江苏省宿迁市马陵中学2015届高考数学 1.1 集合的概念及其基本运算复习测试
2015年江苏高考数学试卷带详解
2015江苏高考理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应．．．位置．．上．. 1. (15江苏高考)已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B 中元素的个数为_____.【参考答案】5【测量目标】集合并集及其运算. 【试题分析】{1,2,3,4,5}A B =，A B ∴中的元素个数为5.2. (15江苏高考)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，那么这组数据的平均数为_____. 【参考答案】6【测量目标】平均数的计算. 【试题分析】1(465876)66x =+++++=，∴这组数的平均数为6.3. (15江苏高考)设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为_____. 【参考答案】5【测量目标】复数的基本运算. 【试题分析】2z =222345z =+=,5z ∴=.4. (15江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_____.第4题图【参考答案】7【测量目标】流程图.【试题分析】 (1)1S =，18I =<，23S S =+=，34I I =+=； (2)48I =<，25S S =+=，37I I =+=；（3）78I =<，27S S =+=，310I I =+=； (4)8I >，print S ，S =7； ∴输出的结果S 为7.5. (15江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.【参考答案】56【测量目标】随机事件与概率. 【试题分析】 从中随机一次摸出2只球的所有可能出现的结果为：（白，红），（白，黄1）， （白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）总共有6种可能，显然2只球颜色不同有5种可能. 56P ∴=. 6. (15江苏高考)已知向量()2,1=a ，()1,2=-b ，若(9,8)(,)m n m n +=-∈R a b ，则m n -的值为_____. 【参考答案】-3【测量目标】平面向量的坐标运算.【试题分析】 m n +a b (2,2)m n m n =+-(9,8)=-，29,28.m n m n +=⎧⎨-=-⎩∴，得25m n =⎧⎨=⎩，3m n ∴-=-.7. (15江苏高考)不等式224x x-<的解集为_____.【参考答案】(1,2)- 【测量目标】解不等式. 【试题分析】224xx-<，即2222xx-<22x x ∴-<，得12x -<<，∴解集为(1,2)-.8. (15江苏高考)已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_____. 【参考答案】3【测量目标】两角和与差的正切公式. 【试题分析】tan tan()βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++127311(2)7+==+-.tan 3β∴=.9. (15江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_____. 【参考答案【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算. 【试题分析】221196=54+28=33V ⋅⋅⋅⋅⋅总πππ，设新的底面半径为r ，则有：+=V V V 锥柱总，2211968433r r ∴⋅⋅+⋅⋅⋅=πππ，解得r =10. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____.【参考答案】()2212x y -+=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的标准方程. 【试题分析】圆心到切线210mx y m ---=的距离为r，r ∴====2，∴最大的半径，∴半径最大圆的标准方程为()2212x y -+=.11. (15江苏高考)设数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+*()n ∈N ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为_____. 【参考答案】2011【测量目标】数列的通项和性质. 【试题分析】11n n a a n +-=+，即1n n a a n -=+，又11a =，1(1)1232n n n n a a n n -+∴=+==++++=， 1112()1n a n n ∴=-+前10项的和为101ii a ==∑1111112(1)22331011-+-+-+-12(1)11=-=2011. 12. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为______.【参考答案】2【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】设p 点坐标为()00,x y ，则点P 到直线10x y -+=的距离d=001x y =-+，又p 在双曲线上，即()()22000000 1.x y x y x y -=-+= 从而00001x y x y -=+.∴d=00112x y ⋅++22，dc ∴.13. (15江苏高考)已知函数()ln f x x =，20,01,()42, 1.x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩则方程()()1f x g x +=实根的个数为_____.【参考答案】4【测量目标】方程的根.【试题分析】根据题意ln ,01,()ln , 1.x x f x x x -<⎧=⎨>⎩，220,01,()2,12,6, 2.x g x x x x x <⎧⎪=-<⎨⎪->⎩22ln ,01,()()ln 2,12,ln 6, 2.x x f x g x x x x x x x ⎧-<<⎪⎪+=+-⎨⎪+->⎪⎩分情况讨论：当01x <时，()()1f x g x +=有1个解1x e=，∴此时有一个根.当12x<时，()()f x g x +单调递增，且(1)(1)1f g +=，(2)(2)2ln 21f g +=->，∴此时有一个根.当2x >时，()()f x g x +先减后增，且(2)(2)2ln 21f g +=->，(2.3)(2.3)1f g +<，∴此时()()f x g x +与1y =有两个交点，即()()1f x g x +=有两个根.综上，方程()()1f x g x +=的实根共有4个.14．(15江苏高考)设向量(cos ,sin cos )666k k k k =+πππa (0,1,2,,12)k =，则1110()k k k +=∑a a 的值为_____. 【参考答案】【测量目标】向量的乘积运算和数列的求和. 【试题分析】(cos,sin cos )666k k k +⋅πππ(1)(1)(1)(cos ,sin cos )666k k k ++++πππ(1)(1)(1)cos cos sin sin cos sin 666666k k k k k k +++=⋅+⋅+⋅ππππππ(1)(1)sin cos cos cos 6666k k k k +++⋅+⋅ππππ(1)coscos 66k k +=ππ(1)(1)sin sin cos cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)(1)cos sin sin cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)coscos cos sin()66636k k k +=⋅+++πππππ. 1110()k k k +=∴⋅=∑a a 111111000(1)cos cos cos sin()66636k k k k k k ===+⋅+++∑∑∑πππππ.11(1)coscos 66k k k =+⋅=∑ππsin()36k +ππ以1111,1,,,1,2222---为周期循环，110sin()0.36k k =+=∑ππ110cos6k ==∑π，1110()0k k k +=∴⋅==∑a a . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (15江苏高考)（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =. （1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值.【测量目标】(1)余弦定理的应用； (2)正弦定理的应用.【试题解析】（1）由余弦定理知，2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，所以BC =(2)由正弦定理知，sin sin AB BC CA =,所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==. 因为AB BC <,所以C为锐角，则cos C ===. 故sin 2C 2sin cosC C =⋅2777=⨯=.16. (15江苏高考)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设1AB 的中点为D .11B C BC E =.求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥.第16题图【测量目标】(1)线面平行的判定；(2)线线垂直的判定和性质.【试题解析】证明：（1）由题意知，E 为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点，因此//DE AC . 又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE //平面11AAC C . （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC .因为AC ⊂ 平面ABC ，所以1AC CC ⊥.又因为AC BC ⊥,1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂ 平面11BCC B ，1BCCC C =，所以AC ⊥平面11BCC B .又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥.因为1BC CC =，所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥. 因为1,AC B C ⊂平面1B AC ,1AC B C C =，所以1BC ⊥平面1B AC .又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥. 17．(15江苏高考)（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为1l ，2l ，山区边界曲线为C .计划修建的公路为l . 如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到1l ，2l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到1l ，2l 的距离分别为20千米和2. 5千米.以2l ，1l 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中,a b 为常数）模型.(1)求,a b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.第17题图【测量目标】(1)利用导数研究函数的极值和单调性； (2)直线与曲线的位置关系.【试题解析】 （1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5.将其分别代入2a y xb =+，得40,25 2.5.400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ （2）①由（1）知，21000y x=(520)x ，则点P 的坐标为21000(,)t t，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x '=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t-=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0,)B t .故22233000()()()2t f t t =+62434102t t⨯=+[]5,20t ∈. ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得102t = 当(5,102t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()102,20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数. 从而，当102t =()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l的长度最短，最短长度为. 18. (15江苏高考)（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于,P C ,若2PC AB =，求直线AB 的方程.【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】（1）由题意，得2c a =且23a c c+=.解得a =1c =，则1b =. 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）当AB x ⊥轴时，AB =又3CP =,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k xk x k +-+-=，则1,2x =.C 的坐标为2222(,)1212k k k k -++，且AB ==22)12k k +=+.若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++，则P 点的坐标 2252(2,)(1+2)k k k +-，从而(()2223112k PC k k+=+.因为2PC AB =，所以(())222223111212k k kk k++=++，解得 1.k =±此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+.19. (15江苏高考)（本小题满分16分） 已知函数32()f x x ax b =++ (,)a b ∈R （1）试讨论()f x 的单调性；（2）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞，求c 的值. 【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性；(2)函数的零点.【试题解析】（1）2()32f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223ax =-. 当0a =时，因为()230(0)f x x x '=>≠，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()2(,)0,3a x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，2(,0)3ax ∈-时，()0f x '<.所以函数()f x 在2(,)3a -∞-，()0,+∞上单调递增，在2(,0)3a-上单调递减； 当0a <时，()2,0(,)3a x ∈-∞-+∞时，()0f x '>，2(0,)3ax ∈-时，()0f x '<.所以函数()f x 在(),0-∞，2(,)3a -+∞上单调递增，在2(0,)3a-上单调递减.（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为(0)f b =，324()327a f ab -=+，则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()0327a f f b a b ⋅-=+<，从而30,40.27a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<.设34()27g a a a c =-+.因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞，则在(),3-∞-上()0g a <，且在33(1,)(,)22+∞上()0g a >均恒成立.从而(3)10g c -=-且3()102g c =-因此1c =.此时，32()1f x x ax a =++-2(1)(1)1x x a x a ⎡⎤=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()2214(1)230a a a a ∆=---=+->，且()21(1)10a a ---+-≠，解得()33,3(1,)(,)22a ∈-∞-+∞.