三角形全等的条件要点全析

三角形全等的条件·要点全析

1．探索三角形全等的条件

三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．

但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．

2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”

（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”

．

（2）书写格式：如图13-2-1．

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①

⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，

＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③

（3）书写格式的步骤分三步：

第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②．

第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．

【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．

③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．

例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为

BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？

解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，

∴ BD ＝CD ．

在△ABD 和△ACD 中，

⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），

＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB

∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．

∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．

【说明】①在本例中使用了证明的格式．

②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．

3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”

（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．

（

2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）

⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，

＝，＝EF BC DEF ABC DE AB

∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．

例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，

OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．

解：∵ AD 、BC 相交于点O ，

∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．

在△AOB 和△DOC 中，

⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），

＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA

∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC

【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．

4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”

（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或

“ASA ”．

（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，

⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，

＝，＝DEF B DE AB D A ∴

△ABC ≌△DEF （AAS ）．

5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”

（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．

（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，

⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，

＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．

例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，

AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．

证明：∵ AB ∥CD ，

∴ ∠ABC ＝∠DCB ．

∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．

在△ABE 和△DCF 中，

⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，

＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC

∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．

6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”

（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．

（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，

⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB

∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）

（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．

7．“角角角”与“边边角”

在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？

（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．

（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

8．证明的意义和步骤

（1）证明的意义

证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．

（2）证明的步骤

证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：

①弄清命题的条件和结论，画出图形．