6.1代数结构
代数结构
概念
代数结构指对于许多数学对象，如群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一 的形式.首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集，如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算; 而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V 中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算;向量空间的“合成”有F中的元对V中元的 作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。
详细解释
代数结构的例子包括组、环、字段和格。更复杂的结构可以通过引入多个操作、不同的底层集合或修改定义 公理来定义。更复杂的代数结构的例子包括向量空间、模块和代数。群是有一个二元运算的代数结构;环和域都是 有两个二元运算的代数结构;格是有两个二元运算的代数结构;布尔代数、集合代数、命题代数都是带两个二元运 算和一个一元运算的代数结构.它们都(分别)适合特定的公理体系。
范畴理论
范畴理论是研究代数结构的另一种工具(例如，2003年的macLane)。范畴是具有关联态射的对象的集合。每 一个代数结构都有自己的同态概念，即任何与定义结构的运算相容的函数。因此，每一个代数结构都会产生一个 类别。例如，群的范畴是将所有组都作为对象，并且所有组同态都作为态射。这一具体范畴可以看作是一组具有 附加范畴理论结构的集合范畴。同样，拓扑群的范畴(其态射是连续群同态)是一类具有额外结构的拓扑空间的范 畴。
范畴理论相关概念如下：
代数范畴
本质代数范畴
呈现范畴
局部呈现范畴
一元函子和类别
谢谢观看
通用代数
代数结构是通过不同的公理构型来定义的。通用代数抽象地研究了这些对象。一种主要的二分法即分为：完 全由自身定义的结构和不能完全由自身定义的结构。如果定义一类代数的所有公理都是恒等式，那么该对象的类 具有一种多样性(代数几何意义上的代数多样性)。
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
第一讲代数系统
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
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6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
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6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数结构
代數結構
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[Z5,+5] 與 [Z5,× 5]
[Z5,+5] 的單位元素是 0 而 [Z5,× 5] 的單位元素則 是 1。 從表 7.1 也可以看出每一個 [Z5,+5] 的元素都有 反元素，例如 2 的反元素是 3，因為 2 +5 3 = 0。 因此，[Z5,+5] 是一個交換群。 在 [Z5,× 5] 中，除了 0 以外的所有元素都有反元 素。 [Z5,× 5]因此只能算是一個交換單群。
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拉格蘭吉定理
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代數結構
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拉格蘭吉定理
必頇注意的是，如果一個群 G 的級數 （元素個數）是 n 而 m 是可以除盡 n 的 一個正整數，這並不保證 G 一定有一個 級數為 m 的子群！
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代數結構
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[nZ,+]
我們可以很容易地就驗證 [nZ,+] 是 [Z,+]的子群。 不僅如此，事實上， [nZ,+] 還是 [Z,+] 唯一的 子群。 要證明這一點，讓我們假設 [S,+] 是任何一個 [Z,+] 的子群。 如果 S={0}，則 S=0Z。 如果 S{0}，那麼假設 m 是 S 的一個元素且 m0。 M 要麻是一個正數，或者 m 是一個負數，則 -mS 且 –m 是正數。
代數結構
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冪 等 性 質
儘管一般的整數算術也滿足布林代數的 許多性質，但是，單單冪等性質應該就 足以說服我們算術不是布林代數。 除非 x=0，否則 x+x=x 這個性質對於一般 的數與一般的加法都不成立。
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代數結構
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二重性
在布林代數的定義裡的每一個性質都有都有它的二重 性性質，即將任何一個等式中的 +, , 1, 0 分別取代以 , +, 0, 1，所得結果是另一個有效的等式。 因此，一旦我們證得一個布林代數的新性質 P，我們 可以將證明中的每一個步驟取代以它的二重性步驟。 其結果是 P 的二重性性質的證明。 因此，一旦我們證得了 P，我們知道 P 的二重性性質 也成立。 例如，由於 x+x=x，因此根據二重性，我們知道 xx=x。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