综上 1c =.20. (15江苏高考)（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列.(1)证明：31242,222a a a a，，依次构成等比数列； (2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列？并说明理由.【测量目标】(1)等比数列的判定；(2)等差数列、等比数列的性质； (3)等差、等比数列的性质.【试题解析】（1）证明：因为112222n n n n a a a da ++-== (1,2,3)n =是同一个常数，所以31242,222a a a a，，依次构成等比数列. （2）令1a d a +=，则1234,,,a a a a 分别为,,,2a d a a d a d -++(,2,0)a d a d d >>-≠. 假设存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列，则43()()a a d a d =-+，且()624(2)a d a a d +=+.令d t a=，则31(1)(1)t t =-+，且()()64112t t +=+ 1(1,0)2t t -<<≠ ，化简得32220()t t +-=*，且21t t =+.将21t t =+代入()*式，2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-，显然14t =-不是上面方程的解.矛盾，所以假设不成立.因此不存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列.（3）假设存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+.分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及()221n k a +，并令1d t a =1(,0)3t t >-≠，则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n kn k t t t +++++=+.将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++ ，且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++.化简得[][]2ln(12)ln(1)2ln(1)ln(12)k t t n t t +-+=+-+，且[][]3ln(13)ln(1)3ln(1)ln(13)k t t n t t +-+=+-+.再将这两式相除，化简得ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++ . ()** 令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++，则2222(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-++++⎣⎦'=+++.令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)t t t t t t t ϕ=++-++++，则[]()6(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)t t t t t t t ϕ'=++-+++++.令()1()t t ϕϕ'=，则[]1()63ln(13)4ln(12)ln(1)t t t t ϕ'=+-+++.令()21()t t ϕϕ'=.则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++.由12(0)(0)(0)(0)0g ϕϕϕ====，2()0t ϕ'>知21(),(),(),()t t t g t ϕϕϕ在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =.即方程()**只有唯一解0t =，故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](15江苏高考)（本小题满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，ABC △的外接圆O 的弦AE 交BC 于点D .求证：ABD AEB △∽△.第21题-A 图【测量目标】三角形相似的判定和弧长与圆周角、弦长的相互关系.【试题解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠.又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，又BAE ∠为公共角，可知ABD AEB △∽△. B.[选修4-2:矩阵与变换] (15江苏高考)（本小题满分10分）已知,x y ∈R .向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.【测量目标】矩阵的特征值与特征向量之间相互关系. 【试题解析】由已知，得=2αα-A ，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则122x y -=-⎧⎨=⎩即，所以矩阵1120-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .从而矩阵A 的特征多项式()(2)(1)f λλλ=+-.所以矩阵A 的另一个特征值为1.C.[选修4-4:坐标系与参数方程] (15江苏高考)（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为2sin()404ρθπ--=，求圆C 的半径.【测量目标】极坐标与直角坐标之间的相互转化.【试题解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C的极坐标方程为2(sin cos )4022ρθθ--=.化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=.即()()22116x y -++=，所以圆C. D.[选修4-5:不等式选讲] (15江苏高考)（本小题满分10分） 解不等式232x x ++.【测量目标】解含绝对值的不等式.【试题解析】解:原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--⎩或32332x x ⎧-⎪⎨⎪+⎩解得x5-或13x-.综上，原不等式的解集是1|53x xx⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (15江苏高考) (本小题满分10分)如图(1)，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==. （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值； （2）点Q 是线段BP 上的动点.当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.第22题图(1【测量目标】(1)两平面所成二面角的余弦值； (2)两直线所成角的大小.【试题解析】以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图(2)所示的空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P .第22题图（2）(1)因为AD ⊥平面PAB .所以AD 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =.因为(1,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =m ，则0PC ⋅=m ，0PD ⋅=m ，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1z =，1x =.所以(1,1,1)=m 是平面PCD 的一个法向量. 从而cos ,AD <>m AD AD ⋅=mm=PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为3. (2)因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)BQ BP λλλ==- ()01λ，又()0,1,0CB =-，则CQ CB BQ =+(),1,2λλ=--，又()0,2,2DP =-，从而cos ,CQ DP <>CQ DP CQ DP⋅==.设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2cos ,CQ DP <>=2225109t t t -+2215209()99t =-+910.当且仅当95t =.即25λ=时，cos ,CQ DP <>的最大值为.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP ==255BQ BP ==. 23. (15江苏高考)（本小题满分10分） 已知集合{}1,2,3X =，{}1,2,3,,n Y n =()n *∈N ，设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除,a ,}n a X b Y ∈∈令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值； （2）当6n时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【测量目标】(1)集合的基本性质；(2)数学归纳法的运用. 【试题解析】(1)(6)13f =.(2)当6n时，2(),6,23112(+),6+1,2322(),62,23()12(),63,2312(),64,23122(),6+523n n n n t n n n n t n n n n t f n t n n n n t n n n n t n n n n t *⎧+++=⎪⎪--⎪++=⎪⎪-⎪+++=+⎪=∈⎨-⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪⎪--+++=⎪⎩N （）. 下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，66(6)6+2++=1323f =，结论成立； ②假设(6)n k k=时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则6(1)5k t =-+，此时有12(1)()32323k k f k f k k --+=+=++++ 11(1)223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有(1)()12123k kf k f k k +=+=++++ (1)1(1)1(1)223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+.则6+1k t =，此时有11(1)()22223k k f k f k k --+=+=++++ (1)(1)2(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 4）若163k t +=+.则6+2k t =，此时有2(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++ ()()11112+23k k k +-+=+++，结论成立；5）若164k t +=+.则6+3k t =，此时有1(1)()22223k kf k f k k -+=+=++++ ()()()11112+23k k k ++-=+++，结论成立；6）若165k t +=+.则6+4k t =，此时有1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++。
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2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知集合 A={1 ，2， 3} ， B={2 ， 4， 5} ，则集合 A∪ B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出 A ∪ B，再明确元素个数解答：解：集合 A={1 ， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则 A ∪ B={1 ，2， 3， 4，5} ；所以 A ∪ B 中元素的个数为 5；故答案为： 5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知一组数据 4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据 4， 6，5， 8， 7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（ 5 分）（ 2015?江苏）设复数z 满足 z 2=3+4i（ i 是虚数单位），则 z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数 z 满足 z 2=3+4i ，可得 |z||z|=|3+4i|= =5，∴ |z|= ．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（ 5 分）（ 2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当 I=10 时不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜ 8， S=3， I=4满足条件I ＜ 8， S=5， I=7满足条件I ＜ 8， S=7， I=10不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为 A ，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB 、 AC 1、 AC 2、 BC1、 BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB 、 AC 1、AC 2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知向量=（ 2， 1），=（ 1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣ 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可． 解答：=（ 2， 1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）解：向量 可得，解得 m=2， n=5，∴ m ﹣ n=﹣3．故答案为：﹣ 3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（ 5 分）（ 2015?江苏）不等式 2 ＜ 4 的解集为 （﹣ 1， 2） ．考点 ：指、对数不等式的解法．专题 ：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为 x 2﹣ x ＜ 2，求解即可． 解答：解； ∵2＜ 4，∴ x 2﹣ x ＜ 2，即 x 2﹣ x ﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x ＜2故答案为：（﹣ 1， 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知 tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，则 tan β的值为3 ．考点 ：两角和与差的正切函数． 专题 ：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解： tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，可知 tan （ α+β） == ，即= ，解得 tan β=3． 故答案为： 3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（ 5 分）（ 2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个， 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．考点 ：棱柱、棱锥、棱台的体积．： 算 ；空 位置关系与距离．分析：由 意求出原来 柱和 的体 ， 出新的 柱和 的底面半径 r ，求出体 ，由前后体 相等列式求得 r ．解答：解：由 意可知，原来 和 柱的体 和 ： ．新 和 柱的底面半径 r ，新 和 柱的体 和 ：．∴，解得：．故答案 ：．点 ：本 考 了 柱与 的体 公式，是基 的 算 ．10．（ 5 分）（ 2015?江 ）在平面直角坐 系xOy 中，以点（1， 0） 心且与直 mx y2m 1=0 （ m ∈R ）相切的所有 中，半径最大的 的 准方程 （ x 1） 2+y 2=2 ．考点 ： 的 准方程； 的切 方程．