两数和乘以这两数的差(1)
华东师大版八年级数学上册13.3.1两数和乘以这两数的差教案
§13.3 乘法公式
课题：两数和乘以这两数的差第一课时
设计者：学校：
教学目标：
[知识与技能]：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
[过程与方法]：由学生自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。
[情感态度与价值观]：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
教学重、难点：
[重点]：平方差公式的推导和运用。
[难点]：公式中字母的广泛含义。
教学过程：
反思：。
12.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版八年级数学上册(1)
当x=-2，y=3. 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
1.计算：
（1）(2x+
1 2
)(2x-
1)
2
解 (2x+ 1 )(2x- 1 )
2
2
= 4x2- 1
4
（2）(-x+2)(-x-2) 解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4
（3）(-2x+y)(2x+y) 解 (-2x+y)(2x+y)
写成两数和乘以 这两数差的形式， 可使计算简便.
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规
划后，南北向增加2米，东西向减少2米.改造后得到一块 长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
a
(a+2)(a-2) =a2-4
2
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
补充例题
计算： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1).
-(2x+y) （4）(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2
(-y-2x) 或 （4）(-2x-y)(2x-y)
=(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2
例2 计算：1998×2002.
1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
【解析】 (2x3-3a)(-2x3-3a)=-(2x3+3a)(2x3-3a)=-4x6+9a2.故选B.
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》教学课件
判断下列各式是否正确，并说明理由
(1)(a b)(a b) a2 b2 ( ×)
(2)(a b)(a b) a2 b2
( ×)
(3)(0.5 0.2x)(0.5 0.2x) 0.25 0.04x2 (√
(4)(3x 1)(3x 1) 9x2 1
（2）等式右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
观察图形，再用等式表示图中图形面 积的运算：
a
几
何
abb
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
例1 计算
(x+3)(x-3)= x2 32 x2 9 (2a+3b)(2a-3b)= (2a)2 (3b)2 4a2 9b2
1
(-x+2)(-x-2)
－x
b a2 b2 最后结果
3 y2 32 y2 9
3b a2 (3b)2 a2 9b2
5b
12 (5b)2
2
1 25b
2 (x)2 22 x2 4
概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差.ຫໍສະໝຸດ 问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解 (a 2)(a 2) a2 4
答 :改造后的长方形草坪的 面积是(a 2 4)平方米
知识回顾
1．多项式乘以多项式的法则：_______。
八年级上12.3《两数和乘以这两数的差》课件(共13张PPT)
b a 2 b 2 最后结果
3
y2 32 y2 9
3b a2 (3b)2 a2 9b2
5b
12 (5b)2
2
1 25b
2
(x)2 22 x 2 4
概括总结
平方差公式 (ab)(ab)a2 b2
平方差公式的特征： （1）等式左边是两个数 (字母)的和乘以这两个数 (字母)的差. （2）等式右边是这两个
例2 计算 1998×2002。
解 1998 2002 =（2000-2）（2000+2）
200 2022
=4000000-4 =3999996
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统 一规 划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米， 问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解 (a2)a(2)a2 4
谢谢观赏
Yo就能解决这个问题了。
旧知回顾
1．多项式乘以多项式的法则：_______。
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出 (x＋a)(x＋b)的结果。 (x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab
3．计算：
(1)(x＋3)(x－3)；
(2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
答:改造后的长方面 形积 草(是 a坪 24的 )平方米
反思小结
本题课你有什么收获或感想？ 你还有什么疑问？
反思小结 •1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月28日星期一2022/2/282022/2/282022/2/28
•2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/282022/2/282022/2/282/28/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/282022/2/28February 28, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/282022/2/282022/2/282022/2/28
12.3.1两数和乘以这两数的差课件华东师大版八年级数学上册2
2. 下列式子能用平方差公式计算吗?如果能，请写出.
（1）(– 3x + 2)(3x – 2)；
不能
（2）(– x + 2y)(– x – 2y)；
能，原式=（–x）2 –（2y）2=x2 –4y2
（3）(– 3a + 4b)(– 4b – 3a)； （4）(– a + b)(a – b).
能，原式=（–3a）2 –（4b）2=9a2 –16b2
内容
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
平
符号表示
（a+b）（a–b）=a2 – b2
方
差
公
找出相同的项和相反的项，再应用公式
式
相同为a，相反为b
注意事项
a、b可以是单项式或多项式
不符合平方差公式运算条件的乘法，按 乘法法则进行运算
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
4.利用平方差公式计算： （1） ( 5 + 6x ) ( 5 – 6x )；
解：=52 –（6x）2 =25 – 36x2
（3） ( –m + n ) ( –m – n) =（–m）2 – n2 =m2 – n2
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y)； =x2 –（2y）2 =x2 – 4y2
5.先化简,再求值：(3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1)，其中x=2.