6_1_运算与代数系统[10页]
![6_1_运算与代数系统[10页]](https://img.taocdn.com/s3/m/25fb95e2192e45361166f598.png)
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
代数结构-抽象代数
7.1 什么是代数结构？
➢例3
代
a）〈P（S）；∪,∩〉 对运算∪，是单位元， S是零元，
数
对运算∩，S是单位元 ，是零元。
结 b）〈N；+〉
构
有单位元0，无零元。
7.1 什么是代数结构？
代 数
f）代数结构：A=<{0，1，2，…，k-1}，*k> *k称为模k乘法求余（x*ky或记为resk(x*y))。
类似于初等代数以及集合论、数理逻辑中讨 论的运算之性质，对于二元运算ο以及*：
若对于任意a, b∈A有：aοb=bοa, 则称ο在A 上是可交换的(或称ο满足交换律)。
若对于任意a∈A有：aοa=a, 则称ο在A上是 满足幂等律的。
若对于任意a, b, c∈A有：当aοb=aοc时，有 b=c, 则称ο在A上是左可消去的(或称ο满足左消 去律)，若ο在A上是满足左可消去律与右可消去 律，则称ο在A上是可消去的(或称ο满足消去律)。
——称具有上述性质的代数是同一类(代数结构的类)
➢ 例 5 逻辑代数— V 0 1
—开关电路
00 1
V1=<{0,1};V>与V2=<{H,M};*> 1
1
1
两个代数结构之间存在一个映射：
g：{0,1} →{M,H} 对于a,b {0,1},
*
M
H
有g(a Vb)=g(a)*g(b)
MM H
HH H
f(Oi(x1，x2…，xki))= *i(f(x1)，…，f(xki))， 则称f是V1到V2的一个同态/满同态/单同态/同构映射，并称V1与V2
7.1 什么是代数结构？
c) 代数结构A=〈{a，b，c}； 。 〉用下表 定义：
代数系统
6.1.1 代数运算
例6.2 分析下列哪些是代数运算。 不是 (1)f(x,y)=1/(x-y), x∈R, y∈R; (2)g={<1,1>,<2,2>,<3,3>},集合A={1,2,3}; 是A上的一元运算 (3)h(x,y)=x· y-y, x∈R, y∈R; 是R上的二元运算 (4)f1={<x,y>| x∈R, y∈R,|x|=|y|}; 不是 (5)f2={<a,b>,<b,b>,<b,c>},集合A={a,b,c}; 不是 (6)w(x)=x2,x∈N。 是N上的一元运算
6.1.1 代数运算
二元运算的运算表：对于具有n个元素的有限集合A上 的二元运算“＃”，可以通过一个n×n表格来表示。 表格的上方、左侧依次列出A中元素，表格中第i行、 第j列元素列出A中第i个元素和第j个元素在运算“＃” 下的结果。
4 0
0 1 2 3 0 1 2 3
1
2
3
4 0
0 1 2 3 0 0 0 0
6.1.2 代数系统
例6.6 分析如下数学结构是否构成一个代数系统。 （1）N7，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （2）N7，模4加法 4 ，模4乘法 4 ； （3）N4，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （4）N，模7加法 7 ，模4乘法 4 。
解：（1）<N7, 7, 7 >是一个代数系统。 （2）<N7, 4, 4>是一个代数系统。 （3）<N4, 7, 7 >不是一个代数系统。 （4）<N , 7, 4>是一个代数系统。
6.1 代数系统的基本概念
代数结构也叫抽象代数，主要研究抽象的代数系 统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它来 表示实际世界中的离散结构。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、 集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公 理。 为了研究抽象的代数系统，需先定义一元、二元 代数运算以及n元运算的性质，并通过选择不同的运 算性质来规定各种抽象代数系统的定义，在此基础上 再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
【精编】中小学精品课件代数结构课件.ppt
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第二节 置换(1)
• 群论的研究始于置换群.置换群在群论里有重要 的地位.例如，五次以上方程不能用根号求解的 问题的证明就用到置换群.置换概念本身在计算 机科学中也起作重要作用.同时置换群的记法简 单，运算方便.
• 本节的概念有:置换、循环置换、不相交置换、 对换、奇置换、偶置换等;
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第九节 同态定理
• 设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是: 同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则:
G/Kerf≌G’
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第十节 环(1)
• 前面讨论的都是只有一个代数运算的代数系统, 本节我们介绍有两个代数运算的代数系统—— 环 .环的两个被称为加法、乘法的代数运算是 我们最为熟悉的代数运算,由于本课程的限制,我 们对环仅作极其初步,简单的介绍.
