正交轨线在电场中的应用烟台大学数学与信息
高精度GNSS测量技术考核试卷
D. BDS
8.高精度GNSS测量中，以下哪些定位方式可用于静态定位？（）
A.伪距定位
B.载波相位定位
C.实时动态定位
D.静态定位
9.以下哪些软件可以用于GNSS数据后处理？（）
A. Trimble Geomatics Office
B. Leica Geo Office
C. ArcGIS
7.在进行高精度GNSS测量时，需要将接收机天线放置在_______上，以确保信号的稳定接收。（）
8. GNSS信号的L1频率大约是_______MHz。（）
9.用来描述GNSS接收机动态性能的指标有_______和_______。（）
10.在进行GNSS数据后处理时，常用的软件有_______和_______。（）
A.使用具有抑径功能的天线
B.避免在反射性强的环境中作业
C.提高卫星信号的仰角
D.使用差分定位技术
6.在进行高精度GNSS测量时，以下哪些因素会影响定位精度？（）
A.卫星星座几何分布
B.接收机与卫星之间的距离
C.大气折射
D.星历误差
7.以下哪些是国际上的主要GNSS系统？（）
A. GPS
B. GLONASS
C.减小多路径效应
D.提高定位精度
11.下列哪种接收机类型适用于高精度GNSS测量？（）
A.单频接收机
B.双频接收机
C.三频接收机
D.所有以上类型
12. GNSS系统中，哪个卫星系统的卫星数量最多？（）
A. GPS
B. GLONASS
C. BDS
D. Galileo
13.在高精度GNSS测量中，如何确定测站坐标？（）
数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用
本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。
直线与圆曲线正交方法一介绍课件
直线与圆曲线正交方法一采用数值计算的方法，通过计 算直线与圆曲线的交点，判断直线与圆曲线是否正交。
工程设计中的应用
1
3
道路设计：确定道 路与圆曲线的交点， 保证道路的平顺性
铁路设计：确定铁 路与圆曲线的交点， 保证铁路的平顺性
桥梁设计：确定桥 梁与圆曲线的交点， 保证桥梁的稳定性
2
建筑设计：确定建 筑与圆曲线的交点， 保证建筑的美观性
4
教学实践中的应用
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
直线与圆曲线 正交方法一在 几何图形分析 中的应用
直线与圆曲线 正交方法一在 工程设计中的 应用
直线与圆曲线 正交方法 正交方法一在 计算机图形学 中的应用
科研工作中的应用
工程设计：在工程设计中，直线 与圆曲线正交方法一可以用来确 定曲线与直线的交点，从而进行
精确的工程计算。
01
地理信息系统：在地理信息系统 中，直线与圆曲线正交方法一可 以用来确定地图上的曲线与直线 的交点，从而提高地图的精确度。
03
正交方法可以应用于各种类型的直线与圆曲线， 如直线与圆、直线与椭圆、直线与抛物线等。
正交方法具有较高的计算效率，可以快速求解 直线与圆曲线的交点。
正交方法的应用
01 直线与圆曲线正交方法一用 于解决直线与圆曲线的相交 问题
02 正交方法一可以应用于各种 工程领域，如建筑、机械、 电子等
03 正交方法一可以帮助设计师 和工程师更准确地设计直线 与圆曲线的相交部分
演讲人
目录
01. 直线与圆曲线正交方法一概 述
人教版高中物理必修第三册精品课件 第9章 静电场及其应用 二非点电荷电场强度的求解、电场线和轨迹问题
场线,虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹,a、b、c是轨迹上
的三个点,则( A C )
A.粒子一定带正电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.若粒子由a点运动到b点,则速度始终减小
解析 粒子做曲线运动时,合力的方向指向运动轨迹的凹侧,可知粒子受力方
向与电场方向一致,粒子带正电,故 A 正确。只知道曲线运动轨迹不能判断
运动方向,所以粒子运动方向无法确定,故 B 错误。由于 c 点电场线比 b 点电
场线密,则 c 点电场强度大于 b 点电场强度,在电场中根据
a=
=
可知,粒
子在 c 点的加速度大于在 b 点的加速度,故 C 正确。粒子由 a 点运动到 b 点
过程中,粒子所受静电力方向与速度方向所成的角由钝角逐渐减小为锐角,静
偿
为求解新模型与补充条件的差值问题。如采用补偿法将有缺口的带电
法
圆环补全为圆环,或将半球面补全为球面,从而将问题化难为易
应用体验
【例1】 (2023安徽安庆宿松中学校考)如图所示,空间存在水平向右的匀
强电场,电场强度大小为E,一个四分之一圆环形、粗细均匀的绝缘细棒AB
上均匀分布有正电荷,O为圆环的圆心,OB与电场线平行。将四分之一圆环
绕O点在圆环所在的平面内沿顺时针转过45°,这时O点的电场强度大小为
2E,则圆环上电荷在O点产生的电场强度大小为( D )
1
A. E
2
B.E
C.
3
E
2
D. 3E
解析 把圆环分割成无数段等长的小圆弧,每段小圆弧可以看作带相等电荷
量的点电荷,这些小圆弧关于 O 点和 AB 弧中点的连线对称, 根据电场的叠
平面向量的投影和正交投影
平面向量的投影和正交投影在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以在二维平面中表示为箭头或者有向线段。
平面向量的投影和正交投影是在向量分析中常被使用的概念，下面将对这两者进行详细描述。
一、平面向量的投影平面向量的投影是指将一个向量映射到另一个向量上的过程。
具体来说，给定向量A和向量B，我们希望求解A在B方向上的投影，即A在B方向上的分量。
假设A的向量表示为(Ax, Ay)，B的向量表示为(Bx, By)，则A在B方向上的投影（记作projB A）可以通过下面的公式计算得出：projB A = (A ∙ B) / ∥B∥² × B其中，∙表示向量的点积操作，∥B∥表示向量B的模长。
通过上述计算，我们得到A在B方向上的投影。
二、平面向量的正交投影平面向量的正交投影是指将一个向量投影到另一向量的垂直方向上。
具体来说，给定向量A和向量B，我们希望求解A在B方向上的正交投影，即A在B方向上的垂直分量。
假设A的向量表示为(Ax, Ay)，B 的向量表示为(Bx, By)，我们可以通过以下步骤计算A在B方向上的正交投影（记作orthB A）：1. 计算A在B方向的投影projB A。
2. 计算A与projB A的差向量diff = A - projB A。
3. 得到A在B方向上的正交投影orthB A = A - diff。
通过上述三个步骤，我们得到A在B方向上的正交投影。
三、应用举例平面向量的投影和正交投影在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用投影和正交投影来计算平面上两个向量之间的夹角，以及向量在平面上的投影长度。
在物理学中，我们可以利用投影和正交投影来分析物体在斜坡上滑动的运动轨迹。
在计算机图形学中，我们可以利用投影和正交投影来进行三维场景的透视投影和阴影计算。
总结：平面向量的投影和正交投影是向量分析的重要概念。
投影是将一个向量映射到另一个向量的过程，而正交投影是将一个向量投影到另一向量的垂直方向上。
轨道面交线Figintersec...
