《导数及其应用》强化训练试题
导数及其应用测试题(有详细答案)
12.已知函数f{x)=x3+ax2+bx+a2在ul处有极值为10,则犬2)等于.JT13.函数y=尤+2cosx在区间[0,—]±的最大值是14.已知函数fM=x3+ax在R上有两个极值点，则实数。
的取值范围是15.已知函数八尤)是定义在R上的奇函数，/(1)=0,二⑴；'3)>0危>0),则不等式%x2f(x)>0的解集是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.设函数/(x)=2x3+3破2+3笊+8c在x=1刚好工=2取得极值.(1)求。
、b的值；(2)若对于随意的xg[0,3],都有/(x)<c2成立，求c的取值范围.17.已知函数f(x)=2x3-3x2+3.(1)求曲线y=f(x)在点工=2处的切线方程；(2)若关于工的方程/(x)+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.18.设函S/W=x3-6x+5,x e R.(1)求f(x)的单调区间和极值；《导数及其应用》一、选择题1.r（x0）=o是函数y（尤）在点气处取极值的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、设曲线y=x2+l在点（x,/（x））处的切线的斜率为g（x）,WI函数>=g（x）cosx的部分图象可以4.若曲线y=x2+ax+b在点（0,方）处的切线方程是x-j+l=0,贝！|（）A.q=L b=lB.a=—1,b=lC.g=L b=—1D.a=—1,b=—15.函数/（x）=x3+ttx2+3x—9,已知处）在x=—3时取得极值，则0等于（）A.2B.3C.4D.56.设函数f⑴的导函数为扩（x）,且/（x）=x2+2x-r（l）,则广（0）等于（）A、0B>-4C、-2D、27.直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数。
的值为（）A.-1B.eC.In2D.18.若函数f（x）=x3-12x^区间以-盘+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A.kJ—3^4—1■ k<23B.—3<上<—l^（il<k<3C.-2<k<2D.不存在这样的实数k9.函数f（x）的定义域为（m）,导函数/（%）在（。
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
1-1导数及其应用训练题
选修1-1导数及其应用（1）1.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A.极大值5，极小值27-B.极大值5，极小值11-C.极大值5，无极小值D.极小值27-，无极大值 2.若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B.6- C.9- D.12-3.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(1,4)-- D.(2,8)和(1,4)--4.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A.()f x =()g xB.()f x -()g x 为常数函数C.()f x =()0g x =D.()f x +()g x 为常数函数5.函数x x y 142+=单调递增区间是（ ）A.),0(+∞ B.)1,(-∞ C.),21(+∞ D.),1(+∞ 6.函数x x y ln =的最大值为（ ）A.1-e B.1 C.2e D.310 7.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A sin α Bcos α C sin cos αα+D 2sin α8.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）9.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(- 10.对于上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A .(0)(2)2(1)f f f +<B .(0)(2)2(1)f f f +≤ C .(0)(2)2(1)f f f +≥D .(0)(2)2(1)f f f +>11.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A .430x y --=B .450x y +-=C .430x y -+=D .430x y ++= 象如图12.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是14.函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为 ________15.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 16.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在增函数，则,,a b c 的关系式为是 17.已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值18.如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？19.已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间20.平面向量13(3,1),(,2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间21.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求的取值范围22 已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由选修1-1导数及其应用（1）1.设32()34105f x x x x =-+-，则'(1)f 等于（ ）A.6 B.8 C.11 D.132.曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ）A.34π B.4π C.54π D.4π- 3.函数33y x x =-在[]2,3-上（ ）A.有最大值18，最小值2-B.有最大值2，最小值2-C.没有最大值和最小值D.有最大值18，但是没有最小值4.如果说某物体作直线运动的时间与距离满足()2()21s t t =-，则其在 1.2t =时的瞬时速度为（ ） A.4 B.4- C.4.8 D.0.85.对于任意x ，有'3()4f x x =，(1)1f =-，则此函数为（ ）A.4()f x x =B.4()2f x x =-C.4()1f x x =+D.4()2f x x =+6..抛物线y 4x =的点处的切线方程为（ ）A ．4180x y --=B ．440x y ++=C ．440x y -+=D ．4180x y +-= 7.函数()1sin f x x x =+-()0,2x π∈，则函数（ ）A.在()0,2π内是增函数B.在()0,2π内是减函数C.在()0,π内是增函数，在(),2ππ内是减函数D.在()0,π内是减函数，在(),2ππ内是增函数 8.设函数()322()311f x kx k x k =+--+在()0,4上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A.13k <B.103k <≤C.103k ≤<D.13k ≤ 9.三次函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A.3269y x x x =++ B.3269y x x x =-+ C.3269y x x x =-- D.3269y x x x =+-10.函数432111432y x x x =++在[]1,1-上的最小值为（ ）A.0 B.2- C.1- D.131211.点P 在曲线323y x x =-+上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（ ） A.[]0,π B.30,,24πππ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C.30,,224πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.30,,24πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.方程5436151010x x x -++=的实解的集合中（ ）A.至少有2个元素B.至少有3个元素C.至多有1个元素D.恰好有5个元素 13.曲线3y x x =-与直线2y x b =+相切，则实数b = 。
六道大题训练之《导数及其应用》(滨江十八班)