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第一节 代数结构概述
• 我们在前面已经研究过集合，那时没有过多地 考虑一个集合内部元素之间的联系.现在我们要 在一个集合的内部引入运算，并研究其运算规 律,主要内容为:
• 1.代数系统的定义,然后用例子说明代数系统的 丰富性;
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第七节 群的同态(1)
• 同态是两个代数系统间的一种联系，通过这种 联系，可以把一个代数系统的运算转移到另一 个代数系统.使得在一个代数系统中较难解决的 问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的 问题.例如，我们常用的对数，实际上，它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个同态.利 用对数，我们实现了把较难的乘法运算转化成 较易的加法运算，因此，同态是代数系统间十 分重要的关系
几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
代数结构
6.1 代数结构6.1.1 代数的构成和分类方法代数通常由3部分组成: 1. 一个集合, 叫做代数的载体载体是我们将处理的数学目标的集合, 诸如整数、实数或符号串集合等。
一般是非空集合。
2. 定义在载体上的运算定义在载体S上的运算是从S m到S的一个映射, 自然数m的值叫做运算的元数。
从S到S的映射, 诸如给定一个实数x求［x］, 给定一个整数y求|y|, 叫做一元运算; 从S2到S的映射, 诸如数的加法和乘法, 都是二元运算。
常见的是一元和二元运算, 但理论上可定义任意的m元运算, 例如语句if x≠0 then y else z, 可定义为运算对象是x、y、z的三元运算。
3. 载体的特异元素, 叫做代数常数 有些代数不含常数。
这里所谓“不含”只是说我们研究该代数时并不关注这些特异元素, 不一定是真的没有。
代数通常用载体、运算和常数组成的n重组表示。
例1(a) 整数、加法和常数0可构成一个代数。
(1) 载体是整数集合I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…｝。
(2) 定义在I上的运算是加法(记为+)。
(3) 常数是0。
这个代数可记为〈I, +, 0〉。
在不产生误解的情况下, 标示代数的记号可以简化, 不一定将所有成分都写出, 有时常数可以不写, 有时仅用载体标记该代数。
通常我们不去研究单个具体的代数, 而是一个种类一个种类地去研究。
为此, 我们首先要知道什么样的两个代数是同一种类的。
第一, 要有相同的构成成分。
如果两个代数包含同样个数的运算和常数, 且对应运算的元数相同, 则称两个代数有相同的构成成分。
例3(a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。
(1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a 那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 〉和〈R, min, +∞〉(这里R是包φ含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
代数结构知识点总结高中
代数结构知识点总结高中一、代数结构的定义和基本概念1. 代数结构的定义代数结构是一个集合，配合着一个或多个运算以及对这些运算满足的性质的组合，其中的运算可以是加法、乘法、取负、取倒数、幂运算等等。
代数结构的研究领域十分广泛，通过研究代数结构可以分析和表达现实生活中的许多情况。
2. 代数结构的基本概念（1）集合：代数结构中的元素的集合，可以是有限的，也可以是无限的。
（2）运算：代数结构中的操作，包括加法、乘法、幂运算等等。
（3）封闭性：代数运算的结果属于原集合内。
（4）结合律：运算的结果与计算的顺序无关。
（5）单位元：对于某个运算，满足运算后得到自身。
（6）逆元：对于某个元素，存在一个逆元使得它们通过运算得到单位元。
二、代数结构的分类1. 群（Group）群是最基本的代数结构之一，满足封闭性、结合律、单位元和逆元。
群是一种非常重要的代数结构，在数学中有广泛的应用。
2. 环（Ring）环是包含加法和乘法两种运算的代数结构，满足加法封闭性、加法结合律、加法单位元、乘法封闭性、乘法结合律、分配律等性质。
环是抽象代数中的一个重要研究对象，有着丰富的性质和结构，具有广泛的应用。
3. 域（Field）域是包含加法和乘法两种运算的代数结构，满足环的所有性质，并且每个非零元素都有乘法逆元素。
域是数学中最基本的代数结构之一，广泛应用于代数、数论、几何和数学分析等领域。
4. 向量空间（Vector Space）向量空间是包含向量加法和数量乘法两种运算的代数结构，满足加法封闭性、标量乘法封闭性、分配律等性质。
向量空间是线性代数中的一个基础概念，具有丰富的性质和结构，也有着广泛的应用。
5. 代数（Algebra）代数是含有多种运算的代数结构，如加法、乘法、指数运算等，满足一定的性质。
