解析】由于x z y x 311121≤++=，故63≤≤x ．若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ． 10．集合},,,{21n a a a A =，任取Aa a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ． 3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβα D ． 3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zx zx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx x z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyz zy x zx yz xy ．答案BD ．12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0B ．xyz 的最大值为274-C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ） A ．nn n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数 D ．781-+n n a a 为完全平方数【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误． 说明：若数列}{n a 满足nn n a pa a -=++12，则nn n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+z z ，则z 可以取到的值有（ ）A ．21B ．21-C ．215-D ． 215+【答案】CD【解析】因为11||1||=+≤-z z z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A ．6552B ．4536C ．3528D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=b a（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b ab a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则k b a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有nI 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n n n n n C n n C n A C I ．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯． 21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23．22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ．【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ． 【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ．27．已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ．【答案】12i - 【解析】根据题意，有i z z z z z z 35sin 35cos 122223+=-=+=+++ππ28．已知z 为非零复数，z z 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 .【答案】2003003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ.29．若334tan =x ，则=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ．【解析】根据题意，有x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ，满足题意．综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2. 如图，矩形 ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD 上，N 是矩形两对角线的交点．若AB = 24，AD = 32，MD = 16，ED = 8，FD = 7，则下列哪一条直线是 A 、C 两点的对2019 年清华附中新高一分班考试数学试题 真题一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1.下表为小洁打算在某电信公司购买一支 MA T 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为 x 元，x 为 400 到 600 之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？()号码的月租费(元)MA T 手机价格(元)甲方案40015000乙方案60013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600. .....称轴？( )A. 直线 MNB. 直线 ENC. 直线 FND. 直线 DN3.如图，在正方形 ABCD 中，AB = 3，点 E ，F 分别在边 AB ，CD 上，∠EFD = 60°.若将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为()A. 1B. √2C. √3D. 24.如图，抛物线y = ax 2 + bx + c 的对称轴是x = 1，下列结论：①abc > 0；②b 2 − 4ac > 0；③8a + c < 0；④5a + b + 2c > 0，正确的有( )A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A.113B.124C.129D.1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA.IC和I′A′平行，I I′和L平行C.IC和I′A′不平行，I I′和L平行B.IC和I′A′平行，I I′和L不平行D.IC和I′A′不平行，I I′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A.√2+1B.√2+12C.2√2+1D.2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A.24√3−4πB.12√3+4πC.24√3+8πD.24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A.21B.542 C.524 D.748711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A.(0,9)2B.(0,27)2C.(0,9)D.(0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B.2C.2√3−2D.4−2√3二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13. 如图，从一块半径为 1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形 ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC = 90°，点 M ，N 分别在射线 BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，MN = 4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA ，BC 的距离分别为 4 和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为______．15. 设 A ，B ，C ，D 是反比例函数y = k 图象上的任意四点，现有以下结论：x①四边形 ABCD 可以是平行四边形；②四边形 ABCD 可以是菱形；③四边形 ABCD 不可能是矩形；④四边形 ABCD 不可能是正方形．其中正确的是______. (写出所有正确结论的序号)16. 矩形纸片 ABCD ，长AD = 8cm ，宽AB = 4cm ，折叠纸片，使折痕经过点 B ，交 AD 边于点 E ，点 A 落在点A′处，展平后得到折痕 BE ，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE 的长为______厘米．17. 已知二次函数y = ax 2 + bx + c(a,b ，c 是常数，a ≠ 0)的 y 与 x 的部分对应值如下表：xy−56 −4−2−6−426下列结论：①a > 0；②当x = −2时，函数最小值为−6；③若点(−8, y 1)，点(8, y 2 )在二次函数图象上，则y 1 < y 2；④方程ax 2 + bx + c = −5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______. (把所有正确结论的序号都填上)18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = √3 + 2，AD = √3.把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的D′处，再将△ AED′绕点 E 顺时针旋转α，得到△ A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F. A′D″交 AB 于点 G ，连接AA′.有如下结论：①A′F的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√3π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论12中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19.某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3．5(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20.如图，△ADE△由ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EP=PC．PF CF21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：xy……−2m−1−31n2−3……(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23. 已知直线l 1：y = −2x + 10交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B ，二次函数的图象过 A ，B 两点，交 x 轴于另一点 C ，BC = 4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2 )，当x 1 > x 2 ≥ 5时，总有y 1 > y 2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l 2：y = mx + n(n ≠ 10)，求证：当m = −2时，l 2//l 1；(3)E 为线段 BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y = −2x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F △，求ABE △与 CEF 面积之和的最小值．24. 已知∠MPN 的两边分别与⊙ O 相切于点 A ，B ，⊙ O 的半径为 r ．(1)如图 1，点 C 在点 A ，B 之间的优弧上，∠MPN = 80°，求∠ACB 的度数；(2)如图 2，点 C 在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形 APBC 为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；(3)若 PC 交⊙ O 于点 D ，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 r 的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD△，ACE△，BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于1AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 2于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段P A与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标P的坐标……(−2,0)______(0,0)(0,−1)(2,0)(2,−2)(4,0)______……猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>5162，即x至少为517．3故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴AN=AP，AD AC即20=AP，3240解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．2a =1，可得b=−2a，本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则I D//I′F，∵△ABC的内心为I△，A′B′C的内心为I′，∴I D=I E=I F，∠I C D−1∠ACB，∠I′A′C=1∠B′A′C，22∴四边形I D FI′是矩形，∴I I′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠I C D>∠I′A′C，∴I C和I′A′不平行，作I D⊥BA′于D，I E⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，由内心的性质得出I D=I E=I F，∠I C D=1∠ACB，∠I′A′C=21∠B′A′C，证出四边形I D FI′是矩形，得出I I′//L，证出∠I C D>∠I′A′C，得出IC和I′A′不平行，即可得出结论．2本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE//BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，∠DAN=∠BCM在DNA△和BMC中，{∠DNA=∠BMC，△AD=BC∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；∠ADE=∠CBF在ADE△和CBF中，{AD=BC，△∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE=FC，DE=BF，故③正确；∴DE−DN=BF−BM，即NE=MF，∵DE//BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM//FN，故②正确；∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE=FC，△DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，360 4 3 2 3 ∴ BD = 2√2，∴ CD = 2√2 + 1，∴ OM = 1 CD = √2 + 1，即 OM 的最大值为√2 + 1；2 2 2故选：B ．根据同圆的半径相等可知：点 C 在半径为 1 的⊙ B 上，通过画图可知，C 在 BD 与圆 B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 OM 为最大值是点 C 的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB ．由题意，OA = OB = AB = 4，∴ S 弓形AmB = S扇形OAB − △?? AOB = 60⋅π⋅42 − √3 × 42 = 8 π − 4√3， ∴ S 阴 = 6 ⋅ (S半圆 − S 弓形AmB ) = 6 ⋅ (1 ⋅ π ⋅ 22 − 8 π + 4√3) = 24√3 − 4π，故选：A ．