2013届高三一轮复习：重、难点强化训练题（高叁拾捌班專輯）导数及其应用1.设函数 () f x 在 R 上可导，其导函数 () f x ¢ ，且函数 () f x 在 2 x =- 处取得极小值，则函数() y xf x ¢ = 的图象可能是（ ）2.设 a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）A . 若 e a +2a =e b +3b ，则 a ＞bB . 若 e a +2a =e b+3b ，则a ＜bC . 若 e a 2a =e b 3b ，则 a ＞bD . 若 e a 2a =e b3b ，则 a ＜b 3.设函数 f （x ）= 2x+lnx 则 （）A ．x = 1 2 为 f (x )的极大值点B ．x = 1 2为 f (x )的极小值点 C ．x =2 为 f (x )的极大值点D ．x =2 为 f (x )的极小值点4.函数 y = 1 2x 2 -㏑ x 的单调递减区间为（ ）A ． （-1,1]B ． （0,1]C . [1，+∞）D ． （0，+∞）5.已知 f （x ）=x ³6x ²+9x abc ，a ＜b ＜c ，且 f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是 （ ）A .①③B .①④C .②③D .②④ 6.已知 P ,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点，点 P ,Q 的横坐标分别为 4，-2，过 P ,Q 分别作抛物线的切线， 两切线交于点 A ，则点 A 的纵坐标为 （ ）(A ) 1 (B ) 3 (C ) -4 (D ) -8 7.曲线 y =x (3lnx +1)在点 ) 1 , 1 ( 处的切线方程为________ 8. 已知函数 f (x )=ax 2 +1(a >0),g (x )=x 3 +bx 。
导数及其应用提高训练
1导数及其应用一、选择题1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤C. (0)(2)2(1)f f f +≥D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。
3．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的2取值范围为 。
导数及其应用复习题
导数及其应用专项训练一． 选择题1.若函数f (x )可导，则lim Δx →0(1)(1)2f x f x∆∆--等于( )A ．－2f ′(1) B.12 f ′(1) C ．－12f ′(1) D ．f ′12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3.曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 4.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 5．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C. ()()222sin sin x x x x x '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 6.若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 7.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 8. 函数2cos(2)3y x x π=-的导数为( )A ．22cos(2)sin(2)33y x x x x ππ'=---B ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---C ．2cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=---D ． 22cos(2)2sin(2)33y x x x x ππ'=-+-9.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）11.已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.x －1 0 4 5 f (x )1221①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 12.函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(e ，＋∞) C. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭13.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )14.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．[1,2)15.设函数()2ln f x x x=+，则( ) A ．12x =为f (x )的极大值点 B ．12x =为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点16.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)17.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－1918.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 二． 填空题19.若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →000()()2f x f x x x∆∆-+ ＝________.20.一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 21.已知f (x )＝ln x 且()0201f x x '=，则x 0＝ . 22.函数()2(1)21xf x f x x '=+-，则f ′(0)＝________. 23.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .24.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．25.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 26.函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________．27.若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 28.若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 29.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 30.若函数343y x ax =-+有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 31.若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 32.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.33.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为313812800080y x x =-+，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 34.已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .21()ln (0)2f x a x x a =+>12x x 、1212()()2f x f x x x ->-a三． 解答题35.已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形面积．36.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．37.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．38.已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)． (1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．61.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)55.讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
选修2-2《导数及其应用》测试题
