6.4 几个初等函数构成的共形映射映射

w
z2 i z2 i
( z2 )
( z1 )
z2
z1 1 2 z1 1
1
0
1
15
解
2
(z)
(w)
2 z 2 i z2
1
1
2
z z1 2
( z1 )
1
1
w
z2 i z2
2
z5 i w z5 i
2
z2 i w z2 i
( z2 )
2 z2 z1

2
z 1 注： 从上半单位圆域到上半平面的映射为 w . z 1
14
解
1
0
(z)
1
(w)
w

z 1 i z 1 z 1 i z 1
2
2
1
1
z1 z
( z4 )
1 z2 z 1
1
1
z4
( z2 )
z3 1 2 z3 1
z3 z2
1
1
( z3 )
16
例 设区域 D 由两个圆弧围成(如图所示)， 其中 r 1 , 求一
共形映射将 D 映射成单位圆域。
解
i
1
P161 例6.17
π 6
(z)
将i
0
R
z w
n 0
Rn
n w z 特点 幂函数 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
类似地，根式函数 w n z 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
一、幂函数 w z n, ( n 2 整数 )
2. 保形性 解析性 (1) 在 z 平面上处处可导，且
(w)
w ez
h ( h 2π )
π h
z1 π z h
特别有
πi
( z1 )
w1 w
w1 e
z1
(?) 单值性？
( w1 )
π
1
1
特点 指数函数 w e 将水平带形域变为角形域。
z
二、指数函数 w ez
2. 保形性
dw ez 0 . 解析性 在 z 平面上处处可导，且 dz
z2
6 z1
( z2 )

17
P160 例6.16
解
2
1 i
(z)
0 1 2
将2
, 0
0,
1
1
(w)
z1
z z2
0
( z1 )
1
i

2
z z 2 π i ( ) z k 有e 1 z 2 i , z4 i z2 w w z 2 πi ( ) z4 i z 2 i e i , 1 i 再要求将 ( z4 ) z z . 得 k 1, 故 1 z2
§6.4 几个初等函数构成的映射
一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例
一、幂函数 w z n, ( n 2 整数 )
1. 映射特点 令 z r e , 则有 w r e
π 0 2 n
i
n i n n | w | r , arg w n . , 即
wz
n
n
n 0 2π
(z)
( z1 )
z1 4 z
π 5
5 z 2 z1
( 4 z )5 i w ( 4 z )5 i
(w)
1
1
z2 i w z2 i
( z2 )
6
二、指数函数 w ez
回顾 令 z x i y , 有 w e z e x (cos y i sin y ) e x ei y ,
( 无附加条件 )
.
we
i 0
z z0 z z0
( 由附加条件6.18
解
1
0
(z)
w z2 ？ (错！ ！ )
2 z 1 i z 1
( z1 )
1
1
1
z1
(w)
0
1
z 1 z 1
w
z 1 i z 1
2
z 2 e z1
i
( z2 )
z3 i z2
1
( z3 )
1
2
i
20
*例 设区域 D { z : Im z 0, | z 1 | 1 , | z 1 | 1 } , 求一共形 2 2 2 2 映射将 D 映射成上半平面。 P162 例6.20 (z )
1
1
1
2i
(z)
π 4 π 4
解 令 w1 z e

π i 4 ,
则 w
4 w1 .
如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z | 8 , Im z 0 } .
(w)
4 w w1
2
w1 z e
2i

π i 4
( w1 )
π
8
π 4
2
5
8
P158 例6.14
解
4π 5
r
0, i
,
(w)
i
zi z1 i zi
( z1 )
π 6
0
1
zi 1 1 z k , 6 有 1zi i z ii z i 1 1, w 再要求将 6 z2 i z i zi w i i . z2 i 得 k i ,i 故 z1 i z zi
hi
2 z2 z1
w
( z1 )
(z a) h i ( z a )2 h2 i
2
2
z4 i w z4 i
( z4 )
z4 z 3
( z2 )
z 3 z 2 h2
( z3 )
h2
23
单值性 在 z 平面上不是双方单值的， 比如：
z z 取 z1 x1 i y1 , z2 x1 i ( y1 2π) , 则 e 1 e 2 .
z w e 结论 指数函数 在 z 平面上是第一类保角映射。 z w e h 2 π , 在水平带形域 0 y h 上，如果 则指数函数
z2 i z1
1
z4 e z3
2
i
( z2 )
z3 2 π z2
πi
( z3 )
18
解
2
(z)
6
(w)
2
3
4
1
1
z1
z2 z2
2
0
( z1 )
3
i e w π z2 i( ) 3 z 2 i e
π i ( z2 ) 3 z2
z4 i w z4 i
是共形映射。
(z)
解 令 w1 i z , 则 w e . 如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z | 1 , Re z 0 } .
i
π
w1
2
π 2
w1 i z ,
( w1 )
πi 2
(w)
we
i
w1
πi
2
10
P159例6.15
解
πi
πi 2
(z)
dw 0. (2) 当 z 0 时， dz
πi 2
dw n z n 1 ; dz
单值性 在 z 平面上不是双方单值的，比如：
4 对于 w z , 取 z1 e 4 4 z2 e π i , 则 z1 z2 .
n w z 结论 幂函数 在 z 平面上除原点外是第一类保角映射。 n 2π w z 0 在角形域 是 0 上，如果 0 n ，则幂函数 共形映射。
解
1
0
1
(z)
z1 1 z
1 ie w 1 ie
(w)
πi 2z πi 2z

2
z2 π z1 2
i z
1 ie 2 w i z2 1 ie
2
π
2
( z2 ) π 2
(利用前例的结果)
21
*例 设区域 D { z : | z | 1 , 沿 0 到 1 有割痕 } ，求一共形映射， 将 D 映射成单位圆域。 解
( z4 )
z2 i z1
3i
( z2 )
π z3 z2 3
z4 e z3
πi
( z3 )
19
P163 例6.19
解
(z)
π
2
π 2
i z 1 ie w i z 1 ie
(w)
2
z1 i z
( z1 )
πi 2
πi
1 z3 w 1 z3
工具
z z2 1 . wk , 或者 w k z z1 z z1
三、综合举例
主要步骤 (一般) (3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面
工具
w z n , w n z . ( 对于角形域 )
w ez .
( 对于带形域 )
(4) 将上半平面映射为单位圆域
工具
zi w . zi
x |w| e , 即 Arg w y 2kπ ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
( k 0, 1, 2,)