设正六边形的中心为 O ，连接 OA ，OB 首先求出弓形 AmB 的面积，再根据S 阴 = 6 ⋅ (S 半圆 − S 弓形AmB )求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ ADE △，BDF ，△ CEG ，平行四边形 DEGF 的面积分别为S 1，S 2，S 3和 S ，过点 D 作DH//EC ，则由 DFGE 为平行四边形，易得四边形 DHCE 也为平行四边形，从而△ DFH≌△ EGC ，∴ △?? DFH = S 3，∵ DE//BC ，∴△ ADE∽△ ABC ，DE = 3，BC = 7，49×14，1349×14，∵△??ABC=14，∴S1=9∴△??BDH：S=(2×4)：3=2：3，∴△??BDH=2S，∴2S+S=14−3∴S=48．79故选：D．如图，设△ADE，△BDF△，CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√332∴C(−3+√3,2)3设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√3+3)2=2，3∴a=3，2∴y=3(x+3)2，227= 1 2 2 故选：B ．设B(−3 − m, 2)，C(−3 + m, 2)，(m > 0)，可知BC = 2m ，再由等边三角形的性质可知C(−3 + 2 √3, 2)，设抛物线 3解析式y = a(x + 3)2，将点 C 代入解析式即可求 a ，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接 PF ，QF ，PC ，QC ，∵ P 、Q 两点分别为△ ACF △、 CEF 的内心，∴ PF 是∠AFC 的角平分线，FQ 是∠CFE 的角平分线，∴ ∠PFC = 1 ∠AFC = 30°，∠QFC = 1 ∠CFE = 30°， 22 ∴ ∠PFC = ∠QFC = 30°，同理，∠PCF = ∠QCF∴ PQ ⊥ CF ，∴△ PQF 是等边三角形，∴ PQ = 2PG ；△易得 ACF≌△ ECF ，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴ AC = 2√3，AF = 2，CF = 2AF = 4，∴ △?? ACF = 1 AF × AC = 1 × 2 × 2√3 = 2√3，过点 P 作PM ⊥ AF ，PN ⊥ AC ，PQ 交 CF 于 G ，∵点 P △是 ACF 的内心，∴ PM = PN = PG ，∴ △?? ACF = △?? PAF + △?? PAC + △?? PCF1 1 1= AF × PM + AC × PN + CF × PG 2 2 2 1 1 × 2 × PG + × 2√3 × PG + × 4 × PG 2 2 23+√3=√3−1=(3+√3)PG=2√3，∴PG=2√3∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1，180而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1，180解得，r=1，3故答案为：1．3求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33②当∠AEB=30°时，AE=t a n30∘=si n60∘=2√3x，【解析】解：①当∠ABE=30°时，AE=AB×tan30°=4√3；3AB4√3=4√3；3③∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE=x，则EA′=x，EF=x3∵AF=AE+EF=ABtan30°=4√3，3∴x+2√3x=4√3，33∴x=8−4√3，∴AE=8−4√3．故答案为：4√3厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．3根据翻折可得∠ABE=∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE=30°时或当∠AEB=30°时或当∠ABA′=30°时求AE的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y=ax2+bx+c得，16a−4b+c=0a=1{c=−4，解得，{b=3，4a+2b+c=6c=−4∴抛物线的关系式为y=x2+3x−4，a=1>0，因此①正确；对称轴为x=−3，即当x=−3时，函数的值最小，因此②不正确；22把(−8,y1)(8,y2)代入关系式得，y1=64−24−4=36，y2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax2+bx+c=−5，也就是x2+3x−4=−5，即方x2+3x+1=0，由b2−4ac=9−4=5>0可得x2+3x+1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵△将AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′F=D′E1√3=√3，3∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3=5√3π，故②正确；180°12∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F△与A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′=30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF=7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60=60⋅3，x+2x5解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3这个等量关系列出方程即可．5(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE△由ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°△，ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EP=DH，PF HF∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EP=DH，PF HF∴EP=PC．PF CF【解析】(1)由旋转的性质得出AB = AD ，∠BAD = 90°△，ABC≌△ ADE ，得出∠ADE = ∠B = 45°，可求出∠BDE的度数；(2)①由旋转的性质得出AC = AE ，∠CAE = 90°，证得∠FPD = ∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论；②过点 P 作PH//ED 交 DF 于点 H ，得出∠HPF = ∠DEP ，EP = DH ，证明△ HPF≌△ CDF(ASA)，由全等三角形的性 PFHF质得出HF = CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图 1 △中， A′B′C′即为所求．(2)如图 2 △中， AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出 A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB = 2√5，BC = √5，AC = 5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x = 1 A 1A 2 = A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x = 1；故答案为：上，直线x = 1；(2)把(−1,0)，(0, −3)，(2, −3)代入y = ax 2 + bx + c ，得：a −b +c = 0{c = −3，4a + 2b + c = −3a = 1解得：{b = −2，c = −3∴抛物线解析式为y = x 2 − 2x − 3，当x = −2时，m = 4 + 4 − 3 = 5；当x = 1时，n = 1 − 2 − 3 = −4；(3)画出抛物线图象，如图 1 所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A1A2=A3A4．故答案为：A1A2=A3A4．(1)观察表格中的数据，得到x=0和x=2时，y值相等都为−3，且其他y的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC=4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x<7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y=a(x−1)(x−5)，过点A(0,10)，∴10=5a，∴a=2，∴抛物线解析式为：y=2(x−1)(x−5)=2x2−12x+10；(2)当m=−2时，直线l2：y=−2x+n(n≠10)，∴直线l2：y=−2x+n(n≠10)与直线l1：y=−2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP,yP)，∴{yP=−2xP+nyP=−2xP+10∴ △?? ABE + △?? CEF = 5t + 5(4−t)2= 10t + 80− 40 = 10(√t − 2√2)2 + 40√2 − 40，(3)通过证明△CEF∽△BEA ，可得S △CEF =(CE)2，BE ，则，可求??=1×t ×10=2 CE ∵ n = 10与已知n ≠ 10矛盾，∴ l 1与l 2不相交，∴ l 2//l 1；(3)如图，、∵直线l 3：y = −2x + q 过点 C ，∴ 0 = −2 × 1 + q ，∴ q = 2，∴直线l 3，解析式为 L ：y = −2x + 2，∴ l 3//l 1，∴ CF//AB ，∴ ∠ECF = ∠ABE ，∠CFE = ∠BAE ，∴△ CEF∽△ BEA ，∴ S △CEF S △ABE = (CE)2，BE设BE = t(0 < t < 4)，则CE = 4 − t ，∴ △?? ABE = 1×t × 10 = 5t ，∴ △?? CEF = (BE )2 × △?? ABE = (4−t )2 × 5t = 5(4−t)2，√t ∴当t = 2√2时，△?? ABE + △?? CEF 的最小值为40√2 − 40．【解析】(1)先求出点 A ，点 B ，点 C 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；5t，△??CEF =5(4t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，∴阴影部分的周长= PA + PD + AD = √3r + r + π r = (√3 + 1 + π)r ． S △BFC ⏜ ⏜ 同理可得： S 3 S 3 ∴△ APC≌△ BPC(SAS)，∴ ∠ACP = ∠BCP = 30°，AC = BC ，∴ ∠APC = ∠ACP = 30°，∴ AP = AC ，∴ AP = AC = PB = BC ，∴四边形 APBC 是菱形；(3) ∵⊙ O 的半径为 r ，∴ OA = r ，OP = 2r ，∴ AP = √3r ，PD = r ，∵ ∠AOP = 90° − ∠APO = 60°，∴ AD = 60°π⋅r= π r ， 180∘ 3⏜ 3 3【解析】(1)连接 OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO = ∠PBO = 90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB = 60°时，四边形 APBC 是菱形，连接 OA ，OB ，由切线长定理可得PA = PB ，∠APC = ∠BPC = 30°，由“SAS ”可证△ APC≌△ BPC ，可得∠ACP = ∠BCP = 30°，AC = BC ，可证AP = AC = PB = BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出 AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD ，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1 + S 2 = S 3【解析】解：类比探究(1) ∵ ∠1 = ∠3，∠D = ∠F = 90°，∴△ ADB∽△ BFC ，∴ S△ADB = (AB )2，BCS △AEC S △BFC = (AC )2，BC∵ AB 2 + AC 2 = BC 2，∴ S 1 + S 2 = (AB )2 + (AC )2 = AB 2+AC2= 1，BC BC BC 2∴ S 1 + S 2 = S 3，故答案为：S +S =S ．。
2019-2020学年北京市清华附中高三(下)入学数学试卷(理科)
直线 ＝ 恒过定点 ，
当 时，由约束条件 作可行域如图，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 ＝ 时，直线 ＝ 与 轴重合，平面区域 为图中 轴右侧的阴影区域，
的最小值为 ＝ ，满足 ；
当 时，由约束条件 作可行域如图阴影部分，
当 点与 重合时， 的最小值 ，
联立 ，解得 ．
，
由 ，解得： ．
∴ ．
Ⅲ ；
可以简单直观解释，也可以具体计算如下：
设 类案件的均值为 ，则
．
如图，四边形 与 均为菱形， ＝ ＝ ，且 ＝ ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
Ⅱ 求证： 平面 ；
Ⅲ 求二面角 的余弦值．
【答案】
（1）证明：设 ＝ ，连结 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点，
又 ＝ ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ， ＝ ，
综上，实数 的取值范围是 ．
二、填空题（共6小题；共6×5=30分）
在等差数列 中，若 ，则该数列的通项公式 ________．
【答案】
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．
【解答】
解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，①
∴ ，②
②-①可得 ，
即 ，解得 ，
把 代入 可得 ，
（1）直线 ＝ 在圆内部分的点到 的最长距离为________；
（2）若线段 上存在点 ，使得：
①点 在 内；
② 点 线段 ，都有 成立．则线段 的最大长度为________．
【答案】
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．
清华大学2019年自主招生数学试题(含详细解析)
1清华大学自主招生数学试题2019.061.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2.求值：1221(1sin )x x dx --⎰.3.已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ⨯的最大值.4.AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（）A.2AM OH =B.2AH OH =C.△BOH ∽△BMAD.忘记5.{1,2,3,,15}A =⋅⋅⋅，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值.6.若对c ∀∈R ，,a b ∃，使得()()()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列函数不满足性质T 的是（）A.32()33f x x x x =-+ B.21()1f x x =+ C.1()x f x e += D.()sin(21)f x x =+7.已知||||1a b == ，12a b ⋅= ，()()0c a c b --= ，若||1d c -= ，求||d 的最大值.8.椭圆22162x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若△ABC 为正三角形，求△ABC 的面积.9.圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线28y x =于A 、B 两点，且满足90AOB ∠=︒，其中O 为坐标原点，求0x .10.设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值.11.实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值和最小值.初高中数学学习资料的店。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
（）
A．40° 【答案】C
B．80°
C．20°
2
D．10°
【解析】由 △PAB 为等腰三角形求出 PAB 70 ，再证明 PA AC ，最后由 BAC PAC PA 得出答案.