国内图书分类号：V412.4国际图书分类号：629工学硕士学位论文空间碎片轨道预报筛选策略研究硕 士 研究生：尚树喜导师：赵阳教授申请学位级别：工学硕士学科、专业：人机与环境工程所在单位：航天工程系答辩日期：2006年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：V412.4U.D.C.: 629Dissertation for the Master Degree in Engineering.ORBIT PREDICTION AND FILTRATION STRATEGIES OF SPACE DEBRISCandidate：Shang ShuxiSupervisor：Prof. Zhao YangAcademic Degree Applied for：Master of Engineering Specialty：Ergonomics and Environment Date of Oral Examination：June, 2006University：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学工学硕士学位论文摘要空间碎片碰撞预警分析在保障在轨航天器运行安全有着重要的意义，随着在轨碎片的逐年增多，对空间碎片进行相关分析变得越来越重要。
本文针对空间碎片碰撞预警分析中有关轨道筛选策略和轨道预报计算方法内容进行研究，所获得的研究成果将直接应用于上海航天局的“基于网络的空间环境预报数据库”中的碎片环境子系统。
本文在分析、建立轨道摄动计算模型的基础上，首先采用基于轨道远、近地点特征对大量编目在册的空间碎片进行初步几何静态筛选，然后根据碎片与目标轨道面的相对位置特点把碎片分为异面与准共面两种情况以进行动态筛选，在筛选过程中考虑到预报时限长度和轨道摄动影响，引入了轨道摄动中具有积累效应的长期项以满足危险时间点的捕捉要求，利用了长期项摄动变化线性的特点导出了碎片与目标异面情况下各自过交线的时间序列成准等差数列的规律性和准共面情况下类似的规律性，从而显著地提高了前期轨道筛选的计算效率；最后对剩余危险碎片和目标飞行器利用SXP4轨道预报模型在前期轨道筛选的基础上以各个危险探测时间点为预报的时间起点，并根据预报计算结果，分析目标和碎片在该时间点的运动趋势是相互远离还是相互接近，推出预计最小相对距离发生时刻相对此刻的时间长度，得到其随时间变化的局部最小相对距离以及危险距离发生的时刻和相对速度，这是一个采用变时间步长、快速逼近最小相对距离的过程。
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人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
通量与散度的物理意义 - 烟台大学数学院
通量与散度的物理意义专题摘要：给出向量场通量与散度的定义，有源与无源场的概念，通量为正，为负，为零的物理意义，散度的物理意义。
通过实例揭示通量与散度的工程背景。
通量与散度是流体运动学中的两个重要的概念，在大气、海洋、热能、电磁场、土木工程等领域有着重要的应用。
一些与通量和散度有着密切联系的重要工程术语（如：水气通量、热通量、风通量、电通量、电磁波通量等）在处理具体工程问题时是首先考虑的重要指标。
下面以流速场为例研究通量与散度。
通量设有流速场),,(z y x Vk j i V ),,(),,(),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x ++=，其中流体是不可压缩的，即流体之密度是不变的，假设其密度为1，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 具有连续的一阶偏导数。
设S 是流速场中一有向曲面，曲面S 上点),,(z y x 处的单位法向量为k j i n γβαcos cos cos ++=单位时间流体经过S 流向指定侧的流体总流量为[40] dS v S n ⎰⎰=Φ， （1）其中γβαcos cos cos R Q P v n ++=⋅=n V 。
n v 表示流体的流速向量V 在有向曲面S 的法向量n 上的投影。
由于n 表示点),,(z y x 处的单位法向量，所以dS V n V n V ⋅=⋅=⋅=)(dS dS dS v n因此，（1）式又可表示为dS V ⋅=Φ⎰⎰S。
称（1）式的积分为流速场沿指定一侧穿过曲面S 的通量。
通量为正，为负，为零时的物理意义设在单位时间内流体向正侧穿过S 的流量为Φ，则在单位时间内流体向正侧穿过面积元素dS 的流量为dS V ⋅=Φd 。
当V 是从dS 的负侧穿到dS 的正侧时，V 与n 成锐角，此时0>⋅=ΦdS V d 为正流量；当V 是从dS 的正侧穿到dS 的负侧时，V 与n 成钝角，此时0<⋅=ΦdS V d 为负流量。
星载InSAR方位向逐行的顺轨有效基线计算方法
第54卷 第1期 2024年1月中国海洋大学学报P E R I O D I C A L O F O C E A N U N I V E R S I T Y O F C H I N A54(1):122~127J a n .,2024星载I n S A R 方位向逐行的顺轨有效基线计算方法❋刘昆池,苗洪利❋❋,杨忠昊,张佳辉(中国海洋大学信息科学与工程学部,山东青岛266100)摘 要: 本文开展了星载干涉合成孔径雷达(I n t e r f e r o m e t r i c s y n t h e t i c a pe r t u r e r a d a r ,I n S A R )顺轨有效基线计算方法的改进研究㊂首先利用多项式拟合卫星轨道方程,使用相干系数法计算待配准图像对的像元偏移量,通过建立顺轨有效基线与方位向行号的函数关系式获得逐行有效基线,解决了在整幅图像使用固定有效基线带来的误差问题㊂通过T a n D E M -X/T e r r a S A R -X 实测干涉数据对本文的改进方法进行了应用和检验,同时针对所使用干涉图像对的特殊线性关系建立了快捷实用的线性方程㊂通过在整幅图像上精细化使用顺轨有效基线会对诸如海流反演方面有效提高反演精度㊂关键词: 星载干涉合成孔径雷达(I n S A R );顺轨有效基线;轨道方程;海流反演中图法分类号: P 715.6 文献标志码: A 文章编号: 1672-5174(2024)01-122-06D O I : 10.16441/j.c n k i .h d x b .20220182引用格式: 刘昆池,苗洪利,杨忠昊,等.星载I n S A R 方位向逐行的顺轨有效基线计算方法[J ].中国海洋大学学报(自然科学版),2024,54(1):122-127.L i u K u n c h i ,M i a o H o n g l i ,Y a n g Z h o n g h a o ,e t a l .A l i n e -b y -l i n e c a l c u l a t i o n m e t h o d o f s p a c e -b o r n e I n S A R a z i m u t h l i n e -b y-t r a c k e f f e c t i v e b a s e l i n e [J ].P e r i o d i c a l o f O c e a n U n i v e r s i t y of C h i n a ,2024,54(1):122-127. ❋ 基金项目:国家自然科学基金项目(62031005);山东省自然科学基金项目(Z R 2020M D 097)资助S u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f C h i n a (62031005);t h e N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o n o f S h a n d o n g Pr o v i n c e (Z R 2020M D 097)收稿日期:2022-03-23;修订日期:2022-06-07作者简介:刘昆池(1998 ),男,硕士生㊂E -m a i l :l k c @s t u .o u c .e d u .c n❋❋ 通信作者:E -m a i l :o u m h l @o u c .e d u .c n海流的研究对海军作战㊁海上救援㊁海岸带建设㊁渔业㊁船舶航运路线的制定㊁海洋环境的监测和预报等都有重要意义[1-2]㊂海流计[3]㊁浮标㊁地波雷达[4-5]等难以实现全球范围的观测,星载干涉合成孔径雷达(I n -t e r f e r o m e t r i c s y n t h e t i c a pe r t u r e r a d a r ,I n S A R )是一种微波遥感技术,具有全天时㊁全天候㊁数据处理精度高等优点[6]㊂I n S A R 分为单星重复轨道㊁单星双天线及双星编队伴飞等方式[7]㊂利用I n S A R 技术的顺轨干涉测量(A l o n g t r a c k i n t e r f e r o m e t r y ,A T I )可以进行地面运动目标的速度监测,当然也可应用于海洋领域,如海表面流速㊁海面风速㊁冰川运动及舰船速度等方面的观测[8-11]㊂A T I 反演海表面流速相比于单景S A R 多普勒中心偏移法(D C A )[12-13]具有更高的时空分辨率和反演精度㊂而顺轨干涉基线的准确估算在I n S A R 数据影像配准㊁平地相位去除[14]㊁地形相位计算等方面具有重要地位,是反演高精度海表面流场的关键参数[15]㊂目前,常用的方法是从卫星影像的头文件中直接读取或基于影像相位中心计算获得顺轨有效基线长度㊂在反演海流方面,使用单一值反演整幅影像对应的径向流速会有很大的误差㊂本文在进行轨道拟合计算基础上,建立顺轨有效基线值与方位向行号的函数关系式,得到方位向每一行的顺轨有效基线长度,以实现在海流反演方面的顺轨有效基线的精细化使用,将会带来反演精度的提高㊂1 顺轨干涉有效基线及海流速度反演I n S A R 测量中的基线是指两个天线对同一地面目标观测时,主辅天线相位中心(A n t e n n a p h a s e c e n t r e,A P C )的连线,也称为物理基线[16]㊂如果是双发双收的模式,有效基线长度等于物理基线;如果是单发双收,有效基线长度为物理基线的一半[10]㊂有效基线在方位向上的投影为顺轨干涉有效基线,在距离向上的投影为交轨干涉有效基线㊂A T I -S A R 反演海流方法的基本原理为[8]:在两个天线均工作在条带模式下,在前后扫过海面上同一个区域时,后天线到达前天线照射的同一海面区域的时间差ΔT 为:ΔT =B eV㊂(1)式中:V 为卫星平台的速度;B e 为A T I 的顺轨有效基线长度㊂当被前天线照射的区域再被后天线照射时径1期刘昆池,等:星载I n S A R 方位向逐行的顺轨有效基线计算方法向(信号视线方向)移动的速度U L O S 为:U L O S =ΔR ΔT㊂(2)式中:ΔR 是前后两个天线通过被照射区域所接收到的信号的路程差㊂对于单发双收模式:ΔR =-λ4πφA T I ㊂(3)式中:λ为信号波长;φA T I 为两个天线所接收到信号的相位差,正是A T I -S A R 所要获得的两幅图像的干涉相位数据㊂U L O S 不但包括由风㊁浪等因素造成的海流径向速度,还包括长波轨道速度和B r a g g 波相速度,将U L O S 径向速度做地距投影之后,再去除后两项速度才能得到海流的距离向速度㊂A T I -S A R 获取两幅图像的时间差应该充分长,以便得到可靠的相位差,但同时也要比后向散射区域的去相干时间短[17]㊂海面后向散射区域的去相干时间τc o r r 可以近似表达为:τc o r r =λ22πσo r b㊂(4)式中σo r b 为重力波轨道速度的标准差,可近似为σo r b =0.068U 10,其中U 10是距离海面10m 高度处的风速[18]㊂假设风速大小为6~12m /s ,信号波长为0.031m ,则海面后向散射区域的去相干时间为4.3~8.6m s㊂2 顺轨有效基线计算方法顺轨有效基线的计算需要轨道方程的确定㊁图像对偏移量的获取㊁基线矢量的投影及有效基线方程的建立四个步骤㊂2.1轨道方程的确定卫星轨道如图1所示意,由于轨道数据时间分辨率较高,采用多项式拟合,确定卫星位置方程和卫星速度方程[19]㊂图1 卫星飞行轨道示意图F i g .1 S c h e m a t i c d i a g r a m o f s a t e l l i t e f l i gh t o r b i t 在图1中,A 和B 分别表示主辅卫星对应的轨道,从卫星数据头文件可知,每个卫星提供了时间间隔为1s 的轨道参数,包括在W G S -84坐标系下的空间位置和飞行速度㊂例如P m 为轨道A (主卫星)的某一点,其空间直角坐标为(X m ,Y m ,Z m ),在三个坐标轴上飞行速度为(V x m ,V y m ,V z m ),P s 为轨道B (辅卫星)的某一点,其空间直角坐标为(X s ,Y s ,Z s ),其飞行速度为(V x s ,V y s ,V z s ),用一段时间内的主辅轨道参数进行拟合,采用三次多项式,以时间为自变量:X =a 0+a 1㊃t +a 2㊃t 2+a 3㊃t 3Y =b 0+b 1㊃t +b 2㊃t 2+b 3㊃t 3Z =c 0+c 1㊃t +c 2㊃t 2+c 3㊃t 3,(5)V x =d 0+d 1㊃t +d 2㊃t 2+d 3㊃t 3V y =e 0+e 1㊃t +e 2㊃t 2+e 3㊃t 3V z =f 0+f 1㊃t +f 2㊃t 2+f 3㊃t 3㊂(6)式中:(X ,Y ,Z )㊁(V x ,V y ,V z )为卫星的位置和飞行速度;a i ,b i ,c i ,d i ,e i ,f i 为多项式系数(i =0,1,2,3)㊂2.2图像间偏移量的获取在I n S A R 图像中方位向第n 行的成像时刻t (n )为:t (n )=(n -1)P R F+t 0㊂(7)式中:P R F 为脉冲重复频率;t 0是成像起始时刻㊂由于主辅卫星有各自的轨道方程(5)和方程(6),而原始的主辅图像可能存在同一行号像元对应的不是同一地面成像点,因此,在使用辅卫星轨道方程时,使用的行号n 需要和主卫星的行号配准㊂解决主辅图像行号的统一问题,首先需要进行图像对偏移量的确定㊂具体方法为,选取主卫星图像的场景中心为控制点,利用相干系数作为匹配测度对辅卫星图像的偏移量进行确定㊂相干系数γ的计算公式为:γ=ðN n '=1ðMm '=1μ1(n ',m ')μ*2(n ',m ')ðN n '=1ðMm '=1μ1(n ',m ')2ðN n '=1ðMm '=1μ2(n ',m ')2㊂(8)式中:N 和M 为计算相干性的图像块尺寸大小;n '和m '为数据块内行列号;μ1(n ',m '),μ2(n ',m ')为主辅影像数据块内影像坐标(n ',m ')处的复数值;㊃2为数据的二阶范数㊂确定偏移量分为像元级和亚像元级㊂像元级偏移量是在主图像中以控制点为中心选取一个匹配窗口,再在辅图像中选取一个相对较大的搜索窗口,在搜索窗中遍历匹配窗口,分别计算各自的相干系数,以相干系数最大的遍历位置确定图像像元偏移量,即中心像元位置差,以此决定要调整辅图像的行号数㊂A T I -S A R 成像间隔是毫秒量级,在此期间海面随机运动导致后天线记录的海浪纹理相比于前天线已经321中 国 海 洋 大 学 学 报2024年产生了一定的变化,图像间海浪纹理的相关性会急剧下降[20],因此在利用相关系数法获取图像间偏移量时,所选区的匹配窗口应包含陆地区域,以减小偏移量计算的误差㊂为提高顺轨有效基线计算精度,还可以进一步计算亚像元级偏移量㊂首先对匹配窗口和搜索窗口进行过采样,采用s i n c 函数插值的方法,插值间隔取0.1个像元㊂用同样的遍历方法可以确定亚像元级偏移量,此时主辅图像统一后的行号变为小数级㊂2.3基线矢量的投影顺轨有效基线几何示意如图2所示㊂图中S 1为主卫星对P 点成像时的瞬时位置;S 2为辅卫星对P 点成像时的瞬时位置;S 1与S 2所构成的矢量即为干涉基线B ң;主卫星的速度矢量为V ң;则基线矢量B ң在主卫星速度矢量方向的投影即为顺轨物理基线B V 为:B V =V ң㊃B ңVң㊂(9)当只有一个天线用于发射,两个天线都用于接收时,顺轨有效基线B e 