北师版七年级下数学预习寒假班希望杯讲义尖子训练
北师版七年级数学下同步经典讲义(最新版;可直接打印)
第1讲 幂的运算知识点1 同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（m ，n 是正整数）（2）推广：（m ，n ，p 都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如与，与，与等；②可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．【典例】1.如果a 2n﹣1•a n+2=a 7，则n 的值是____【方法总结】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，底数不变，指数相加，确定积的次数，再列方程即可求得m 的值．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同底数幂的乘法幂的乘方幂的运算积的乘方同底数幂的除法m n m n a a a +⋅=m n p m n p a a a a ++⋅⋅=3252()322a b ()422a b ()2x y -()3x y -a【随堂练习】1.若（a﹣b）•（a﹣b）3•（a﹣b）m=（a﹣b）11，则m的值为____【典例】1.已知a m=3，a n=6，a k=4，求a m+n+k的值．【方法总结】本题主要考查同底数幂的乘法法则逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，先根据同底数幂的乘法的运算法逆用，将a m+n+k变形为a m•a n•a k，然后将a m=3，a n=6，a k=4，代入a m•a n•a k，求解即可．【随堂练习】1.若3x+1=a，3y﹣1=b，则3x+y=____【典例】1.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013①，将等式两边同时乘2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014②将②减去①得2S﹣S=22014﹣1即S=22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．【方法总结】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键．解答此题常用的方法是“a 倍的错位相减”即可求解．如：求1+a+a2+a3+a4+…+a n(a不等于0)的和．解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，两边同时乘a得：aS=a+a2+a3+a4+…+a n+a n+1②，②﹣①得：aS﹣S=a n+1﹣1，即S=（a n+1﹣1），则1+a+a2+a3+a4+…+a n=（a n+1﹣1）．注意：将①式乘以a得到②式，然后运用②﹣①，就是运用“a倍的错位相减”法．【随堂练习】1.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S-S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+9+92+93+…+92018的值是_____知识点2 幂的乘方1．幂的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．【典例】1.若81x=312，则x=__________．【方法总结】本题考查了幂的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．先根据幂的乘方法则把81x化成34x，即可得出4x=12，解方程即可求解．【随堂练习】1.若（9m+1）2=316，则正整数m的值为_____【典例】1.已知3x=a，3y=b，则32x+3y=_____【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，要熟练掌握幂的乘方法则(底数不变，指数相乘)和积的乘方法则(把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘)．将32x+3y转化为（3x）2•（3y）3是解答本题的关键．【随堂练习】1.若2x+5y+3=0，则4x•32y的值为____【典例】1.比较3555，4444，5333的大小．【方法总结】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，可以把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．【随堂练习】1.已知a=1621，b=3231，c=841，则a，b，c的大小关系为_____（用＜连接）2. a=5140，b=3210，c=2280，则a、b、c的大小关系是______（用＜连接）知识点3 积的乘方1．积的乘方（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n•b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【典例】1.用简便方法计算下列各题：（1）（）2016×（﹣1.25）2017（2）（2）10×（﹣）10×（）11．【方法总结】此题主要考查了积的乘方运算，利用底数转化法进行幂的运算是解题关键，如（1）中底数分别是和﹣，乘积正好是-1；如（2）中底数分别是、﹣、，乘积正是-1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1，运算较为便捷．【随堂练习】1.计算（）2016×（﹣）2017的结果是____2.计算（﹣）2017×（2）2016的结果是_____【典例】1.（1）已知a n=3，b n=5，求（a2b）n的值；（2）若2n=3，3n=4，求36n．【方法总结】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘和积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．如（1）中，需要将（a2b）n转变为（a n）2 •b n，（2）中，需要将36n转变为（2n×3n）2．【随堂练习】1. 已知a2n=，b n=3，则（ab）4n的值为（）．知识点4 同底数幂的除法1．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．2．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00无意义．3．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．【典例】1.（a+b+c）n+3÷（a+b+c）n﹣1=（ ）A.（a+b+c）2B.（a+b+c）4C.（a+b+c）2n+1D.a4+b4+c4【方法总结】此题主要考查了同底数幂的乘除运算:底数不变，指数相减．【随堂练习】1.计算a2• a4•（2•a2）4÷（a2）5的结果是_____【典例】1.若2018m=5，2018n=4，则20183m﹣2n等于____【方法总结】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方的性质，解答本题的关键是将20183m﹣2n转化成同底数幂的除法，即转化成20183m÷20182n的形式，再利用幂的乘方法则，将20183m，20182n 分别用（2018m）3、（2018n）2代换，即20183m÷20182n转化成为（2018m）3÷（2018n）2，然后将2018m=5，2018n=4代入（2018m）3÷（2018n）2即可求解．【随堂练习】1.已知10x=9，10y=4，则102x﹣3y的值为_____2.若a x=2，a y=3，则a3x﹣2y=_____综合运用1.已知m a+b•m a﹣b=m12，则a的值为_________．2.若102•10n﹣1=106，则n的值为_________．3.已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．4.已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．5.根据已知求值：（1）已知a m=2，a n=5，求a3m+2n的值；（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．6.用简便方法计算下列各题（1）（）2015×（﹣1.25）2016．（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．7.计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；第2讲 整式乘法与除法知识点1 单项式乘单项式单项式乘单项式（1）单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．（2）单项式乘单项式的“三点规律”：①利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；②不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；③单项式乘单项式的结果仍是单项式．【典例】1.（﹣3x 2）•（﹣x 3m •y n ）（﹣y m ）的结果是____⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩单项式乘单项式单项式乘多项式整式乘除多项式乘以多项式单项式除以单项式多项式除以单项式【方法总结】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【随堂练习】1.（﹣3a2）•（2ab2）•（﹣b）2的计算结果是____2.（﹣ab3）3•（﹣ab）•（﹣8a2b2）2等于_____【典例】1.已知（a2m b4）（a n+2b）=a9b m+2，求m+n2的值．【方法总结】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式的乘法，可得同类项，根据同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程并解出m，n，将m，n的值代入m+n2．【随堂练习】1.已知单项式9a m+1b n+1与﹣2a2m﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，求m n的值是_____2.已知3a n﹣6b﹣2﹣n和﹣a3m+1b2n的积与﹣a4b是同类项，则m n+n m等于____【典例】1.“三角”表示3xyz，“方框”表示﹣4a b d c，求×的值．【方法总结】本题考查了利用单项式的乘法解新定义中的有关计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【随堂练习】1.如果“三角”表示4xyz，“方框”表示a b d c，则×的结果为____知识点2 单项式乘多项式单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【典例】1.计算：（﹣a2bc+2ab2﹣ac）•（﹣ac）2．【方法总结】本题考查了单项式与多项式相乘，先算积的乘方，再根据单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．计算时要注意符号的处理．【随堂练习】1. 化简（ab2﹣a2b﹣6ab）•（﹣6ab）的结果为_____【典例】1.已知xy2=﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为____【方法总结】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式，再整体代入xy2=﹣2计算即可．【随堂练习】1.已知pq2=1，则pq（p2q5﹣pq3﹣q）的值等于____【典例】1.当m、n为何值时，y[y（y+m）+ny（y+1）+m]的展开式中，不含有y2和y3的项？【方法总结】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．y[y（y+m）+ny （y+1）+m]去括号得到最简结果，根据结果中不含y2和y3的项，可令y2和y3的系数为0，列出方程，求出m与n的值即可．【随堂练习】1.若（mx2﹣nx+2）•（﹣2x2）﹣4x3的结果中不含x4项和x3项，则m，n的值分别为____知识点3 多项式乘多项式多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【典例】1.如果（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，那以p，q的值是___【方法总结】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，求出p、q的值．【随堂练习】1.如果多项式x+1与x2﹣bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b、c的值是___【典例】1.已知（x+2）（x-3）=x2+mx+n，则n m=_________．【方法总结】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及负整数指数幂．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与m 的值，代入n m，从而求出n m的值．【随堂练习】1.已知（x+m）（x﹣n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n+mn的值为____【典例】1.对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：=ad﹣bc，根据这一规定，计算=___________．【方法总结】本题考查了多项式乘多项式和新定义．解题的关键是弄清楚新定义运算法则．【随堂练习】1.对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算=ad﹣bc，如=4×（﹣2）﹣0×2=﹣8，那么当=27时，则x 等于_____知识点4 单项式除以单项式单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
北师大版七年级数学辅导班讲义
北师大版七年级数学辅导班讲义（1）完成日期 月 日 家长检查1． 把下列各数填在相应的集合里：2.5 ,32-, －0.35 , 0 , －(－1) , 2)2(- , 722 , 2- , 2007)1(- ……整数集合： …负数集合： … 2．判断正误，对的画“√”，错的画“×”：（1）一个数的绝对值一定不是负数； （ ） （2）一个数的相反数一定是负数； （ ） （3）两个数的和一定大于每一个加数； （ ） （4）若b a ,ab 与则0>都是正数； （ ）（5）一个非零数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数。