： 算 ；直 与 ．分析：求出 心到直 的距离 d 的最大 ，即可求出所求 的 准方程．解答：解： 心到直 的距离d==≤，∴ m=1 ， 的半径最大 ，22∴ 所求 的 准方程 （x 1） +y =2．22故答案 ：（ x 1） +y =2 ．点 ：本 考 所 的 准方程，考 点到直 的距离公式，考 学生的 算能力，比 基 ．n 1 n+1n=n+1（ n ∈N * ）， 数列 { } 的前11．（ 5 分）（ 2015?江 ） 数列 {a} 足 a =1，且 aa10 的和 ．考点 ：数列的求和；数列 推式．：等差数列与等比数列．分析：数列 {a n1 n+1 n*），利用 “累加求和 ”可得 a n= ．再} 足 a =1 ，且 aa =n+1（n ∈N利用 “裂 求和 ”即可得出．解答：解： ∵数列 {a n } 足 a 1=1，且 a n+1a n =n+1 （ n ∈N *），∴ 当 n ≥2 ， a n =（a na n ﹣ 1） +⋯+（ a 2a 1） +a 1=+n+ ⋯+2+1=．当 n=1 ，上式也成立，∴ a n =．∴ =2．∴ 数列 {} 的前 n 项的和 S =n==．∴ 数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（ 2015?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣ y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0， c 的最大值为直线 x ﹣ y+1=0 与直线 x ﹣ y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0 ，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣ y=0 的距离，即 ．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=|lnx| ， g （ x ） = ，则方程|f （ x ）+g （ x ） |=1 实根的个数为4 ．考点 ：根的存在性及根的个数判断． 专题 ：综合题；函数的性质及应用．分析：：由 |f （ x ）+g （ x ） |=1 可得 g （x ） =﹣ f （ x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答：解：由 |f （ x ） +g （ x ） |=1 可得 g （ x ） =﹣ f （ x ） ±1．g （ x ）与 h （ x ）=﹣ f （ x ） +1 的图象如图所示，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x） = f（x） 1 的象如所示，象有两个交点；所以方程 |f（ x） +g（ x） |=1 根的个数4．故答案： 4．点：本考求方程|f（ x）+g（ x）|=1 根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力，属于中档．14．（ 5 分）（ 2015?江）向量=（ cos，sin+cos）（k=0，1，2，⋯，12），（ a k?a k+1）的．考数列的求和．点：等差数列与等比数列；平面向量及用．：分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出．：解解：答+=：=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++⋯+ ++++++ ⋯+=+0+0=．故答案： 9 ．点本考了向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性，考了推理能力与算能力，属于中档．：二、解答（本大共 6 小，共90 分，解答写出文字明、明程或演算步）15．（ 14 分）（ 2015?江）在△ABC 中，已知 AB=2 ， AC=3 ，A=60 °．（1）求 BC 的；（2）求 sin2C 的．考点：余弦定理的用；二倍角的正弦．：解三角形．分析：（ 1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（ 1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22AB ?ACcosA=4+82×2×3× =7，所以 BC=．（ 2）由正弦定理可得：，sinC===，∵ AB ＜ BC ，∴ C 角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2 ×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）（ 2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中，已知 AC ⊥ BC ，BC=CC 1，设AB 1的中点为 D ，B 1C∩BC1=E．求证：（1） DE ∥平面 AA 1C1 C；（2） BC 1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（ 1）根据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE∥平面 AA 1C1C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1B 1，即证 BC 1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B 1AC ，即可证出 BC 1⊥ AB 1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为 B 1C 的中点， D 为 AB 1的中点，所以DE∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1C1C，所以 DE ∥平面 AA 1C1C；（ 2）因为棱柱ABC ﹣ A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC ? 平面 ABC ，所以 AC ⊥CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC 1B1，BC ? 平面 BCC 1B1，BC ∩CC1=C，所以 AC ⊥平面 BCC 1B 1；又因为 BC 1? 平面平面BCC 1B1，所以 BC 1⊥AC ；因为 BC=CC 1，所以矩形BCC 1B1是正方形，所以 BC 1⊥平面 B1AC ；又因为 AB 1? 平面 B1AC ，所以 BC 1⊥AB 1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（ 2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到l 1，l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 2，l1在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线 C 符合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（5，40），（ 20，2.5），将其分别代入 y= ，建立方程组，即可求a， b 的值；（ 2）① 求出切线 l 的方程，可得 A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式 f （ t），并写出其定义域；②设 g（ t） = ，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（ 1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20， 2.5），将其分别代入y= ，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（ t，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x， y 轴分别于 A ，B 点，则 A （， 0）， B （0，），∴ f（ t） ==，t∈[5，20]；②设 g（ t） =，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t∈（ 5， 10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（ 10，20）时，g′（t）＞0，g（ t）是增函数，从而 t=10时，函数g（ t）有极小值也是最小值，∴g（ t）min=300 ，∴ f（ t）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a， c 的方程，解得 a， c，再由 a， b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达10解答：解：（ 1）由题意可得， e= =且 c+ =3，解得 c=1， a= ， 则 b=1 ，即有椭圆方程为（ 2）当 AB ⊥ x 轴， AB=， CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB ： y=k （ x ﹣ 1），A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k 2）x 2﹣ 4k 2x+2（ k 2﹣ 1） =0， 则 x 1+x 2=， x 1x 2=，则 C （ ，），且|AB|= ? = ，若 k=0 ，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k ≠0，故 PC ： y+=﹣ （ x ﹣）， P （﹣ 2，），从而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB|，可得 =，解得 k= ±1，此时 AB 的方程为y=x ﹣ 1 或 y= ﹣ x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式， 同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=x 3+ax 2+b （a ， b ∈R ）． （1）试讨论 f （ x ）的单调性；（2）若 b=c ﹣a （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f （ x ）有三个不同的零点时， a 的取值 范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3）∪ （ 1， ） ∪（ ， +∞），求 c 的值．考点 ：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题 ：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣）=+b ，则函数+y 2=1；，f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣ ）=b （ +b ）＜ 0，进一步转化为a ＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时，﹣a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣ a+c ，利用条件即可求 c 的值．解答：解：（ 1） ∵ f （ x ） =x 3+ax 2+b ，∴ f ′（x ） =3x 2+2ax ，令 f ′（x ） =0 ，可得 x=0 或﹣ ．a=0 时， f ′（ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递增；a ＞ 0 时， x ∈（﹣ ∞，﹣ ） ∪（ 0， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（﹣ ，0）时， f ′（ x ） ＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，﹣ ），（ 0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调递减；a ＜ 0 时， x ∈（﹣ ∞，0） ∪（﹣ ， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（ 0，﹣ ）时， f ′（ x ）＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（ 0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣ ）=+b ，则函数f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣）=b （+b ）＜ 0，∵ b=c ﹣ a ，∴ a ＞ 0 时， ﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时， ﹣ a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣a+c ，∵ 函数 f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ）∪ （ ， +∞），∴ 在（﹣ ∞，﹣ 3）上， g （ a ）＜ 0 且在（ 1， ） ∪ （ ， +∞）上 g （a ）＞ 0 均恒成立，∴ g （﹣ 3） =c ﹣ 1≤0，且 g （ ）=c ﹣ 1≥0，∴ c=1，此时 f （ x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（ x+1 ）[x 2+（ a ﹣ 1）x+1 ﹣ a]，∵ 函数有三个零点，∴ x 2+（a ﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴ △ =（ a ﹣ 1） 2﹣ 4（ 1﹣ a ）＞ 0，且（﹣ 1） 2﹣（ a ﹣ 1） +1﹣ a ≠0，解得 a ∈（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ） ∪ （ ，+∞），综上 c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（ 2015?江苏）设 1 2 3 4d （ d ≠0）的等差数列． a ，a ， a ． a 是各项为正数且公差为 （1）证明： 2 ， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（2）是否存在 a 1 12 2， a 33， a 44 依次构成等比数列？并说明理由；， d ，使得 a ， ann+kn+2kn+3k依次构成等比数列？并（3）是否存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 ，a 2 ，a 3，a 4 说明理由．考点 ：等比关系的确定；等比数列的性质． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（ 2）利用反证法，假设存在 a 1 ，d 使得 a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛 盾，否定假设，得到结论；（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 n ，a 2n+k，a 3 n+2k ， a 4n+3k 依次构成等比数列， 得到 a 1n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ）2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2（ n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ）ln （ 1+t ）=4ln （1+3t ）ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（ 1）证明： ∵==2d，（n=1 ， 2，3，）是同一个常数，∴ 2， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 11 22， a 33， a 44依次构成等比数列，， d 使得 a， a43624则 a =（ a ﹣d ）（ a+d ） ，且（ a+d ） =a （ a+2d ） ，令 t=，则 1= （1﹣ t ）（ 1+t ） 3，且（ 1+t ） 6=（ 1+2t ）4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0）， 化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ *）式， t （ t+1） +2（ t+1 ）﹣ 2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 2 2， a 33， a 44依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 11 n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数，d 及正整数 n ，k ，使得 a列，则 a 1 （ ）（ ） n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ） 2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2 n+2k， 分别在两个等式的两边同除以 =a2（ n+k） 2（ n+2k），（ t ＞ ， t ≠0），1， a 1 ，并令 t=则（ 1+2t ）n+2k=（ 1+t ） 2 （n+k ）（ n+2k ），且（ 1+t ） n+k （ 1+3t ）n+3k=（ 1+2t ） 2 ， 将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （1+2t ） =2（ n+k ） ln （ 1+t ）， 且（ n+k ） ln （ 1+t ） +（ n+3k ） ln （ 1+3t ） =2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ln （ 1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ]，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ） 令 g （ t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ），则 g ′（ t ）=[（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ） 2ln （ 1+2t ）2+3 （ 1+t ） ln （ 1+t ） ]，令 φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2 ln （1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ） ln （ 1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3 （1+t ） ln （ 1+t ） ] ，令 φ1 1（ t ） =φ′（t ），则 φ ′（ t ） =6[3ln （ 1+3t ）﹣ 4ln （ 1+2t ） +ln （ 1+t ） ]， 令 φ2 1 2＞ 0， （ t ） =φ ′（ t ），则 φ ′（ t ） =由 g （ 0） =φ（ 0） =φ1 2 2（ 0） =φ （ 0） =0，φ ′（ t ）＞ 0，知 g （ t ）， φ（ t ）， φ， 0）和（ 0， +∞）上均单调，1（ t ）， φ2（ t ）在（﹣ 故 g （ t ）只有唯一的零点 t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0 ，故假设不成立，所以不存在n n+k n+2k n+3k依次构成等比数列． a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）（ 2015?江苏）如图，在 △ABC 中， AB=AC ， △ ABC 的外接圆 ⊙O 的弦 AE 交BC 于点 D ．求证： △ ABD ∽ △ AEB ．考点 ：相似三角形的判定． 专题 ：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明： ∵AB=AC ，∴ ∠ABD= ∠C ，又 ∵ ∠ C=∠ E ，∴∠ ABD= ∠ E ，又 ∠ BAE 是公共角，可知： △ ABD ∽ △ AEB ．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）（ 2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣ 2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点 ：特征值与特征向量的计算． 专题 ：矩阵和变换．分析：利用 A =﹣ 2 ，可得 A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论．解答：解：由已知，可得 A =﹣ 2 ，即 = = ，则，即 ，∴ 矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f （ λ） =（ λ+2）（ λ﹣1），∴ 矩阵 A 的另一个特征值为 1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．（ 2015?江苏）已知圆2ρsin （ θ﹣ ）﹣ 4=0 ，求圆 C 的半径．C 的极坐标方程为 ρ+2考点 ：简单曲线的极坐标方程．专题 ：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据 x= ρcos θ，y= ρsin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答： 2 ρsin （ θ﹣ 2ρsin θ﹣4=0 ，解：圆的极坐标方程为 ρ+2 ）﹣ 4=0 ，可得 ρ﹣ 2ρcos θ+2化为直角坐标方程为 x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0 ，化为标准方程为（x ﹣ 1）2+（ y+1 ） 2=6，圆的半径 r= ．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式 x= ρcos θ， y=ρsin θ，比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．（ 2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2． 考点 ：绝对值不等式的解法．分析：思路 1（公式法）：利用 |f（ x） |≥g（ x） ? f（ x）≥g（ x），或 f （x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法 1： x+|2x+3| ≥2 变形为 |2x+3|≥2﹣ x，得2x+3≥2﹣ x，或 2x+3 ≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+ （ 2x+3）≥2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3 ）≥2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f（ x） |≥g（x） ? f （x）≥g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（x）； |f（ x） |≤g（x） ?﹣g（ x）≤f（ x）≤g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以 A 为坐标原点，以AB 、 AD 、AP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系 A ﹣xyz ．（ 1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos 2＜， ＞ ≤ ，结合函数 y=cosx 在（ 0， ）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB 、AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、z 轴建系 A ﹣ xyz 如图，由题可知 B （ 1， 0， 0）， C （1， 1， 0）， D （ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）．（ 1） ∵AD ⊥ 平面 PAB ，∴=（ 0， 2，0），是平面 PAB 的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（0， 2，﹣ 2），设平面 PCD 的法向量为=（ x ，y ， z ），由，得 ，取 y=1，得 =（ 1， 1，1），∴ cos ＜， ＞ = = ，∴ 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为；（ 2） ∵=（﹣ 1， 0，2），设 =λ =（﹣ λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣ λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），从而 cos ＜ ， ＞ = = ，设 1+2 λ=t ， t ∈[1， 3]，则 cos 2＜， ＞ = =≤ ，当且仅当 t= ，即 λ= 时， |cos ＜ ， ＞ |的最大值为 ，因为 y=cosx 在（ 0， ）上是减函数，此时直线CQ 与 DP 所成角取得最小值．又 ∵ BP== ， ∴ BQ= BP=．点：本考求二面角的三角函数，考用空向量解决的能力，注意解方法的累，属于中档．26．（ 10 分）（ 2015?江）已知集合 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，⋯，n）（n∈N *）， S n={（ a，b） |a 整除 b或整除 a， a∈X ，B ∈Y n} ，令 f（ n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的；（2）当 n≥6 ，写出 f （n）的表达式，并用数学法明．考点：数学法．：合；点列、数列与数学法．分析：（1） f （ 6） =6+2+ + =13 ；（2）根据数学法的明步，分，即可明．解答：解：（ 1） f（ 6） =6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 ， f （ n） =．下面用数学法明：①n=6 ， f （ 6） =6+2+ + =13，成立；②假 n=k（ k≥6），成立，那么 n=k+1 ， S k+1在 S k的基上新增加的元素在（ 1，k+1 ），（ 2， k+1 ），（ 3， k+1 ）中生，分以下情形：1）若 k+1=6t ， k=6（ t 1）+5 ，此有 f（ k+1）=f （k） +3=（ k+1）+2++，成立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ）=f（k）+2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6 的自然数 n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
2015届高考数学(理科)一轮复习：1.1《集合的概念与运算》ppt课件
考点一
考点二
考点三
误区警示
第一章
1.1
集合的概念与运算 -16-
举一反三 1{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个元素的集合吗?如果能表
示一个集合,试说明理由;如果不能表示,则需要添加什么条件才能使它表示 一个有三个元素的集合?
关闭
因为当 x=0 时,x=x -x=x -3x=0, 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合. 要使它表示一个有三个元素的集合, ������ ≠ ������ 2 -x, 则应有 ������ 2 -x ≠ ������ 3 -3x, ������ ≠ ������ 3 -3x. 所以 x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x,x3-3x}能表示一个有三个 元素的集合.
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D
因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D.
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示
)
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易知∁ UA={0,4},所以(∁ UA)∪B={0,2,4},故选 C.
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C
解析 答案
第一章
1.1
集合的概念与运算 -10-
3.若集合 A={x|x<1},B={x|x≥a},且 A∩B≠⌀ ,则实数 a 的取值范围为( A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1
)
关闭
在数轴上表示出两个集合,可以看到,当 a<1 时,A∩B≠⌀ .故选 B.
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 排列、组合检测题
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 排列、组合检测题知识梳理1． 两个计数原理 分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题． “分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．2． 排列、组合(1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m n ＝n ！ n －m ！，A n n ＝n ！，0！＝1(n ∈N *， m ∈N *，m ≤n )．(2)组合数公式及性质C m n ＝A m n A m m ＝n n －1 n －2 … n －m ＋1 m ！， C m n ＝n ！m ！ n －m ！，C 0m ＝1，C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 3． 二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n abn －1＋C n n b n (n ∈N *)． 通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C r n an －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .②二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·2n等．预习练习1． (2013·山东改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为______．2． (2013·福建改编)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为________．3． (2013·江西改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________． 4． (2013·浙江)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)5． (2013·上海)设常数a ∈R ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.典型例题题型一 计数原理及应用例1 (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为______．(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)变式训练1 (1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________．(用数字作答)(2)如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．题型二 排列组合的应用例2 (1)(2012·大纲全国)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．变式训练2 (1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．题型三 二项式定理及应用例3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________． (2)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 变式训练3 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．课后练习一、填空题1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．2． 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是________．3． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．4． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有________种．5． 设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为______．6． (2012·湖北改编)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为________．7． 