是顺轨物理基线的一半㊂2.4有效基线方程的建立目前常用的方法是将成像区域中心行对应的两星位置及时刻和卫星速度等信息获得中心行对应的有效基线,并将该基线值应用于整个刈幅㊂然而,卫星按照轨道运行时,由于各方面的原因导致卫星姿态不稳定,对方位向各行像素点成像时两个卫星之间并不是一个固定的基线值,使得获取同一对干涉影像时顺轨有效基线的长度是一个随方位向上行号的变量㊂图2 有效基线几何示意图F i g .2 S c h e m a t i c d i a g r a m o f e f f e c t i v e b a s e l i n e g e o m e t r y为了解决上述问题,需建立顺轨有效基线与方位向上行号之间的关系式,以便获得每一行的顺轨有效基线值㊂通过式(5)㊁(6)㊁(9)可推导出针对单发双收模式顺轨有效基线B e 与成像行号的函数关系为:B e =(X s (t s )-X m (t m ))㊃V m x (t m )+(Y s (t s )-Y m (t m ))㊃V m y (t m )+(Z s (t s )-Z m (t m ))㊃V m z (t m )2 V 2m x (t m )+V 2m y (tm )+V 2m z (t m )㊂(10)式中t m 和t s 分别为主卫星和辅卫星对同一目标点成像的时刻,即:t m =[(n -1)/P R F ]+t m 0㊂(11)t s =[(n -1)/P R F ]+t s 0㊂(12)其中t m 0为主图像第一行成像时间,t s 0为辅图像与主图像配准后的第一行成像时间㊂3 应用结果分析将以上有效基线的计算方法应用于T a n D E M -X/T e r r a S A R -X 卫星,时间为2012年3月19日6:41,地点为奥尼克群岛地区㊂主图像的大小为20782ˑ18432,即行号从1到20782㊂选取从2012年3月19日6:41:15 6:41:32时间段,采用三次多项式拟合主卫星位置方程和速度方程分别为式(13)和式(14):X m t =1.6675ˑ1010-2.1461ˑ106t +91.7343t 2-1.3023ˑ10-3t 3Y m t =-7.3036ˑ109+9.0091ˑ105t -36.9589t 2+5.0421ˑ10-4t 3Z m t =-1.3028ˑ1010+1.5456ˑ106t -60.7747t 2+7.9185ˑ10-4t 3,(13)V m xt =-1.7811ˑ107+2.1345ˑ103t -0.0849t 2+1.1209ˑ10-6t 3V m yt =-6.6858ˑ106+8.7119ˑ102t -0.0377t 2+5.4323ˑ10-7t 3V m zt =-1.8412ˑ107+2.3647ˑ103t -0.1009t 2+1.429ˑ10-6t 3㊂(14)4211期刘昆池,等:星载I n S A R 方位向逐行的顺轨有效基线计算方法辅卫星的位置方程为式(15):X s t =1.6676ˑ1010-2.1463ˑ106t +91.7434t 2-1.3024ˑ10-3t 3Y s t =-7.3044ˑ109+9.0101ˑ105t -36.9632t 2+5.0427ˑ10-4t 3Z s t =-1.3028ˑ1010+1.5456ˑ106t -60.7780t 2+7.9189ˑ10-4t 3㊂(15) 使用相干系数法获得方位向平均偏移量为0.141,把午夜零时设定为0s ,则主卫星成像起始时刻为24079.8430,辅卫星成像起始时刻为24079.8388㊂将行号(1 20782)逐个通过式(7)获得所在行对应的主辅卫星成像的各自时刻,再通过轨道方程(13)㊁(14)㊁(15)获得主辅卫星的瞬时位置和主卫星瞬时速度㊂通过公式(10)即可得到对应各行的有效基线B e ㊂结果如图3(a)所示㊂针对T a n D E M -X /T e r r a S A R -X 卫星获取的另一对顺轨干涉数据(时间:2014年9月1日6:51,位置:苏格兰西南的艾莱岛附近),主图像的大小为:28200ˑ12790㊂利用同样方法获得的顺轨有效基线与主影像方位向行号关系如图3(b)所示㊂图3 顺轨有效基线与方位向行号关系图F i g .3 T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e e f f e c t i v e b a s e l i n e a l o n gt h e t r a c k a n d t h e a z i m u t h l i n e n u m b e r 从图3(a)可以看出,在整幅图像上,顺轨有效基线从41.7~43.6m ,变化范围约1.9m ㊂从另一对数据的结果(见图3(b))看,顺轨有效基线的变化范围也同样接近2m ㊂而通过传统方法计算的只是中心行对应的顺轨有效基线,两对干涉数据的顺轨有效基线分别为42.6和-17.7m ,与参考文献[10]所述顺轨有效基线大小接近㊂由于卫星轨道高度距地都有几百公里以上,无论是交轨干涉还是顺轨干涉,干涉结果对基线长度的变化十分敏感,将以上固定值应用于整幅图像无疑会带来较大误差㊂从图3(a )和3(b )还可看出,B e 与图像方位向行号呈线性变化,这不是必然结果,可能是由于两卫星在该幅图像成像期间,其姿态稳定,始终保持了平行㊂针对这样的结果,在后期应用时,可以使用拟合的线性方程来替代公式(10)的繁琐计算㊂两对干涉数据的顺轨有效基线与行号的简易线性方程如式(16)和式(17)所示:B e =41.6857+9.1847ˑ10-5n ,(16)B e =-18.4498+5.7769ˑ10-5n ㊂(17)通过T a n D E M -X /T e r r a S A R -X 卫星实测数据(时间:2012年3月19日6:41时,位置:奥尼克群岛地区)进行海面流速估计,以判断逐行顺轨有效基线对海面流场精度的影响㊂逐行使用不同的顺轨有效基线,海流流速反演结果如图4所示㊂图4 奥尼克群岛地区海流流速反演图F i g .4 I n v e r s i o n m a p o f o c e a n c u r r e n t v e l o c i t yi n t h e O n i k I s l a n d s a r e a521中 国 海 洋 大 学 学 报2024年分别使用传统基线计算方法和改进的基线计算方法进行海流流速反演,计算两幅图像方位向上每一行的流速均值,其结果如图5(a)所示,在方位向上每一行的海流流速差值如图5(b )所示㊂由图5(b )可知,在方位向上逐行使用不同的顺轨有效基线值能够一定程度提高海表面流速反演精度㊂图5 两种算法流速反演结果对比F i g .5 C o m p a r i s o n o f f l o w v e l o c i t y i n v e r s i o n r e s u l t s b e t w e e n t h e t w o a l go r i t h m s 4 结语本文通过轨道方程的确定㊁图像对偏移量的获取㊁基线矢量的投影及有效基线方程的建立四个步骤完成顺轨有效基线与方位向行号的函数关系式的建立,用以在主辅图像干涉时顺轨有效基线的精细化应用是对传统计算方法的改进,有效避免在整幅图像上使用固定基线带来的误差㊂通过T a n D E M -X /T e r r a S A R -X 实测干涉数据对所述改进方法进行了应用和检验,同时针对所使用干涉图像对的特殊线性关系建立了快捷方便的线性方程,避免了繁琐的计算,更有利于提高程序化运行效率㊂通过在整幅图像上精细化使用顺轨有效基线会对诸如海流反演方面有效提高反演精度㊂参考文献:[1] 何宜军,杨小波,矣娜,等.星载S A R 测量海洋流场研究进展[J ].南京信息工程大学学报(自然科学版),2020,12(2):181-190.H e Y J ,Y a n g X B ,Y i N ,e t a l .P r o gr e s s i n s e a s u i f a c e c u r r e n t r e -t r i e v a l f r o m s pa c eb o r n e S A R m e a s u r e m e n t s [J ].J o u r n a l o f N a n -j i n g U n i v e r s i t y o f I n f o r m a t i o n Sc i e n c e &T e c h n o l o g y,2020,12(2):181-190.