代数是一种抽象的代数结构，具有多种变种和扩展，例如交换代数、李代数、结合代数等。
6. 半群、环和域半群是一个集合，配合着一个二元运算，满足封闭性和结合律。
代数结构
代数结构代数结构是研究各种代数结构，诸如群、环、域、格的数学学科，是代数学的一个分支。
代数学起初被作为纯粹数学而进行研究，但是后来发现它在计算机科学中有很大的运用。
关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。
一个代数结构包含集合及符合某些公理的运算或关系。
代数结构也称为代数系统是抽象代数的主要研究对象。
抽象代数是数学的一个分支，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。
代数（Algebra）是数学的一个分支。
它是算术的概括和延伸。
在现代数学中，代数主要研究各种代数结构，与中学所教的代数有极大不同。
代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
初等代数是更古老的算术的推广和发展。
在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。
至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。
比如，如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧。
那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。
如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。
西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。
而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。
“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。
那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。
当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。
初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。
第五章代数结构
【例5.2.4】设A=0,1，*和∘都是A上的二元运算，定义为： 0∗0=1*1=0，0*1=1*0=1 0∘0=0∘1=1∘0=0，1∘1=1
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点：
①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟 一的。
②A中任何元素的运算结果都属于A。通常称为运算在A 是封闭的。
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【例5.1.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规定 为：m,nN，
m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元运算。 【例5.1.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
2019/5/12
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表5.1.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.1.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
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二、代数系统
定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算 f1,f2,…,fk 所组成的系统称为一个代数系统（代数结构），记 为<A, f1,f2,…,fk > 。
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【例5.1.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求
补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元 运算。于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系统常称 为集合代数。
第6章 代数结构
∗ o
≤
a ∧ b = a ∗ b, a ∨ b = a o b
例6.2