【详解】
PA PB,P 40
PAB 为等腰三角形，且 PAB 180 40 70 2
PA 是 O 切线， A 为切点， AC 是直径 PA AC 即 BAC PAC PAB 90 70 20
2．分式
x2
x
x 1
2
的值为
0，则
x
的值为（
）
A． 1或 2
B．2
C． 1
【答案】B
x2 x 2 0
【解析】将该分式化为
|
x
|
1
0
，求解即可.
【详解】
x2 x 2 0 x 1
D． 2
x2 | x
x | 1
2 0
0
，解得
x
2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.
2019-2020 学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
一、单选题
1．化简 a a2 （ ）
A． a
B． a
C． a
D． a2
【答案】B
【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】
1
a
a2
a
a2
1 2 2
a2
1
2 a .
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C 等于（ ）
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
2019-09清华附中高一上9月月考数学试题(原卷版)
清华附中G19级高中入学适应性检测数学试卷2019.9一､选择题1.命题3:N,1p x x ∀∈≥,则p ⌝为()A.3N,1x x ∀∈<B.3N,1x x ∀∉≥C.300N,1x x ∃∉≥ D.300N,1x x ∃∈<2.已知,a b ∈R ,0ab =,则下列等式一定成立的是()A.220a b +=B.||||a b a b +=-C.()0a ab -= D.||||0a b +=3.已知,,a bc ∈R ,且a b c >>,则下列不等式一定成立的是()A.ab bc > B.()()b a b c a b ->- C.22a b > D.a b b c ->-4.已知全集U =R ,集合{}2|230A x x x =-->,集合{|||2}B x x =≤.则下图的阴影部分表示的集合为()A.[1,2)-B.(2,3]-C.(2,3]D.[1,3]-5.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“21a b +>+”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知集合{1,2,3}A =,(],B t =-∞,若A B ⊄,则实数t 的取值范围是()A.(1,)+∞ B.(3,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,3)-∞7.已知1x >,则91x x +-的最小值为()A.4 B.6 C.7 D.108.已知集合{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则集合B 中元素的个数最多为()A.21 B.19 C.11D.10二､填空题9.集合{1,2}的真子集的个数为________.10.写出能说明命题“若a b c >>,则a b c +>”为假命题的一组的整数值:a =_______;b =_______;c =________.11.已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则方程2sgn()60x x x -⋅-=的根为_________.12.若关于x 的方程212x a x -=+的根均为负数,则实数a 的取值范围是_________.13.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一､二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元､10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:①最多可以购买4份一等奖奖品②最多可以购买16份二等奖奖品③购买奖品至少要花费100元④共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___________.14.已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和,则x =______.三､解答题15.解下列关于x 的不等式:(1)2230x x --≤;(2)2450x x -+->;(3)210x ax a -+-≤16.已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}A B = ,说明你的理由;(3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可)17.已知集合{}2|20A x x ax a =-+-<(1)当2a =时,求集合A 中的所有正整数元素;(2)求证:对于任意的,a R A ∈≠∅;(3)若0A ∈,求证:[0,2]A ⊄.18.己知1,,x y x y R +=∈，（1）若*,x y R ∈的最大值；（2）若*,x y R ∈，求14x y+的最小值；（3）求(13)x y -的最小值．19.己知抛物线2:(0)G y ax bx c ab =++≠的顶点为P ,与y 轴的交点为Q ,则直线PQ 称为抛物线G 的伴随直线.(1)求抛物线221y x x =-+的伴随直线的表达式;(2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+,且该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,求a 的取值范围.(3)已知(3,4),(0,4)A B -,若抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,求a 的取值范围(直接写出答案即可)。
2019年清华大学领军计划笔试试题
2019年清华大学领军计划笔试试题1. 满足方程1x +1y =3100的有序正整数组(x,y)的个数为___________。
A. 12B. 13C. 24D. 252. 已知不定方程x 14+x 24+⋯+x n 4=799有正整数解，则正整数n 的最小值为___________。
A. 11B. 13C. 15D. 173. 在十进制数下，设a 是44444444的各位数字之和，b 是a 的各位数字之和，则b 的各位数字之和为___________。
A. 5B. 6C. 7D. 164. 若集合A,B 满足A ∩B =∅，A ∪B =ℕ∗，则称(A,B)为ℕ∗的一个二划分。
则___________。
A. 设A ={x |x =3k,k ∈ℕ∗},B ={x|x =3k ±1,k ∈ℕ∗}，则(A,B)是ℕ∗的一个二划分；B. 设A ={x |x >0,x 为质数},B ={x|x >0,x 为合数}，则(A,B)是ℕ∗的一个二划分；C. 能找到ℕ∗的一个二划分满足：A 中不存在三个成等差数列的数，且B 中不存在无穷项的等差数列；D. 能找到ℕ∗的一个二划分满足：A 中不存在三个成等比数列的数，且B 中不存在无穷项的等比数列。
5. A,B,C,D,E,F 六名同学进行乒乓球比赛，每两个人都要比赛一局，若A,B,C,D,E 已经赛过的局数分别为1、2、3、4、5，则F 已经赛过的局数为___________。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 设数列{a n }满足a n+1=a n 2−3a n +4，且a 1=3. 则___________。
A. {a n }是递增数列 B. {a n }是无界数列 C. a 100=101D. lim n→∞(1a1−1+1a 2−1+⋯+1a n −1)=17. 已知数列{a n }的通项为a n =(n −12)(910)n,b n =a n+1−a n . 则___________。
精品解析：清华大学附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题(解析版)
G19级高中入学适应性检测数学试卷一､选择题1.命题3:N,1p x x ∀∈≥,则p ⌝为()A.3N,1x x ∀∈< B.3N,1x x ∀∉≥ C.300N,1x x ∃∉≥ D.300N,1x x ∃∈<【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定方法,由已知中的原命题,写出其否定形式,可得答案.【详解】解:命题3:N,1p x x ∀∈≥,命题的否定为p ⌝:300N,1x x ∃∈<.故选:D【点睛】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键.2.已知,a b ∈R ,0ab =,则下列等式一定成立的是()A.220a b +=B.||||a b a b +=- C.()0a ab -= D.||||0a b +=【答案】B 【解析】【分析】由题可得0ab =,则0a =或0b =,选项A 整理得0a =且0b =,A 错误;选项B 两边同时平方整理得40ab =,即0ab =,B 正确;选项C 乘积为0,则0a =或a b =,C 错误;选项D 整理得0a =且0b =,故D 错误.【详解】解:已知,a b ∈R ,0ab =,则0a =或0b =,选项A:220a b +=⇒0a =且0b =,故A 错误;选项B:||||a b a b +=-222222a ab b a ab b ⇒++=-+,即40ab =,所以0ab =,故B 正确;选项C:()0a a b -=⇒0a =或a b =,故C 错误;选项D:||||0a b +=⇒0a =且0b =,故D 错误;故选:B【点睛】本题考查由已知条件判断命题的真假,属于基础题.3.已知,,a b c ∈R ,且a b c >>,则下列不等式一定成立的是()A.ab bc >B.()()b a bc a b ->- C.22a b > D.a b b c->-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的基本性质,结合,,a b c ∈R ,且a b c >>,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,即可得出答案.【详解】解:选项A:ab bc >,若0a b c >=>,则ab bc =,故A 错误;选项B:()()b a b c a b ->-,因为若a b c >>,故0a b ->,则()()b a b c a b ->-成立,故B 正确;选项C:22a b >,若0,1a b ==-,则22a b <,故C 错误;选项D:a b b c ->-,若,3,2,0a b c ===,则1,2a b b c -=-=,a b b c -<-,故D 错误;故选:B【点睛】本题考查不等式的性质,可以利用特殊值排除法求解,属于基础题.4.已知全集U =R ,集合{}2|230A x x x =-->,集合{|||2}B x x =≤.则下图的阴影部分表示的集合为()A.[1,2)-B.(2,3]-C.(2,3]D.[1,3]-【答案】C 【解析】【分析】由题意求出集合A 和集合B,图象阴影部分表示求()U C A B ⋃,求解即可.【详解】解:{}2|230A x x x =-->={1x x <-，或}3x >;{|||2}|22}B x x x x =≤=-≤≤;图象阴影部分表示求()U C A B ⋃,所以A B = {2x x ≤，或}3x >，,所以(){}|23U C A B x x È=<£,即(2,3].故选:C【点睛】本题考查集合并集和补集的运算,以及Venn 图表示集合,属于基础题.5.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“21a b +>+”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】设命题:p a b >,命题:21q a b +>+,整理得:1q a b +>,分别从充分性和必要性进行推理即可,推理过程中可用特殊值来判断.【详解】解:设命题:p a b >,命题:21q a b +>+,整理得:1q a b +>.充分性:因为:p a b >,则:1q a b +>显然成绩,所以p q ⇒成立;必要性:因为:1q a b +>,当0,0.5a b ==时,a b <,所以q p ≠>,必要性不成立.所以“a b >”是“21a b +>+”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.6.已知集合{1,2,3}A =,(],B t =-∞,若A B ⊄,则实数t 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(3,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,3)-∞【答案】D 【解析】【分析】本题根据A B ⊄,则集合A 中的元素不能够全部属于集合B ,则集合A 中的最大值3B ∉,结合(,]B t =-∞,即可求出结果.【详解】解:已知集合{1,2,3}A =,(,]B t =-∞,若A B ⊄,则集合A 中的元素不能够全部属于集合B ,又因为(],B t =-∞,则集合{1,2,3}A =中的最大值3B ∉,所以3t <,即实数t 的取值范围为(,3)-∞.故选：D【点睛】本题是一道关于集合的题目,解题关键是掌握结合集合间的基本关系及集合间的基本运算.7.已知1x >,则91x x +-的最小值为()A.4B.6C.7D.10【答案】C 【解析】【分析】由题意可得10x ->,可得()991111x x x x +=+-+--,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.【详解】解:已知1x >,则10x ->()991111x x x x ∴+=+-+--17≥+=,当且仅当911x x =--,即4x =时等号成立.所以91x x +-的最小值为:7故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.8.已知集合{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则集合B 中元素的个数最多为()A.21B.19C.11D.10【答案】A 【解析】【分析】根据题意知集合A 表示的是第一象限内的1111121´=个点,又因为B A ⊆,B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等.根据规律一一列举即可得出结果.【详解】解:因为{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,则集合A 表示的是第一象限内的1111121´=个点,又因为B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则12120x x y y -⎧⎨->≤⎩或12120x x y y -<≥-⎧⎨⎩则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等.若点()0,10A ,则(1,9)B 或(1,10)B ,根据规律可得:()()()()()()()()()2,8,3,7,4,6,5,5,6,4,7,38,29,1,10,0,或()()()()()()()()()2,9,3,8,4,7,5,6,6,5,7,48,39,2,10,1故B 中元素的个数最多为21个.故选:A【点睛】本题考查集合的元素的个数的求法,考查不等式求函数的单调性,利用单调性解决集合问题.二､填空题9.集合{1,2}的真子集的个数为________.【答案】3【解析】【分析】解法一:(列举法)对集合{1,2}的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合{1,2}中的元素个数n ,再用公式21n -求出真子集个数.【详解】解:解法一:(列举法)集合{1,2}的真子集为∅,{}1,{}2,共3个.故答案为:3解法二:(公式法)集合{1,2}中的元素有2个,则真子集个数为2213-=,个.