设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是________．8． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有______种．(用数字作答)9．(2013·浙江)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 10．(2012·上海)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________． 11．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.二、解答题12．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 1-1集合的概念及其运算课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习1-1集合的概念及其运算课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·新课标高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝() A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}[答案]A[解析]本题考查了集合的运算，由x＝n2，n∈A，得B＝{1,4,9,16}，则A∩B＝{1,4}，选A，注意集合B中的元素是集合A中元素的平方．(理)(2013·新课标高考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B[答案]B[解析]本题考查集合的关系与运算．A＝{x|x2－2x>0}＝{x|x<0或x>2}∴A∪B＝R，故选B.2．(文)(2013·某某高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}[答案]A[解析]本题考查了集合的运算、补集、交集．(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．(理)(2013·高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]本题考查集合的交集运算问题．∵A∩B＝{－1,0,1}∩{x|－1≤x<1}＝{－1,0}，∴选B.3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅[答案]B[解析]由题意可得，A＝{x|－1<x<2}，而B＝{x|－1<x<1}，故B A.4．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝() A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}[答案]D[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案]B[解析]本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的非空真子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个[答案]A[解析]由已知得P＝M∩N＝{1,3}，所以P的非空真子集有22－2＝2个．故选A.6．(文)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，2][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－2，2]，∴M∩N＝[0，2]，故选D.[点评]本题特别易错的地方是将数集误认为点集．(理)若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案]A[解析]考查集合的基本概念及运算．A⊆A∪B＝B∩C，∴A⊆C，选A.二、填空题7．已知集合A＝{3，2，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．[答案]－ 2[解析]因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝2或a＝－2；当a＝2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－ 2.8．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值X围是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵∁R B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．[答案]6[解析]由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．三、解答题10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，某某数m的取值X围；(3)若A∩B＝A，某某数m的取值X围．[分析](1)求A、B→确定A∪B，∁U B→求得A∩(∁U B)；(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的X围；(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的X围．[解析](1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，∴A＝{x|－2<x<4}．当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁U B＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.能力强化训练一、选择题1．(文)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．9[答案]C[解析]当x，y取相同的数时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；其他则重复．故集合B中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C.(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x ∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于()A．A B．BC．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)[分析]本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．[答案]B[解析]画一个一般情况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.2．设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4a 2＋4a ＋2，a ∈R }，则下列关系正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ⊆N[分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解．[答案]A[解析]由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R )，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R )，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1.故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.二、填空题3．(文)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝______.[答案]{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y 2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． (理)已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是________．[答案](2,3)[解析]B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1.又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a .∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.4．(2014·某某模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为________．[答案]0或2或3[解析]当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝{6m}⊆{2,3}可得 6m ＝2或6m＝3， 解得m ＝3或m ＝2，综上可得实数m ＝0或2或3.三、解答题5．(文)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，求a 2 015＋b 2 015的值． [解析]由已知得a ≠0，∴b a＝0，即b ＝0. 又a ≠1，∴a 2＝1，∴a ＝－1.∴a 2 015＋b 2 015＝(－1)2 015＝－1.(理)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[解析](1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.6．(文)(2014·某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，某某数a 的取值X 围．[分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．[解析]由x 2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ，(1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，得a ＜－1.(2)若A ≠∅，则0∈A 或－4∈A ，当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值X 围是：a ≤－1或a ＝1.(理)(某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值X 围．[解析]∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}．(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }．要使A ⊆B ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4不等式组无解，即不存在符合条件的a ，∴综上可知，当A⊆B时，a的取值X围是43≤a≤2. (2)要满足A∩B＝∅，当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，或a≥4；∴0<a≤23当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，，若A∩B＝∅，则a≤2或a≥43∴a<0；验证知当a＝0时也成立．或a≥4时，A∩B＝∅.综上所述，a≤23(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，显然a>0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.。
高考数学一轮复习讲练测专题1.1集合的概念及其基本运算(练)理(含解析)
专题1.1集合的概念及其基本运算(练)A基础巩固训练1. 【2015 课标二理】已知集合.A { 2, 1,0,1,2} , B x(x 1)(x 2 0 ,则AI B ( )A. A 1,0B. 0,1C. 1,0,1D. 0,1,2【答案】A【解析】由已知得£ =何一故一广£ = ；—10,故选亠2. 【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理1】已知集合A x y lg x 1 ,B y|y2 2y 3, 0，则AI B ( )A. x1 x 3B. y1 剟y 3C. x1 x, 3D. x1, x 3【答案】C【解析】由已知得一■! =1})E二所以"DE二{兀|1吃応3}.故正礁答案曲c.3.【2015届福建省福州市三中模拟】已知集合M={(2)卜"} 1={(芯丁)卜以}，若Md y = 0 i则实数&的取值范围■是 ( )A. YJ)「 B .(Y」] C . D . (Y,0]【答案】D【解析】因为y = 2、> 因此直钱工二灯与雷数j.y 2"的图累无交点'贝9有选D*4.【2014冀州中学高三上学期第一次月考，理1】若集合P y|y 0 , PI Q Q，则集合Q不可能是( )2 x IA. B . yyx,xR C . yy2,xR D . y|y log2 x, x 0【答案】D【解析is项A中•由干尸所以A有可能:选项B中，0彳讣次卜所以有尸^0二0；选项c中，O=(y|y>0)-所以g 匸尸，WPne = Oj迭项D中，0 = {y\y^R],所以尸匚0故正确答需为D.5.【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8,9 集合A 1,2,3,4,5,6 集合B 3,4,5,6,7,8 ，则集合C U A C U B 为（）A. 3,4,5,6 B . 1,2,7,8,9 C . 1,2,3,4,5,6,7,8 D . 9【答案】D.両析】先根据补集的定义知，C^i= {7X9}(C宀心h然后由交集的定义知，C/cC詁二{9}一故应选D.B能力提升训练1.定义集合A与B的运算“*”为：A B {xx A或x B,但x AI B}.设X是偶数集，Y {123,4,5},则(X Y) Y ( )A. XB. YC. X I YD. X UY【答案】A【解析】首先^ffiXnT = {2:4}, X：『的并耒再去掉交MBP^X*r = {l:3:5:6:S:107- }.同理可得= {2.4^ 8,10.2 .下列四个集合中，是空集的是( )2 2A. x | x 3 3 B .{(x, y)|y —x , x, y R}C. {x | x—x 1 0, x R} D . {x|x2 0}【答案】C【解析】TxT司…：沪山A={O}1墓不是空集，A不正5B；九yER-'.x^ 尸山B={ (0> 0) }i弓不是空黒弓不正确；'/X--X-1-0,匹％A<0, /.C=®s C 是空集，JESS；■/x-<0.'.x«：j s3= ：0). D 不是空黑，n不正确，3 .设集合A 1,0,2 ，集合B x x A且2 x A，则B ( )(A) 1 (B) 2 (C) 1, 2 ( D) 1,0【答案】A【解析】根据集合巧的定农可亀当x=-l时，2 — x = 务所以一"*£」当“0时2-工= 2w』，所以一・壬=0芒$；当兀=2时，2—兀=。
【优化方案】2015年高考数学 第一章 第1课时 集合的概念与运算知能演练轻松闯关 新人教A版
