2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

A．
a
a>b>0，由不等式性质知：->->0，所以<
>-
7
2
∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15
62
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一一元二次不等式解法及其应用
例1若a>b>0，c<d<0，则一定有（）
b a b a b a b
>B．<C．>D．<
c d c d d c d c 【答案】D
【解析】由c<d<0⇒-11
>0，又
d c
a b a b
d c d c
例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为(x,x)，且x-x=15，则a=（）
1221
A．515
B．C．D．24
15
2
【答案】A
【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0)，得(x-4a)(x+2a)<0，即-2a<x<4a，∴x=-2a,x=4a.
12
5
=．故选A．21
例3不等式x2-9
x-2>0的解集是___________．
【答案】(-3,2)⋃(3,+∞)
【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可．
例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．
【答案】(-2
2
,0)
【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立，
⎩f(m+1)=2m2+3m<0
，则函数y=4x-2+1的最大值.
x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+⎪+3≤-2+3=1
1
【解析】因为y=x(8-2x)=
1
.
【答案】9,+∞)
⎧f(m)=2m2-1<02
即⎨，解得-<m<0．
2
题型二应用基本不等式求函数最值
例1已知x<
【答案】1
5
44x-5
【解析】因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)1
4x-5
不是常数，
所以对4x-2要进行拆、凑项.
5⎛1⎫
44x-5⎝5-4x⎭
当且仅当5-4x=
1
5-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max
=1.
【易错点】注意x<
5
4,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.
【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值
例2当0<x<4时，则y=x(8-2x)的最大值是.
【答案】8.
12x+8-2x
[2x(8-2x)]≤()2=8
222
当且仅当2x=8-2x，即x=2时取等号，所以当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.
【思维点拨】由0<x<4知，8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可.
例3函数y=
x2+7x+10
x+1
(x>-1)的值域为。

[
【解析】
当x>-1,即x+1>0时,y≥2（x+1)⨯
4
+5=9（当且仅当x＝1时取“＝”号）.
x+1
2
+ = 1 ，则 x + y 的最小值为
.
= 1 ，∴ x + y = (x + y ) + ⎝ x y ⎭ ⎪ = +
当且仅当 y = 时，上式等号成立，又 + = 1 ，可得 x = 4, y = 12 时， (x + y ) ．．
x > 0, y > 0 ，且 + = 1 ，∴ x + y = ⎛ 1 + 9 ⎫⎪ (x + y ) ≥ 2 9 2 xy = 12
是
1
.
【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离.
例 4
已知 x > 0, y > 0 ，且
【答案】16
1 9
x y
【解析】
1 9 x > 0, y > 0, +
x y ⎛ 1
9 ⎫ y 9x x y
+ 10 ≥ 6 + 10 = 16
9 x 1 9 x y
x y min
= 16 .
【易错点】错解：
故 (x + y )
= 12
1 9 x y
⎝ x y ⎭ xy
min
错因：解法中两次连用均值不等式，在x + y ≥ 2 xy 等号成立条件是 x = y ，在 1 + 9 ≥ 2 9 等号成立条件 x y
xy
9
= 即 y = 9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成 x y
立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错
例 5 已知 a ， b 为正实数， 2b + ab + b = 30 ，则函数 y =
1
【答案】
18
1 ab
的最小值是 .
【易错点】①本题考查不等式
a +
b 2
≥ ab （a, b ∈ R +）的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知
不等式 ab = a + 2b + 30（a, b ∈ R +）出发求得 ab 的范围，关键是寻找到 a + b 与ab 之间的关系，由此想到
不等式 a + b
2
≥ ab （a, b ∈ R +），这样将已知条件转换为含 a b 的不等式，进而解得 ab 的范围.
【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再
用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因
已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解
不等式的途径进行。

题型三 线性规划
例 1 已知 ⎨x + y - 4 ≥ 0 ，则： ⎪2 x - y - 5 ≤ 0 【答案】（1） 21 ；
（2） 9 ；
（3） ⎢ , ⎦
y -- ⎪
⎪
=
7
= ，所以 z 的取值范围为 ⎢ ,
4 8 ⎣ 4 2 ⎥⎦
.
（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点 Q - 1, - ⎪ 再利用斜率求.
例 2 已知 ⎨ x - y + 1 ≤ 0, 则 x 2 + y 2
的最小值是
.
⎪2 x - y - 2 ≤ 0 ( ⎧x - y + 2 ≥ 0 ⎪
⎩
(1) z = x + 2 y - 4 的最大值
； (2) z = x 2 + y 2 - 10 y + 25 的最小值
；
(3) z = 2 y + 1 x + 1
的取值范围是 .
⎡ 3 7 ⎤
2
⎣ 4
2 ⎥
.
【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).
(1)易知直线 x + 2 y - 4 = z 过点 C 时，z 最大.
所以 x ＝7，y ＝9 时，z 取最大值 21.
(2) z = x 2 + (y - 5)2 表示可行域内任一点 (x, y )到定点 M (0,5)的距离的平方，
过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，
故 z 的最小值是
9
2
.
(3) z = 2 ⋅
⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭ x - (- 1) 表示可行域内任一点 (x, y )与定点 Q ⎛ - 1, - 1 ⎫ 连线斜率的 2 ⎝ 2 ⎭
倍.因为 k
， k
QB
3 ⎡ 3 7 ⎤ .
【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域
【思维点拨】(1)把直线直线 x + 2 y - 4 = z 变形为 y = - 1 2
x + z + 4 可知在 y 轴上你的截距越大 z 就越大;
⎛
1 ⎫ ⎝
2 ⎭
⎧ x ≥ 1,
⎪ ⎩
【答案】 5
【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，
而 x 2 + y 2 表示可行域内一点到原点的距离的平方，
由图易知 A 1,
2)是满足条件的最优解，
x 2 + y 2 的最小值是为 5 .
4
例1已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1。