人教B 版选修2-2《导数及其应用》测试题 姓名 得分 一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共60分） 1．曲线123-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是 （ ）A ．1-=x yB ．2-=x yC ．x y =D ．1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）3．已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是 ( ) A.)0,(-∞ B.)1,1(- C. ),0(+∞ D.)1,(--∞及),1(+∞4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25. .设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.126已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．27. 下列求导运算正确的是 （ ）xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 8. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 （ ）），和（∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A 9. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--10．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--= ( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．011. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π，则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[- 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ ( ) A ．26B ．29C ．212D ．215二.填空题：（每小4分,共20分）13.若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 14.设函数f (x )＝x (e x＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．15.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .三.解答题：17.求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．18.设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f 在点（1，f(1)）处切线与y 轴交于点（0,6）. (1)确定a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间.19.若函数xe xf x=)(在c x =处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值.20.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间.21.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。
高三导数及应用练习题
高三导数及应用练习题导数是微积分中非常重要的概念，对于高中生来说，学习导数是必不可少的一部分内容。
导数的概念以及其应用能力的培养对于高三学生来说具有重要的意义，因此在这篇文章中，我将为大家提供一些导数及应用的练习题，希望能够帮助大家提升自己的学习水平。
【练习题一】1. 求函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数。
解: 首先，我们可以利用导数的定义来求解该题目。
导数的定义是函数 f(x) 在某一点 x 附近的变化率。
对于给定的函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以通过求函数在 x = 2 处的变化率来求解该导数值。
根据定义，我们可以得到如下结果:f'(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h代入 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，得到:f'(2) = lim(h→0) [(3(2+h)^2 - 2(2+h) + 1 - (3(2)^2 - 2(2) + 1)] / h化简上述表达式，我们可以得到:f'(2) = lim(h→0) [(12h + 9)] / h进一步简化，我们得到:f'(2) = lim(h→0) [12h + 9] / h利用极限的性质，我们可以得到:f'(2) = 12因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在点 x = 2 处的导数为 12。
2. 求函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数。
解: 对于函数g(x) = sin(2x)，我们需要利用链式法则来求解其导数。
根据链式法则的定义，我们可以得到如下结果:g'(x) = cos(2x) * 2代入x = π/4，我们可以得到:g'(π/4) = cos(2 * π/4) * 2化简表达式，我们可以得到:g'(π/4) = cos(π/2) * 2利用三角函数的性质，我们可以得到:g'(π/4) = 0 * 2因此，函数 g(x) = sin(2x) 在点x = π/4 处的导数为 0。
2021高考数学一轮复习第三章导数及其应用强化训练导数在函数中的应用理新人教A版
强化训练 导数在函数中的应用1.函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(－∞，1) D.(1，＋∞)答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2.函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在(0，π)上增，在(π，2π)上减D.在(0，π)上减，在(π，2π)上增 答案 A解析 ∵f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上是增函数.3.f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )>f (x )，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( )A.f (a )<e af (0) B.f (a )>e af (0) C.f (a )<f 0eaD.f (a )>f 0ea答案 B 解析 令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex>0.∴g (x )在R 上为增函数，又∵a >0， ∴g (a )>g (0)，即f aea>f 0e，即f (a )>e af (0).4.函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2C.0D.12e 答案 A解析 易知y ′＝1－xex ，x ∈[0,2]，令y ′>0，得0≤x <1，令y ′<0，得1<x ≤2，所以函数y＝x e x 在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是1e，故选A. 5.直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则实数a 的取值范围为( ) A.(－2,2) B.[－2,2] C.[2，＋∞) D.(－∞，－2]答案 A解析 考虑数形结合，y ＝x 3－3x 的导数y ′＝3x 2－3＝3(x －1)·(x ＋1)，令y ′>0可解得x <－1或x >1，故y ＝x 3－3x 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，函数的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，大致图象如图所示.而y ＝a 为一条水平直线，通过图象可得，y ＝a 介于极大值与极小值之间，则有三个相异交点.可得a ∈(－2,2).6.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x<0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.(－∞，0)答案 B解析 构造函数g (x )＝f xex， 则g ′(x )＝f ′x －f xex，因为f ′(x )<f (x )，所以g ′(x )<0， 故函数g (x )在R 上为减函数，又f (0)＝12，所以g (0)＝f 0e 0＝12， 则不等式f (x )－12e x <0可化为f x e x<12， 即g (x )<12＝g (0)，所以x >0，即所求不等式的解集为(0，＋∞).7.