（ ） 3． 计算题（1）33)6(1726--+- （2）23)23(942-⨯÷- （3） )12116545()36(--⨯- （4）142312-+=-y y4．列方程解应用题：学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？北师大版七年级数学辅导班讲义（2）完成日期 月 日 家长检查1．下列方程是一元一次方程的是( )A 、x +2y =9B .x 2－3x =1C .11=xD .x x 3121=- 2．方程13521=--x x ，去分母和去括号后得( ) A 、3x －2x +10=1 B 、3x －2x －10=1 C 、3x －2x －10=6 D 、3x －2x +10=6 3．如果关于x 的方程01231=+m x是一元一次方程，则m 的值为( )A 、31B 、3C 、 －3D 、不存在 4．一件上衣按成本价提高50%后标价为105元，这件上衣的成本价为 元；5．在右边的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数， 设中间一个数为a ，则这三个数之和为：（用含a 的代数式表示） ；6．时钟5点整时，时针与分针之间的夹角是； ；7．如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，如果∠DOC =︒36，则∠AOB 是__ ______；8．列方程解应用题：小芳把2004年春节压岁钱存入银行，3年后如果不扣除利息税她可从银行取回2180元，银行的年利率是3 %，问她存了多少压岁钱？如果扣除利息税，那么3年后她从银行只能取回多少元？9．列方程解应用题：甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观，甲走了5分钟后乙才出发，甲的速度是80米/分，乙的速度是180米/分，问乙多长时间能追上甲？追上甲时离展览馆还有多远？北师大版七年级数学辅导班讲义（3）完成日期 月 日 家长检查1．如果关于x 的方程012=+mx是一元一次方程，则m 的值为( )A 、1-B 、1C 、1±D 、不能确定2．下列说法错误．．的是（ ）A 、长方体、正方体都是棱柱B 、六棱柱有六条棱、六个侧面、侧面为长方形C 、三棱柱的侧面是三角形D 、球体的三种视图均为同样大小的图形 3．下列各对数中，数值相等的是 （ ）A 、23+与22+ B 、32-与3)2(- C 、23-与2)3(- D 、223⨯与2)23(⨯ 4． －42的值是( )A 、－16B 、16C 、8D 、－8 5．若|a |=a ，则a 的取值范围是( )A 、a >0B 、a <0C 、a ≤0D 、a ≥0 6．5.0-的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ； 7．五棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面； 8．若23b a m与nab 32是同类项，则__________,==n m ； 9．初一（8）班共有学生54人，其中男生有30人，女生24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性 （填“大”或“小”） 10．设1511+=x y ，4122+=x y ，当x 为何值时，1y 、2y 互为相反数？ 11．先化简，后求值： ]2)(5[)3(2222mn m mn m m mn +-----，其中2,1-==n m 。
北师大版七年级数学寒假讲义(尖子班)
第一讲 整式的乘方一.同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.例题：1．已知n 是大于1的自然数，则（﹣c ）n ﹣1•（﹣c ）n+1等于（ ）A ．B ．﹣2ncC ．﹣c 2nD ．c 2n同步练习：1.（﹣p ）2•（﹣p ）3= ．2．规定a*b=2a ×2b ，求：（1）求2*3； （2）若2*（x+1）=16，求x 的值．3．阅读材料：n 个相同的因数a 相乘，可记为a n ，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n =b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log 24= ，log 216= ，log 264= ；（2）根据（1）中的计算结果，写出log 24，log 216，log 264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N= （a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．二．幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则： ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则：()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()nn n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例题：1．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008； ②（）11×（﹣）13×（）12．（2）若2•4n•16n=219，求n的值．同步练习：1.计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．2．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）= ，（5，1）= ，（2，）= ．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n，4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）三．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.例题：1．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．2．计算（1）. a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）. （﹣3x2y）2•（﹣xyz）•xz2．同步练习：1．已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（y m）6﹣（x2y）3m•y m的值．2.计算：2x 3（x 3）2﹣（3x 3）3+5x 2•x 7四．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.例题：1．计算：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）同步练习：1．计算：．2．若ab 2=﹣1，求﹣ab （a 2b 5﹣ab 3﹣2b ）的值．五．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()++=+++.a b m n am an bm bn要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2++=+++.x a x b x a b x ab例题：1．探究应用：（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）= ；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）同步练习：1．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．3．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；（2）从A，B两题中任选一题作答：A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．综合考查：1．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．2.计算:（1）.用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．(2)．解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．第二讲 乘法公式一．平方差公式平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 例题：1.若a 2﹣b 2=，a+b=，则a ﹣b 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．1D ．22．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．8同步练习：1．化简（m 2+1）（m+1）（m ﹣1）﹣（m 4+1）的值是（ ）A ．﹣2m 2B ．0C ．﹣2D ．﹣12．计算下列各题：（1）（a ﹣2b ）2﹣（2a+b ）（b ﹣2a ）﹣4a （a ﹣b ）两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知x+y=5，xy=6，则x 2+y 2的值是（ ）A ．1B ．13C ．17D ．252．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a 2﹣ab+b 2=（ ）A ．29B ．37C ．21D ．33同步练习：1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）64的展开式中第三项的系数为（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20192．若x ，y 满足x 2+y 2=，xy=﹣，求下列各式的值．（1）（x+y ）2 （2）x 4+y 4 （3）x 3+y 3两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知a ﹣=5，则a 2+的值是 ．2．当4x 2+2（k ﹣3）x+25是一个完全平方式，则k 的值是 ．同步练习：1．若4次3项式m 4+4m 2+A 是一个完全平方式，则A=2．已知4x 2+8（n+1）x+16n 是一个关于x 的完全平方式，则常数n 的值为 ．综合考查：1. 计算：（2x+3y ）2﹣（4x ﹣9y ）（4x+9y ）+（3x ﹣2y ）2．2. 已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：（1）（2）（x ﹣y ）2 （3）x 2+y 2．3. 若二次三项式x 2+（2m ﹣1）x+4是一个完全平方式，则m 的值是多少？第三讲相交线及三线八角一．对顶角和邻补角对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.例题：1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.同步练习：1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°2．如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（）A．44°B．56°C．45°D．34°3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度数是（）A．90°B．150°C．180°D．不能确定4．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=5：2，则∠AOF等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°二．垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.例题：1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.（1）写出图中与∠1互为余角的角；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．同步练习：1．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，（1）与∠1互为补角的角是_ ___；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有___________．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．三．三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.例题：1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？同步练习：1．如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，点E在BC的延长线上，则下列两个角是同位角的是（）A．∠BAC和∠ACD B．∠D和∠BAD C．∠ACB和∠ACD D．∠B和∠DCE3．如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④综合考查：1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．9.如图所示：（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？（2）与∠C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？第四讲平行线一．平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.例题：1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？同步练习：1．下列说法正确的是（）A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两个相等的角是对顶角C．互补的两个角一定是邻补角D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．下列说法中不正确的有（）①两条不相交的直线叫做平行线；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个二．平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.例题：1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？解：BE∥DF．∵AB⊥BC，∴∠ABC=____°，即∠3+∠4=____°．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴____=____．理由是：_________．∴BE∥DF．理由是：_____________．同步练习：1．如图，条件（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；2．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）3．如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．三．平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.例题：1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．同步练习：1.如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（）A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90°D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°2．如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（）A．20°B．50°C．40°D．30°3．如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（）A．70°B．82°C．92°D．102°四．平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.两直线平行⇔同旁内角互补.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.例题：1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．理由：∵DE∥AB（已知），∴∠A=∠CED（___________________________），又∵∠BFD=∠CED（已知），∴∠A=∠BFD（___________________），∴DF∥AE（___________________________）∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．同步练习：1.已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（）A．①②B．③④C．①②③D．①③④3．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN= °．4．