a 0 半群 V =< S ,• >, 其中S = 0 b | a, b ∈ R , a • 为矩阵乘法. ϕ : S → S , ϕ 0 a1 0 b1 0 • = ϕ ϕ = 0 a 2 0 b2 请分析 S 上的自同态 0 a 0 = 0 0 d a1 a 2 0
对偶原理
设 f 是含有格中的元素以及符号=, ≤, ≥,∧,∨ ∗ 的命题，令 f 是将 f 中的 ≤, ≥,∧,∨ 依 次改写为 ≥, ≤,∨,∧ 所得到的命题，称为 f 的对偶命题。 ∗ 对偶原理：若 f 对一切格为真，则 f 对一 切格也为真。
( a ∨ b) ∧ c ≤ c ⇒ ( a ∧ b) ∨ c ≥ c
半群的同态
设 V1 = < S1 , o >, V2 = < S2 , ∗ > 为半群，
1 2 1
ϕ : S → S , 且 ∀ x , y ∈ S ，有 ϕ < x o y > = ϕ (x ) ∗ ϕ ( y ), 则称 ϕ 为 V 到 V 的同态 。
1 2
类似的也可以定义独异点的积代数和同态。
环（2）
在环< R,+, • >中 如果乘法 • 适合交换律，则称R是交换环 交换环。 交换环 如果乘法有幺元则称R是含幺环 含幺环。 含幺环 如果 ∃a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0,但 ab = 0 则称a为R 的左零因子，b为R中的右零因子。若R不含 零因子，即 ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 则称R为无 无 零因子环。 零因子环
代数结构的基本理论与应用
线性代数在矩阵计算中的应用
01
02
群论在几何学中的应用
环论在代数几何中的应用
03
04
域论在数论中的应用
在计算机科学中的应用
在信息编码中的应用
代数结构用于信息编码中的纠错和检错
代数结构在密码学中的应用，如公钥密码和私钥密码
代数结构在数据压缩中的应用，如Huffman编码和LZ77算法
代数结构在数据加密中的应用，如AES和RSA算法
在组合数学中的应用
代数结构用于解决组合数学中的计数问题
代数结构用于研究组合数学中的排列与组合问题
代数结构用于证明组合数学中的一些重要定理和公式
代数结构在组合数学中的其他应用
代数结构的扩展理论
04
泛代数
发展：泛代数的发展经历了多个阶段，从早期的群论和环论开始，逐渐形成了完整的理论体系。
应用：泛代数在数学、计算机科学和其他领域中有着广泛的应用，它可以为各种代数结构的性质和分类提供统一的框架和方法。
代数结构的基本理论与应用
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目录
代数结构的基本概念
代数结构的基本理论
代数结构的应用
代数结构的扩展理论
代数结构的应用前景与挑战
代数结构的基本概念
01
定义与性质
代数结构的基本定义：由集合和定义在该集合上的运算所构成的体系。
物理学：代数结构用于描述量子力学和相对论中的对称性和变换。
计算机科学：代数结构用于设计和分析算法、数据结构和计算复杂性。
代数结构面临的理论与技术挑战
应用领域：代数结构的应用领域广泛，但也需要针对具体领域的特点进行定制和优化。
代数结构总结
代数结构总结代数结构总结（一）：一、概念定义：矩阵的运算，矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵的乘法，分块矩阵，初等矩阵二、代数特征1、向量组合：若矩阵a，b均为n阶方阵，则称a， b构成一个n阶向量组合。
(1)、两向量组合线性无关;(2)、两向量组合乘积的行列式等于0。
2、向量组合的线性表示：(1)、向量组合的线性表示即是用矩阵a， b的列向量来表示向量组合，因此可写成矩阵a×b的形式，这样做，当然是非常简单，且十分有效的。
(2)、如果所有列向量的数目都相同，就说向量组合是线性无关的。
(3)、由于向量组合是一个n阶方阵，每一个元素a， b的行数是n-1，故任意两个向量组合乘积的行列式必须是n的阶梯形式。
3、矩阵的特征值与特征向量：(1)、特征值是表示矩阵的某一行或某一列向量所属的线性无关的子空间，是表示矩阵的线性相关的充要条件;(2)、特征向量是表示矩阵的特征多项式的值，它与矩阵的对应元素具有相同的符号。
特征值决定特征向量，特征向量也可以看作是特征值的线性组合。
运算律：(1)行移阵乘法公式： AB = BA+A×B；(2)矩阵的加法公式： AB+BC=BA×C；(3)矩阵的减法公式： AB-BC=BA-C；(4)分块矩阵的加法公式： A×B+B×C=(A×A+B×B)×C；(5)分块矩阵的乘法公式：(A×B+A×C)×B=(A×A+B×B)×C。
4、行逆矩阵：对于有行变换性质的矩阵，由于不改变行数，只改变行变换后矩阵的秩，所以只需将行变换后的矩阵进行行逆运算即可得到原来的矩阵。
5、矩阵的转置：将矩阵的某一行转置，这个矩阵叫做被转置的矩阵。
5、矩阵的转置，将矩阵的某一行转置，这个矩阵叫做被转置的矩阵。
6、行反变换：(1)、转置矩阵的行反变换是逆矩阵，而逆矩阵的行反变换却是转置矩阵;(2)、转置矩阵和原矩阵均为n阶方阵;(3)、原矩阵的行数增加，而转置矩阵的行数减少;(4)、若转置矩阵的秩等于原矩阵的秩，则这两个矩阵是初等矩阵。