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞解析 f ′(x )＝x 2－ax ＋1，因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，所以f ′(x )≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ′3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－a 2＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.8.若函数f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(a >0)有两个极值点，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 解析 因为f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(x >0)，所以f ′(x )＝ln x －ax ，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1x－a ＝0，得f ′(x )有极大值点x ＝1a，由于x →0时f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞， 因此f (x )要有两个极值点， 只要f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1>0，解得0<a <1e . 9.若函数 f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－3,0)解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数， 在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0).10.已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－∞，2ln2－2]解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x有解.令函数g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln2，所以g (x )在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数， 所以g (x )的最大值为g (ln2)＝2ln2－2， 因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域， 所以a ∈(－∞，2ln2－2].11.已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a 的取值范围. 解 方法一 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合要求；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减，则2≥1a ，即a ≥12.所以实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .由题意得，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立，即a ≤1x 恒成立或a ≥1x恒成立.∵x ∈(2，＋∞)，∴0<1x <12，∴a ≤0或a ≥12，∴实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12.(2020·东北四校联考)已知f (x )＝1x ＋e xe －3，F (x )＝ln x ＋exe －3x ＋2.(1)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)判断函数F (x )在(0，＋∞)上零点的个数.解 (1)f ′(x )＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x－ee x2， 令g (x )＝x 2e x－e ，x >0， 则g ′(x )＝e x(x 2＋2x )>0， 即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以当0<x <1时，g (x )<g (1)＝0，则f ′(x )<0，当x >1时，g (x )>0，则f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. (2)F ′(x )＝f (x )＝1x ＋exe －3，且f (1)＝－1<0，由(1)得∃x 1，x 2，满足0<x 1<1<x 2，使得f (x )在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0， 即F (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F (1)＝0，x →0时，F (x )→－∞，x →＋∞时，F (x )→＋∞，画出函数F (x )图象的草图，如图所示.故F (x )在(0，＋∞)上的零点有3个.13.已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π].①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)； ③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x )在[x 0，π]上是减函数.那么上面命题中真命题的序号是________. 答案 ①④解析 f ′(x )＝cos x －13，由f ′(x )＝0，得cos x ＝13，即x ＝x 0，因为x 0∈[0，π]，当0<x <x 0时，f ′(x )>0；当x 0<x <π时，f ′(x )<0，所以f (x )的最大值为f (x 0)，f (x )在[x 0，π]上是减函数.14.(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝12e 2x ＋(a －e)e x－a e x ＋b (其中e 为自然对数的底数)在x ＝1处取得极大值，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－e)解析 由题意可知f ′(x )＝e 2x＋(a －e)e x －a e ＝(e x ＋a )·(e x－e)，当a ≥0时，若x >1，则f ′(x )>0，若x <1，则f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意.当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln(－a )，为使f (x )在x ＝1处取极大值，则ln(－a )>1，即a <－e.15.(2019·贵阳、安顺模拟)不等式kx ≥sin x2＋cos x (x >0)恒成立，则k 的最小值为( )A.13B.23C.14D.1 答案 A解析 令h (x )＝kx －sin x2＋cos x (x >0)，则h ′(x )＝k －1＋2cos x2＋cos x2，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]， 令g (t )＝1＋2t 2＋t 2，则g ′(t )＝－2t －12＋t3≥0，∴g (t )在[－1,1]上单调递增， ∴g (t )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13，∴①当k ≥13时，h ′(x )≥0，此时h (x )单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，符合条件；②当k ≤0时，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝k ·π2－12<0，不符合条件； ③当0<k <13时，对于0<x <π2，h (x )<kx －sin x3，令F (x )＝kx －sin x 3，则F ′(x )＝k －cos x3，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得x ∈(0，x 0)时，F ′(x )<0， ∴F (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴F (x 0)<F (0)＝0，即当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，不符合条件，综上，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞， ∴k 的最小值为13.16.(2019·辽宁沈阳三校联考)已知函数f (x )＝ax －ln xx，a ∈R .