填写理由：如图所示∵DF∥AC（已知），∴∠D+∠DBC=180°．（）∵∠C=∠D（已知），∴∠C+ =180°．（）∴DB∥EC（）∴∠D=∠CEF．（）五．命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例题：1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件：__________________________．结论：___________________________．（2）证明你所构建的是真命题．同步练习：1．下列命题中，为真命题的是（）A．同位角相等B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2bC．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等2．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则x＞﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2综合考查：1．下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．2．下列结论正确的是（）A．同位角相等B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行3．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．4．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为．5．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．6．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．第五讲函数一．常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.注意：字母可以表示数，但不一定是变量.例题：1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？当堂练习：1．下列说法中正确的是（）A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量2．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（）A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量二．函数的相关概念1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.4. 函数自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.例题：1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．2.下列四个图象中，y是关于x的函数的是____________.3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？①y=2x；②y=2x2；③y2=2x；④y=2|x|；⑤|y|=2x．同步练习：1.求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=√4x −3；（3）y=√7−x 4+5x．2.著名的狄利克雷（DcicHer ）函数是这样定义的：y={1，x 是有理数0，x 是无理数. （1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？（3）请分别写出当x ═1，√2，6.4，3.1415时的函数值．3．如图所示能表示y 是x 的函数是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．函数y=，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1B ．x ≥1 且 x ≠﹣2C ．x ≥1D ．x ≠﹣2 5．函数y=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣3B ．x ≠﹣3C ．x ≥﹣3D ．x ＞﹣3且x ≠0三．函数的表示方法①函数的表示方法——图象法1. 函数图象对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；②函数图象上点的坐标满足函数解析式.2. 画函数图象的步骤：①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.3. 用图象法表示函数的优缺点优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.例题：1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？同步练习：1.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．②函数的表示方法——列表法列表法的优缺点：优点：可以直接找到函数值.缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.例题：1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？③函数的表示方法——解析式法解析式法表示函数的优缺点优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.例题：1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．（1）根据图，将表格补充完整．（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？。
2020北师大七年级下册数学期末冲刺训练(尖子生)
2020北师大七年级下册数学期末冲刺训练（尖子生）一．选择题（每题3分，共30分）1.如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下列事件属于必然事件的是（ ）A 、通常情况下，抛出的篮球会下落B 、下雨后会出现彩虹C 、明天是晴天D 、小红买体彩中奖3.给出下列图形名称；(1)线段；(2)圆；(3)等腰三角形,(4)平行四边形，在这4种图形中是轴对称图形的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.大量重复试验中，关于随机事件的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A 频率就是概率B 频率与试验次数无关C 概率是随机的，与频率无关D 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率5.如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙 6.在△ABC 中，PA=PB=PC ，则点P 是△ABC （ ）A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三边垂直平分线交点D ．三条角平分线的交点7.如图，点P 是△ABC 内一点，且PD=PE=PF ，则点P 是（ ）A ．△ABC 三边垂直平分线的交点B ．△ABC 三条角平分线的交点C ．△ABC 三条高所在直线的交点D ．△ABC 三条中线的交点8.一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是 ( )9.如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =2，则PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．4D ．210.如图3，点0是△ABC 的两边AC 、BC 的垂直平分线的交点，点D 在△ABC 的外部，若∠ABC= ∠ADC= 70°，则∠DAO+ ∠DCO 的度数等于ABC ∆AC AB =D BC ABD ∆ACD ∆C B ∠=∠AD BAC ∠BC AD⊥Q P A O M( )A ．150° B ．140° C ．110° D ．130°二．填空题1.如图，已知AC=FE ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌ △FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是____．2.一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和3个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为_______。
北师大版七年级数学辅导班讲解
元；
8．化简下列各式：
（1）
（ 2）
9．学校安排学生住宿，若每室住 8 人，则有 12 人无法安排；若每室住 9 人，可空出 2 个房间。这个学校的 住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
（ 1）设有学生 x 人，由于两次安排中的房间数相等，得方程
；
（ 2）设房间数为 y 个，由两次安排中的学生数相等，得方程
。
10．某公司有两个运输队，第一队原有汽车 20 辆，第二队原有汽车 38 辆，现将新购进的 30 辆汽车分配给这
两个队，使分配后第二队的汽车总数是第一队的
3 倍，应该怎样分配？
北师大版七年级数学辅导班讲义（
完成日期
月
日
家长检查
1．关于式子
，正确的说法是 ( )
A、
是底数， 3 是幂
B、 5 是底数， 3 是幂
北师大版七年级数学辅导班讲义（
完成日期
月
日
家长检查
7）
1．－ 3 的相反数是
；倒数是
；
2． 205770000 用科学记数法表示为 3． a2－ b2+2b－ 1=a2 － (
4．若（ y－２） 2+|x+ |=0，则 =
； )；
；
5．如右上图，线段有
条，射线有
条；
6．如右图， OC⊥ OD ，∠ 1=35 °，则∠ 2=
）
A、负数；
B、正数；
C、非正数；
4．如果一个圆的直径是 d cm，那么它的周长是
cm，面积是
5）
D、 D 、非负数
cm2；如果这个圆的直径增
加了 cm，那么它的周长是
cm，比原来增加了
cm；
北师大版七年级数学下册教学设计(含解析)：第六章概率初步尖子生成长计划7概率中的代数问题
北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第六章概率初步尖子生成长计划7概率中的代数问题一. 教材分析北师大版七年级数学下册第六章“概率初步”是学生在学习了概率的基本知识后，进一步探究概率中的代数问题。
本章内容包括：事件的独立性、概率的计算、随机事件的组合等。
这些内容是学生进一步学习概率论的基础，也是培养学生逻辑思维、抽象思维能力的重要章节。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了概率的基本概念，对事件的发生有一定的理解。
但是，对于概率中的代数问题，学生可能存在以下困难：1.理解事件的独立性，能正确判断两个事件是否独立。
2.掌握概率的计算方法，能正确计算简单事件的概率。
3.能运用概率知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解事件的独立性，掌握概率的计算方法，能正确计算随机事件的概率；2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力；3.情感态度价值观：激发学生学习概率的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：事件的独立性，概率的计算方法。
2.难点：理解事件的独立性，能正确判断两个事件是否独立，以及运用概率知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解概率中的代数问题；2.启发式教学法：引导学生主动探究，发现概率的计算方法；3.合作学习法：培养学生团队合作，共同解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，帮助学生直观理解概率中的代数问题；2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识；3.教学视频：寻找相关的教学视频，丰富教学手段。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛硬币、抽奖等，引导学生回顾概率的基本知识。
提出问题：“在这些游戏中，如何计算某个事件发生的概率？”从而引出本节课的主题——概率中的代数问题。
2.呈现（10分钟）展示课件，介绍事件的独立性，以及如何判断两个事件是否独立。
通过实例分析，让学生理解并掌握概率的计算方法。
北师大版初中数学七年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：章末复习资料(提高)
章末复习资料（提高）《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：（≠0，是正整数）.m n ，m n ，n a m n ，m n >()010.a a =≠1nn aa-=a n要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、（2019春•南长）已知，，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-228x y +=993y x -=【答案与解析】 解：根据，，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知，比较的大小.（2）比较大小。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元一次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)第1 页共12 页平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法I:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知/ 1 = / 2,贝U AB// CD （同位角相等，两直线平行）；若已知/仁/3,则AB / CD （内错角相等，两直线平行）;若已知/ 1+ / 4= 180。
