浙教版八年级上数学特殊三角形

考点分析
1、掌握等腰三角形的性质及判定定理
2、掌握直角三角形的性质
3、特殊三角形在全等证明中的运用
4、掌握勾股定理的计算方法
知识点概要
1、图形的轴对称性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；成轴对称的两个图形是全等图形
2、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

PS:等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

4、直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（4）勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 题型分类例与练
考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用
例1. （1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．
（2）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）
A ．9cm
B ．12cm
C ．15cm
D ．12cm 或15cm
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DC ＝BC ．试求∠A 的度数．
A B C D
练习
1，请写出周长为8cm ，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。

2. 在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成了周长差为4cm 的两个三角形，求△ABC 各边长。

3. 一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1，求这个三角形各角度数。

4.已知：在 中， ， ， ，求 的度数.
考点二：三线合一、实际应用的图形转换
例3. 如图所示，已知D 、E 在BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．试说明：BD ＝CE ．
A
B C
D E F
分析：本题可以通过△ABD ≌△ACE 来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线合一”来证明结论，就更为简捷．
例4. 如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和BE 的交点，那么BH ＝AC 吗？说明道理．
A
B C
H D E
分析：由∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 可得△ABD 是等腰直角三角形，所以BD ＝AD ．BH 和AC 是R t △BHD 和R t △ACD 中对应的斜边．本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手．
例5. 如图所示，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 到E 使CE ＝CD ，试说明△BDE 是等腰三角形．
A
B C D
E
分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形．本题中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口．
例6 如图所示，上午9时，一条渔船从A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B 处，从A 、B 处望小岛C ，测得∠NAC ＝15°，∠NBC ＝30°．若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？
A
B
C D
15°
30°
N
分析：作CD ⊥BN 于D ，该渔船有无触礁危险，关键是看CD 与12.3的大小关系，若CD ＞12.3，则无触礁危险；若CD ≤12.3，则有触礁危险．故解决本题的关键是计算CD ．
练习
1. 如图，在△ABC 中，∠C=25°，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AB+BD=CD ，则∠BAC 的度数是多少度。

2、如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△
AMN的周长为多少。

3、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为
4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为．
过关检测
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
A
36°
E D
F
B C
2选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）
A. 2cm
B. 8cm
C. 2cm或8cm
D.
以上都不对
3．(2011·贵阳)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是(
)
A ．3.5
B ．4.2
C ．5.8
D ．7
4．(2011·烟台)如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于(
)
A ．80°
B ．70°
C ．60°
D ．50°
5.如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，
，则1∠的度数是________。

C A 1 D
B 2 3
6.(2011·衡阳)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．
7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

A E F
B D C
8.如图，ABC ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分A B C ∠。

求证：
BC BD AD =+。

9. 如图，已知：在
中， ， ， ， .求：
的度数.
10.ABC ∆中，
120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：
BC 21DE =。

A E D O B C 1 2 11.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边
作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说
明理由．。