(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切，求a 的值. 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞). 由f (x )≥0，得ax －ln xx≥0，所以ax ≥ln x x ，又x >0，所以a ≥ln x x2.令g (x )＝ln x x 2，则g ′(x )＝1－2ln x x3. 令g ′(x )>0，得0<x <e ，令g ′(x )<0，得x > e. 所以当0<x <e 时，g (x )单调递增，当x >e 时，g (x )单调递减.所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e ，所以a ≥12e ，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞. (2)设y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f t＝a ，f ′t ＝0.因为f ′(x )＝a －1－ln xx2，所以⎩⎪⎨⎪⎧at －ln tt＝a ，a －1－ln t t 2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0.(*)令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h ′(t )＝1t－2ln t －1，易知h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0， 所以当0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增， 当t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，即(*)式成立，所以a ＝1－ln 112＝1.。
人教版导数及其应用多选题 期末复习专题强化试卷检测试卷
人教版导数及其应用多选题 期末复习专题强化试卷检测试卷一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||PQ =2ln 22<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>，∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．3．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10tF t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-， 所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<，由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x f x x =，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3e x y =D ．1122y x =- 【答案】AB【分析】 根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln x fx x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e -=，可得()1e 0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x y e =与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1， 明显不满足，排除D.故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+- ()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤.故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高三数学精选导数及其应用多选题 期末复习专题强化试卷检测试卷
高三数学精选导数及其应用多选题 期末复习专题强化试卷检测试卷一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0xC ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增， 又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.7．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.8．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.。
2020最新高中数学 专题强化训练1 导数及其应用 新人教A版选修2-2
专题强化训练(一) 导数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率[答案]C2．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )【导学号：31062111】A．2e B．eC．2 D．1C[y′＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.] 3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A．1，－1 B．1，－17C．3，－17 D．9，－19C[f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x ＝－1处取得极大值，f(x)极大值＝3，在x＝1处取得极小值，f(x)极小值＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.] 4．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值D[∵y′＝1－2x1＋x2＝x－121＋x2≥0，且仅在有限个点上等号成立，∴函数f(x)在定义域R上为增函数，故其不存在极值．]5．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( ) A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) C [∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．] 二、填空题6．若函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则ab ＝________.[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝－2.即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝－3，即ab ＝－3.[答案] －37．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．[解析] y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.【导学号：31062112】[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1.[答案] ln 2－1 三、解答题9．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)． (1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ [解] (1)因为次品率p ＝3x4x ＋32，所以当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ·⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)．(2)T ′＝－25·x ＋32x －16x ＋82，由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0＜x ＜16时，T ′＞0； 当x ＞16时，T ′＜0； 所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利． 10．已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m .f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32. (2)由(1)知要使函数y＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧fx 极小值＜0，f x极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x ∈[－1,3]时，由(1)知f (x )在[－1,2)上单调递增，f (x )在[2,3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2)．