解： (3 – x)(3 + x) + 2(x + 1)(x – 1) =9 – x2 + 2(x2 – 1) =9 – x2 + 2x2 – 2 =x2 + 7
两数和乘以这两数的差优秀教案
两数和乘以这两数的差（教案）（第一课时）巴中二中冯文［教学内容］：两数和乘以这两数的差［教学目标］1、知识与能力了．解．公式的几何背景，理．解．并掌．握．公式，在此基础上能应．用．公式进行计算。
2、过程与方法在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践” 的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、情感态度与价值观通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
［教学重难点］1、教学重点：公式的验证及应用。
2、教学难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
［教学策略］本节课我将以学生为主体，围绕学生开展教学活动，我主要采用了以下三种教学方法：情．景．教．学．法．，．启．发．式．教．学．法．：以激发学生的求知欲，提高学习兴趣探．究．性．教．学．法． ：给学生一点时间和空间，让学生亲自参与知识的发现过 程，以加深对知识的理解［教 学 准 备 ］1．学具准备：每位同学课前观察教材 P29 的图 13.3.1，然后制作一张卡片， 准备一把剪刀。
（图 1:教材 P29 的图 13.3.1） 2．多媒体辅助教学。
［教 学 课 时］：共 2 课时，授课内容为第一课时［教学过程设计 ］一、创设情景 （约 2 分钟）用视频播放下面的生活场景：小林到商店去买饼干，售货员告诉她：共 4.2 千克，每千克 3.8 元。
正当 售货员还在用计算器计算时， 小林马上说出了共 15.96 元。
售货员很惊奇地问： 你怎么比计算器算的还快呢？小林很得意地告诉她：这是一个秘密。
提问：同学们，你能帮售货员揭开小林快速口算出 4.2×3.8 的秘密吗？ （设计意图：利用生活中的场景，激发学生求知欲，提高学习兴趣 ）二、观察概括 （约 6 分钟）1．师：经过本课的学习，我们就能揭开这一秘密了。
课题：12.3乘法公式第1课时两数和乘以这两数的差)
（1）a m a n a m n m、n是正整数 （ 2） a m （3）ab a n bn n是正整数
n
n
a mn m、n是正整数
单×单
单×多
多×多
（ 1） xx 3 x 2 3x
通过刚才的 计算，你发 现了什么？
x 2x 3 x 2 x 6 （ 2）
（ 2） 999 1001
学 以 致 用
（ 3） 20182 2017 2019
20182 （ 4） 2017 2019 1
2.原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2米，将宽 增加2米，改造后得到一块正方形绿地，且它的面积是原绿地面 积的2倍，求改造后正方形的面积。
小 结
这节课我学到了什么？
学 以 致 用
1 1 （ 3） 2 x 2 x 2 2 （ 5） 2 x y 2 x y
（ 6） y x x y
学以致用
例 2 计算：
2x 1 4x 2 1 2x 1 （2）
4 2
x 1x （ 3）
八年级（上）
华师版第12章 整式的乘除
形成结论
（Ⅰ）字母表示：
a ba b a 2 b2
（Ⅱ）文字语言： 两个数的和与这两数差的积，等于这两数的平方差。
（1）平方差公式实质是多项式乘以多项式，但是多项式乘以 多项式的特殊形式； （2）特点：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项 完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平 方差（相同的项的平方减去相反项的平方）； （3）公式中的a、b可以是单独的数、字母,也可以是多项式。
=
数学华东师大版八年级上册12.3.1两数和乘以这两数的差
§12.3.1两数和乘以这两数的差【教学目标】知识与技能：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。
过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
情感与态度：形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。
【教学重点】对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、情境屋，请君入内问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。
让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。
）二、探究园，任你驰骋1.自学指导自学教材30页至32页。
和你的小组合作探讨完成下列内容。
（时间8分钟）1、通过30页的做一做，你能得出平方差公式吗？能否用语言叙述？等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？公式中的a,b可以表示什么？2、通过31页的试一试，你和同学们能懂其意并写出吗？3、例1中的计算题能用多项式乘以多项式的法则计算吗？你用了这个法则了吗？为什么？4 、你和你的同伴会做例2和例3吗？S:学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。