代数结构的本质
代数结构的本质代数结构是数学中的一个重要概念，它研究的是在集合上定义的运算规则。
代数结构的本质在于通过运算规则，描述和研究集合中元素之间的关系和性质。
本文将从不同角度介绍代数结构的本质，包括代数结构的定义、常见的代数结构类型以及代数结构的应用。
一、代数结构的定义代数结构是指在一个集合上定义的一组运算及其相应的运算规则。
一个代数结构由三个要素组成：集合、运算和运算规则。
集合是代数结构的基础，运算是对集合中元素进行操作的方式，而运算规则则规定了运算的性质和运算结果的关系。
二、常见的代数结构类型1. 群（Group）：群是最基本的代数结构之一，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群要求运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
群的例子包括整数集合上的加法群和正整数集合上的乘法群。
2. 环（Ring）：环是在一个集合上定义了两个二元运算的代数结构。
环要求满足加法运算构成一个交换群，同时乘法运算满足封闭性、结合律和分配律等性质。
整数集合就是一个常见的环结构。
3. 域（Field）：域是一个包含了加法和乘法两个二元运算的集合，同时这两个运算构成了一个交换群。
域还要求乘法满足除法性质，即任何非零元素都存在乘法逆元。
实数和有理数集合都是域的例子。
4. 向量空间（Vector Space）：向量空间是一个集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。
向量空间要求满足加法和数量乘法的封闭性、结合律和分配律等性质。
平面上的所有向量和三维空间中的所有向量都是向量空间的例子。
5. 线性代数（Linear Algebra）：线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学分支。
线性代数在许多领域有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
三、代数结构的应用代数结构在数学和其他学科中有广泛的应用。
在数学中，代数结构是研究各种数学对象及其性质的基础。
在物理学中，代数结构被用于描述物理系统的对称性和变换规律。
在计算机科学中，代数结构是研究数据结构和算法的重要工具，如图论中的图结构和数据库中的关系代数等。
代数结构 模
代数结构模代数结构是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算规律和结构。
在代数结构中，一个集合可以携带多种运算，如加法、乘法、复合运算等，这些运算满足一定的性质，从而构成了不同类型的代数结构。
一种常见的代数结构是群。
群是一个集合，配上一个二元运算，并且满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
群的研究对于理解对称性和变换等概念具有重要意义，广泛应用于几何学、物理学等领域。
另一种常见的代数结构是环。
环是一个集合，配上两个二元运算，并且满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环的研究对于理解整数、多项式等数学对象的性质具有重要作用。
在代数几何、代数数论等领域中，环的概念也得到了广泛的应用。
进一步扩展环的概念，可以得到域。
域是一个集合，配上两个二元运算，并且满足封闭性、结合律、分配律、乘法逆元等性质。
域是代数学中最基本的结构之一，广泛应用于线性代数、数论等领域。
在代数结构中，还有许多其他的重要概念和结构，如向量空间、模、代数等。
模是一种广义的环，它在运算规律上比环更加灵活。
模的研究对于理解线性代数、代数几何等领域中的向量空间具有重要意义。
代数结构的研究不仅仅局限于数学领域，它在计算机科学、密码学、物理学等各个领域中都有广泛的应用。
例如，在密码学中，代数结构被用来构造安全的加密算法；在计算机科学中，代数结构被用来研究数据结构和算法的性质。
代数结构是数学中一个重要且广泛应用的分支，它研究的是集合上的运算规律和结构。
群、环、域、模等是代数结构的重要概念，它们在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
通过研究代数结构，可以深入理解数学和其他学科中的各种对象和现象，并且为实际问题的解决提供了强有力的工具。
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2011/5/18
例3 (a) 考虑具有〈 〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a 那么〈 〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, Φ〉和〈 〈R, min, +∞〉 (这里R是包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。 关于这一类证明了的定理, 对这些特定的代数都成立。
2011/5/18
6.1.3 逆元