，则AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论 2 :若/ P+ / AEP+/PFC= 360°，贝U AB // CD.结论 2 :若/ P= / AEP+Z CFP，贝U AB // CD.结论 1 :若AB // CD，则Z P=Z AEP- Z CFP 或Z P=Z CFP-Z AEP ; 结论 2 :若Z P= Z AEP- Z CFP 或Z P= Z CFP- Z AEP，贝U AB // CD.模型四“骨折”模型PA----------—B---- 巴/-D c____点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论 1 :若AB // CD，则/ P=Z CFP- / AEP 或/ P=Z AEP- / CFP ; 结论 2 :若/ P= / CFP- / AEP 或/ P= / AEP- / CFP，贝U AB // CD.巩固练习平行线四大模型证明(1) 已知AE // CF，求证/ P +/AEP + / PFC = 360(2) 已知/ P= / AEP+ / CFP，求证AE // CF .(3) 已知AE // CF，求证/ P= / AEP- / CFP.(4) 已知 / P= Z CFP -Z AEP ,求证AE //CF .三模块一平行线四大模型应用例1(1)如图，a // b, M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么/(1) 如图所示，AB// CD，/ E=37°,/ C= 20 °，则/ EAB的度数为(2) (七一中学2015-2016七下3月月考)如图，AB // CD，/ B=30°,Z O= / C.则/ C= ________________(2)如图，AB // CD，且/ A=25°,/C=45 °，则/ E的度数是(3)如图，已知AB// DE,(4)如图，射线AC// BD ,D第5页共12页例2如图，已知AB // DE , BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE，求/ C、 / F的关系.如图，已知AB // DE , / FBC=1/ ABF , / FDC = 1 / FDE .n n(1)若n=2,直接写出/ C、/ F的关系______________________ ;⑵若n=3,试探宄/ C、/ F的关系；(3) ______________________________________ 直接写出/ C、/ F的关系 (用含n的等式表示)BE 平分/ ABC, DE 平分/ ADC .求证：/ E= 2 ( / A+ / C).BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE，求/ C、/ F的关系.3C 如图，已知AB // CD ,如图，己知AB // DE ,例4如图，/ 3== / 1+ / 2,求证：/ A+Z B+ / C+Z D= 180AB丄BC, AE平分Z BAD 交BC 于E, AE 丄DE , Z 1+ Z 2= 90 ° , M、N分别是BA、CD的延长线上的点，Z EAM和Z EDN的平分线相交于点F则Z F的度数为（）.A. 120 °B.135°C.145°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB // CD , Z EFA= 30 ° ,Z FGH = 90 Z GHM = _____________ .B C（武昌七校2015-2016七下期中）如图,练如图，直线AB // CD , Z EFG =100 ° ,Z FGH =140°，则Z AEF+ Z CHG= ___________例6已知/ B =25 °，/ BCD=45°,/ CDE =30。
七年级数学“希望杯”培训题参考15-21附答案
七年级数学“希望杯”培训题 15 姓名 班别一．选择题1．a --是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）0 2.在下面的数轴上（图1）表示数（—2）—（—5）的点是 （ ）（A ）M （B ）N . （C ）P. （D ）Q. 3.49914991+-----的值的负倒数是（ ）（A ）314. （B ）133-（C ）1. （D ）—1 4.)9187()8176()7165()6154()5143(+++++++++)10198(-+ （ ） （A ）0. （B ）5.65. （C ）6.05 （D ）5.855.22)34(34⨯--⨯-等于（ ）（A ）0 （B ）72 （C ）—180 （D ）1086.x 的54与31的差是（ ）（A ）x x 3154- （B ）3154-x （C ）)31(54-x （D ）345+x 7.n 是整数，那么被3整除并且商恰为n 的那个数是（ ）（A ）3n （B ）3+n （C ）n 3 （D ）3n8.如果2:3:=y x 并且273=+y x ，则y x ,中较小的是（A ）3 （B ）6（C ）9（D ）129.20°角的余角的141等于（ ）（A ） )731( （B ） )7311( （C ）)767( （D ）5°10.7)71()7(71⨯-÷-⨯等于（ ）（A ）1 （B ）49 （C ）—7 （D ）7二、A 组填空题11．绝对值比2大并且比6小的整数共有__________________个。
12．在一次英语考试中，某八位同学的成绩分别是93，99，89，91，87．81，100，95，则他们的平均分数是__________________。
13．||||1992-1993|-1994|-1995|-1996|=__________________。
14．数：-1．1，-1．01，-1．001，-1．0101，-1．00101中最大的一个数与最小的一个数的比值是__________。
北师版七年级下册全册同步培优讲义
学科教师辅导讲义考点一：同底数幂的乘法③ a6•a2+a5•a3﹣2a•a7 ④（a﹣1）3•（a﹣1）2•（a﹣1）例5、若x=3a n，y=﹣，当a=2，n=3时，求a n x﹣ay的值．考点二：同底数幂的除法例1、已知（2a m b4）÷（4ab n）=，则m、n的值分别为（ ）A．m=1，n=4B．m=2，n=3 C．m=3，n=4D．m=4，n=5例2、已知x4n+3÷x n + 1=x n+ 3•x n+5，求n的值例3、（1）若33•9m+4÷272m﹣1的值为729，试求m的值；（2）已知3m=4，3m﹣4n=，求2008n的值例4、阅读材料：① 1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2015=1成立的x的值例5、若有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠2011B．x≠2011且x≠2012C．x≠2011且x≠2012且x≠0D．x≠2011且x≠0例6、（1）（2）（3）[﹣2﹣3﹣8﹣1×（﹣1）﹣2]××90（4）2考点三：科学计数法表示小于1的正数例1、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米。
数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为（ ）A、9.63×10﹣5B、96.3×10﹣6C、0.963×10﹣5D、963×10﹣4例2、一种细菌的半径是0.000045米，该数字用科学记数法表示正确的是（ ）A、4.5×105B、45×106C、4.5×10﹣5D、4.5×10﹣4例3、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ）A、0.000025B、0.00025C、0.0025D、0.025例4、1微米=0.000001米，1微米用科学记数法可表示为（ ）米．A．1×106B．1×105C．1×10﹣5 D．1×10﹣6，求5、计算：（1）（）5÷（）3•（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2（4）6、我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×102和19⊗3⊗4；（3）想一想，（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）是否相等，验证你的结论7、国家卫生和计划生育委员会公布H7N9禽流感病毒直径约为0.0000001m，则病毒直径0.0000001m用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字）。
北师大版初中数学七年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第一章 整式的乘除(提高)
第一章 整式的乘除（提高）幂的运算（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.+⋅=m n m n a a a ,m n m n p m n p a a a a ++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()n n na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)； (2) ． 【答案与解析】解：（1）．（2）． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：． 类型二、幂的乘方法则 2、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）． （3）．（4）．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数()()()()()n nnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数23[()]a b --32235()()2y y yy +-22412()()m m xx -+⋅3234()()x x ⋅23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=3、（2019春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】 解：根据2x=23（y+2），32y =3x ﹣9，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知，则＝ ．【答案】－5；提示：原式∵∴ 原式＝＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．① ② ③④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个322,3mm ab ==()()()36322mmm m a b a b b +-⋅()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅23222323+-⨯24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=()3236926x y x y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯【答案】A ；提示：只有⑤正确；；；；【变式2】（2019春•泗阳县校级月考）计算： （1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21． 【答案】（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2=a 4•9a 6＋16a 10 =9a 10＋16a 10=25a 10； （2）（2）20•（）21．=（×）20• =1× =．5、（2019秋•济源校级期中）已知x 2m=2，求（2x 3m）2﹣（3x m）2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x 6m ﹣9x 2m=4（x 2m ）3﹣9x 2m=4×23﹣9×2 =14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．【巩固练习】一.选择题1．下列计算正确的是( )． A. B.C. D.2．的结果是( )．()3236928x yx y -=-()326m maa-=-()3618327aa =()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯()325xx =()5315x x =4520x x x ⋅=()236xx --=()()2552aa -+-A.0B.C.D.3．下列算式计算正确的是( )． A. B.C. D. 4．可以写成( )．A. B. C. D.5．下列计算中，错误的个数是( )． ① ② ③④ ⑤A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6．（2019•盐城）计算（﹣x 2y ）2的结果是（ ）A ．x 4y 2B ．﹣x 4y 2C ．x 2y 2D ．﹣x 2y 2 二.填空题7．化简：(1)＝_______；(2)＝_______．8.直接写出结果：(1)＝； (2)＝；(3)若，则＝______．9.（2019春•靖江市期末）已知2m +5n +3=0，则4m ×32n的值为 ． 10.若，用，表示可以表示为 ．11.（2019•杭州模拟）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 ．12.若整数、、满足，则＝ ，＝ ，＝ ．三.解答题13.若，求的值．14.（2018春•吉州区期末）已知a x =﹣2，a y=3．求：（1）a x+y 的值；（2）a 3x 的值；（3）a 3x+2y的值．72a -102a 102a -()33336aa a +==()22nn x x -=()()3626y y y -=-=()33333327c c c ⨯⨯⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31n x+()13n x+()31n x+3nx x ⋅()21n n x+()23636xx =()2551010525a ba b -=-3328()327x x -=-()42367381x yx y =235x x x ⋅=33331)31(b a ab +-()()322223a a a +⋅()_____n233n n n a b 1011x y ()5_____y ⋅2,3n n a b ==6n23,25,290abc===a b c a b c 50189827258abc⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c 2530x y +-=432x y⋅15. 已知，则. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ； 【解析】；；.2. 【答案】A ； 【解析】.3. 【答案】D ； 【解析】；；.4. 【答案】C ； 【解析】；；.5. 【答案】B ；【解析】①②④错误. 6. 【答案】D ；【解析】解：∵a•a 3=a 4，∴选项A 不正确；∵a 4+a 3≠a 2，∴选项B 不正确； ∵（a 2）5=a 10，∴选项C 不正确； ∵（﹣ab ）2=a 2b 2，∴选项D 正确． 故选：D ．二.填空题 7. 【答案】；； 【解析】； .8. 【答案】；；；【解析】（3）.9. 【答案】；【解析】4m×32n=22m×25n=22m +5n，∵2m +5n +3=0，∴2m +5n=﹣3，∴4m ×32n =2﹣3=．10.【答案】；200080,200025==yx =+yx 11()326xx =459x x x ⋅=()236x x --=-()()255210100a a a a -+-=-=()33339aaa ⨯==()222()()n nn x n xxn ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数为奇数()326yy -=-()1333n n xx ++=()314n n x x +=()2212n n nnx x ++=33827a b 628a 33333333311198()33272727ab a b a b a b a b -+=-+=()()3222266632728aa a a a a +⋅=+=233ab 22x y ab ()62323nnnnab =⨯=⋅=21c a b =++【解析】11.【答案】b ＞c ＞a ＞d ；【解析】解：a=255=3211，b=8111，c=6411，d=2511，∵81＞64＞32＞25， ∴b ＞c ＞a ＞d ．故答案为：b ＞c ＞a ＞d ． 12.【答案】＝6，＝6，＝3；【解析】.三.解答题13.【解析】 解：∵， ∴∴原式＝.14.【解析】解：（1）a x+y =a x •b y=﹣2×3=﹣6；（2）a 3x =（a x ）3=（﹣2）3=﹣8；（3）a 3x+2y =（a 3x ）•（a 2y）=（a x ）3•（a y ）2=（﹣2）3•32=﹣8×9 =﹣72．15.【解析】解：∵∴；∴；()2221903252222221c a b a b c a b ++=⨯⨯=⋅⋅==++∴∴a b c 22232232233235018925233235227258352abca ab b ca b c b c a a b a b c +-+--⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭336223062203a b c a b c a b a b c +-==⎧⎧⎪⎪+-==⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩∴∴()()25252543222222xyxyx y x y +⋅=⋅=⋅=2530x y +-=253x y +=328=252000,802000,20002580xy===⨯()()2525200025802580252000yyx xy y y y y ===⨯=⨯=⨯252525200025x y x yy +⋅==⨯2525xyx y +=∴，同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）（、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 要点四、科学记数法的一般形式xy x y =+111x y x y xy++==m n m na a a -÷=a m n 、m n >01a =a a 00n -n n 1nnaa -=a n m n m n a a a +=m n 0a ≠()mm m ab a b =m 0a ≠0b ≠()nm mn a a =m n 0a ≠()0na a -≠n a a ()1122xy xy -=0xy ≠()()551a b a b -+=+0a b +≠（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）．