求证： -1⎪-1⎪-1⎪≥8.
【答案】a、b、c∈R+，a+b+c=1∴
1
同理
12ac12ab
-1⎪-1⎪≥=8，当且仅当a=b=c=
-1⎪
⎝a⎭⎝b⎭⎝c a b c
”
lg a⋅lg b,Q=1
【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

题型四基本不等式的应用
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫
⎝a⎭⎝b⎭⎝c⎭
1-a b+c2bc
-1==≥
a a a a
-1≥，-1≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:
b b
c c
⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫2bc2ac2ab
⎭1
3时取等号.
【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘，又11-a b+c2bc
-1==≥
a a a a
，可由此变形入手.例2若a>b>1,P=a+b
(lg a+lg b),R=lg()，则P,Q,R的大小关系是.
22
【答案】R>Q>P
【解析】∵a>b>1∴lg a>0,lg b>0，则Q=1
（lg a+lg b)>lg a⋅lg b=p 2
R=lg(a+b1
)>lg ab=lg ab=Q∴R>Q>P.
22
【思维点拨】因为lg a>0,lg b>0所以可以利用均值不等式进行判断大小.
【巩固训练】
题型一一元二次不等式解法及其应用
1.不等式x2+x-2<0的解集为___________．
【答案】
(-2,1)
【解析】易得不等式x2+x-2<0的解集为
(-2,1).
2.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】
(0,8)
【解析】因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立．∴△=(-a)2-8a<0，解得0<a<8．
b + -
c = 0 的两根，由韦达定理得 2m + 6 = -a, m (m + 6) = - c, 解得 c = 9 . 4.已知函数 f ( x ) = ⎧⎨ x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1- x 2) > f (2 x) 的 x 的范围是_____．
【解析】 xy = xy 12 = xy + ⎪ = + + 32 ≥ 2 + 32 = 64
= = 时，即 x = 4. y = 16 ，上式取“=”，故 (xy )
min = 64
3.已知函数 f (x) = x 2 + ax + b (a ， ∈ R) 的值域为[0 ， ∞) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) < c 的解集为 (m ，m + 6) ，
则实数 c 的值为
．
【答案】 c = 9
【解析】因为 f ( x ) 的值域为[0,+∞），所以 ∆ = 0, 即 a 2 = 4b ,
所以 x 2 + ax +
a
2 a 2 4 4
2 ⎩1,
x < 0
【答案】 (-1, 2 -1)
⎧⎪1 - x 2 > 2 x
【解析】 ⎨ ⇒ x ∈ (-1, 2 - 1) ．
⎪⎩1 - x 2 > 0
5.已知 f ( x ) 的定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时，f ( x ) = x 2 - 4 x ，那么，不等式 f ( x + 2) < 5 的解集_____．
【答案】(－7,3)
【解析】当 x ≥0 时，令 x 2 - 4 x < 5 ，解得， 0 ≤ x < 5 ．又因为 f ( x ) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式
f ( x + 2) < 5 等价于 -5 < x + 2 < 5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7,3)．
题型二 应用基本不等式求函数最值
1.已知 x, y , > 0,
【答案】 64
2 8
+ = 1 ，则 xy 的最小值是 。

x y
⎛ 2 8 ⎫2
4 y 64x 4 y 64x ⎝ x y ⎭
x y x y
.
当且仅当 2 8 1
x y 2
.
2.已知 0 < x < 1 ，则函数 y = 4 1 + x 1 - x
的最小值是 .
【答案】 9
【解析】因为 0 < x < 1 ，所以1 - x > 0 。

6
(1 - x )⎤⎦ ⎛ 4 + 1 ⎫⎪ = 5 + 4 1 - x + x ≥ 9
⎣
当且仅当 4 (1 - x ) ”
+ = 1 ( a > 0, b > 0 )， a + b = (a + b )( + ) = 7 + + ≥ 7 + 4 3 ．
1.设变量 x 、 y 满足约束条件 ⎨ x - y ≥ -1 ，则 z = 2x + 3 y 的最大值为 。