如果在一代数中存在幺元, 那么可定义逆元。 定义 6.1-3 设*是S上的二元运算, 1是对运算*的幺元。 如果x*y=1, 那么关于运算*, x是y的左逆元 左逆元, y是x的 右逆元。如果 x*y=1 和 y*x=1 两者都成立 , 那么关于 右逆元 运算*, x是y的逆元 逆元(y也是x的逆元)。 x的逆元通常记 为x-1。 存在逆元(左逆元、右逆元)的元素称为可逆的 可逆的(左可 逆的、右可逆的)。
注意： 注意： 在不产生误解的情况下, 标示代数的记号可以简化, 不 一定将所有成分都写出, 有时常数可以不写, 有时仅用 载体标记该代数。 例如： <R, + >，<N, + >等
2011/5/18
什么样的两个代数是同一种类的
第一, 要有相同的构成成分。 要有相同的构成成分 如果两个代数包 含同样个数的运算和常数, 且对应运算的元数 相同, 则称两个代数有相同的构成成分。 第二, 要有一组相同的称为公理的规则。这里 要有一组相同的称为公理的规则 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成 的方程。 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数 称为同种类的。 称为同种类的。 对同一种类的代数, 根据它的 公理推出的一切定理, 对该种类的一切代数都 成立。
2011/5/18
例4 代数A=〈{a, b, c}, 〉用下表定义, 表中位于x行和y列 交叉点的元素是x 。y的值。 右零： 右零 a 、b 左零：无 左零 左幺： 左幺 b 右幺：无 运算既不能结合也不能交换。
2011/5/18
如何从运算表中看出幺元
可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元或右幺元。 具体方法是：
2011/5/18
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk， 且对某一n， xy-z=nk。那么， 对运算×k，1是 幺元。 幺元 元素x∈Nk在Nk中有逆元仅当x和k互质。 互质
2011/5/18
定理 6.1-3 对于可结合运算 , 如果一个元素 x 有左逆元 l 和右逆元 r, 那么 l=r(即逆元是唯一的)。 证 设1对运算
2011/5/18
定理 6.1-4 设 。是S上的可结合运算 可结合运算, 如果元素a∈S是可逆的, 则a也是可 约的。 证 设x、y∈S是任意元素且a 。 x=a 。 y(x 。a=y 。a时证明是类似的, 故略), 由于。是可结合的且a是可逆的, 记a的逆元为a-1, 于是 a-1(a 。x) = (a-1 。a) 。x = x a-1(a 。y) = (a-1 。a) 。y = y 但a-1 。 (a 。x) = a-1 。(a 。y), 所以, x=y, 即元素是可约的。证毕。 应该注意, 如果元素是可约的, 但未必是可逆的。 但未必是可逆的。例如, 在 整数集合I中, 对于乘法, 任何非0整数都是可约的, 但除1 外,都不是可逆的。 都不是可逆的。
2011/5/18
例5 (a) 代数〈I, ·, 1, 0〉, 这里·表示乘法, 有一个幺元 幺元1和零元 零元0。 (b) 代数〈N, +〉有一个幺元 幺元0, 但无零元 无零元。 无零元 (c) 代数〈K, max, +∞〉, 这里K是非负实数集合与｛+∞｝之并, 有一个幺元 幺元0, 有一个零元 零元+∞。 零元0, 但无幺元 无幺元。 (d) 代数〈N, min〉有一个零元 无幺元 (e) 设S是非空有限集合, 代数〈ρ(s), ∪, ∩, Φ, S〉中有二个二元运算, 对运算∪，Φ是幺元， Φ 是零元， 是幺元 S是零元。对运算∩， 是零元 是零元 S是幺元。
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(f) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k＞0, Nk =｛0, 1, 2, …, k-1｝ 定义模k加法+k如下: 对每一x、y∈Nk
x + y x +k y = x + y − k
如果x+y＜k 如果x+y≥ k
那么+k是一可结合的二元运算，具有幺元 幺元0，Nk的每一元素有逆 每一元素有逆 元。 0的逆元是0， 每一非 非0元素x的逆元是k-x。
2011/5/18
例6 (a) 代数A=〈{a, b, c}, *〉由右表定义。可以看出，b是幺 元。a的右逆元是c， b的逆元是自身， 的逆元是自身 c的左逆元是a。
* a b c
a a a a
b a b c
c b c c
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(b) 代数〈I, +〉有幺元 幺元0, 每一元素x∈I, 关于运算+有一逆元 逆元-x, 因x+(-x) = 0。 (c) 代数〈N, +〉中仅有幺元 有幺元0有逆元, 逆元是自身。 逆元是自身 但在代数〈R, ·〉中, 除零元0外, 所有元素都有逆元 (d) 设T是m和n间的整数集合, 这里m＜n, 且m、n包含在T 中， 那么〈T, max〉有一个幺元 幺元m， 仅有m有逆元。 有逆元 (e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。 那么恒等函数 恒等函数1A是幺元。每一双射函数有一逆元 是幺元 每一双射函数有一逆元。每一 每一双射函数有一逆元 每一 满射函数有右逆元, 每一单射函数有左逆元, 左右逆元可 以不唯一。