（2）10na ⨯n 1||10a ≤<10na -⨯n 1||10a ≤<83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x x x -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5()()x y x y -÷-125(52)(25)a b b a -÷-6462(310)(310)⨯÷⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-1212(52)(25)a b b a -=-x y-5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-（3）．（4）．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知，，求的值．【答案与解析】 解： ． 当，时，原式． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2019春•苏州）已知以=2，=4，=32．则的值为 ．【答案】解： ==8，==16，=•÷=8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）．【答案与解析】解：（1）； （2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：．64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-32m =34n =129m n+-121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======32m=34n=224239464⨯==3m 3nma na ka 32m n ka +-3ma322n a 2432m n k a +-3m a 2n a k a 223-⎛⎫- ⎪⎝⎭23131()()a b a b ab ---÷222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭【答案】解：5、 已知，，则的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ ，∴ ． ∵ ，，∴ ，．∴ ． 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求． 举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式．（2）原式． 类型三、科学记数法6、（2018秋•福州）观察下列计算过程：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+1151611732832=+++=1327m=1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭n m 331133273m-===3m =-122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=422n -=4n =-4411(3)(3)81nm -=-==-127122nn-⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=m n nm 1232()a b c --3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭424626b a b c a c--==8236981212888b b c b cb cc---=⨯==（1）∵÷=，÷==，∴=（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=, 由此可归纳出规律是：=（a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：= ；= ．（2）用科学记数法：3×= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）=； ==； （2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【巩固练习】一.选择题1. （2019•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．B ．÷=C ．+=D ．•=2.下列计算中正确的是( )．A.B.C.D.3．近似数0.33万表示为（ ）3353332231333=⨯3353353-23-23-2a 7a 27a a 225a a a ⨯51a2a 7a 27a -5a -5a -51a pa-1pa 103-259x x x ⨯÷410-10na ⨯103-1013259x x x ⨯÷259x +-221x x -=410-810-10na ⨯()25a=10a 16x 4x 4x 22a 23a 46a 3b 3b 32b 212a a xx x ++÷=()()6322xy xy x y÷=()12529x x xx÷÷=()42332nn n n xx x x +÷=A ．3.3×B ．3.3000×C ．3.3×D ．0.33×4．的结果是（ ）A ．B ．C ．2D ．05.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．B ．C ．D ．6.下列各式中正确的有（ ）①②；③；④；⑤．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. ______，＝______．8. __________,__________,______.9． ＝______，＝______．10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．12（2019春•江西）若=-2, =-，则= ． 三.解答题13．（2019春•吉州）已知=3，=5．求： （1）的值；（2）的值； （3）的值．210-310310410020122012(1)(0.125)8π-+⨯323-201)3(,)2(,)61(---21)3()61()2(-<<--201)3()2()61(-<-<-102)61()2()3(-<-<-120)61()3()2(-<-<-21()9;3-=224-=-01a =()111--=()2336-==-+-01)π()21(()011 3.142--++()()532aa -÷-=201079273÷÷=02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭()3223a b-()22a b---m m ma na 12-23m na -2x2y2x y+32x212x y +-14．用小数表示下列各数：（1）8.5×（2）2.25×（3）9.03×15. 先化简，后求值：，其中.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、，正确； B 、÷=，错误；C 、+=，错误；D 、•=b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】； ； .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×. 4. 【答案】C ；【解析】.5. 【答案】A ； 【解析】，所以.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；；；；. 二.填空题 7. 【答案】3；； 【解析】. 8. 【答案】；【解析】.310-810-510-()()23424211212a b a b a b ----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭23a b ==-，()25a=10a 16x 4x 12x 22a 23a 25a 3b 3b 6b 21a a xx x ++÷=()()6333xy xy x y ÷=()4235n n n n x x x x ÷=3102012201220121(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=210)3()61()2(-<<--2124-=()010a a =≠()111--=-()239-=12()01111 3.1421122--++=-++=7;27;10a 201074030739273333327÷÷=÷÷==9.【答案】；【解析】；.10.【答案】；11.【答案】； 12.【答案】-32； 【解析】解：，=4=﹣32.三.解答题13.【解析】 解：（1）=•=3×5=15；（2）===27；（3）=•÷2=×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×＝0.0085 （2）2.25×＝0.0000000225（3）9.03×＝0.0000903 15.【解析】 解：原式 当时，原式.整式的乘法（提高）6627a b 42a b()632266627327a a ba b b --==()422422a a b a b b----==4410-⨯113.8410⨯()224mm a a ,==()3318n n a a ==-23m n a -2x y+2x 2y32x()32x 33212x y +-()22x 2y 23310-810-510-4863482323444a ba b a b a b a b ------=-÷=-=-23a b ==-，23412(3)27=-=-【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、 计算： （1）（2）．【答案与解析】()m a b c ma mb mc ++=++()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()()121232n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----解：（1）（2）．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型二、单项式与多项式相乘2、计算： （1） （2）【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简． 【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心． 举一反三： 【变式】（2019秋•台山市校级期中）化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）． 【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x()()121232n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭()()()()121232n nx x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---=﹣3x 2+16x ．3、（2019秋•德惠市期末）先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98． 【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 举一反三：【变式】若，求的值． 【答案】解：，当时，原式＝．类型三、多项式与多项式相乘4、（2019秋•天水期中）若（x 2+nx +3）（x 2﹣3x +m ）的展开式中不含x 2和x 3项，求m ，n 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含x 2和项，也就是x 2和项的系数为0，由此得方程组求解． 【答案与解析】解：原式的展开式中，含x 2的项是：mx 2+3x 2﹣3nx 2=（m +3﹣3n ）x 2，含x 3的项是：﹣3x 3+nx 3=（n ﹣3）x 3，由题意得：，解得．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解． 举一反三：20x y +=332()4x xy x y y +++332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++22(2)2(2)x x y y x y =+++20x y +=220020x y +=3x 3x 33030m n n +-=⎧⎨-=⎩63m n =⎧⎨=⎩【变式】在 的积中，项的系数是－5，项的系数是－6，求、．【答案】解：因为项的系数是－5，项的系数是－6，所以，，解得. 【巩固练习】 一.选择题1．（2019•台湾）计算（2x 2﹣4）（2x ﹣1﹣x ）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．﹣x 2+2 B ．x 3+4 C ．x 3﹣4x +4 D ．x 3﹣2x 2﹣2x +4 2．下列各题中，计算正确的是( )．A. B.C . D. 3. 如果与－2的和为，1＋与－的差为，那么化简后为( )A. B. C.D.4. 如图，用代数式表示阴影部分面积为( )．A.B. C.D.5．结果是的式子是( )．A .(＋4)( ＋2)2B .(＋4)()()22231x ax b x x ++--3x 2x a b ()()22231x ax b x x++--3x 2x 235a -=-2316b a --=-14a b =-=-，()()233266mn m n --=()()332299m n mn m n --=-()()232298m nmn m n --=-()()323321818m n m n ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦2x 2y m 2y 22x n 24m n -22684x y ---221084x y --22684x y --+221084x y -+ab ac bc +()ac b c c +-()()a c b c --31216x x -+x x x ()22x x -+C .(－4)D .(＋4)6. 已知：，则的值为（ ） A.－1 B.0 C. D.1 二.填空题7. 已知，则＝___________.8.（2019春•无锡校级期中）如果（x+1）（x 2﹣2ax+a 2）的乘积中不含x 2项，则a= ．9. 之积中含项的系数为 .10.（2019春•莘县期末）若（a m+1bn+2）•（a2n ﹣1b 2n）=a 5b 3，则m +n 的值为 .11. 观察下列各式：； ； ；根据这些式子的规律，归纳得到：.12.把展开后得，则三.解答题13.（2019春•聊城校级月考）计算 （1）（﹣2a 2b ）2•（ab ）3（2）已知a m=2，a n=3，求a2m+3n的值．14.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：＝，就可以用图1的面积关系来说明． ① 根据图2写出一个等式 ；② 已知等式：＝，请你画出一个相应的几何图形加以说明．