[2] 刘巍,张韧,王辉赞,等.基于卫星遥感资料的海洋表层流场反演与估算[J ].地球物理学进展,2012,27(5):1989-1994.L i u W ,Z h a n g R ,W a n g H Z,e t a l .S e a s u r f a c e f l o w f i e l d r e t r i e v a l a n d e s t i m a t i o n b a s e d o n s a t e l l i t e r e m o t e s e n s i n g d a t a [J ].P r o gr e s s i n G e o p h ys i c s 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n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,a r e s e a r c h o n t h e i m p r o v e m e n t o f t h e c a l c u l a t i o n m e t h o d o f t h e e f f e c t i v e b a s e-l i n e a l o n g t h e o r b i t o f s p a c e b o r n e I n S A R i s c a r r i e d o u t.F i r s t,t h e p o l y n o m i a l i s u s e d t o f i t t h e s a t e l l i t e o r b i t e q u a t i o n,a n d t h e c o h e r e n c e c o e f f i c i e n t m e t h o d i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e p i x e l o f f s e t o f t h e i m a g e p a i r t o b e r e g i s t e r e d.B y e s t a b l i s h i n g t h e e f f e c t i v e b a s e l i n e a l o n g t h e o r b i t T h e l i n e-b y-l i n e e f f e c t i v e b a s e l i n e i s o b t a i n e d b y t h e f u n c t i o n a l r e l a t i o n s h i p w i t h t h e a z i m u t h l i n e n u m b e r,w h i c h s o l v e s t h e e r r o r p r o b l e m c a u s e d b y u s i n g a f i x e d e f f e c t i v e b a s e l i n e i n t h e e n t i r e i m a g e.T h e i m p r o v e d m e t h o d i n t h i s p a p e r i s a p p l i e d a n d t e s t e d b y t h e m e a s u r e d i n t e r f e r o m e t r i c d a t a o f T a n D E M-X/T e r r a S A R-X,a n d a f a s t a n d p r a c t i c a l l i n e a r e q u a t i o n i s e s t a b l i s h e d f o r t h e s p e c i a l l i n e a r r e l a t i o n s h i p o f t h e u s e d i n t e r f e r o m e t r i c i m a g e p a i r.B y r e f i n i n g t h e u s e o f a n e f f e c t i v e b a s e l i n e a l o n g t h e t r a c k o n t h e e n t i r e i m a g e,i t w i l l e f f e c t i v e l y i m p r o v e t h e i n v e r s i o n a c c u r a c y,s u c h a s o c e a n c u r r e n t i n v e r s i o n.K e y w o r d s:i n t e r f e r o m e t r i c s y n t h e t i c a p e r t u r e r a d a r(I n S A R);e f f e c t i v e b a s e l i n e a l o n g t h e t r a c k;o r b i te q u a t i o n;o c e a n c u r r e n t i n v e r s i o n责任编辑庞旻721。
山师附中2022届新高考物理一轮专题复习-电场的能的特性(基础)
高考专题-电场能的特性一、选择题1、某静电场的电场线分布如图所示，图中P 、Q 两点的电场强度的大小分别为E P 和E Q ，电势分别为U P 和U Q ，则（ ） A ．E P ＞E Q ，U P ＞U QB ．E P ＞E Q ，U P ＜U QC ．E P ＜E Q ，U P ＞U QD ．E P ＜E Q ，U P ＜U Q2、电场线分布如图所示，电场中a ，b 两点的电场强度大小分别为已知a E 和b E ，电势分别为a ϕ和b ϕ，则（ ）A. a b E E >，a b ϕϕ>B. a b E E >，a b ϕϕ<C. a b E E <，a b ϕϕ>D. a b E E <，a b ϕϕ< 3、一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动．取该直线为x 轴，起始点O 为坐标原点，其电势能E p 与位移x的关系如右图所示．下列图像中合理的是( )4、如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是( )A ．1、2两点的场强相等B ．1、3两点的场强相等C ．1、2两点的电势相等D ．2、3两点的电势相等5、如图所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x 轴垂直于环面且过圆心O. 下列关于x 轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )A ．O 点的电场强度为零，电势最低B ．O 点的电场强度为零，电势最高C ．从O 点沿x 轴正方向，电场强度减小，电势升高D ．从O 点沿x 轴正方向，电场强度增大，电势降低6、某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是（ ）A ．c 点场强大于b 点场强B ．a 点电势高于b 点电势C ．若将一试探电荷+q 由a 点释放，它将沿电场线运动b 点D ．若在d 点再固定一点电荷-Q ，将一试探电荷+q 由a 移至b 的过程中，电势能减小7、如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB=BC ，电场中的A 、B 、C 三点的场强分别为E A 、E B 、E C ，电势分别为A ϕ、B ϕ、C ϕ，AB 、BC 间的 电势差分别为U AB 、U BC ，则下列关系中正确的有（ ）A. A ϕ＞B ϕ＞C ϕB. E C ＞E B ＞E AC. U AB ＜U BCD. U AB ＝U BC8、如图所示，一电场的电场线分关于y 轴（沿竖直方向）对称，O 、M 、N 是y 轴上的三个点，且OM=MN 。