离散数学
Discrete Mathematics
6.1代数结构
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-4-10
代数
由于数学和其他科学的发展， 由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数 的事物， 的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。 用类似普通计算的方法进行相似的计算。 抽象的代数系统也是一种数学模型， 抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实 际世界中的离散结构。 际世界中的离散结构。 抽象代数在计算机中有着广泛的应用， 抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理 论、编码理论、 编码理论、形式语义学、 形式语义学、代数规范、 代数规范、密码学等等 都要用到抽象代数的知识。 都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象 就是各种典型的抽象代数系统。 就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素： 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、 集合、集合 上的运算以及 上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理 以及说明运算性质或运算之间关系的公理。 说明运算性质或运算之间关系的公理。
2011/5/18
相同的构成成分≠不一定具有相同的运算性质
V1=<R,+,·,－,0,1> 和 V2=<ρ(B),∪,∩,~, ,B> 是同类型的代数 系统， 系统，它们都含有两个二元运算、 它们都含有两个二元运算、一个一元运算和两个代数常数。 一个一元运算和两个代数常数。但它们 的运算性质很不一样。 的运算性质很不一样
2011/5/18
例2 (a) 代数〈N,*,1〉和〈I, - , 0〉有同样的构成成分,
因为都有一个二元运算和一个常数。 (b) 代数〈｛0, 1｝, ∨, ∧, 0, 1〉和〈ρ(S), ∪, ∩, Φ , S〉有相同的构 成成分。 两个代数有相同的构成成分, 还不一定有本质的联系, 如例 2(a)就是这样。 就是这样。
。是幺元, 于是
l
。x = x 。 r == l 。 (x 。r) = (l 。x) 。r = 1 。r = r
证毕。
2011/5/18
定义 6.1-4 设*是S上的二元运算, a∈S, 如果对于每一x、 y∈S有
⇒
(a*x=a*y)∨(x*a=y*a) (x=y) 则称a是可约的 可约的或可消去 可约的 可消去的 可消去的。
2011/5/18
定理 6.1-1 设*是S上的一个二元运算, 具有左幺元1l和 右幺元1r, 那么1l=1r, 这元素就是幺元。 证 因为1l和1r是左幺元和右幺元。
1r = 1l·1r = 1l
证毕。
2011/5/18
定理 6.1-2
设*是S上的二元运算, 具有左零元0l和右
零元0r, 那么0l=0r, 这元素就是零元。 证明类似于定理6.1-1。 推论6.1-2 一个二元运算的幺元(零元)是唯一的。
2011/5/18
例
(b) 幂集合ρ(S)、并、交、补、Φ和S可构成一个代数。 可构成一个代数。 这个代数可记为〈 〈ρ(S), ∪, ∩, Φ , , S〉。
(1) 载体： 载体 S的幂集合ρ(S)。 (2)定义在载体上的运算 运算： 运算 二个二元运算∪和∩、 一个一元运算补 (3) 常数： 常数 Φ和S。
2011/5/18
代数系统的表示 代数系统的表示
代数通常用载体、 代数通常用载体、运算和常数组成的n重组 表示。 表示。
例1 整数、 整数、 加法和常数0可构成一个代数。 可构成一个代数。 这个代数可记为〈 〈I, +, 0〉。
(1) 载体：整数集合 I=｛…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…｝。 载体 (2) 定义在I上的运算 运算：加法 (记为+)。 运算 (3) 常数： 常数 0。
2011/5/18
(b) 考虑具有〈I, +, ·, -, 0, 1〉形式构成成分和下述公理的代数类 (这里“-”是一元运算)。 (1) a+b=b+a (2) a·b=b·a (3) (a+b)+c=a+(b+c) (4) (a·b)·c=a·(b·c) 那么〈Q, +, ·, -, 0, 1〉和〈R, +, ·, -, 0, 1〉是同类代数 是同类代数, 但〈ρ(S), ∪, ∩, -, Φ, S〉, 这里“ ” 表示集合的非, 是不同类的, 因为公 理(6)对这个代数不成立。