《穿针引线法》的教学设计

《一元二次不等式的应用（1）》教学设计

高二数学备课组

何

泽

2009/11/1

课题：一元二次不等式的应用（

1）

教学目标：

（1）知识与技能：能够把分式不等式转化为一元二次不等式求解，掌握“穿针引线法”求解分式不等式和简单的高次不等式。

（2）过程与方法：通过尝试与归纳得出基本方法，并熟练应用。（3）

态度、情感、价值观：体会数学知识的联系，感受划归思想。

教学重点：求解分式不等式和简单的高次不等式教学难点：在不等式转化过程中如何保证等价性教学过程：一、引入课题1、小练习：解不等式①（x+1）(2x-1)<0②（x-2）(1-x)<0

③（2x+1）(x+2)

0④（1-2x ）(1+x)0

（学生练习完成，老师点评。师生共同复习“三个一元二次”的关系）2、思考：解不等式

①x+1<02x-1

②x-2<01-x ③2x+10

x+2

④

1-2x 0

1+x

二、新课1、对于练习题

2中这样的分式不等式，我们可以考虑等价变形去掉分母，

思路（1）：

对分母分正负情况讨论，去分母，注意不等式是否改变方向；（略）

思路（2）：

可以利用不等式的性质给不等式左右同时乘以分母的完全平方。①可化为（x+1）(2x-1)<0②可化为（x-2）(1-x)<0

③可化为（2x+1）(x+2)

0且2x ④可化为（1-2x ）(1+x)0且1

x 试着与练习1中的不等式比较，解略

概括：原来将这些不等式去掉分母，我们就相当熟悉了！尤其是第二种方法更简单，不过不等式含等号的时候要特别注意等价性啊！2、上面练习题中的

2组不等式，有个共同特点那就是不等式的右边为

0，左边可以

分解因式。下面的不等式也具有这样的特点，又该如何解决？例题1 解不等式：(1)(2)(3)

x x

x

析：这是个一元三次不等式，我们也可以利用函数来解决。设

()(1)(2)(3)

f x x x x （1）显然函数()f x 的图像与x 轴的交点有3个，坐标分别为（1，0）（2，0）（3，0）；（2）函数()f x 的图像把x 轴分成了四个不相交的区间，它们依次为

1（，），（1，2），（2，3），（3，+）

（3）当x>3时，()

0f x ，函数的图像是一条不间断的曲线，并且

()f x 的符号每

经过x 轴的一个交点就会发生一次变化，由此如图：

变化规律就很明显，从右到左每个区间的符号正负相间。通过分析，不等式

(1)(2)(3)

0x x x 的解集为（1，2）（3，+）

我们把这种求解不等式的方法称为“穿针引线法”。

例2：解不等式（1）

11

x

（2）

2

(2)(4)0x x （x-3）（3）x （1-x ）(2+x)>0

过程板演略。实际上，对于右边为0，左边完全分解因式的不等式一般都可以使用

“穿针引线法”，它的基本步骤和注意事项：

(1)变形（右边为0，左边完全分解因式，未知数的系数要为正）(2)标根（从左到右依次增大，注意实根和虚根）(3)穿根（从右上开始，奇次穿透，偶次不穿透）(4)结论（上正下负，写成集合形式或用区间表示）3、课堂练习（教材

83P -3，4）

4、课堂小结：本节课咱们主要学习了求解分式不等式和简单的高次不等式的方法，特别是“穿针引线法”的运用，要注意各细节。

5、课后作业（教材87P -7，8）

6、板书设计课后反思