x ()22x x ++x ()22x -222440,23a b a b --=+=2122a b b +1220m n +=332()48m mn m n n +++-322322(4235)(233)--+-+x x y xy y x xy y 32x y 22()()x y x y x y -+=-2233()()x y x xy y x y -++=-322344()()x y x x y xy y x y -+++=-43223455()()x y x x y x y xy y x y -++++=-123221()()n n n n n x y x x y x y xy y ------+++++= (6)2)1(+-x x 0122101011111212......a x a x a x a x a x a ++++++=++++++024681012a a a a a a a ()()2a b a b ++2223a ab b ++()()x p x q ++()2x p q x pq +++15.已知的展开式中不含和项，求的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】（2x 2﹣4）（2x ﹣1﹣x ）=（2x 2﹣4）（x ﹣1）=x 3﹣2x 2﹣2x +4．故选：D ． 2. 【答案】D ； 【解析】；；.3. 【答案】A ；【解析】，＝4. 【答案】C ；【解析】阴影部分面积为.5. 【答案】D ；【解析】6. 【答案】A ；【解析】两式相减得，将代入得 . 二.填空题7. 【答案】－8；【解析】()()2283x px xx q ++-+2x 3x p q 、()()233266mn m n --=-()()332299m n mn m n --=()()232278m nmn m n --=-22222,12x y m y x n -=++=24m n -22222224448684x y y x x y ----=---()()()2ab a c b c ab ab ac bc c ac c b c ---=-++-=+-()()()()2242444x x x x x +-=+-+322344416161216x x x x x x x =-++-+=-+2241b b +=-244a b =+2122a b b +()214422412b b b b b ++=+=-332()48m mn m n n +++-32232248m m n mn n =+++-8. 【答案】；【解析】解：原式=x 3﹣2ax 2+a 2x+x 2﹣2ax+a 2=x 3+（1﹣2a ）x 2+（a 2﹣2a ）x+a 2，∵不含x 2项， ∴1﹣2a=0，解得a=， 故答案为：．9. 【答案】12；【解析】用多项式的乘法展开式子，得项的系数为12. 10.【答案】；【解析】已知等式整理得：a m +2n b3n +2=a 5b 3，可得，解得：m =，n =，则m +n =，故答案为：.11.【答案】； 12.【答案】365； 【解析】∵展开后得∴当时，，①；当时，，②∴①＋②＝，∴.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=4a 4b 2•a 3b 3=a 7b 5；（2）a2m+3n=（a m ）2•（a n ）3 =4×2722(2)2(2)88m m n n m n =+++-=-32x y 25323m n n +=⎧⎨+=⎩-nnx y=108． 14.【解析】解：①②如图所示：15.【解析】 解：因为展开式中不含和项， 所以， 解得，.乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型()()2222252a b a b a ab b ++=++()()2283x px xx q ++-+432322432338248(3)(38)248x x qx px px pqx x x q x p x q p x pqx x q=-++-++-+=+-+-++-+2x 3x 30p -=380q p -+=3p =1q =22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+（2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如（6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；；；. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( )()()()() ＋1(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++221+421+821+1621+3221+221+221-421+421-221+421+821+1621+3221+＝()( )( )()()()＋1 ＝－1＋1＝．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算：(1)(2)(＋)( －)( )( )【答案】解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝．(2)原式＝[(＋)( －)]( )( )＝[()( )]( )＝()( )＝．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2019春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，221-221+421+821+1621+3221+6426422(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +x x 29x +29x -29x +481x -a b a b 22a b +44a b +22a b -22a b +44a b +44a b -44a b +88a b -根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63， 由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63， 解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，熟练应用平方差公式可简化计算．举一反三：【变式】解不等式组：【答案】解：由①得，，． 由②得，，，．∴ 不等式组的解集为．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式．（2）原式． 【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②22921x x x --+>210x >5x >2225(2)44x x x -<-2225444x x x -<-425x -<- 6.25x > 6.25x >2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+23a b +-(23)a b +-a (23)b -a a 2b 3c -2b -3c 222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-a b举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解：(1) ＝[－(－)][ ＋(－)]＝＝．(2) ＝[2＋(－1)][2－(－1)]＝＝．(3)＝．(4) ＝＝－ ＝－＝ 4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ ，∴ ，即． 即．()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---()()a b c a b c -++-a b c a b c ()()222222a b c a b bc c--=--+2222a b bc c -+-()()2112x y y x -+-+x y x y ()()()222221421x y x y y --=--+22421x y y -+-()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦222222x xy y xz yz z -++-+()()231123a b a b +---()2231a b -+-22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦224129461a ab b a b －－－＋＋－a b c 2220a b c ab bc ac ++---=2220a b c ab bc ac ++---=2222222220a b c ab bc ac ++---=222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=222()()()0a b b c a c -+-+-=∴ ，，，即，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式的最小值是____________. 【答案】4；提示：，所以最小值为4.【巩固练习】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ① ② ③ ④ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2. 若是完全平方式，则值是（ ） A. B. C. D. 13.下面计算正确的是( )．A.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝－－B.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝＋C.原式＝[－(7－－)][－(7＋＋)]＝－D.原式＝[－(7＋)＋][－(7＋)－]＝4．(＋3)(＋9)(－3)的计算结果是( )．A.＋81B.－－81C. －81D.81－5．下列式子不能成立的有( )个．0a b -=0b c -=0a c -=a b c ==2220a b c ab bc ac ++---=2ab 222225x xy y y -+++()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++()()2552ab x x ab -++()()ax y ax y ---()()ab c ab c ---()()m n m n +--214x kx ++k 2±1±4±()()77a b a b -++---a b a b 27()2a b +a b a b 27()2a b +a b a b 27()2a b +a b a b ()227a b +-a 2a a 4a 4a 4a 4a① ② ③④ ⑤A.1B.2C.3D.46．（2019春•开江县期末）计算20192﹣2019×2019的结果是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1 二.填空题7．多项式是一个完全平方式，则＝______．8. 已知，则的结果是_______. 9. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则＋＝_______.10.（2019春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 11．对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_______.12. 如果＝63，那么＋的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值.14.（2019春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 15. 已知：求的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】①，②，③可用平方差公式. 2. 【答案】B ；()()22x y y x -=-()22224a b a b -=-()()()32a b b a a b -=--()()()()x y x y x y x y +-=---+()22112x x x -+=--28x x k -+k 15a a +=221a a+223x x --()2x m k -+m k m k n ()()()()313133n n n n +---+()()221221a b a b +++-a b 22(1)10199+()()()2222(2)224m m m +-+(3)()()a b c a b c +--+2(4)(321)x y -+()26,90,a b ab c a -=+-+=a b c ++【解析】，所以＝±1.3. 【答案】C ；4. 【答案】C ；【解析】(＋3)(＋9)(－3)＝.5. 【答案】B ；【解析】②，③不成立. 6. 【答案】D ；【解析】解：原式=20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）=20192﹣（20192﹣1）=20192﹣20192+1=1，故选D.二.填空题7. 【答案】16；【解析】，∴＝16.8. 【答案】23；【解析】. 9. 【答案】－3；【解析】，＝1，＝－4.10.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=（216﹣1）（216+1）+1， =232﹣1+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6． 故答案为：6．11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除. 12.【答案】±4；【解析】. 三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝2221112224x x x kx ⎛⎫⎛⎫±⨯+=±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k a 2a a 224(9)(9)81a a a -+=-2228244x x k x x -+=-⨯+k 21()25,a a+=222211225,23a a a a ++=+=()22223211314x x x x x --=-+--=--m k ()21n -()()221221a b a b +++-()222163,228,4a b a b a b =+-=+=±+=±()()2210011001=100002001100002001=20002++-+++-+。
初中数学北师大版七年级下册第一章6完全平方公式寒假预习练习题-普通用卷