又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1,3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值为f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.[能力提升练]1．若函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )【导学号：31062113】A ．0＜b ＜1B ．0＜b ＜2C ．－1＜b ＜1D ．－1＜b ＜2C [f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )[x －(b ＋1)]．令f ′(x )＝0，则x ＝b 或x ＝b ＋1，x ＝b ＋1是极小值点， ∴0＜b ＋1＜2，∴－1＜b ＜1.]2．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )＞e x＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞)A [由题意可知不等式为e xf (x )－e x－5＞0， 设g (x )＝e xf (x )－e x－5， ∴g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]＞0.∴函数g (x )在定义域上单调递增．又∵g (0)＝0，∴g (x )＞0的解集为(0，＋∞)．] 3．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0，则a 的值为________． [解析] f (x )的定义域为(－a ，＋∞)， f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a ＞－a .当－a ＜x ＜1－a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(－a,1－a )上单调递减；当x ＞1－a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(1－a ，＋∞)上单调递增．因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. [答案] 14．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2x3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数， 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，所以a ≥3.[答案] [3，＋∞)5．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.【导学号：31062114】[解] (1)f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x＝x ＋2x －2x，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，故a ＝4.(2)因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.。
2020高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教A版选修1-1
专题强化训练(三) 导数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]1．一物体作直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝－2t 2＋8t ，则这一物体在t ＝1 s 时的加速度为 ( )A ．4 m/s 2B ．－4 m/s 2C ．6 m/s 2D ．－6 m/s 2B [由导数的概念可求得速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)的函数关系为v (t )＝－4t ＋8，它在t ＝1时的导数就是这一物体在t ＝1时的加速度a ，所以a ＝v ′(1)，又v ′(t )＝－4，所以a ＝－4.]2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )在R 上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．是常函数D ．既不是增函数也不是减函数A [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的判别式Δ＝(2a )2－4×3b ＝4(a 2－3b )．因为a 2－3b <0，所以Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )在R 上恒大于0，故f (x )在R 上是增函数．]3．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )【导学号：97792176】A ．0,1，－1B ．33C ．－33D ．33，－33B [f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x.令f ′(x )＝0得x ＝33或x ＝－33(舍去)， 当x >33时，f ′(x )>0，当0<x <33时，f ′(x )<0， 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点．] 4．如果函数f (x )的图象如图32所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )图32A [由函数f (x )的图象知，函数f (x )的增减情况为增，减，增，减，对应f ′(x )的正负情况为正，负，正，负．故选A.]5．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ( )A ．24 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．288 cm 3C [设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm. 则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x,0<x <5， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160. 令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．] 二、填空题6．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.] 7．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x x －2＝－1x －2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.]8．若函数f (x )＝(mx －1)e x在(0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________.【导学号：97792177】[1，＋∞) [f ′(x )＝m e x ＋(mx －1)e x ＝(mx ＋m －1)e x， 由题意知，f ′(x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立． 也就是mx ＋m －1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 当m ≤0时显然不成立， 当m >0时，令g (x )＝mx ＋m －1， 只需g (0)≥0，得m ≥1.即实数m 的取值范围为[1，＋∞)． 三、解答题9．已知函数g (x )＝1－1＋ln xx.(1)求g (x )的单调区间；(2)当1e <x <y <1时，试证明y x <1＋ln y 1＋ln x .[解] (1)因为g (x )＝1－1＋ln x x，所以g ′(x )＝－＋ln xx －＋ln xx 2＝ln x x2.令g ′(x )>0，得x >1； 令g ′(x )<0，得0<x <1.所以g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)证明：由(1)知g (x )＝1－1＋ln xx在(0,1)上单调递减，所以当1e <x <y <1时，g (x )>g (y )，即1－1＋ln x x >1－1＋ln y y，所以1＋ln x x <1＋ln y y ，即y x <1＋ln y 1＋ln x.10．如图33，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r (r >0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，设CD ＝2x ，梯形面积为S .