故答案为:3【点睛】本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合M 中有n 个元素,则集合的子集有2n 个,真子集有21n -,非空真子集有22n -个.10.写出能说明命题“若a b c >>,则a b c +>”为假命题的一组的整数值:a =_______;b =_______;c =________.【答案】(1).1-(2).2-(3).3-【解析】【分析】“若a b c >>,则a b c +>”为假命题,依次列举即可,答案不唯一.【详解】解:设,,a b c 是任意实数,“若a b c >>,则a b c +>”为假命题,可设,,a b c 依次为1,2,3---.(答案不唯一)故答案为:1,2,3---【点睛】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.11.已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则方程2sgn()60x x x -⋅-=的根为_________.【答案】3x =或3x =-【解析】【分析】根据分段函数,分类讨论,将sgn()x 的值代入2sgn()60x x x -⋅-=中求解即可.【详解】解:已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,①当0x >时,()1sgn x =,则260x x --=,解得3x =或2x =-,又因为0x >,所以3x =.②当0x =时,()0sgn x =,则260x -=,解得x =或x =,又因为0x =,所以无解.③当0x <时,()1sgn x =-,则260x x +-=,解得3x =-或2x =,又因为0x <,所以3x =-.综上所述:2sgn()60x x x -⋅-=的根为3x =或3x =-.故答案为:3x =或3x =-【点睛】本题考查分段函数,分情况讨论是解题的关键.12.若关于x 的方程212x ax -=+的根均为负数,则实数a 的取值范围是_________.【答案】()(),44,2-¥-È--【解析】【分析】根据方程212x ax -=+进行运算求出根,然后根均为负数建立不等式,再结合分式的分母不等于0,即可得出结果.【详解】解:方程212x ax -=+,则20x +≠,2x ≠-解方程:22022x a x x x -+-=++,即()202x a x -+=+,所以()20x a -+=,2x a =+,又因为方程212x ax -=+的根均为负数,所以2022a a +<⎧⎨+≠-⎩,所以2a <-且4a ≠-.所以实数a 的取值范围是:()(),44,2-¥-È--.故答案为:()(),44,2-¥-È--【点睛】本题考查根据方程的根即方程的零点求解参数,需要注意分式的分母不等于0,这是一个容易遗漏的条件,属于基础题.13.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一､二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元､10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:①最多可以购买4份一等奖奖品②最多可以购买16份二等奖奖品③购买奖品至少要花费100元④共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___________.【答案】①②③【解析】【分析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x 、y ,则根据题意列出线性规划条件,作出可行域,再逐一判断即可.【详解】解:设购买一、二等奖奖品份数分别为x 、y ,则根据题意有2010200132,x y x y x x y Nì+£ïï£ïíï³ïïÎïî,作可行域为:解得:24x ≤≤,616y ＃,所以最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品,故①②正确,购买奖品至少要花费220610100´+´=元,故③正确,由可行域知:()2,6A ,()4,12B ,()2,16C ,可行域内的整数点有()()()2,6,2,7,......,2,16()()()3,9,3,10,......,3,14()4,12,共116118++=个.故④错误.故答案为:①②③【点睛】本题考查线性规划在实际生活中的应用,关键是求出x 、y 的范围,属于基础题.14.已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和,则x =______.【答案】32-【解析】【分析】因为集合中的x 未知,则x 可为最大值、最小值,或者既不是最大值也不是最小值,分三种情况讨论即可得出结果.【详解】解:已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和.①当x 为最大值时,1123x x -=+++,显然不成立,则无解,x 不是最大值.②当x 为最小值时,3123x x -=+++,则32x =-,满足x 为最小值,故32x =-成立.③当x 既不是最大值也不是最小值时,31123x-=+++则4x =-,x 为最小值,与x 既不是最大值也不是最小值矛盾,故4x =-不成立.综上所述:32x =-.故答案为:32-【点睛】本题考查根据集合中元素的性质求集合的元素,分情况讨论是解题的关键.三､解答题15.解下列关于x 的不等式:(1)2230x x --≤;(2)2450x x -+->;(3)210x ax a -+-≤【答案】(1)(][),13,-∞-+∞ .(2)∅(3)当2a <时,解集为[]1,1a -,当2a =时,解集为1x =,当2a >时,解集为[]1,1a -.【解析】【分析】(1)利用十字相乘法将不等式整理成()()310x x -+≤,13x x ≤-≥或.,故解集为:(][),13,-∞-+∞ .(2)先将2450x x -+->去掉负号得2450x x +<-,利用配方法可得结果.(3)利用十字相乘法将不等式整理成()()110x a x --+≤⎡⎤⎣⎦,分2a <、2a =、2a <三种情况讨论即可得出不等式的解.【详解】解:(1)2230x x --≤,()()31013x x x x -+≤⇒≤-≥或,故解集为:(][),13,-∞-+∞ .(2)2450x x -+->,()22450210x x x x ∴+<⇒-+<⇒-无解,故解集为:∅(3)210x ax a -+-≤,()()110x a x ∴---≤⎡⎤⎣⎦,当11a -<,即2a <时,解集为[]1,1a -,当11a -=,即2a =时,解集为1x =,当11a ->,即2a >时,解集为[]1,1a -.所以:当2a <时,解集为[]1,1a -,当2a =时,解集为1x =,当2a >时,解集为[]1,1a -.【点睛】本题考查解一元二次不等式,利用十字相乘法求根,再根据不等式的性质得出解即可.对于含参的一元二次不等式求解需要考虑参数的取值范围.16.已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}A B = ,说明你的理由;(3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可)【答案】(1){}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在,证明见解析;(3)0a =,3a =.【解析】【分析】解:(1)将1a =-代入集合中,再求出A B 即可.(2)不存在.证明:若{0}A B = ,则0{1,2,}A a ∈=且{}20,1B a a ∈=+,将0a =代入集合A 和B 中,再求交集,得出{0,1}A B = ,与{0}A B = 矛盾,故不存在.(3)根据{1,2,}A a =得出{}21,4,C a=,再根据B C ⋃中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数a 的值.【详解】解:(1)当1a =-时,{1,2,1}A =-,{}1,0B =所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在实数a ,使得{0}A B = ,证明:若{0}A B = ,则0{1,2,}A a ∈=,且{}20,1B a a ∈=+,所以0a =,则{1,2,0}A =,{}0,1B =则{0,1}A B = ,与{0}A B = 矛盾,故不存在实数a ,使得{0}A B = ;(3)因为{}2|,C y y x x A ==∈,{1,2,}A a =所以C 含有21,4,a ，{}2,1B a a =+,BC ⋃含有21,4,,1a a +，又因为B C ⋃中恰好有3个元素,所以当11a +=时,0a =,{}1,4,0B C ⋃=,当14a +=,3a =,{}1,4,9B C ⋃=,所以满足条件的实数a 的值有0a =,3a =.【点睛】本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.17.已知集合{}2|20A x x ax a =-+-<(1)当2a =时,求集合A 中的所有正整数元素;(2)求证:对于任意的,a R A ∈≠∅;(3)若0A ∈,求证:[0,2]A ⊄.【答案】(1)1;(2)证明见详解;(3)证明见详解.【解析】【分析】(1)代入2a =时,整理得{}|02A x x =<<,即可得出集合A 中的所有正整数的元素为1;(2)利用根的判别式0> 得出方程220x ax a -+-<有解,则A ≠∅成立;(3)根据(2)知0> ,方程有两根,设{}12|A x x x x =<<,又因为0A ∈,则120x x ⋅<,再根据两根之积小于0,得出2a <①,当2x =时,解得2a >,两者矛盾,则2A ∉,所以[0,2]A ⊄成立.【详解】解:(1)已知集合{}2|20A x x ax a =-+-<,当2a =时,{}{}2|20|02A x x x x x =-<=<<,所以集合A 中的所有正整数的元素为1;(2)证明:对于任意的,a R ∈{}2|20A x x ax a =-+-<()()()2224248240a a a a a =---=-+=-+>,所以220x ax a -+-<有解,A ∴≠∅成立(3)证明:由(2)知0> ,方程有两根,设{}12|A x x x x =<<,又因为0A ∈,则120x x <<,则120x x ⋅<两根之和122x x a ×=-,则20a -<,即2a <①,当2x =时,22220a a -+-<,则2a >与①矛盾,则2A ∉,[0,2]A ∴⊄成立.【点睛】本题考查集合间的基本关系,考查一元二次不等式的解与参数的关系,属于中档题.18.己知1,,x y x y R +=∈,(1)若*,x y R ∈的最大值;(2)若*,x y R ∈,求14x y +的最小值;(3)求(13)x y -的最小值.【答案】(1);(2)9;(3)59.【解析】【分析】(1)由题可知0>,先平方得到21x y =+++①,再根据1x y +=,12≤,代入上式子可得22≤,最后再开方即可得出;(2)由1x y +=,得()141445y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,利用基本不等式求得最小值,验证4y x x y =即可.(3)由1x y +=,可得1x y =-,代入消元得出2(13)341x y y y -=-+,整理至一元二次函数的顶点式,即可得出最小值.【详解】解:(1)若*,x y R ∈,1,,x y x y R+=∈0>,21x y +=++=+①,又因为1x y +=,所以1x y +=≥,12≤②,将②代入①得:2111222+=+≤+⨯=,+≤,当且仅当12x y ==时等号成立.;(2)因为*,x y R ∈,且1,,x y x y R+=∈所以()1414x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459y x x y =+++≥+=,当且仅当4y x x y =,即12,33x y ==时,等号成立.所以14x y+的最小值为9.(3)己知1,,x y x y R +=∈,所以1x y =-,则()2(13)1(13)341x y y y y y -=--=-+2242553133399y y y ⎛⎫⎛⎫=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以(13)x y -的最小值为59.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和和利用一元二次函数的顶点式求最值,属于基础题.利用基本不等式要注意”一正二定三相等”.19.己知抛物线2:(0)G y ax bx c ab =++≠的顶点为P ,与y 轴的交点为Q ,则直线PQ 称为抛物线G 的伴随直线.(1)求抛物线221y x x =-+的伴随直线的表达式;(2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+,且该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,求a 的取值范围.(3)已知(3,4),(0,4)A B -,若抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,求a 的取值范围(直接写出答案即可)【答案】(1)1x y +=;(2)()(),00,1-∞U ;(3)425a £<或4a =.【解析】【分析】(1)先求抛物线的顶点为()1,0P ,再与抛物线y 轴的交点为()0,1Q ,根据截距式即可得出伴随直线方程.(2)先求抛物线2y ax bx c =++的顶点24,24b ac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c ,将,P Q 代入伴随直线24y x =+方程,解得4b =,4c =,再根据该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,用根的判别式列不等式,解得1a <,结合0ab ≠,即可得出a 的取值范围.(3)根据抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,将抛物线化为222y ax ax a =++,又因为该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,即则()()3444f f ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩或()()3444f f ⎧-<⎪⎨≥⎪⎩,代入数据求解即可.【详解】解:(1)221y x x =-+的顶点为()1,0P ,与抛物线y 轴的交点为()0,1Q ,直线PQ :111xy+=,即1x y +=,所以抛物线221y x x =-+的伴随直线为:1x y +=.(2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+,顶点为24,24bac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c ,PQ 在直线24y x =+上,所以24444ac b b a ac ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩,解得4b =,又因该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,240b ac =-> ,所以24440a -⨯>,解得1a <,又因为0ab ≠,故1a <且0a ≠.所以a 的取值范围为()(),00,1-∞U .(3)因为抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,顶点24,24b ac b P a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点为()0,Q c ,2442ac b b a ba ab c⎧-=-⨯+⎪⎨⎪=⎩,解得:2b c a ==,所以抛物线可表示为:()222f x ax ax a =++,对称轴为1x =-又因为(3,4),(0,4)A B -,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点线段AB 为:4(30)y x =-＃.