2023年教师资格(高级中学)-数学知识与教学能力(高中)考试备考题库附带答案6
2023年教师资格（高级中学）-数学知识与教学能力（高中）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共60题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 《普通高中数学课程标准（实验）》中对于数学课程目标的阐述体现了（）的有机结合。
A. 知识与技能、过程与方法、情感态度价值观B. 知识技能、问题解决、数学思考C. 知识技能、数学思考、情感与态度D. 解决问题、数学思考、情感与态度正确答案：A,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程，努力体现数学知识中蕴涵的（）和内在联系。
A. 哲理B. 哲学思想C. 基本思想方法D. 逻辑思想正确答案：C,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设f(x)在（-∞，+∞）上有定义，则下列函数中为奇函数的是（）。
A. y=f(x)+f(-x)B. y=x[f(x)-f(-x)]C. y=x3f(x2)D. y=f(-x)f(x)正确答案：C,入相关数据组成传输信息。
设定原信息为a0a1a2，a1∈0，1}(i=0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0十a1,h1=h0十a2,十运算规则为：0十0=0, 0十1=1, 1十0=1, 1十1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111。
传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错。
则下列接收信息一定有误的是（）。
{A. 11010B. 01100C. 10111D. 00011正确答案：C,5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 下列不属于《普通高中数学课程标准(实验)》提出的五大基本能力的是（）。
A. 抽象概括能力B. 运算能力C. 逻辑推理能力D. 数据处理能力正确答案：B,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，D 点在直线3x+y+1=0上移动，则B点轨迹的方程为（）。
电磁场(山东大学)知到章节答案智慧树2023年
电磁场（山东大学）知到章节测试答案智慧树2023年最新第一章测试1.已知如图所示半径为R的半圆柱面均匀分布面电荷密度为s，假设该半圆柱面轴向长度为无限长，放置在真空中，则半圆柱轴线上的电场强度E大小为（）。
参考答案:2.两同心金属球内外半径分别为a和b，中间为理想电介质e=3e0，内、外球面之间的电压为U，则介质中的外球表面（半径为b）电位移矢量D大小为( )。
参考答案:3.电场强度E通过一个闭合曲面的通量等于零，意味着( )。
参考答案:该闭合曲面内正电荷等于负电荷4.参考答案:不能5.半径为a的长直圆柱导线通恒定电流I。
外面包一层半径为b的绝缘材料，磁导率为m ¹ m0，绝缘层内表面（半径为a）中的极化强度M大小为（）。
参考答案:6.下面关于磁感应强度方向的说法哪些是正确的( )。
参考答案:与产生磁场的电流成右手螺旋关系;与产生磁场的电流方向以及电流流经导线的受力方向共同构成的平面垂直7.极化电荷的存在使得介质内部的电场强度增大。
参考答案:错8.长直载流导线附近有一单匝矩形线框与其共面，如图所示。
设电流i(t)= I0，线框以速度v0向右平行移动,此时回路中的感应电动势大小为（）。
参考答案:9.关于D的下列公式中，对于任何介质都成立是（）。
参考答案:10.时变电磁场基本方程组中J.C.Maxwell贡献最大的是（）。
参考答案:第二章测试1.已知半径为R的无限长圆柱体内均匀分布体电荷ρ，介电常数为ε，圆柱内外的电场强度与距离圆柱轴心的径向距离有何关系？（）参考答案:柱内电场强度随距离增大而增大，柱外电场强度随距离增大而减小2.任意对称形状的单个导体都可以通过默认另外一个电极在无穷远处，利用电容的定义式进行单个导体电容值的计算。
（）参考答案:错3.关于静电能量，下列说法正确的是（）。
参考答案:电场能量来源于电场建立过程中外力提供的能量;在线性介质中，静电能量的数值取决于电场最终状态，与电场的建立过程无关;静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场，则外力反抗电场力做功，这部分功会转变为静电场能量储存在场中，使静电能量增加4.图示高压电力线杆塔上悬挂的绝缘子串共有五个导体组成，部分电容的个数为（）。
论文-机械模态分析
北京信息科技大学《机械模态分析与实验》课程报告题目模态分析的概念、应用和发展学院机电工程学院专业班级车辆工程研0901班学生姓名王群娜学号2009020041指导教师王科社模态分析的概念、应用和发展王群娜WANG Qunna（北京信息科技大学机电工程学院，北京100192）摘要：作为结构动力学反问题主要研究手段的实验模态分析技术已经成为振动工程领域最重要的工具之一，本文主要介绍了模态分析理论的基本概念，应用和发展，使我们对模态分析有了一些基本的理解。
关键词：模态分析；基本概念；应用；发展11 引言作为结构动力学反问题主要研究手段的实验模态分析技术已经成为振动工程领域最重要的工具之一。
传统的实验模态分析与参数辨识技术是基于频率响应函数的测量而展开的，它要求对实际结构施加一组可控、可观的激励，同时测取其响应，通过输入输出数据辨识动力学特性。
然而，现代结构遇到的困难是，研究对象或者无法施加人工激励，如在轨飞行器等；或者人工激励代价昂贵或有破坏性，如桥梁，高耸结构、海洋平台等；或者结构在工作状态下自身承受的环境激励不可测控，如机翼颤振、桥梁风振、机床切削颤振以及地震等情形。
由此提出了只在响应可测的条件下对结构动力学参数辨识的问题，称为“工况模态分析（Operational ModalAnalysis）”。
在实际工作状况下，实测的响应更能够真实地反映结构本身的固有特征、边界条件及环境载荷特性，与主动控制、系统监测和设备健康诊断等工程应用直接相关。
所以，特别期望使用工况模态分析技术而不是传统方法来真正获得运行条件下的特征参数。
该项技术已被视为对传统方法的挑战、创新和超越，可望引起对模态分析理论及应用的全面推动。
在美国应用力学学会(SEM)主办的国际模态分析年会（IMAC）上，大约从1995年至今，每届都有大量的文献和成果发表，已成为结构动力学参数辨识研究前沿[1]。
2 模态分析的概念及基本理论2.1 概念模态分析是对一个由若干部分（或质点系）组成的以某种方式与若干无质量的刚度连接的系统进行分析，进而确定动力学特征（固有频率和模态振型）的过程。
2.6微分方程应用举例
.
2
时，正交轨线满足的微分方程是 :
1 y . y' x
求解上的微分方程得通积分 — —正交轨线 x2 y 2 C.
5
x2 y2 例2：试求曲线族 2 2 =1的正交轨线 a a C (其中a为已知常数，C为参数）。
例3：（人口模型）某国的人口增长与全国人口成
正比，如果连年后人口增加一倍，三年之后人口 总数为20，000，试估计该国最初人口数量。
400
300
200
100
0
MATLAB命令求解:
Y0=[100,20]; [t,Y]=ode23('fox',[0,20],Y0); x=Y(:,1);y=Y(:,2); figure(1),plot(t,x,'b',t,y,'r') figure(2),plot(x,y)
0
5
10
15
20
----y1
从而可求出等角轨线l：y1 = y1(x)满足的微分方程 y1/ k F ( x, y1 , ) 0. ( ) / 1 y1 k 2
时，正交轨线满足的微分方程是 1 F ( x, y1 , / ) 0. y1
而
2
为简单起见，常用y来取代y1。
4
例１ 求直线束y Cx的等角轨线和正交轨线.