两数和乘以这两数的差
首先，将两数和与这两数的差分别表示为 $(A+B)$ 和 $(A-B)$。
然后，将这两个表达式相乘，得到 $(A+B) \times (A-B)$。
最后，通过分配律展开，得到 $A^2-B^2$。
算式的表示方法
03
ห้องสมุดไป่ตู้
算法的描述
两个实数 $a$ 和 $b$。
算法的输入
一个实数，即 $(a+b)(a-b)$。
希望实现对所有数据类型的自动分类和优化，以扩大算法的应用范围和提高其适应性。
01
03
02
谢谢您的观看
THANKS
时间复杂度不随输入数据规模的增长而增长，因此算法具有很高的效率。
时间复杂度
算法的空间复杂度也为O(1)，因为算法不需要额外的存储空间，只使用了固定数量的变量来存储两个数。
空间复杂度与输入数据规模无关，因此算法具有较低的空间占用。
空间复杂度
可以考虑优化算法的实现方式，减少计算机资源的消耗。
可以使用更高效的算法来实现相同的功能，提高算法的执行速度和效率。
算法的
算法的实现过程
2. 然后计算 $s$ 和 $b$ 的差，记为 $d$。
3. 最后计算 $d$ 和 $a$ 的乘积，即 $(s-b)\times a$，记为 $result$。
1. 首先计算 $a$ 和 $b$ 的和，记为 $s$。
04
算法的复杂度分析
VS
算法的时间复杂度为O(1)，因为算法只涉及两个数相乘，与输入数据规模无关。
xx年xx月xx日
两数和乘以这两数的差
contents
目录
引言符号约定与定义算法的描述算法的复杂度分析程序实现与测试结论与总结
两数和乘以这两数的差
初中数学《两数和乘以这两数的差》各位领导、老师：大家好！今天我要为大家讲的课题是《两数和乘以这两数的差》。
一、教材结构与内容分析本节课内容选自华东师范大学出版社《数学教材八年级上册》第十二章第三节第1小节。
本课内容是在学习了多项式乘法的基础上继续学习的，是学习“因式分解”等内容的基础，具有承前启后的作用。
本公式在整式的乘法和生产、生活中应用广泛，它是“数形结合”的代表，是“从特殊到一般”的典型。
另外，作为一名数学老师，我们所要做的，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要传授给学生一种数学思想、数学意识。
因此，通过本节课的学习，学生不仅要理解和熟练应用两数和乘以这两数的差的计算方法，更要学会教学过程中应用到的从特殊到一般的辩证唯物主义思想，养成一种严谨的思维品质，为其以后的学习和终身发展打下良好的基础。
二、教学目标根据上述教材结构和教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：1、基础教学目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式，在此基础上能应用公式进行计算。
2、能力训练目标：在本课的学习中，让学生经历“观察概括——探索验证——应用实践”的过程，发展学生的归纳概括能力，让学生体会“数形结合”及“从特殊到一般”的数学思想。
3、个性品质目标：通过对公式的概括、验证、应用，让学生体会数学的严密性，优化数学思维品质。
在活动中让学生体验成功，增强自信。
三、教学重点、难点1、重点：公式的验证及应用。
2、难点：找出具体问题中哪一部分相当于公式中的a，哪一部分相当于公式中的b。
四、说教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。
因此，在教学中，我们不仅要使学生“知其然”，更要使学生“知其所以然”。
在教学过程中，我们要做到在以师生相互为主客体的原则下，向学生展现获取知识和方法的思维过程。
经过七年级的学习，八年级的学生已具备一定的整式计算能力和观察图形的能力，但他们不喜欢老师的单独说教，不喜欢枯燥、乏味的讲解，他们具备一定的独立意识，希望自己参与知识发现的过程。
两数和乘以这两数的差
例1 填一填：
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）(x+2)(x-2)=x2-2 不对
改正：（1）(x+2)(x-2)=x2-4
（2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对
改正方法1：(-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4;
改正方法2：(-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2.
Hale Waihona Puke 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
a
几
abb
何
解
(a-b)(a+b)
释
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b) = a2 - b2
合理加括号
相反为b 注：这里的两数可以是两个单项式,也可以是两个多项式等,．
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)= __b_2-_a_2____. (2)(a-b)(b+a)= __a_2_-b_2_____. (3)(-a-b)(-a+b)= _a_2_-b_2____. (4)(a-b)(-a-b)= _b_2_-a_2_____.