则()()03404a f f ⎧>⎪-≥⎨⎪<⎩或()014a f >⎧⎨-=⎩解得425a £<或4a =,.所以可得a 的取值范围为425a £<或4a =.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,关键是读懂题目所给的条件,根据新定义进行解答,综合性较强.。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题一、单选题1=（ ）AB ．a -C ．aD ．2a【答案】B【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.【详解】()()11122222a a a a ⎡⎤=-⋅=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2．分式221x x x ---的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-或2B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】将该分式化为220||10x x x ⎧--=⎨-≠⎩，求解即可.【详解】2201x x x --=- 220||10x x x ⎧--=∴⎨-≠⎩，解得2x =故选：B【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题. 3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】A【解析】连接BD ，EF 是ABD △的中位线可得BD 的长，根据边长判断90BDC ∠=可得答案.【详解】连接BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以EF 是ABD △的中位线，24BD EF ==，5BC =，3CD =，所以222BD CD BC +=，所以90BDC ∠=，4tan 3BD C CD == 故选：A.【点睛】本题考查了中位线、三角函数求值问题，属于基础题.4．如图，PA 、PB 是O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，40P ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．40°B ．80°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】由PAB △为等腰三角形求出70PAB ︒∠=，再证明PA AC ⊥，最后由BAC PAC PA ∠=∠-∠得出答案.【详解】,40PA PB P ︒=∠=PAB ∴为等腰三角形，且18040702PAB ︒︒︒-∠== PA 是O 切线，A 为切点，AC 是直径PA AC ∴⊥即907020BAC PAC PAB ︒︒︒∠=∠-∠=-=故选：C【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，属于基础题.5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A ．12B ．516C ．716D ．34【答案】D【解析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可.【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种： ()()1,2,1,4,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共12种， 故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是123164=. 故选：D【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 （ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】A 【解析】先根据矩形的特点求出BE 的长，再由翻折变换的性质得出CEF △是直角三角形，利用勾股定理即可得出CF 的长，再在Rt ABC 中利用勾股定理即可得出AB 的长.【详解】因为四边形ABCD 是矩形，8AD =，AEF 是AEB △翻折而成，所以3,BE EF AB AF ===，CEF △是直角三角形，835CE =-=，在Rt CEF 中，2222534CF CE EF =-=-=，设AB x =，在Rt ABC 中，222AC AB BC =+，即()22248+=+x x ，解得6x =，所以6AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变.属于较易题.7．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大，当点P 在CB 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】当点P 由点A 向点D 运动，即0≤x ≤4时，y 的值为0；当点P 在DC 上运动，即4＜x ≤8时，y 随着x 的增大而增大；当点P 在CB 上运动，即8＜x ≤12时，y 不变；当点P 在BA 上运动，即12＜x ≤16时，y 随x 的增大而减小．故选：B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势，属于基础题．8．若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上，②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数22410102x x x y x x⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】根据“友好点对”的概念知，函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象的交点个数即为函数y 的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可.【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数1,02y x x=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象如下图所示：由图可知它们的交点有两个，所以函数y 的“友好点对”有2对.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.二、填空题9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于______【答案】1-【解析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】根据根与系数的关系得2,1a b ab +==-则()()()()22211a b a b ab a b -+-+=---=-故答案为：1-【点睛】本题主要考查了由一元二次方程的根求值，属于基础题.10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示.如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1k x k <<+，k 为整数，则k =______【答案】0【解析】由甲、乙、丙的图看出，2和6,1,3,2都相邻，可得出2的对面的数字和3的对面的数字，然后解方程1x m n +=即可.【详解】由图知，2和6,1,3,2都相邻，所以2的对面的数字为4，即m =4，3的对面的数字为6，n =6，所以方程1x m n +=即为146x +=，解得41log 6x +=，即()443log 61log 0,12x =-=∈， 因为x 满足1k x k <<+，k 为整数，所以k =0故答案为：0【点睛】本题主要考查正方体相对面问题以及指数方程的解法，还空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且8BF CF ==，则AB 的长为______【答案】6【解析】先判断出90BDC ∠=︒，然后在Rt BDF 中求出BD 的长度，继而在Rt ABD △中求出AB ．【详解】8BF CF ==，30FBC C ∴∠=∠=︒，30EBF CBF ∴∠=∠=︒（折叠的性质）， 60EBC ∴∠=︒，30ABD ∠=︒，90BDF ∴∠=︒，在Rt BDF 中，cos BD BF EBF =∠=在Rt ABD △中，cos 6AB BD ABD =∠==． 故答案为：6【点睛】本题考查了翻折变换的知识，涉及了解直角三角形的相关知识，解答本题的关键是判断出BDC ∠为直角，30ABD ∠=︒，难度一般．12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x 也可记为()2f x x =，当1x =时的函数值可记为()11f =）.已知()x f x x=，若a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，则()()()f a f b f c ++的所有可能值为______【答案】1或1-【解析】根据题意得0,0a c ><，0b >或0b <，进而得()()()f a f b f c ++的所有可能值为1或1-.【详解】解：因为a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，所以0,0a c ><，0b >或0b <，当0,0a c ><，0b >时，()()()1f a f b f c ++=，当0,0a c ><，0b <时，()()()1f a f b f c ++=-.故答案为：1或1-【点睛】本题考查函数值得求解，解题的关键在于由已知得0,0a c ><，0b >或0b <，是基础题.13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是______【答案】6【解析】分析各正方体的边长，利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】底层正方体的表面积为24，第2层正方体的棱长为2222⨯=1422⨯=，第3层正方体的棱长为2222⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭，每个面的面积为21412⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，，第n层正方体的棱长为1222n-⎛⨯⎝⎭，每个面的面积为1142n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，则该几何体为n层，则它的表面积为2151111244444402222n n--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯++⨯=-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，5140392n-⎛⎫->⎪⎝⎭，解得5112n-⎛⎫<⎪⎝⎭，∴该塔形中正方体的个数至少是6.故答案为：6【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.14．如图，三棱柱111ABC A B C-中，底面1AB=，2BC=，三个侧面都是矩形，13AA=，M为线段1BB上的一动点，则当1AM MC+最小时，BM=______【答案】1【解析】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，连接1AC ，此时11AM MC AC +=最小，再利用三角形相似求解.【详解】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11AB BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，如图所示：连接1AC 与1BB 交于点M 时， 11AM MC AC +=最小，因为1//BM CC ， 所以1ABM ACC ，所以1BM AB CC AC=， 即1312BM =+， 解得1BM =故答案为：1【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上.若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG的面积之和是______【答案】25【解析】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===，由勾股定理得22()25x x z ++=，22()25y y z +-=，两式相减得+=x z y ，从而可求得22x y +．【详解】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===， 则22()25x x z ++=，22()25y y z +-=， 两式相减得：2()()0x y x y z +-+=， ∵0x y +>，∴0x y z -+=，即+=x z y ， ∴2222()25x x z x y ++=+=． 故故答案为：25．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，题中证明+=x z y 是解题关键．16．如图，CD 为直角ABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE AC ⊥，设ADE ，CDB △，ABC 的周长分别是1p ，2p ，p ，当12p p p+取最大值时，AB =______【答案】2【解析】易证Rt ADE Rt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△，令BC a =，AB c =，即可求得212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++，根据二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为CD AB ⊥，DE AC ⊥ 所以易得Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△．令BC a =，AB c =，则2a DB c =，2a AD c c =-．于是212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++． 由二次函数性质知，当112(1)2a c =-=⨯-， 即12BC AB =时，12p p p +取最大值时，因为1BC =，所以2AB =故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x 的取值是解题的关键．17．如图放置的等腰直角ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为______【答案】42π+【解析】先根据题意画出点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象，再根据图象求面积即可得答案. 【详解】解：根据题意得点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象如图所示，其轨迹与x 轴围成的图形是由以2为半径的四分之一的圆弧，以2238的圆弧以及ABC 构成，故两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为：(222131222242482S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 故答案为：42π+ 【点睛】本题考查点的运动轨迹（圆），考查数形结合思想，是中档题.18．