【优化方案】2015年高考数学 第一章 第1课时 集合的概念与运算知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．(2013·高考某某卷)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：选A ．∵U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}⊆A ⊆{1，2，3}． 又∁U B ＝{3，4}，∴A ∩∁U B ＝{3}． 2．(2014·某某某某市质量检测)已知集合A ＝{x ∈R||x |≥2}，B ＝{x ∈R|x 2－x －2＜0}，且R 为实数集，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∩B ≠∅C ．A ⊆(∁R B )D ．A ⊇(∁R B )解析：选C ．集合A ＝{x |x ≥2或x ≤－2}，B ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ⊆(∁R B )．3．已知集合A ＝{1，10，110}，B ＝{y |y ＝lg x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{110} B ．{10}C ．{1}D ．∅解析：选C ．∵B ＝{y |y ＝lg x ，x ∈A }＝{y |y ＝lg 1，y ＝lg 10，y ＝lg 110}＝{0，1，－1}，∴A ∩B ＝{1}．4．(2014·某某省八校联考)已知M ＝{a ||a |≥2}，A ＝{a |(a －2)(a 2－3)＝0，a ∈M }，则集合A 的子集共有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．8个解析：选B ．|a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．5．(2014·某某某某市武昌区考试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选C ．lg(x ＋1)≤0⇒0＜x ＋1≤1⇒－1＜x ≤0，3x≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1，0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值X 围是________．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]7．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________．解析：A ＝{－1，2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0，1，－128．(2012·高考某某卷)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．解析：A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}＝{x ∈R|－5＜x ＜1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 1 9．集合A ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＞1}，集合B ＝{x |a ≤x ＜b }，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，某某数a ，b 的值．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3. 又A ∪B ＝{x |x ＞－2}， ∴－2＜a ≤－1.又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.10．设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，集合B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，某某数a 组成的集合C ．解：由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5. ∴A ＝{3，5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.∴B ＝{5}，∴B A ．(2)∵A ＝{3，5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0. 若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a，∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15， ∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.[能力提升]1．(2014·某某某某市考试)已知集合A ＝{x |x －2x≤0，x ∈N}，B ＝{x |x ≤2，x ∈Z}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选D ．由x －2x≤0得0＜x ≤2，因此A ＝{1，2}；由x ≤2得0≤x ≤4，因此B ＝{0，1，2，3，4}，满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数是23＝8.2．(2014·某某省三市高三第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B ．依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z .3．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z.故A ＝{－2，2，1，－1}，又U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}4．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确； ③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．(2014·某某某某模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，某某数a 的取值X 围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1＞5－a ，得a ＞3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值X 围为{a |a ≥3}．6．(选做题)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值X 围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立； 当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解，∴当A ⊆B 时，a 的取值X 围是[43，2]．(2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }． ∴a ＜0时成立，综上所述，a 的取值X 围是(－∞，23]∪[4，＋∞)．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＝3.。
2015届高考数学总复习第一章 第一节集合的概念与运算精讲课件 文
解析：m＝1时，x＝1；m＝3时，x＝3或35或36 ； m＝5时，x＝5或53或56；m＝6时，x＝6或63或65. 综 上知集合B中有10个元素．故选D. 答案：D
变式探究
1．定义集合运算： A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A
＝，B＝，则集合A*B的所有元素之和为( A．0 B．2 C．3 ) D．6
Venn图的运用 【例5】 ( ) (2012· 黄山质检)记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A
＝ {1,2,3,5} ， B ＝ {2,4,6} ，则图中阴影部分所表示的集合是
A．{2}
B．{7,8}
C．{4,6,7,8}
D．{1,2,3,4,5,6}
解析： 阴影部分的集合是 ∁ U(A∪B) ．由题意得 A∪B ＝ {1,2,3，4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{7,8}．故选B. 答案：B 点评： 元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系， 一般都能通过Venn图形象表达. 若题设条件比较抽象，也可以 借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、 解决问题．
点评：解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，
要分清各集合的具体类型 ( 如数集、点集等 ) ，不允许有半点差 错，否则将导致解题的失败． 解析：集合A是用列举法表示，它只含有一个元素，即函 数y＝x2＋2，集合B，C，E中的元素都是数，即这三个集合都 是数集，集合 B 表示的是函数 y ＝ x2 ＋ 2 的值域，集合 C 表示的 是函数y＝x2＋2的定义域R，集合E表示的是不等式x－2≥0的 解集 [2，＋∞)，集合D的元素则是平面上的点，此集合是函数 y＝x2＋2的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选D. 答案：D
变式探究 2．设集合A＝{x,y} | x2+y2=4}，B＝{(x，y) | y＝ 关系． }， 4 x2 C＝{x | y= 4 x2，D＝{y | y＝ 4 x2 }，试写出它们每两个集合之间的
江苏版高考数学一轮复习：专题1.1集合的概念及其基本运算巩固检测题附答案.doc
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】专题1.1 集合的概念及其基本运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题1. 【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 2. 【2017课标3，理1改编】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B中元素的个数为 【答案】23. 已知集合{}210A x x mx =-+=，若A R ∅＝，则实数m 的取值范围为【答案】4m < 【解析】∵AR ∅＝，则A ∅＝，即等价于方程210x mx -+=无实数解，即40m ∆<＝－，即04m ≤<，注意0m <时也表示A ∅＝，故实数m 的取值范围为4m <． 4.集合{}2|,M y y x x R ==-∈，{}22|2,N x x y x R =+=∈，则M N ⋂= 【答案】{}1-【解析】由2y x =-，x R ∈得0y ≤，所以集合(],0M ∈-∞，由222x y +=，x R ∈得2,2N ⎡⎤=-⎣⎦，所以2,0M N ⎡⎤⋂=-⎣⎦.5.设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为【答案】{|1}x x ≤-6．已知集合1,2,3,4,5,2,4,6P Q ,若M P Q ,则M 的子集个数为【答案】4【解析】由题意{2,4}M PQ ==，它的子集有224=个．7．设P 和Q 是两个集合,定义集合P Q {x |x P +=∈或x Q ∈且x PQ}∉.若2P {x |x 3x 40}=--≤, (){}22Q x |y log x 2x 15==--,那么P Q +等于【答案】(-∞,-3)∪-1,4]∪(5,+∞)【解析】由题意可知P {x |1x 4}=-≤≤, Q {x |x 3=<-或x 5}>.所以P Q {x |x 3+=<-或1x 4-≤≤或x 5}>.8．已知集合{}1,A a =，{}2|540,B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅，则等于【答案】2或3【解析】由已知可得{}3,2，由于AB ≠∅，则2=a 或.9．设集合{}1,2,3,4,5,6A ＝，{}4,5,6,7,8B ＝，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 的个数是 【答案】56【解析】集合S 的个数为632264856－＝－＝．10．已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若PQ R =，(2,3]P Q =，则a b += .【答案】-5【解析】因为2{|20}(,1)(2,)P y y y =-->=-∞-+∞，所以{|13}Q x x =-≤≤，因此1,3-为方程20x ax b ++=两根，即13,1323 5.a b a b -=-+-⨯=⇒+=--=-11．已知[)1,A =+∞，1{|21}2B x R x a =∈≤≤-，若A B φ⋂≠，则实数的取值范围是 【答案】[)1,+∞【解析】因为A B φ⋂≠，所以211a -≥，且1212a -≥，解得1a ≥． 12．设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m的取值范围是【答案】)31,32[-13．已知集合{}24A x y x==-，{}1B x a x a=<<+，若A B B=，则实数的取值范围为_______.【答案】21a-≤≤【解析】{}{}{}242,1,A x y x x x xB x a x a A B B B A==-=-≤≤=<<+=∴⊆2,2112,aaa≥-⎧∴∴-≤≤⎨+≤⎩14已知{|322}A x x=≤≤，{|2135}B x a x a=+≤≤-，B A⊆，则的取值范围为________. 【答案】(,9]-∞【解析】因为B A⊆，所以Φ≠Φ=BB或.当Φ=B时，1253+<-aa，可得6<a；当Φ≠B时，⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126aaa，可得96≤≤a，综上：9≤a．二、解答题15．已知2{|440}A x x x=++=，22{|2(1)10}B x x a x a=+++-=，其中a R∈.如果A B B=，求实数的取值范围.【解析】2440x x++=，解得2x=-，∴{2}A=-.∵A B B=，∴B=∅或{2}-.∴224(1)4(1)0a a∆=+--≤，解得1a≤-.但是：1a=-时，{0}B=，舍去.∴实数的取值范围是(,1)-∞-.16．已知集合{|12},{|3}A x xB x m x m=≤≤=≤≤+．（1）当2m=时，求A B⋃；（2）若A B⊆，求实数m的取值范围．17．已知函数()f x x=A ，集合{|10,}B x ax a *=-<∈N ，集合2{|log 1}C x x =<-． （1）求A C ； （2）若C ⊂≠ (AB )，求的值．【解析】（1）由题意得A =(0,)+∞.，C =)21,0(， ∴(0,)AC =+∞．（2）由题意得B =*)1,(N a a ∈-∞，∴)1,0(aB A = ，∵C ⊂≠AB ， ∴211>∴a ， ∴20<<∴a ，又∵a *∈N ， ∴=1．18．已知{}0232≤+-∈=x x R x A ,{}02242≥-⋅-∈=a a R x B x x . （Ⅰ）当1=a 时，求B A ； （Ⅱ）若B A ⊆,求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）由题[]2,1=A0)12)(22(:≥+-x x B 得),1[+∞=B ， 所以a=1时，]2,1[=∴B A高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
江苏省宿迁市马陵中学高三数学复习第1讲 集合与常用逻辑用语
【考情解读】1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2．试题以填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．【知识梳理】1．集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：、、．注：求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒，空集是任何集合的；空集是任何非空集合的．含有n个元素的集合的子集数为，真子集数为，非空真子集数为．(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝，∁U(A∩B)＝，∁U(∁U A)＝．2．四种命题及其关系四种命题中原命题与命题同真同假，逆命题与命题同真同假．因此,四种命题为真的个数只能是偶数．注：遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件；若p⇔q，则p，q互为条件．4．简单的逻辑联结词用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．对一个命题p否定，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．5．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“”．注：命题的否定与否命题的区别是：命题的否定，否命题．【预习练习】1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝________．2．已知集合P={x|x 2=1},集合Q={x|ax=1},且Q P ⊆,那么a 的取值集合是 ．3．若U={(x,y)|x,y ∈R}, 3{(,)1}2y A x y x -==-,B={(x,y)|y=x+1}, 则(C U A)∩B= ．4．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________．5． 设p ：x x －2<0，q ：0<x <m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是__________．【典型例题】考点一 集合间的关系及运算例1 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．变式训练：已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________．考点二四种命题与充要条件例2(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是____________．(2)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的条件．