12.3.1两数和乘以这两数的差
解 (a2)a(2) a2 4
答:改造后的长方形 面草 积(坪 是 a2 的 4)平方
第十二第页，十编辑二于页星期，五编：二辑十二于点星五十期分六。 ：十六点 六分。
课堂小结
你 来 总 结
本题课你有什 么收获或感想？ 你还有什么疑
问？
第十三第页十，三编页辑，于编星期辑五于：星二期十六二：点十五六十点分。六分。
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
用平方差公式
第七页第，七编辑页于，星编期五辑：于二星十二期点六五：十十分。六点 六分。
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运 算：
a
几
何
abb
解
释
(a-b)(a+b)
=
a2 － b2
(a+b)(a－b)
a2
b2
第八页第，编八辑于页星，期五编：辑二十于二点星五期十分六。：十六点 六分。
知识回顾
1．多项式乘以多项式的法则：_______。
2．利用多项式与多项式的乘法法则说出 (x＋a)(x＋b)的结果。
(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab
3．计算：
(1)(x＋3)(x－3)；
(2)(a＋2b)(a－2b)；
(3)(4m＋n)(4m－n)； (4)(5＋4y)(5－4y)。
两数和乘以这两数的差
第一页第，编一辑于页星，期五编：辑二十于二点星五期十分六。：十六点 六分。
学习目标 理解两数和乘以这两数差的几何意义。
理解并掌握两数和乘以它们的差的公式结构并能正确运 算。
第二页第，二编辑页于，星编期五辑：于二星十二期点六五：十十分。六点 六分。
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2 千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元
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八年级上数学《平方差公式》导学案（2014.9.28）
学习目标：
1、探索平方差公式；
2、用语言叙述平方差公式的特点：两个多项式中有一个数相同，另一个数是互为相反数，结果是相同数的平方减去另一数的平方。
3、运用公式进行简单的计算.
教学重点:
通过学习认识平方差公式，并运用平方差公式进行计算正确计算。
教学难点：
1.平方差公式的探究
2.平方差公式中的“a 、b ”在每个算式中代表什么
3.运用平方差公式进行综合运用.
自主学习一：
（一）计算：
（1）=-+)23)(23( ； =-2223 ；（3+2）（3-2） 2223-
（2）=-+)56)(56( ； =-2256 ；（6+5）（6-5） 2256-
（3）=--+-)24)(24( ；=--222)4( ；（-4+2）（-4-2） 222)4(--
观察上面每组算式的特点及计算结果，找出规律，然后猜想:=-+))((b a b a
你能用以前学过的什么知识说明你的猜想是正确？
（二）探索三
由等式22))((b a b a b a -=-+填写下表 多项式
b a + b a - 22b a - 多项式中的数有
多项式中两数的运算关系
通过刚才的分析，你能用自己的语言总结出两数和与这两数差的积的计算方法吗？即两数和与这两数差的积等于 。
自主学习二：
（一）用平方差公式直接写出下列各式的结果
（1）)4)(4(-+x x （2）)21)(21(a a -+
（3）)6)(6(n m n m -+ （4）)5)(5(z y z y -+
（5）)2)(2(n m n m ++-
（二）能用平方差公式计算的条件：两多项式中有一个数 ，另一个数是 。
用平方差公式计算出的结果： 减去
挑战自我：
（一）计算：
（1）)1)(1(-+x x （2）)2)(2(y x y x +-+ （3） )34)(43(a b b a --- （4）)2
1)(21(n m n m --+-
（二）简便计算：
（1）499×501 （2）)23)(32()43)(43(-+--+x x x x
能力测试：
1.下列运算正确的是（ ）
A.9)9)(9(2-=-+m m m
B.43)23)(23(2-=-+x x x
C.2294)32)(23(x y x y y x -=---
D.6)3)(2(2-=-+a a a
2.下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A.)32)(32(a a ---
B.)24
1)(241(a b a b -+ C.)2)(3(y x y x +-- D.)5.0)(2
1(m n n m +- 3.计算：=---)23)(23(b a b a
4.计算：3
2193120⨯= 5.已知：3=+y x ，5=-y x ，则=-22y x 能力提升：
（1）先化简，再求值
)12)(32(3)22
1)(212(4+-++--y y y y 其中21-=y
（2）计算：))()()((4422y x y x y x y x +++-
（3）有两个正方形，其周长之和为36cm ，面积之差为722cm ，求这两个正方形的边长分别是多少cm ？。