初中数学北师大版七年级下册第一章6完全平方公式寒假预习练习题一、选择题1.下列计算正确的是()A. −2(a−1)=−2a−1B. (−3a−2)(3a−2)=9a2−4C. (a+b)2=a2+b2D. −(x−2y)2=−x2+4xy−4y22.已知x−1x =4，则x2+1x2的值是A. 18B. 16C. 14D. 123.若多项式a2+kab+b2是完全平方式，则常数k的值为()A. 2B. 4C. ±2D. ±44.若4x2+ax+121是完全平方式，则a的值是()A. 22B. 44C. ±44D. ±225.下列运算中，计算结果正确的是()A. (−2a)3=−8a3B. (x+y)2=x2+y2C. 3x2⋅5x3=15x6D. m3+m5=m86.若x2+mxy+4y2是一个完全平方式，那么m的值是()A. ±4B. −2C. ±2D. 47.若4x2+kx+19是完全平方式，则实数k的值为()A. 43B. 13C. ±43D. ±138.如果(x+3)2=x2+ax+9，那么a的值为()A. 3B. ±3C. 6D. ±69.若x2+2(m−3)x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的次项则n m的值为()A. −4B. 16C. −4或−16D. 4或1610.请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是()A. (x+y)(x−y)=x2−y2B. (x+y)2=x2+2xy+y2C. (x−y)2=x2−2xy+y2D. (x+y)2=x2+xy+y2二、填空题11.若实数x、y满足x−3=y，则代数式2x2−4xy+2y2的值为______．12.如果x2−10x+m是一个完全平方式，那么m是_______．13.若x−y=6，xy=7，则x2+y2的值等于______．14.如果x−y=4，xy=2，那么(x+y)2=______．三、解答题15.计算(1)4(a−b)2−(2a+b)(−b+2a)；(2)(2a+3b)2−(2a−3b)2．16.已知a−b=7，ab=−12．(1)求a2+b2的值；(2)求a+b．17.计算：(2a−3b)2−(3a−2b)2．18.已知：a+b=8，ab=6．(1)求(a+b)2的值；(2)求a2+b2的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、−2(a−1)=−2a+2，故本选项不符合题意；B、(−3a−2)(3a−2))=(−2)2−(3a)2=4−9a2，故本选项不符合题意；C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；D、−(x−2y)2=−x2+4xy−4y2，故本选项符合题意；故选：D．根据单项式乘以多项式、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了去括号法则，单项式乘以多项式、平方差公式和完全平方公式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，关键是熟练掌握完全平方公式的特征．根据已知将两边完全平方，根据完全平方公式可得结果．【解答】=4，解：∵x−1x=16∴两边平方可得x2−2+1x2=16+2=18，∴x2+1x2故选A．3.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵多项式a2+kab+b2是完全平方式，∴k=±2，故选C．4.【答案】C【解析】解：∵4x2+ax+121是一个完全平方式，∴ax=±2⋅2x⋅11，解得：a=±44，故选：C．根据完全平方式得出−axy=±2⋅3x⋅2y，求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2−2ab+b2和a2+2ab+b2．5.【答案】A【解析】解：A、(−2a)3=−8a3，故本选项正确；B、(x+y)2=x2+2xy+y2，故本选项错误；C、3x2⋅5x3=15x5，故本选项错误；D、不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：A．根据幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式以及合并同类项的法则分别对每一项进行计算即可．此题考查了幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式以及合并同类项，能熟练掌握有关运算法则是解题的关键，是一道基础题．6.【答案】A【解析】解：∵x2+mxy+4y2=x2+mxy+(2y)2，∴mxy=±2x⋅2y，解得：m=±4．故选：A．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵4x 2+kx +19是完全平方式，∴kx =±2×2x ×13， ∴k =±43．故选：C ．这里首末两项是2x 和13的平方，那么中间项为加上或减去2x 和13的乘积的2倍．本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式可得出答案．【解答】解：∵(x +3)2=x 2+6x +9，∴a =6．故选：C ．9.【答案】D【解析】解：∵x 2+2(m −3)x +1是完全平方式，(x +n)(x +2)=x 2+(n +2)x +2n 不含x 的一次项，∴m −3=±1，n +2=0，解得：m =4或m =2，n =−2，当m =4，n =−2时，n m =16；当m =2，n =−2时，n m =4，则n m =4或16，故选：D ．利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m 与n 的值，代入原式计算即可求出值．此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 10.【答案】B【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：(x +y)2，大正方形面积=4个小图形的面积和=x 2+y 2+xy +xy ，∴可以得到公式：(x +y)2=x 2+2xy +y 2．故选：B ．通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键． 11.【答案】18【解析】解：由x −3=y 可得x −y =3，∴2x 2−4xy +2y 2=2(x 2−2xy +y 2)=2(x −y)2=2×32=2×9=18．故答案为：18．由x −3=y 可得x −y =3，再把所求式子因式分解后代入计算即可．本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 12.【答案】25【解析】【分析】此题考查了完全平方式有关知识，利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m 的值．【解答】解：∵x 2−10x +m 是一个完全平方式，∴m =(−102)2=25， 故答案为25. 13.【答案】50【解析】解：因为x −y =6，xy =7，所以x 2+y 2=(x −y)2+2xy =62+2×7=50，故答案为：50．将所求代数式适当变形后整体代入x−y=6，xy=7即可求解．此题考查了因式分解的运用．解题的关键是掌握因式分解的方法．注意整体思想在解题中的运用．14.【答案】24【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，熟记公式是解答本题的关键．根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x−y=4，xy=2，∴(x+y)2=(x−y)2+4xy=42+4×2=16+8=24．故答案为：24．15.【答案】解：(1)原式=4(a2−2ab+b2)−(4a2−b2)=4a2−8ab+4b2−4a2+b2=5b2−8ab；(2)原式=(2a+3b+2a−3b)(2a+3b−2a+3b)=4a⋅6b=24ab．【解析】(1)先根据乘法公式进行计算，再合并同类项即可；(2)根据平方差公式进行计算．本题考查了平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．16.【答案】解：(1)∵a−b=7，ab=−12，∴原式=(a−b)2+2ab=49−24=25；(2)∵a−b=7，ab=−12，∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=49−48=1，则a+b=±1．【解析】(1)原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值；(2)利用完全平方公式求出(a+b)2的值，开方即可求出a+b的值．此题考查了完全平方公式，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17.【答案】解：原式=4a2−12ab+9b2−9a2+12ab−4b2=−5a2+5b2．【解析】利用完全平方公式将其展开，然后合并同类项．本题主要考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．18.【答案】解：(1)∵a+b=8，∴(a+b)2=82=64；(2)∵a+b=8，ab=6，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=82−2×6=64−12=52．【解析】(1)将a+b=8代入计算即可；(2)利用完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab，再将a+b=8，ab=6代入计算即可．本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．。
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初一数学寒假教材目录(尖子训练营)第一节 整式的指数运算(一)【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即n aa a a a ⋅⋅⋅⋅个可以记作n a ．“na ”读作:a 的n 次方或a 的n 次幂，乘方的结果叫做幂. 其中,a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法法则: mm aa a a a =⋅⋅⋅个 n n aa a a aa =⋅⋅个，所以有 ()m nm n m an am n aa a a a a a a a a a a a a a ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=个个个．即m n m na a a+⋅=（m 、n 都是正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3．幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即()m n m n a a ⋅=（m,n 为正整数）积的乘方法则: 积的乘方等于各个因式的乘方之积，即()m m m ab a b =⋅（m 为正整数）【典型例题】例1. 计算（1）815210101010⋅⋅⋅ （2）425610100010101010⋅+⋅-⋅（3）62a a - （4）62)(a a -例2. 计算下列各式（1）23()()m n n m -⋅- （2）21()()n n x y x y ++⋅--（n 为正整数）例3.（1）已知32=x ，求32+x 的值（2）已知2510,510==+b a a ，求b10的值例4. 计算下列各式（1）m m m x x x 5233)()(⋅⋅+ （2）[]3342)(b a a -⋅-例5. 试比较5554443333,4,5的大小* 例6. 已知23,26,218a b c ===试问c b a ,,之间关系如何？【初试锋芒】1．35a a a ∙∙= 2．235()a a ∙= 3．若34na=，则6n a =4．若5,2n n a b ==则32()n a b = 5．n 为奇数，则22()()n n a a -+-= 6．2003200331()(1)43-∙=7．nx -与()n x -的正确关系为（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．当n 为奇数时，它们互为相反数，当n 为偶数时它们相等D ．当n 为奇数时，它们相等，当n 为偶数时，它们相反 8．1001012(2)+-所得结果是（ ）A ．1002B ．1002-C ．－2D ．2 9．如果单项式42a b x y --与3a b x y +是同类项，则它们的积为（ ）A ．64x yB ．32x y -C ．3283x y - D ．64x y -10．若5544332,3,4a b c ===则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＜b ＜c 11. 把计算结果写成幂的形式（1）822154⋅⋅ （2）12525.52⋅⋅ （3）926416⋅⋅12. 已知2=ma 5=n a ，求n m a +的值.13. 计算（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）121121(1)n n n n x x x x n +--+⋅-⋅为大于的正整数14. 求下列各式中的x . （1）107a a a x =⋅ （2）10m m m x x =⋅（3）123++=x x a a （4）1671)43(-=x* 15．已知：37,314,328a b c ===试确定a,b,c 之间的关系.【大展身手】1．22()()x y y x -∙-= 2．若2(3)21636x x +-=则x= 3．若()m n mn x x -=-成立则（ ）A ．m ,n 均为奇数；B ．m ,n 均为偶数C ．m 为奇数，n 为偶数D ．不论m 为奇数还是偶数，n 为奇数 4．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-=则m+n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．－3* 5．若a －b =2，a －c =12,则代数式29()3()4b c b c ---+的值为（ ）A ．32- B ．0 C ．32 D ．96．若21(3)202a b -+-=，求4b aa b +7. 求下列各式中的m 值 （1）1542+=⋅⋅m a a a a（2）1732222.4=⋅m m8．计算312()()()()nn y x x y x y y x +--+--9. 计算：235()()()m n n m n m -⋅-⋅-10. 已知2,2,x y a b ==求)22(2y x y x +⋅+的值.11．比较706与3535的大小* 12．计算(2)(2)(2)n n -+-∙-（n 为正整数）* 13．3,4m n a a ==求32m n a +的值为多少？第二节 整式的指数运算（二）【知识要点】1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 mnm na a a-÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n ）2．零指数：任何一个不为零的数的0次幂都等于1.即01(0)a a =≠ 3．负整数指数幂：任何不等于零的数的－P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数. 即 1pp aa-=（a ≠0，P 是正整数） 【典型例题】例1. 计算（1）63x x ÷ （2）62(2)(2)x x ÷-（3）43(3)(3)ax ax -÷- （4）21()m x x +÷-（5）22152525m mm -⋅÷ （6）()()()()7632x y y x x y x y -÷-+--÷+例2. 计算 320110()(5)1230π-+⨯-+-例3. 若26,42m n ==，求2222m n -+的值.例4. 比较大小181010152323⋅⋅与【初试锋芒】1．729()x x ÷= 2．212-= 3．若02(5)2(26)x x ----有意义，那么x 的取值范围是 4．如果0a ≠，p 是正整数，那么下列各式中错误的是（ ） A ．1pp aa -= B ．1pp a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．p p a a -=-D ．1()p p a a --= 5．化简2333333++∙∙-n nn 等于（ ） A ．89B ．13n +-C ．1139n +-D ．13n -6．若3220m n -+=求321010m n÷的值.7．已知：53,254,m n ==求4215m n --的值.8．化简2124223316452852n n n nnn n +-+++⋅⋅∙⋅9．比较181023⨯与101523⨯的大小【大展身手】1．22102222--∙∙∙= 2．若1327x =则x =3．若02(3)2(36)x x ----有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜2 C ．x ≠3或x ≠2 D ．x ≠3且x ≠2 4．如果2xn m mm +÷=那么x 的值为（ ）A ．n ＋3B ．n +2C ．n +1D ．3－n 5．若(1)1aa -= 求a6．若P =999999，Q =990119，证明：P =Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘：把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2．单项式与多项式相乘：根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 3．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【典型例题】例1 计算（1）34323(2)a b ab c ⋅- （2）232216()()3a b x y ab y x -⋅-⋅-例2 计算（1）232(3)(21)x x x -+- （2）243(142)2x x x x --+-例3 计算 (2)(53)x y a b --例4 若2(3)(4)mx x x -+的积中不含2x 项，求m 的值.