图33(1)求面积S 以x 为自变量的函数关系式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．[解] (1)依题意，设AB 的中点为O ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy ，如图所示，设C 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y >0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<x <r )，所以S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )r 2－x 2，其定义域为(0，r )．(2)由(1)可得S ＝x ＋r2r 2－x 2.记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<x <r ， 则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝r2.当0<x <r 2时，f ′(x )>0；当r2<x <r 时，f ′(x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2是f (x )的最大值． 因此，当x ＝r2时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＝332r 2， 即等腰梯形的面积S 的最大值为332r 2.[能力提升练]1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )D [∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]2．已知函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝( ) A.53 B.73 C.103 D.113C [f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝0(舍去)．当1≤x <3时，f ′(x )<0，当3<x ≤4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点，也是最小值点．∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝3，∴a ＋b ＝103.]3．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________．y ＝－1e[由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.]4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 [由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<12<k ＋1，解得－12<k <32.又(k －1，k ＋1)为定义域的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上所述，实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.]5．已知函数f (x )＝a ln x (a >0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点A (2，f (2))处的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)若在区间(1，e)上，f xx －1>1恒成立，求实数a 的取值范围. 【导学号：97792178】[解] (1)∵f ′(x )＝a x ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，则g (x )＝a ln x －1＋1x，g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2>0，解得x >1，令g ′(x )<0，即a ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x2<0，解得x <1，又x >0，∴0<x <1. ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝a x－1， 令h ′(x )>0，解得x <a ，令h ′(x )<0，解得x >a . 当a ≥e 时，h (x )在(1，e)上是增函数，∴h (x )>h (1)＝0； 当1<a <e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， ∴只需h (e)≥0，即a ≥e－1；当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则只需h (e)≥0， 又h (e)＝a ＋1－e<0，∴此时a 不存在． 综上，实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．。
高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习(带答案)
高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习（带答案）高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。
一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析 yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为g(3)-g(2)3-2=(23-3)-(22-3)1=2.∵a+2=22，a=2.第三章导数及其应用专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家取得更好的成绩。
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《导数及其应用》强化训练试题
一、选择题
1．已知2)(x x f =，，则=')3(f = ( C )
A 0
B x 2
C 6
D 9 2.满足()()1
0f x dx f a =⎰，其中的函数()21f x x =+，则a 的值是（ B ）
A 112-或
B 12
C 13
D 113
-或 3.曲线()ln 32y x =-在点（1，0）处的切线方程是（ C ）
A 74y x =+
B 72y x =+
C 33y x =-
D 2y x =-
4．函数f (x )＝3x 3－x 的极大值、极小值分别是（ D ）
A 1，－1
B 132，612
- C 1，－17 D 29，29- 5．()2402cos 1x dx π
-=⎰ ( A ) A 12 B 1 C 12
- D －1 6. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( C ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3
-∞ 7．函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ A ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
8．已知函数()y xf x '=的图象如图1所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ C ）
二、填空
9.某物体做直线运动，其运动规律是()2v t t =- ( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在[]1,4 上的路程为 3/2 .
10. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是__4x-y-3=0__
11函数32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的 最小值为 -37
12. 计算：=⎰-0
sin πxdx 0 三、解答题
13.求下列函数的导数：
（1）)12ln()(+=x x f （2）x x f tan )(=
（3）3)12()(+=x x f
（4）x a x f 2)(=
14.计算下列定积分：
（1）dx e e x x )(1
0-+⎰
（2）dx x e ⎰12
（3）dx x ⎰311
（4）dx x x )sin (cos 202-⎰π
15．求由2,2y x y x ==直线和y=x 围成的图形的面积。
16．设函数c bx x a x x f ++-=232
31)(，曲线)(x f y =在点P (0，f (0))处的切线方程为1=y 。
（1）求b ，c 的值； （2）若0>a ，求函数)(x f 的单调区间。