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）1234567 35791113 812162024 20283644 486480⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】12288【解析】设,m n a 表示第m 行的第n 个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出2,(21)2m m n a m n -=+-，从而得出这个数表中的第11行第7个数.【详解】设,m n a 表示第m 行的第n 个数由数表可知，每一行成等差数列，且第m 行的公差为12m - 则11,,(1)2m m n m a a n -=+-2,11,11,21,122m m m m m a a a a ----=+=+，则,11,111224m m mm a a ---=即数列,12m m a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为14的等差数列则,11(1)224m ma m -=+，即2,1(1)2m m a m -=+ 212,(1)2(1)2(21)2m m m m n a m n m n ---∴=+⋅+-+-=即9911,7(11141)224212288a =+-⨯=⨯= 故答案为：12288 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.三、解答题19．如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C .（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由. 【答案】（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+()03t ≤≤；（3）1t =或2；不是菱形；答案见解析.【解析】（1）由条件可得()0,1A ，()3,2.5B ，可求得直线AB 的解析式. （2）由t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+ ，2517144NP t t =-++，再根据s MN NP MP ==-得出答案.(3) 若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =,再分别计算能否为菱形.【详解】解：（1）抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，则()0,1A . BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C ,5175931442B y =-⨯+⨯+=,所以()3,2.5B设直线AB 的解析式为y kx b =+则1532b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩可得直线AB 的解析式为112y x =+ （2）点P 从O 点移动到C 点共要3秒,所以03t ≤≤t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+2517144NP t t =-++2517111442s MN NP MP t t t ⎛⎫==-=-++-+ ⎪⎝⎭251544t t =-+()03t ≤≤（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =所以当1t =或2时，四边形BCMN 为平行四边形. ①当1t =时，32MP =，4NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，52MC ==，故MN MC =，此时四边形BCMN 为菱形 ②当2t =时，2M P =，92NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，MC ==MN MC ≠，此时四边形BCMN 不是菱形.【点睛】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题.20．函数()f x ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使()00f x x =成立，则称以()00,x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点.（1）若函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若2a =，直线l ：()11y a x b =-+-与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在by x=的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ x ⊥轴，垂足是Q ，若四边形ABQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数()f x ，对任意的x 有()()f x f x -=-恒成立.下述命题“若函数()f x 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明.【答案】（1）0a >且9a ≠；3b =；（2）56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）正确；证明见解析. 【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程3x ax x b+=+有两个不等的实根，且互为相反数，转化为二次方程，利用根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）和2a =，求得:2l y x =-+，设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2AOB AOQP S S -=四边形△，列出方程，即可求解；（3）定义在R 上的奇函数()f x 必有()00f =，再设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，结合奇函数的定义得出()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点， 可得3x ax x b+=+有两个互为相反数的根00,x x -()00x ≠即()230x b x a +--=()x b ≠-有两个互为相反数的根00,x x -，带入得()()()2002003030x b x a x b x a ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，两式相减得()0230b x -=，所以3b =，方程变为20x a -=()3x ≠-，所以0a >且9a ≠.（2）由（1）得2a =，3b =，所以l ：2y x =-+，即()0,2A ，()2,0B设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2t >，所以(),0Q t ()2t > 又因为2AOB AOQP S S -=四边形△，所以131222222t t ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得52t =， 所以P 点的坐标56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭. （3）正确①在()()f x f x -=-，令0x =，可得()()00f f =-，所以()00f =， 所以()0,0为函数的不动点，②设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，则()00f x x =， 所以()()000f x f x x -=-=-，所以()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点. 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及合理应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l：()43y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标 【答案】（1）30BAO ∠=︒；（283；（3）()2,0-. 【解析】（1）由题意得()434,003A B ⎛- ⎝⎭，，，则3tan 3BAO ∠=，得出答案. (2) 由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上, 光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212F M MF F M MF F F ''+=+=可得出答案.(3) 对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，即可得答案. 【详解】解：（1）直线l ：)343y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 则()434,00A B ⎛- ⎝⎭，，由题4OA =，43OB =，所以3tan BAO ∠=，所以30BAO ∠=︒ （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上,在21AF F '△中，160F AO '∠=︒，11183AF AF AO FO '==-=，2163AF = 所以21AF F '△为直角三角形，1290AF F '∠=︒. 所以光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212833F M MF F M MF F F ''+=+== （3）如图（2）由对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，由几何知识可知，P '应为过原点O 且与l '垂直的直线与l '的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴cos602AP AP AO '==︒=，故点P 的坐标为()2,0-图（1）图（2） 【点睛】本题考查圆的性质、切线的性质，对称性，光线的反射原理，考查点关于直线的对称性以及最值问题，属于中档题.22．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【答案】（1）当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【解析】（1）n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，需满足条件()120092n n n S +=≤，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据21x n +-与n 的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当41n =与49n =两种情况是否符合题意即可.【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n 层放n 根，所以n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，由题意可知()120092n n n S +=≤，因为当62n =时，62626319532S ⨯==，当63n =时，63636420162S ⨯==， 所以当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而()1120092nx n n +-=，即()212200927741n x n +-=⨯=⨯⨯⨯，因1n -与n 的奇偶性不同，所以21x n +-与n 的奇偶性也不同，且21n x n <+-， 从而由上述等式得：721574n x n =⎧⎨+-=⎩或1421287n x n =⎧⎨+-=⎩或412198n x n =⎧⎨+-=⎩或492182n x n =⎧⎨+-=⎩， 共有4中方案可供选择；（Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知： 若41n =，则29x =，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm ，从而梯形的高为，且1010400++<，所以符合条件；若49n =，则17x =，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm ，从而梯形的高为，显然大于4m ，不合条件，舍去.综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.23．试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程()()2221430ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【答案】正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10【解析】将方程可化为()22212x a x +=+，分离参数可得()22122x a x +=+，根据题意可知()221212x x +≥+，解不等式求出x 整数解，然后代入()22122x a x +=+求出a 的值即可.【详解】解：原方程可化为()22212x a x +=+，易知2x ≠-，此时()22122x a x +=+因为a 是正整数，即()221212x x +≥+. 又()220x +>，则()22212x x +≤+即2280x x +-≤，解得42x -≤≤.因为2x ≠-且x 是整数，故x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，依次带入的表达式得41xa=-⎧⎨=⎩，36xa=-⎧⎨=⎩，110xa=-⎧⎨=⎩，3xa=⎧⎨=⎩，1149xa=⎧⎪⎨=⎪⎩，21xa=⎧⎨=⎩从而满足题意的正整数a的值有4个，分别为1，3，6，10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。
精品解析：清华大学附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题(原卷版)