14
dw 令w(t)为t时刻的含水量（单位：千克），则 dt 是t时刻的蒸发速度。 题设 空气饱和湿度 = 0.12千克/米 3， 开始时室内湿度 = 0.12×25% = 0.03千克/米 3， 故t时刻的差值为 3-w(t) 1 0.12 （0.03+ ）= ( w 6). 100 100
山师附中2022届新高考物理一轮专题复习-带电粒子在电场中运动的临界问题
2022届高三物理强化练习：带电粒子在电场中运动的临界问题一、单选题1.如图所示，固定的光滑绝缘斜面OM与光滑绝缘水平面平滑连接(不考虑滑块经过M点的能量损失)，倾角θ=37°，斜面和水平面所在空间存在着平行于斜面向上的匀强电场，电场强度E=103N/C.现有质量为m=1kg，带电量为q=2.0×10−3C的带正电的小滑块(可视为质点)从O点由静止释放恰好滑至水平面的N点．(g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)，则OM与MN的长度之比为()A. 2:5B. 3:5C. 1:1D. 2:32.如图所示，A、B为水平放置平行正对金属板，在板中央分别有一小孔M、N，D为理想二极管，R为滑动变阻器。
闭合开关S，待电路稳定后，将一带负电荷的带电小球从M、N的正上方的P点由静止释放，小球恰好能运动至小孔N处。
下列说法正确的是A.若仅将B板下移，带电小球仍将恰好运动至小孔N处B. 若仅将B板上移，带电小球将从小孔N穿出C. 若仅将R的滑片上移，带电小球会运动至N处D. 若仅断开开关S，带电小球仍将恰好运动至小孔N处3.如图所示，水平向右且范围足够大的匀强电场空间内，一质量为m的带电小球，通过一长度为l的不可伸长的绝缘轻绳悬挂于水平天花板上O点，静止时轻绳与竖直方向夹角为θ。
现用外力将小球缓慢移到O点正下方B点，然后撤去外力，将小球由静止开始无初速度释放。
小球运动过程中轻绳始终绷直，已知θ为锐角，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确是()A.外力对小球做功为0B. 小球运动到A点时机械能最大C. 小球到达最高点时轻绳的拉力大小为mgD. 小球运动过程中速度最大值为√2gl(1−cosθ)4.如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E=1×104N/C的匀强电场。
在匀强电场中有一根长L=2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°=0.8，g取10m/s2。
正交线与平行线的关系初中数学教案
正交线与平行线的关系初中数学教案作为初中数学中的重要知识点，正交线与平行线的关系一直备受教师们和学生们的关注。
正交线是指交角为90度的两条直线，而平行线则是不相交、方向相同的两条直线。
这两种直线之间的关系有很多不同的方面，下面我们来深入了解一下它们的关系以及它们在实际生活当中的应用。
一、正交线与平行线的概念与特性1、正交线的概念两条直线在其交点处的角度为90度时，这两条直线就被称为正交线。
比如我们经常见到的两条垂直的墙壁，就是两条正交线。
2、平行线的概念两条直线如果不相交且方向相同，那么这两条直线就被称为平行线。
比如铁路上的两条铁轨就是两条平行线。
3、正交线与平行线的特性正交线有一个重要的特性，就是它们的斜率相乘等于-1。
也就是说，如果一条直线的斜率为k，那么与其正交的直线的斜率就为-k，且这两条直线的乘积为-1。
平行线的斜率相同。
也就是说，如果有两条直线都与第三条直线平行，那么它们的斜率也是相同的。
这种性质可以帮助我们在解决一些几何问题时更加简单、快捷地找到所需的答案。
二、正交线与平行线的关系正交线和平行线之间的关系有很多不同方面。
比如说，正交的两条直线一定不会相交，而平行的两条直线永远也不会在交点处相交。
但是，正交线和平行线之间的关系并不是绝对独立的，也就是说，它们之间有时也会存在一些联系。
比如，两条平行线可能会与第三条直线成为正交关系。
同样的，两条正交的直线也可能会与第三条直线成为平行关系。
这些联系通常是在几何问题中被应用的，帮助我们更好地解决问题。
三、正交线与平行线的应用正交线与平行线的关系在我们的生活中有许多应用。
比如，在建筑设计中，我们经常需要用到正交线来确保建筑物的平衡和稳定。
此外，正交线平行线也被广泛应用在技术和自动化控制系统中，以便实现准确的定位和导航。
另外，正交线和平行线也在数学问题中得到广泛应用。
比如，我们经常需要使用正交线来求解三角函数中的余弦和正弦。
同样的，平行线也被广泛使用于几何证明问题中，可以帮助我们更好地理解各种证明方法和技巧。
第20讲 均匀平面电磁波的传播(2)
ε=ε0、ζ = 5.8×107 S/m。 解：对于频率范围的低端 fL =10kHz ，有 假 5.8 107 设 1.04 1014 1 L 2 104 1 109 不 36 好 对于频率范围的高端 fH =100MHz ，有
良导体
5.8 107 1.04 1010 1 H 2 108 1 109 36
第20讲
均匀平面电磁波的传播（2）
——均匀平面波在导电媒质中传播
目录
均匀平面波在 导电媒质中的 传播 色散与群速 各向异性媒质中 传播（简介）
一般导电媒质 弱导电媒质
良导电媒质
1 导电媒质中的均匀平面波
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流 J = E 存在，同时
z Ε ( z ) ex Εxm e ex Εxm e z e jz 瞬时值形式 E ( z, t ) ex Exm e z cos(t z )
令 jkc j ，则均匀平面波解为
称为电磁波的传播常数，单位：1/m
e z 是衰减因子， 称为衰减常数，单位：Np/m（奈培/米） jz是相位因子， 称为相位常数，单位：rad/m（弧度/米） e
合成波电场
E ( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t ) ex 2 Em cos(t z ) cos(0t 0 z )
振幅，包络波，以角频率 缓慢变化
行波因子，代表沿 z 轴传播的行波
E ( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t ) ex 2Em cos(t z) cos(0t 0 z)
《信号与系统》课程的MATLAB仿真——从一道例题展开
1 带通滤波系统的MATLAB仿真
清华大学郑君里教授主编的教材《信号 与系统》(第三版，高等教育出版社)的上册第
301页有一道关于调幅信号作用于带通系统的 例题，题干如下(略作改动)：
已知带通滤波器转移函数为
V.(s)
2s
日炉顾=/ + 2s+ 10001，激励信号为
x(0=(1+cosZ)cos( 100?),求稳态响应 y(t). 上述例题中激励信号是一种典型的调幅信
°° ....... \
Pole-Zero Diagram
^":
S
.............. T\-
频谱是《信号与系统》课程中极为重要的 概念，时域信号与频谱之间通过傅里叶变换联 系-频谱分析的目的是把复杂的时间历程波形, 经过傅里叶分析分解为诸多谐波分量来研究, 以获取动态信号中的各个频率成分幅度和相位 分布，从而得到主要幅度和能量分布的频率值, 完成对信号信息的定量解释-激励信号可以写 成x(/)=cos(100t)+0.5cos(101/)+0.5cos(9/),基于 MATLAB程序的时域波形及其频谱图如下： %%信号波形