变式训练：设m为大于0的常数,已知命题p:|x-2|<m;命题q:|x2-4|<1.若非p是非q的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.考点三逻辑联结词、全称量词和存在量词例3(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________．(2)若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，求实数a的取值范围．变式训练：(1)下列命题中，真命题是________．(填序号)①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数．(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题p、q均是真命题，求实数a的取值范围．【课后练习】1． 已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B ＝_______．2． 设U ＝{0,1,2,3}， A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________．3． 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．4．已知R 是实数集，M ＝{x |2x<1}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩ (∁R M )＝________． 5．(2013·陕西改编)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件．6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4, 6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是________．7．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．8．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)9．已知：集合A={x|x 2+4ax-4a+3=0}， B={x|x 2+(a-1)x+a 2=0}，其中至少有一个集合不是空集，则实数a 的取值范围是 ．10．已知 A ={x|-2≤x ≤5},B ={x|a +1≤x ≤2a -1},B A ，求实数a 的取值范围．11．设p:-1≤4x-3≤1,q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．。
2015届高考数学(文)一轮达标小测：1-1 集合的概念和运算
A组 基础达标 (时间：30分钟 满分：50分) 若时间有限建议选讲2 一、选择题(每小题5分共20分) (2013·湘潭模拟)设集合A＝{－1＝{a＋2＋4}＝{3}则实数a等于(A)A. 1B. 2C. 3D. 4 ∵3∈Ba2＋4≥4＋2＝3＝1.经检验＝1符合题意． 已知全集I＝{1＝{3＝{1则下列集合等于{2的是(B) B. (?)∩(?IN)C. (?IM)∪(?IN)D. M∪N 求出集合M的补集逐一验证可得B正确． (2013·合肥检测)集合A＝{x|0＜x≤2}＝{x∈R|x－－2＞0}则A∩(?)等于(D) (－1) B. [－1] (0，2) D. (0] B＝{x∈R|x－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}＝－1≤则A∩(?)＝{x|0＜x≤2}．故选D. (2013·枣庄模拟)已知a∈R集合M＝{1＝{a－1}．若M∪N有三个元素则M∩N等于(C) B. {0－1} D. {1} ∵a∈R有三个元素＝a＝0或1(舍去)＝0则M∩N＝{0}． 二、填空题(每小题5分共15分) (2013·三明模拟)已知A＝{x|x>3或x<－1}＝{x|a≤若A∪B＝R＝{x|3＜x≤4}则a的值分别为__－1__. 画出数轴可知a＝－1＝4. 已知集合A＝{x|log＝(－∞)，若A则实数a的取值范围是(c＋∞)其中c＝__4__ ∵A＝{x|log＝{x|logog2 4}＝{x|0＜x≤4}＝(0]，B＝(－∞)，且A＞4即a的取值范围是(4＋∞)．故c＝4. (2013·长沙调研)若集合{x|ax＋2x＋1＝0}与集合{x－＝的元素个数相同则实数a的取值集合为__{0__． ∵集合{x－1＝0}的元素个数为1方程ax＋2x＋＝有且只有一个实数解． ＝0或即a＝0或 三、解答题(共15分) 已知集合A＝{－4－1＝{a－5－a分别求适合下列条件的a的值． (1)9∈A∩B； 2){9}＝A∩B. (1)∵9∈A∩B且9∈B(2分) －1＝9或a＝9.∴a＝5或a＝－3或a＝3.(5分) 经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3. (7分) (2)∵{9}＝A∩B且9∈B(9分) 由(1)知a＝5或a＝－3. 当a＝－3时＝{－4－7＝{－8 此时A∩B＝{9}(11分) 当a＝5时＝{－4＝{0－4(13分) 此时A∩B＝{－4不合题意． ＝－3. (15分) 组 提优演练 (时间：30分钟 满分：50分) 若时间有2，4，9 一、选择题(每小题5分共20分) (2012·湖南高考)设集合M＝{－1＝{x|x则M∩N＝(B)A. {0}B. {0 －1 D. {－1 由x得x－x≤0(x－1)≤0＝M∩N＝{0故选B. (2012·福建高考)已知集合M＝{1＝{－2下列结论成立的是(D) ?M B. M∪N＝MC. M∩N＝ND. M∩N＝{2} ∵－2可排除A；M∪N＝{－2可排除B；＝故选D. (2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0＝则满足条件AB的集合C的个数为(D) B. 2 D. 4 解出集合A后再确定集合C的个数．∵集合A＝{1＝{1当满足AB时集合C可以为{1故满足条件的集合C有4个． 如图所示是非空集合定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x＝{x|y＝＝＝3＞0}则A#B 为(D) ＜x＜2} B. {x|1＜x≤2} 或x≥2} D. {x|0≤x≤1或x＞2} 由已知得A＝{x|0≤x≤2}＝{y|y＞1}＝＝{x|1＜x≤2}表示A∪B中除去A∩B部分故选D. 二、填空题(每小题5分共15分) 设集合A＝{x|(x＋3)(x－4)≤0}集合B＝{x|m－1≤x≤－若A∩B＝B则实数m的取值范围为__{m|m≤2}__． A＝{x|－3≤x≤4}由A∩B＝B得B?若B≠解得≤m≤2； 若B＝则满足B?此时m－1＞3m－2解得m＜. 综上得实数m的取值范围为{m|m≤2}． (2012·四川高考)设全集U＝{a集合A＝{a＝{b则()∪(?UB)＝__{a__． 依题意得＝{c＝{a}(?UA)∪(?UB)＝ 对于非空实数集A记A＝{y|?设非空实数集合M满足M?给出以下结论P*?M*；∩P≠?；＝. 其中正确的结论是__①②__(填序号) 对于①由M?得集合M中的最大元素m必不超过集合P中的最大元素p依题意有P＝{y|y≥p}＝{y|y≥m}又m≤p因此有P?M*，①正确；对于②设M中的最大元素为m则mM*，由M?知m∈P 故即M正确；对于③取M＝{0－1＝{y|y≤1}此时P＝{y|y≥1}＝{1}≠因此③不正确．综上所述其中正确的结论是①②. 三、解答题(共15分) (7分)设A＝{x|x－8x＋15＝0}＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝试判定集合A与B的关系； (2)若B?求实数a组成的集合C. 由x－8x＋15＝0得x＝3或x＝5.∴A＝{3 (1)当a＝时由x－1＝0得x＝5. ＝{5}．∴B?(2分) (2)∵A＝{3且B? ∴若B＝则方程ax－1＝0无解有a＝0.(4 若B≠?，则a≠0由方程ax－1＝0得x＝ ∴＝3或＝5即a＝或a＝(6分) ＝(7分) (8分)(2013·德州模拟)已知集合A＝{x|x－3(a＋)x＋(3a＋)<0}，B＝. (1)当a＝2时求A∩B； (2)求使B?时实数a的取值范围． (1)当a＝2时＝{x|x－9x＋14＜0}＝(2)， B＝＝(4)，∴A∩B＝(4，5)．(2分) (2)当a≠1时＝(2a＋1)；当a＝1时＝. 又A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0} ①当3a＋1＜2即a＜时＝(3a＋1)，要使B?成立需满足解得a＝－1；(5分) 当a＝时＝B≠?，∴B?A不成立．(6分) 当3a＋1＞2即a＞时 A＝(2＋1)要使B?成立 需满足或a＝1解得1≤a≤3. 综上可知使B?的实数a的范围为[1]∪{－1}．(8分)。
江苏省宿迁市马陵中学2020届高考数学 1.1 集合的概念及其基本运算复习测试
第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念及其基本运算一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．若集合A ＝{x|－2<x<1}，B ＝{x|0<x<2}，则集合A∩B ＝____________.2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x2－4≤0}，则∁UM ＝____________.3．集合I ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，A ＝{－1,1,2}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∪(∁IB)＝__________.4．如果全集U ＝R ，A ＝{x|2<x≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁UB)＝______________.5．设集合A ＝{x|－12<x<2}，B ＝{x|x2≤1}，则A ∪B ＝__________. 6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A∩B ＝ __________.7．已知集合P ＝{x|x(x －1)≥0}，Q ＝{x|y ＝ln(x －1)}，则P∩Q ＝__________.8．(2020·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N*|lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}， 则集合B ＝____________.9．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．二、解答题(本大题共4小题，共55分)10．(13分)已知集合S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋2x －5<0，P ＝{x|a ＋1<x<2a ＋15}． (1)求集合S ；(2)若S ⊆P ，求实数a 的取值范围．11．(14分)已知集合A ＝{x|6x ＋1≥1，x ∈R}，B ＝{x|x2－2x －m<0}， (1)当m ＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A ∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．12．(14分)已知集合A ＝{x|x2－2x －3≤0}，B ＝{x|x2－2mx ＋m2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁RB ，求实数m 的取值范围．13．(14分)已知集合A ＝{x|y ＝x2－5x －14}，集合B ＝{x|y ＝lg(－x2－7x －12)}，集合C ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}．(1)求A∩B ；(2)若A ∪C ＝A ，求实数m 的取值范围．答案 1.{x|0<x<1} 2.{x|x<－2或x>2} 3.{－3，－1,1,2} 4.(2,3)∪(3,4)5.{x|－1≤x<2}6.{(0,1)，(－1,2)}7.{x|x>1}8.{2,4,6,8}9.a≤110.解 (1)因为x ＋2x －5<0，所以(x －5)(x ＋2)<0. 解得－2<x<5，所以集合S ＝{x|－2<x<5}．(2)因为S ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－2，5≤2a ＋15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－3，a≥－5.所以a ∈[－5，－3]． 11.解 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0. ∴－1<x≤5，∴A ＝{x|－1<x≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}， 则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m 的值为8.12.解 由已知得A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)∵A∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2. (2)∁RB ＝{x|x<m －2或x>m ＋2}，∵A ⊆∁RB ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m>5或m<－3.13.解 (1)∵A ＝(－∞，－2]∪[7，＋∞)，B ＝(－4，－3)， ∴A∩B ＝(－4，－3)．(2)∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A.①C ＝∅，2m －1<m ＋1，∴m<2.②C≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m≥22m －1≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m≥2m ＋1≥7. ∴m≥6.综上，m<2或m ≥6.。
江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件：1.1 集合的概念及其基本运算
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
③当 B＝A 时，由根与系数的关系得：
－2a＋1＝－4 a2－1＝0
，解得 a＝1.
综上可知：a≤－1 或 a＝1.
(2)若 A⊆B，必有 A＝B，由(1)知 a＝1.
第十六页，编辑于星期日：十三点 五十二分。
题型三 集合的基本运算
第二页，编辑于星期日：十三点 五十二分。
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}； 交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ； 补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} ． U 为全集，∁UA 表示 A 相对于全集 U 的补集． (2)集合的运算性质
并集的性质：
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念及其基本运算 基础知识 自主学习
要点梳理
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性 、 互异性 、无序性 ．
(2)元素与集合的关系是属于或 不属于关系，用符号∈或
∉ 表示． (3)集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 图示法、 区间法． (4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为
解析 这里给出了一个新的符号 A⊙B，实质上它就是 一个集合，其中的元素 z＝xy(x＋y)，其中 x∈A＝{0,1}， y∈B＝{2,3}．可利用集合描述法中元素 z 的性质，简单 的分类讨论，求出 z 的所有可能的取值即可求得答案．
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当 x＝0 时，z＝0；当 x＝1，y＝2 时，z＝6；当 x＝1， y＝3 时，z＝12. 故集合 A⊙B 中的元素有如下 3 个：0,6,12. 所有元素之和为 18. 答案 18
江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件：专题一 函数图象与性质的综合应用
变式训练 3 已知 f(x)＝x2＋ax＋3－a，若 x∈[－2,2]时，
f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围．
解 f(x)的最小值为 g(a)，则 ①当－2a<－2，即 a>4 时， g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得 a≤73.
又 a>4，故此时 a 不存在． ②当－2a∈[－2,2]，即－4≤a≤4 时， g(a)＝3－a－a42≥0，得－6≤a≤2.