G19级高中入学适应性检测数学试卷一､选择题1.命题3:N,1p x x ∀∈≥,则p ⌝为()A.3N,1x x ∀∈< B.3N,1x x ∀∉≥ C.300N,1x x ∃∉≥ D.300N,1x x ∃∈<2.已知,a b ∈R ,0ab =,则下列等式一定成立的是()A.220a b += B.||||a b a b +=- C.()0a ab -= D.||||0a b +=3.已知,,a b c ∈R ,且a b c >>,则下列不等式一定成立的是()A.ab bc> B.()()b a bc a b ->- C.22a b > D.a b b c->-4.已知全集U =R ,集合{}2|230A x x x =-->,集合{|||2}B x x =≤.则下图的阴影部分表示的集合为()A.[1,2)-B.(2,3]-C.(2,3]D.[1,3]-5.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“21a b +>+”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知集合{1,2,3}A =,(],B t =-∞,若A B ⊄,则实数t 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(3,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,3)-∞7.已知1x >,则91x x +-的最小值为()A.4B.6C.7D.108.已知集合{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则集合B 中元素的个数最多为()A.21B.19C.11D.10二､填空题9.集合{1,2}的真子集的个数为________.10.写出能说明命题“若a b c >>,则a b c +>”为假命题的一组的整数值:a =_______;b =_______;c =________.11.已知1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则方程2sgn()60x x x -⋅-=的根为_________.12.若关于x 的方程212x ax -=+的根均为负数,则实数a 的取值范围是_________.13.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一､二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元､10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:①最多可以购买4份一等奖奖品②最多可以购买16份二等奖奖品③购买奖品至少要花费100元④共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___________.14.已知集合{1,2,3,}A x =中的最大值与最小值的差等于集合A 中所有元素之和,则x =______.三､解答题15.解下列关于x 的不等式:(1)2230x x --≤;(2)2450x x -+->;(3)210x ax a -+-≤16.已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}A B = ,说明你的理由;(3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可)17.已知集合{}2|20A x x ax a =-+-<(1)当2a =时,求集合A 中的所有正整数元素;(2)求证:对于任意的,a R A ∈≠∅;(3)若0A ∈,求证:[0,2]A ⊄.18.己知1,,x y x y R +=∈,(1)若*,x y R ∈的最大值;(2)若*,x y R ∈,求14x y+的最小值;(3)求(13)x y -的最小值.19.己知抛物线2:(0)G y ax bx c ab =++≠的顶点为P ,与y 轴的交点为Q ,则直线PQ 称为抛物线G 的伴随直线.(1)求抛物线221y xx =-+的伴随直线的表达式;(2)已知抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为24y x =+,且该抛物线与x 轴有两个不同的公共点,求a 的取值范围.(3)已知(3,4),(0,4)A B -,若抛物线2y ax bx c =++的伴随直线为y ax b =+,且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点,求a 的取值范围(直接写出答案即可)。
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析全文
2019年清华附中新高一分班考试数学试题-真题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？( )A. 500B. 516C. 517D. 6002. 如图，矩形ABCD 中，M 、E 、F 三点在AD .上，N 是矩形两对角线的交点．若AB .=24，AD .=32，MD .=16，ED .=8，FD .=7，则下列哪一条直线是A 、C 两点的对称轴？( )A. 直线MNB. 直线ENC. 直线FND. 直线DN3. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFD =60°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( )A. 1B. √2C. √3D. 24. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =1，下列结论：①abc >0；②b 2−4ac >0；③8a +c <0；④5a +b +2c >0， 正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？()A. 113B. 124C. 129D. 1346.如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为I.今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在L上，且其内心为I′.若∠A<∠B<∠C，则下列叙述何者正确？()#JYA. IC和I′A′平行，II′和L平行B. IC和I′A′平行，II′和L不平行C. IC和I′A′不平行，II′和L平行D. IC和I′A′不平行，II′和L不平行7.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE//BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN=BM；②EM//FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()A. √2+1B. √2+12C. 2√2+1D. 2√2−129.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A. 24√3−4πB. 12√3+4πC. 24√3+8πD. 24√3+4π10.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？()A. 215B. 425C. 247D. 48711.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(−3,0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？()A. (0,92)B. (0,272)C. (0,9)D. (0,19)12.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？()A.1B. 2C. 2√3−2D. 4−2√3二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.14.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．图象上的任意四点，现有以下结论：15.设A，B，C，D是反比例函数y=kx①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)16.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①a>0；②当x=−2时，函数最小值为−6；③若点(−8,y1)，点(8,y2)在二次函数图象上，则y1<y2；④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是______.(把所有正确结论的序号都填上)18.如图，在矩形ABCD中，AB=√3+2，AD=√3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F 的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√312π；③△A′AF ≌△A′EG ；④△AA′F ∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共9小题，共46分）19. 某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35． (1)求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．20. 如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． (1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EPPF =PCCF ．21.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．22.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为______；(2)求抛物线的表达式及m，n的值；(3)请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y=m(m>−2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系______．23.已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．24.已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数；(2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；(3)若PC交⊙O于点D，求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)．25.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究(1)如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为______；推广验证(2)如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=2√3，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30°，PE=√2，求五边形ABCDE的面积．26.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,−2)，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点MAM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH 为圆心，大于12于点P.根据以上操作，完成下列问题．探究：(1)线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：猜想：(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：(4)设点P的坐标是(x,y)，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：(5)如图3，点B(−1,√3)，C(1,√3)，点D为曲线L上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．27.小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：(1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？______.(填“是”或“否”)拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：(3)若AB=6，CE=9，求AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．由已知得：24x+15000>27400，解得：x>51623，即x至少为517．故选C．由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键．2.【答案】C【解析】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，∵AB=24，AD=32，∴AC=√242+322=40，∴AN=20，∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，∴△ANP∽△ADC，∴ANAD =APAC，即2032=AP40，解得，AP=25，∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，∴AF=AD−FD=32−7=25，∴点P与点F重合．故选C．根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN 的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，∠A=90°，∴∠EFD=∠BEF=60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，∴B′E=2AE，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，∴2(3−x)=x，解得x=2．故选：D．由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；=1，可得b=−2a，∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．5.【答案】D【解析】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，∵∠B=62°，∠C=51°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−62°−51°=67°，∴∠EAF=2∠BAC=134°，故选：D．连接AD，利用轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．6.【答案】C【解析】解：作ID⊥BA′于D，IE⊥AC于E，I′F⊥BA′于F，如图所示：则ID//I′F，∵△ABC的内心为I，△A′B′C的内心为I′，∴ID=IE=IF，∠ICD−12∠ACB，∠I′A′C=12∠B′A′C，∴四边形IDFI′是矩形，∴II′//L，∵∠A<∠B<∠C，∴∠A′<∠B′<∠C，∴∠ICD>∠I′A′C，∴IC和I′A′不平行，故选：C．作ID ⊥BA′于D ，IE ⊥AC 于E ，I′F ⊥BA′于F ，由内心的性质得出ID =IE =IF ，∠ICD =12∠ACB ，∠I′A′C =12∠B′A′C ，证出四边形IDFI′是矩形，得出II′//L ，证出∠ICD >∠I′A′C ，得出IC 和I′A′不平行，即可得出结论． 本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AB//CD ，∠DAE =∠BCF =90°，OD =OB =OA =OC ，AD =BC ，AD//BC ，∴∠DAN =∠BCM ，∵BF ⊥AC ，DE//BF ，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC =90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN =BM ，∠ADE =∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBFAD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE =FC ，DE =BF ，故③正确；∴DE −DN =BF −BM ，即NE =MF ，∵DE//BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM//FN ，故②正确；∵AB =CD ，AE =CF ，∴BE =DF ，∵BE//DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO =AD ，∴AO =AD =OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO =∠DAN =60°，∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个，故选：D．