例5 计算121231231()()()n n n n a a a a a a a a a a ---+++++++-+++12()n a a a ++例6 若单项式246()()m n x y xy z y z ⋅⋅乘积是单项式58p x y z ，求m+n+p 的值.【初试锋芒】1．计算2(6)2a b ab -⋅=2．23422635x y x yz ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 3．若12212611()()m n m n a b a b a b ++-⋅⋅=则m +n 的值为 4．化简：2232(3)(23)3(25)x x x x x x ---+--=5．已知21m m +=，则324m m m +-+=6．解方程2(3)2(3)8x x x x -+-=-得（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =- 7．如果M 、N 分别是关于x 的7次多项式和5次多项式，则M ·N （ ） A ．一定是12次多项式 B ．一定是35次多项式 C ．大于12次的多项式 D ．无法确定积的次数 8．若(2)(1)x a x -+-的结果不含x 的一次项，则（ ） A ．1a = B ．1a =- C ．2a = D ．2a =- 9．2(1)(21)x x ax +++的结果中2x 项的系数为－2，则a 等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－4 D ．以上都不对10．计算223212()5()4()k kx y x y x y +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⋅+⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．在22()(231)x ax b x x ++--的积中，3x 的系数是－5，2x 的系数是－6，求,a b 的值.12．求证：对于任何自然数n ，代数式(5)(3)(2)n n n n +--⋅+的值都能被6整除.【大展身手】1．M 是关于x 的三次式，N 是关于x 的五次式，则下列结论正确的是（ ） A ．M +N 是八次式 B ．N －M 是二次式 C ．MN 是八次式 D ．MN 是十五次式2．化简23332(3)7(41)x x x x x ⎡⎤--+⎣⎦等于（ ）A ．4397x x +B ．6953277287x x x x ---C ．5243177x x x -+D ．64487x x + 3．计算322322(1)(3)(4)x y x y xy xy ++⋅-⋅-4．计算：11111111()(1)(1)(23200322002220032++++++-++++11)32002++5．如果22(8)(3)x px x x q ++-+的结果中不含2x 和3x 项，试求p ,q 的值.第四节 平方差公式【知识要点】如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形． 1．请表示图中阴影部分的面积．2．小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？3．两图阴影部分的面积相等吗？(1) 22b a -；(2) 长b a +，宽b a -，面积()()b a b a -+； (3) 相等 ()()22b a b a b a -=-+即 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1．用平方差公式计算（1）（2x+5）(2x-5) (2) (x+ab)(x-ab)(3) (-3a-b)(-3a+b) (4) (-2(5) (2x+3)(3-2x) (6) (-y-x)(-x+y)图1图2(7)(-x+1)(-x-1) (8))21)(41)(21(2++-x x x* (9)(a-b+c)(-a+b+c) * (10)(－x-y+z)(-x+y+z)例2．观察下列格式你会发现什么规律？ 1× 3= 3 而 3=22-1 3× 5= 15而 15=42-1 5× 7= 35而 35=62-1 …11×13=143而143=122-1 …将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 并用你得到的规律对下列式子进行简算（1）102×98 （2）119×121 （3）32311⨯例3. 计算2222210099989721-+-++-例4.求证：22(7)(5)n n +--能被24整除【初试锋芒】1． 用平方差公式计算下列各式 (1)( (2)(3a-bc)(-bc-3a)(3) (4)((5) （6）24(21)(21)(41)(161)x x xx -+++2.下面计算正确的是（ ） A.(x+3)(x-3)=x 2-9 B.(2x+3)(2x-3)=2x 2-9 C.(2x+3)(x-3)=2x 2-9 D.(5ab+1)(5ab-1)=25a 2b 2-13.(-3x+4)(-3x-4)等于（ ） A.(3x)2- 4B. 42-(3x)2C.- (3x)2-4D.(-4)2-(3x)24.若M(3x-y 2)=y 4-9x 2,那么代数式M 应是（ ） A.-(3x+y 2)B.- y 2+3xC.3x+ y 2D.3x- y26.(x-1)(x+1)(x 2+1)-(x 4+1)的值是（ ） A.-2x 2B.0C.-2D.-17.已知x 2-y 2=4,那么（x-y ）2(x+y)2的结果是（ ） A.4B.8C.16D.328.设正方形的面积为S 平方厘米，长方形的面积为S 2平方厘米，如果长方形的长比正方形的边长多3厘米，宽比正方形的边长少3厘米，则S 1与S 2的关系是（ ） A ．S 1=S 2 B ．S 1=S 2+9 C ．S 1=S 2－9 D ．无法确定9.简算：（1）1001×999 （2）32123113（3）2001×1999-20002（4）1.02×0.9810.化简求值：(y+3x)(3x-y)-(3y-x)(3y+x),其中x=-2,y=3.11.解方程：(2x+3)(-2x+3)+9x=x(3-4x)【大展身手】1． 运用平方差公式计算： (1)（ (2) (2x+3)(2x-3)(3) (5ab+1)(5ab-1) (4) (-3x+4)(-3x-4)2. 运用平方差公式计算（1）403×397 （2） 3.01 2.99⨯（3）12008200620072+⨯ （4） 9910110001⨯⨯第五节 完全平方公式（一）【知识要点】1．完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b2特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一项与第三项是公式左边二项式中的一项的平方；中间一项是二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同. 注意：公式中的a 、b 可以是数,也可以是单项式或多项式. 2．完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--；()()[]()222b a b a b a -=--=+-；（2）()()22a b b a -=+-；()()[]22c b a c b a +-=--；（3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；()()ab b a b a 422-+=-【典型例题】例1. 用完全平方公式计算(1)（3a+b ）2(2) (-x+3y)2(3) (x-3y)2 (4) (5x-3y)2(5) 22)121(-x (6) (x+)2例2. 利用完全平方公式计算（1）1022（2） 1972（3） 9952（4）452例3. 计算(看谁的方法更快更好！)(1)(2x-3y)2(2x+3y)2(2) (x-y)(x+y)(x 2-y 2)* (3) (a-2b+3c)(a-3c-2b) * (4) (a+b+c)2例4．若2226100x x y y ++-+=，试求x ，y 的值.例5．已知：3,1a b ab +==，求 ①22a b + ②2()a b - ③22ab a b + ④11a b + ⑤b a a b+【初试锋芒】1．要使4x 2+mx+成为一个两数的和的完全平方式，则（ ） A.m=-2 B.m=2 C.m=1 D.m=-1 2.若x 2+ax=(x+)2+b ，则a,b 的值是（ ）A.a=1,b=B.a=1,b=-C.a=2,b=D.a=0,b=- 3.要使(a-b)2+M=(a+b)2成立，代数式M 应是（ ）A.2abB.-2abC.-4abD. 4ab 4.若x 2+y 2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则P ，Q 分别为（ ）A.P=2xy,Q=-2xyB. P=-2xy,Q=2xyC. P=2xy,Q=2xyD. P=-2xy,Q=2xy5.若m ≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,其中错误的有（ ）A.1个B. 2个C.3个D.4个 6.如果a+=3,则a 2+=( )A.5B.7C.9D.11 7.若x+y=3,x-y=1,则xy=8．（2a+3b ）2=4a 2+ +9b 2(a+ )2=a 2+ + (a+b)2- =a 2+b 2(a-b)2=(a+b)24ab9．已知：224250a b a b ++-+=则a ba b+-= * 10．15,a a +=则4221a a a ++=11. 已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a 2+b 2和ab 的值. 12．已知x+y=4，xy=－12求下列各代数式的值.（1）22x y + （2）22x y xy + （3）2()x y - （4）y xx y+【大展身手】1． 计算： （1） (-a-2b)2（2） (x+2y)2 （3） -(5x-2y)2 （4） (2x-3y)(2x-3y)2．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±123．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于（ ）A ．8B ．4C ．±4D ．±84．已知则014642222=+-+-++z y x z y x z y x ++的值为5. 计算：（1）5012（2）99.82(3) 9926. 利用完全平方公式计算： 221.23450.76552.4690.7655++⨯7. 已知a+b=3,ab=-12,求下列各式的值: (1) a 2+b 2(2) a 2-ab+b 2(3) (a-b)2第六节 整式的检测一、判断题（每题1分，共10分）1．22223a a a a ⋅⋅= （ ）2．()()22mmmn m mn x yx y -=- （ ）3. 112n n n a a a -+⋅= （ ）4．()()437333-⋅-=- （ ）5．4444()a a a a -⋅÷-= （ ）6. ()()44mm b b -=- （ ）7．()()()22mmx y y x x y +--=-（ ）8. ()224)4(4b a b a b a -=-- （ ）9.xy xy xy 91)31)(13(-=-+ ( ) 10.n n n a a a a 2)2(22+=+ ( ) 二、填空题（每空1分，共14分） 1．在下列各式中填上适当的式子或数字: （1）(2=mnb()=m ()2= n 2)；（2）()(n m x + nm x 33)+=；（3）(5⋅x n x +=6)； （4）(35)(c a - 22)925c a =- 2．()()34x y x y +--= ；3．()()3223a a -+-= ；4．若()3511,m aa a =则m = ;5．()()=+-332x x ;6．()()=++-222323y x y x ;7．)(12(--x 241)x -=； 8．()+-2y x 22y xy x ++=;9．()=++=+-p px x x ,16422 三、选择题（每题2分，共20分）1．44a b ⋅等于（ ） A 、()22a b +B 、16abC 、4abD 、16a b +2．下列计算结果等于5a 的是（ ）A 、()()32a a -⋅- B 、()()38a a -÷- C 、()23a a ⋅-D 、()611a a -÷3．()()20032002125.08-⨯-的结果是（ ）A 、81 B 、81-C 、8D 、－84．下列计算：①1023x x x =+ ②126632y y y =⋅ ③()[]()853b a b a +=+④()()[]()()555y x y x y x y x -+=-+，其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．若)1)(2(-+-x a x 结果中不含x 的一次项，则（ ） A ．1=aB ．1-=aC ．2=aD ．2-=a6．若B Ax x x x ++=+-2)7)(6(，则（ ） A ．A=1，B=42B ．A=－1，B=－42C ．A=－1，B=42D ．A=1，B=－427．()()[]2y x y x -+等于（ ）A ．4224)(2y y x x ++-B ．44y x - C ．42242y y x x +-D ． 2222y x -8．若P n m n m +-=+22)53()53(成立，则P 等于（ ） A ．15mn B ．30mnC ．60mnD ．120mn9．如果12,7==+ab b a ，那么22b ab a +-值为（ ） A 、－11B 、13C 、37D 、6110．式子2242x xy y ---的最大值是（ ）A ．4B ．0C ．2D ．不存在四、计算题（每题4分，共16分） 1．a 5·a n +a 3·a 2+n –a ·a4+n +a 2·a3+n 2．[（-32）8×（23）8]73.99101⨯4.)2)((4)2(2y x y x y x +---五、解方程(每题5分，共10分)1．()()()()1573-+=-+x x x x 2．414141412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x六、解答题（30分） 1．若41,4=-=y x ，求()2122+⋅⋅n n y x x 的值，n 为自然数.(5分)2．若0352=-+y x ，求yx 324⋅的值.(6分)3．若54,32-=+=x B x A ，求AB 2，其中2-=x (5分)4．①若25,152-==-xy y x ，求1422-+y x 的值；(5分) ②若53=-y x ，求x xy x 532--的值. (3分)5．计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----.(6分)第七节三线八角【知识要点】一、互余、互补的概念及性质1．定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余.2．性质：（1）同角或等角的补角相等（2）同角或等角的余角相等二、邻补角、对顶角1．两条直线相交成四个角.其中相邻的两个角是邻补角，其中不相邻的两个角是对顶角.2．对顶角相等三、同位角、内错角，同旁内角的概念如图所示，直线AB,CD被直线EF所截，形成八个角1.同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角. 如图中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.2．内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.如图中的∠4与∠6，∠3与∠5是内错角.3．同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.如∠4与∠5，∠3与∠6是同旁内角.【典型例题】例1（1）一个角的余角比它的补角的13还少20°，求这个角.23 418567A BCDEF（2） 如图1，已知AOB 是一直线，OC 是∠AOB 的平分线，∠DOE 是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？分别写出3对.例2 如图所示，已知直线1,2,34l l l l 和相交于一点O ，请问有多少对对顶角？例3 如图所示，已知AB ∥CD ，分别找出同位角，内错角和同旁内角各5对.ABO CE 1 2 3 4图（1）DO1l2l3l4lABC DE【初试锋芒】1．如右图所示，∠1和∠2是直线___ ___和直线___ __ 被直线_______所截得的同位角。