⎪ x + y ≥ 1
4 1 所以 y = + x 1 - x
= ⎡ x +
⎝ x 1 - x ⎭ x 1 - x
( ) .
x 2 = 时，即 x = ，上式取“=，故 y x 1 - x 3
min = 9
.
3. 若 log (3a + 4b )= lo
g
4
2
ab
,则 a + b 的最小值是（ ）
A ． 6 + 2 3
B ． 7 + 2 3
C ． 6 + 4 3
D ． 7 + 4 3
【答案】D
【解析】由已知得 3a + 4b = ab ，且 ab > 0 ，可知 a > 0, b > 0 ，
所以
4 3 4 3 4b 3a
a b a b a b
4b 3a
当且仅当 = 时取等号．
a b
4.若 2 x + 2 y = 1 ，则 x + y 的取值范围是（
）
A ．[0,2]
B ． [-2,0]
C ． [-2,+∞)
D ． (-∞,-2]
【答案】D
【解析】因为1 = 2 x + 2 y ≥ 2 2 x ⋅ 2 y ，即 2 x + y ≤ 2-2 ，
所以 x + y ≤ -2 ，当且仅当 2 x = 2 y ，即 x = y 时取等号．
5.若正实数 x ， y 满足 xy = 2x + y + 6 ，则 xy 的最小值是
.
【答案】18
【解析】因为 x > 0 ， y > 0 ，所以 xy = 2x + y + 6 ≥ 2 2xy + 6 ，
xy - 2 2xy - 6 ≥ 0 ，解得 xy ≥ 3 2 或 xy ≤ - 2 （舍）
等号当且仅当 2 x = y = 6 时成立，故 xy 的最小值为18 .
题型三 线性规划
⎧2 x - y ≤ 2 ⎪
⎩
【答案】18
2.在约束条件 ⎨
下，当 3 ≤ s ≤ 5 时，目标函数 z = 3x + 2 y 的最大值的变化范围是（ ）
y + x ≤ s 3.在平面直角坐标系中，不等式组 ⎨ x - y + 2 ≥ 0 表示 ⎪ y ≥ 0 【解析】如图，作出可行域，易知不等式组⎨ x - y + 2 ≥ 0 表示的平面区域是一个三 ⎪ y ≥ 0
【解析】如图，画出可行域，得在直线 2 x - y = 2 与直线 x - y = -1 的交点 A (3, 4)处，目标函数 z 最大值
为18
⎧x ≥ 0 ⎪ y ≥ 0
⎪ ⎪⎩ y + 2 x ≤ 4
A. [6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
【答案】D
【解析】 画出可行域如图所示 ,当 3 ≤ s < 4 时, 目标函数 z = 3x + 2 y 在 B(4 - s,2 s - 4) 处取得最大值 , 即
z max = 3(4 - s) + 2(2 s - 4) = s + 4 ∈[7,8) ; 当 4 ≤ s ≤ 5 时 , 目标函数 z = 3x + 2 y 在点 E (0, 4)处取得最大值 , 即
z max = 3 ⨯ 0 + 2 ⨯ 4 = 8 ,故 z ∈[7,8] ,从而选 D.
⎧ x + y - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩
(
)
A. 4 2
B.4
C. 2 2
D.2
【答案】 B
⎧ x + y - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩
角形。

容易求三角形的三个顶点坐标为 A (0, 2)， B (2, 0)，C (- 2, 0).于是三角形
的平面区域的面积是
的面积为： S = 1 2
| BC | ⋅ | AO |= 1 2
⨯ 4 ⨯ 2 = 4. 从而选 B .
题型四 基本不等式的应用
1.已知 x > 0, y > 0 且 1 9
+ = 1 ，则使不等式 x + y ≥ m 恒成立的实数 m 的取值范围是 .
x y
【答案】 m ∈ ( -∞,16]
8
【解析】令x+y=k,x>0,y>0,
1
≥2⋅。

∴k≥16，m∈(-∞,16].
x+1+32+35【答案】
(-∞,0 4,+∞).
≥4；当<0时，的取值范围是(-∞,0 4,+∞).
9x+y9x+9y10y9x
+=1，∴+=1.∴++=1 x y kx ky k kx ky
∴1-103 k k
2.若对任意x>0，
1【答案】a≥5
x
x2+3x+1≤
a恒成立，则a的取值范围是.
1
【解析】因为x>0，所以x+≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有
x
x111
=≤=
x2+3x+1
x
即
x11
的最大值为，故a≥。

x2+3x+155
3.若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出正确命题的编号)．
①ab≤1；②a+b≤
2；③a2+b2≥2；
11
+≥2
④a3+b3≥3；⑤
a b
【答案】①③⑤
【解析】令a=b=1，排除②④；由2=a+b≥2ab⇒ab≤1，
命题①正确；a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2，
11a+b2
+==≥2，命题⑤正确．命题③正确；
a b ab ab
4.已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则
][(a+b)2
cd的取值范围是.
【解析】由等差数列、等比数列的性质得a+b=x+y，cd=xy，所以(a+b)2(x+y)2y
=，当>0时，cd xy x
(a+b)2 cd y
x
(a+b)2(a+b)2
≤0，故
cd cd
][。