证△DNA≌△BMC(AAS)，得出DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF(ASA)，得出AE= FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD=OA=2，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=1CD，2当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴CD=2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值是点C的位置是关键，也是难点．9.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA=OB=AB=4，∴S弓形AmB =S扇形OAB−S△AOB=60⋅π⋅42360−√34×42=83π−4√3，∴S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)=6⋅(12⋅π⋅22−83π+4√3)=24√3−4π，故选：A．设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴=6⋅(S半圆−S弓形AmB)求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10.【答案】D【解析】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH=S3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，∴S1S△ABC =949，∴S1=949×14，∴S△BDH：S=(12×4)：3=2：3，∴S△BDH=23S，∴23S+S=14−949×14，∴S=487．故选：D．如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH//EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，利用面积比等于相似比的平方可求．本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大．11.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 3∴C(−3+23√3,2)设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√33+3)2=2，∴a=32，∴y=32(x+3)2，当x=0时，y=272；故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+23√3,2)，设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：如图，连接PF，QF，PC，QC，∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=12∠AFC=30°，∠QFC=12∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等边三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，∴AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=12AF×AC=12×2×2√3=2√3，过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵点P是△ACF的内心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=12AF×PM+12AC×PN+12CF×PG=12×2×PG+12×2√3×PG+12×4×PG=(1+√3+2)PG=(3+√3)PG =2√3，∴PG=√33+√3=√3−1∴PQ=2PG=2(√3−1)=2√3−2．故选：C．先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2√3，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．13.【答案】13【解析】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120π×1180，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr=120π×1180，解得，r=13，故答案为：13．求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．14.【答案】2√5−2【解析】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN=90°，MN=4，EM=NE，∴BE=1MN=2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．如图，连接BE，BD.求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①④【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】4√3厘米或4√3厘米或8−4√33【解析】解：①当∠ABE =30°时，AE =AB ×tan30°=4√33； ②当∠AEB =30°时，AE =AB tan30∘=√33=4√3；③∠ABE =15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD 于F ，如下图所示，设AE =x ，则EA′=x ，EF =xsin60∘=2√3x 3， ∵AF =AE +EF =ABtan30°=4√33， ∴x +2√3x 3=4√33， ∴x =8−4√3，∴AE =8−4√3． 故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．根据翻折可得∠ABE =∠A′BE ，分3种情况讨论：当∠ABE =30°时或当∠AEB =30°时或当∠ABA′=30°时求AE 的长．本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．17.【答案】①③④【解析】解：将(−4,0)(0,−4)(2,6)代入y =ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4，∴抛物线的关系式为y =x 2+3x −4，a =1>0，因此①正确； 对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把(−8,y 1)(8,y 2)代入关系式得，y 1=64−24−4=36，y 2=64+24−4=84，因此③正确；方程ax 2+bx +c =−5，也就是x 2+3x −4=−5，即方x 2+3x +1=0，由b 2−4ac =9−4=5>0可得x 2+3x +1=0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④．任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，∴四边形ADED′是矩形，又∵AD=AD′=√3，∴四边形ADED′是正方形，∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，∴D′B=AB−AD′=2，∵点F是BD′中点，∴D′F=1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED′=D′FD′E =√3=√33，∴∠FED′=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D′D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE=A′E，∠AEA′=75°，∴∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∴∠A′AF=7.5°，∵∠AA′F≠∠EA′G，∠AA′E≠∠EA′G，∠AFA′=120°≠∠EA′G，∴△AA′F与△A′GE不全等，故③错误；∵D′E=D′′E，EG=EG，∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，∴∠D′GE=∠D′′GE，∵∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，又∵∠AFA′=∠EFG，∴△AFA′∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE= A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED′= 30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA′=∠EA′A=52.5°，∠A′AF= 7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∴∠D′GE=∠D′′GE=52.5°，可证△AFA′∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3=10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．20.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【解析】(1)由旋转的性质得出AB =AD ，∠BAD =90°，△ABC≌△ADE ，得出∠ADE =∠B =45°，可求出∠BDE 的度数；(2)①由旋转的性质得出AC =AE ，∠CAE =90°，证得∠FPD =∠FDP ，由等腰三角形的判定得出结论； ②过点P 作PH//ED 交DF 于点H ，得出∠HPF =∠DEP ，EP PF =DH HF ，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF =CF ，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出A ，B ，C 的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB =2√5，BC =√5，AC =5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】上 直线x =1 A 1A 2=A 3A 4【解析】解：(1)根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x =1；故答案为：上，直线x =1；(2)把(−1,0)，(0,−3)，(2,−3)代入y =ax 2+bx +c ，得：{a −b +c =0c =−34a +2b +c =−3，解得：{a =1b =−2c =−3，∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3，当x =−2时，m =4+4−3=5；当x =1时，n =1−2−3=−4；(3)画出抛物线图象，如图1所示，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如备用图中的红线所示，(4)根据题意及(3)中图象可得：A 1A 2=A 3A 4．故答案为：A 1A 2=A 3A 4．(1)观察表格中的数据，得到x =0和x =2时，y 值相等都为−3，且其他y 的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴；(2)把三点坐标代入抛物线解析式求出a ，b ，c 的值确定出解析式，进而求出m 与n 的值即可；(3)画出抛物线图象，确定出点P′运动的轨迹即可；(4)根据(3)中图象可得答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵直线l 1：y =−2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC =4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，当x 1>x 2≥5时，总有y 1>y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x <7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x >3时，y 随x 的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y =a(x −1)(x −5)，过点A(0,10)，∴10=5a ，∴a =2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n=10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2//l1；(3)如图，、∵直线l3：y=−2x+q过点C，∴0=−2×1+q，∴q=2，∴直线l3，解析式为L：y=−2x+2，∴l3//l1，∴CF//AB，∴∠ECF=∠ABE，∠CFE=∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =(CEBE)2，设BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，∴S△ABE=12×t×10=5t，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2，利用二次函数的性质可求解．t本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠APB+∠AOB=180°，∵∠APB=80°，∴∠AOB=100°，∴∠ACB=50°；(2)如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°，∵∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ACB=60°=∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∠APC=∠BPC=30°，又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC(SAS)，∴∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，∴∠APC =∠ACP =30°，∴AP =AC ，∴AP =AC =PB =BC ，∴四边形APBC 是菱形；(3)∵⊙O 的半径为r ，∴OA =r ，OP =2r ，∴AP =√3r ，PD =r ，∵∠AOP =90°−∠APO =60°，∴AD ⏜=60°π⋅r 180∘=π3r ， ∴阴影部分的周长=PA +PD +AD ⏜=√3r +r +π3r =(√3+1+π3)r ．【解析】(1)连接OA ，OB ，由切线的性质可求∠PAO =∠PBO =90°，由四边形内角和可求解；(2)当∠APB =60°时，四边形APBC 是菱形，连接OA ，OB ，由切线长定理可得PA =PB ，∠APC =∠BPC =30°，由“SAS ”可证△APC≌△BPC ，可得∠ACP =∠BCP =30°，AC =BC ，可证AP =AC =PB =BC ，可得四边形APBC 是菱形；(3)分别求出AP ，PD 的长，由弧长公式可求AD⏜，即可求解． 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25.【答案】S 1+S 2=S 3【解析】解：类比探究(1)∵∠1=∠3，∠D =∠F =90°，∴△ADB∽△BFC ，∴S △ADBS △BFC =(AB BC )2，同理可得：S △AECS △BFC =(AC BC )2， ∵AB 2+AC 2=BC 2，∴S 1S 3+S 2S 3=(AB BC )2+(AC BC )2=AB 2+AC 2BC 2=1，∴S 1+S 2=S 3，故答案为：S 1+S 2=S 3．。