从图1可以看出输入信号的包络线按照 1+cos/变化，变化周期为2it,最大振幅为2, 对应的位置点为2n“处.频谱图中采样频率 Z=100Hz,奈奎斯特频率为//2=50Hz,谱图对奈 奎斯特频率呈现对称性，频谱的峰值在16Hz左 右，对应于原信号中角频率为lOOras/s (线频率
陈昌兆：《信号与系统》课程的MATLAB仿真
第40卷第3期 2021 年 5 月
曲靖师范学院学报 JOURNAL OF QUJING NORMAL UNIVERSITY
2022-2023学年山东省潍坊高密市第三中学高二下学期3月月考物理试题
2022-2023学年山东省潍坊高密市第三中学高二下学期3月月考物理试题1.如图所示为某新型电磁船的实物图和俯视图，为固定在船底的平行金属板，海水可以在它们之间贯穿而过。
船上装有产生强磁场的装置，可在两平行金属板间海水中的虚线框内产生强磁场。
如图，直流电源接在间，导电的海水在磁场作用下即可推动该船运动。
闭合开关S后，要使船向前进，虚线框中的磁场方向应该是（）A．竖直向上B．竖直向下C．水平向左D．水平向右2.如图所示的电路中，灯泡、电阻相同，自感线圈的电阻跟灯泡相差不大，在时刻将断开，那么流过灯泡的电流随时间变化的图象正确的是（）A．B．C．D．3.质谱仪可以用来分析同位素。
如图所示，在容器A中有互为同位素的两种原子核，它们可从容器A下方的小孔无初速度飘入加速电场，经小孔垂直进入匀强磁场，分别打到M、N两点，距离分别为．则分别打到M、N的原子核质量之比为（）A．B．C．D．4.如图所示，在真空中有两根长而直的平行导线，其中只有一根携带稳定的电流，其方向未知。
一个电子在两根导线确定的平面内沿着如图所示的路径从点Q移动到点P。
以下哪一种表述是正确的（）A．导线携带电流，方向从D流到C B．导线携带电流，方向从C流到DC．导线携带电流，方向从A流到B D．导线携带电流，方向从B流到A5.据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持。
如图乙，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面同时加有匀强磁场2和匀强电场（图中没画出），磁场1与磁场2的磁感应强度大小相等，已知电子电量为e，质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v的匀速圆周运动。
则以下说法不正确的是（）A．电场方向垂直环平面向里B．电子运动周期为C．垂直环平面的磁感强度大小为D．电场强度大小为6.图中T是绕有两组线圈的闭合铁心，线圈的绕向如图所示，D是理想的二极管，金属棒ab可在两条平行的金属导轨上沿导轨滑行，磁场方向垂直纸面向里，若电流计G中有电流通过，则ab棒的运动可能是（）A．向左匀速运动B．向右匀速运动C．向左匀加速运动D．向右匀加速运动7.如图所示，直角三角形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，，。
darts实验的原理
darts实验的原理
Darts实验是一种用来研究离子轨迹和束流特性的实验方法。
它使用了一个设计精巧的电场来控制离子束的运动。
以下是这个实验的基本原理：
1. 离子源：实验中需要一个离子源，通常是一个电离器。
离子源可以产生高能离子束。
2. 加速电场：在离子源之后设置一个电场，用来加速离子束。
这个电场通常由两个电极组成，形成一个加速管。
3. 投影电场：在加速电场之后设置一个投影电场。
这个电场的作用是将离子束聚焦成一个小的束流，并控制束流在空间中的运动。
4. 监测装置：在离子束的路径上设置一个监测装置，通常是一个荧光屏或者一个探测器。
这个装置用来测量离子束的轨迹和光强，以及其他束流特性。
5. 调节和分析：根据实验需求，可以通过改变电场强度、改变电极形状或位置等方式来调节离子束的轨迹和特性。
然后使用相应的仪器和分析方法来分析和记录实验结果。
通过上述原理，可以实现对离子束的聚焦、定位和操控，从而探究离子束的物理性质以及在实验室和应用中的潜在应用。
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正交轨线在电场中的应用
专题摘要：给出正交轨线的概念及求已知曲线族的正交轨线的方法。
指出带正电荷的电场中，电力线与等势面中的任意曲线都正交，证明了带电量为q 的正电荷激发出电场的电力线为一族从q 出发的射线族时，等势面为以q 为中心的同心圆族。
求曲线或曲线族，使得它与已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度。
这样的曲线或曲线族称为已知曲线族的等角轨线。
当给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线。
等角轨线在天文，气象，电磁场中有着成功的应用。
设在xoy 平面上，给定一个曲线族0),,(=C y x L ϕ：，求这样的曲线l ，使得l 与L 中每一条曲线的交角都是定角α（如图1所
示）。
设
l 的方程为)(1x y y =，则 )(1x y 和)(1
x y '与曲线L 及其切线的斜率
y '有如下关系：
当2
π
α≠
时，
k tg y
y y y ==''+'-'α11
1， 或 1
1
1y k k y y '+-'=
' （1） 当2
π
α=
时，
1
1
y y '-
='， （2） 由于在交点处，)()(1x y x y =，所以， x ，y ，y '应满足某微分方程
0),,(='y y x F ， （3）
现在求微分方程（3）的表达式。
设)(x y y =为L 中的任一条曲线，则存在相应的C ，使得
0)),(,(≡C x y x ϕ， （4）
上式对x 求导，得
0)()),(,()),(,(≡''+'x y C x y x C x y x y x ϕϕ， （5）
联立方程式（4）、（5）并消去常数C ，可得关于)(),(,x y x y x '满足的关系式0),,(='y y x F 。
该关系式称为曲线族L 的微分方程。
于是，等角轨线)2
(π
α≠
的微分方程为
0)1,
,(1
1
1='+-'y k k y y x F ， （6） 正交轨线的微分方程为
0)1
,,(1
1='-
y y x F 。
（7） 为了避免符号的麻烦，可将上两方程中的1y 换成y 表
示，只
要我们明确它是所求的等角轨线的方程即可。
在电场中，电势相等的点所构成的曲面称为等势面。
电荷q 在等势面上运动，电场力对电荷不作功，即q 0=⋅dl E ，由于电荷q 、电场强度E 和位移dl 均不为零，因此上式成立的条件是电场强度E 必须与dl 垂直，即某点大电场强度E 与该点的等势面垂直（如图2所示）。
假定有一带电量为q 的正电荷，在电荷周围激发出一个电场，电场线为一族从q 出发的射线（如图3所示，图为通过点电荷q 的平面图）。
通过以上论述，该电场的等势面应为等势面上任意一点的切平面都与电场线垂直。
当从q 点出发的射线束为Cx y =时，等势面就是与射线束正交的轨线。
对直线族Cx y =求导得C y ='， 将y C '=代入到直线族Cx y =中得微分方程
x
y
dx dy =， （8） 当2
π
α=
时，利用（7）式得正交轨线的微分方程为
y
x dx dy -=， 或
0=+ydy xdx ，
从而得正交轨线是同心圆族：C y x =+22。
通过以上讨论我们知道，当带电量为q 的正电荷激发出电场的电场线为一族从q 出发的射线族
时，等势面为以q 为中心的同心圆族。