解析 因 2≥2，所以 f(2)＝logt(22－1)＝logt3＝1，解得 t＝3.因为 5>2，所以 f( 5)＝log3[( 5)2－1]＝log34，显 然 log34<log39＝2，故 f[f( 5)]＝f(log34)＝2× 3log3 4 2×4＝8. 探究提高 求解分段函数的函数值应注意验证自变量的
第十六页，编辑于星期日：十三点 五十四分。
题型五 以形助数数形结合问题 例 5 已知不等式 x2－logax<0，当 x∈0，12时恒成立，
求实数 a 的取值范围． 思维启迪 在同一坐标系中分别作出 y＝x2、y＝logax 的图象．利用图形进行分析．
解 由 x2－logax<0， 得 x2<logax. 设 f(x)＝x2，g(x)＝logax. 由题意知，当 x∈0，12时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方，
专题一 函数图象与性质的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1．函数的性质
(1)函数的性质是高考的必考内容，它是函数知识的 核心部分．函数的性质包括函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小 值等，在历年的高考试题中函数的性质都占有非常 重要的地位． (2)考查函数的定义域、值域的题型，一般是通过具 体的问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系 式，再研究函数的定义域与值域．
苏教版数学高一-2015年苏教版数学必修1训练2 集合的含义及其表示
§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N ,b ∈N ，则a +b 的最小值是2 （4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 .2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 组成的集合与由“0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a ∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x =||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2}（4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M ={3，2}，N ={2，3} （2）M ={(3，2)}，N ={（2，3）}（3）M ={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M ={1，2}，N ={(1,2)} 6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x 7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M .（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？。
高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算 理 苏教版
1.1 集合的概念与运算一、填空题1．已知集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ，b }，且A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.解析 因为A ∩B ＝{2}，所以2a ＝2，所以a ＝1，又因为B ＝{a ，b }，所以b ＝2，所以A ∪B ＝{1,2,3}．答案 {1,2,3}2.设全集U={x|x 是平行四边形},A={x|x 是菱形},B={x|x 是矩形},则A∩B =_______. 解析A∩B 为既是菱形又是矩形的四边形是正方形.答案 既是菱形又是矩形的四边形是正方形,故选B.3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |1≤2x ≤4}，则M ∩N ＝________.解析 N ＝{x |0≤x ≤2}，M ∩N ＝{－1,1}∩{x |0≤x ≤2}＝{1}．答案 {1}4．已知集合A ＝{x|x2－2x －3＜0}，B ＝{x|x ＞1}，则A∩B＝________.解析 ∵A＝{x|x2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{x|1<x<3}．答案 {x|1<x<3}5．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N ＝________. 解析 由条件可画韦恩图，得N 是M 的真子集，所以M ∪N ＝M .答案 M6．已知集合P ＝{－4，－2，0,2,4}，Q ＝{x |－1＜x ＜3}，则P ∩Q ＝________. 解析 P ∩Q ＝{－4，－2,0,2,4}∩{x |－1＜x ＜3}＝{0,2}．答案 {0,2}7．已知集合A ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ∈R}，若(∁R A )∩B ＝∅，则k 的取值范围是________．解析 因为∁R A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ∈R}，所以由(∁R A )∩B ＝∅，得k ＋1≤1或k ≥3，解得k ≤0或k ≥3.答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)8.设A={x |28150x x -+=},B={x |ax -1=0},若B A ⊆,则实数a 组成的集合C 为 . 解析 A={x |28150x x -+=}={3,5},∵B A ⊆,∴B=∅,或B={3},或B={5}.当B=∅时,方程ax -1=0无解,所以a =0;将x =3,或x =5代入方程ax -1=0得13a =,或15a =.故C={11035,,}.答案 {11035,,} 9.设全集U =Z,集合M={1,2},P ={-2,-1,0,1,2},则P ⋂U M ð等于_______.解析 集合P ={-2,-1,0,1,2},M={1,2},U M =ð{x ∈Z|12x x ≠,≠}, ∴P ⋂U M =ð{-2,-1,0}.答案 {-2,-1,0}10．设M ＝{a|a ＝(2,0)＋m(0,1)，m ∈R}和N ＝{b|b ＝(1,1)＋n(1，－1)，n ∈R}都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.解析 设a ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝m ；设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋n ，y ＝1－n ，即x ＋y ＝2，将x ＝2代入得y ＝0，所以M ∩N ＝{(2,0)}．答案 {(2,0)}11.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M∩N，则P 的子集共有________个． 解析 因为M ＝{}0，1，2，3，4，N ＝{}1，3，5，所以P ＝M∩N＝{}1，3，所以集合P 的子集共有∅，{}1，{}3，{}1，34个．答案 412．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法)A ＝(－∞，1]，B ＝[a ，＋∞)，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.答案 (－∞，1]【点评】 本题采用数形结合法．含参数的集合运算中，求参数的范围时，常常结合数轴来解决，同时注意“等号”的取舍．13．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合：③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合：④若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊆R ，A 2⊆R ，则存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)．其中正确结论的序号是______________． 解析 ①4－(－4)＝8∉A ，所以①不正确，②设n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1±n 2＝3(k 1±k 2)，且k 1≠k 2∈Z ，所以②正确．③假设A 1＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝3k ，k ∈Z},2∈A 1,3∈A 2，但是2＋3∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确，④取③中的集合A 1，A 2，可得④正确．答案 ②④二、解答题14．A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x ≥1，B ＝{y |y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R}． (1)求A ，B ；(2)求A ∪B ，A ∩∁R B .解析 (1)由1x ≥1，得1x －1＝1－x x≥0，即x (x －1)≤0且x ≠0，解得0＜x ≤1，所以A ＝(0,1]． 由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝()0，＋∞，A ∩(∁R B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 15．已知集合A ＝{x|(x －2)·(x－3a －1)<0}，函数y ＝lg2a －x x －a 2＋1的定义域为集合B. (1)若a ＝2，求集合B ；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．解析 (1)当a ＝2时，lg 2a －x x －a 2＋1＝lg 4－x x －5. 由4－x x －5>0，得4<x<5， 故集合B ＝{x|4<x<5}．(2)由题可知，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①若2<3a ＋1，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}， 又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋1＝3a ＋1，无解；②若2＝3a ＋1时，显然不合题意；③若2>3a ＋1，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3a ＋1，a 2＋1＝2，解得a ＝－1.综上所述，a ＝－1.16．设集合A ＝{x|x2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0，a ∈R ，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．思路分析 本题体现了分类讨论思想，应对集合B 中所含元素个数分类讨论．解析 ∵A ＝{0，－4}，∴B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a ＋12－4a 2－1＞0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. (2)当∅≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是{m |m ＞5，或m ＜－3}．18．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪ m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m 2， ∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅. 要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点， 即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |， ∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内． 综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.。
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念及其基本运算
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)
1．若集合A ＝{x|－2<x<1}，B ＝{x|0<x<2}，则集合A∩B ＝____________.
2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|x2－4≤0}，则∁UM ＝____________.
3．集合I ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，A ＝{－1,1,2}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∪(∁IB)＝__________.
4．如果全集U ＝R ，A ＝{x|2<x≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁UB)＝______________.
5．设集合A ＝{x|－12
<x<2}，B ＝{x|x2≤1}，则A ∪B ＝__________. 6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A∩B ＝ __________.
7．已知集合P ＝{x|x(x －1)≥0}，Q ＝{x|y ＝ln(x －1)}，则P∩Q ＝__________.
8．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N*|lg x<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}， 则集合B ＝____________.
9．已知集合A ＝{x|x≤1}，B ＝{x|x≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
二、解答题(本大题共4小题，共55分)
10．(13分)已知集合S ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ＋2x －5<0，P ＝{x|a ＋1<x<2a ＋15}． (1)求集合S ；
(2)若S ⊆P ，求实数a 的取值范围．
11．(14分)已知集合A ＝{x|6x ＋1
≥1，x ∈R}，B ＝{x|x2－2x －m<0}， (1)当m ＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A ∩B ＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．
12．(14分)已知集合A ＝{x|x2－2x －3≤0}，B ＝{x|x2－2mx ＋m2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．
(1)若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁RB ，求实数m 的取值范围．
13．(14分)已知集合A ＝{x|y ＝x2－5x －14}，集合B ＝{x|y ＝lg(－x2－7x －12)}，集合C ＝
{x|m ＋1≤x≤2m －1}．
(1)求A∩B ；
(2)若A ∪C ＝A ，求实数m 的取值范围．
答案 1.{x|0<x<1} 2.{x|x<－2或x>2} 3.{－3，－1,1,2} 4.(2,3)∪(3,4)
5.{x|－1≤x<2}
6.{(0,1)，(－1,2)}
7.{x|x>1}
8.{2,4,6,8}
9.a≤1
10.解 (1)因为x ＋2x －5
<0，所以(x －5)(x ＋2)<0. 解得－2<x<5，所以集合S ＝{x|－2<x<5}．
(2)因为S ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1≤－2，5≤2a ＋15，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a≤－3，a≥－5.所以a ∈[－5，－3]．
11.解 由6
x ＋1≥1，得x －5
x ＋1≤0.
∴－1<x≤5，∴A ＝{x|－1<x≤5}．
(1)当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}，
则∁RB ＝{x|x≤－1或x≥3}，
∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A ＝{x|－1<x≤5}，A∩B ＝{x|－1<x<4}，
∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.
此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m 的值为8.
12.解 由已知得A ＝{x|－1≤x ≤3}，
B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．
(1)∵A∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2. (2)∁RB ＝{x|x<m －2或x>m ＋2}，∵A ⊆∁RB ，
∴m －2>3或m ＋2<－1，即m>5或m<－3.
13.解 (1)∵A ＝(－∞，－2]∪[7，＋∞)，B ＝(－4，－3)， ∴A∩B ＝(－4，－3)．
(2)∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A.
①C ＝∅，2m －1<m ＋1，∴m<2.
②C≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m≥22m －1≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m≥2
m ＋1≥7.
∴m≥6.
综上，m<2或m ≥6.。